Beweise und Widerlegungen

Beweise und Widerlegungen: Die Logik der mathematischen Entdeckung
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Autor Imre Lakatos
Genre Philosophie der Mathematik
Veröffentlicht 1976
ISBN 978-0-521-29038-8

Beweise und Widerlegungen: Die Logik der mathematischen Entdeckung ist ein Buch von 1976 des Philosophen Imre Lakatos seine Sicht auf den Fortschritt von erläutern Mathematik. Das Buch ist als eine Reihe von geschrieben Sokratische Dialoge Einbeziehen einer Gruppe von Studenten, die über den Beweis der Debatte des Euler charakteristisch definiert für die Polyeder. Ein zentrales Thema ist das Definitionen sind nicht in Stein gemeißelt, müssen aber oft angesichts späterer Erkenntnisse zusammengefasst werden, insbesondere fehlgeschlagen Beweise. Dies gibt Mathematik einen etwas experimentellen Geschmack. Am Ende der Einführung erklärt Lakatos, dass sein Zweck darin besteht, herauszufordern Formalismus in Mathematikund um das zu zeigen Informelle Mathematik wächst durch eine Logik von "Beweisen und Widerlegungen".

Hintergrund

Das Buch von 1976 Beweise und Widerlegungen basiert auf den ersten drei Kapiteln seiner Doktorarbeit mit vier Kapiteln von 1961 Essays in der Logik der mathematischen Entdeckung. Aber sein erstes Kapitel ist Lakatos 'eigene Überarbeitung seines Kapitels 1, das erstmals veröffentlicht wurde als Beweise und Widerlegungen in vier Teilen in den Jahren 1963–44 in der British Journal für die Philosophie der Wissenschaft.

Zusammenfassung

Viele wichtige logische Ideen werden im Buch erklärt. Zum Beispiel der Unterschied zwischen a Gegenbeispiel zu einem Lemma (Eine sogenannte "lokale Gegenbeispiele") und ein Gegenbeispiel zu der spezifischen Angriffsmut (ein "globales Gegenbeispiel" zum Euler-Merkmal, in diesem Fall) wird diskutiert.[1]

Lakatos argumentiert für eine andere Art von Lehrbuch, die den heuristischen Stil verwendet. Für die Kritiker, die sagen, dass ein solches Lehrbuch zu lang sein würde, antwortet er: "Die Antwort auf dieses Fußgängerargument lautet: Lass es uns versuchen."

Das Buch enthält zwei Anhänge. In der ersten gibt Lakatos Beispiele für den heuristischen Prozess in der mathematischen Entdeckung. In der zweiten kontrastiert er die deduktivistischen und heuristischen Ansätze und liefert heuristische Analyse einiger von "Proof erzeugter" Konzepte, einschließlich einheitliche Konvergenz, Begrenzte Variation, und die Carathéodory Definition eines messbaren Satzes.

Die Schüler im Buch sind nach Briefen des griechischen Alphabets benannt.

Methode

Obwohl das Buch als Erzählung geschrieben ist, zielt es darauf ab, eine tatsächliche Untersuchungsmethode zu entwickeln, die auf "Beweisen und Widerlegungen" basiert. In Anhang I fasst Lakatos diese Methode mit der folgenden Liste der Stufen zusammen:

  1. Primitive Vermutung.
  2. Beweis (ein grobe Gedankenexperiment oder Argument, das die primitive Vermutung in Subkonjiziere zerlegt).
  3. "Globale" Gegenbeispiele (Gegenbeispiele zur primitiven Vermutung) entstehen.
  4. Beweis erneut geprüft: Das "Schuldige Lemma", zu dem das globale Gegenbeispiel ein "lokales" Gegenbeispiel ist, wird entdeckt. Diese schuldige Lemma ist möglicherweise zuvor "versteckt" oder falsch identifiziert. Jetzt wird es explizit und als Bedingung in die primitive Vermutung eingebaut. Der Satz - die verbesserte Vermutung - ersetzt die primitive Vermutung durch das neue Proof -generierte Konzept als sein vorrangiges neues Merkmal.

Er fährt fort und gibt weitere Phasen, die manchmal stattfinden könnten:

  1. Es werden Beweise für andere Theoreme untersucht, um festzustellen, ob das neu gefundene Lemma oder das neue Proof-generierte Konzept darin auftritt: Dieses Konzept kann an Kreuzung unterschiedlicher Beweise liegen und entstehen daher als grundlegender Bedeutung.
  2. Die bisher akzeptierten Konsequenzen der ursprünglichen und jetzt widerlegten Vermutung werden überprüft.
  3. Gegenbeispiele werden in neue Beispiele umgewandelt - neue Untersuchungsfelder öffnen sich.

Veröffentlichungsgeschichte

Das Buch von 1976 wurde in mehr als 15 Sprachen weltweit übersetzt, darunter Chinese, Koreanisch, Serbo-Koch- und Türkisch, und ging 2007 in seine zweite chinesische Ausgabe.

Auswirkungen auf den Unterricht

Eine Reihe von Mathematiklehrern hat die Methode von Lakatos für Beweise und Widerlegungen im Klassenzimmer implementiert, wenn sie andere mathematische Themen unterrichten.[2] Die Methode wurde auf die Analyse und Präsentation der Problemlösung in Mechanik durch Schüler der High School bis zum College angewendet.[3]

Das Mathematische Vereinigung von Amerika hat dieses Buch in eine Liste von Büchern aufgenommen, die sie als "für Mathematikbibliotheken im Grundstudium" betrachten.[4]

Anmerkungen

Verweise

  • Lakatos, Imre (1976), Beweise und Widerlegungen, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-29038-4 & ISBN978-0-521-29038-8. John Worrall & Elie Zahar waren die Herausgeber dieses posthumigen Buches.
  • Gábor Kutrovátz, Imre Lakatos 'Mathematikphilosophie, Eötvös Loránd University, 2005.