Beweis ohne Worte

Beweis ohne Worte der Nicomachus Theorem (Gulley (2010))

Im Mathematik, a Beweis ohne Worte (oder visueller Beweis) ist ein nachweisen von einem Identität oder mathematische Aussage, die als nachgewiesen werden kann als selbstverständlich durch ein Diagramm ohne begleitende erklärende Text. Solche Beweise können als eleganter angesehen werden als formal oder mathematisch streng Beweise aufgrund ihrer selbstverständlichen Natur.[1] Wenn das Diagramm einen bestimmten Fall einer allgemeinen Erklärung zeigt, um ein Beweis zu sein, muss es verallgemeinerbar sein.[2]

Beispiele

Summe von ungeraden Zahlen

Ein Beweis ohne Worte für die Summe der ungeraden Zahlen Theorem.

Die Aussage, dass die Summe aller positiv ungerade Zahlen bis zu 2n- 1 ist a Perfektes Viereck- Besonders das perfekte Quadrat n2- kann durch einen Beweis ohne Worte demonstriert werden.[3]

In einer Ecke eines Gitters repräsentiert ein einzelner Block 1, das erste Quadrat. Das kann mit einem Streifen von drei Blöcken (die nächste ungerade Zahl) auf zwei Seiten eingewickelt werden, um einen 2 × 2 -Block zu erstellen: 4, das zweite Quadrat. Durch das Hinzufügen von weiteren fünf Blöcken ist ein 3 × 3 -Block: 9, das dritte Quadrat. Dieser Prozess kann auf unbestimmte Zeit fortgesetzt werden.

Satz des Pythagoras

Ein Beweis ohne Worte für den pythagoräischen Satz abgeleitet in Zhoubi Suanjing.

Das Satz des Pythagoras kann ohne Worte bewiesen werden. Die beiden verschiedenen Methoden zur Bestimmung der Fläche des großen Quadrats geben die Beziehung

zwischen den Seiten. Dieser Beweis ist subtiler als der für die Summe der ungeraden Zahlen, kann aber immer noch als Beweis ohne Worte betrachtet werden.[4]

Jensens Ungleichheit

Ein grafischer Beweis für Jensens Ungleichheit.

Jensens Ungleichheit kann auch grafisch bewiesen werden. Eine gestrichelte Kurve entlang der X Achse ist die hypothetische Verteilung von X, während eine gestrichelte Kurve entlang der Y Achse ist die entsprechende Verteilung von Y Werte. Die konvexe Zuordnung Y(X) streckt zunehmend die Verteilung für die Erhöhung der Werte von X.[5]

Verwendungszweck

Mathematikmagazin und die College Mathematics Journal Führen Sie eine reguläre Funktion mit dem Titel "Proof ohne Worte" aus, die, wie der Titel vorschlägt, Proofs ohne Worte enthält.[3] Die Kunst des Problemlers und Ussamts Websites laufen Java -Applets Beweise ohne Worte veranschaulichen.[6][7]

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ Dunham 1994, p. 120
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Beweis ohne Worte". Mathord. Abgerufen von 2008-6-20
  3. ^ a b Dunham 1994, p. 121
  4. ^ Nelsen 1997, p. 3
  5. ^ McShane, E. J. (1937), "Jensens Ungleichheit", Bulletin der American Mathematical Society, American Mathematical Society, Vol. 43, nein. 8, p. 527, doi:10.1090/S0002-9904-1937-06588-8
  6. ^ Galerie der Beweise, Kunst der Problemlösung, abgerufen 2015-05-28
  7. ^ Galerie der Beweise, USA Mathematische Talentsuche, abgerufen 2015-05-28

Verweise