Beweis durch Widerspruch

Im Logik und Mathematik, Beweis durch Widerspruch ist eine Form von nachweisen das legt die fest Wahrheit oder der Gültigkeit von a Vorschlag, indem man zeigt, dass die Annahme, dass der Satz als falsch ist Widerspruch. Der Beweis durch Widerspruch ist auch als bekannt als Indirekter Beweis, Beweis durch Annahme des Gegenteils, und Reduktion ad Imposbile.^[1]

Prinzip

Der Beweis durch Widerspruch basiert auf dem Gesetz der Nichtkontrollierung so formalisiert wie ein metaphysischer Prinzip durch Aristoteles. Nichtkontrollierung ist auch ein Satz in Aussagelogik. Dies besagt, dass eine Behauptung oder mathematische Aussage nicht sowohl wahr als auch falsch sein kann. Das heißt, ein Vorschlag Q und seine Negation ${\ displayStyle \ lnot}$Q ("nicht-Q") Kann nicht beide wahr sein. In einem Beweis durch Widerspruch wird gezeigt, dass die Verweigerung der Aussage, die sich bewährt wird, zu einem solchen Widerspruch führt. Es hat die Form eines Reduktion ad absurdum Argument und verläuft normalerweise wie folgt:

1. Der zu bewiesene Vorschlag, P, wird als falsch angenommen. Das ist, ${\ displayStyle \ lnot}$P ist wahr.
2. Es wird dann gezeigt, dass ${\ displayStyle \ lnot}$P impliziert zwei gegenseitig widersprüchliche Behauptungen, Q und ${\ displayStyle \ lnot}$Q.
3. Seit Q und ${\ displayStyle \ lnot}$Q kann nicht beide wahr sein, die Annahme, dass P ist falsch muss falsch sein, also P Muss wahr sein.

Der 3. Schritt basiert auf den folgenden möglichen Fällen eines gültigen Arguments P → Q.

• p (t) → q (t), wobei x in p (x) der Wahrheitswert einer Aussage P ist; T für wahr und f für false.
• p (f) → q (t).
• p (f) → q (f).

* Wenn p (t) → q (f), ist p → q eine falsche Aussage.

Beweis durch Widerspruch für Implikationen Taubenlöcher Die drei möglichen Zuordnungen für p und q, wobei P → q in der Negation von ihnen durch Implikationseliminierung zutrifft: P → q == ${\ displayStyle \ lnot}$ p oder q (inklusive oder), und es ist Negation, ${\ displayStyle \ lnot}$ (${\ displayStyle \ lnot}$ p oder q) == p und ${\ displayStyle \ lnot}$ q

Diese Negation ist, was der Beweis durch Widerspruch zu zeigen versucht, nicht wahr zu sein.

Da bei P (f) die Implikation unabhängig vom Wahrheitswert von q mathematisch wahr ist, stellt die Negation der Implikationsausscheidung ein, die bei der Verwendung von Beweisen durch Widerspruch die Implikation aus einem Zustand in Frage stellt, in dem:

• Wenn p und q wahr sind und die Implikation eine Beziehung zwischen P und Q hat, ist P für q oder q ausreichend für P erforderlich.

Es ist mathematisch nicht zu unterscheiden, wann p (f) und (q (t) xor q (f)) und effektiv festgestellt werden: "Wenn P falsch ist, ist die Implikation P → q wahr und es kann kein Anspruch erhoben werden."

• Dies setzt die Wahrheit der P → Q -Implikation für Zustände gleich, in denen "kein Anspruch erhoben werden kann" und/oder "Es gibt eine Beziehung zwischen P und Q".

In eine Position, in der:

• Die Implikation muss beweisen, dass {p (t) → p (f) == p und ${\ displayStyle \ lnot}$ Q} ist unmöglich.

Das heißt, wenn eine negierte angenommene Anweisung über eine gültige Logik möglich ist, ist die angenommene Anweisung (bevor sie negiert wurde) falsch. Diese Tatsache ist der Grund, warum der Beweis durch Widerspruch funktioniert.

Der Beweis durch Widerspruch wird formuliert als $oder {\ text {p}} \ to \ bot}$, wo ${\ displayStyle \ bot}$ ist ein logischer Widerspruch oder a FALSCH Aussage (eine Aussage, welcher Wahrheitswert ist FALSCH). Wenn ${\ displayStyle \ bot}$ ist erreicht von ${\ displayStyle \ lnot}$P über eine gültige Logik dann ${\ displayStyle \ lnot {\ text {p}} \ to \ bot}$ wird als wahr erwiesen, so dass P als wahr erwiesen wird.

Ein Existenzbeweis Im Widerspruch geht davon aus, dass ein Objekt nicht existiert, und beweist dann, dass dies zu einem Widerspruch führen würde; Somit muss ein solches Objekt existieren. Obwohl es in mathematischen Beweisen ziemlich frei verwendet wird, nicht jeder Schule des mathematischen Denkens akzeptiert diese Art von nicht konstruktiver Beweis als universell gültig.

Gesetz der ausgeschlossenen Mitte

Der Beweis durch Widerspruch hängt auch von der ab Gesetz der ausgeschlossenen Mitteauch zuerst von Aristoteles formuliert. Dies besagt, dass entweder eine Behauptung oder ihre Negation wahr sein muss

${\ displayStyle \ forall p \ vdash (p \ lor \ lnot p)}$

(Für alle Vorschläge P, entweder P oder nicht-P ist wahr)

Das heißt, es gibt keinen anderen Wahrheitswert außer "wahr" und "falsch", das ein Vorschlag annehmen kann. In Kombination mit dem Prinzip der Nichtkontrollierung bedeutet dies genau eines von ${\ displayStyle p}$ und ${\ displayStyle \ lnot p}$ ist wahr. Im Beweis durch Widerspruch ermöglicht dies die Schlussfolgerung, dass seit der Möglichkeit der Möglichkeiten von ${\ displayStyle \ lnot p}$ wurde ausgeschlossen, ${\ displayStyle p}$ Muss wahr sein.

Intuitionist Mathematiker akzeptieren das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte nicht und lehnen daher willkürlichen Beweise durch Widerspruch als praktikable Beweistechnik ab. Sie akzeptieren jedoch die folgende Variation, die als "Beweis der Negation" bezeichnet wird.

Wenn der zu bewährte Angebot selbst die Form einer Negation hat ${\ displayStyle \ lnot p}$, ein Beweis durch Widerspruch kann zunächst davon ausgehen ${\ displayStyle p}$ ist wahr und ableiten Sie einen Widerspruch aus dieser Annahme. Daraus folgt, dass die Annahme so falsch war, also ${\ displayStyle p}$ ist falsch. In solchen Fällen muss der Beweis nicht an das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte ein Berufung einlegen.^[2] Ein Beispiel ist das Nachweis der Irrationalität der Quadratwurzel von 2 unten angegeben.

Beziehung zu anderen Beweistechniken

Der Beweis durch Widerspruch ist eng miteinander verbunden mit Beweis durch kontrapositiveund die beiden sind manchmal verwirrt, obwohl sie unterschiedliche Methoden sind. Die Hauptunterscheidung ist, dass ein Beweis durch kontrapositive Beweis nur für Aussagen gilt ${\ displayStyle p}$ das kann in der Form geschrieben werden ${\ displayStyle a \ rightarrow b}$ (d. H. Implikationen), während die Beweistechnik im Widerspruch für Aussagen gilt ${\ displayStyle p}$ jeder Form:

• Beweis durch Widerspruch (allgemein): davon ausgehen ${\ displayStyle \ lnot p}$ wahr sein und einen Widerspruch ableiten.

Dies entspricht im Rahmen von Aussagelogikzur Äquivalenz $oder {\ text {p}} \ to \ bot}$, wo ${\ displayStyle \ bot}$ ist ein logischer Widerspruch oder a FALSCH Aussage (eine Aussage, deren Wahrheitswert ist FALSCH).

Wenn die nachgewiesene Aussage eine Implikation ist ${\ displayStyle a \ rightarrow b}$und dann können die Unterschiede zwischen direkten Beweisen, Beweisen durch kontrapositive und nachweisliche Beweise wie folgt dargelegt werden:

• Direkter Beweis: davon ausgehen ${\ displayStyle a}$ und zeigen ${\ displayStyle B}$.
• Beweis durch kontrapositive: davon ausgehen ${\ displayStyle \ lnot b}$ und zeigen ${\ displayStyle \ lnot a}$.

Dies entspricht der Äquivalenz ${\ displayStyle a \ rightarrow b \ äquiv \ lnot b \ rightarrow \ lnot a}$.

• Beweis durch Widerspruch: davon ausgehen ${\ displayStyle a}$ und ${\ displayStyle \ lnot b}$ und einen Widerspruch ableiten.

Dies entspricht den Äquivalenzen $oder A}} \ kedge \ lnot {\ text {b}} \ rechts) \ äquiv \ lnot \ links ({\ text {a}} \ kedge \ lnot {\ text {b} \ rechde) äquiv \ links ({\ text {a}} \ wedge \ lnot {\ text {b}} \ rechts) \ to \ bot}$.

Beispiele

Irrationalität der Quadratwurzel von 2

Ein klassischer Beweis durch Widerspruch gegen die Mathematik ist die Beweis, dass die Quadratwurzel von 2 irrational ist.^[3] Wenn es wäre rational, es wäre ausdrucksvoll als Bruch a/b in niedrigste Bedingungen, wo a und b sind Ganzzahlenmindestens einer davon ist seltsam. Doch wenn a/b = √2, dann a² = 2b². Deswegen, a² muss gleich sein, und das impliziert das, dass das a ist selbst gerade.

Jetzt weil a/b ist in niedrigsten Begriffen und a ist gerade, b Muss seltsam sein.

Andererseits seitdem a ist dann sogar a² ist ein Vielfaches von 4. wenn a² ist ein Vielfaches von 4 und a² = 2b²dann 2b² ist ein Vielfaches von 4 und daher b² muss gleich sein, was bedeutet, dass das bedeutet b Muss auch sogar sein.

Also wenn a ist gerade, b ist sowohl seltsam als auch gleichmäßig, was ein Widerspruch ist. Daher die anfängliche Annahme - das √2 kann als Bruch ausgedrückt werden - kann falsch sein.^[4]

Die Länge der Hypotenuse

Die Beweismethode im Widerspruch wurde auch verwendet, um dies für jeden zu zeigen nicht entengter rechtwinkliges DreieckDie Länge der Hypotenuse ist geringer als die Summe der Längen der beiden verbleibenden Seiten.^[5] Indem man c die Länge der Hypotenuse sein und a und b Seien Sie die Längen der Beine, man kann den Anspruch auch prägnanter ausdrücken als a+b>c. In diesem Fall kann ein Beweis durch Widersprüche gemacht werden Satz des Pythagoras.

Erstens wird die Behauptung negiert, um dies anzunehmen a+b≤c. In diesem Fall würde das Quadrieren beide Seiten das ergeben ((a+b)²≤c², oder gleichwertig, a²+2ab+b²≤c². Ein Dreieck ist nicht entenkt a und b sind größer als 0. Daher, a²+b²<a²+2ab+b²≤c², und die transitive Beziehung kann weiter reduziert werden zu a²+b²<c².

Andererseits ist es auch aus dem pythagoräischen Theorem bekannt, das a²+b²=c². Dies würde zu einem Widerspruch führen, da strikte Ungleichheit und Gleichheit sind gegenseitig exklusiv. Der Widerspruch bedeutet, dass es unmöglich ist, dass beide wahr sind, und es ist bekannt, dass der pythagoräische Satz gilt. Daraus folgt, dass die Annahme a+b≤c muss falsch sein und daher a+b>cden Anspruch beweisen.

NEINMindest positive rationale Zahl

Betrachten Sie den Satz, P: "Es gibt keine kleinste rationale Zahl größer als 0". In einem Beweis durch Widerspruch beginnen wir zunächst das Gegenteil, ¬P: das da ist eine kleinste rationale Zahl, sagen wir, sagen,r.

Jetzt, r/2 ist eine rationale Zahl von größer als 0 und kleiner als r. Aber das widerspricht der Annahme, dass das r war das kleinste rationale Nummer (wenn "r ist die kleinste rationale Zahl "waren" Q, dann Man kann schließen "r/2 ist eine rationale Zahl kleiner als r"Das ¬Q.) Dieser Widerspruch zeigt, dass der ursprüngliche Satz, P, muss wahr sein. Das heißt, "es gibt keine kleinste rationale Zahl größer als 0".

Sonstiges

Für andere Beispiele siehe Beweis, dass die Quadratwurzel von 2 nicht rational ist (wo indirekte Beweise von der einen unterscheiden Oben kann gefunden werden) und Cantors diagonales Argument.

Notation

Beweise im Widerspruch enden manchmal mit dem Wort "Widerspruch!". Isaac Barrow und Baermann verwendete die Notation Q.E.A., für "Quod est absurdum"(" Was ist absurd "), nach der Sicht von Q.E.D.Aber diese Notation wird heute selten verwendet.^[6] Ein grafisches Symbol, das manchmal für Widersprüche verwendet wird, ist ein Downward -Zick -Zack -Pfeil "Blitz" -Symbol (U+21AF: ↯), zum Beispiel in Davey und Priestley.^[7] Andere werden manchmal ein Paar eingehalten Gegenteilige Pfeile (wie ${\ displayStyle \ rightarrow \! \ Leftarrow}$ oder ${\ displayStyle \ rightarrow \! \ Leftarrow}$), geschlagene Pfeile (${\ displayStyle \ nleftrightarrow}$), eine stilisierte Form von Hash (wie u+2a33: ⨳) oder die "Referenzmarke" (u+203b: ※) oder oder ${\ displayStyle \ Times \! \! \! \! \ Times}$.^[8][9]

Explosionsprinzip

Eine merkwürdige logische Folge des Prinzips des Nicht-Widerspruchs ist, dass ein Widerspruch eine Aussage impliziert; Wenn ein Widerspruch als wahr angenommen wird, kann jeder Satz (einschließlich seiner Negation) daraus bewiesen werden.^[10] Dies ist als die bekannt Explosionsprinzip (Latein: ex falso quodlibet, "aus einer Lüge, irgendetwas folgt]" oder ex contradictione sequitur quodlibet, "Aus einem Widerspruch folgt alles") oder das Prinzip des Pseudo-Scotus.

${\ displaystyle \ forall q: (p \ land \ lnot p) \ rightarrow q}$

(Für alle q, p und nicht p impliziert q)

Somit ein Widerspruch in a formales axiomatisches System ist katastrophal; Da sich ein Satz als wahr erwiesen werden kann, zerstört es die konventionelle Bedeutung von Wahrheit und Falschheit.

Die Entdeckung von Widersprüchen bei den Grundlagen der Mathematik zu Beginn des 20. Jahrhunderts, wie z. Russells Paradox, bedrohte die gesamte Struktur der Mathematik aufgrund des Explosionsprinzips. Dies motivierte im 20. Jahrhundert viel Arbeit, konsistente axiomatische Systeme zu schaffen, um eine logische Untermauerung für die Mathematik zu bieten. Dies hat auch einige Philosophen veranlasst, wie z. Newton da Costa, Walter Carnielli und Graham Priest das Prinzip des Nicht-Widerspruchs abzulehnen und Theorien wie z. Paraconsistente Logik und Dialethismus, was akzeptiert, dass es Aussagen gibt, die sowohl wahr als auch falsch sind.^[11]

Hardys Ansicht

G. H. Hardy beschriebener Beweis durch Widerspruch als "eine der besten Waffen eines Mathematikers", die sagt: "Es ist ein weitaus feineres Spiel als jeder andere Schachspiel: Ein Schachspieler kann das Opfer eines Bauern oder sogar eines Stücks anbieten, aber ein Mathematiker bietet das Spiel an. "^[12]

Siehe auch

• Gesetz der ausgeschlossenen Mitte
• Gesetz der Nichtkontrollierung
• Beweis durch Erschöpfung
• Beweis durch unendliche Abstammung, eine Form des Beweises durch Widerspruch

Verweise

Weitere Lesen und externe Links

• Franklin, James; Daoud, Albert (2011). Beweis in der Mathematik: Eine Einführung. Kapitel 6: Kew. ISBN 978-0-646-54509-7.{{}}: CS1 Wartung: Standort (Link)
• Beweis durch Widerspruch von Larry W. Cusicks Wie man Beweise schreibt
• Reduktion ad absurdum Internet -Enzyklopädie der Philosophie; ISSN 2161-0002