Primzahl

Zusammengesetzte Zahlen kann angeordnet werden in Rechtecke Aber Primzahlen können nicht

A Primzahl (oder ein Prime) ist ein natürliche Zahl größer als 1, das ist nicht a Produkt von zwei kleineren natürlichen Zahlen. Eine natürliche Zahl größer als 1, die nicht primär ist zusammengesetzte Zahl. Zum Beispiel ist 5 Prime, weil die einzigen Möglichkeiten, es als Produkt zu schreiben, 1 × 5 oder 5 × 1, betreffen 5 selbst. 4 ist jedoch zusammengesetzt, weil es sich um ein Produkt handelt (2 × 2) in denen beide Zahlen kleiner als 4 sind. Primzahlen sind zentral in Zahlentheorie wegen dem Grundsatz der Arithmetik: Jede natürliche Zahl größer als 1 ist entweder eine Primzahl selbst oder kann sein faktorisiert Als Produkt von Primzahlen ist das einzigartig bis zu ihre Bestellung.

Die Eigenschaft, Prime zu sein, heißt Primalität. Eine einfache, aber langsame Methode zur Überprüfung der Primalität einer bestimmten Zahl ${\ displayStyle n}$, genannt Versuchsabteilung, testet ob ${\ displayStyle n}$ ist ein Vielfaches aller Ganzzahl zwischen 2 und ${\ displayStyle {\ sqrt {n}}}$. Zu den schnelleren Algorithmen gehören die Miller -Rabin -Primalitätstest, was schnell ist, aber eine kleine Fehlerchance hat, und die ASS -Primalitätstest, was immer die korrekte Antwort in erzeugt Polynomzeit Aber ist zu langsam, um praktisch zu sein. Besonders schnelle Methoden sind für die Anzahl von speziellen Formen verfügbar, wie z. Mersenne Zahlen. Ab Dezember 2018^{[aktualisieren]} das größte bekannte Primzahl ist ein Mersenne Prime mit 24.862.048 Dezimalziffern.^[1]

Es gibt unendlich viele Primzahlen, wie durch Euklid demonstriert ca. 300 v. Chr. Keine bekannte einfache Formel trennt Primzahlen von zusammengesetzten Zahlen. Die Verteilung der Primzahlen innerhalb der natürlichen Zahlen im großen kann jedoch statistisch modelliert werden. Das erste Ergebnis in dieser Richtung ist das Primzahl Theorem, bewirtschaftet am Ende des 19. Jahrhunderts, was besagt, dass die Wahrscheinlichkeit von einer zufällig ausgewählten großen Anzahl ist umgekehrt die Prime, die umgekehrt ist proportional zu seiner Anzahl von Ziffern, dh zu seiner Logarithmus.

Mehrere historische Fragen zu Primzahlen sind immer noch ungelöst. Diese beinhalten Goldbachs Vermutung, dass jede gleichmäßige Ganzzahl größer als 2 als Summe von zwei Primzahlen ausgedrückt werden kann Twin Prime Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die nur eine gleiche Zahl zwischen sich haben. Solche Fragen haben die Entwicklung verschiedener Zweige der Zahlentheorie ausgelöst, die sich darauf konzentrieren analytisch oder algebraisch Aspekte der Zahlen. Primzahlen werden in mehreren Routinen in verwendet Informationstechnologie, wie zum Beispiel Kryptographie der Öffentlichkeit, was auf der Schwierigkeit von stützt Factoring große Zahlen in ihre Hauptfaktoren. Im Zusammenfassung Algebra, Objekte, die verallgemeinerte Weise wie Primzahlen verhalten Hauptelemente und Hauptideale.

Definition und Beispiele

A natürliche Zahl (1, 2, 3, 4, 5, 6 usw.) wird a genannt Primzahl (oder ein Prime) Wenn es größer als 1 ist und nicht als Produkt von zwei kleineren natürlichen Zahlen geschrieben werden kann. Die Zahlen größer als 1, die nicht primär sind Zusammengesetzte Zahlen.^[2] Mit anderen Worten, ${\ displayStyle n}$ ist Prime wenn ${\ displayStyle n}$ Elemente können nicht in kleinere gleichen Gruppen von mehr als einem Element unterteilt werden.^[3] oder wenn es nicht möglich ist zu arrangieren ${\ displayStyle n}$ Punkte in ein rechteckiges Netz, das mehr als ein Punkt breit und mehr als ein Punkt hoch ist.^[4] Zum Beispiel sind die Zahlen 1 bis 6 die Zahlen 2, 3 und 5 die Primzahlen.^[5] da es keine anderen Zahlen gibt, die sie gleichmäßig teilen (ohne Rest). 1 ist nicht primär, da es speziell in der Definition ausgeschlossen ist. 4 = 2 × 2 und 6 = 2 × 3 sind beide zusammengesetzt.

Demonstration, mit Cuisenaire -Stangen, diese 7 ist Prime, weil keines von 2, 3, 4, 5 oder 6 ihn gleichmäßig aufteilt

Das Divisors von einer natürlichen Zahl ${\ displayStyle n}$ sind die natürlichen Zahlen, die sich teilen ${\ displayStyle n}$ gleichmäßig. Jede natürliche Zahl hat sowohl 1 als auch sich selbst als Divisor. Wenn es einen anderen Divisor hat, kann es nicht erstklassig sein. Diese Idee führt zu einer anderen, aber äquivalenten Definition der Primzahlen: Sie sind die Zahlen mit genau zwei positiven Divisors, 1 und die Zahl selbst.^[6] Eine andere Möglichkeit, dasselbe auszudrücken, ist, dass eine Zahl ${\ displayStyle n}$ ist primär, wenn es größer als eins ist und wenn keine der Zahlen ${\ displayStyle 2,3, \ dots, n-1}$ teilt ${\ displayStyle n}$ gleichmäßig.^[7]

Die ersten 25 Primzahlen (alle Primzahlen von weniger als 100) sind:^[8]

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 (Reihenfolge A000040 in dem Oeis).

Nein gerade Zahl ${\ displayStyle n}$ größer als 2 ist Prime, da eine solche Zahl als Produkt ausgedrückt werden kann ${\ displayStyle 2 \ Times n/2}$. Daher ist jede andere Primzahl als 2 ein ungerade Zahlund wird als eine genannt Seltsame Prime.^[9] In ähnlicher Weise, wenn es in den üblichen geschrieben wurde Dezimal System, alle Primzahlen größer als 5 Ende in 1, 3, 7 oder 9. Die Zahlen, die mit anderen Ziffern enden Zahlen, die in 0 oder 5 enden, sind durch 5 teilbar.^[10]

Das einstellen von allen Primzahlen wird manchmal durch bezeichnet ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ (a Fettdruck Hauptstadt P)^[11] oder von ${\ displaystyle \ mathbb {p}}$ (a Blackboard fett Kapital p).^[12]

Geschichte

Das Rhind Mathematical Papyrus

Das Rhind Mathematical Papyrus, ab ca. 1550 v. Chr., hat Ägyptische Fraktion Erweiterungen verschiedener Formen für Prim- und Verbundzahlen.^[13] Die frühesten überlebenden Aufzeichnungen der explizite Studie über Primzahlen stammen jedoch aus Alte griechische Mathematik. Euklid's Elemente (c. 300 v. Chr.) beweist das Unendlichkeit der Primzahlen und die Grundsatz der Arithmetikund zeigt, wie man a Perfekte Zahl von einem Mersenne Prime.^[14] Eine andere griechische Erfindung, die Sieb von Eratosthenes, wird immer noch verwendet, um Listen von Primzahlen zu konstruieren.^[15][16]

Rund 1000 n. Chr., Die islamisch Mathematiker Ibn al-Haytham (Alhazen) gefunden Wilsons Theoremcharakterisieren die Primzahlen als Zahlen ${\ displayStyle n}$ Das teilt gleichmäßig ${\ displayStyle (n-1)!+1}$. Er vermutete auch, dass alle sogar perfekten Zahlen aus Euklids Konstruktion mit Mersenne -Primzahlen stammen, konnte dies aber nicht beweisen.^[17] Ein anderer islamischer Mathematiker, Ibn al-Banna 'al-Marrakushibeobachtete, dass das Sieb von Eratosthenen durch Testen der Divisors bis zur Quadratwurzel der größten Anzahl zu testen ist. Fibonacci brachte die Innovationen aus der islamischen Mathematik zurück nach Europa. Sein Buch Liber Abaci (1202) war der erste, der beschrieben wurde Versuchsabteilung Zum Testen der Primalität wiederum nur bis zur Quadratwurzel.^[16]

1640 Pierre de Fermat angegeben (ohne Beweis) Fermats kleiner Theorem (später bewiesen von Leibniz und Euler).^[18] Fermat untersuchte auch die Primalität der Fermat -Zahlen ${\ displayStyle 2^{2^{n}}+1}$,^[19] und Marin Mersenne studierte die Mersenne Primes, Primzahl der Form ${\ displayStyle 2^{p} -1}$ mit ${\ displayStyle p}$ selbst eine Prime.^[20] Christian Goldbach formuliert Goldbachs Vermutung, dass jede gleichmäßige Zahl die Summe von zwei Primzahlen in einem Buchstaben von 1742 an Euler ist.^[21] Euler bewies Alhazens Vermutung (jetzt die Euklid -Euler -Theorem) dass alle sogar perfekten Zahlen aus Mersenne -Primzahlen konstruiert werden können.^[14] Er führte Methoden aus Mathematische Analyse In seinen Beweisen der Unendlichkeit der Primzahlen und der Abweichung der Summe der Reziprokale der Primzahlen $oder {1} {11}}+\ cdots}$.^[22] Zu Beginn des 19. Jahrhunderts vermuteten Legendre und Gauß das als ${\ displayStyle x}$ tendiert zur Unendlichkeit, die Anzahl der Primzahlen bis zu ${\ displayStyle x}$ ist asymptotisch zu ${\ displayStyle x/\ log x}$, wo ${\ displayStyle \ log x}$ ist der Natürlicher Logarithmus von ${\ displayStyle x}$. Eine schwächere Folge dieser hohen Dichte von Primzahlen war Bertrands Postulatdas für jeden ${\ displayStyle n> 1}$ Es gibt eine Primzahl dazwischen ${\ displayStyle n}$ und ${\ displayStyle 2n}$, 1852 nachgewiesen von Pafnuty Chebyshev.^[23] Ideen von Bernhard Riemann in seinem 1859 Papier über die Zeta-Funktion skizzierte einen Umriss, um die Vermutung von Legendre und Gauss zu beweisen. Obwohl die eng verwandten Riemann -Hypothese bleibt unbewiesen, Riemanns Umriss wurde 1896 von abgeschlossen von Hadamard und de la Vallée Poussinund das Ergebnis ist jetzt als das bekannt Primzahl Theorem.^[24] Ein weiteres wichtiges Ergebnis des 19. Jahrhunderts war Dirichlets Theorem über arithmetische Fortschritte, das sicher Arithmetische Fortschritte enthalten unendlich viele Primzahlen.^[25]

Viele Mathematiker haben daran gearbeitet Primalitätstests Für Zahlen, die größer sind als solche, bei denen die Versuchsaufteilung praktisch anwendbar ist. Methoden, die auf bestimmte Zahlenformulare beschränkt sind Pépins Test für Fermat -Zahlen (1877),^[26] Prothes Theorem (c. 1878),^[27] das Lucas -Lehmer -Primalitätstest (Ursprung von 1856) und die verallgemeinerten Lucas -Primalitätstest.^[16]

Seit 1951 alle größte bekannte Primzahlen wurden mit diesen Tests auf gefunden Computers.^[a] Die Suche nach immer größeren Primzahlen hat außerhalb mathematischer Kreise durch die Interesse geweckt Tolle Internet -Mersenne -Prime -Suche und andere verteiltes Computer Projekte.^[8][29] Die Idee, dass Primzahlen nur wenige Anwendungen außerhalb von hatten reine Mathematik^[b] wurde in den 1970er Jahren zerbrochen, als Kryptographie der Öffentlichkeit und die RSA Cryptosystem wurde erfunden, wobei Primzahlen als Grundlage verwendet wurden.^[32]

Die erhöhte praktische Bedeutung von computergestützten Primalitätstests und Faktorisierung führte zur Entwicklung verbesserter Methoden, mit denen eine große Anzahl von uneingeschränkten Form behandelt wurde.^[15][33][34] Die mathematische Theorie der Primzahlen hat sich ebenfalls mit dem vorwärts gebracht Grün -tao -Theorem (2004), dass es willkürlich lange arithmetische Fortschritte von Primzahlen gibt, und Yitang ZhangDer Beweis für 2013, dass es unendlich viele gibt Hauptlücken von begrenzter Größe.^[35]

Primalität eines

Die meisten frühen Griechen betrachteten 1 nicht einmal eine Zahl,^[36][37] Sie konnten also ihre Primalität nicht berücksichtigen. Ein paar Wissenschaftler in der griechischen und späteren römischen Tradition, einschließlich Nicomachus, Iambllichus, Boethius, und Cassiodorus Es betrachtete auch die Primzahlen als eine Unterteilung der ungeraden Zahlen, daher betrachteten sie auch keine Primzahl. Euklid und die Mehrheit der anderen griechischen Mathematiker betrachteten jedoch 2 als Prime. Das Mittelalterliche islamische Mathematiker Die Griechen folgten weitgehend, als sie 1 als keine Zahl betrachteten.^[36] Im Mittelalter und Renaissance begannen die Mathematiker, 1 als eine Zahl zu behandeln, und einige von ihnen nahmen sie als erste Primzahl ein.^[38] Mitte des 18. Jahrhunderts Christian Goldbach 1 als Prime in seiner Korrespondenz mit aufgeführt Leonhard Euler; Euler selbst betrachtete 1 jedoch nicht als Primes.^[39] Im 19. Jahrhundert betrachteten viele Mathematiker immer noch 1 als Prime,^[40] und Listen von Primzahlen, die 1 umfassten, wurde noch 1956 veröffentlicht.^[41][42]

Wenn die Definition einer Primzahl geändert würde, um 1 als Primzahl zu bezeichnen, müssten viele Aussagen mit Primzahlen auf unangenehmere Weise neu formuliert werden. Zum Beispiel müsste der grundlegende Theorem der Arithmetik in Bezug auf Faktorisierungen in Primzahlen größer als 1 umformuliert werden, da jede Zahl mehrere Faktorisierungen mit unterschiedlicher Anzahl von Kopien von 1 aufweist.^[40] Ebenso das Sieb von Eratosthenes Würde nicht richtig funktionieren, wenn es 1 als Primzahl bearbeitet, da es alle Vielfachen von 1 (dh alle anderen Zahlen) beseitigen und nur die Einzelzahl 1 ausgeben würde.^[42] Einige weitere technische Eigenschaften von Primzahlen halten auch nicht für die Zahl 1: Beispielsweise die Formeln für Eulers Totient -Funktion oder für die Summe der Divisors funktionieren sind unterschiedlich für Primzahlen als für 1.^[43] Bis zum frühen 20. Jahrhundert stimmten die Mathematiker zu, dass ich nicht als Prime aufgeführt werden sollte, sondern in seiner eigenen Sonderkategorie als "als" als "als" als eine "Einheit".^[40]

Elementareigenschaften

Einzigartige Faktorisierung

Das Schreiben einer Zahl als Produkt von Primzahlen wird als a genannt Primfaktorisierung der Zahl. Zum Beispiel:

$oder$

Die Begriffe im Produkt werden genannt Hauptfaktoren. Der gleiche Primfaktor kann mehr als einmal auftreten; Dieses Beispiel enthält zwei Kopien des Primemaktors ${\ displayStyle 3.}$ Wenn eine Primzahl mehrmals auftritt, Exponentiation kann verwendet werden, um mehrere Kopien derselben Primzahl zu gruppieren: Zum Beispiel in der zweiten Art, das Produkt oben zu schreiben, ${\ displayStyle 3^{2}}$ bezeichnet die Quadrat oder zweite Kraft von ${\ displayStyle 3.}$

Die zentrale Bedeutung von Primzahlen für die Zahlentheorie und die Mathematik im Allgemeinen beruht auf dem Grundsatz der Arithmetik.^[44] Dieser Satz besagt, dass jede Ganzzahl größer als 1 als Produkt eines oder mehrerer Primzahlen geschrieben werden kann. Besseres ist dieses Produkt in dem Sinne eindeutig, dass zwei beliebige Primfaktorisierungen derselben Zahl die gleiche Anzahl von Kopien der gleichen Primzahlen haben, obwohl sich ihre Ordnung unterscheiden kann.^[45] Obwohl es viele verschiedene Möglichkeiten gibt, eine Faktorisierung mit einem zu finden Ganzzahlfaktorisierung Algorithmus müssen alle das gleiche Ergebnis erzielen. Primzahlen können daher als "grundlegende Bausteine" der natürlichen Zahlen betrachtet werden.^[46]

Einige Beweise für die Einzigartigkeit der Primemagnungen basieren auf Euclids Lemma: Wenn ${\ displayStyle p}$ ist eine Primzahl und ${\ displayStyle p}$ ein Produkt teilt ${\ displayStyle ab}$ von Ganzzahlen ${\ displayStyle a}$ und ${\ displayStyle B,}$ dann ${\ displayStyle p}$ teilt ${\ displayStyle a}$ oder ${\ displayStyle p}$ teilt ${\ displayStyle B}$ (oder beides).^[47] Umgekehrt, wenn eine Zahl ${\ displayStyle p}$ hat die Eigenschaft, die, wenn es ein Produkt teilt, immer mindestens einen Faktor des Produkts teilt, dann ${\ displayStyle p}$ Muss Prime sein.^[48]

Unendlichkeit

Es gibt unendlich viele Primzahlen. Eine andere Möglichkeit zu sagen, dass die Sequenz

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

von Primzahlen endet nie. Diese Aussage wird als bezeichnet als Euklids Satz zu Ehren des alten griechischen Mathematikers EuklidDa der erste bekannte Beweis für diese Aussage ihm zugeschrieben wird. Es sind viele weitere Beweise für die Unendlichkeit der Primzahlen bekannt, einschließlich eines analytisch Beweis von Euler, Goldbachs nachweisen bezogen auf Fermat -Zahlen,^[49] Furstenberg Beweis mit allgemeiner Topologie,^[50] und Kummers eleganter Beweis.^[51]

Euclids Beweis^[52] zeigt das alles Endliche Liste von Primzahlen ist unvollständig. Die Schlüsselidee besteht darin, die Primzahlen in einer bestimmten Liste zusammenzunehmen und hinzuzufügen und hinzuzufügen ${\ displayStyle 1.}$ Wenn die Liste aus den Primzahlen besteht ${\ displayStyle p_ {1}, p_ {2}, \ ldots, p_ {n},},},}$ Dies gibt die Nummer

${\ displayStyle n = 1+p_ {1} \ cdot p_ {2} \ cdots p_ {n}.}$

Durch den grundlegenden Satz, ${\ displayStyle n}$ hat eine Primfaktorisierung

${\ displayStyle n = p '_ {1} \ cdot p' _ {2} \ cdots p '_ {m}}$

mit einem oder mehreren Primfaktoren. ${\ displayStyle n}$ ist durch jeden dieser Faktoren gleichmäßig teilbar, aber ${\ displayStyle n}$ hat einen Rest von einem, wenn er durch eine der Primzahlen in der angegebenen Liste geteilt wird, also keiner der Primfaktoren von ${\ displayStyle n}$ kann in der angegebenen Liste sein. Da es keine endliche Liste aller Primzahlen gibt, muss es unendlich viele Primzahlen geben.

Die Zahlen, die durch Hinzufügen einer zu den Produkten der kleinsten Primzahlen gebildet werden, werden genannt Euklidzahlen.^[53] Die ersten fünf von ihnen sind erstklassig, aber der sechste,

$oder$

ist eine zusammengesetzte Nummer.

Formeln für Primzahlen

Es ist keine effiziente Formel für Primzahlen bekannt. Zum Beispiel gibt es keinen nicht konstanten Polynomselbst in mehreren Variablen dauert das nur Hauptwerte.^[54] Es gibt jedoch zahlreiche Ausdrücke, die alle Primzahlen oder nur Primzahlen kodieren. Eine mögliche Formel basiert auf Wilsons Theorem und erzeugt die Nummer 2 viele Male und alle anderen Primzahlen genau einmal.^[55] Es gibt auch einen Satz von Diophantinengleichungen In neun Variablen und einem Parameter mit der folgenden Eigenschaft: Der Parameter ist nur dann der Grund, wenn das resultierende Gleichungssystem eine Lösung über die natürlichen Zahlen hat. Dies kann verwendet werden, um eine einzelne Formel mit der Eigenschaft zu erhalten, dass alle ihre positiv Werte sind Primzahl.^[54]

Andere Beispiele für Prime-generierende Formeln stammen aus Mills 'Theorem und ein Satz von Wright. Diese behaupten, dass es echte Konstanten gibt ${\ displayStyle a> 1}$ und ${\ displayStyle \ mu}$ so dass

$oder \ right \ rfloor}$

sind erstklassig für jede natürliche Zahl ${\ displayStyle n}$ in der ersten Formel und einer beliebigen Anzahl von Exponenten in der zweiten Formel.^[56] Hier ${\ displayStyle \ lfloor {} \ cdot {} \ rfloor}$ repräsentiert die Bodenfunktion, die größte Ganzzahl, die weniger als oder gleich der fraglichen Zahl ist. Diese sind jedoch nicht nützlich, um Primzahlen zu erzeugen, da die Primzahlen zuerst generiert werden müssen, um die Werte von zu berechnen ${\ displayStyle a}$ oder ${\ displayStyle \ mu.}$^[54]

Offene Fragen

Viele Vermutungen, die sich um Primzahlen drehen, wurden gestellt. Oft haben viele dieser Vermutungen eine elementare Formulierung, die jahrzehntelang beachteten: alle vier von Landaus Probleme ab 1912 sind immer noch ungelöst.^[57] Einer von ihnen ist Goldbachs Vermutung, was behauptet, dass jede gleichmäßige Ganzzahl ${\ displayStyle n}$ Mehr als 2 können als Summe von zwei Primzahlen geschrieben werden.^[58] Ab 2014^{[aktualisieren]}Diese Vermutung wurde für alle Zahlen bis nach überprüft ${\ displayStyle n = 4 \ cdot 10^{18}.}$^[59] Schwächere Aussagen als dies wurden zum Beispiel nachgewiesen, Vinogradovs Satz sagt, dass jede ausreichend große, ungerade Ganzzahl als Summe von drei Primzahlen geschrieben werden kann.^[60] Chens Theorem sagt, dass jede ausreichend große gleichmäßige Zahl als Summe eines Primes und a ausgedrückt werden kann Semiprime (das Produkt von zwei Primzahlen).^[61] Außerdem kann jede sogar Ganzzahl von mehr als 10 als Summe von sechs Primzahlen geschrieben werden.^[62] Der Zweig der Zahlentheorie, der solche Fragen untersucht Additivzahl Theorie.^[63]

Eine andere Art von Problembedenken Hauptlückendie Unterschiede zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen. Die Existenz von willkürlich großen Prime -Lücken kann erkennen, indem festgestellt wird, dass die Sequenz ${\ displayStyle n!+2, n! +3, \ dots, n!+n}$ besteht aus ${\ displayStyle n-1}$ zusammengesetzte Zahlen für jede natürliche Zahl ${\ displayStyle n.}$^[64] Es treten jedoch viel früher vor, als dieses Argument zeigt.^[65] Zum Beispiel liegt der erste Prime -Lücken von Länge 8 zwischen den Primzahlen 89 und 97,^[66] viel kleiner als ${\ displayStyle 8! = 40320.}$ Es wird vermutet, dass es unendlich viele gibt Zwillingszeiten, Paare von Primzahlen mit Differenz 2; Dies ist das Zwillings -Prime -Vermutung. Polignacs Vermutung Staaten im Allgemeinen das für jede positive Ganzzahl ${\ displayStyle k,}$ Es gibt unendlich viele Paare von aufeinanderfolgenden Primzahlen, die sich unterscheiden ${\ displayStyle 2K.}$^[67] Andricas Vermutung,^[67] Brocards Vermutung,^[68] Vermutung von Legendre,^[69] und Oppermann's conjecture^[68] Alle legen nahe, dass die größten Lücken zwischen Primzahlen von ${\ displayStyle 1}$ zu ${\ displayStyle n}$ sollte höchstens ungefähr sein ${\ displayStyle {\ sqrt {n}},},}$ Ein Ergebnis, von dem bekannt ist, dass es aus der Riemann -Hypothese folgt, während die viel stärker Cramér -Vermutung legt die größte Lückengröße bei ${\ displayStyle o ((\ log n)^{2}).}$^[67] Hauptlücken können auf verallgemeinert werden Prime ${\ displayStyle K}$-Tupel, Muster in den Unterschieden zwischen mehr als zwei Primzahlen. Ihre Unendlichkeit und Dichte sind Gegenstand der Erste Hardy -Littlewood -Vermutung, was durch die motiviert werden kann Heuristik dass sich die Primzahlen ähnlich wie eine zufällige Abfolge von Zahlen mit Dichte des Primzahl -Theorems verhalten.^[70]

Analytische Eigenschaften

Analytische Zahlentheorie Studienzahl Theorie durch die Linse von kontinuierliche Funktionen, Grenzen, unendliche Serieund die damit verbundene Mathematik des Unendlichen und infinitesimal.

Dieser Studienbereich begann mit Leonhard Euler und sein erstes großes Ergebnis, die Lösung für die Baselproblem. Das Problem forderte nach dem Wert der unendlichen Summe $oder$ Was heute als Wert anerkannt werden kann ${\ displayStyle \ zeta (2)}$ des Riemann Zeta -Funktion. Diese Funktion ist eng mit den Primzahlen verbunden und mit einem der bedeutendsten ungelösten Probleme in der Mathematik, die Riemann -Hypothese. Euler zeigte das ${\ displayStyle \ zeta (2) = \ pi ^{2}/6}$.^[71] Der gegenseitige gegen diese nummer, ${\ displayStyle 6/\ pi ^{2}}$, ist die begrenzende Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällige Zahlen gleichmäßig aus einem großen Bereich ausgewählt wurden relativ primär (haben keine gemeinsamen Faktoren).^[72]

Die Verteilung der Primzahlen im großen, wie die Frage, wie viele Primzahlen kleiner sind als ein gegebener großer Schwellenwert, wird von der beschrieben Primzahl Theorem, aber keine effiziente Formel für die ${\ displayStyle n}$-D -Primzahl ist bekannt.Dirichlets Theorem über arithmetische Fortschrittebehauptet in seiner Grundform, dass lineare Polynome

${\ displayStyle p (n) = a+bn}$

mit relativ erstklassigen Ganzzahlen ${\ displayStyle a}$ und ${\ displayStyle B}$ Nehmen Sie unendlich viele Hauptwerte. Stärkere Formen des Satzes geben an, dass die Summe der Reziprokale dieser Primwerte abweicht und dass verschiedene lineare Polynome mit demselben ${\ displayStyle B}$ haben ungefähr die gleichen Proportionen von Primzahlen. Obwohl Vermutungen über die Anteile von Primzahlen in Polynomen höherer Grades formuliert wurden, bleiben sie nicht bewiesen, und es ist nicht bekannt, ob es ein quadratisches Polynom gibt, das (für ganzzahlige Argumente) unendlich häufig ist.

Analytischer Beweis für den Theorem von Euklid

Eulers Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt betrachtet die Summen von Reziprokale von Primzahlen,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots + {\ frac {1} {p}}.}$

Euler zeigte, dass für jeden willkürlichen reelle Zahl ${\ displayStyle x}$, es gibt eine Prime ${\ displayStyle p}$ für die diese Summe größer ist als ${\ displayStyle x}$.^[73] Dies zeigt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, denn wenn es endlich viele Primzahlen gäbe ${\ displayStyle x}$. Die Wachstumsrate dieser Summe wird genauer beschrieben durch Mertens 'zweiter Satz.^[74] Zum Vergleich die Summe

${\ displayStyle {\ frac {1} {1^{2}}}+{\ frac {1} {2^{2}}}+{\ frac {1} {3^{2}}}}+\ codots +{\ frac {1} {n^{2}}}}$

wächst nicht in Unendlichkeit als ${\ displayStyle n}$ geht in unendlich (siehe das Baselproblem). In diesem Sinne treten Primzahlen häufiger als Quadrate natürlicher Zahlen auf, obwohl beide Sätze unendlich sind.^[75] Bruns Theorem gibt an, dass die Summe der Reziprokale von ZwillingszeitenAnwesend

$oder FRAC {1} {7}}} \ rechts)+\ links ({{\ frac {1} {11}}+{\ frac {1} {13}}} \ rechts)+\ cdots,}}$

ist endlich. Aufgrund des Satzes von Brun ist es nicht möglich, die Methode von Euler zu verwenden, um die zu lösen Zwillings -Prime -Vermutung, dass es unendlich viele Zwillingsprimzahlen gibt.^[75]

Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze

Das relativer Fehler von ${\ displayStyle {\ tfrac {n} {\ log n}}}$ und das logarithmische Integral ${\ displayStyle \ operatorname {li} (n)}$ als Annäherungen an die Prime-Counting-Funktion. Beide relativen Fehler nehmen auf Null ab als ${\ displayStyle n}$ Wächst, aber die Konvergenz zu Null ist für das logarithmische Integral viel schneller.

Das Prime-Counting-Funktion ${\ displayStyle \ pi (n)}$ ist definiert als die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als ${\ displayStyle n}$.^[76] Zum Beispiel, ${\ displayStyle \ pi (11) = 5}$, da es fünf Primzahlen weniger als oder gleich 11 gibt. Methoden wie die Meissel -Lehmer -Algorithmus kann genaue Werte von berechnen ${\ displayStyle \ pi (n)}$ schneller als es möglich wäre, jede Prime aufzulisten, bis ${\ displayStyle n}$.^[77] Das Primzahl Theorem besagt, dass ${\ displayStyle \ pi (n)}$ ist asymptotisch zu ${\ displayStyle n/\ log n}$, was als bezeichnet als als

${\ displayStyle \ pi (n) \ sim {\ frac {n} {\ log n}},},},},}$

und bedeutet, dass das Verhältnis von ${\ displayStyle \ pi (n)}$ zur rechten Bruch Ansätze 1 as ${\ displayStyle n}$ wächst bis unendlich.^[78] Dies impliziert, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Zahl weniger als ${\ displayStyle n}$ ist Prime (ungefähr) umgekehrt proportional zur Anzahl der Ziffern in ${\ displayStyle n}$.^[79] Es impliziert auch, dass die ${\ displayStyle n}$Die Primzahl ist proportional zu ${\ displayStyle n \ log n}$^[80] und deshalb, dass die durchschnittliche Größe einer Prime -Lücke proportional ist ${\ displayStyle \ log n}$.^[65] Eine genauere Schätzung für ${\ displayStyle \ pi (n)}$ wird von der gegeben Offset Logarithmic Integral^[78]

$oder$

Arithmetische Fortschritte

Ein arithmetischer Fortschritt ist eine endliche oder unendliche Folge von Zahlen, so dass aufeinanderfolgende Zahlen in der Sequenz alle den gleichen Unterschied haben.^[81] Dieser Unterschied wird als die genannt Modul des Fortschreitens.^[82] Zum Beispiel,

3, 12, 21, 30, 39, ...,

ist ein unendliches arithmetisches Fortschreiten mit Modul 9. In einer arithmetischen Progression haben alle Zahlen den gleichen Rest, wenn sie durch den Modul geteilt werden; In diesem Beispiel ist der Rest 3. Da sowohl der Modul 9 als auch der Rest 3 ein Vielfaches von 3 sind, ist auch jedes Element in der Sequenz. Daher enthält diese Progression nur eine Primzahl, 3 selbst. Im Allgemeinen die unendliche Progression

${\ displayStyle a, a+q, a+2q, a+3q, \ dots}$

kann nur dann mehr als eine Primzahl haben, wenn sein Rest sein ${\ displayStyle a}$ und Modul ${\ displayStyle q}$ sind relativ erstklassig. Wenn sie relativ erstklassig sind, Dirichlets Theorem über arithmetische Fortschritte behauptet, dass das Fortschreiten unendlich viele Primzahlen enthält.^[83]

Primzahlen im arithmetischen Progressions -Modulo 9. Jede Reihe des dünnen horizontalen Bandes zeigt eine der neun möglichen Progressions -Mod 9, wobei die Primzahlen rot markiert sind. Die Fortschritte von Zahlen, die 0, 3 oder 6 Mod 9 sind, enthalten höchstens eine Primzahl (die Nummer 3); Die verbleibenden Fortschritte von Zahlen, die 2, 4, 5, 7 und 8 Mod 9 sind

Das Grün -tao -Theorem zeigt, dass es willkürlich lange endliche arithmetische Fortschritte gibt, die nur aus Primzahlen bestehen.^[35][84]

Hauptwerte quadratischer Polynome

Das Ulam -Spirale. Primzahlen (rot) Cluster auf einigen Diagonalen und nicht auf anderen. Hauptwerte von ${\ displayStyle 4n^{2} -2n+41}$ sind blau dargestellt.

Euler bemerkte, dass die Funktion

${\ displayStyle n^{2} -n+41}$

liefert Primzahlen für ${\ displayStyle 1 \ leq n \ leq 40}$, obwohl zusammengesetzte Zahlen unter seinen späteren Werten erscheinen.^[85][86] Die Suche nach einer Erklärung für dieses Phänomen führte zum Tiefen Algebraische Zahlentheorie von Heegner -Zahlen und die Klassennummernproblem.^[87] Das Hardy-Littlewood-Vermutung f prognostiziert die Dichte der Primzahlen zwischen den Werten von Quadratische Polynome mit Ganzzahl Koeffizienten In Bezug auf das logarithmische Integral und die Polynomkoeffizienten. Es hat sich nachweislich nachweislich unendlich viele Hauptwerte nachgewiesen.^[88]

Das Ulam -Spirale arrangiert die natürlichen Zahlen in einem zweidimensionalen Gitter, das sich in konzentrischen Feldern rund um den Ursprung mit den hervorgehobenen Primzahlen um. Visuell scheinen sich die Primzahlen auf bestimmte Diagonale und nicht auf andere zu gruppieren, was darauf hindeutet, dass einige quadratische Polynome häufiger Prime -Werte annehmen als andere.^[88]

Zeta -Funktion und die Riemann -Hypothese

Diagramm der absoluten Werte der Zeta -Funktion und zeigt einige seiner Merkmale

Eine der berühmtesten ungelösten Fragen in der Mathematik aus dem Jahr 1859 und einer der der Millennium Prize Problems, ist der Riemann -Hypothese, was fragt, wo die Nullen des Riemann Zeta -Funktion ${\ displayStyle \ zeta (s)}$ befinden sich. Diese Funktion ist eine analytische Funktion auf der komplexe Zahlen. Für komplexe Zahlen ${\ displayStyle S}$ mit realer Teil von größer als einem, es entspricht beiden einem unendliche Summe über alle Ganzzahlen und eine unendliches Produkt über die Primzahlen,

$oder {\ frac {1} {1-p^{-s}}}.}$

Diese Gleichheit zwischen einer Summe und einem von Euler entdeckten Produkt wird als eine genannt Euler -Produkt.^[89] Das Euler -Produkt kann aus dem grundlegenden Theorem der Arithmetik abgeleitet werden und zeigt die enge Verbindung zwischen der Zeta -Funktion und den Primzahlen.^[90] Es führt zu einem weiteren Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt: Wenn es nur endlich viele gäbe, wäre die Gleichstellung der Summenprodukte auch bei gültig ${\ displayStyle s = 1}$, aber die Summe würde sich unterscheiden (es ist die Harmonische Serie ${\ displayStyle 1+{\ tfrac {1} {2}}+{\ tfrac {1} {3}}+\ dots}$) während das Produkt endlich wäre, ein Widerspruch.^[91]

Die Riemann -Hypothese besagt, dass die Nullen der Zeta-Funktion sind entweder negative gleichmäßige Zahlen oder komplexe Zahlen mit echter Teil gleich 1/2.^[92] Der ursprüngliche Beweis der Primzahl Theorem basierte auf einer schwachen Form dieser Hypothese, dass es keine Nullen mit realem Teil gleich 1 gibt.^[93][94] Obwohl andere elementarere Beweise gefunden wurden.^[95] Die Hauptablauffunktion kann durch ausgedrückt werden Riemanns explizite Formel als eine Summe, in der jeder Begriff von einem der Nullen der Zeta -Funktion stammt; Der Hauptbegriff dieser Summe ist das logarithmische Integral, und die verbleibenden Begriffe führen dazu, dass die Summe über und unter dem Hauptbegriff schwankt.^[96] In diesem Sinne steuern die Nullen, wie regelmäßig die Primzahlen verteilt werden. Wenn die Riemann -Hypothese wahr ist, werden diese Schwankungen klein sein und dieAsymptotische Verteilung von Primzahlen, die durch den Primzahl -Theorem angegeben sind ${\ displayStyle x}$ für Intervalle in der Nähe einer Zahl ${\ displayStyle x}$).^[94]

Zusammenfassung Algebra

Modulare arithmetische und endliche Felder

Modulare Arithmetik verändert die übliche Arithmetik, indem nur die Zahlen verwendet werden ${\ displaystyle \ {0,1,2, \ dots, n-1 \}}$, für eine natürliche Zahl ${\ displayStyle n}$ den Modul genannt. Jede andere natürliche Zahl kann in dieses System zugeordnet werden ${\ displayStyle n}$.^[97] Modulare Summen, Unterschiede und Produkte werden berechnet, indem der gleiche Ersatz nach dem Rest der üblichen Summe, der Differenz oder des Produkts von Ganzzahlen durchführt.^[98] Die Gleichheit der Ganzzahlen entspricht Kongruenz in modularer Arithmetik:${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle y}$ sind kongruent (geschrieben ${\ displayStyle x \ äquiv y}$ Mod ${\ displayStyle n}$) Wenn sie den gleichen Rest nach der Aufteilung von ${\ displayStyle n}$.^[99] In diesem Zahlensystem, jedoch, Aufteilung Bei allen ungleich Null -Zahlen ist nur dann möglich, wenn der Modul Prime ist. Zum Beispiel mit der Primzahl ${\ displayStyle 7}$ als Modul, Teilung von ${\ displayStyle 3}$ ist möglich: ${\ displaystyle 2/3 \ äquiv 3 {\ bmod {7}}}$, Weil Nenner löschen durch Multiplizieren beider Seiten mit ${\ displayStyle 3}$ gibt die gültige Formel an ${\ displayStyle 2 \ äquiv 9 {\ bmod {7}}}$. Mit dem zusammengesetzten Modul jedoch ${\ displayStyle 6}$, Division von ${\ displayStyle 3}$ ist unmöglich. Es gibt keine gültige Lösung zu ${\ displayStyle 2/3 \ äquiv x {\ bmod {6}}}$: Löschen von Nennern durch Multiplizieren mit ${\ displayStyle 3}$ verursacht die linke Seite zu werden ${\ displayStyle 2}$ während die rechte Seite entweder wird ${\ displayStyle 0}$ oder ${\ displayStyle 3}$. In der Terminologie von Zusammenfassung Algebra, Die Fähigkeit zur Ausführung von Teilung bedeutet, dass modulares arithmetisches Modulo A Primzahl a bildet a aufstellen oder genauer gesagt a endliches Feld, während andere Modul nur a geben Ring aber kein Feld.^[100]

Mehrere Theoreme über Primzahlen können unter Verwendung modularer Arithmetik formuliert werden. Zum Beispiel, Fermats kleiner Theorem stellt fest, dass wenn${\ displayStyle a \ nicht \ äquiv 0}$ (Mod ${\ displayStyle p}$), dann ${\ displayStyle a^{p-1} \ äquiv 1}$ (Mod ${\ displayStyle p}$).^[101] Summieren dies über alle Auswahlmöglichkeiten von ${\ displayStyle a}$ gibt die Gleichung

$oder$

gültig wann immer ${\ displayStyle p}$ ist Prime.Giugas Vermutung sagt, dass diese Gleichung auch eine ausreichende Bedingung für ist ${\ displayStyle p}$ Prime sein.^[102] Wilsons Theorem sagt, dass eine Ganzzahl ${\ displayStyle p> 1}$ ist erst und nur wenn die Fakultät ${\ displayStyle (p-1)!}$ ist kongruent zu ${\ displayStyle -1}$ Mod ${\ displayStyle p}$. Für einen Komposit Nummer ${\ displayStyle \; n = r \ cdot s \;}$ Dies kann nicht bestehen, da einer seiner Faktoren beide teilt n und ${\ displayStyle (n-1)!}$, und so ${\ displayStyle (n -1)! \ äquiv -1 {\ pmod {n}}}$ ist unmöglich.^[103]

p-Adische Zahlen

Das ${\ displayStyle p}$-Adische Ordnung ${\ displaystyle \ nu _ {p} (n)}$ einer Ganzzahl ${\ displayStyle n}$ ist die Anzahl der Kopien von ${\ displayStyle p}$ in der Primfaktorisierung von ${\ displayStyle n}$. Das gleiche Konzept kann von Ganzzahlen auf rationale Zahlen erweitert werden, indem die definiert wird ${\ displayStyle p}$-Adische Reihenfolge eines Bruchteils ${\ displayStyle m/n}$ sein ${\ displayStyle \ nu _ {p} (m)-\ nu _ {p} (n)}$. Das ${\ displayStyle p}$-Adisch Absolutwert ${\ displayStyle | q | _ {p}}$ von jeder rationalen Zahl ${\ displayStyle q}$ wird dann definiert als${\ displayStyle | q | _ {p} = p^{-\ nu _ {p} (q)}}$. Multiplizieren einer Ganzzahl mit seiner ${\ displayStyle p}$-Adisch absoluter Wert storniert die Faktoren von ${\ displayStyle p}$ in seiner Faktorisierung nur die anderen Primzahlen hinterlassen. So wie der Abstand zwischen zwei reellen Zahlen am Absolutwert ihres Abstands gemessen werden kann, kann der Abstand zwischen zwei rationalen Zahlen anhand ihrer gemessen werden ${\ displayStyle p}$-Adische Entfernung, die ${\ displayStyle p}$-Adisch Absolutwert ihrer Differenz. Für diese Definition der Entfernung sind zwei Zahlen nahe beieinander (sie haben eine geringe Entfernung), wenn ihr Unterschied durch eine hohe Kraft von teilbar ist ${\ displayStyle p}$. Auf die gleiche Weise, wie die realen Zahlen aus den rationalen Zahlen und ihren Entfernungen gebildet werden können, indem zusätzliche Begrenzungswerte zur Bildung a addiert werden Vollständiges Feld, die rationalen Zahlen mit dem ${\ displayStyle p}$-Adische Entfernung kann auf ein anderes vollständiges Feld ausgedehnt werden, die ${\ displayStyle p}$-Adische Zahlen.^[104][105]

Dieses Bild einer Reihenfolge, eines absoluten Wertes und eines vollständigen Feldes, das daraus abgeleitet ist, kann verallgemeinert werden Algebraische Zahlenfelder und ihre Bewertungen (bestimmte Zuordnungen aus der multiplikative Gruppe des Feldes zu a Total geordnete additive Gruppe, auch Bestellungen genannt), absolute Werte (bestimmte multiplikative Zuordnungen vom Feld zu den realen Zahlen, auch Normen genannt),^[104] und Orte (Erweiterungen an Komplette Felder in dem das angegebene Feld a ist dichter Set, auch Fertigstellungen genannt).^[106] Die Erweiterung von den rationalen Zahlen auf die reale NummernZum Beispiel ist ein Ort, an dem der Abstand zwischen Zahlen der übliche ist absoluter Wert von ihrem Unterschied. Die entsprechende Zuordnung zu einer additiven Gruppe wäre die Logarithmus vom absoluten Wert, obwohl dies nicht alle Anforderungen einer Bewertung entspricht. Entsprechend Ostrowskis Theorem, bis zu einem natürlichen Begriff der Äquivalenz, den realen Zahlen und ${\ displayStyle p}$-Adische Zahlen mit ihren Bestellungen und absoluten Werten sind die einzigen Bewertungen, absolute Werte und Orte für die rationalen Zahlen.^[104] Das Lokal-Global-Prinzip Ermöglicht bestimmte Probleme mit den rationalen Zahlen, indem Lösungen aus jeder ihrer Orte zusammengesetzt werden und die Bedeutung der Primzahlen für die Zahl der Zahlentheorie erneut unterstreicht.^[107]

Hauptelemente in Ringen

Das Gaußsche Primzahlen mit Norm weniger als 500

A Gewinnring ist ein algebraische Struktur Wo Addition, Subtraktion und Multiplikation definiert sind. Die Ganzzahlen sind ein Ring, und die Primzahlen in den Ganzzahlen wurden auf zwei verschiedene Arten auf Ringe verallgemeinert. Hauptelemente und irreduzible Elemente. Ein Element ${\ displayStyle p}$ eines Rings ${\ displayStyle r}$ wird als Prime bezeichnet, wenn es ungleich Null ist, hat keine multiplikativer Inverse (Das heißt, es ist nicht ein Einheit) und erfüllt die folgende Anforderung: Wann immer ${\ displayStyle p}$ Teilen Sie das Produkt ${\ displayStyle xy}$ von zwei Elementen von ${\ displayStyle r}$, es teilt auch mindestens eines von ${\ displayStyle x}$ oder ${\ displayStyle y}$. Ein Element ist nicht reduzierbar, wenn es sich weder um eine Einheit noch um das Produkt von zwei anderen Nicht-Einheiten-Elementen handelt. Im Ring der Ganzzahlen bilden die Haupt- und nicht reduzierbaren Elemente denselben Satz,

${\ displayStyle \ {\ dots, -11, -7, -5, -3, -2,2,3,5,7,11, \ dots \} \ ,.}$

In einem willkürlichen Ring sind alle Hauptelemente nicht reduzierbar. Das Gegenteil gilt nicht im Allgemeinen, sondern gilt für Einzigartige Faktorisierungsdomänen.^[108]

Der grundlegende Theorem der Arithmetik gilt weiterhin (per Definition) in einzigartigen Faktorisierungsdomänen. Ein Beispiel für eine solche Domäne ist das Gaußsche Ganzzahlen ${\ displaystyle \ mathbb {z} [i]}$, der Ring von komplexe Zahlen der Form ${\ displayStyle a+bi}$ wo ${\ displayStyle i}$ bezeichnet die imaginäre Einheit und ${\ displayStyle a}$ und ${\ displayStyle B}$ sind willkürliche Ganzzahlen. Seine Hauptelemente sind als bekannt als Gaußsche Primzahlen. Nicht jede Zahl, die unter den Ganzzahlen der Ganzzahlen ist, bleibt in den Gaußschen Ganzzahlen die Hauptsache. Zum Beispiel kann die Nummer 2 als Produkt der beiden Gaußschen Primzahlen geschrieben werden ${\ displayStyle 1+i}$ und ${\ displayStyle 1-i}$. Rationale Primzahlen (die Hauptelemente in den Ganzzahlen) kongruent zu 3 mod 4 sind Gaußsche Primzahlen, rationale Primzahlen kongruent bis 1 mod 4 nicht.^[109] Dies ist eine Folge von Fermat's Theorem auf Summen von zwei Quadraten, was besagt, dass eine seltsame Primzahl ${\ displayStyle p}$ ist ausdrücklich als Summe von zwei Quadraten, ${\ displayStyle p = x^{2}+y^{2}}$und daher faktorisch als ${\ displayStyle p = (x+iy) (x-iy)}$, Genau wann ${\ displayStyle p}$ ist 1 mod 4.^[110]

Hauptideale

Nicht jeder Ring ist eine eindeutige Faktorisierungsdomäne. Zum Beispiel im Zahlenring ${\ displayStyle a+b {\ sqrt {-5}}}$ (für Ganzzahlen ${\ displayStyle a}$ und ${\ displayStyle B}$) die Nummer ${\ displayStyle 21}$ hat zwei Faktorisierungen ${\ displayStyle 21 = 3 \ cdot 7 = (1+2 {\ sqrt {-5}}) (1-2 {\ sqrt {-5}})}$, wo keiner der vier Faktoren weiter reduziert werden kann, so dass es keine einzigartige Faktorisierung hat. Um die eindeutige Faktorisierung auf eine größere Klasse von Ringen auszudehnen, kann der Begriff einer Zahl durch die eines ersetzt werden Ideal, eine Untergruppe der Elemente eines Rings, der alle Summen von Paaren seiner Elemente und alle Produkte seiner Elemente mit Ringelementen enthält.Hauptideale, die Primärelemente in dem Sinne verallgemeinern, dass die Haupt Ideal Erzeugt durch ein Prime -Element ist ein Prime -Ideal, ist ein wichtiges Werkzeug und Objekt der Studie in kommutative Algebra, Algebraische Zahlentheorie und Algebraische Geometrie. Die Hauptideale des Rings der Ganzzahlen sind die Ideale (0), (2), (3), (5), (7), (11), ... der grundlegende Theorem der arithmetischen Verallgemeinerung auf die Lasker -nicht -Theorem, was jedes Ideal in a Noetherian Gewinnring als Schnittpunkt von Hauptideale, die die entsprechenden Verallgemeinerungen von sind erstklassige Kräfte.^[111]

Das Spektrum eines Rings ist ein geometrischer Raum, dessen Punkte die Hauptideale des Rings sind.^[112] Arithmetische Geometrie Außerdem profitiert dieser Begriff, und viele Konzepte existieren sowohl in der Geometrie als auch in der Zahlentheorie. Zum Beispiel Faktorisierung oder Verzweigung von erstklassigen Idealen, wenn er zu einem angehoben wird Verlängerungsfeld, ein grundlegendes Problem der algebraischen Zahlentheorie, ähnelt mit der Ähnlichkeit mit Verzicht auf Geometrie. Diese Konzepte können sogar in zahlentheoretischen Fragen helfen, die sich ausschließlich mit Ganzzahlen befassen. Zum Beispiel Prime -Ideale in der Ring of Ganzzahlen von Quadratische Zahlenfelder kann zum Beweisen verwendet werden Quadratische Gegenseitigkeit, eine Aussage, die die Existenz von Square Roots Modulo Integer Primzahlen betrifft.^[113] Frühe Versuche zu beweisen Fermats letzter Satz führte zu Kummer's Einführung von Regelmäßige Primzahlen, ganzzahlige Primzahlen, die mit dem Versagen der eindeutigen Faktorisierung in der verbunden sind zyklotomische Ganzzahlen.^[114] Die Frage, wie viele Ganzzahl -Primzahlen in ein Produkt mehrerer Prime -Ideale in einem Bereich der algebraischen Zahl einfließen Chebotarevs Dichte Theorem, was (wenn er auf die zyklotomischen Ganzzahlen angewendet wird) als Sonderfall Dirichlets Theorem über Primzahlen in arithmetischen Fortschritten aufweist.^[115]

Gruppentheorie

In der Theorie von Finite -Gruppen das Sylow Theorems implizieren Sie das, wenn eine Kraft einer Primzahl ${\ displayStyle p^{n}}$ teilt die Reihenfolge einer Gruppedann hat die Gruppe eine Untergruppe von Ordnung ${\ displayStyle p^{n}}$. Durch Lagrange's Theorem, jede Gruppe von Prime Order ist a zyklische Gruppe, und von Burnside's Theorem Jede Gruppe, deren Ordnung durch nur zwei Primzahlen teilbar ist, ist lösbar.^[116]

Rechenmethoden

Die kleine Ausrüstung in diesem landwirtschaftlichen Gerät hat 13 Zähne, eine Primzahl und das mittlere Gang 21, relativ erstklassig bis 13

Die Zahlentheorie im Allgemeinen und das Studium der Primzahlen im Besonderen wurde für eine lange Zeit als kanonisches Beispiel für reine Mathematik angesehen, ohne Anwendungen außerhalb der Mathematik^[b] Abgesehen von der Verwendung von Zähne mit Primzahlzähne, um gleichmäßig abzubauen.^[117] Insbesondere Zahlen -Theoretiker wie z. britisch Mathematiker G. H. Hardy stolz darauf, Arbeit zu machen, die absolut keine militärische Bedeutung hatten.^[118]

Diese Vision der Reinheit der Zahlentheorie wurde in den 1970er Jahren zerstört, als öffentlich bekannt gegeben wurde, dass Primzahlen als Grundlage für die Schaffung von verwendet werden konnten Kryptographie der Öffentlichkeit Algorithmen.^[32] Diese Anwendungen haben zu einer signifikanten Studie von geführt Algorithmen Für Computer mit Primzahlen und insbesondere von Primalitätstest, Methoden zur Bestimmung, ob eine bestimmte Zahl Prime ist. Die grundlegendste Routine für Primalitätstests, Versuchsabteilung, ist zu langsam, um für große Zahlen nützlich zu sein. Eine Gruppe moderner Primalitätstests ist für willkürliche Zahlen anwendbar, während effizientere Tests für die Anzahl von speziellen Typen verfügbar sind. Die meisten Primalitätstests zeigen nur, ob ihr Argument die Prime ist oder nicht. Routinen, die auch einen Hauptfaktor für zusammengesetzte Argumente (oder alle seine Hauptfaktoren) bieten Faktorisierung Algorithmen. Primzahlen werden auch zum Berechnen für verwendet Überprüfungen, Hash -Tische, und Pseudorandom -Zahlengeneratoren.

Versuchsabteilung

Die grundlegendste Methode zur Überprüfung der Primalität einer bestimmten Ganzzahl ${\ displayStyle n}$ wird genannt Versuchsabteilung. Diese Methode teilt sich ${\ displayStyle n}$ von jeder Ganzzahl von 2 bis zum Quadratwurzel von ${\ displayStyle n}$. Eine solche Ganzzahl teilt ${\ displayStyle n}$ gleichmäßig etabliert ${\ displayStyle n}$ als zusammengesetzter; Ansonsten ist es erstklassig. Ganzzahlen größer als die Quadratwurzel müssen nicht überprüft werden, weil wann immer ${\ displayStyle n = a \ cdot b}$, einer der beiden Faktoren ${\ displayStyle a}$ und ${\ displayStyle B}$ ist kleiner als oder gleich dem Quadratwurzel von ${\ displayStyle n}$. Eine weitere Optimierung besteht darin, nur Primzahlen als Faktoren in diesem Bereich zu überprüfen.^[119] Um beispielsweise zu überprüfen, ob 37 Primzahl ist, teilt diese Methode sie durch die Primzahlen im Bereich von 2 bis zu ${\ displayStyle {\ sqrt {37}}}$, die 2, 3 und 5 sind. Jede Division produziert einen Rest von ungleich Null, also ist 37 in der Tat Prime.

Obwohl diese Methode einfach zu beschreiben ist, ist es unpraktisch, die Primalität der großen Ganzzahlen zu testen, da die Anzahl der Tests, die sie durchführt wächst exponentiell als Funktion der Anzahl der Ziffern dieser Ganzzahlen.^[120] Die Versuchsaufteilung wird jedoch weiterhin verwendet, wobei eine geringere Grenze als die Quadratwurzel der Divisorgröße ist, um zusammengesetzte Zahlen mit kleinen Faktoren schnell zu entdecken, bevor kompliziertere Methoden auf den Zahlen anhand der Zahlen an diesem Filter angewendet werden.^[121]

Siebe

Das Sieb von Eratosthenes beginnt mit allen nicht markierten Zahlen (grau). Es findet wiederholt die erste nicht markierte Zahl, markiert sie als Prime (dunkle Farben) und markiert ihr Quadrat und alle später als zusammengesetzter (leichtere Farben). Nach dem Markieren der Vielfachen von 2 (rot), 3 (grün), 5 (blau) und 7 (gelb) wurden alle Primzahlen bis zur Quadratwurzel der Tabellengröße verarbeitet, und alle verbleibenden nicht markierten Zahlen (11, 13 usw.) sind als Primzahlen (Magenta) gekennzeichnet.

Vor Computern, Mathematische Tabellen Die Auflistung aller Primzahlen oder Primfaktorisierungen bis zu einer bestimmten Grenze wurden üblicherweise gedruckt.^[122] Die älteste Methode zur Erzeugung einer Liste von Primzahlen wird als Sieb von Eratosthenes bezeichnet.^[123] Die Animation zeigt eine optimierte Variante dieser Methode.^[124] Eine weitere asymptotisch effizientere Siebmethode für dasselbe Problem ist die Sieb von Atkin.^[125] In fortgeschrittener Mathematik, Siebentheorie wendet ähnliche Methoden für andere Probleme an.^[126]

Primalitätstest im Vergleich zu Primalität Beweis

Einige der schnellsten modernen Tests dafür ${\ displayStyle n}$ ist Prime sind probabilistisch (oder Monte Carlo) Algorithmen, was bedeutet, dass sie eine kleine zufällige Chance haben, eine falsche Antwort zu erstellen.^[127] Zum Beispiel die Solovay -Strassen -Primalitätstest auf eine bestimmte Zahl ${\ displayStyle p}$ wählt eine Nummer ${\ displayStyle a}$ zufällig von ${\ displayStyle 2}$ durch ${\ displayStyle p-2}$ und verwendet Modulare Exponentiation um zu überprüfen, ob ${\ displayStyle a^{(p-1)/2} \ pm 1}$ ist teilbar durch ${\ displayStyle p}$.^[c] Wenn ja, antwortet es ja und sonst antwortet es Nein. Wenn ${\ displayStyle p}$ really is prime, it will always answer yes, but if ${\ displayStyle p}$ is composite then it answers yes with probability at most 1/2 and no with probability at least 1/2.^[128] If this test is repeated ${\ displayStyle n}$ times on the same number, the probability that a composite number could pass the test every time is at most ${\ displayStyle 1/2^{n}}$. Because this decreases exponentially with the number of tests, it provides high confidence (although not certainty) that a number that passes the repeated test is prime. On the other hand, if the test ever fails, then the number is certainly composite.^[129] A composite number that passes such a test is called a pseudoprime.^[128]

In contrast, some other algorithms guarantee that their answer will always be correct: primes will always be determined to be prime and composites will always be determined to be composite. For instance, this is true of trial division. The algorithms with guaranteed-correct output include both deterministisch (non-random) algorithms, such as the ASS -Primalitätstest,^[130] and randomized Las Vegas -Algorithmen where the random choices made by the algorithm do not affect its final answer, such as some variations of elliptic curve primality proving.^[127] When the elliptic curve method concludes that a number is prime, it provides primality certificate that can be verified quickly.^[131] The elliptic curve primality test is the fastest in practice of the guaranteed-correct primality tests, but its runtime analysis is based on heuristic arguments rather than rigorous proofs. Das ASS -Primalitätstest has mathematically proven time complexity, but is slower than elliptic curve primality proving in practice.^[132] These methods can be used to generate large random prime numbers, by generating and testing random numbers until finding one that is prime; when doing this, a faster probabilistic test can quickly eliminate most composite numbers before a guaranteed-correct algorithm is used to verify that the remaining numbers are prime.^[d]

The following table lists some of these tests. Their running time is given in terms of ${\ displayStyle n}$, the number to be tested and, for probabilistic algorithms, the number ${\ displayStyle K}$ of tests performed. Darüber hinaus, ${\ displayStyle \ varepsilon}$ is an arbitrarily small positive number, and log is the Logarithmus to an unspecified base. Das Big O Notation means that each time bound should be multiplied by a constant factor to convert it from dimensionless units to units of time; this factor depends on implementation details such as the type of computer used to run the algorithm, but not on the input parameters ${\ displayStyle n}$ und ${\ displayStyle K}$.

Prüfen	Entwickelt in	Typ	Laufzeit	Anmerkungen	Verweise
ASS -Primalitätstest	2002	deterministic	${\displaystyle O((\log n)^{6+\varepsilon })}$		[130][133]
Elliptische Kurve -Primalität beweisen	1986	Las Vegas	${\displaystyle O((\log n)^{4+\varepsilon })}$ heuristisch		[132]
Baillie -PSW -Primalitätstest	1980	Monte Carlo	${\displaystyle O((\log n)^{2+\varepsilon })}$		[134][135]
Miller -Rabin -Primalitätstest	1980	Monte Carlo	${\displaystyle O(k(\log n)^{2+\varepsilon })}$	error probability ${\displaystyle 4^{-k}}$	[136]
Solovay -Strassen -Primalitätstest	1977	Monte Carlo	${\displaystyle O(k(\log n)^{2+\varepsilon })}$	error probability ${\displaystyle 2^{-k}}$	[136]

Spezialalgorithmen und die größte bekannte Prime

In addition to the aforementioned tests that apply to any natural number, some numbers of a special form can be tested for primality more quickly. Zum Beispiel die Lucas -Lehmer -Primalitätstest can determine whether a Mersenne number (one less than a Kraft von zwei) is prime, deterministically, in the same time as a single iteration of the Miller–Rabin test.^[137] This is why since 1992 (as of December 2018^{[aktualisieren]}) das größten bekannt Prime has always been a Mersenne prime.^[138] It is conjectured that there are infinitely many Mersenne primes.^[139]

The following table gives the largest known primes of various types. Some of these primes have been found using verteiltes Computer. Im Jahr 2009 die Tolle Internet -Mersenne -Prime -Suche project was awarded a US$100,000 prize for first discovering a prime with at least 10 million digits.^[140] Das Elektronische Grenzfundament also offers $150,000 and $250,000 for primes with at least 100 million digits and 1 billion digits, respectively.^[141]

Ganzzahlfaktorisierung

Given a composite integer ${\ displayStyle n}$, the task of providing one (or all) prime factors is referred to as Faktorisierung von ${\ displayStyle n}$. It is significantly more difficult than primality testing,^[148] and although many factorization algorithms are known, they are slower than the fastest primality testing methods. Trial division and Pollards Rho -Algorithmus can be used to find very small factors of ${\ displayStyle n}$,^[121] und elliptic curve factorization can be effective when ${\ displayStyle n}$ has factors of moderate size.^[149] Methods suitable for arbitrary large numbers that do not depend on the size of its factors include the quadratisches Sieb und Allgemeines Zahlenfeld Sieb. As with primality testing, there are also factorization algorithms that require their input to have a special form, including the Sondernummer Feldsieb.^[150] Ab Dezember 2019^{[aktualisieren]} das largest number known to have been factored by a general-purpose algorithm is RSA-240, which has 240 decimal digits (795 bits) and is the product of two large primes.^[151]

Shors Algorithmus can factor any integer in a polynomial number of steps on a Quantencomputer.^[152] However, current technology can only run this algorithm for very small numbers. As of October 2012^{[aktualisieren]} the largest number that has been factored by a quantum computer running Shor's algorithm is 21.^[153]

Andere rechnerische Anwendungen

Mehrere Kryptographie der Öffentlichkeit Algorithmen, wie z. RSA und die Diffie -Hellman Key Exchange, are based on large prime numbers (2048-bisschen primes are common).^[154] RSA relies on the assumption that it is much easier (that is, more efficient) to perform the multiplication of two (large) numbers ${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle y}$ than to calculate ${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle y}$ (vermutet Coprime) if only the product ${\ displayStyle xy}$ ist bekannt.^[32] The Diffie–Hellman key exchange relies on the fact that there are efficient algorithms for Modulare Exponentiation (computing ${\displaystyle a^{b}{\bmod {c}}}$), while the reverse operation (the Diskreter Logarithmus) is thought to be a hard problem.^[155]

Prime numbers are frequently used for Hash -Tische. For instance the original method of Carter and Wegman for Universal Hashing was based on computing Hash Funktionen by choosing random lineare Funktionen modulo large prime numbers. Carter and Wegman generalized this method to ${\ displayStyle K}$-independent hashing by using higher-degree polynomials, again modulo large primes.^[156] As well as in the hash function, prime numbers are used for the hash table size in Quadratische Prüfung based hash tables to ensure that the probe sequence covers the whole table.^[157]

Etwas Überprüfung methods are based on the mathematics of prime numbers. For instance the checksums used in International Standard Book Numbers are defined by taking the rest of the number modulo 11, a prime number. Because 11 is prime this method can detect both single-digit errors and transpositions of adjacent digits.^[158] Another checksum method, Adler-32, uses arithmetic modulo 65521, the largest prime number less than ${\displaystyle 2^{16}}$.^[159] Prime numbers are also used in Pseudorandom -Zahlengeneratoren einschließlich linear congruential generators^[160] und die Mersenne Twister.^[161]

Andere Anwendungen

Prime numbers are of central importance to number theory but also have many applications to other areas within mathematics, including Zusammenfassung Algebra and elementary geometry. For example, it is possible to place prime numbers of points in a two-dimensional grid so that no three are in a line, or so that every triangle formed by three of the points has large area.^[162] Ein anderes Beispiel ist Eisensteins Kriterium, a test for whether a polynomial is irreducible based on divisibility of its coefficients by a prime number and its square.^[163]

The connected sum of two prime knots

The concept of a prime number is so important that it has been generalized in different ways in various branches of mathematics. Generally, "prime" indicates minimality or indecomposability, in an appropriate sense. Zum Beispiel die Hauptfeld of a given field is its smallest subfield that contains both 0 and 1. It is either the field of rational numbers or a endliches Feld with a prime number of elements, whence the name.^[164] Often a second, additional meaning is intended by using the word prime, namely that any object can be, essentially uniquely, decomposed into its prime components. Zum Beispiel in Knotentheorie, a prime knot ist ein Knoten that is indecomposable in the sense that it cannot be written as the verbundene Summe of two nontrivial knots. Any knot can be uniquely expressed as a connected sum of prime knots.^[165] Das prime decomposition of 3-manifolds is another example of this type.^[166]

Beyond mathematics and computing, prime numbers have potential connections to Quantenmechanik, and have been used metaphorically in the arts and literature. They have also been used in Evolutionsbiologie to explain the life cycles of Zikaden.

Konstruktible Polygone und Polygon -Partitionen

Construction of a regular pentagon using straightedge and compass. This is only possible because 5 is a Fermat Prime.

Fermat Primes are primes of the form

${\displaystyle F_{k}=2^{2^{k}}+1,}$

mit ${\ displayStyle K}$ a Nichtnegative Ganzzahl.^[167] They are named after Pierre de Fermat, who conjectured that all such numbers are prime. The first five of these numbers – 3, 5, 17, 257, and 65,537 – are prime,^[168] aber ${\displaystyle F_{5}}$ is composite and so are all other Fermat numbers that have been verified as of 2017.^[169] A regulär ${\ displayStyle n}$-Gon ist constructible using straightedge and compass if and only if the odd prime factors of ${\ displayStyle n}$ (if any) are distinct Fermat primes.^[168] Likewise, a regular ${\ displayStyle n}$-gon may be constructed using straightedge, compass, and an Angle -Trisektor if and only if the prime factors of ${\ displayStyle n}$ are any number of copies of 2 or 3 together with a (possibly empty) set of distinct Pierpont primes, primes of the form ${\displaystyle 2^{a}3^{b}+1}$.^[170]

It is possible to partition any convex polygon into ${\ displayStyle n}$ smaller convex polygons of equal area and equal perimeter, when ${\ displayStyle n}$ ist ein power of a prime number, but this is not known for other values of ${\ displayStyle n}$.^[171]

Quantenmechanik

Beginning with the work of Hugh Montgomery und Freeman Dyson in the 1970s, mathematicians and physicists have speculated that the zeros of the Riemann zeta function are connected to the energy levels of quantum systems.^[172][173] Prime numbers are also significant in Quanteninformationswissenschaft, thanks to mathematical structures such as mutually unbiased bases und symmetric informationally complete positive-operator-valued measures.^[174][175]

Biologie

The evolutionary strategy used by Zikaden der Gattung Magicicada makes use of prime numbers.^[176] These insects spend most of their lives as grubs unter Tage. They only pupate and then emerge from their burrows after 7, 13 or 17 years, at which point they fly about, breed, and then die after a few weeks at most. Biologists theorize that these prime-numbered breeding cycle lengths have evolved in order to prevent predators from synchronizing with these cycles.^[177][178] In contrast, the multi-year periods between flowering in Bambus plants are hypothesized to be glatte Zahlen, having only small prime numbers in their factorizations.^[179]

Kunst und Literatur

Prime numbers have influenced many artists and writers. Die Franzosen Komponist Olivier Messiaen used prime numbers to create ametrical music through "natural phenomena". In Arbeiten wie z. La Nativité du Seigneur (1935) und Quatre études de rythme (1949–50) verwendet er gleichzeitig Motive mit Längen, die durch verschiedene Primzahlen angegeben sind, um unvorhersehbare Rhythmen zu erzeugen: Die Primzahlen 41, 43, 47 und 53 erscheinen im dritten Étude "Neumes Rythmiques". Laut Messiaen wurde diese Art des Komponierens "von den Bewegungen der Natur, Bewegungen freier und ungleicher Dauer inspiriert".^[180]

In his science fiction novel Kontakt, Wissenschaftler Carl Sagan schlug vor, dass die Primfaktorisierung als Mittel zur Festlegung von zweidimensionalen Bildebenen in der Kommunikation mit Aliens verwendet werden könnte. Frank Drake 1975.^[181] Im Roman Der merkwürdige Vorfall des Hundes in der Nacht durch Mark Haddon, Der Erzähler organisiert die Abschnitte der Geschichte nach aufeinanderfolgenden Primzahlen, um den mentalen Zustand seiner Hauptfigur zu vermitteln, eines mathematisch begabten Teenagers mit Asperger-Syndrom.^[182] Prime numbers are used as a metaphor for loneliness and isolation in the Paolo Giordano Roman The Solitude of Prime Numbers, in dem sie als "Außenseiter" unter Ganzzahlen dargestellt werden.^[183]

Anmerkungen

Verweise

Externe Links

• "Primzahl". Enzyklopädie der Mathematik. EMS Press. 2001 [1994].
• Caldwell, Chris, die Hauptseiten bei Primes.utm.edu.
• Primzahlen an In unserer Zeit Bei der BBC
• Plus Lehrer- und Schülerpaket: Primzahlen Aus Plus, das kostenlose Online -Mathematikmagazin, das vom Millennium Mathematics Project an der University of Cambridge produziert wurde.

Generatoren und Taschenrechner

• Primatfaktorenrechner kann jede positive Ganzzahl bis zu 20 Ziffern faktorisieren.
• Schneller Online -Primalitätstest mit Faktorisierung Verwenden Sie die elliptische Kurvenmethode (bis zu Tausendstellungen, erfordert Java).
• Riesige Datenbank mit Primzahlen
• Primzahlen bis zu 1 Billion