Polynom

Im Mathematik, a Polynom ist ein Ausdruck bestehend aus unbestimmt (auch genannt Variablen) und Koeffizienten, das beinhaltet nur die Operationen von Zusatz, Subtraktion, Multiplikationund nicht negativ ganze Zahl Exponentiation von Variablen. Ein Beispiel für ein Polynom eines einzelnen Unbestimmtes x ist x² - 4x + 7. Ein Beispiel in drei Variablen ist x³ + 2xyz² − yz + 1.

Polynome erscheinen in vielen Bereichen Mathematik und Naturwissenschaften. Zum Beispiel werden sie verwendet, um zu bilden Polynomgleichungen, die eine breite Palette von Problemen von Elementary codieren Wortprobleme zu komplizierten wissenschaftlichen Problemen; Sie werden verwendet, um zu definieren Polynomfunktionen, die in Einstellungen von Basic erscheinen Chemie und Physik zu Wirtschaft und Sozialwissenschaften; Sie werden in verwendet Infinitesimalrechnung und numerische Analyse andere Funktionen annähern. In fortgeschrittener Mathematik werden Polynome zum Konstruktion verwendet Polynomringe und Algebraische Sorten, die zentrale Konzepte in sind Algebra und Algebraische Geometrie.

Etymologie

Das Wort Polynom schließt sich zwei verschiedenen Wurzeln an: der Grieche Poly, bedeutet "viele" und das Latein keine Männer, oder "Name". Es wurde vom Begriff abgeleitet Binomial- durch Ersetzen der lateinischen Wurzel Bi- mit dem Griechischen Poly-. Das heißt, es bedeutet eine Summe vieler Begriffe (viele Monome). Das Wort Polynom wurde zum ersten Mal im 17. Jahrhundert eingesetzt.^[1]

Notation und Terminologie

Das x in einem Polynom auftreten, wird allgemein als a genannt Variable oder an unbestimmt. Wenn das Polynom als Ausdruck betrachtet wird, x ist ein festes Symbol, das keinen Wert hat (sein Wert ist "unbestimmt"). Wenn man jedoch das berücksichtigt Funktion definiert durch das Polynom dann x repräsentiert das Argument der Funktion und wird daher als "Variable" bezeichnet. Viele Autoren verwenden diese beiden Wörter austauschbar.

Ein Polynom P im unbestimmten x wird gewöhnlich entweder als als als bezeichnet P oder wie P(x). Formal ist der Name des Polynoms P, nicht P(x), aber die Verwendung der Funktionale Notation P(x) stammt aus einer Zeit, in der die Unterscheidung zwischen einem Polynom und der damit verbundenen Funktion unklar war. Darüber hinaus ist die funktionelle Notation häufig nützlich, um in einer einzigen Phrase ein Polynom und ihre unbestimmt zu spezifizieren. Zum Beispiel: "Lass es P(x) Sei ein Polynom "ist eine Kurzschrift für" let P ein Polynom im unbestimmten sein x". Andererseits sind viele Formeln, wenn es nicht notwendig ist, den Namen des Unbestimmtes zu betonen .

Die Unklarheit, zwei Notationen für ein einzelnes mathematisches Objekt zu haben, kann formell aufgelöst werden, indem die allgemeine Bedeutung der funktionalen Notation für Polynome berücksichtigt wird. Wenn a bezeichnet eine Zahl, eine Variable, ein anderes Polynom oder allgemein jeden Ausdruck, dann P(a) bezeichnet das Ergebnis des Ersatzes durch Konvention a zum x in P. Somit das Polynom P definiert die Funktion

${\ displayStyle a \ mapsto p (a),},}$

Welches ist das Polynomfunktion verbunden sein mit P. Bei Verwendung dieser Notation vermutet man häufig das a ist eine Nummer. Man kann es jedoch über jede Domäne verwenden, in der Addition und Multiplikation definiert sind (dh jeder Ring). Insbesondere wenn, wenn a ist dann ein Polynom P(a) ist auch ein Polynom.

Genauer gesagt, wenn a ist das unbestimmt x, dann ist die Bild von x durch diese Funktion ist das Polynom P selbst (Ersatz x zum x ändert nichts). Mit anderen Worten,

${\ displayStyle p (x) = p,}$

was formell die Existenz von zwei Notationen für das gleiche Polynom rechtfertigt.

Definition

A Polynomausdruck ist ein Ausdruck das kann aus gebaut werden Konstanten und Symbole aufgerufen Variablen oder unbestimmt mittels Zusatz, Multiplikation und Exponentiation zu einem Nicht negative Ganzzahl Energie. Die Konstanten sind im Allgemeinen Zahlen, aber kann ein Ausdruck sein, der die Unbestimmtheit nicht beinhaltet und darstellen mathematische Objekte Das kann hinzugefügt und multipliziert werden. Zwei polynomiale Ausdrücke werden als Definieren derselben angesehen Polynom Wenn sie durch die Anwendung der üblichen Eigenschaften von zu anderen transformiert werden können Amtativität, Assoziativität und Verbreitung von Addition und Multiplikation. Zum Beispiel ${\ displayStyle (x-1) (x-2)}$ und ${\ displaystyle x^{2} -3x+2}$ sind zwei Polynomausdrücke, die das gleiche Polynom darstellen; Also schreibt man ${\ displayStyle (x-1) (x-2) = x^{2} -3x+2.}$

Ein Polynom in einem einzigen unbestimmten x kann immer in der Form geschrieben (oder neu geschrieben) werden

$oder ,}$

wo ${\ displayStyle a_ {0}, \ ldots, a_ {n}}$ sind Konstanten, die als die genannt werden Koeffizienten des Polynoms und ${\ displayStyle x}$ ist das unbestimmt.^[2] Das Wort "unbestimmt" bedeutet das ${\ displayStyle x}$ stellt keinen bestimmten Wert dar, obwohl ein Wert dafür ersetzt werden kann. Die Zuordnung, die das Ergebnis dieser Substitution an den Substituierten Wert verbindet, ist a Funktion, genannt Polynomfunktion.

Dies kann durch die Verwendung genauer ausgedrückt werden Summierungsnotation:

${\ displayStyle \ sum _ {k = 0}^{n} a_ {k} x^{k}}$

Das heißt, ein Polynom kann entweder Null sein oder als Summe einer endlichen Anzahl von ungleich Null geschrieben werden Bedingungen. Jeder Begriff besteht aus dem Produkt einer Zahl - genannt die Koeffizient des Begriffs^[a]-und eine endliche Anzahl von Unbestimmungen, die auf nicht negative Ganzzahlmächte erhoben werden.

Einstufung

Der Exponent eines in einem Term unbestimmten Unbestimmungen wird als Grad dieses in diesem Begriff unbestimmten Unbestimmtheit bezeichnet; Der Grad des Begriffs ist die Summe der Grad der Unbestimmungen in diesem Begriff, und der Grad eines Polynoms ist der größte Grad eines jeden Begriffs mit ungleich Null -Koeffizienten.^[3] Da x = x¹Der Grad eines unbestimmten ohne schriftlichen Exponenten ist eins.

Ein Begriff ohne Unbestimmungen und ein Polynom ohne Unbestimmtheit werden als a genannt, a ständiger Begriff und ein konstantes Polynom.^[b] Der Grad eines konstanten Terms und eines konstanten Polynoms ungleich Null beträgt 0. Der Grad des Nullpolynoms 0 (der überhaupt keine Begriffe hat) wird im Allgemeinen als nicht definiert (siehe unten) behandelt.^[4]

Zum Beispiel:

${\ displayStyle -5x^{2} y}$

ist ein Begriff. Der Koeffizient ist –5, die Unbestimmungen sind x und y, der Grad von x ist zwei, während der Grad von y ist ein. Der Grad des gesamten Begriffs ist die Summe der Grade jedes unbestimmten Inbesten 2 + 1 = 3.

Die Bildung einer Summe mehrerer Begriffe erzeugt ein Polynom. Zum Beispiel ist das Folgende ein Polynom:

${\ displayStyle \ Underbrace {_ {\,} 3x^{2}} _ {\ begin {smallmatrix} \ mathhrm {Term} \\\ mathrm {1} \ end {smallmatrix}} \ unterbrace {-{{{{{{{{{{{{{{{{{{\ \),, } 5x} _ {\ begin {smallmatrix} \ mathrm {Term} \\\ mathrm {2} \ end {smallmatrix}} \ unterbrace {+_ {\,} 4} {{{{smallmatrix {} {termin } \\\ mathhrm {3} \ end {smallmatrix}}.}$

Es besteht aus drei Begriffen: Der erste ist Grad zwei, der zweite ist Grad eins und der dritte ist Grad Null.

Polynome mit geringem Grad wurden spezifische Namen gegeben. Ein Polynom von Grad Null ist a konstantes Polynomoder einfach ein Konstante. Polynome von Grad eins, zwei oder drei sind jeweils lineare Polynome, Quadratische Polynome und Kubische Polynome.^[3] Bei höheren Graden werden die spezifischen Namen nicht häufig verwendet, obwohl jedoch nicht Quartierpolynom (für Abschluss vier) und Quintisches Polynom (für Abschluss fünf) werden manchmal verwendet. Die Namen für die Abschlüsse können auf das Polynom oder auf seine Begriffe angewendet werden. Zum Beispiel der Begriff 2x in x² + 2x + 1 ist ein linearer Begriff in einem quadratischen Polynom.

Das Polynom 0, von dem angenommen werden kann, dass er überhaupt keine Begriffe hat, wird als die genannt Null Polynom. Im Gegensatz zu anderen konstanten Polynomen ist sein Grad nicht Null. Vielmehr wird der Grad des Nullpolynoms entweder explizit undefiniert oder als negativ definiert (entweder –1 oder −∞).^[5] Das Nullpolynom ist auch insofern einzigartig, als es das einzige Polynom in einem Unbestimmt Wurzeln. Die Grafik des Nullpolynoms, f(x) = 0, ist der x-Achse.

Bei Polynomen in mehr als einem unbestimmten Polynom wird ein Polynom genannt homogen von Grad n wenn alle seiner Begriffe ungleich Null haben Grad n. Das Nullpolynom ist homogen und als homogenes Polynom ist sein Grad undefiniert.^[c] Zum Beispiel, x³y² + 7x²y³ - 3x⁵ ist homogen von Grad 5. Weitere Informationen finden Sie unter Homogenes Polynom.

Das Kommutativgesetz Addition kann verwendet werden, um Begriffe in jede bevorzugte Reihenfolge umzuordnen. Bei Polynomen mit einem unbestimmten werden die Begriffe normalerweise nach Grad geordnet, entweder in "absteigenden Kräften von x", mit dem Begriff des größten Grades zuerst oder in" aufsteigenden Kräften von " x". Das Polynom 3x² - 5x + 4 ist in absteigenden Kräften von geschrieben x. Der erste Term hat einen Koeffizienten 3unbestimmt xund Exponent 2. Im zweiten Term der Koeffizient ist –5. Der dritte Term ist eine Konstante. Weil die Grad Von einem Polynom ohne Null ist das größte Grad eines jeden Begriffs, dieses Polynom hat Grad zwei.^[6]

Zwei Begriffe mit den gleichen Unbestimmungen, die zu den gleichen Kräften erhoben werden, werden als "ähnliche Begriffe" oder "ähnliche Begriffe" bezeichnet und können unter Verwendung des Verteilungsrecht, in einen einzigen Begriff, dessen Koeffizient die Summe der Koeffizienten der kombinierten Begriffe ist. Es kann passieren, dass dies den Koeffizienten 0 macht.^[7] Polynome können durch die Anzahl der Begriffe mit Nicht-Null-Koeffizienten klassifiziert werden, sodass ein Ein-Term-Polynom genannt wird monomial,^[d] Ein Zwei-Term-Polynom wird a genannt Binomial-und ein Drei-Term-Polynom wird als a genannt Trinom. Der Begriff "Quadrinomial" wird gelegentlich für ein Vierzeit-Polynom verwendet.

A Echtes Polynom ist ein Polynom mit real Koeffizienten. Wenn es verwendet wird, um a zu definieren Funktion, das Domain ist nicht so eingeschränkt. Allerdings a Echte Polynomfunktion ist eine Funktion von den Realität bis zu den Realität, die durch ein echtes Polynom definiert wird. Ebenso an Ganzzahl Polynom ist ein Polynom mit ganze Zahl Koeffizienten und a Komplexes Polynom ist ein Polynom mit Komplex Koeffizienten.

Ein Polynom in einem unbestimmten als a univariate Polynom, ein Polynom in mehr als einem Unbestimmt Multivariate Polynom. Ein Polynom mit zwei Unbestimmungen wird als a genannt bivariate Polynom.^[2] Diese Begriffe beziehen sich mehr auf die Art von Polynomen, mit denen man im Allgemeinen arbeitet, als auf einzelne Polynome; Zum Beispiel schließt man bei der Arbeit mit univariaten Polynomen nicht konstante Polynome (die sich aus der Subtraktion nicht konstantem Polynomen ergeben können), obwohl streng genommen konstante Polynome überhaupt keine Indeterminaten enthalten. Es ist möglich, multivariate Polynome weiter zu klassifizieren bivariate, trivariateund so weiter, je nach maximaler Anzahl der zulässigen Unbestimmungen. So, so dass die in Betracht gezogene Objekte unter Subtraktion geschlossen werden, ermöglicht eine Untersuchung von trivariaten Polynomen normalerweise bivariate Polynome und so weiter. Es ist auch üblich, einfach "Polynome in" zu sagen x, y, und z", Auflistung der zulässigen Unbestimmungen.

Das Bewertung eines Polynoms besteht darin, jeden unbestimmt einen numerischen Wert zu ersetzen und die angegebenen Multiplikationen und Ergänzungen durchzuführen. Bei Polynomen in einer unbestimmten Bewertung ist die Bewertung in der Regel effizienter (geringere Anzahl von arithmetischen Operationen, die durchgeführt werden müssen) Horners Methode:

$oder 1}) x+a_ {0}.}$

Arithmetik

Addition und Subtraktion

Polynome können mit dem hinzugefügt werden Assoziatives Recht der Addition (Gruppieren Sie alle ihre Begriffe in eine einzelne Summe), möglicherweise gefolgt von neuem Anordnung (unter Verwendung der Kommutativgesetz) und Kombination von ähnlichen Begriffen.^[7][8] Zum Beispiel wenn

${\ displayStyle p = 3x^{2} -2x+5xy-2}$ und ${\ displayStyle q = -3x^{2}+3x+4y^{2} +8}$

dann die Summe

${\ displayStyle p+q = 3x^{2} -2x+5xy-2-3x^{2}+3x+4y^{2} +8}$

kann neu angeordnet und neu gruppiert werden als

${\ displayStyle p+q = (3x^{2} -3x^{2})+(-2x+3x)+5xy+4y^{2}+(8-2)}$

und dann vereinfacht zu

${\ displayStyle p+q = x+5xy+4y^{2} +6.}$

Wenn Polynome zusammengefügt werden, ist das Ergebnis ein weiteres Polynom.^[9]

Die Subtraktion von Polynomen ist ähnlich.

Multiplikation

Polynome können auch multipliziert werden. Um die zu erweitern Produkt Von zwei Polynomen in eine Summe von Begriffen wird das Verteilungsgesetz wiederholt angewendet, was dazu führt, dass jede Amtszeit eines Polynoms mit jeder Laufzeit des anderen multipliziert wird.^[7] Zum Beispiel wenn

$oder } \ end {aligned}}}$

dann

${\ displaystyle {\ begin {array} {rccrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcr. oder }} \ cdot {\ color {blau} {xy}}) &+& ({\ color {rot} {2x} \ \ cdot {\ color {blau} {1}}) \\ && & ({{{\ \ Farbe {Red} {3y}} \ cdot {\ color {blau} {2x}}) &+& ({\ color {rot} {3y}} \ cdot {\ color {blau} {5y}}) &+ & ({\ color {Red} {3y}} \ cdot {\ color {blau} {xy}}) &+& ({\ color {rot} {3y}} \ cdot {\ color {blau} {1}} }) \\ &&+& ({\ color {rot} {5}} \ cdot {\ color {blau} {2x}}) &+& ({\ color {rot} {5}} \ cdot {\ color {Blau} {5y}}) &+& ({\ color {red} {5}} \ cdot {\ color {blue} {xy}}) &+& ({\ color {rot} {5}} \ CDOT {\ color {blau} {1}}) \ end {Array}}}$

Durch die Durchführung der Multiplikation in jedem Semester erzeugt

${\displaystyle {\begin{array}{rccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&10xy&+&2x^{2}y&+&2x\\&&+&6xy&+&15y^{2}&+&3xy^{2}& +& 3y \\ &&+& 10x &+& 25y &+& 5xy &+& 5. \ end {Array}}}}$

Kombination ähnlicher Begriffe Erträge

$oder {2} &+& 3xy^{2} &+& (3y+25y) &+& 5 \ end {Array}}}}$

das kann vereinfacht werden zu

${\ displayStyle pq = 4x^{2}+21xy+2x^{2} y+12x+15y^{2}+3xy^{2}+28y+5.}$

Wie im Beispiel ist das Produkt von Polynomen immer ein Polynom.^[9][4]

Komposition

Mit einem Polynom ${\ displayStyle f}$ einer einzelnen Variablen und eines anderen Polynoms g von einer beliebigen Anzahl von Variablen, die Komposition ${\ displayStyle f \ circ g}$ wird erhalten, indem jede Kopie der Variablen des ersten Polynoms durch das zweite Polynom ersetzt wird.^[4] Zum Beispiel wenn ${\ displayStyle f (x) = x^{2}+2x}$ und ${\ displayStyle g (x) = 3x+2}$ dann

Eine Komposition kann auf eine Summe von Begriffen erweitert werden, die die Regeln für die Multiplikation und die Aufteilung von Polynomen unter Verwendung von Begriffen erweitert werden. Die Zusammensetzung von zwei Polynomen ist ein weiteres Polynom.^[10]

Aufteilung

Die Aufteilung eines Polynoms durch ein anderes ist typischerweise kein Polynom. Stattdessen sind solche Verhältnisse eine allgemeinere Familie von Objekten, genannt rationale Brüche, rationale Ausdrücke, oder rationale Funktionen, abhängig vom Kontext.^[11] Dies ist analog zu der Tatsache, dass das Verhältnis von zwei Ganzzahlen ist ein Rationale Zahl, nicht unbedingt eine Ganzzahl.^[12][13] Zum Beispiel der Bruch 1/((x² + 1) ist kein Polynom und kann nicht als endliche Befugnissumme der Variablen geschrieben werden x.

Für Polynome in einer Variablen gibt es einen Begriff von Euklidische Aufteilung der Polynome, verallgemeinern Euklidische Division von Ganzzahlen.^[e] Dieser Begriff der Abteilung a(x)/b(x) führt zu zwei Polynomen, a Quotient q(x) und ein Rest r(x), so dass a = b q + r und Grad(r) <Grad (Grad (b). Der Quotient und der Rest können von mehreren von mehreren Algorithmen berechnet werden, einschließlich Polynom lange Division und Synthetische Abteilung.^[14]

Wenn der Nenner b(x) ist Monik und linear, das heißt, b(x) = x − c für einige Konstante c, dann ist die Polynomreste Theorem behauptet, dass der Rest der Aufteilung von a(x) durch b(x) ist der Auswertung a(c).^[13] In diesem Fall kann der Quotient von berechnet werden Ruffinis Regel, ein Sonderfall der synthetischen Aufteilung.^[15]

Factoring

Alle Polynome mit Koeffizienten in a Eindeutige Faktorisierungsdomäne (Zum Beispiel die Ganzzahlen oder a aufstellen) haben auch eine berücksichtigte Form, in der das Polynom als Produkt von geschrieben ist irreduzible Polynome und eine Konstante. Diese faktorierte Form ist einzigartig in der Reihenfolge der Faktoren und ihrer Multiplikation durch eine invertierbare Konstante. Im Fall des Gebiets von komplexe ZahlenDie nicht reduzierbaren Faktoren sind linear. Über dem reale NummernSie haben den Abschluss entweder ein oder zwei. Über die Ganzzahlen und die Rationale Zahlen Die nicht reduzierbaren Faktoren können einen Abschluss haben.^[16] Zum Beispiel die berücksichtigte Form von

${\ displayStyle 5x^{3} -5}$

ist

${\ displayStyle 5 (x-1) \ links (x^{2}+x+1 \ rechts)}$

über die Ganzzahlen und die Realität, und

$oder 3}}} {2}} \ rechts)}$

über die komplexen Zahlen.

Die Berechnung der faktorierten Form, genannt Faktorisierung ist im Allgemeinen durch handgeschriebene Berechnung zu schwer zu tun. Jedoch effizient Polynomfaktorisierung Algorithmen sind in den meisten Computeralgebra -Systeme.

Infinitesimalrechnung

Berechnung Derivate und Integrale von Polynomen sind im Vergleich zu anderen Arten von Funktionen besonders einfach. Das Derivat des Polynoms

in Gedenken an x ist das Polynom Ebenso der General antiderivativ (oder unbestimmte Integral) von ${\ displayStyle p}$ ist wo c ist eine willkürliche Konstante. Zum Beispiel Antiderivate von x² + 1 habe die Form 1/3x³ + x + c.

Für Polynome, deren Koeffizienten aus abstrakteren Einstellungen stammen (zum Beispiel, wenn die Koeffizienten Ganzzahlen sind Modulo etwas Primzahl p, oder Elemente eines willkürlichen Rings), die Formel für das Derivat kann immer noch formell mit dem Koeffizienten interpretiert werden Ka_k verstanden als die Summe von k Kopien von a_k. Zum Beispiel über das Ganzzahlenmodulo pdas Ableitungen des Polynoms x^p + x ist das Polynom 1.^[17]

Polynomfunktionen

A Polynomfunktion ist eine Funktion, die definiert werden kann durch Bewertung ein Polynom. Genauer gesagt eine Funktion f von einem Streit Aus einer bestimmten Domäne ist eine Polynomfunktion, wenn es ein Polynom gibt

$oder }$

das bewertet ${\ displayStyle f (x)}$ für alle x in dem Domain von f (hier, n ist eine nicht negative Ganzzahl und a₀, a₁, a₂, ..., a_n sind konstante Koeffizienten). Im Allgemeinen haben Polynomfunktionen, sofern nicht anders angegeben Komplex Koeffizienten, Argumente und Werte. Insbesondere ein Polynom, das auf reale Koeffizienten beschränkt ist, definiert eine Funktion von den komplexen Zahlen zu den komplexen Zahlen. Wenn die Domäne dieser Funktion auch ist eingeschränkt Für die Realität ist die resultierende Funktion a echte Funktion Das bildet Real in Real.

Zum Beispiel die Funktion f, definiert von

${\ displayStyle f (x) = x^{3} -x,}$

ist eine Polynomfunktion einer Variablen. Polynomfunktionen mehrerer Variablen werden ähnlich definiert, wobei Polynome in mehr als einem unbestimmt wie in verwendet werden

${\ displayStyle f (x, y) = 2x^{3}+4x^{2} y+xy^{5}+y^{2} -7.}$

Nach der Definition von Polynomfunktionen kann es Ausdrücke geben, die offensichtlich keine Polynome sind, sondern dennoch Polynomfunktionen definieren. Ein Beispiel ist der Ausdruck ${\ displayStyle \ links ({\ sqrt {1-x^{2}}} \ rechts)^{2},},}$ Dies erfordert die gleichen Werte wie das Polynom ${\ displayStyle 1-x^{2}}$ in der Pause ${\ displayStyle [-1,1]}$und somit definieren beide Ausdrücke die gleiche Polynomfunktion in diesem Intervall.

Jede Polynomfunktion ist kontinuierlich, glatt, und gesamte.

Grafiken

Eine Polynomfunktion in einer realen Variablen kann durch a dargestellt werden Graph.

• Die Grafik des Nullpolynoms
  f(x) = 0
  ist der x-Achse.
• Die Grafik eines Grades 0 Polynom
  f(x) = a₀, wo a₀ ≠ 0,
  ist eine horizontale Linie mit y-abfangen a₀
• Die Grafik eines Grades 1 -Polynoms (oder linearer Funktion)
  f(x) = a₀ + a₁x, wo a₁ ≠ 0,
  ist eine schräge Linie mit y-abfangen a₀ und Neigung a₁.
• Die Grafik eines Grades 2 Polynom
  f(x) = a₀ + a₁x + a₂x², wo a₂ ≠ 0
  ist ein Parabel.
• Die Grafik eines Grades 3 Polynom
  f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³, wo a₃ ≠ 0
  ist ein Kubikkurve.
• Die Grafik eines Polynoms mit Grad 2 oder mehr
  f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ⋯ + a_nxⁿ, wo a_n ≠ 0 und n ≥ 2
  ist eine kontinuierliche nichtlineare Kurve.

Eine nicht konstante Polynomfunktion tendiert zur Unendlichkeit Wenn die Variable auf unbestimmte Zeit zunimmt (in absoluter Wert). Wenn der Grad höher als eins ist, hat die Grafik keine Asymptote. Es hat zwei Parabolische Zweige mit vertikaler Richtung (ein Zweig für positiv x und eine für negativ x).

Polynomdiagramme werden in Kalkül unter Verwendung von Abschnitten, Steigungen, Konkavität und Endverhalten analysiert.

Gleichungen

A Polynomgleichung, auch als ein genannt algebraische Gleichung, ist ein Gleichung der Form^[18]

$oder = 0.}$

Zum Beispiel,

${\ displayStyle 3x^{2}+4x-5 = 0}$

ist eine Polynomgleichung.

Bei der Betrachtung von Gleichungen werden auch die Unbestimmungen (Variablen) von Polynomen aufgerufen Unbekannte, und die Lösungen sind die möglichen Werte der Unbekannten, für die die Gleichheit wahr ist (im Allgemeinen kann mehr als eine Lösung existieren). Eine Polynomgleichung steht im Gegensatz zu a Polynom Identität wie (x + y) (x − y) = x² − y², wo beide Ausdrücke in verschiedenen Formen das gleiche Polynom darstellen, und infolgedessen gibt jede Bewertung beider Mitglieder eine gültige Gleichheit.

In elementarer Algebra, Methoden wie die quadratische Formel werden gelehrt, um alle Polynomgleichungen im ersten Grad und zweiten Grades in einer Variablen zu lösen. Es gibt auch Formeln für die kubisch und Quart -Gleichungen. Für höhere Grad die Abel -Ruffini -Theorem behauptet, dass es keine allgemeine Formel in Radikalen gibt. Jedoch, Wurzelfindungsalgorithmen kann verwendet werden, um zu finden Numerische Näherungen der Wurzeln einer Polynomausdruck eines jeden Grades.

Die Anzahl der Lösungen einer Polynomgleichung mit realen Koeffizienten darf den Grad nicht überschreiten, und entspricht dem Grad, wenn die Komplex Lösungen werden mit ihren gezählt Vielzahl. Diese Tatsache heißt das Grundsatz der Algebra.

Gleichungen lösen

A Wurzel eines univariaten Polynoms ungleich Null P ist ein Wert a von x so dass P(a) = 0. Mit anderen Worten eine Wurzel von P ist eine Lösung der Polynomgleichung P(x) = 0 oder ein Null der Polynomfunktion definiert durch P. Im Fall des Nullpolynoms ist jede Zahl eine Null der entsprechenden Funktion, und das Konzept der Wurzel wird selten berücksichtigt.

Eine Zahl a ist eine Wurzel eines Polynoms P wenn und nur wenn die lineares Polynom x − a teilt PDas ist, wenn es ein anderes Polynom gibt Q so dass P = (x − a) Q. Es kann passieren, dass eine Macht (größer als 1) von x − a teilt P; in diesem Fall, a ist ein Multiple Wurzel von P, und ansonsten a ist ein Einfache Wurzel von P. Wenn P ist ein Polynom ungleich Null, es gibt eine höchste Leistung m so dass (x − a)^m teilt P, was genannt wird Vielzahl von a als Wurzel von P. Die Anzahl der Wurzeln eines Polynoms ungleich Null P, gezählt mit ihren jeweiligen Multiplikationen, darf den Grad von von überschreiten P,^[19] und gleich diesen Grad, wenn alles Komplex Wurzeln werden berücksichtigt (dies ist eine Folge der Grundsatz der Algebra. Die Koeffizienten eines Polynoms und seiner Wurzeln werden durch verwandt Vietas Formeln.

Einige Polynome, wie z. x² + 1, haben keine Wurzeln unter den reale Nummern. Wenn jedoch der Satz akzeptierter Lösungen auf die erweitert wird komplexe Zahlenjedes nicht konstante Polynom hat mindestens eine Wurzel; Dies ist das Grundsatz der Algebra. Durch sukzessive Aufteilung der Faktoren x − aMan sieht, dass jedes Polynom mit komplexen Koeffizienten als konstante (sein führender Koeffizient) ein Produkt solcher Polynomfaktoren von Grad 1 geschrieben werden kann; Infolgedessen ist die Anzahl der (komplexen) Wurzeln mit ihrer Multiplikationen genau dem Grad des Polynoms entspricht.

Es kann mehrere Bedeutungen der "Lösung einer Gleichung" geben. Man könnte die Lösungen als explizite Zahlen ausdrücken; Zum Beispiel die einzigartige Lösung von 2x - 1 = 0 ist 1/2. Leider ist dies im Allgemeinen unmöglich für Gradgleichungen größer als eins, und seit der Antike haben die Mathematiker gesucht, um die Lösungen als auszudrücken Algebraische Ausdrücke; Zum Beispiel die Goldener Schnitt ${\ displayStyle (1+{\ sqrt {5}})/2}$ ist die einzigartige positive Lösung von ${\ displayStyle x^{2} -x-1 = 0.}$ In der Antike gelang es ihnen nur für Grad 1 und Two. Zum quadratische Gleichungen, das quadratische Formel Bietet solche Ausdrücke der Lösungen. Seit dem 16. Jahrhundert sind ähnliche Formeln (unter Verwendung von Würfelwurzeln zusätzlich zu Square -Wurzeln), obwohl viel komplizierter, für Gleichungen von Grad Drei und Vier bekannt (siehe Kubikgleichung und Quart -Gleichung). Aber Formeln für Studiengang 5 und höher entzogen sich Forscher seit mehreren Jahrhunderten. Im Jahr 1824, Niels Henrik Abel bewiesen das bemerkenswerte Ergebnis, dass es Gleichungen von Grad 5 gibt, deren Lösungen nicht durch eine (endliche) Formel ausgedrückt werden können, die nur arithmetische Operationen und Radikale umfasst (siehe Abel -Ruffini -Theorem). Im Jahr 1830, Évariste Galois bewiesen, dass die meisten Gradgleichungen, die höher als vier sind, nicht durch Radikale gelöst werden können, und zeigten, dass für jede Gleichung, dass sie durch Radikale lösbar sind, und, wenn dies der Fall ist, es lösen kann. Dieses Ergebnis markierte den Beginn von Galois -Theorie und Gruppentheorie, zwei wichtige Zweige der Moderne Algebra. Galois selbst bemerkte, dass die von seiner Methode implizierten Berechnungen nicht praktikabel waren. Trotzdem wurden Formeln für lösbare Gleichungen von Grad 5 und 6 veröffentlicht (siehe Quintische Funktion und sextische Gleichung).

Wenn es keinen algebraischen Ausdruck für die Wurzeln gibt und wenn ein solcher algebraischer Ausdruck existiert, aber zu kompliziert ist, um nützlich zu sein, ist die einzigartige Art der Lösung, zu berechnen Numerische Näherungen der Lösungen.^[20] Dafür gibt es viele Methoden; Einige beschränken sich auf Polynome, andere können für jeden gelten kontinuierliche Funktion. Am effizientesten Algorithmen leicht lösen (auf a Computer) Polynomgleichungen von Grad höher als 1.000 (siehe Wurzelfindungsalgorithmus).

Für Polynome mit mehr als einem Unbestimmt Nullen statt "Wurzeln". Die Untersuchung der Nullen von Polynomen ist das Objekt von Algebraische Geometrie. Für eine Reihe von Polynomgleichungen mit mehreren Unbekannten gibt es Algorithmen zu entscheiden, ob sie eine begrenzte Anzahl von haben Komplex Lösungen und, wenn diese Zahl endlich ist, für die Berechnung der Lösungen. Sehen System der Polynomgleichungen.

Der Sonderfall, in dem alle Polynome von Grad eins sind, heißt a System der linearen Gleichungen, für welches eine andere Bandbreite verschiedener Lösungsmethoden existieren, einschließlich der Klassiker Gaußsche Eliminierung.

Eine Polynomgleichung, für die man nur an den Lösungen interessiert ist, die sind Ganzzahlen wird als a genannt Diophantinengleichung. Die Lösung diophantinischer Gleichungen ist im Allgemeinen eine sehr schwierige Aufgabe. Es wurde bewiesen, dass es keinen allgemeinen geben kann Algorithmus zum Lösen oder sogar zur Entscheidung, ob die Lösungsmenge leer ist (siehe Hilberts zehnte Problem). Einige der berühmtesten Probleme, die in den letzten fünfzig Jahren gelöst wurden Fermats letzter Satz.

Polynomausdrücke

Polynome, bei denen Unbestimmungen durch einige andere mathematische Objekte ersetzt werden, werden häufig berücksichtigt und haben manchmal einen besonderen Namen.

Trigonometrische Polynome

A Trigonometrisches Polynom ist eine endliche lineare Kombination von Funktionen Sünde(NX) und cos ((NX) mit n die Werte eines oder mehrerer übernehmen natürliche Zahlen.^[21] Die Koeffizienten können für reale Funktionen als reelle Zahlen angesehen werden.

Wenn Sünde (NX) und cos ((NX) werden in Bezug auf die Sünde erweitert (x) und cos ((x) Ein trigonometrisches Polynom wird zu einem Polynom in den beiden Variablen sin (Sünde (x) und cos ((x) (Verwendung Liste der trigonometrischen Identitäten#Mehrwinkelformeln). Umgekehrt jedes Polynom in der Sünde (x) und cos ((x) kann konvertiert werden, mit Produkt-zu-Sum-Identität, in eine lineare Kombination von Funktionen Sünde (NX) und cos ((NX). Diese Äquivalenz erklärt, warum lineare Kombinationen als Polynome bezeichnet werden.

Zum Komplexe KoeffizientenEs gibt keinen Unterschied zwischen einer solchen Funktion und einer endlichen Funktion die Fourierreihe.

Trigonometrische Polynome werden beispielsweise in weit verbreiteter verwendet Trigonometrische Interpolation angewendet auf die Interpolation von regelmäßige Funktionen. Sie werden auch in der verwendet diskrete Fourier-Transformation.

Matrixpolynome

A Matrixpolynom ist ein Polynom mit Quadratmatrizen als Variablen.^[22] Mit einem gewöhnlichen, skalarwertigen Polynom

$oder 2} +\ cdots +a_ {n} x^{n},},}$

Dieses Polynom wurde an einer Matrix bewertet A ist

$oder {2} +\ cdots +a_ {n} a^{n},}$

wo I ist der Identitätsmatrix.^[23]

A Matrixpolynomgleichung ist eine Gleichheit zwischen zwei Matrixpolynomen, die für die spezifischen Matrizen gilt. EIN Matrixpolynomidentität ist eine Matrixpolynomgleichung, die für alle Matrizen gilt A in einem angegebenen Matrixring M_n(R).

Exponentielle Polynome

Ein bivariates Polynom, bei dem die zweite Variable für eine exponentielle Funktion ersetzt wird, die beispielsweise auf die erste Variable angewendet wird P(x, e^x), kann als ein bezeichnet werden Exponentielles Polynom.

Verwandte konzepte

Rationale Funktionen

A rationaler Bruch ist der Quotient (algebraische Bruch) von zwei Polynomen. Irgendein Algebraischer Ausdruck Das kann als rationaler Fraktion umgeschrieben werden ist a rationale Funktion.

Während Polynomfunktionen für alle Werte der Variablen definiert sind, wird eine rationale Funktion nur für die Werte der Variablen definiert, für die der Nenner nicht Null ist.

Zu den rationalen Fraktionen gehören die Laurent -Polynome, beschränken jedoch nicht die Nenner auf Befugnisse eines Unbestimmtes.

Laurent -Polynome

Laurent -Polynome sind wie Polynome, erlauben jedoch negative Kräfte der Variablen (en).

Power -Serie

Formale Machtserie sind wie Polynome, aber zulassen unendlich viele Begriffe ungleich Null, so dass sie keinen endgültigen Grad haben. Im Gegensatz zu Polynomen können sie im Allgemeinen nicht explizit und vollständig niedergeschrieben sein (genau wie irrationale Zahlen kann nicht), aber die Regeln für die Manipulation ihrer Begriffe sind die gleichen wie für Polynome. Nicht formal Power -Serie Verallgemeinerte auch Polynome, aber die Multiplikation von zwei Power -Serien kann nicht konvergieren.

Polynomring

A Polynom f über ein Gewinnring R ist ein Polynom, von dem alle Koeffizienten gehören R. Es ist unkompliziert zu überprüfen R bilden einen kommutativen Ring, der genannt wird Polynomring in diesen Unbestimmungen bezeichnet ${\ displayStyle r [x]}$ im univariaten Fall und ${\ displayStyle r [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$ im multivariaten Fall.

Hat man

$oder$

Daher kann der größte Teil der Theorie des multivariaten Falles auf einen iterierten univariaten Fall reduziert werden.

Die Karte von R zu R[x] Senden r für sich selbst als konstantes Polynom ein Injektiv ist Homomorphismus Ring, durch welches R wird als Unterring von angesehen R[x]. Im Speziellen, R[x] ist ein Algebra Über R.

Man kann an den Ring denken R[x] wie erfolgt R durch Hinzufügen eines neuen Elements x zu Rund auf minimale Weise zu einem Ring erstrecken, in dem x erfüllt keine anderen Beziehungen als die obligatorischen sowie die Kommutierung mit allen Elementen von R (das ist xr = rx). Dazu muss man alle Kräfte von hinzufügen x und auch ihre linearen Kombinationen.

Bildung des Polynomrings zusammen mit der Bildungsfaktorklingen durch Factoring Ideale, sind wichtige Werkzeuge, um neue Ringe aus bekannten zu konstruieren. Zum Beispiel der Ring (in der Tat) komplexer Zahlen, die aus dem Polynomring konstruiert werden können R[x] über die realen Zahlen, indem sie das Ideal der Vielfachen des Polynoms berücksichtigt x² + 1. Ein weiteres Beispiel ist die Konstruktion von endliche Felder, was ähnlich weitergeht, beginnend mit dem Feld der Ganzzahlen modulo einige Primzahl als Koeffizientenring R (sehen Modulararithmetik).

Wenn R ist kommutativ, dann kann man mit jedem Polynom assoziieren P in R[x] a Polynomfunktion f mit Domain und Bereich gleich gleich R. (Allgemeiner kann man Domain und Reichweite als gleichen betrachten Unentschieden Assoziative Algebra Über R.) Man erhält den Wert f(r) durch Auswechslung des Wertes r für das Symbol x in P. Ein Grund, zwischen Polynomen und Polynomfunktionen zu unterscheiden, ist, dass über einige Ringe verschiedene Polynome zur gleichen Polynomfunktion führen können (siehe Fermats kleiner Theorem für ein Beispiel wo R ist das Ganzzahlen Modulo p). Dies ist nicht der Fall, wenn R ist die realen oder komplexen Zahlen, von wo aus die beiden Konzepte nicht immer unterschieden werden Analyse. Ein noch wichtigerer Grund, zwischen Polynomen und Polynomfunktionen zu unterscheiden, ist, dass viele Operationen auf Polynomen (wie wie Euklidische Division) Erfordern es, zu untersuchen, woraus ein Polynom als Ausdruck besteht, anstatt es mit einem konstanten Wert für einen konstanten Wert zu bewerten x.

Trennbarkeit

Wenn R ist ein Integrale Domäne und f und g sind Polynome in R[x], es wurde gesagt, dass f teilt g oder f ist ein Teiler von g Wenn es ein Polynom gibt q in R[x] so dass f q = g. Wenn ${\ displayStyle a \ in r,}$ dann a ist eine Wurzel von f wenn und nur ${\ displayStyle x-a}$ teilt f. In diesem Fall kann der Quotient mit dem berechnet werden Polynom lange Division.^[24][25]

Wenn F ist ein aufstellen und f und g sind Polynome in F[x] mit g ≠ 0Dann gibt es einzigartige Polynome q und r in F[x] mit

${\ displayStyle f = q \, g+r}$

und so dass der Grad von r ist kleiner als der Grad von g (unter Verwendung der Konvention, dass das Polynom 0 einen negativen Grad hat). Die Polynome q und r werden einzigartig bestimmt von f und g. Das nennt man Euklidische Division, Abteilung mit Rest oder Polynom lange Division und zeigt, dass der Ring F[x] ist ein Euklidische Domäne.

Analog, Prime Polynome (Genauer gesagt, irreduzible Polynome) kann definiert als Polynome ungleich Null, die nicht in das Produkt von zwei nicht konstanten Polynomen faktorisiert werden können. Im Falle von Koeffizienten in einem Ring,, "nicht konstant" muss durch ersetzt werden durch "Nicht konstant oder nichtEinheit" (Beide Definitionen stimmen im Fall von Koeffizienten in einem Feld überein). Jedes Polynom kann durch ein Produkt irreduzibler Polynome in das Produkt einer invertierbaren Konstante zerlegt werden. Wenn die Koeffizienten zu einem Feld oder a gehören Eindeutige Faktorisierungsdomäne Diese Zersetzung ist einzigartig in der Größenordnung der Faktoren und der Multiplikation eines Nichteinheitsfaktors durch eine Einheit (und Teilung des Einheitsfaktors mit derselben Einheit). Wenn die Koeffizienten zu Ganzzahlen, rationalen Zahlen oder einem endlichen Feld gehören, gibt es Algorithmen, um die Irreduzibilität zu testen und die Faktorisierung in nicht reduzierbare Polynome zu berechnen (siehe Faktorisierung von Polynomen). Diese Algorithmen sind für handgeschriebene Berechnungen nicht praktikabel, sind jedoch in jedem verfügbar Computeralgebra -System. Eisensteins Kriterium kann auch in einigen Fällen verwendet werden, um die Irrezierbarkeit zu bestimmen.

Anwendungen

Positionsnotation

In modernen Positionszahlensystemen, wie die DezimalsystemDie Ziffern und ihre Positionen in der Darstellung einer Ganzzahl, zum Beispiel 45, sind eine Kurzbeschreibung für ein Polynom in der Radix oder Basis, in diesem Fall, 4 × 10¹ + 5 × 10⁰. Als ein weiteres Beispiel bezeichnet eine Reihe von Ziffern wie 132 die (Dezimal-) Zahl 1 × 5² + 3 × 5¹ + 2 × 5⁰ = 42. Diese Darstellung ist einzigartig. Lassen b Sei eine positive Ganzzahl größer als 1, dann jede positive Ganzzahl a kann einzigartig in der Form ausgedrückt werden

$oder$

wo m ist eine nichtnegative Ganzzahl und die r's sind Ganzzahlen so, dass

0 << r_m < b und 0 ≤ r_i < b zum i = 0, 1 ,. . . Anwesend m - 1.^[26]

Interpolation und Näherung

Die einfache Struktur der Polynomfunktionen macht sie bei der Analyse allgemeiner Funktionen mithilfe von Polynomnäherungen sehr nützlich. Ein wichtiges Beispiel in Infinitesimalrechnung ist Taylors Satz, was ungefähr das gibt, dass jeder Differenzierbare Funktion lokal aussieht wie eine Polynomfunktion und die Stone -Will -Strass -Theorem, was angibt, dass jeder kontinuierliche Funktion definiert auf a kompakt Intervall der realen Achse können im gesamten Intervall so genau wie gewünscht durch eine Polynomfunktion angenähert werden. Zu den praktischen Annäherungsmethoden gehören Polynom -Interpolation und die Verwendung von Splines.^[27]

Andere Anwendungen

Polynome werden häufig verwendet, um Informationen über ein anderes Objekt zu codieren. Das charakteristisches Polynom einer Matrix oder eines linearen Operators enthält Informationen zum Bediener des Bedieners Eigenwerte. Das Minimales Polynom von einem Algebraischer Element zeichnet die einfachste algebraische Beziehung auf, die von diesem Element erfüllt ist. Das chromatisches Polynom von a Graph Zählt die Anzahl der richtigen Farben dieses Diagramms.

Der Begriff "Polynom" als Adjektiv kann auch für Mengen oder Funktionen verwendet werden, die in Polynomform geschrieben werden können. Zum Beispiel in Computerkomplexitätstheorie der Satz Polynomzeit bedeutet, dass die Zeit, die es braucht, um eine zu vervollständigen Algorithmus wird durch eine Polynomfunktion einer Variablen begrenzt, z. B. die Größe des Eingangs.

Geschichte

Die Bestimmung der Wurzeln von Polynomen oder "Algebraik -Gleichungen" gehört zu den ältesten Problemen in der Mathematik. Die elegante und praktische Notation, die wir heute verwenden, hat sich jedoch erst im 15. Jahrhundert entwickelt. Vorher wurden Gleichungen in Worten ausgeschrieben. Zum Beispiel ein Algebra -Problem der Chinesen Arithmetik in neun Abschnitten, circa 200 v. Chr., Beginnt "Drei Sheafs guter Ernte, zwei Sheafs mittelmäßiger Ernte und eine Sheaf von schlechter Ernte werden für 29 Dou verkauft." Wir würden schreiben 3x + 2y + z = 29.

Geschichte der Notation

Die früheste bekannte Verwendung des gleichen Zeichens ist in Robert Recorde's Der Whetstone der Witte, 1557. Die Zeichen + für die Addition, - für die Subtraktion und die Verwendung eines Buchstabens für ein Unbekannter erscheinen in Michael Stifel's Arithemetica Integra, 1544. René Descartes, in La Géometrie1637 führte das Konzept der Grafik einer Polynomgleichung ein. Er hat die Verwendung von Buchstaben vom Beginn des Alphabets populär gemacht, um Konstanten und Buchstaben aus dem Ende des Alphabets zu bezeichnen, um Variablen zu bezeichnen, wie oben zu sehen ist, in der allgemeinen Formel für ein Polynom in einer Variablen, wo die a's bezeichnen Konstanten und x bezeichnet eine Variable. Descartes führte die Verwendung von Superscripts zur Bezeichnung von Exponenten ein.^[28]

Siehe auch

• Liste der Polynomthemen

Anmerkungen

Verweise

Externe Links

• "Polynom", Enzyklopädie der Mathematik, EMS Press, 2001 [1994]
• "Eulers Untersuchungen zu den Wurzeln der Gleichungen". Archiviert von das Original am 24. September 2012.