Pohlke's theorem

Pohlke's Theorem ist der grundlegende Theorem von Axonometrie. Es wurde 1853 vom deutschen Maler und Lehrer von gegründet Beschreibende Geometrie Karl Wilhelm Pohlke. Der erste Beweis des Satzes wurde 1864 vom deutschen Mathematiker veröffentlicht Hermann Amandus Schwarz, der Student von Pohlke war. Deshalb wird der Satz manchmal genannt Theorem von Pohlke und Schwarz, zu.

Der Satz

Pohlke's Theorem

• Drei willkürliche Linienabschnitte ${\displaystyle {\overline {O}}{\overline {U}},{\overline {O}}{\overline {V}},{\overline {O}}{\overline {W}}}$ in einer Ebene, die an Punkt stammt ${\ displayStyle {\ overline {o}}}$, die nicht in einer Linie enthalten sind, kann als die betrachtet werden Parallele Projektion von drei Kanten ${\ displayStyle ou, ov, ow}$ von a Würfel.

Für eine Zuordnung eines Einheitswürfel muss man eine zusätzliche Skalierung entweder im Raum oder im Flugzeug anwenden. Weil eine parallele Projektion und eine Skalierung erhalten, kann man einen willkürlichen Punkt abbilden ${\ displayStyle p = (x, y, z)}$ durch das axonometrische Verfahren unten.

Pohlkes Theorem kann in Bezug auf lineare Algebra als:

• Irgendein Affine Mapping des dreidimensionalen Raums auf einer Ebene kann als Zusammensetzung von a betrachtet werden Ähnlichkeit und eine parallele Projektion.^[1]

Anwendung auf Axonometrie

das Prinzip der axonometrischen Projektion

Pohlkes Theorem ist die Rechtfertigung für das folgende einfache Verfahren, um eine skalierte parallele Projektion eines dreidimensionalen Objekts mit Koordinaten zu konstruieren ,:^[2][3]

1. Wählen Sie die Bilder der Koordinatenachsen, die nicht in einer Zeile enthalten sind.
2. Wählen Sie für eine Koordinatenachse Forshortenings ${\ displayStyle v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}> 0.}$
3. Das Bild ${\ displayStyle {\ overline {p}}}$ von einem Punkt ${\ displayStyle p = (x, y, z)}$ wird durch die drei Schritte angezeigt, beginnend am Punkt ${\ displayStyle {\ overline {o}}}$:

gehen ${\ displayStyle v_ {x} \ cdot x}$ in ${\ displayStyle {\ overline {x}}}$-Direktion dann

gehen ${\ displayStyle v_ {y} \ cdot y}$ in ${\ displayStyle {\ overline {y}}}$-Direktion dann

gehen ${\ displayStyle v_ {z} \ cdot z}$ in ${\ displayStyle {\ overline {z}}}$-Direktion und

4. Markieren Sie den Punkt als ${\ displayStyle {\ overline {p}}}$.

Um ungelebte Bilder zu erhalten, muss man die Bilder der Äxte und die Forshortens sorgfältig auswählen (siehe Axonometrie). Um eine zu bekommen orthographische Projektion Nur die Bilder der Achsen sind frei und die Forshortens werden bestimmt. (Siehe De: Orthogonale Axonometrie).

Bemerkungen zu Schwarz 'Beweisen

Schwarz formulierte und bewies die allgemeinere Aussage:

• Die Eckpunkte von allen Viereck kann als schräge parallele Projektion der Eckpunkte von a betrachtet werden Tetraeder das ist ähnlich zu einem gegebenen Tetraeder.^[4]

und benutzte einen Satz von L’Huilier:

• Jedes Dreieck kann als orthografische Projektion eines Dreiecks einer bestimmten Form angesehen werden.

Anmerkungen

Verweise

• K. Pohlke: Zehn Tafeln Zur Darstellenden Geometrie. Gaertner-Verlag, Berlin 1876 (Google Bücher.)
• Schwarz, H. A.:Elementarer Beweis des Pohlkesschen Fundamentalsatzes der Axonometrie,J. Reine Angew. Mathematik. 63, 309–314, 1864.
• Arnold Emch: Beweis für Pohlkes Theorem und seine Verallgemeinerungen durch Affinität, American Journal of Mathematics, Vol. 40, Nr. 4 (Okt. 1918), S. 366–374

Externe Links

• F. Klein: Der grundlegende Theorem von Pohlke, in Elementare Mathematik aus höherem Gesichtspunkt: Band II: Geometrie, p. 97,
• Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Mathematik in Geschichte und Kultur, p. 398.
• Pohlke -schwarz Theorem, Enzyklopädie der Mathematik.