Perspektive (Geometrie)

Zwei Perspektivdreiecke mit ihrer Perspektivenachse und im Zentrum

Zwei Figuren in a Flugzeug sind Perspektive von a Punkt O Wenn sich die Linien, die entsprechende Punkte der Abbildungen verbinden, alle treffen O. Doppelt, die Zahlen sollen sein Perspektive aus einer Linie Wenn die Schnittpunkte der entsprechenden Linien alle auf einer Zeile liegen. Die richtige Einstellung für dieses Konzept ist in projektive Geometrie Wo es keine Sonderfälle aufgrund paralleler Linien gibt, da sich alle Linien erfüllen. Obwohl hier für Figuren in einer Ebene angegeben, ist das Konzept leicht auf höhere Dimensionen auszudehnen.

Terminologie

Die Linie, die durch die Punkte geht, an denen sich die entsprechenden Seiten der Abbildung schneiden Perspektivitätsachse, Perspektiveachse, Homologische Achseoder archaisch, Perspektrix. Die Zahlen sollen eine Perspektive dieser Achse sein. Der Punkt, an dem sich die Linien, die die entsprechenden Eckpunkte der Perspektivfiguren verbinden Perspektivitätszentrum, Perspektivzentrum, Homology Center, Poleoder archaisch Perspektor. Die Zahlen sollen Perspektive aus diesem Zentrum sein.[1]

Perspektivität

Hauptartikel: Perspektivität

Wenn jede der Perspektivenzahlen aus allen Punkten auf einer Linie (a) besteht Angebot) Dann wird die Transformation der Punkte eines Bereichs zum anderen als a genannt Zentrale Perspektivität. Eine doppelte Transformation, die alle Linien durch einen Punkt führt (a Bleistift) an einen anderen Bleistift mittels einer Perspektivitätsachse wird als als bezeichnet axiale Perspektivität.[2]

Dreiecke

Ein wichtiger Sonderfall tritt auf, wenn die Zahlen sind Dreiecke. Zwei Dreiecke, die von einem Punkt Perspektive sind Zentrales Paar und zwei Dreiecke, die Perspektive aus einer Linie sind Axiales Paar.[3]

Notation

Karl von Staudt stellte die Notation ein Um anzuzeigen, dass Dreiecke ABC und ABC Perspektive sind.[4]

Verwandte Theoreme und Konfigurationen

Desargues 'Theorem stellt fest, dass ein zentrales paar Dreiecke axial ist. Die Converse -Aussage, eine axiale Paar Dreiecke, ist zentral, ist gleichwertig (kann verwendet werden, um das andere zu beweisen). Desargues 'Theorem kann in der bewiesen werden Real Projective Ebeneund mit geeigneten Änderungen für besondere Fälle in der Euklidische Ebene. Projektive Flugzeuge in dem dieses Ergebnis bewiesen werden kann, werden genannt Desarguesian planes.

Mit diesen beiden Perspektiven sind zehn Punkte verbunden: sechs über die beiden Dreiecke, drei auf der Achse der Perspektivität und eine im Zentrum der Perspektivität. DoppeltEs gibt auch zehn Zeilen, die mit zwei Perspektivdreiecken verbunden sind: drei Seiten der Dreiecke, drei Linien im Mittelpunkt der Perspektivität und die Achse der Perspektivität. Diese zehn Punkte und zehn Zeilen bilden eine Instanz der Desargues -Konfiguration.

Zwei dreifache Perspektivdreiecke BBY und CCX

Wenn zwei Dreiecke ein zentrales Paar auf mindestens zwei verschiedene Arten sind (mit zwei verschiedenen Assoziationen entsprechender Eckpunkte und zwei verschiedenen Perspektivenzentren), dann sind sie auf drei Arten Perspektive. Dies ist eine der äquivalenten Formen von Pappus 'Sechseck -Theorem.[5] Wenn dies geschieht Pappus -Konfiguration.

Das Reye -Konfiguration wird durch vier vierquadruply perspektivische Tetraeder auf analoge Weise zur Pappus -Konfiguration gebildet.

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ Jung 1930, p. 28
  2. ^ Jung 1930, p. 29
  3. ^ Dembowski 1968, p. 26
  4. ^ H. S. M. Coxeter (1942) Nichteuklidische Geometrie, Universität von Toronto Press, neu aufgelegt von 1998 von Mathematische Vereinigung von Amerika, ISBN0-88385-522-4. 21,2.
  5. ^ Coxeter 1969, p. 233 Übung 2

Verweise