Parsevals Theorem

Im Mathematik, Parsevals Theorem[1] bezieht sich normalerweise auf das Ergebnis, dass das Fourier-Transformation ist Einheitlich; Lose, dass die Summe (oder ein Integral) des Quadrats einer Funktion gleich der Summe (oder Integral) des Quadrats seiner Transformation ist. Es stammt aus einem Theorem von 1799 um Serie durch Marc-Antoine Parseval, was später auf die angewendet wurde die Fourierreihe. Es ist auch als bekannt als als Rayleighs Energiesatz, oder Rayleighs Identität, nach John William Strutt, Lord Rayleigh.[2]

Obwohl der Begriff "Parseval's Theorem" häufig verwendet wird, um die Einheit der Einheit von zu beschreiben irgendein Fourier transformiert, besonders in PhysikDie allgemeinste Form dieser Eigenschaft wird die genauer genannte als die genannt Plancherel Theorem.[3]

Aussage von Parsevals Theorem

Nehme an, dass und sind zwei komplex bewertete Funktionen auf der Periode das sind quadratisch integrierbar (in Bezug auf die Lebesgue -Maßnahme) über Intervalle der Periodenlänge mit die Fourierreihe

und

beziehungsweise. Dann

 

 

 

 

(Gl. 1)

wo ist der imaginäre Einheit und horizontale Balken zeigen an Komplexe Konjugation. Ersetzen und :

Wie bei den mittleren Begriffen in diesem Beispiel werden viele Begriffe integriert über eine vollständige Zeitraum von Länge (sehen Harmonische):

Allgemeiner bei einem Abelian lokal kompakte Gruppe G mit Pontryagin Dual G^Laut Parseval's Theorem ist der Pontryagin -Fourier -Transformator ein einheitlicher Betreiber zwischen Hilbert Räume L2(G) und L2(G^) (mit der Integration gegen die angemessen skalierten Haar misst auf den beiden Gruppen.) Wann G ist der Einheitskreis T, G^ ist die Ganzzahlen und dies ist der Fall, der oben diskutiert wird. Wann G ist die wirkliche Linie , G^ ist auch und die einheitliche Transformation ist die Fourier-Transformation auf der realen Linie. Wann G ist der zyklische Gruppe Zn, wieder ist es selbst-duisch und die Pontryagin-vier-Transformation heißt das, was genannt wird diskrete Fourier-Transformation in angewandten Kontexten.

Parsevals Theorem kann auch wie folgt ausgedrückt werden: Angenommen ist eine quadratintegrierbare Funktion über (d. h., und sind in diesem Intervall integrierbar) mit der Fourier -Serie

Dann[4][5][6]

Notation zum Ingenieurwesen

Im Elektrotechnik, Parsevals Theorem ist oft als:

wo repräsentiert die kontinuierliche Fourier -Transformation (in normalisierter, einheitlicher Form) von , und ist Frequenz in Radiant pro Sekunde.

Die Interpretation dieser Form des Satzes ist, dass die Gesamtsumme Energie eines Signals kann berechnet werden, indem die Leistung pro Sample über die Zeit oder die Spektralleistung hinweg über die Frequenz summiert wird.

Zum Diskrete Zeit Signale, der Satz wird:

wo ist der Diskrete Fourier-Transformation (Dtft) von und repräsentiert die Winkelfrequenz (in Radians pro Probe) von .

Alternativ für die diskrete Fourier-Transformation (DFT) wird die Beziehung:

wo ist die DFT von beide Länge .

Wir zeigen den DFT -Fall unten. Für die anderen Fälle ist der Beweis ähnlich. Unter Verwendung der Definition von inverser DFT von wir können ableiten

wo repräsentiert komplexes Konjugat.

Siehe auch

Parsevals Theorem ist eng mit anderen mathematischen Ergebnissen verbunden, die einheitliche Transformationen umfassen:

Anmerkungen

  1. ^ Parseval des Chênes, Marc-Antoine Mémoire sur les séries und sur l'Entégration complète d'une équation aux diffécences partielles linéaire du zweite ordre, à Coefficient Constants "vor dem Académie Des Sciences (Paris) am 5. April 1799. Dieser Artikel wurde am 5. April 1799 vorgestellt. Dieser Artikel wurde am 5. April 1799 vorgestellt. Dieser Artikel wurde am 5. April 1799 vorgestellt veröffentlicht in Mémoires Présentés à l’institut des Sciences, Lettres et Arts, Par Diver Savants, et lus Dans SES Assemblées. Wissenschaften, Mathématiques et Physiques. (Savants Étrangers.), vol. 1, Seiten 638–648 (1806).
  2. ^ Rayleigh, J.W.S. (1889) "Auf dem Charakter der vollständigen Strahlung bei einer bestimmten Temperatur", " Philosophischer Magazin, vol. 27, Seiten 460–469. Online verfügbar hier.
  3. ^ Plancherel, Michel (1910) "Beitrag à l'etude de la Repräsentation d'Ine fonction Arbitriaire Par Les Integrales Définies," Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 30, Seiten 298–335.
  4. ^ Arthur E. Danese (1965). Fortgeschrittener Kalkül. Vol. 1. Boston, MA: Allyn und Bacon, Inc. p. 439.
  5. ^ Wilfred Kaplan (1991). Fortgeschrittener Kalkül (4. Aufl.). Lesen, MA: Addison Wesley. p.519. ISBN 0-201-57888-3.
  6. ^ Georgi P. Tolstov (1962). Die Fourierreihe. Übersetzt von Silverman, Richard. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. p.119.

Verweise

  • Parseval, Archiv der Maktorgeschichte des Mathematiks.
  • George B. Arfken und Hans J. Weber, Mathematische Methoden für Physiker (Harcourt: San Diego, 2001).
  • Hubert Kennedy, Acht mathematische Biografien (Peremptory Publications: San Francisco, 2002).
  • Alan V. Oppenheim und Ronald W. Schafer, Diskrete Signalverarbeitung 2. Auflage (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999) P 60.
  • William Mcc. Siebert, Schaltungen, Signale und Systeme (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), S. 410–411.
  • David W. Kammler, Ein erster Kurs in der Fourier -Analyse (Prentice -Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2000) p. 74.

Externe Links