Parallele Projektion

Im Dreidimensionale Geometrie, a Parallele Projektion (oder Axonometrische Projektion) ist ein Projektion eines Objekts in dreidimensionaler Raum auf ein festes Flugzeug, bekannt als Projektionsebene oder Bildebene, bei dem die Strahlen, bekannt als Sichtlinien oder Projektionslinien, sind parallel zueinander. Es ist ein einfaches Werkzeug in Beschreibende Geometrie. Die Projektion wird genannt orthografisch Wenn die Strahlen sind aufrecht (orthogonal) zur Bildebene und schräg oder verzerrt Wenn sie nicht sind.

Überblick

Parallele Projektion Terminologie und Notationen. Die zwei blauen Parallelliniensegmente rechts bleiben parallel, wenn sie auf die Bildebene links projiziert werden.

Eine parallele Projektion ist ein besonderer Fall von Projektion in Mathematik und Grafische Projektion in technische Zeichnung. Parallele Projektionen können als Grenze von a angesehen werden zentral oder Perspektivprojektion, in dem die Strahlen durch einen festen Punkt fließen Center oder Standpunkt, wie dieser Punkt in Richtung Unendlichkeit bewegt wird. Anders ausgedrückt, entspricht eine parallele Projektion einer Perspektivprojektion mit einem unendlichen Brennweite (der Abstand zwischen der Linse und dem Brennpunkt in Fotografie) oder "Zoomen"Außerdem bleiben in parallelen Projektionen Linien, die im dreidimensionalen Raum parallel sind, parallel im zweidimensional projizierten Bild.

Eine perspektivische Projektion eines Objekts wird oft als realistischer als eine parallele Projektion angesehen, da sie ähnlicher ähnelt menschliche Vision und Fotografie. Parallele Projektionen sind jedoch in technischen Anwendungen beliebt, da die Parallelität der Linien und Gesichter eines Objekts erhalten bleibt und direkte Messungen aus dem Bild ergriffen werden können. Unter parallelen Projektionen, orthografische Projektionen werden als die realistischsten angesehen und häufig von Ingenieuren verwendet. Andererseits bestimmte Arten von schräge Projektionen (zum Beispiel Kavalierprojektion, Militärprojektion) sind sehr einfach zu implementieren und werden verwendet, um schnelle und informelle Bilder von Objekten zu erstellen.

Der Begriff Parallele Projektion wird in der Literatur verwendet, um beide zu beschreiben Verfahren selbst (eine mathematische Mapping -Funktion) sowie das resultierende Bild erzeugt durch das Verfahren.

Eigenschaften

Zwei parallele Projektionen eines Würfels. In einer orthografischen Projektion (links) sind die Projektionslinien senkrecht zur Bildebene (rosa). In einer schrägen Projektion (rechts) befinden sich die Projektionslinien in einem Schrägwinkel zur Bildebene.

Jede parallele Projektion hat die folgenden Eigenschaften:

• Es ist einzigartig durch seine Projektionsebene definiert Π und die Richtung ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ der (parallelen) Projektionslinien. Die Richtung darf nicht parallel zur Projektionsebene sein.
• Jeder Punkt des Raums hat ein einzigartiges Bild in der Projektionsebene Πund die Punkte von Π sind repariert.
• Jede Linie, die nicht parallel zur Richtung ist ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ wird auf eine Linie kartiert; jede Linie parallel zu ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ wird auf einen Punkt kartiert.
• Parallele Linien werden auf parallelen Linien oder auf ein Paar Punkte abgebildet (wenn sie parallel zu sind zu ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$).
• Das Verhältnis Die Länge von zwei Liniensegmenten auf einer Linie bleibt unverändert. Als Sonderfall, Mittelpunkte werden auf Mittelpunkte zugeordnet.
• Das Länge eines Liniensegments parallel zur Projektionsebene bleibt unverändert. Die Länge eines Liniensegments wird verkürzt, wenn die Projektion orthografisch ist.^{[Klarstellung erforderlich]}
• Irgendein Kreis Das liegt in einer Ebene parallel zur Projektionsebene wird mit dem gleichen Radius auf einen Kreis abgebildet. Jeder andere Kreis wird auf eine abgebildet Ellipse oder ein Liniensegment (wenn Richtung ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ist parallel zum Flugzeug des Kreises).
• Winkel Im Allgemeinen sind nicht erhalten. Aber rechte Winkel mit einer Linie parallel zur Projektionsebene bleiben unverändert.
• Irgendein Rechteck wird auf a zugeordnet Parallelogramm oder ein Liniensegment (wenn ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ist parallel zum Flugzeug des Rechtecks).
• Jede Figur in einer Ebene, die parallel zur Bildebene ist, übereinstimmt mit ihrem Bild.

Typen

Klassifizierung von Parallele Projektion und einige 3D -Projektionen

Eine parallele Projektion entspricht einer perspektivischen Projektion mit hypothetischer Sicht; d.h. einer, bei dem die Kamera einen unendlichen Abstand vom Objekt entfernt liegt und eine unendliche Brennweite oder "Zoom" hat.

Verschiedene Projektionen und wie sie produziert werden

Orthographische Projektion

Die orthografische Projektion wird aus den Prinzipien von abgeleitet Beschreibende Geometrieund ist eine Art paralleler Projektion, bei der die Projektionsstrahlen senkrecht zur Projektionsebene sind. Es ist die Projektionstyp der Wahl für Arbeitszeichnungen. Der Begriff orthografisch ist manchmal speziell für Darstellungen von Objekten reserviert, bei denen die Hauptachsen oder Ebenen des Objekts ebenfalls parallel zur Projektionsebene sind (oder dem Papier, auf dem die orthografische oder parallele Projektion gezogen wird). Der Begriff jedoch Primäransicht wird auch verwendet. Im Multiview -ProjektionenEs werden bis zu sechs Bilder eines Objekts erzeugt, wobei jede Projektionsebene senkrecht zu einer der Koordinatenachsen senkrecht ist. Wenn jedoch die Hauptebenen oder Achsen eines Objekts sind nicht parallel zur Projektionsebene, aber bis zu einem gewissen Grad, um mehrere Seiten des Objekts zu enthüllen, werden sie genannt Hilfsansichten oder Bilder. Manchmal der Begriff Axonometrische Projektion ist ausschließlich für diese Ansichten reserviert und wird dem Begriff gegenübergestellt orthographische Projektion. Aber Axonometrische Projektion Könnte genauer als Synonym für Synonym beschrieben werden Parallele Projektion, und orthographische Projektion Eine Art von Axonometrische Projektion.

Das Hauptansichten enthalten Pläne, Erhöhungen und Abschnitte; und die isometrisch, dimetrisch und Trimetische Projektionen könnte berücksichtigt werden Hilfsansichten. Eine typische (aber nicht obligatorische) Merkmale für orthografische Projektionen ist, dass eine Raumachse normalerweise als vertikal angezeigt wird.

Wenn die Betrachtungsrichtung senkrecht zur Oberfläche des dargestellten Objekts ist, unabhängig von der Orientierung des Objekts, wird sie als als bezeichnet Normale Projektion. Somit im Fall eines Würfels, das mit dem Koordinatensystem eines Raums orientiert ist, die Hauptansichten des Würfels würden berücksichtigt Normale Projektionen.

Schräge Projektion

Vergleich verschiedener Arten von Grafische Projektion. Das Vorhandensein eines oder mehrerer 90 ° -Hauptwinkel ist normalerweise ein guter Hinweis darauf, dass die Perspektive ist schräg.

In einem (n schräge ProjektionDie parallele Projektionsstrahlen sind nicht senkrecht zur Betrachtungsebene, sondern die Projektionsebene in einem anderen Winkel als neunzig Grad.^[1] In der orthografischen und schrägen Projektion erscheinen parallele Linien im Raum parallel auf dem projizierten Bild. Aufgrund seiner Einfachheit wird die schräge Projektion ausschließlich für bildliche Zwecke und nicht für formale Arbeitszeichnungen verwendet. In einer schrägen bildlichen Zeichnung sind die angezeigten Winkel, die die Koordinatenachsen sowie die Gewinnung (Skalierung) trennen, willkürlich. Die dadurch erzeugte Verzerrung wird normalerweise durch Ausrichten einer Ebene des abgebildeten Objekts, die parallel zur Projektionsebene ausgerichtet ist und ein wirklich geformtes, in voller Größe der gewählten Ebene erzeugt. Zu den besonderen Arten von schrägen Projektionen gehören Militär-, Kavalier und Kabinettsprojektion.^[2]

Analytische Darstellung

Wenn die Bildebene durch Gleichung gegeben ist ${\ displaystyle \ pi: ~ {\ vec {n}} \ cdot {\ vec {x}}-d = 0}$ und die Richtung der Projektion durch ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$, dann die Projektionslinie durch den Punkt ${\ displayStyle p: ~ {\ vec {p}}}$ wird durch parametrisiert

${\ displayStyle g: ~ {\ vec {x}} = {\ vec {p}}+t {\ vec {v}}}$ mit ${\ displayStyle t \ in \ mathbb {r}}$.

Das Bild ${\ displayStyle p '}$ von ${\ displayStyle p}$ ist der Schnittpunkt der Linie ${\ displayStyle g}$ mit Flugzeug ${\ displayStyle \ pi}$; es wird durch die Gleichung gegeben

${\displaystyle P':~{\vec {p}}'={\vec {p}}+{\frac {d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}}{{\ vec {n}} \ cdot {\ vec {v}}} \; {\ vec {v}} \.}$

In mehreren Fällen können diese Formeln vereinfacht werden.

(S1) Wenn man die Vektoren auswählen kann ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ und ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ so dass ${\ displaystyle {\ vec {n}} \ cdot {\ vec {v}} = 1}$Die Formel für das Bild vereinfacht

$oder .}$

(S2) in einer orthografischen Projektion die Vektoren ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ und ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ sind parallel. In diesem Fall kann man wählen ${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ vec {n}}, \; | {\ vec {n}} | = 1}$ Und man bekommt

$oder .}$

(S3) Wenn man die Vektoren auswählen kann ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ und ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ so dass ${\ displaystyle {\ vec {n}} \ cdot {\ vec {v}} = 1}$und wenn die Bildebene den Ursprung enthält, hat man ${\ displayStyle d = 0}$ und die parallele Projektion ist a lineare Mapping:

${\ displayStyle {\ vec {p}} '= {\ vec {p}}-({\ vec {p}} \ cdot {\ vec {n}}) \; {\ vec {v} {{\ \ \ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ vec {v {v} {{{\, vec {p}}-({\vec {v}}\otimes {\vec {n}})~{\vec {p}}=(I_{3}-{\vec {v}}\otimes {\ vec {n}}) \; {\ vec {p}} \.}$

(Hier ${\ displayStyle i_ {3}}$ ist der Identitätsmatrix und ${\ displayStyle \ otimes}$ das Außenprodukt.))

Aus dieser analytischen Darstellung einer parallele Projektion kann man die meisten in den vorherigen Abschnitten angegebenen Eigenschaften ableiten.

Geschichte

Die Axonometrie stammt von China.^[3] Seine Funktion in der chinesischen Kunst war anders als die Geradlinige Perspektive In europäischer Kunst war seine Perspektive nicht objektiv oder von außen schaute. Stattdessen verwendeten seine Muster parallele Projektionen innerhalb des Gemäldes, die es dem Betrachter ermöglichten, sowohl den Raum als auch den fortlaufenden Verlauf der Zeit in einer Schriftrolle zu betrachten.^[4] Nach Angaben des Wissenschaftsautors und Mittel Der Journalist Jan Krikke, Axonometrie und die damit verbundene bildliche Grammatik hatten mit der Einführung von einer neuen Bedeutung übernommen visuelles Computing und technische Zeichnung.^[4][3][5][6]

Das Konzept von Isometrie hatte seit Jahrhunderten schon lange vor Professor in einer groben empirischen Form existiert William Farish (1759–1837) von Universität von Cambridge war der erste, der detaillierte Regeln für die isometrische Zeichnung bereitstellte.^[7][8]

Farish veröffentlichte seine Ideen in dem Papier von 1822 "über isometrische Perspektive", in dem er das "Bedürfnis genauer technische Arbeitszeichnungen frei von optischer Verzerrung erkannte. Dies würde ihn dazu bringen, Isometrie zu formulieren. Isometrie bedeutet" gleiche Maßnahmen ", weil die gleiche Skala ist verwendet für Höhe, Breite und Tiefe ".^[9]

Ab der Mitte des 19. Jahrhunderts, nach Jan Krikke (2006)^[9] Die Isometrie wurde zu einem "unschätzbaren Instrument für Ingenieure", und bald danach wurden die Axonometrie und Isometrie in den Lehrplan der Architekturausbildungskurse in einbezogen Europa und die UNS. Die populäre Akzeptanz der Axonometrie kam in den 1920er Jahren, wann Modernistische Architekten von dem Bauhaus und De stijl umarmte es ".^[9] De stijl architects mögen Theo Van doburg verwendete Axonometrie für ihre architektonische Entwürfe, was ein Gefühl verursachte, wenn er in ausgestellt wurde Paris 1923 ".^[9]

Seit der Axonometrie oder paralleler Perspektive der 1920er Jahre hat Künstler, Architekten und Ingenieure eine wichtige grafische Technik bereitgestellt. Wie die lineare Perspektive hilft die Axonometrie den dreidimensionalen Raum auf einer zweidimensionalen Bildebene. Es kommt normalerweise als Standardmerkmal von CAD Systeme und andere visuelle Computerwerkzeuge.^[4]

• 

  Optical Grinding Engine Model (1822), gezeichnet in einer isometrischen Perspektive von 30 °^[10]

• 

  Beispiel für eine dimetrische Perspektive Zeichnung aus einem US -Patent (1874)

• 

  Beispiel für eine trimetrische Projektion, die die Form der Form zeigt Bank of China Turm in Hongkong.

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  Beispiel für eine dimetrische Projektion in chinesischer Kunst in einer illustrierten Ausgabe der Romantik der drei Königreiche, China, c. 15. Jahrhundert Ce.

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  Detail der Originalversion von Während des Qingming -Festivals entlang des Flusses Zhang Zeduan zugeschrieben (1085–1145). Beachten Sie, dass das Bild zwischen axonometrischer und perspektivischer Projektion in verschiedenen Teilen des Bildes hin und her und daher inkonsistent ist.

Einschränkungen

In dieser Zeichnung ist die blaue Kugel zwei Einheiten höher als die rote. Dieser Unterschied in der Höhe ist jedoch nicht ersichtlich, wenn man die rechte Hälfte des Bildes abdeckt.

Das Penrose -Treppe zeigt eine Treppe, die (gegen den Uhrzeigersinn) aufstieg oder (im Uhrzeigersinn) zu steigen scheint und dennoch eine kontinuierliche Schleife bildet.

Objekte, die mit paralleler Projektion gezeichnet sind, erscheinen nicht größer oder kleiner, da sie näher oder weiter vom Betrachter entfernt liegen. Während vorteilhaft für architektonische Zeichnungen, wo Messungen direkt aus dem Bild ergriffen werden müssen, ist das Ergebnis eine wahrgenommene Verzerrung, da unterwegs PerspektivprojektionAuf diese Weise funktioniert das menschliche Sehen oder Fotografieren normalerweise nicht. Es kann auch leicht in Situationen führen, in denen Tiefe und Höhe schwer zu messen sind, wie in der Abbildung rechts gezeigt wird.

Diese visuelle Ambiguität wurde ausgenutzt OP -Kunstsowie "unmögliche Objekt" Zeichnungen. Obwohl nicht streng parallel, M. C. Escher's Wasserfall (1961) ist ein bekanntes Bild, in dem ein Wasserkanal ohne Hilfe auf einem Abwärtspfad zu reisen scheint, nur um dann wieder paradoxerweise zu fallen, wenn er zu seiner Quelle zurückkehrt. Das Wasser scheint somit die nicht zu gehorchen Energieerhaltung der Energie.

Siehe auch

• Projektion (lineare Algebra)

Verweise

• Schaums Umriss: Beschreibende Geometrie, McGraw-Hill (1. Juni 1962), ISBN978-0070272903
• Joseph Malkevitch (April 2003), "Mathematik und Kunst", Feature -Spalten -Archiv, American Mathematical Society
• Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek (Dezember 1978), "planare geometrische Projektionen und Betrachtungstransformationen", ACM Computing -Umfragen, 10 (4): 465–502, doi:10.1145/356744.356750, S2CID 708008