Orthogonalität

Im Mathematik, Orthogonalität ist die Verallgemeinerung des Begriffs von Senkrechte zum Lineare Algebra von bilineare Formen. Zwei Elemente u und v von a Vektorraum mit bilineare Form B sind senkrecht Wenn B(u, v) = 0. Abhängig von der bilinearen Form kann der Vektorraum selbst nicht-null-selbst-orthogonale Vektoren enthalten. Im Falle des Funktionsräume, Familien von Orthogonale Funktionen werden verwendet, um a zu bilden Basis.
Die Orthogonalität wird auch verwendet, um auf die Trennung bestimmter Merkmale eines Systems zu verweisen. Der Begriff hat auch spezielle Bedeutungen in anderen Bereichen, einschließlich Kunst und Chemie.
Etymologie
Das Wort kommt von der Altgriechisch ὀρθός (Orthós), bedeutet "aufrecht",[1] und γωνία (gōnía), was "Winkel" bedeutet.[2]
Der alte Griechische ὀρθογώνιον (orthogṓnion) und Klassisches Latein orthogonium ursprünglich bezeichnet a Rechteck.[3] Später bedeuten sie a rechtwinkliges Dreieck. Im 12. Jahrhundert das postklassische lateinische Wort Orthogonalis kam zu einem rechten Winkel oder etwas, das mit einem rechten Winkel zusammenhängt.[4]
Mathematik und Physik

Definitionen
- Im Geometrie, zwei Euklidische Vektoren sind senkrecht wenn sie sind aufrecht, d.h., sie bilden a rechter Winkel.
- Zwei Vektoren, x und y, in einem (n innerer Produktraum, V, sind senkrecht Wenn ihr inneres Produkt ist Null.[6] Diese Beziehung ist bezeichnet .
- Ein Orthogonale Matrix ist eine Matrix, deren Säulenvektoren sind orthonormal zueinander.
- Zwei Vektorunterräume, A und B, eines inneren Produktraums V, werden genannt orthogonale Unterfelder Wenn jeder Vektor in A ist orthogonal für jeden Vektor in B. Der größte Unterraum von V Das ist orthogonal zu einem bestimmten Unterraum ist es orthogonale Ergänzung.
- Angenommen Modul M und sein dual M∗, ein Element m' von M∗ und ein Element m von M sind senkrecht Wenn ihre natürliche Paarung ist Null, d.h. ⟨m', m⟩ = 0. Zwei Sets S'⊆ M∗ und S ⊆ M sind orthogonal, wenn jedes Element von S'Ist orthogonal für jedes Element von S.[7]
- A Term Rewriting System wird gesagt, dass senkrecht Wenn es links linear ist und nicht einmelden ist. Orthogonale Begriff Umschreibungssysteme sind konfluent.
Eine Reihe von Vektoren in einem inneren Produktbereich wird genannt paarweise orthogonal Wenn jede Paarung orthogonal ist. Ein solches Set wird als eine genannt orthogonales Set.
In bestimmten Fällen das Wort normal wird verwendet, um zu bedeuten senkrechtbesonders im geometrischen Sinne wie in der normal zu einer Oberfläche. Zum Beispiel die y-Axis ist normal zur Kurve y = x2 am Ursprung. Jedoch, normal kann sich auch auf die Größe eines Vektors beziehen. Insbesondere wird ein Satz genannt orthonormal (orthogonal plus normal) Wenn es sich um einen orthogonalen Satz von handelt Einheitsvektoren. Infolgedessen die Verwendung des Begriffs normal Es wird oft vermieden, "orthogonal" zu bedeuten. Das Wort "normal" hat auch eine andere Bedeutung in Wahrscheinlichkeit und Statistiken.
Ein Vektorraum mit a bilineare Form verallgemeinert den Fall eines inneren Produkts. Wenn die auf zwei Vektoren angewendete bilineare Form zu Null führt, dann sind sie es senkrecht. Der Fall von a Pseudo-Euklidan Verwendet den Begriff Hyperbolische Orthogonalität. Im Diagramm sind die Achsen x 'und t' hyperbolisch-orthogonal für jede gegebene ϕ.
Euklideanische Vektorräume
Im Euklidischer Raum, zwei Vektoren sind orthogonal dann und nur dann, wenn ihr Skalarprodukt ist Null, d. H. Sie machen einen Winkel von 90 ° (π/2) Radians) oder eines der Vektoren ist Null.[8] Daher ist Orthogonalität der Vektoren eine Erweiterung des Konzepts von aufrecht Vektoren zu Räumen jeder Dimension.
Das orthogonale Ergänzung eines Unterraums ist der Raum aller Vektoren, die für jeden Vektor im Unterraum orthogonal sind. In einem dreidimensionalen euklideischen Vektorraum die orthogonale Ergänzung von a Linie Durch den Ursprung ist das Flugzeug durch den Ursprung senkrecht und umgekehrt.[9]
Beachten Sie, dass das geometrische Konzept von zwei Flugzeugen, die senkrecht sind, nicht dem orthogonalen Komplement entspricht, da sich in drei Dimensionen ein Vektorenpaar, eines von jedem von einem Paar senkrechter Ebenen, in jedem Winkel treffen kann.
Im vierdimensionalen euklidischen Raum ist die orthogonale Komplement einer Linie a Hyperebene Und umgekehrt, und das eines Flugzeugs ist ein Flugzeug.[9]
Orthogonale Funktionen
Durch die Nutzung IntegralrechnungEs ist üblich, Folgendes zu verwenden, um die zu definieren Innenprodukt von zwei Funktionen f und g in Bezug auf einen nicht negativen Gewichtsfunktion w über einen Intervall [a, b]:
In einfachen Fällen, w(x) = 1.
Wir sagen, dass funktioniert das f und g sind senkrecht Wenn ihr inneres Produkt (entsprechend der Wert dieses Integrals) Null ist:
Die Orthogonalität von zwei Funktionen in Bezug auf ein inneres Produkt bedeutet keine Orthogonalität in Bezug auf ein anderes inneres Produkt.
Wir schreiben die Norm in Bezug auf dieses innere Produkt als
Die Mitglieder einer Reihe von Funktionen {fi: i = 1, 2, 3, ...} sind senkrecht in Gedenken an w in der Pause [a, b] wenn
Die Mitglieder solcher Funktionen sind orthonormal in Gedenken an w in der Pause [a, b] wenn
wo
ist der Kronecker Delta. Mit anderen Worten, jedes Paar von ihnen (ohne Paarung einer Funktion mit sich selbst) ist orthogonal und die Norm von jedem ist 1. siehe insbesondere die orthogonale Polynome.
Beispiele
- Die Vektoren (1, 3, 2)T(3, –1, 0)T(1, 3, –5)T sind orthogonal zueinander, da (1) (3) + (3) ( - 1) + (2) (0) = 0, (3) (1) + (–1) (3) + (0) (0) (3) (1) + (–1) (0) ( −5) = 0 und (1) (1) + (3) (3) + (2) ( - 5) = 0.
- Die Vektoren (1, 0, 1, 0, ...)T und (0, 1, 0, 1, ...)T sind orthogonal zueinander. Das Punktprodukt dieser Vektoren beträgt 0. Wir können dann die Verallgemeinerung vornehmen, um die Vektoren in zu berücksichtigen Z2n:
- Die Funktionen 2t + 3 und 45t2 + 9t - 17 sind orthogonal in Bezug auf eine Einheitsgewichtsfunktion im Intervall von –1 bis 1:
- Die Funktionen 1, Sünde (NX), cos (NX): n = 1, 2, 3, ... sind orthogonal in Bezug auf Riemann -Integration in den Intervallen [0, 2π], [−π, π], oder ein anderes geschlossenes Intervall der Länge 2π. Diese Tatsache ist eine zentrale in die Fourierreihe.
Orthogonale Polynome
Verschiedene Polynomsequenzen, die nach benannt nach Mathematiker der Vergangenheit sind Sequenzen von orthogonale Polynome. Im Speziellen:
- Das Hermite Polynome sind orthogonal in Bezug auf die Gaußsche Verteilung mit nullem Mittelwert.
- Das Legendre Polynome sind orthogonal in Bezug auf die einheitliche Verteilung in der Pause [–1, 1].
- Das Laguerre -Polynome sind orthogonal in Bezug auf die Exponentialverteilung. Etwas allgemeiner laguerre Polynomsequenzen sind orthogonal in Bezug auf Gamma -Verteilungen.
- Das Chebyshev -Polynome der ersten Art sind orthogonal in Bezug auf die Maßnahme
- Die Chebyshev -Polynome der zweiten Art sind orthogonal in Bezug auf die WIGNER SEMICIRCLE -Verteilung.
Orthogonale Zustände in der Quantenmechanik
- Im Quantenmechanik, eine ausreichende (aber nicht notwendige) Bedingung, die zwei Eigenstaaten von a Hermitianerbetreiber, und orthogonal sind, dass sie verschiedenen Eigenwerten entsprechen. Das bedeutet in Dirac Notation, das wenn und entsprechen verschiedenen Eigenwerten. Dies folgt aus der Tatsache, dass Schrödinger's Gleichung ist ein Sturm -Liouville Gleichung (in der Formulierung von Schrödinger) oder dass Observable von Hermitian -Operatoren (in der Formulierung von Heisenberg) gegeben werden.
Kunst
In der Kunst die Perspektive (imaginäre) Zeilen, die auf die zeigen Fluchtpunkt werden als "orthogonale Linien" bezeichnet. Der Begriff "orthogonale Linie" hat in der Literatur der modernen Kunstkritik oft eine ganz andere Bedeutung. Viele Werke von Malern wie Piet Mondrian und Burgoyne Diller werden für ihre ausschließliche Verwendung von "orthogonalen Linien" bekannt - nicht in Bezug auf die Perspektive, sondern sich auf Linien, die gerade und ausschließlich horizontal oder vertikal sind und rechte Winkel bilden, wo sie sich kreuzen. Zum Beispiel ein Aufsatz am Webseite des Thyssen-Bornemisza Museum stellt fest, dass "Mondrian ... sein gesamtes Oeuvre der Untersuchung des Gleichgewichts zwischen orthogonalen Linien und Primärfarben gewidmet hat". Archiviert 2009-01-31 am Wayback -Maschine
Informatik
Orthogonalität im Programmiersprache ist die Fähigkeit, verschiedene Sprachmerkmale in willkürlichen Kombinationen mit konsistenten Ergebnissen zu verwenden.[10] Diese Verwendung wurde von vorgestellt von Van Wijngaarden im Design von Algol 68:
Die Anzahl der unabhängigen primitiven Konzepte wurde minimiert, damit die Sprache leicht zu beschreiben, zu lernen und umzusetzen ist. Andererseits wurden diese Konzepte „orthogonal“ angewendet, um die ausdrucksstarke Kraft der Sprache zu maximieren und gleichzeitig schädliche Überflüsse zu vermeiden.[11]
Orthogonalität ist eine Systemdesigneigenschaft, die garantiert, dass die Änderung des technischen Effekts, der von einer Komponente eines Systems erzeugt wird, Nebenwirkungen an andere Komponenten des Systems erzeugt oder ausbreitet. Normalerweise wird dies durch die erreicht Trennung von Bedenken und Verkapselungund es ist wichtig für realisierbare und kompakte Konstruktionen komplexer Systeme. Das aufstrebende Verhalten eines Systems, das aus Komponenten besteht, sollte streng durch formale Definitionen seiner Logik und nicht durch Nebenwirkungen infolge einer schlechten Integration, d. H. Nicht-orthogonales Design von Modulen und Schnittstellen, kontrolliert werden. Die Orthogonalität verkürzt die Test- und Entwicklungszeit, da es einfacher ist, Designs zu überprüfen, die weder Nebenwirkungen verursachen noch von ihnen abhängen.
Ein Befehlssatz soll orthogonal sein, wenn es keine Redundanz gibt (d. H. Es gibt nur eine einzige Anweisung, mit der eine bestimmte Aufgabe erledigt werden kann)[12] und ist so konzipiert, dass Anweisungen jede Verwendung verwenden können registrieren auf jeden Adressierungsmodus. Diese Terminologie ergibt sich aus der Berücksichtigung eines Anweisungen als Vektor, dessen Komponenten die Anweisungsfelder sind. Ein Feld identifiziert die Register, auf die betrieben werden soll, und ein anderes gibt den Adressierungsmodus an. Ein orthogonaler Anweisungssatz Eindeutig codiert alle Kombinationen von Registern und Adressierungsmodi.[13]
Kommunikation
In der Kommunikation sind mehrere Zugriffsschemata orthogonal, wenn ein idealer Empfänger willkürlich starke unerwünschte Signale aus dem gewünschten Signal mit unterschiedlichem Signal vollständig ablehnen kann Basisfunktionen. Ein solches Schema ist Zeitaufteilung Multiple Access (TDMA), wo die orthogonalen Basisfunktionen nicht überlappende rechteckige Impulse ("Zeitfenster") sind.
Ein weiteres Schema ist orthogonales Frequenz-Division-Multiplexing (OFDM), das sich auf die Verwendung durch einen einzelnen Sender eines Satzes von Frequenz -Multiplex -Signalen mit dem genauen minimalen Frequenzabstand bezieht, der erforderlich ist, um sie orthogonal zu machen, damit sie sich nicht gegenseitig beeinträchtigen. Zu bekannte Beispiele gehören (a, g, und n) Versionen von 802.11 W-lan; WiMAX; Itu-t G.hn, DVB-Tdas in den meisten der Welt außerhalb Nordamerika verwendete terrestrische digitale Fernsehsystem; und DMT (diskreter Multi -Ton), die Standardform von Adsl.
In OFDM die Unterwährung Frequenzen werden ausgewählt[wie?] Damit die Unterträger orthogonal untereinander sind, was bedeutet, dass das Übersprechen zwischen den Subkanälen beseitigt und nicht erforderlich ist, dass die Wachmann -Bänder für Wechselbänder erforderlich sind. Dies vereinfacht das Design sowohl des Senders als auch des Empfängers erheblich. Bei herkömmlichen FDM ist ein separater Filter für jedes Unterkanal erforderlich.
Statistiken, Ökonometrie und Ökonomie
Bei statistischer Analyse, unabhängige Variablen das betrifft eine bestimmte abhängige Variable sollen orthogonal sein, wenn sie nicht korreliert sind,[14] Seit der Kovarianz bildet ein inneres Produkt. In diesem Fall werden die gleichen Ergebnisse für den Effekt einer der unabhängigen Variablen auf die abhängige Variable erhalten, unabhängig davon, ob man die Auswirkungen der Variablen einzeln mit modellieren einfache Regression oder gleichzeitig mit multiple Regression. Wenn Korrelation Es ist vorhanden, die Faktoren sind nicht orthogonal und unterschiedliche Ergebnisse werden mit den beiden Methoden erzielt. Diese Verwendung ergibt sich aus der Tatsache, dass, wenn sie durch Subtrahieren des erwarteter Wert (Der Mittelwert), unkorrelierte Variablen sind im oben diskutierten geometrischen Sinne orthogonal, sowohl als beobachtete Daten (d. H. Vektoren) als auch als zufällige Variablen (d. H. Dichtefunktionen). Einer ökonometrisch Formalismus, der alternativ zur Maximale Wahrscheinlichkeit Framework, die Verallgemeinerte Methode der Momente, stützt sich auf Orthogonalitätsbedingungen. Insbesondere die Gewöhnliche kleinste Quadrate Der Schätzer kann leicht aus einer Orthogonalitätsbedingung zwischen den erklärenden Variablen und Modellrückständen abgeleitet werden.
Taxonomie
Im TaxonomieEine orthogonale Klassifizierung ist eine, bei der kein Element ein Mitglied von mehr als einer Gruppe ist, dh die Klassifikationen sind gegenseitig ausschließt.
Kombinatorik
Im Kombinatorik, zwei n×n Lateinische Quadrate sollen orthogonal sein, wenn ihre Überlagerung ergibt alles möglich n2 Kombinationen von Einträgen.[15]
Chemie und Biochemie
Im synthetische organische Chemie senkrecht Schutz ist eine Strategie, die die Entschützung von zulässt funktionelle Gruppen unabhängig voneinander. In der Chemie und Biochemie tritt eine orthogonale Wechselwirkung auf, wenn zwei Substanzenpaare vorhanden sind und jede Substanz mit ihrem jeweiligen Partner interagieren kann, aber nicht mit beiden Substanzen des anderen Paares interagiert. Zum Beispiel, DNA Hat zwei orthogonale Paare: Cytosin und Guanin bilden einen Basispaar, Adenin und Thymin bilden einen anderen Basispaar, aber andere Basispaarkombinationen sind stark ungünstig. Als chemisches Beispiel reagiert Tetrazin mit Transcyclooctene und Azid mit Cyclooctyne ohne Kreuzreaktion. Dies sind also gleichzeitig und selektiv und selektiv.[16] Bioorthogonale Chemie Bezieht sich auf chemische Reaktionen, die in lebenden Systemen auftreten, ohne mit natürlich vorhandenen zellulären Komponenten zu reagieren. Im Supramolekulare Chemie Der Begriff der Orthogonalität bezieht sich oft auf die Möglichkeit von zwei oder mehr supramolekularen, oft nicht kovalent, Interaktionen, die kompatibel sind; reversible bilden ohne Störung des anderen.
Im analytische Chemie, Analysen sind "orthogonal", wenn sie eine Messung oder Identifizierung auf völlig unterschiedliche Weise vornehmen, wodurch die Zuverlässigkeit der Messung erhöht wird. Orthogonale Tests können somit als "Querprüfung" der Ergebnisse angesehen werden, und der "Kreuz" -Beffekt entspricht der etymologischer Ursprung von Orthogonalität. Orthogonale Tests sind häufig als Teil von a erforderlich Neue Arzneimittelanwendung.
Systemzuverlässigkeit
Im Bereich der Systemzuverlässigkeit ist eine orthogonale Redundanz der Redundanz, bei der sich die Form des Sicherungsgeräts oder der Methode vollständig vom anfälligen Gerät oder der Methode unterscheidet. Der Ausfallmodus eines orthogonal redundanten Sicherungsgeräts oder einer orthogonal redundanten Methode übergeht nicht mit dem Fehlermodus des Geräts oder der Methode, die Redundanz benötigt, um das Gesamtsystem vor katastrophalem Fehler zu schützen.
Neurowissenschaften
Im Neurowissenschaften, Eine sensorische Karte im Gehirn, die überlappende Stimuluscodierung (z. B. Ort und Qualität) aufweist, wird als orthogonale Karte bezeichnet.
Spiele
In Brettspielen wie z. Schach In einem Raster aus Quadraten, orthogonal, bedeutet "in derselben Zeile/" Rang "oder" Spalte/"Datei" ". Dies ist das Gegenstück zu Quadraten, die "diagonal benachbart" sind.[17] Im alten chinesischen Brettspiel gehen Ein Spieler kann die Steine eines Gegners erfassen, indem er alle orthogonal-adjazenten Punkte besetzt.
Andere Beispiele
Stereo -Vinyl -Aufzeichnungen codieren sowohl die linken als auch die rechten Stereokanäle in einer einzelnen Nut. Die V-förmige Rille im Vinyl hat Wände, die 90 Grad zueinander haben, wobei Variationen in jeder Wand eine der beiden analogen Kanäle, aus denen das Stereosignal besteht, getrennt codiert. Die Patrone erfasst die Bewegung des Stifts in zwei orthogonalen Richtungen: 45 Grad von vertikal zu beiden Seiten.[18] Eine reine horizontale Bewegung entspricht einem Monosignal, das einem Stereosignal entspricht, bei dem beide Kanäle identische (In-Phasen-) Signale tragen.
Siehe auch
- Imaginäre Zahl
- Isogonal
- Isogonale Flugbahn
- Orthogonale Ergänzung
- Orthogonale Gruppe
- Orthogonale Matrix
- Orthogonale Polynome
- Orthogonalisierung
- Orthonormale Basis
- Orthonormalität
- Orthogonale Transformation
- Pan-orthogonalität tritt in Koquaternionen
- Oberfläche normal
- Orthogonales Ligand-Protein-Paar
Verweise
- ^ Liddell und Scott, Ein griechisch -englisches Lexikon S.V. ὀρθός
- ^ Liddell und Scott, Ein griechisch -englisches Lexikon S.V. γωνία
- ^ Liddell und Scott, Ein griechisch -englisches Lexikon S.V. ὀρθογώνιον
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- ^ Bourbaki, "Ch. II §2.4", Algebra i, p. 234
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- ^ "chessvariants.org Schach Glossar".
- ^ Für eine Illustration siehe Youtube.