Orthogonale Funktionen

Im Mathematik, Orthogonale Funktionen gehören zu a Funktionsraum das ist ein Vektorraum ausgestattet mit a bilineare Form. Wenn der Funktionsraum einen hat Intervall als die DomainDie bilineare Form kann die sein Integral- des Produkts von Funktionen über das Intervall:

Die Funktionen und sind senkrecht Wenn dieses Integral Null ist, d.h. Wann immer . Wie bei a Basis Von Vektoren in einem endlich-dimensionalen Raum können orthogonale Funktionen eine unendliche Grundlage für einen Funktionsraum bilden. Konzeptionell ist das obige Integral das Äquivalent eines Vektor-DOT-Produkts. Zwei Vektoren sind gegenseitig unabhängig (orthogonal), wenn ihr DOT-Produkt Null ist.

Vermuten ist eine Folge orthogonaler Funktionen von ungleich Null L2-norms . Daraus folgt, dass die Sequenz ist von Funktionen von L2-Norm eins, bilden eine Orthonormale Sequenz. Einen definierten haben L2-Norm, das Integral muss begrenzt werden, was die Funktionen auf Sein einschränkt quadratisch integrierbar.

Trigonometrische Funktionen

Mehrere Sätze orthogonaler Funktionen sind zu Standardbasen für die Annäherungsfunktion geworden. Zum Beispiel Funktionen der Sinus Sünde NX und Sünde mx sind orthogonal im Intervall Wenn und n und m sind positive Ganzzahlen. Für dann

und das Integral des Produkts der beiden Sinusfunktionen verschwindet.[1] Zusammen mit Cosinusfunktionen können diese orthogonalen Funktionen zu a zusammengestellt werden Trigonometrisches Polynom um eine bestimmte Funktion im Intervall mit ihrem zu approximieren die Fourierreihe.

Polynome

Wenn man mit dem beginnt monomial Reihenfolge in der Pause und wendet die Gram -Schmidt -Prozessdann erhält man die Legendre Polynome. Eine andere Sammlung orthogonaler Polynome sind die Assoziierte Legendre -Polynome.

Die Untersuchung orthogonaler Polynome beinhaltet Gewichtsfunktionen die in der bilinearen Form eingefügt werden:

Zum Laguerre -Polynome an Die Gewichtsfunktion ist .

Sowohl Physiker als auch Wahrscheinlichkeitstheoretiker verwenden Hermite Polynome an , wo die Gewichtsfunktion ist oder .

Chebyshev -Polynome sind definiert auf und Gewichte verwenden oder .

Zernike Polynome sind auf der definiert Einheitenscheibe und haben eine Orthogonalität sowohl von radialen als auch eckigen Teilen.

Binärwerte Funktionen

Walsh funktioniert und Haarwavelets sind Beispiele für orthogonale Funktionen mit diskreten Bereichen.

Rationale Funktionen

Diagramm der chebyshev -rationalen Funktionen der Ordnung n = 0,1,2,3 und 4 zwischen x = 0,01 und 100.

Legendre und Chebyshev -Polynome liefern orthogonale Familien für das Intervall [–1, 1] während gelegentlich orthogonale Familien erforderlich sind [0, ∞). In diesem Fall ist es zweckmäßig, das anzuwenden Cayley -Transformation Erstens, um das Argument in die [–1, 1]. Dieses Verfahren führt zu Familien von rational Orthogonale Funktionen aufgerufen Legendre rationale Funktionen und Chebyshev rationale Funktionen.

In Differentialgleichungen

Lösungen von linear Differentialgleichung Mit Randbedingungen können häufig als gewichtete Summe orthogonale Lösungsfunktionen geschrieben werden (a.k.a. Eigenfunktionen), führen zu Verallgemeinerte Fourier -Serie.

Siehe auch

Verweise

  1. ^ Antoni Zygmund (1935) Trigonometrische Serie, Seite 6, mathematisches Seminar, University of Warschau
  • George B. Arfken & Hans J. Weber (2005) Mathematische Methoden für Physiker, 6. Ausgabe, Kapitel 10: Sturm-Liouville-Theorie-Orthogonale Funktionen, Akademische Presse.
  • Preis, Justin J. (1975). "Themen in orthogonalen Funktionen". Amerikanischer mathematischer Monat. 82: 594–609. doi:10.2307/2319690.
  • Giovanni Sansone (Übersetzt von Ainsley H. Diamond) (1959) Orthogonale Funktionen, Interscience Publishers.

Externe Links