Ordinalzahl

Darstellung der Ordnungszahlen bis ωω. Jede Runde der Spirale repräsentiert eine Leistung von ω.

Im Mengenlehre, ein Ordinalzahl, oder Ordinal-, ist eine Verallgemeinerung von Ordinale Ziffern (erste Sekunde, nth usw.) zielten sich aus Aufzählung zu Unendliche Sets.[1]

Ein endlicher Set kann aufgezählt werden, indem jedes Element mit dem geringsten beschrieben wird natürliche Zahl Das wurde bisher nicht verwendet. Um diesen Prozess auf verschiedene zu verlängern Unendliche Setsordinale Zahlen werden allgemeiner definiert als linear bestellt Etiketten, die die natürlichen Zahlen enthalten und über die Eigenschaft verfügen, dass jede Reihe von Ordinalen ein geringstes Element haben (dies ist erforderlich, um "das am wenigsten nicht verwendete Element" eine Bedeutung zu geben).[2] Diese allgemeinere Definition ermöglicht es uns, eine Ordnungszahl zu definieren Das ist größer als jede natürliche Zahl zusammen mit Ordnungszahlen , usw., die noch größer sind als .

Eine lineare Reihenfolge, so dass jede Untergruppe ein kleines Element hat Order. Das Axiom der Wahl Impliziert, dass jeder Satz gut geordnet werden kann und zwei gut geordnete Sets mit einem Set ist, ist einer, der ist isomorph zu einem Anfangssegment des anderen. Es gibt also ordinale Zahlen und sind im Wesentlichen einzigartig.

Ordinale Zahlen unterscheiden sich von Kardinalzahlen, die die Größe der Sätze messen. Obwohl die Unterscheidung zwischen Ordnern und Kardinälen bei endlichen Sätzen nicht immer erkennbar ist (einer kann nur durch Zählen von Etiketten von einem zum anderen übergehen), sind sie im Unendlichenfall sehr unterschiedlich, wo verschiedene unendliche Ordinale den Sätzen entsprechen können, die dieselbe Kardinal haben, entsprechen können . Wie andere Arten von Zahlen können Ordinale sein hinzugefügt, multipliziert und ausgedehntObwohl keines dieser Operationen kommutativ ist.

Ordinale wurden von vorgestellt von Georg Cantor 1883[3] Um unendliche Sequenzen aufzunehmen und klassifizieren abgeleitete Sets, was er zuvor 1872 eingeführt hatte - während er die Einzigartigkeit von studierte Trigonometrische Serie.[4]

Ordinale verlängern die natürlichen Zahlen

EIN natürliche Zahl (Was in diesem Zusammenhang die Nummer enthält 0) kann für zwei Zwecke verwendet werden: um die zu beschreiben Größe von a einstellen, oder um das zu beschreiben Position eines Elements in einer Sequenz. Wenn sich diese beiden Konzepte auf endliche Sätze beschränken, fällt sie zusammen, und es gibt nur eine Möglichkeit, eine endliche Set in eine lineare Sequenz zu bringen ((bis zu Isomorphismus). Wenn man sich mit unendlichen Sätzen befasst, muss man jedoch zwischen dem Begriff der Größe unterscheiden, was zu Kardinalzahlenund der Begriff der Position, der zu den hier beschriebenen Ordnungszahlen führt. Dies liegt daran, dass ein Satz nur eine Größe hat (es Kardinalität) Es gibt viele nicht iisomorphe Behörden von jedem unendlichen Satz, wie unten erläutert.

Während der Begriff der Kardinalzahl mit einem Satz ohne bestimmte Struktur verbunden ist, sind die Ordinals eng mit den speziellen Art von Sätzen verbunden, die genannt werden geordnet (So ​​eng miteinander verbunden, dass einige Mathematiker nicht zwischen den beiden Konzepten unterscheiden). Ein geordnetes Set ist a total bestellt SET (bei zwei beliebigen Elementen definiert man eine kleinere und eine größere auf kohärente Weise), in der jede nicht leere Untergruppe des Satzes ein kleines Element hat. Insbesondere gibt es keinen Unendlichen abnehmen Reihenfolge. (Es kann jedoch unendliche zunehmende Sequenzen geben.) Ordinale können verwendet werden, um die Elemente eines bestimmten gut geordneten Satzes zu kennzeichnen (das kleinste Element, das mit 0 gekennzeichnet ist, das nach diesem 1, das nächste 2, "usw. ) und um die "Länge" des gesamten Satzes durch das am wenigsten Ordinal, das kein Etikett für ein Element des Satzes ist, zu messen. Diese "Länge" heißt die Auftragsart des Satzes.

Jeder Ordinal wird durch die Voraussetzung der Ordnungsmenge definiert. Tatsächlich die häufigste Definition von Ordnern identifiziert jeder Ordinal wie Die Set von Ordinalen, die ihm vorausgehen. Zum Beispiel wird der Ordinal 42 im Allgemeinen als Set {0, 1, 2,…, 41} identifiziert. Umgekehrt jeder Satz S von Ordinalen, die nach unten geschlossen sind-was bedeutet, dass für alle ordinalen α in S und jedes ordinale β <α, β ist auch in S - IS (oder kann mit einer Ordinal identifiziert werden).

Diese Definition von Ordnern in Bezug auf Sets ermöglicht unendliche Ordinale. Der kleinste unendliche Ordinal ist , die mit dem Satz natürlicher Zahlen identifiziert werden kann (so dass die mit jeder natürlichen Zahl verbundene Ordinal vorangetrieben wird ). In der Tat ist die natürliche Zahlen gut geordnet-wie alle Ordnungsmenge-und da sie nach unten geschlossen ist, kann sie mit dem damit verbundenen Ordinal identifiziert werden.

Eine grafische "Matchstick" -Repräsentation des ordinalen ω². Jeder Stock entspricht einer Ordinal der Form ω ·m+n wo m und n sind natürliche Zahlen.

Vielleicht kann eine klarere Intuition von Ordnern gebildet werden, indem einige von ihnen untersucht werden: Wie oben erwähnt, beginnen sie mit den natürlichen Zahlen, 0, 1, 2, 3, 4, 5,… alle Die natürlichen Zahlen sind die erste unendliche Ordinal, ω und danach ω+1, ω+2, ω+3 und so weiter. (Genau das Hinzufügen wird später definiert: Betrachten Sie sie einfach als Namen.) Nach all diesen sind ω · 2 (was ω+ω ist), ω · 2+1, ω · 2+2 usw. dann ω · 3 und später auf ω · 4. Jetzt bildete sich der auf diese Weise gebildete Ordinale (das ω ·m+n, wo m und n sind natürliche Zahlen) müssen selbst eine Ordinal haben, die damit verbunden ist: Und das ist ω2. Weiter dran wird es ω geben3, dann ω4und so weiter und ωω, dann ωωω, dann später ωωωωund noch später ε0 (Epsilon nichts) (um ein paar Beispiele für relativ kleine - markierbare - Orderale) zu geben. Dies kann auf unbestimmte Zeit fortgesetzt werden (wie jedes Mal, wenn man sagt, "und so weiter", wenn sie Ordinale aufzählen, definiert es eine größere Ordinal). Die kleinste unzähliger Ordinal ist die Menge aller zählbaren Ordnungen, ausgedrückt als ω1 oder .[5][6]

Definitionen

Geordnete Sets

In einem geordnet Setzen Sie, jede nicht leere Untergruppe enthält ein deutlich kleinstes Element. Angesichts der Axiom der abhängigen WahlDies entspricht der Aussage, dass das Set ist total bestellt und es gibt keine unendliche Abnahmesequenz (letztere ist leichter zu visualisieren). In der Praxis ist die Wichtigkeit der Wohlbefinden durch die Möglichkeit der Bewerbung gerechtfertigt Transfinite Induktion, was besagt, dass jede Eigenschaft, die von den Vorgängern eines Elements an dieses Element selbst weitergeht, für alle Elemente (des angegebenen gut geordneten Satzes) zutreffen muss. Wenn die Zustände einer Berechnung (Computerprogramm oder Spiel) gut geordnet werden können-so wie auf jeden Schritt ein "niedrigerer" Schritt-, wird die Berechnung beendet.

Es ist unangemessen, zwischen zwei gut geordneten Sätzen zu unterscheiden, wenn sie sich nur in der "Kennzeichnung ihrer Elemente" oder formeller unterscheiden Das Element ist im ersten Satz kleiner als ein anderer, dann ist der Partner des ersten Elements kleiner als der Partner des zweiten Elements im zweiten Satz und umgekehrt. Eine solche Eins-zu-Eins-Korrespondenz wird als eine genannt Bestellen Sie den Isomorphismusund die beiden gut geordneten Sets sollen bestellt-isomorph sein oder ähnlich (mit dem Verständnis, dass dies ein ist Äquivalenzbeziehung).

Förmlich, wenn a Teilreihenfolge ≤ wird am Satz definiert Sund eine teilweise Reihenfolge ≤ 'ist am Satz definiert S' , dann ist die Posets (S, ≤) und (S' , ≤ ') sind Bestellen Sie isomorph Wenn da ein ... ist Bijection f Das bewahrt die Bestellung. Das ist, f(a) ≤ ' f(b) dann und nur dann, wenn ab. Vorausgesetzt, es gibt einen Orden-Isomorphismus zwischen zwei gut geordneten Sätzen, ist der Order-Isomorphismus einzigartig: Dies macht es ziemlich gerechtfertigt, die beiden Sätze als im Wesentlichen identisch zu betrachten und eine zu suchen "Kanonischer" Vertreter des Isomorphismus -Typs (Klasse). Genau das bieten die Ordnungen und bieten auch eine kanonische Kennzeichnung der Elemente eines gut geordneten Satzes. Jeder geordnet einstellen (S. Dieses kanonische Set ist das Auftragsart von (S, <).

Im Wesentlichen soll ein Ordinal als ein definiert werden Isomorphismusklasse von geordneten Sets: das heißt als Äquivalenzklasse für die Äquivalenzbeziehung von "Order-isomorph sein". Es gibt jedoch eine technische Schwierigkeit in der Tatsache, dass die Äquivalenzklasse zu groß ist, um ein Set in den üblichen zu sein Zermelo -Fraenkel (ZF) Formalisierung der festgelegten Theorie. Dies ist jedoch keine schwerwiegende Schwierigkeit. Die Ordinal kann als die bezeichnet werden Auftragsart von allen in der Klasse.

Definition einer Ordinal als Äquivalenzklasse

Die ursprüngliche Definition von Ordnungszahlen, beispielsweise in der gefundenen Principia Mathematica, definiert den Ordertyp einer guten Ordnung als die Menge aller Waage ähnlich (ordnungssomorph) für diese gute Ordnung: Mit anderen Worten, eine ordinale Zahl ist wirklich eine Äquivalenzklasse gut geordneter Sätze. Diese Definition muss in aufgegeben werden in Zf und verwandte Systeme von Axiomatische Set -Theorie Weil diese Äquivalenzklassen zu groß sind, um einen Satz zu bilden. Diese Definition kann jedoch immer noch in verwendet werden Typentheorie und in Quine's axiomatischer Set -Theorie Neufundamente und verwandte Systeme (wo es eine ziemlich überraschende alternative Lösung für die Burali-Forti Paradox der größten Ordinal).

Von Neumann Definition von Ordnern

Erstens mehrere von Neumann -Ordnern von Neumann
0 = {} =
1 = {0} = {∅}
2 = {0,1} = {∅, {∅}}
3 = {0,1,2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
4 = {0,1,2,3} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}

Anstatt eine Ordinal als eine zu definieren Äquivalenzklasse Von gut geordneten Sätzen wird es als ein bestimmter gut geordneter Satz definiert, der (kanonisch) die Klasse darstellt. Somit ist eine Ordnungszahl ein gut geordneter Satz; und jedes gut geordnete Set wird auf genau einer Ordnungszahl bestellungs isomorph sein.

Für jedes gut geordnete Set , definiert an Bestellen Sie den Isomorphismus zwischen und die Menge aller Teilmengen von die Form haben bestellt durch Inklusion. Dies motiviert die Standarddefinition, vorgeschlagen von John von Neumann im Alter von 19 Jahren, jetzt Definition von als Definition von genannt von Neumann Ordinale: "Jeder Ordinal ist der gut geordnete Satz aller kleineren Ordinale." In Symbolen, .[7][8] Formal:

Ein Satz S ist ein Ordinal dann und nur dann, wenn S ist streng geordnet in Bezug auf festgelegte Mitgliedschaft und jedes Element von S ist auch eine Teilmenge von S.

Die natürlichen Zahlen sind daher nach dieser Definition Ordinale. Zum Beispiel ist 2 ein Element von 4 = {0, 1, 2, 3} und 2 gleich {0, 1} und es ist also eine Teilmenge von {0, 1, 2, 3}.

Es kann durch gezeigt werden Transfinite Induktion Dass jedes gut geordnete Set bestellungssomorph für genau eines dieser Ordinäle ist, dh eine Auftragskonservierung Bijektive Funktion zwischen ihnen.

Darüber hinaus sind die Elemente aller Ordnungen selbst Ordinale. Mit zwei Ordnern S und T, S ist ein Element von T dann und nur dann, wenn S ist ein echte Teilmenge von T. Darüber hinaus S ist ein Element von T, oder T ist ein Element von S, oder sie sind gleich. So ist jeder Satz von Ordnern total bestellt. Darüber hinaus ist jede Reihe von Ordnern gut geordnet. Dies verallgemeinert die Tatsache, dass jede Reihe natürlicher Zahlen gut geordnet ist.

Folglich jeder Ordinal S ist ein Satz mit als Element S. Zum Beispiel hat jeder Satz von Ordinalen a Supremum, die Ordinal, die durch die Vereinigung aller Ordnungen im Set gewonnen wird. Diese Vereinigung existiert unabhängig von der Größe des Sets von der Axiom der Vereinigung.

Die Klasse aller Ordnungen ist kein Satz. Wenn es ein Satz wäre, könnte man zeigen, dass es ein Ordinal und damit ein Mitglied von sich war, was seinem widersprechen würde strikt Bestellung durch Mitgliedschaft. Dies ist das Burali-Forti Paradox. Die Klasse aller Ordnungen wird unterschiedlich "ord", "on" oder "∞" genannt.

Ein Ordinal ist endlich Wenn und nur wenn die entgegengesetzte Reihenfolge ebenfalls gut geordnet ist, ist dies nur dann der Fall, wenn jeder seiner nicht leeren Untergruppen a hat maximal.

Andere Definitionen

Es gibt andere moderne Formulierungen der Definition von Ordinal. Zum Beispiel unter der Annahme des Axiom der RegelmäßigkeitDas Folgende ist für einen Satz gleichwertig x:

  • x ist ein (von Neumann) Ordinal,
  • x ist ein Transitive Setund die Mitgliedschaft festlegen ist trichotom an x,
  • x ist ein transitiver Satz total bestellt durch festgelegte Inklusion,
  • x ist ein transitiver Satz von transitiven Sätzen.

Diese Definitionen können nicht in verwendet werden Nicht aus Well gegründete Set-Theorien. In festgelegten Theorien mit UrelementeMan muss weiter sicherstellen, dass die Definition Urelemente aus dem Erscheinen in Ordinalen ausschließt.

Transfinite Sequenz

Wenn α ordinal ist und X ist ein Satz, eine α-indizierte Sequenz von Elementen von X ist eine Funktion von α bis X. Dieses Konzept a Transfinite Sequenz (wenn α unendlich ist) oder Ordinalindexierte Sequenz, ist eine Verallgemeinerung des Konzepts von a Reihenfolge. Eine gewöhnliche Sequenz entspricht dem Fall α = ω, während ein endliches α a entspricht a Tupel, a.k.a. Saite.

Transfinite Induktion

Transfinite Induktion gilt in jedem geordnet Set, aber es ist in Bezug auf Ordinale so wichtig, dass es sich lohnt, hier wiederzugewinnen.

Jede Eigenschaft, die von der Reihe von Ordnern übergeht, die kleiner als ein gegebenes Ordinal α bis α selbst sind, gilt für alle Ordnungen.

Das heißt, wenn P(α) ist wahr, wann immer P(β) gilt für alle β <α, dann P(α) gilt für alle α. Oder praktischer: um ein Eigentum zu beweisen P Für alle Ordnungen α kann man davon ausgehen, dass es bereits für alle kleiner ist β <α.

Transfinite Rekursion

Transfinite Induktion kann nicht nur verwendet werden, um Dinge zu beweisen, sondern auch um sie zu definieren. Eine solche Definition soll normalerweise von sein Transfinite Rekursion -Der Beweis, dass das Ergebnis gut definiert ist, verwendet die transfinite Induktion. Lassen F bezeichnen eine (Klasse) Funktion F auf den Ordnern definiert werden. Die Idee ist jetzt, dass bei der Definition F(α) Für ein nicht spezifiziertes ordinales α kann man davon ausgehen F(β) ist bereits für alle definiert β <α und geben so eine Formel für F(α) in Bezug auf diese F(β). Anschließend folgt durch transfinitische Induktion, dass es eine und nur eine Funktion gibt, die die Rekursionsformel bis hin zu α erfüllt.

Hier ist ein Beispiel für die Definition durch transfinitische Rekursion auf den Ordinalen (weitere werden später angegeben): Funktion definieren F indem man F(α) die kleinste Ordinal nicht im Satz sein {F(β) | β <α}das heißt, der Satz, der aus allen besteht F(β) für β <α. Diese Definition nimmt die an F(β), bekannt im Prozess der Definition F; Dieser scheinbare Teufelskreis ist genau die Definition, die durch transfinite Rekursion zulässt. In der Tat, F(0) macht Sinn, da es keine Ordinal gibt β <0und das Set {F(β) | β <0} ist leer. So F(0) ist gleich 0 (die kleinste Ordinal aller). Nun das F(0) ist bekannt, die Definition auf F(1) macht Sinn (es ist die kleinste Ordinal, die nicht im Singleton -Set ist {F(0)} = {0}) und so weiter (die usw ist genau transfinite Induktion). Es stellt sich heraus, dass dieses Beispiel nicht sehr aufregend ist, da nachweislich nachweislich F(α) = α Für alle Ordnungen α, was genau durch transfinitische Induktion gezeigt werden kann.

Nachfolger und Begrenzung Ordinale

Jeder Ordinal ungleich Null hat das Mindestelement, Null. Es kann ein maximales Element haben oder nicht. Beispielsweise hat 42 maximal 41 und ω+6 maximal ω+5. Andererseits hat ω kein Maximum, da es keine größte natürliche Zahl gibt. Wenn ein Ordinal ein maximales α hat, ist es die nächste Ordinal nach α, und es wird a genannt Nachfolger Ordinal, nämlich der Nachfolger von α, geschrieben α+1. In der von Neumann -Definition von Ordinalen ist der Nachfolger von α Da sind seine Elemente die von α und α selbst.[7]

Eine Ordinal ungleich Null, das ist nicht Ein Nachfolger heißt a Ordinal begrenzen. Eine Rechtfertigung für diesen Begriff ist, dass eine Grenzbestimmung die ist Grenze in einem topologischen Sinne aller kleineren Ordnungen (unter dem Topologie bestellen).

Wann ist eine ordinalindexierte Sequenz, indiziert durch eine Grenze und die Sequenz ist zunehmen, d.h. Wann immer es ist Grenze ist definiert als die am wenigsten Obergrenze des Satzes Das heißt, die kleinste Ordinal (es existiert immer) größer als jeder Begriff der Sequenz. In diesem Sinne ist eine Grenze Ordinal die Grenze aller kleineren Ordinale (für sich selbst indiziert). Direkter ausgedrückt, es ist das Supremum des Satzes kleinerer Ordinale.

Eine andere Möglichkeit, eine Grenze zu definieren, besteht darin, zu sagen, dass α nur dann eine Grenzordnung ist, wenn:

Es gibt ein Ordinal weniger als α, und wenn ζ ein Ordinal weniger als α ist, gibt es ein Ordinal ξ, so dass ζ <ξ <α.

Also in der folgenden Reihenfolge:

0, 1, 2,…, ω, ω+1

ω ist ein Grenzwert Ordinal, da für jedes kleinere Ordinal (in diesem Beispiel eine natürliche Zahl) eine andere ordinale (natürliche Zahl) größer ist als sie, aber immer noch weniger als ω.

Somit ist jeder Ordinal entweder Null oder ein Nachfolger (eines gut definierten Vorgängers) oder eine Grenze. Diese Unterscheidung ist wichtig, da viele Definitionen durch Transfinite Rekursion darauf beruhen. Sehr oft bei der Definition einer Funktion F Durch transfinite Rekursion auf allen Ordnern definiert man F(0) und F(α+1) Annahme F(α) wird definiert und dann für Grenzordinale δ eins definiert F(δ) als Grenze der F(β) für alle β <δ (entweder im Sinne ordinaler Grenzen, wie zuvor erläutert, oder für einen anderen Begriff der Grenze, wenn F Nimmt keine Ordnungswerte an). Der interessante Schritt in der Definition ist daher der Nachfolgerschritt, nicht die Grenzwertverordnungen. Solche Funktionen (besonders für F Nicht -krankheits- und ordinale Werte) werden als kontinuierlich bezeichnet. Ordinale Zugabe, Multiplikation und Exponentiation sind kontinuierlich, wenn ihr zweites Argument funktioniert (können jedoch nicht rekursiv definiert werden).

Indexierungsklassen von Ordinalen

Jedes geordnete Satz ist ähnlich (ordnungssomorph) wie eine eindeutige Ordnungszahl ; Mit anderen Worten, seine Elemente können von den Ordnern weniger als in der Steigerung der Mode indexiert werden . Dies gilt insbesondere für alle Ordnungsmenge: Alle Ordinals werden von den Ordnern auf natürliche Weise unter indiziert . Gleiches gilt mit einer leichten Modifikation für Klassen von Ordinalen (eine Sammlung von Ordinalen, möglicherweise zu groß, um einen von einer Eigenschaft definierten Satz zu bilden): Jede Klasse von Ordinalen kann durch Ordinale indiziert werden (und wenn die Klasse in der Klasse aller Ordinale unbegrenzt ist Klassenbijektion mit der Klasse aller Ordnungen). Also die -Die Element in der Klasse (mit der Konvention, dass das "0-Th" das kleinste ist, ist der "1-st" der nächste kleinste und so weiter). Formal erfolgt die Definition durch transfinite Induktion: die -Das Element der Klasse ist definiert (vorausgesetzt, sie wurde bereits für alle definiert ) als das kleinste Element, das größer ist als das -Th Element für alle .

Dies könnte beispielsweise auf die Klasse der Grenzbestimmungen angewendet werden: die -D -Ordinal, die entweder eine Grenze oder Null ist, ist (sehen Ordinale Arithmetik zur Definition der Multiplikation von Ordnern). In ähnlicher Weise kann man berücksichtigen Additiv und eher uneingeschränkte Ordnungen (was bedeutet eine Ordinal ungleich Null, die nicht die Summe von zwei streng kleineren Ordnern ist): die -D -additiv und nicht entzündbarer Ordinal wird als indiziert als . Die Technik der Indizierung von Ordnungsklassen ist im Zusammenhang mit Fixpunkten häufig nützlich: zum Beispiel die -D -Ordinal so dass ist geschrieben . Diese werden als "" genannt "Epsilon -Zahlen".

Geschlossen unbegrenzte Sets und Klassen

Eine Klasse von Ordinalen soll sein ungebunden, oder Cofinal, wenn er ordinal gegeben wird , da ist ein in so dass (Dann muss die Klasse eine ordnungsgemäße Klasse sein, d. H. Es kann kein Satz sein). Es soll sein abgeschlossen Wenn die Grenze einer Abfolge von Ordnern in der Klasse wieder in der Klasse ist: oder gleichwertig, wenn die Indexierungsfunktion (Klasse) ist kontinuierlich in dem Sinne, dass denn eine Grenze Ordinal, (das -D -Ordinal in der Klasse) ist die Grenze von allen zum ; Dies ist auch das gleiche wie geschlossen, in der topologisch Sinn für die Topologie bestellen (Um zu vermeiden, über die Topologie über ordnungsgemäße Klassen zu sprechen, kann man verlangen, dass der Schnittpunkt der Klasse mit einer bestimmten Ordinal für die Ordentopologie auf dieser Ordinal geschlossen ist, dies ist wieder entsprechend.)

Von besonderer Bedeutung sind jene Klassen von Ordinalen, die sind geschlossen und unbegrenzt, manchmal genannt Clubs. Zum Beispiel ist die Klasse aller Grenzbestände geschlossen und unbegrenzt: Dies bedeutet die Tatsache, dass es immer eine Grenze ordinal ist, die größer als eine bestimmte Ordinal ist, und dass eine Grenze der Grenzwertverordnungen eine Grenze ist (eine glückliche Tatsache, wenn die Terminologie ist überhaupt Sinn machen!). Die Klasse der additiven nichtkomposablen Ordinals oder die Klasse von Ordinale oder die Klasse von Kardinälesind alle unbegrenzt geschlossen; der Satz von regulär Kardinäle sind jedoch unbegrenzt, aber nicht geschlossen, und ein endlicher Satz von Ordinalen ist geschlossen, aber nicht unbegrenzt.

Eine Klasse ist stationär, wenn sie mit jeder geschlossenen unbegrenzten Klasse eine nicht leere Kreuzung hat. Alle Superklassen geschlossener unbegrenzter Klassen sind stationär, und stationäre Klassen sind unbegrenzt, aber es gibt stationäre Klassen, die nicht geschlossen sind und stationäre Klassen, in denen keine geschlossene Unterklasse geschlossen wurde (wie die Klasse aller Grenzbestände mit zählbarer Cofinalität). Da der Schnittpunkt von zwei geschlossenen unbegrenzten Klassen geschlossen und unbegrenzt ist, ist die Schnittstelle einer stationären Klasse und einer geschlossenen unbegrenzten Klasse stationär. Der Schnittpunkt zweier stationärer Klassen kann jedoch leer sein, z. Die Klasse der Ordinale mit Cofinalität ω mit der Klasse der Ordinale mit unzähliger Cofinalität.

Anstatt diese Definitionen für (ordnungsgemäße) Ordnungsklassen zu formulieren, kann man sie für Ordnungssätze unterhalb einer bestimmten Ordinal formulieren : Eine Teilmenge einer Grenzordnung Ordinal soll unbegrenzt (oder Cofinal) unter sein bereitete alle Ordnungen weniger als ist weniger als einige Ordnungen im Set. Im Allgemeinen kann man eine Teilmenge eines beliebigen Ordnungen aufrufen Cofinal in bereitete jeden Ordinal weniger als ist weniger als oder gleich einige ordinale im Set. Die Untergruppe soll unter geschlossen sein vorausgesetzt, es ist für die Bestellentopologie geschlossen in , d.h. eine Grenze von Ordnern im Satz ist entweder im Satz oder gleich selbst.

Arithmetik der Ordnungen

Es gibt drei übliche Operationen zu Ordnern: Addition, Multiplikation und (ordinale) Exponentiation. Jedes kann im Wesentlichen auf zwei verschiedene Arten definiert werden: entweder durch Erstellen eines expliziten, gut geordneten Satzes, der den Vorgang darstellt, oder durch Verwendung der Transfinitenrekursion. Das Cantor -Normalform Bietet eine standardisierte Methode zum Schreiben von Ordnern. Es repräsentiert einzigartige Ordinal als endliche Summe der Ordnungskräfte von ω. Dies kann jedoch nicht die Grundlage einer universellen Ordnungsnotation aufgrund solcher selbstreferenziellen Darstellungen wie ε bilden0 = ωε0. Die sogenannten "natürlichen" arithmetischen Operationen behalten auf Kosten der Kontinuität die Kommutativität.

Interpretiert als Schnappern (Eine spieltheoretische Variante von Zahlen), unterliegen Ordinale auch den flinker arithmetischen Operationen.

Ordinale und Kardinäle

Anfängliche Verordnung eines Kardinals

Jeder ordinale assoziiert mit einem Kardinal, seine Kardinalität. Wenn zwischen zwei Ordnern eine Bijektion vorhanden ist (z. ω = 1 + ω und ω + 1> ω), dann verbinden sie sich mit dem gleichen Kardinal. Jedes geordnete Satz mit einer Ordinal als Bestellentyp hat die gleiche Kardinalität wie diese Ordinal. Die mit einem bestimmten Kardinal verbundenen am wenigsten Ordinal wird als die genannt anfängliche Ordinal von diesem Kardinal. Jede endliche Ordinal (natürliche Zahl) ist anfänglich und keine anderen Ordnungsverbände mit seinem Kardinal. Die meisten unendlichen Ordinals sind jedoch nicht anfänglich, da viele unendliche Ordinale mit dem gleichen Kardinal assoziieren. Das Axiom der Wahl entspricht der Aussage, dass jeder Satz gut geordnet werden kann, d. H. Der Kardinal hat eine anfängliche Ordinal. In Theorien mit dem Axiom der Wahl hat die Kardinalzahl eines beliebigen Satzes eine anfängliche Ordinal, und man kann die verwenden Von Neumann Cardinal Asendment als die Darstellung des Kardinals. (Wir müssen dann jedoch darauf achten, zwischen Kardinal -Arithmetik und Ordinalarithmetik zu unterscheiden.) In festgelegten Theorien ohne Axiom der Wahl kann ein Kardinal durch den Satz von Mengen mit dieser Kardinalität dargestellt werden (siehe Scotts Trick).

Ein Problem mit Scotts Trick ist, dass es die Kardinalnummer identifiziert mit , was in einigen Formulierungen die Ordnungszahl ist . Es kann klarer sein, von Neumann Cardinal -Zuordnung auf endliche Fälle anzuwenden und Scotts Trick für Sets zu verwenden, die unendlich sind oder keine guten Bestellung zugeben. Beachten Sie, dass die Kardinal- und Ordinal -Arithmetik für endliche Zahlen zustimmen.

Die α-the unendliche anfängliche Ordinal ist geschrieben Es ist immer ein Grenzwert. Seine Kardinalität ist geschrieben . Zum Beispiel die Kardinalität von ω0 = ω ist , was auch die Kardinalität von ω ist2 oder ε0 (Alle sind zählbare Ordnungen). So kann ω mit identifiziert werden mit , außer dass die Notation wird beim Schreiben von Kardinälen und ω beim Schreiben von Ordinalen verwendet (dies ist wichtig, da zum Beispiel, zum Beispiel, = wohingegen ). Ebenfalls, ist die kleinste unzählbare Ordinal (um zu sehen, dass es existiert, berücksichtigen Sie den Satz von Äquivalenzklassen von Wohlbefinden der natürlichen Anzahl ist der Bestelltyp dieses Satzes), ist die kleinste Ordinal, deren Kardinalität größer ist als und so weiter und ist die Grenze der für natürliche Zahlen n (Jede Grenze von Kardinälen ist ein Kardinal, daher ist diese Grenze in der Tat der erste Kardinal nach allem ).

Cofinalität

Das Cofinalität von Ordinal ist die kleinste Ordinal Das ist der Bestellentyp a Cofinal Teilmenge von . Beachten Sie, dass eine Reihe von Autoren Cofinalität definieren oder sie nur für Grenzbestimmungen verwenden. Die Cofinalität eines Satzes von Ordnern oder einem anderen gut geordneten Satz ist die Cofinalität des Ordertyps dieses Satzes.

Somit gibt es für eine Grenze ordinal ein a -Idexed streng zunehmende Sequenz mit Grenze . Zum Beispiel die Cofinalität von ω2 ist ω, weil die Sequenz ω ·m (wo m Bereiche über die natürlichen Zahlen) tendiert zu ω2; Im Allgemeinen hat jede zählbare Grenze -Ordinal eine Cofinalität ω. Eine unzählige Grenze -Ordinal kann entweder eine Cofinalität haben ω wie auch oder eine unzählige Cofinalität.

Die Cofinalität von 0 beträgt 0. und die Cofinalität eines ordinalen Nachfolgers beträgt 1. Die Cofinalität eines beliebigen Grenzwerts ist mindestens .

Eine Ordinal, die seiner Cofinalität entspricht, wird als regulär bezeichnet und ist immer eine anfängliche Ordinal. Jede Grenze der regulären Ordnungen ist eine Grenze der Anfangsordinals und somit auch anfänglich, selbst wenn es nicht regelmäßig ist, was es normalerweise nicht ist. Wenn das Axiom der Wahl, dann ist regelmäßig für jedes α. In diesem Fall die Ordnungen 0, 1, , , und sind regelmäßig, während 2, 3, und ωω · 2 sind anfängliche Ordnungen, die nicht regelmäßig sind.

Die Cofinalität eines Ordnungswesens α ist eine reguläre Ordinal, d. H. Die Cofinalität der Cofinalität von α ist dasselbe wie die Cofinalität von α. Die Cofinalitätsoperation ist also idempotent.

Einige "große" zählbare Ordnungen

Wie oben erwähnt (siehe Cantor -Normalform), die ordinale ε0 ist die kleinste, die die Gleichung befriedigt so ist es die Grenze der Sequenz 0, 1, , , usw. Viele Ordinale können so definiert werden wie feste Punkte bestimmter Ordnungsfunktionen (die -D -Ordinal so dass das wird genannt dann konnte man versuchen, das zu finden -D -Ordinal so dass das , "Und so weiter", aber die ganze Subtilität liegt in der "und so weiter"). Man könnte versuchen, dies systematisch zu tun, aber egal welches System zum Definieren und Konstrukten von Ordinalen verwendet wird, es gibt immer eine Ordinal, die direkt über allen vom System konstruierten Ordnungen liegt. Die vielleicht wichtigste Ordinal, die ein Konstruktionssystem auf diese Weise einschränkt, ist die Kirchenkleen -Ordinal, (trotz der Im Namen ist diese Ordinal zählbar), die kleinste Ordinal, die in keiner Weise durch a dargestellt werden kann berechnungsbare Funktion (Dies kann natürlich streng gemacht werden). Wesentlich große Ordnungen können unten definiert werden Die "Proof-theoretische Stärke" bestimmter bestimmter messen formelle Systeme (zum Beispiel, misst die Stärke von Peano -Arithmetik). Große zählbare Ordnungen wie zählbar zulässige Ordnungen kann auch über der Kirchenklee-Ordinal definiert werden, die für verschiedene Teile der Logik von Interesse sind.

Topologie und Ordinale

Jede Ordnungsnummer kann zu a gemacht werden topologischer Raum durch ausgestiftet mit dem Topologie bestellen; Diese Topologie ist diskret Wenn und nur wenn der Ordinal ein zählbarer Kardinal ist, d. H. höchstens ω. Eine Teilmenge von ω+1 ist in der Ordertopologie offen, wenn es nur dann ist Cofinite oder es enthält nicht ω als Element.

Siehe das Topologie und Ordinale Abschnitt des Artikel "Order Topology".

Abwärts geschlossene Ordnungssätze

Ein Satz ist Abwärts geschlossen Wenn etwas weniger als ein Element des Satzes auch im Satz ist. Wenn eine Reihe von Ordnern nach unten geschlossen ist, ist dieses Set ein Ordinal - das am wenigsten Ordinal nicht im Satz.

Beispiele:

  • Der Satz von Ordinalen von weniger als 3 beträgt 3 = {0, 1, 2}, die kleinste Ordinal, die nicht weniger als 3 ist.
  • Die Menge der endlichen Ordnungen ist unendlich, die kleinste unendliche Ordinal: ω.
  • Der Satz zählbarer Ordinale ist unzähliger, die kleinste unzählige Ordinal: ω1.

Geschichte

Die transfiniten Ordnungszahlen, die erstmals 1883 erschienen,[9] Ursprung von Cantors Arbeit mit abgeleitete Sets. Wenn P ist eine Reihe realer Zahlen, der abgeleitete Satz P' ist der Satz von Punkte begrenzen von P. Im Jahr 1872 erzeugte Cantor die Sets P(n) durch Anwendung des abgeleiteten Satzvorgangs n mal zu P. Im Jahr 1880 wies er darauf hin, dass diese Sets die Sequenz bilden P'⊇ ··· ⊇P(n)P(n+1)⊇ ···, und er setzte den Ableitungsprozess durch Definition fort P(∞) als Schnittpunkt dieser Sätze. Dann iterierte er die abgeleitete Set -Operation und Kreuzungen, um seine Abfolge von Mengen in das Infinite auszudehnen: P(∞)P(∞+1)P(∞+2)⊇ ··· ⊇P(2∞)⊇ ··· ⊇P(∞2)⊇ ···.[10] Die Überschreibungen, die ∞ enthalten, sind nur Indizes, die durch den Ableitungsprozess definiert sind.[11]

Cantor verwendete diese Sets in den Theoremen: (1) wenn P(α)= ∅ für einen Index α, dann P' ist zählbar; (2) umgekehrt, wenn P' ist zählbar, dann gibt es einen Index α so, dass P(α)= ∅. Diese Theoreme werden durch die Aufteilung bewiesen P' hinein paarweise disjunkt Sets: P'= (P'P(2)) ∪ (P(2)P(3)) ∪ ··· ∪ ((P(∞)P(∞+1)) ∪ ··· ∪P(α). Für β <α: seitdem P(β+1) enthält die Grenzpunkte von P(β), Die Sätze P(β)P(β+1) keine Grenzpunkte haben. Daher sind sie Diskrete SätzeSie sind also zählbar. Beweis des ersten Satzes: wenn P(α)= ∅ für einen Index α, dann P' ist die zählbare Vereinigung zählbarer Sets. Deswegen, P' ist zählbar.[12]

Der zweite Satz erfordert, um die Existenz eines α so zu beweisen, dass P(α)= ∅. Um dies zu beweisen, betrachtete Cantor die Menge aller α mit zähnen Vorgängern. Um diesen Satz zu definieren, definierte er die transfiniten Ordnungszahlen und transformierte die unendlichen Indizes in Ordinale, indem er ∞ durch ω, der ersten transfiniten Ordnungszahl, ersetzt hat. Cantor bezeichnete die ersten endlichen Ordinals als erste Zahlenklasse. Die zweite Nummernklasse ist der Satz von Ordinalen, deren Vorgänger einen zähligen unendlichen Satz bilden. Der Satz aller α mit zähnen vielen Vorgängern - dh der Satz zählbarer Ordinale - ist die Vereinigung dieser beiden Zahlenklassen. Cantor hat bewiesen, dass die Kardinalität der zweiten Nummernklasse die erste unzählige Kardinalität ist.[13]

Cantors zweiter Satz wird: wenn P' ist zählbar, dann gibt es ein zählbares ordinales α so, dass P(α)= ∅. Seine Beweise verwendet Beweis durch Widerspruch. Lassen P' zählbar sein und annehmen, dass es kein solches α gibt. Diese Annahme erzeugt zwei Fälle.

  • Fall 1: P(β)P(β+1) ist für alle zählbaren β nicht leer. Da es viele dieser paarweisen disjunkten Sätze unzähliger gibt, ist ihre Gewerkschaft unzählige. Diese Vereinigung ist eine Teilmenge von P', Also P' ist unzähliger.
  • Fall 2: P(β)P(β+1) ist leer für einige zählbare β. Seit P(β+1)P(β)Dies impliziert P(β+1)=P(β). Daher, P(β) ist ein Perfektes SetEs ist also unzähliger.[14] Seit P(β)P', der Satz P' ist unzähliger.

In beiden Fällen, P' ist unzählbar, was widerspricht P' zählbar sein. Daher gibt es ein zählbares ordinales α so, dass P(α)= ∅. Cantors Arbeit mit abgeleiteten Sätzen und Ordnungsnummern führte zu dem Cantor-Bendixson-Theorem.[15]

Mit Nachfolgern, Grenzen und Kardinalität erzeugte Cantor eine unbegrenzte Folge von Ordnungszahlen und Zahlenklassen.[16] Die (α+1) -Th-Nummernklasse ist der Satz von Ordinalen, deren Vorgänger einen Satz der gleichen Kardinalität wie die α-TH-Zahlklasse bilden. Die Kardinalität der (α+1) -TH-Nummernklasse ist die Kardinalität unmittelbar nach der der α-α-Zahlenklasse.[17] Für eine Grenze ordinales α ist die α-TH-Anzahl der Klasse der Vereinigung der β-β-Nummer-Klassen für β <α.[18] Seine Kardinalität ist die Grenze der Kardinalitäten dieser Zahlenklassen.

Wenn n ist endlich, die n-Th -Nummernklasse hat Kardinalität . Wenn α ≥ ω ist, hat die α-ten-Zahlklasse eine Kardinalität .[19] Daher entsprechen die Kardinalitäten der Zahlenklassen eins zu eins mit dem Aleph -Zahlen. Außerdem besteht die α-TH-Zahlklasse aus Ordnern, die sich von denen in den vorhergehenden Zahlenklassen unterscheiden, wenn α eine nicht limitierte Ordinal ist. Daher partieren die Nichtlimitnummernklassen die Ordnungen in paarweise Disjoint-Mengen.

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ "Ordinale Nummer - Beispiele und Definition der Ordnungsnummer". Literarische Geräte. 2017-05-21. Abgerufen 2021-08-31.
  2. ^ Sterling, Kristin (2007-09-01). Ordnungszahlen. Lernerclassroom. ISBN 978-0-8225-8846-7.
  3. ^ Gründliche Einführungen werden gegeben durch ((Levy 1979) und (Jech 2003).
  4. ^ Hallett, Michael (1979), "Auf dem Weg zu einer Theorie mathematischer Forschungsprogramme. I", Das britische Journal für die Philosophie der Wissenschaft, 30 (1): 1–25, doi:10.1093/bjps/30.1.1, HERR 0532548. Sehen Sie die Fußnote auf p. 12.
  5. ^ "Ordinale Zahlen | Brillante Mathematik & Naturwissenschaft Wiki". Brilliant.org. Abgerufen 2020-08-12.
  6. ^ Weisstein, Eric W. "Ordinalzahl". mathworld.wolfram.com. Abgerufen 2020-08-12.
  7. ^ a b Von Neumann 1923
  8. ^ (Levy 1979, p. 52) führt die Idee auf unveröffentlichte Arbeiten von Zermelo im Jahr 1916 und mehrere Artikel von von Neumann in den 1920er Jahren zu.
  9. ^ Cantor 1883. Englische Übersetzung: Ewald 1996, S. 881–920
  10. ^ Ferreirós 1995, S. 34–35; Ferreirós 2007, S. 159, 204–5
  11. ^ Ferreirós 2007, p. 269
  12. ^ Ferreirós 1995, S. 35–36; Ferreirós 2007, p. 207
  13. ^ Ferreirós 1995, S. 36–37; Ferreirós 2007, p. 271
  14. ^ Dauben 1979, p. 111
  15. ^ Ferreirós 2007, S. 207–8
  16. ^ Dauben 1979, S. 97–98
  17. ^ Hallett 1986, S. 61–62
  18. ^ Tait 1997, p. 5 Fußnote
  19. ^ Die erste Nummernklasse hat Kardinalität . Mathematische Induktion beweist, dass die n-Th -Nummernklasse hat Kardinalität . Da die ω-te-nummer-Klasse die Vereinigung der ist n-TH -Zahlenklassen, seine Kardinalität ist die Grenze der . Transfinite Induktion beweist, dass wenn α ≥ ω die α-Th-Zahl-Klasse ist, eine Kardinalität hat .

Verweise

Externe Links