Operationsreihenfolge

Nicht zu verwechseln mit Operationsauftrag.

Im Mathematik und Computerprogrammierung, das Operationsreihenfolge (oder Vorrang) eine Sammlung von Regeln, die Konventionen widerspiegeln, welche Verfahren zuerst durchführen sollen, um eine gegebene zu bewerten mathematischer Ausdruck.

In der Mathematik und den meisten Computersprachen wird beispielsweise eine Multiplikation eine höhere Vorrang Algebraische Notation.[1][2] Somit der Ausdruck 1 + 2 × 3 wird interpretiert, um den Wert zu haben 1 + (2 × 3) = 7, und nicht (1 + 2) × 3 = 9. Wenn die Exponenten im 16. und 17. Jahrhundert eingeführt wurden, erhielten sie sowohl Addition als auch Multiplikation Vorrang und konnten nur als Superschriften rechts von ihrer Basis platziert werden.[1] Daher 3 + 52 = 28 und 3 × 52 = 75.

Diese Konventionen existieren, um notative Ambiguität zu beseitigen und gleichzeitig die Notation so kurz wie möglich zu ermöglichen. Wo es erwünscht ist, die Vorrangkonventionen außer Kraft zu setzen oder sie einfach nur zu betonen, um sie zu betonen, Klammern ( ) kann verwendet werden. Zum Beispiel, (2 + 3) × 4 = 20 Kräfte, die zusätzlich zur Multiplikation vorgehen (3 + 5)2 = 64 Kräfte ergänzt, um vorzugehen Exponentiation. Wenn in einem mathematischen Ausdruck mehrere Paaren von Klammern erforderlich sind (z. Klammern oder Zahnspange Um Verwirrung zu vermeiden, wie in [2 × (3 + 4)] - 5 = 9.

Definition

Die Reihenfolge der Operationen, die in Mathematik, Wissenschaft, Technologie und vielen Computer verwendet wird Programmiersprachen, wird hier ausgedrückt:[1][3][4]

  1. Exponentiation und Wurzelextraktion
  2. Multiplikation und Aufteilung
  3. Zusatz und Subtraktion

Dies bedeutet, dass, wenn in einem mathematischen Ausdruck eine Unterexpression zwischen zwei erscheint BetreiberDer Bediener, der in der obigen Liste höher ist, sollte zuerst angewendet werden.

Das kommutativ und assoziativ Zusatz- und Multiplikationsgesetze ermöglichen das Hinzufügen von Begriffen in jeder Reihenfolge und multiplizieren Faktoren in beliebiger Reihenfolge - aber gemischte Operationen müssen der Standardreihenfolge der Operationen befolgen.

In einigen Kontexten ist es hilfreich, eine Teilung durch Multiplikation durch das gegenseitige (multiplikative Inverse) und eine Subtraktion durch Zugabe des Gegenteils (additive Inverse) zu ersetzen. Zum Beispiel in ComputeralgebraDies ermöglicht es, weniger zu handhaben Binäre Operationenund erleichtert die Verwendung Amtativität und Assoziativität Bei der Vereinfachung großer Ausdrücke (für mehr siehe Computeralgebra § Vereinfachung). Daher 3 ÷ 4 = 3 × 1/4; Mit anderen Worten, der Quotient von 3 und 4 entspricht dem Produkt von 3 und 1/4. Ebenfalls 3 - 4 = 3 + (–4); Mit anderen Worten, die Differenz von 3 und 4 entspricht der Summe von 3 und –4. Daher, 1 - 3 + 7 kann als die Summe von betrachtet werden 1 + (-3) + 7und die drei Summen kann in jeder Reihenfolge hinzugefügt werden, in allen Fällen, die 5 als Ergebnis angeben.

Das Wurzelsymbol √ wird traditionell durch eine Balken (genannt Vinculum) über dem Radikand (dies vermeidet die Notwendigkeit von Klammern um den Radikand). Andere Funktionen verwenden Klammern um die Eingabe, um Unklarheiten zu vermeiden.[5][6][a] Die Klammern können weggelassen werden, wenn die Eingabe eine einzelne numerische Variable oder Konstante ist[1] (wie im Fall von Sünde x = Sünde (x) und sin π = sin (π).[a] Eine andere Verknüpfungskonvention, die manchmal verwendet wird, ist, wenn der Eingang ist monomial; daher, Sünde 3x = Sünde (3x) statt (Sünde (3))x, aber Sünde x + y = Sünde (x) + y, Weil x + y ist keine monomiale. Dies ist jedoch eindeutig und außerhalb bestimmter Kontexte nicht allgemein verstanden.[b] Einige Taschenrechner und Programmiersprachen erfordern Klammern um Funktioneingaben, andere nicht.

Gruppensymbole können verwendet werden, um die übliche Reihenfolge der Operationen zu überschreiben.[1] Gruppierte Symbole können als einzelne Ausdruck behandelt werden.[1] Gruppensymbole können mithilfe des assoziativen und entfernt werden verteilt Gesetze können auch entfernt werden, wenn der Ausdruck im Symbol der Gruppierung ausreichend vereinfacht ist, sodass sich keine Unklarheit aus ihrer Entfernung ergibt.

Beispiele

Eine horizontale Bruchlinie fungiert auch als Symbol für die Gruppierung:

Zur Leichtigkeit im Lesen andere Gruppierungssymbole wie lockige Zahnspangen { } oder quadratische Klammern [ ]werden oft zusammen mit Klammern verwendet (). Zum Beispiel:

Mnemonik

Mnemonik werden oft verwendet, um den Schülern zu helfen, sich an die Regeln zu erinnern, die die ersten Wörterbuchstaben umfassen, die verschiedene Operationen darstellen. In verschiedenen Ländern werden verschiedene Mnemonik verwendet.[7][8][9]

  • In dem Vereinigte Staaten[10] und in Frankreich,[11] Das Akronym Pemdas ist üblich. Es steht für Pnicht EXponenten, MUltiplikation/DIvision, Addition/SUbtraktion.[10] Pemdas wird oft auf die Mnemonik erweitert. "Bitte entschuldigen Sie meine liebe Tante Sally" in Schulen.[12]
  • Kanada und Neuseeland verwenden BEDMAs, steht für BSchläger, Schläger, EXponenten, Division/MUltiplikation, Addition/SUbtraktion.[10]
  • Am häufigsten in der Vereinigtes Königreich, Pakistan, Indien, Bangladesch und Australien[13] Und einige andere englischsprachige Länder sind Bodmas bedeutet entweder BSchläger, Schläger, ORder, Division/MUltiplikation, Addition/SUbtraction oder BSchläger, Schläger, Of, Division/MUltiplikation, Addition/SUbtraktion.[c][14] Nigeria und einige andere westafrikanische Länder verwenden auch Bodmas. Ähnlich in Großbritannien, Bidmas wird auch verwendet, stehend für BSchläger, Schläger, Indices, Division/MUltiplikation, Addition/SUbtraktion.

Diese Mnemonik können irreführend sein, wenn sie auf diese Weise geschrieben werden.[12] Beispielsweise würde die Fehlinterpretation eines der oben genannten Regeln als "Hinzufügen zuerst, Subtraktion danach" den Ausdruck fälschlicherweise bewerten[12]

Die "Addition/Subtraktion" in der Mnemonik sollte so interpretiert werden, dass alle Ergänzungen und Subtraktionen von links nach rechts durchgeführt werden sollten. Ebenso der Ausdruck a ÷ b × c Könnte auf verschiedene Arten gelesen werden, aber die "Multiplikation/Division" in der Mnemnonic bedeutet, dass die Multiplikationen und Spaltungen von links nach rechts durchgeführt werden sollten.

Zusätzliche Unklarheiten, die durch den Einsatz von verursacht werden Multiplikation durch Nebeneinander und mit dem Schrägstrich Die Vertretung der Abteilung werden diskutiert unter. Im Allgemeinen besteht der sicherste Weg, Unklarheiten zu vermeiden, darin, Klammern zu verwenden.

Spezialfälle

Serienponentiation

Wenn Exponentiation wird durch gestapelte Symbole unter Verwendung von Superscript -Notation angezeigt, die übliche Regel besteht darin, von oben nach unten zu arbeiten:[15][1][6][16]

abc = a(bc)

was normalerweise nicht gleich ist (ab)c. Diese Konvention ist nützlich, weil es gibt ein Eigentum der Exponentiation das (ab)c = aBCEs ist also unnötig, dafür serielle Exponentiation zu verwenden.

Bei Verwendung von Operatornotation mit a jedoch Pflege (^) oder Pfeil (↑) Es gibt keinen gemeinsamen Standard.[17] Zum Beispiel, Microsoft Excel und Berechnungsprogrammiersprache Matlab auswerten a^b^c wie (ab)c, aber Google-Suche und Wolfram Alpha wie a(bc). Daher 4^3^2 wird im ersten Fall auf 4.096 und im zweiten Fall auf 262.144 bewertet.

Unary Minus Zeichen

Es gibt unterschiedliche Konventionen in Bezug auf den Unary Operator (normalerweise "minus"). In schriftlicher oder gedruckter Mathematik der Ausdruck −32 wird interpretiert, um zu bedeuten - (32) = –9.[1][18]

In einigen Anwendungen und Programmiersprachen, insbesondere in Microsoft Excel, Planmaker (und andere Tabellenkalkulationsanwendungen) und die Programmiersprache BC, Unary Operatoren haben eine höhere Priorität als binäre Operatoren, dh der Unary Minus hat eine höhere Vorrang2 wird als interpretiert als (–3)2 = 9.[19] Dies gilt nicht für den binären Minus -Operator -; Zum Beispiel in Microsoft Excel während der Formeln = −2^2, =-(2)^2 und = 0+−2^2 Rückkehr 4, die Formel = 0−2^2 und = - (2^2) Return -4.

Gemischte Aufteilung und Multiplikation

In einigen akademischen Literatur, Multiplikation durch Gegenüberstellung (auch bekannt als implizite Multiplikation) wird als höhere Vorrang als Teilung interpretiert, damit das 1 ÷ 2n gleich 1 ÷ (2n), nicht (1 ÷ 2)n.[1] Zum Beispiel die Anweisungen zur Einreichung von Manuskript für die Physische Bewertung Journale geben an, dass eine Multiplikation von höherer Vorrang als Teilung ist,[20] und dies ist auch die Konvention, die in prominenten Physik -Lehrbüchern wie dem beobachtet wird Kurs der theoretischen Physik durch Landauer und Lifshitz und die Feynman Vorträge zur Physik.[d] Diese Mehrdeutigkeit wird oft ausgenutzt Internetmemes wie zum Beispiel "8 ÷ 2 (2+2)".[21]

Mehrdeutigkeit kann auch durch die Verwendung des Schrägsymbol, '/' für Division. Das Physische Bewertung Einreichungsanweisungen deuten darauf hin, dass Ausdrücke der Form A/B/C ausdrückt; Mehrdeutigkeit kann vermieden werden, indem stattdessen (a/b)/c oder a/(b/c) geschrieben wird.[20]

Taschenrechner

Hauptartikel: Taschenrechnereingangsmethoden

Verschiedene Taschenrechner folgen unterschiedlichen Operationsaufträgen.[1] Viele einfache Taschenrechner ohne Stapel -Implementierung Ketteneingabe Arbeiten von links nach rechts ohne Priorität an verschiedene Operatoren, beispielsweise die Eingabe

1 + 2 × 3 ergibt 9,

Während ausgefeiltere Taschenrechner eine Standardpriorität nutzen, z. B. die Typisierung

1 + 2 × 3 ergibt 7.

Das Microsoft Taschenrechner Das Programm verwendet das erstere in seiner Standardansicht und letzteres in seinen wissenschaftlichen und programmierenden Ansichten.

Ketteneingabe erwartet zwei Operanden und ein Bediener. Wenn der nächste Operator gedrückt wird, wird der Ausdruck sofort bewertet und die Antwort wird zur linken Hand des nächsten Operators. Fortgeschrittene Taschenrechner ermöglichen die Eingabe des gesamten Ausdrucks, nach Bedarf gruppiert und nur dann bewertet, wenn der Benutzer das Equals -Zeichen verwendet.

Taschenrechner können die Exponenten nach rechts nach rechts assoziieren. Zum Beispiel der Ausdruck a^b^c wird interpretiert als a(bc) auf der Ti-92 und die Ti-30xs Multiview im "mathPrint -Modus", während es interpretiert wird als (ab)c auf der Ti-30xii und die Ti-30xs Multiview im "klassischen Modus".

Ein Ausdruck wie 1/2x wird als 1/(2) interpretiertx) durch Ti-82sowie viele moderne Casio Taschenrechner,[22] Aber wie (1/2)x durch Ti-83 und jeder andere TI -Rechner, der seit 1996 veröffentlicht wurde,[23] sowie alle von allen Hewlett Packard Taschenrechner mit algebraischer Notation. Während die erste Interpretation von einigen Benutzern aufgrund der Natur von erwartet werden kann implizite MultiplikationLetzteres entspricht eher der Regel, dass Multiplikation und Aufteilung gleichermaßen vorrangig sind.

Wenn der Benutzer nicht sicher ist, wie ein Taschenrechner einen Ausdruck interpretiert, können Klammern verwendet werden, um die Mehrdeutigkeit zu beseitigen.

Operationsreihenfolge entstand aufgrund der Anpassung von Infixnotation in Standardmathematische Notation, was ohne solche Konventionen im Gegensatz zu solchen Konventionen notational mehrdeutig sein kann Postfix -Notation oder Präfixnotation, die keine Operationsaufträge benötigen.[24][25] Daher nutzen Taschenrechner Polnische Notation umgekehrt (RPN) mit a Stapel Um Ausdrücke in die richtige Vorrangreihenfolge einzugeben, benötigen keine Klammern oder möglicherweise modellspezifische Ausführungsreihenfolge.[12][10]

Programmiersprachen

Etwas Programmiersprachen Verwenden Sie Vorrangstufen, die der in der Mathematik üblicherweise verwendeten Reihenfolge entsprechen,[17] obwohl andere, wie z. Apl, Smalltalk, Occam und Maria, haben keine Operator Vorrangregeln (in APL ist die Bewertung streng von rechts nach links; in Smalltalk ist es streng von links nach rechts).

Da viele Betreiber nicht assoziativ sind, wird die Reihenfolge innerhalb einer einzelnen Ebene normalerweise durch Gruppieren von links nach rechts definiert 16/4/4 wird interpretiert als (16/4)/4 = 1 statt 16/(4/4) = 16; Solche Betreiber werden als "links assoziativ" bezeichnet. Ausnahmen existieren; Zum Beispiel Sprachen mit Operatoren, die dem entsprechen Nachteile Die Operation auf Listen macht sie normalerweise von rechts nach links ("rechts assoziativ"), z. in Haskell, 1: 2: 3: 4: [] == 1: (2: (3: (4: [])) == [1,2,3,4].

Dennis Ritchie, Schöpfer der C Sprache, hat über die Vorrang in C gesagt (geteilt von Programmiersprachen, die beispielsweise diese Regeln von C ausleihen, C ++, Perl und Php) dass es vorzuziehen gewesen wäre, das zu bewegen Bitgewise -Operatoren über Vergleichsoperatoren.[26] Viele Programmierer haben sich an diese Reihenfolge gewöhnt, aber neuere populäre Sprachen wie Python und Ruby haben diese Bestellung umgekehrt. Die relativen Vorrangniveaus von Betreiber In vielen Sprachen im C-Stil sind wie folgt vorhanden:

1 () [] ->. :: Funktionsaufruf, Umfang, Array/Mitgliedszugriff
2 ! ~ - + * & Größe von   Typ Cast ++ - (die meisten) Unary Operatoren, Größe von und Typgüsse (rechts nach links)
3 * /% Mod Multiplikation, Abteilung, Modulo
4 + - Addition und Subtraktion
5 <<  >> Bitweise Verschiebung nach links und rechts
6 <   <=  >   >= Vergleiche: Weniger und größer als größer
7 ==! = Vergleiche: gleich und nicht gleich
8 & Bitweise und
9 ^ Bitweise exklusiv oder (xor)
10 | Bitweise inklusive (normal) oder
11 && Logisch und
12 || Logisch oder
13 ? : Bedingter Ausdruck (ternär)
14 = += -= *= /=%= & = | = ^= << = >> = Zuordnungsbetreiber (rechts nach links)
15 , Komma -Betreiber

Beispiele: (Hinweis: In den folgenden Beispielen wird '≡' verwendet, um "identisch mit" zu bedeuten und nicht als tatsächlicher Zuweisungsoperator interpretiert zu werden, der als Teil des Beispielausdrucks verwendet wird.)

  • ! A +! B ≡ (! A) + (! B)
  • ++ a +! B ≡ (++ a)+(! B)
  • A + b * c ≡ A + (b * c)
  • A || B && c ≡ A || (B && c)
  • A && b == c ≡ A && (b == c)
  • A & B == C. ≡ A & (b == c)

(Im Python, Rubin, PARI/GP und andere beliebte Sprachen, A & B == C. ≡ (A & b) == c.))

Source-to-Source-Compiler Dieser Kompilieren zu mehreren Sprachen muss explizit mit der Frage der verschiedenen Operationen in Übereinstimmung in den Sprachen umgehen. Haxe Zum Beispiel standardisiert die Reihenfolge und setzt sie durch, indem sie Klammern einfügen, wo sie angemessen ist.[27]

Es wurde festgestellt, dass die Genauigkeit des Softwareentwicklerwissens über Binärbetreiber vorrangig ist, um der Häufigkeit des Auftretens im Quellcode genau zu verfolgen.[28]

Siehe auch

Erläuternder Vermerk

  1. ^ a b Einige Autoren vermeiden absichtlich jegliche Auslassung von Klammern mit Funktionen, selbst bei einzelnen numerischen Variablen oder konstanten Argumenten (d. H. Oldham in Atlas), während andere Autoren (wie wie NIST) Wenden Sie diese Notationsvereinfachung nur in Verbindung mit spezifischen Multi-Charakter-Funktionsnamen an (wie wie Sünde), aber verwenden Sie es nicht mit generischen Funktionsnamen (wie wie f).
  2. ^ Um Unklarheiten zu vermeiden, ist diese notative Vereinfachung für Monome wird absichtlich in Werken wie wie Oldham's Atlas von Funktionen oder der NIST -Handbuch mit mathematischen Funktionen.
  3. ^ "Of" entspricht der Teilung oder Multiplikation und wird häufig in der Grundschule verwendet, wie in "Hälfte von fünfzig".
  4. ^ Zum Beispiel die dritte Ausgabe von Mechanik durch Landau und Lifshitz enthält Ausdrücke wie z. HPz/2π (S. 22) und der erste Band der Feynman Vorträge Enthält Ausdrücke wie 1/2√N (S. 6–7). In beiden Büchern werden diese Ausdrücke mit der Konvention geschrieben, dass die Solidus wird zuletzt bewertet. Dies impliziert auch, dass ein Ausdruck wie 8/2 (4) Lösung 1 als Auslassung der Multiplikationszeichen (x * oder.) Impliziert, dass der Solidus zuletzt bewertet wird, auch wenn sie mehr links positioniert sind.

Verweise

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Weitere Lektüre