Größenordnung

Ein Größenordnung ist eine Annäherung der Logarithmus eines Werts relativ zu einem kontextuell verstandenen Referenzwert, normalerweise 10, als die Basis des Logarithmus und als Repräsentant der Werte der Größe 1 interpretiert. Logarithmische Verteilungen sind in der Natur häufig und berücksichtigt die Größenordnung der aus einer solchen Verteilung abgetasteten Werte intuitiver. Wenn der Referenzwert 10 ist, kann die Größenordnung als Anzahl der Ziffern in der Basis-10-Darstellung des Wertes verstanden werden. In ähnlicher Weise, wenn der Referenzwert eine von einigen Kräften von 2 ist, da Computer Daten in a speichern binär Format kann die Größe in Bezug auf die Menge des Computerspeichers verstanden werden, das für die Speicherung dieses Wertes erforderlich ist.

Unterschiede in der Reihenfolge der Größenordnung kann sein gemessen auf einer Basis-10 Logarithmische Darstellung in "Jahrzehnte”(D. H. Faktoren von zehn).^[1] Beispiele für die Anzahl verschiedener Größen können bei gefunden werden Größenordnungen (Zahlen).

Definition

Im Allgemeinen ist die Größenordnung einer Zahl die kleinste Leistung von 10, die zur Darstellung dieser Zahl verwendet werden.^[2] Um die Größenordnung einer Zahl zu erarbeiten ${\ displayStyle n}$Die Zahl wird zuerst in der folgenden Form ausgedrückt:

${\ displayStyle n = a \ times 10^{b}}$

wo ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {10}}} \ leq a <{\ sqrt {10}}}$oder ungefähr ${\ displayStyle 0.316 \ wenigersim a \ wenigersim 3.16}$. Dann, ${\ displayStyle B}$ repräsentiert die Größenordnung der Zahl. Die Größenordnung kann jeder sein ganze Zahl. Die folgende Tabelle zeigt die Größenordnung einiger Zahlen im Lichte dieser Definition:

Nummer ${\ displayStyle n}$	Ausdruck in ${\ displayStyle n = a \ times 10^{b}}$	Größenordnung ${\ displayStyle B}$
0,2	2 × 10–1	–1
1	1 × 100	0
5	0,5 × 101	1
6	0,6 × 101	1
31	3,1 × 101	1
32	0,32 × 102	2
999	0,999 × 103	3
1000	1 × 103	3

Das geometrisches Mittelwert von ${\ displayStyle 10^{B-1/2}}$ und ${\ displayStyle 10^{B+1/2}}$ ist ${\ displayStyle 10^{B}}$, was bedeutet, dass ein Wert von genau ${\ displayStyle 10^{B}}$ (d. h., ${\ displayStyle a = 1}$) repräsentiert eine geometrische Punkt auf halbem Weg innerhalb des Bereichs der möglichen Werte von ${\ displayStyle a}$.

Einige verwenden eine einfachere Definition, wo ${\ displayStyle 0.5 <a \ leq 5}}$vielleicht, weil die arithmetisches Mittel von ${\ displayStyle 10^{B}}$ und ${\ displayStyle 10^{b+c}}$ Ansätze ${\ displayStyle 5 \ Times 10^{B+C-1}}$ zum Erhöhen ${\ displayStyle c}$. Diese Definition hat den Effekt, die Werte von zu senken ${\ displayStyle B}$ leicht:

Nummer ${\ displayStyle n}$	Ausdruck in ${\ displayStyle n = a \ times 10^{b}}$	Größenordnung ${\ displayStyle B}$
0,2	2 × 10–1	–1
1	1 × 100	0
5	5 × 100	0
6	0,6 × 101	1
31	3,1 × 101	1
32	3,2 × 101	1
999	0,999 × 103	3
1000	1 × 103	3

Noch andere beschränken sich ${\ displayStyle a}$ zu Werten wo ${\ displayStyle 1 \ leq a <10}$die Größenordnung einer Zahl genau gleich seines exponenten Teils in wissenschaftliche Schreibweise.

Verwendet

Größenordnungen werden verwendet, um ungefähre Vergleiche durchzuführen. Wenn sich Zahlen um eine Größenordnung unterscheiden, x ist um zehnmal unterschiedlich in Menge als y. Wenn sich die Werte um zwei Größenordnungen unterscheiden, unterscheiden sie sich um den Faktor von etwa 100. Zwei Zahlen der gleichen Größenordnung haben ungefähr gleich groß: Der größere Wert beträgt weniger als das Zehnfache des kleineren Wertes.

In Worten (Lange Skala))	In Worten (kurze Skala))	Präfix (Symbol)	Dezimal	Leistung häufig	Reihenfolge von Größe
Grad ...	Septillionsth	Yocto- (y)	0,000000000000000000000001	10–24	–24
Trilliardth	Sextillionsth	Zepto- (z)	0,000000000000000000001	10–21	–21
Billionth	Quintillionsth	Atto- (a)	0,000000000000000001	10–18	–18
Billard	Grad ...	femto- (f)	0,000000000000001	10–15	–15
Milliardstel	Billionth	Pico- (p)	0,000000000001	10–12	–12
Milliardth	Milliardstel	Nano- (n)	0,000000001	10–9	–9
millionste	millionste	Mikro- (µ))	0,000001	10–6	–6
Tausendstel	Tausendstel	Milli- (m)	0,001	10–3	–3
Hundertstel	Hundertstel	Centi (c)	0,01	10–2	–2
Zehntel	Zehntel	Deci- (d)	0,1	10–1	–1
eines	eines		1	100	0
zehn	zehn	Deka (da)	10	101	1
hundert	hundert	Hekto- (h)	100	102	2
tausend	tausend	Kilo- (k)	1000	103	3
Million	Million	Mega- (m)	1000000	106	6
Milliard	Milliarde	Giga- (g)	1000000000	109	9
Milliarde	Billion	tera- (t)	1000000000000	1012	12
Billard-	Billionen	PETA- (p)	1000000000000000	1015	15
Billion	Trillion	exa- (e)	1000000000000000000	1018	18
Trilliard	Sextillion	Zetta- (z)	1000000000000000000000	1021	21
Billionen	Septillion	yotta- (y)	1000000000000000000000000	1024	24
In Worten (Lange Skala))	In Worten (kurze Skala))	Präfix (Symbol)	Dezimal	Leistung häufig	Reihenfolge von Größe

Berechnung der Größenordnung berechnen

Die Größenordnung einer Zahl ist intuitiv die Anzahl der in der Zahl enthaltenen Kräfte von 10. Genauer gesagt kann die Größenordnung einer Zahl in Bezug auf die definiert werden Gemeinsamer Logarithmus, normalerweise als die ganze Zahl Teil des Logarithmus, erhalten von durch Kürzung. Zum Beispiel die Nummer 4000000 hat einen Logarithmus (in Basis 10) von 6,602; Seine Größenordnung ist 6. Beim Abschneiden liegt eine Reihe dieser Größenordnung zwischen 10⁶ und 10⁷. In einem ähnlichen Beispiel ist die Größenordnung die Anzahl der Zahlen minus eins, so dass die Größenordnung minus eins ist, so dass es ohne einen Taschenrechner bis 6 die Größenordnung sehr leicht bestimmt ist. Eine Größenordnung ist eine ungefähre Position auf einen Logarithmische Darstellung.

Schätzung der Anordnung

Eine Schätzung einer Variablen, deren genauer Wert unbekannt ist, ist eine Schätzung gerundet zur nächsten Kraft von zehn. Zum Beispiel eine Schätzung der Anordnung der Zahl für eine Variable zwischen rund 3 und 30 Milliarden (wie die Mensch Population des Erde) ist 10 Milliarde. Um eine Zahl in die nächste Größenordnung zu runden, rundet man seinen Logarithmus auf die nächste Ganzzahl. Daher 4000000, der einen Logarithmus (in Basis 10) von 6,602 hat, hat 7 als nächstgelegene Größenordnung, da "nächstes" eher Rundung als Kürzung impliziert. Für eine in wissenschaftliche Notation geschriebene Zahl erfordert diese logarithmische Rundungsskala, die auf die nächste Leistung von zehn rundet, wenn der Multiplikator größer ist als die Quadratwurzel von zehn (ca. 3,162). Zum Beispiel die nächste Größenordnung für 1.7×10⁸ ist 8, während die nächste Größenordnung für 3.7×10⁸ ist 9. Eine Schätzung der Größenordnung wird manchmal auch als a genannt Annäherung der Nullhothuge.

Größenordnung Unterschied

Eine Differenz zwischen zwei Werten zwischen zwei Werten ist ein Faktor von 10. Zum Beispiel die Masse des Planeten Saturn ist 95 -mal das von Erdeso ist Saturn Zwei Größenordnungen massiver als die Erde. Unterschiede in der Größengröße werden genannt Jahrzehnte Wenn an a gemessen Logarithmische Darstellung.

Nicht dezimale Größenordnungen

Andere Größenordnungen können mit Verwendung berechnet werden Basen Außer 10 als 10. Die alten Griechen haben die nächtliche Helligkeit von Himmelskörpern um 6 Ebenen eingestuft Helligkeitsstufeund damit das hellste Niveau 5 Größenordnungen heller als der schwächste zeigt an (100 100)^1/5)⁵ oder ein Faktor von 100 -mal heller.

Der Unterschied Dezimal Ziffernsysteme Verwenden Sie der Welt eine größere Basis, um sich die Größe der Anzahl besser vorzustellen und Namen für die Befugnisse dieser größeren Basis zu erstellen. Die Tabelle zeigt, welche Anzahl das Größenordnungsziel für Basis 10 und für die Basis 1000000. Es ist ersichtlich, dass die Größenordnung in diesem Beispiel im Zahlennamen enthalten ist 1000000. Aber die Zahlen nennt Milliarden, Billionen selbst (hier mit andere Bedeutung als im ersten Kapitel) sind keine Namen der Bestellungen von Größen, sie sind Namen von "Größen", das ist das Zahlen 1000000000000 usw.

Größenordnung	Ist Protokoll10 von	Ist log1000000 von	Kurze Skala	Lange Skala
1	10	1000000	Million	Million
2	100	1000000000000	Billion	Milliarde
3	1000	1000000000000000000	Trillion	Billion

Si Einheiten in der Tabelle rechts werden zusammen mit verwendet SI -Präfixe, die mit vor allem Basis 1000 -Größen im Sinn entwickelt wurden. Die IEC -Standardpräfixe mit Basis 1024 wurden für den Einsatz in der elektronischen Technologie erfunden.

Die antiken offensichtliche Größen Für die Helligkeit der Sterne verwendet die Basis ${\ displayStyle {\ sqrt [{5}] {100}} \ ca. 2,512}$ und ist umgekehrt. Die modernisierte Version hat sich jedoch in eine logarithmische Skala mit Nichttegerwerten verwandelt.

Extrem große Zahlen

Für extrem große Zahlen, Eine verallgemeinerte Größenordnung kann auf ihrer basieren Doppelter Logarithmus oder Super-Logarithmus. Wenn Sie diese nach unten auf eine Ganzzahl abrunden, gibt es Kategorien zwischen sehr "runden Zahlen", rundet sie auf die nächste Ganzzahl und die Anwendung der inversen Funktion ergibt die "nächste" runde Zahl.

Der Doppel -Logarithmus ergibt die Kategorien:

..., 1.0023–1.023, 1.023–1,26, 1,26–10, 10–10¹⁰, 10¹⁰–10¹⁰⁰, 10¹⁰⁰–10¹⁰⁰⁰, ...

(Die ersten beiden erwähnten und die Erweiterung nach links sind möglicherweise nicht sehr nützlich, sie zeigen lediglich, wie die Sequenz mathematisch nach links fortgesetzt wird).

Der Super-Logarithmus ergibt die Kategorien:

0–1, 1–10, 10–10¹⁰, 10¹⁰–10¹⁰¹⁰, 10¹⁰¹⁰–10¹⁰¹⁰¹⁰, ... oder

0–⁰10,, ⁰10–¹10,, ¹10–²10,, ²10–³10,, ³10–⁴10, ...

Die "Mittelpunkte", die bestimmen, welche runde Zahl näher ist, sind im ersten Fall:

1.076, 2.071, 1453, 4.20×10³¹, 1.69×10³¹⁶, ...

und je nach Interpolationsmethode im zweiten Fall

–0,301, 0,5, 3,162, 1453, 1×10¹⁴⁵³, ${\ displayStyle (10 \ uparrow)^{1} 10^{1453}}$, ${\ displayStyle (10 \ uparrow)^{2} 10^{1453}}$,... (sehen Notation extrem großer Zahlen)

Für extrem kleine Zahlen (im Sinne von nahe Null) ist keine Methode direkt geeignet, sondern die verallgemeinerte Größenordnung der Größenordnung der gegenseitig kann in Erwägung gezogen werden.

Ähnlich wie Logarithmische Darstellung Man kann eine doppelte logarithmische Skala haben (Beispiel zur Verfügung gestellt hier) und super-logarithmische Skala. Die vorliegenden Intervalle haben die gleiche Länge auf sie, wobei die "Mittelpunkte" tatsächlich auf halbem Weg sind. Im Allgemeinen entspricht ein Punkt zwischen zwei Punkten dem der verallgemeinert f-bedeuten mit f(x) Das entsprechende Funktionsprotokollprotokoll x oder Slog x. Im Fall von Protokollprotokoll xDieser Mittelwert von zwei Zahlen (z. B. 2 und 16, das 4) nicht von der Basis des Logarithmus abhängt, genau wie im Fall von Protokoll x (geometrisches Mittelwert, 2 und 8 geben 4), jedoch im Gegensatz zu logarithmischer Protokollprotokollprotokoll x (4 und 65536 16 geben, wenn die Basis 2 ist, aber nicht anders).

Siehe auch

• Big O Notation
• Dezibel
• Mathematische Operatoren und Symbole in Unicode
• Namen großer Zahlen
• Namen kleiner Zahlen
• Zahlensinn
• Größenordnungen (Energie)
• Größenordnungen (Zahlen)
• Kräfte von zehn
• Wissenschaftliche Schreibweise
• Unicode -Symbole für die CJK -Kompatibilität inklusive Si Einheitssymbole
• Bewertung (Algebra), eine algebraische Verallgemeinerung der "Größenordnung"
• Skala (analytisches Werkzeug)

Verweise

Weitere Lektüre

• Asimov, Isaac, Das Maß des Universums (1983).

Externe Links

• Die Skala des Universums 2 Interaktives Werkzeug von Planck-Länge 10^–35 Meter bis Universum Größe 10²⁷
• Kosmos - Eine illustrierte dimensionale Reise vom Mikrokosmos nach Makrokosmos - von der digitalen Naturagentur
• Kräfte von 10, eine grafische animierte Illustration, die mit einer Ansicht der Milchstraße um 10²³ Meter und endet mit subatomare Partikel um 10^–16 Meter.
• Was ist die Größenordnung?