Nyquist -Shannon -Probenahme Theorem

Beispiel für die Größe der Fourier -Transformation einer bandlimierten Funktion

Das Nyquist -Shannon -Probenahme Theorem ist ein Satz auf dem Gebiet von Signalverarbeitung das dient als grundlegende Brücke zwischen kontinuierliche Zeitsignale und Diskrete Signale. Es legt eine ausreichende Bedingung für a fest Beispielrate das ermöglicht eine diskrete Folge von Proben So erfassen Sie alle Informationen aus einem kontinuierlichen Signal von endlichem Signal Bandbreite.

Streng genommen gilt der Satz nur für eine Klasse von Mathematische Funktionen ein ... haben Fourier-Transformation Das ist Null außerhalb einer endlichen Region von Frequenzen. Intuitiv erwarten wir, dass, wenn man eine kontinuierliche Funktion auf eine diskrete Sequenz reduziert und Interpolate Zurück zu einer kontinuierlichen Funktion hängt die Treue des Ergebnisses von der Dichte ab (oder Beispielrate) der ursprünglichen Proben. Der Stichprobensatz stellt das Konzept einer Stichprobenrate ein, die für die perfekte Treue für die Klasse der Funktionen ausreicht, die sind Bandbegrenzung zu einer bestimmten Bandbreite, so dass im Stichprobenprozess keine tatsächlichen Informationen verloren gehen. Es drückt die ausreichende Stichprobenrate in Bezug auf die Bandbreite für die Funktionsklasse aus. Der Satz führt auch zu einer Formel, um die ursprüngliche kontinuierliche Funktionsfunktion aus den Proben perfekt zu rekonstruieren.

Eine perfekte Rekonstruktion kann weiterhin möglich sein, wenn das Stichproben-Rate-Kriterium nicht erfüllt ist, vorausgesetzt, andere Einschränkungen des Signals sind bekannt (siehe § Abtastung von Nicht-Base-Band-Signalen unten und Komprimierte Erfindung). In einigen Fällen (wenn das Stichproben-Rate-Kriterium nicht erfüllt ist) ermöglicht die Verwendung zusätzlicher Einschränkungen ungefähre Rekonstruktionen. Die Wiedergabetreue dieser Rekonstruktionen kann unter Verwendung verifiziert und quantifiziert werden Bochners Theorem.^[1]

Der Name Nyquist -Shannon -Probenahme Theorem Ehrungen Harry Nyquist und Claude Shannonaber der Satz wurde auch zuvor von entdeckt von E. T. Whittaker (1915 veröffentlicht) und Shannon zitierte Whittaker's Paper in seiner Arbeit. Der Satz ist somit auch unter den Namen bekannt Whittaker -Shannon -Probenahme Theorem, Whittaker - Shannon, und Whittaker - Nyquist - Shannonund kann auch als die bezeichnet werden Kardinalsatz der Interpolation.

Einführung

Probenahme ist ein Prozess, bei dem ein Signal (z. B. eine Funktion der kontinuierlichen Zeit oder des Raums) in eine Abfolge von Werten (eine Funktion der diskreten Zeit oder des Raums) konvertiert wird. Shannon Version des Theorems erklärt:^[2]

Wenn eine Funktion ${\ displayStyle x (t)}$ enthält keine höheren Frequenzen als B HertzEs wird vollständig bestimmt, indem es seine Ordinate an einer Reihe von Punkten verabreicht wird ${\ displayStyle 1/(2b)}$ Sekunden auseinander.

Eine ausreichende Probenrate ist daher etwas größer als ${\ displayStyle 2b}$ Proben pro Sekunde. Äquivalent, für eine bestimmte Stichprobenrate ${\ displayStyle f_ {s}}$, perfekter Wiederaufbau ist für eine Bandlimit garantiert ${\ displayStyle b <f_ {s}/2}$.

Wenn das Bandlimit zu hoch ist (oder es keine Bandlimit gibt), zeigt die Rekonstruktion Unvollkommenheiten, die als bekannt sind Aliasing. Moderne Aussagen des Satzes achten manchmal darauf, dass dies ausdrücklich darauf hinweisen ${\ displayStyle x (t)}$ muss nein enthalten sinusförmig Komponente bei genau Frequenz ${\ displayStyle B,}$ oder das ${\ displayStyle B}$ muss streng weniger als ½ der Stichprobenrate sein. Der Grenzbereich ${\ displayStyle 2b}$ wird genannt Nyquist Rate und ist ein Attribut der kontinuierlichen Zeiteingabe ${\ displayStyle x (t)}$ abgetastet werden. Die Stichprobenrate muss die Nyquist -Rate überschreiten, damit die Proben ausreichen müssen, um darzustellen ${\ displayStyle x (t).}$Der Grenzbereich ${\ displayStyle f_ {s}/2}$ wird genannt Nyquist Frequenz und ist ein Attribut der Probenahmeausrüstung. Alle bedeutungsvollen Frequenzkomponenten des ordnungsgemäß abgetasteten ${\ displayStyle x (t)}$ existieren unter der Nyquist -Frequenz. Die durch diese Ungleichheiten beschriebene Erkrankung wird als die genannt Nyquist -Kriteriumoder manchmal das Raabe -Bedingung. Der Satz gilt auch für Funktionen anderer Bereiche, wie z. B. Raum, im Fall eines digitalisierten Bildes. Die einzige Änderung im Fall anderer Bereiche sind die Maßeinheiten, die auf zugeschrieben werden ${\ displayStyle t,}$ ${\ displayStyle f_ {s},},}$ und ${\ displayStyle B.}$

Die normalisierten SINC -Funktion: Sünde (πx) / (πx) ... zeigt den zentralen Peak bei x = 0und nullkreuzungen bei den anderen Ganzzahlwerten von x.

Das Symbol ${\ displayStyle t \ triangleq 1/f_ {s}}$ wird üblich Probenperiode oder Probenahmeintervall. Die Funktionsproben ${\ displayStyle x (t)}$ werden häufig von bezeichnet durch ${\ displayStyle x [n] \ triangleq x (nt)}$ (Alternative ${\ displayStyle x_ {n}}$ in älterer Signalverarbeitungsliteratur) für alle ganzzahligen Werte von ${\ displayStyle n.}$Eine weitere bequeme Definition ist ${\ displayStyle x [n] \ triangleq t \ cdot x (nt),},},}$ was die Energie des Signals als bewahrt als ${\ displayStyle t}$ variiert.^[3]

Eine mathematisch ideale Möglichkeit, die Sequenz zu interpolieren SINC -Funktionen. Jede Probe in der Sequenz wird durch eine SINC -Funktion ersetzt, die auf der Zeitachse an der ursprünglichen Position der Probe zentriert ist ${\ displayStyle nt,}$ mit der Amplitude der SINC -Funktion, die zum Probenwert skaliert ist, ${\ displayStyle x [n].}$ Anschließend werden die Sinc -Funktionen in eine kontinuierliche Funktion summiert. Eine mathematisch äquivalente Methode ist zu Convolve eine Sinc -Funktion mit einer Reihe von Dirac Delta Impulse, gewichtet durch die Probenwerte. Keine der beiden Methoden ist numerisch praktisch. Stattdessen wird eine Art Annäherung der SINC -Funktionen, endlich in Länge, verwendet. Die auf die Annäherung zugewiesenen Unvollkommenheiten sind als bekannt als Interpolationsfehler.

Praktisch Digital-analog-Konverter produzieren weder skaliert und verzögert SINC -Funktionennoch ideal Dirac Impulse. Stattdessen produzieren sie a stückweise konstant Sequenz von skaliert und verzögert rechteckige Impulse (das Null-Strecke halten), normalerweise gefolgt von a Tiefpassfilter (als "Anti-Imaging-Filter" bezeichnet), um falsche Hochfrequenz-Replikate (Bilder) des ursprünglichen Basisbandsignals zu entfernen.

Aliasing

Die Proben von zwei Sinuswellen können identisch sein, wenn mindestens einer von ihnen eine Frequenz über der Hälfte der Probenrate ist.

Wann ${\ displayStyle x (t)}$ ist eine Funktion mit a Fourier-Transformation ${\ displayStyle x (f)}$:

$oder$

das Poisson Summationsformel zeigt an, dass die Proben, ${\ displayStyle x (nt)}$, von ${\ displayStyle x (t)}$ reichen aus, um a zu schaffen periodische Summierung von ${\ displayStyle x (f)}$. Das Ergebnis ist:

X(f) (Oberblau) und X_A(f) (Bodenblau) sind kontinuierliche Fourier -Transformationen von zwei anders Funktionen, ${\ displayStyle x (t)}$ und ${\ displayStyle x_ {a} (t)}$ (nicht gezeigt). Wenn die Funktionen mit Rate abgetastet werden ${\ displayStyle f_ {s}}$Die Bilder (grün) werden zu den ursprünglichen Transformationen (blau) hinzugefügt, wenn man die diskreten Fourier-Transformationen (DTFT) der Sequenzen untersucht. In diesem hypothetischen Beispiel sind die DTFTs identisch, was bedeutet Die abgetasteten Sequenzen sind identischObwohl die ursprünglichen kontinuierlichen vorabtasteten Funktionen nicht sind. Wenn dies Audiosignale waren, ${\ displayStyle x (t)}$ und ${\ displayStyle x_ {a} (t)}$ Könnte nicht gleich klingen. Aber ihre Proben (mit Rate entnommen f_s) sind identisch und würden zu identischen reproduzierten Klängen führen; daher x_A(t) ist ein Alias ​​von x(t) bei dieser Stichprobenrate.

Dies ist eine periodische Funktion und ihre äquivalente Darstellung als a die Fourierreihe, deren Koeffizienten sind ${\ displayStyle t \ cdot x (nt).}.}$ Diese Funktion ist auch als die bekannt Diskrete Fourier-Transformation (DTFT) der Probensequenz.

Wie dargestellt, Kopien von ${\ displayStyle x (f)}$ werden durch Vielfache der Stichprobenrate verschoben ${\ displayStyle f_ {s}}$ und kombiniert durch Addition. Für eine bandbegrenzte Funktion${\ displayStyle (x (f) = 0, {\ text {für alle}} | f | \ geq b)}$und ausreichend groß ${\ displayStyle f_ {s},},}$ Es ist möglich, dass die Kopien sich voneinander unterscheiden. Wenn sich das Nyquist -Kriterium jedoch nicht erfüllt, überlappen sich benachbarte Kopien und es ist im Allgemeinen nicht möglich, ein eindeutiges Erkennen zu erkennen ${\ displayStyle x (f).}$ Jede Frequenzkomponente oben ${\ displayStyle f_ {s}/2}$ ist nicht von einer niedrigeren Frequenzkomponente zu unterscheiden, genannt alias, verbunden mit einem der Kopien. In solchen Fällen erzeugen die üblichen Interpolationstechniken eher den Alias ​​als die ursprüngliche Komponente. Wenn die Stichprobenrate durch andere Überlegungen (z. B. ein Industriestandard) vorgegeben wird, ${\ displayStyle x (t)}$ wird normalerweise gefiltert, um seine hohen Frequenzen auf akzeptable Werte zu reduzieren, bevor es abgetastet wird. Die Art des erforderlichen Filters ist a Tiefpassfilterund in dieser Anwendung wird es als als bezeichnet Anti-Aliasing-Filter.

Spektrum, X_s(f) eines ordnungsgemäß abgetasteten Bandlimitedsignals (blau) und den benachbarten DTFT -Bildern (grün), die sich nicht überlappen. EIN Ziegelwand Tiefpassfilter, H(f), entfernt die Bilder, verlässt das ursprüngliche Spektrum, X(f) und erholt das ursprüngliche Signal aus seinen Proben.

Die Abbildung links zeigt eine Funktion (in Grau/Schwarz), die bei stetig zunehmender Probendichte abgetastet und rekonstruiert wird (in Gold) . Die höchste Frequenz im Spektrum beträgt ½ der Breite des gesamten Spektrums. Die Breite der stetig steigenden rosa Schattierung entspricht der Probenrate. Wenn es das gesamte Frequenzspektrum umfasst, ist es doppelt so groß wie die höchste Frequenz, und dann übereinstimmt die rekonstruierte Wellenform mit dem abgetasteten.

Ableitung als Sonderfall der Poisson -Summierung

Wenn es keine Überlappung der Kopien gibt (auch als "Bilder") von ${\ displayStyle x (f)}$, das ${\ displayStyle k = 0}$ Begriff von Gl. 1 kann vom Produkt wiederhergestellt werden:

${\ displayStyle x (f) = h (f) \ cdot x_ {s} (f),},}$wo:

$oder$

Der Stichprobensatz wird seitdem bewiesen ${\ displayStyle x (f)}$ einzigartig bestimmt ${\ displayStyle x (t).}$

Alles, was bleibt, ist, die Formel für den Wiederaufbau abzuleiten. ${\ displayStyle h (f)}$ muss in der Region nicht genau definiert werden ${\ displayStyle [b, \ f_ {s} -b]}$ Weil ${\ displayStyle x_ {s} (f)}$ ist in dieser Region Null. Der schlimmste Fall ist jedoch, wann ${\ displayStyle b = f_ {s}/2,}$ die Nyquist -Frequenz. Eine Funktion, die dafür ausreicht und alle weniger schweren Fälle sind:

$oder S}} {2}} \\ 0 & | F |> {\ frac {f_ {s}} {2}}, \ end {cases}}}$

wo rect (•) das ist rechteckige Funktion. Deswegen:

$oder$

$oder$(ausGl. 1, Oben).

$oder } _ {{\ mathcal {f}} \ links \ {\ mathrm {sinc} \ links ({\ frac {t-nt} {t} \ rechts) \ rechts \}.}.}.}$     ^[EIN]

Die inverse Transformation beider Seiten erzeugt die Whittaker -Shannon -Interpolationsformel:

was zeigt, wie die Proben, ${\ displayStyle x (nt),}$ kann kombiniert werden, um zu rekonstruieren ${\ displayStyle x (t).}$

• Größere als notwendige Werte von f_s (kleinere Werte von T), genannt Überabtastung, haben keinen Einfluss auf das Ergebnis des Wiederaufbaus und den Vorteil, Platz für a zu verlassen Übergangsband in welchem H(f) ist frei, Zwischenwerte zu nehmen. Unterabtastung, was Aliasing verursacht, ist im Allgemeinen keine reversible Operation.
• Theoretisch kann die Interpolationsformel als implementiert werden Tiefpassfilter, deren Impulsantwort SINC ist (t/T) und deren Eingabe ist $oder$ die ein Dirac -Kamm Funktion moduliert durch die Signalproben. Praktisch Digital-analog-Konverter (DAC) Implementieren Sie eine Näherung wie die Null-Strecke halten. In diesem Fall kann Überabtastung den Approximationsfehler verringern.

Shannons ursprünglicher Beweis

Poisson zeigt, dass die Fourier -Serie in Gl. 1 erzeugt die periodische Summierung von ${\ displayStyle x (f)}$, Egal ob ${\ displayStyle f_ {s}}$ und ${\ displayStyle B}$. Shannon leitet jedoch nur die Serienkoeffizienten für den Fall ab ${\ displayStyle f_ {s} = 2b}$. SHANNons Originalpapier praktisch zitieren:

Lassen ${\ displayStyle x (\ Omega)}$ das Spektrum von sein ${\ displayStyle x (t).}$Dann

${\ displayStyle x (t) = {1 \ über 2 \ pi} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} x (\ omega) e^{i \ Omega t} \; {\ rm {d} } \ omega = {1 \ über 2 \ pi} \ int _ {-2 \ pi b}^{2 \ pi b} x (\ omega) e^{i \ omega t} \; {\ rm {d} } \ Omega,}$

Weil ${\ displayStyle x (\ Omega)}$ wird als Null außerhalb der Band angenommen ${\ displaystyle \ links | {\ tfrac {\ omega} {2 \ pi}} \ rechts | <b.}$Wenn wir es lassen ${\ displayStyle t = {\ tfrac {n} {2b}},},},}$ wo ${\ displayStyle n}$ Ist eine positive oder negative Ganzzahl, erhalten wir:

$oder ) e^{i \ omega {n \ over {2b}}} \; {\ rm {d}} \ Omega.}$

(Gl. 2)

Links sind Werte von ${\ displayStyle x (t)}$ an den Stichprobenpunkten. Das Integral rechts wird im Wesentlichen erkannt^[a] das n^th Koeffizient in einer Fourier-Serie-Erweiterung der Funktion ${\ displayStyle x (\ Omega),},}$ das Intervall nehmen ${\ displayStyle -b}$ zu ${\ displayStyle B}$ als grundlegende Zeit. Dies bedeutet, dass die Werte der Proben ${\ displayStyle x (n/2b)}}$ Bestimmen Sie die Fourier -Koeffizienten in der Serienerweiterung von ${\ displayStyle x (\ Omega).}$So bestimmen sie ${\ displayStyle x (\ Omega),},}$ seit ${\ displayStyle x (\ Omega)}$ ist Null für Frequenzen größer als Bund für niedrigere Frequenzen ${\ displayStyle x (\ Omega)}$ wird bestimmt, wenn seine Fourier -Koeffizienten bestimmt werden. Aber ${\ displayStyle x (\ Omega)}$ bestimmt die ursprüngliche Funktion ${\ displayStyle x (t)}$ vollständig, da eine Funktion bestimmt wird, wenn ihr Spektrum bekannt ist. Daher bestimmen die ursprünglichen Proben die Funktion ${\ displayStyle x (t)}$ vollständig.

Shannons Beweis für den Satz ist zu diesem Zeitpunkt vollständig, diskutiert jedoch über den Rekonstruktion über SINC -Funktionen, was wir jetzt das nennen Whittaker -Shannon -Interpolationsformel wie oben besprochen. Er leitet oder beweist die Eigenschaften der SINC -Funktion nicht, aber diese wären gewesen^{[Wieselwörter]} Vertraut für Ingenieure, die zu dieser Zeit seine Werke lesen, da die Fourier -Paar -Beziehung zwischen rechte (Die rechteckige Funktion) und Sinc waren bekannt.

Lassen ${\ displayStyle x_ {n}}$ sei der n^th Probe. Dann die Funktion ${\ displayStyle x (t)}$ wird dargestellt von:

${\ displayStyle x (t) = \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} x_ {n} {\ sin (\ pi (2BT-n)) \ Over \ pi (2BT-n)}. }$

Wie beim anderen Beweis wird die Existenz der Fourier -Transformation des ursprünglichen Signals angenommen, sodass der Beweis nicht sagt, ob sich der Stichprobensatz auf bandlimitierte stationäre zufällige Prozesse erstreckt.

Anmerkungen

Anwendung auf multivariable Signale und Bilder

Unterabgetastetes Bild zeigt a Moiré -Muster

Richtig abgetastetes Bild

Der Stichprobensatz wird normalerweise für Funktionen einer einzelnen Variablen formuliert. Folglich ist der Satz direkt für zeitabhängige Signale anwendbar und wird normalerweise in diesem Kontext formuliert. Der Stichprobensatz kann jedoch auf einfache Weise auf Funktionen von willkürlich vielen Variablen ausgedehnt werden. Zum Beispiel werden Graustufenbilder häufig als zweidimensionale Arrays (oder Matrizen) realer Zahlen dargestellt, die die relativen Intensitäten von darstellen Pixel (Bildelemente) befindet sich an den Kreuzungen von Zeilen- und Spaltenprobenorten. Infolgedessen erfordern Bilder zwei unabhängige Variablen oder Indizes, um jedes Pixel eindeutig anzugeben - eines für die Zeile und eines für die Spalte.

Farbbilder bestehen typischerweise aus einer Komposit aus drei separaten Graustufenbildern, die jede der drei Primärfarben darstellen - Red, Grün und Blau, oder RGB kurz. Andere Farbenspazitäten mit 3-Vektoren für Farben sind HSV, Cielab, XYZ usw. Einige Farbenspazitäten wie Cyan, Magenta, Gelb und Schwarz (CMYK) können Farbe um vier Dimensionen darstellen. All dies wird als behandelt vektorwerte Funktionen über eine zweidimensionale Stichprobe-Domäne.

Ähnlich wie eindimensionale diskrete Signale können Bilder auch unter Aliasing leiden, wenn die Stichprobenauflösung oder die Pixeldichte unzureichend ist. Zum Beispiel kann ein digitales Foto eines gestreiften Hemdes mit hohen Frequenzen (mit anderen Worten, der Abstand zwischen den Streifen), das Aliasing des Hemdes zu verursachen, wenn es von der Kamera abgetastet wird Bildsensor. Das Aliasing erscheint als Moiré -Muster. Die "Lösung" zu einer höheren Abtastung in der räumlichen Domäne für diesen Fall wäre, näher am Hemd heranzukommen, einen Sensor mit höherer Auflösung zu verwenden oder das Bild optisch zu verwischen Optischer Tiefpassfilter.

Ein weiteres Beispiel ist rechts in den Ziegelmustern gezeigt. Das obere Bild zeigt die Effekte, wenn der Zustand des Stichprobensatzes nicht erfüllt ist. Wenn die Software ein Bild reserviert (der gleiche Prozess, der das im unteren Bild gezeigte Miniaturbild erzeugt), wird das Bild tatsächlich über a ausgeführt Tiefpassfilter Zuerst und dann Verkleinerung das Bild, das zu einem kleineren Bild führt, das das nicht zeigt Moiré -Muster. Das obere Bild geschieht, wenn das Bild ohne Tiefpassfilterung heruntergetastet ist: Aliasing-Ergebnisse.

Der Abtastsatz gilt für Kamerasysteme, in denen die Szene und das Objektiv eine analoge räumliche Signalquelle darstellen, und der Bildsensor ist ein räumliches Abtastgerät. Jede dieser Komponenten ist durch a gekennzeichnet Modulationstransferfunktion (MTF), die die genaue Auflösung (räumliche Bandbreite) darstellt, die in dieser Komponente verfügbar ist. Auswirkungen von Aliasing oder Unschärfen können auftreten, wenn der MTF und der Sensor -MTF von Linsen nicht übereinstimmt. Wenn das optische Bild, das vom Sensorgerät abgetastet wird, höhere räumliche Frequenzen als der Sensor enthält, wirkt die Unterabtastung als Tiefpassfilter, um Aliasing zu reduzieren oder zu beseitigen. Wenn der Bereich des Probenahmespots (die Größe des Pixelsensors) nicht groß genug ist, um ausreichend zu liefern räumliche Anti-AliasingEin separater Anti-Aliasing-Filter (optischer Tiefpassfilter) kann in ein Kamerasystem aufgenommen werden, um den MTF des optischen Bildes zu reduzieren. Anstatt einen optischen Filter zu benötigen, die Grafikkarte von Smartphone Kameras treten auf digitale Signalverarbeitung Aliasing mit einem digitalen Filter entfernen. Digitale Filter tragen auch Schärfen an, um den Kontrast aus der Linse bei hohen räumlichen Frequenzen zu verstärken, was ansonsten bei Beugunggrenzen schnell abfällt.

Der Stichprobensatz gilt auch für die Nachbearbeitung digitaler Bilder, z. Auswirkungen von Aliasing, Unschärfen und Schärfen können mit der in der Software implementierten digitalen Filterung angepasst werden, was notwendigerweise den theoretischen Prinzipien folgt.

Kritische Häufigkeit

Um die Notwendigkeit von zu veranschaulichen ${\ displayStyle f_ {s}> 2b}$, betrachten Sie die Familie der Sinusoide, die durch verschiedene Werte von erzeugt werden ${\ displayStyle \ theta}$ in dieser Formel:

$oder Bt) \ tan (\ theta), \ quad -\ pi /2 <\ theta <\ pi /2.}$

Eine Familie von Sinusoiden bei der kritischen Frequenz, die alle dieselben Stichprobensequenzen von Wechsel +1 und –1 haben. Das heißt, sie alle sind Aliase voneinander, obwohl ihre Frequenz nicht über der Hälfte der Stichprobenrate liegt.

Mit ${\ displayStyle f_ {s} = 2b}$ oder gleichwertig ${\ displayStyle t = 1/2b}$, die Proben werden gegeben:

${\ displaystyle x (nt) = \ cos (\ pi n)-\ unterbrace {\ sin (\ pi n)} _ {0} \ tan (\ theta) = (-1)^{n}}$

unabhängig vom Wert von ${\ displayStyle \ theta}$. Diese Art von Mehrdeutigkeit ist der Grund für die strikt Ungleichheit des Zustands des Stichprobensatzes.

Abtastung von Nicht-Base-Band-Signalen

Wie von Shannon besprochen:^[2]

Ein ähnliches Ergebnis ist zutriff Ein-Seitenband-Modulation) des Nullfrequenzfalles. In diesem Fall wird der elementare Impuls aus der Sünde erhalten (x)/x durch einseitige Bandmodulation.

Das heißt, eine ausreichende No-Loss-Bedingung für die Probenahme Signale das hat nicht Basisband Komponenten existieren, die die betreffen Breite des Frequenzintervalls ungleich Null im Gegensatz zu seiner höchsten Frequenzkomponente. Sehen Abtastung (Signalverarbeitung) Weitere Details und Beispiele.

Zum Beispiel, um das zu probieren FM-Radio Signale im Frequenzbereich von 100–102MHzEs ist nicht erforderlich, bei 204 MHz (doppelt so hoch wie die obere Frequenz) zu probieren, sondern es reicht aus, um bei 4 MHz zu proben (doppelt so weit wie die Breite des Frequenzintervalls).

Eine Bandpassbedingung ist das X(f) = 0, für alle nichtnegativen f außerhalb des offenen Frequenzenbandes:

$$oder$$

Die entsprechende Interpolationsfunktion ist die Impulsantwort einer idealen Ziegelwand Bandpassfilter (im Gegensatz zum Ideal Ziegelwand Tiefpassfilter oben verwendet) mit Cutoffs an den oberen und unteren Rändern des angegebenen Bandes, was die Differenz zwischen einem Paar von Tiefpassimpulsreaktionen ist:

$$oder Frac {nt} {t}} \ rechts).}$$

Andere Verallgemeinerungen, beispielsweise zu Signalen, die mehrere nicht zusammenhängende Bänder besetzen, sind ebenfalls möglich. Selbst die am meisten verallgemeinerte Form des Stichprobensatzes hat kein nachweislich wahres Gegenteil. Das heißt, man kann nicht schließen, dass Informationen notwendigerweise verloren gehen, nur weil die Bedingungen des Stichprobensatzes nicht zufrieden sind. Aus technischer Sicht ist jedoch im Allgemeinen sicher anzunehmen, dass die Informationen, wenn der Stichprobensatz nicht erfüllt ist, höchstwahrscheinlich verloren gehen.

Ungleichmäßige Probenahme

Die Stichprobenentheorie von Shannon kann für den Fall von verallgemeinert werden ungleichmäßige ProbenahmeDas heißt, Proben, die nicht rechtzeitig gleich beabstandet sind. Die Shannon-Stichprobenentheorie für ungleichmäßige Probenahme besagt, dass ein bandbegrenzter Signal perfekt aus seinen Proben rekonstruiert werden kann, wenn die durchschnittliche Stichprobenrate den Zustand der Nyquist erfüllt.^[4] Obwohl gleichmäßig verteilte Proben zu einfacheren Rekonstruktionsalgorithmen führen können, ist es daher keine notwendige Bedingung für eine perfekte Rekonstruktion.

Die allgemeine Theorie für Nicht-Base-Bande- und ungleichmäßige Proben wurde 1967 von entwickelt Henry Landau.^[5] Er hat bewiesen, dass die durchschnittliche Stichprobenrate (gleichmäßig oder auf andere Weise) doppelt so hoch sein muss besetzt Bandbreite des Signals, vorausgesetzt, es ist a priori bekannt, welcher Teil des Spektrums besetzt war. In den späten neunziger Jahren wurde diese Arbeit teilweise um Signale ausgeweitet, deren Betrag der besetzten Bandbreite bekannt war, der tatsächliche Teil des Spektrums jedoch unbekannt war.^[6] In den 2000er Jahren wurde eine vollständige Theorie entwickelt (siehe Abschnitt Probenahme unter der Nyquist -Rate unter zusätzlichen Einschränkungen unten) Verwenden Komprimierte Erfindung. Insbesondere wird die Theorie unter Verwendung der Signalverarbeitungssprache in diesem Artikel von 2009 beschrieben.^[7] Sie zeigen unter anderem, dass, wenn die Frequenzstandorte unbekannt sind, es notwendig ist, mindestens doppelt so hoch wie bei den Nyquist -Kriterien zu probieren. Mit anderen Worten, Sie müssen mindestens einen Faktor von 2 bezahlen, um den Ort der nicht zu kennen Spektrum. Beachten Sie, dass die Mindestprobeneranforderungen nicht unbedingt garantiert werden Stabilität.

Probenahme unter der Nyquist -Rate unter zusätzlichen Einschränkungen

Das Nyquist -Shannon -Probenahme -Theorem liefert a ausreichender Zustand Für die Probenahme und Rekonstruktion eines bandbegrenzten Signals. Wenn die Rekonstruktion über die durchgeführt wird Whittaker -Shannon -InterpolationsformelDas Nyquist -Kriterium ist ebenfalls eine notwendige Bedingung, um Aliasing zu vermeiden. In dem Sinne gibt es einige Signale, die nicht korrekt rekonstruiert werden, wenn Proben langsamer als doppelt so hoch wie die Bandgrenze entnommen werden. Wenn dem Signal jedoch weitere Einschränkungen auferlegt werden, ist das Nyquist -Kriterium möglicherweise nicht mehr a notwendige Bedingung.

Ein nicht triviales Beispiel für die Ausbeutung zusätzlicher Annahmen über das Signal ist das jüngste Bereich von Komprimierte Erfindung, was eine vollständige Rekonstruktion mit einer sub-nyquist-Stichprobenrate ermöglicht. Dies gilt insbesondere für Signale, die in einer Domäne spärlich (oder komprimierbar) sind. Zum Beispiel befasst sich die komprimierte Sensing mit Signalen, die möglicherweise eine niedrige allgemeine Bandbreite haben (z. B. die Wirksam Bandbreite Eb), aber die Frequenzstellen sind in einer einzelnen Bande eher unbekannt als alle zusammen, so dass die Passband -Technik gilt nicht. Mit anderen Worten, das Frequenzspektrum ist spärlich. Traditionell beträgt die notwendige Stichprobenrate also 2B. Mit komprimierten Erfassungstechniken kann das Signal perfekt rekonstruiert werden, wenn es mit einer Geschwindigkeit von etwas weniger als 2 abgetastet wirdEb. Mit diesem Ansatz wird die Rekonstruktion nicht mehr durch eine Formel angegeben, sondern durch die Lösung für a Lineares Optimierungsprogramm.

Ein weiteres Beispiel, bei dem eine subnyquistische Probenahme optimal ist, ergibt sich unter der zusätzlichen Einschränkung, dass die Proben optimal quantisiert werden, wie in einem kombinierten Stichprobensystem und optimaler System Verlustige Komprimierung.^[8] Diese Einstellung ist in Fällen relevant, in denen der gemeinsame Effekt der Probenahme und Quantisierung ist berücksichtigt zu werden und kann eine Untergrenze für den minimalen Rekonstruktionsfehler liefern, der bei der Stichprobe und Quantisierung von a erreicht werden kann Zufallssignal. Für stationäre Gaußsche Zufallssignale wird diese untere Grenze normalerweise mit einer sub-nyquist-Stichprobenrate erreicht, was darauf hinweist Quantisierung.^[9]

Historischer Hintergrund

Der Stichprobensatz wurde durch die Arbeit von impliziert Harry Nyquist 1928,^[10] in dem er das bis zu 2 zeigteB Unabhängige Pulsproben könnten durch ein System der Bandbreite gesendet werden B; Aber er betrachtete das Problem der Stichprobe und Rekonstruktion kontinuierlicher Signale nicht ausdrücklich. Etwa zur gleichen Zeit, Karl Küpfmüller zeigte ein ähnliches Ergebnis^[11] und diskutierte die Sinc-Funktion-Impulsantwort eines bandlimitierenden Filters über sein Integral der Schrittantwort Sinus integral; Dieser Bandlimitierungs- und Rekonstruktionsfilter, der im Stichprobensatz von zentraler Bedeutung ist Küpfmüller -Filter (aber selten in Englisch).

Der Stichprobensatz, im Wesentlichen a Dual von Nyquists Ergebnis wurde nachgewiesen von Claude E. Shannon.^[2] V. A. Kotelnikov Veröffentlichte ähnliche Ergebnisse 1933,^[12] ebenso wie der MathematikerE. T. Whittaker im Jahr 1915,^[13] J. M. Whittaker 1935,^[14] und Gabor 1946 ("Theorie der Kommunikation"). Im Jahr 1999 die Eduard Rhein Foundation verlieh Kotelnikov ihren Grundlagenforschungspreis "für die erste theoretisch genaue Formulierung des Stichprobensatzes".

In den Jahren 1948 und 1949 veröffentlichte Claude E. Shannon - 16 Jahre später Vladimir Kotelnikov - Die beiden revolutionären Artikel, in denen er die Informationstheorie gründete.^[15][16][2] Im Shannon 1948 Der Stichprobensatz wird als „Satz 13“ formuliert: Lass es f(t) enthalten keine Frequenzen gegenüber W. Dann

$oder },}$ wo ${\ displaystyle x_ {n} = f \ links ({\ frac {n} {2w}} \ rechts)}$.

Erst als diese Artikel veröffentlicht wurden, wurde der Satz, der als "Shannons Stichprobensatz" bekannt ist, bei Kommunikationsingenieuren zu gemeinsamem Eigentum, obwohl Shannon selbst schreibt, dass dies eine Tatsache ist, die allgemein bekannt ist.^[B] Ein paar Zeilen weiter, fügt er jedoch hinzu: "Trotz seiner offensichtlichen Bedeutung scheint [es] jedoch nicht explizit in der Literatur der Kommunikationstheorie aufgetreten zu sein."

Andere Entdecker

Andere, die unabhängig voneinander in der Entwicklung des Stichprobensatzes entdeckt oder gespielt haben, wurden in mehreren historischen Artikeln, beispielsweise von Jerri, diskutiert^[17] und von Lüke.^[18] Zum Beispiel weist Lüke darauf hin, dass H. Raabe, ein Assistent von Küpfmüller, den Satz in seinem Ph.D. Dissertation; der Begriff Raabe -Bedingung kam, um mit dem Kriterium für eindeutige Darstellung verbunden zu sein (Abtastrate größer als doppelt so hoch wie die Bandbreite). Meijering^[19] erwähnt mehrere andere Entdecker und Namen in einem Absatz und Fußpaar:

Wie von Higgins [135] hervorgehoben, sollte der Stichprobenentheorem in zwei Teilen wirklich berücksichtigt werden, wie oben: die erste, die die Tatsache feststellt Proben. Beide Teile des Probenahmesatzes wurden in einer etwas anderen Form von J. M. Whittaker [350, 351, 353] und vor ihm auch von Ogura [241, 242] angegeben. Sie waren sich wahrscheinlich nicht der Tatsache bewusst, dass der erste Teil des Satzes bereits 1897 von Borel angegeben worden war [25].²⁷ Wie wir gesehen haben, benutzte Borel auch zu dieser Zeit, die als Kardinal -Serie bekannt wurde. Er scheint jedoch nicht den Link hergestellt zu haben [135]. In späteren Jahren wurde bekannt, dass Kotel'nikov der russischen Kommunikationsgemeinschaft vor Shannon der russischen Kommunikationsgemeinschaft vorgestellt worden war [173]. In der impliziteren, verbalen Form wurde es auch in der deutschen Literatur von Raabe beschrieben [257]. Mehrere Autoren [33, 205] haben erwähnt, dass in der japanischen Literatur parallel zu Shannon den Satz in der japanischen Literatur eingeführt hat. In der englischen Literatur stellte Weston [347] es ungefähr zur gleichen Zeit unabhängig von Shannon vor.²⁸

²⁷ Mehrere Autoren nach Black [16] haben behauptet, dass dieser erste Teil des Stichprobensatzes noch früher von Cauchy in einem 1841 veröffentlichten Papier [41] angegeben wurde. Das Papier von Cauchy enthält jedoch keine solche Aussage, wie wurde von Higgins darauf hingewiesen [135].

²⁸ Als Folge der Entdeckung der verschiedenen unabhängigen Einführungen des Stichprobensatzes begannen die Menschen, den Satz zu beziehen, indem sie die Namen der oben genannten Autoren einbezogen haben Theorem "[155] oder sogar" The Whittaker -Kotel'nikov -Raabe -Shannon -Someya -Stichproben -Theorem "[33], um Verwirrung zu vermeiden, vielleicht ist es das Beste, ihn als den Stichprobensatz zu bezeichnen" und nicht als den Stichprobensatz zu bezeichnen "und nicht als den Stichprobensatz" als als der Stichprobensatz zu bezeichnen "und nicht Der Versuch, einen Titel zu finden, der allen Antragstellern gerecht wird "[136].

Warum Nyquist?

Genau wie, wann oder warum Harry Nyquist Hatte seinen Namen dem Probenahmesatz beigefügt. Der Begriff Nyquist -Probenahme Theorem (So ​​aktiviert) erschien bereits 1959 in einem Buch seines ehemaligen Arbeitgebers, Bell Labs,^[20] und erschien 1963 erneut,^[21] und 1965 nicht aktiviert.^[22] Es war das genannt worden Shannon -Probenahme Theorem Bereits 1954,^[23] aber auch gerecht der Stichprobensatz in mehreren anderen Büchern in den frühen 1950er Jahren.

1958 zitierten Blackman und Tukey den Artikel von Nyquist von 1928 als Referenz für Der Stichprobensatz der Informationstheorie,^[24] Auch wenn dieser Artikel die Probenahme und Rekonstruktion kontinuierlicher Signale nicht wie andere behandelt. Ihr Glossar von Begriffen enthält diese Einträge:

Stichprobensatz (der Informationstheorie)

Das Ergebnis von Nyquist, dass Daten mit gleichem Unterteil mit zwei oder mehr Punkten pro Zyklus mit höchster Frequenz die Rekonstruktion von bandbegrenzten Funktionen ermöglichen. (Sehen Kardinalsatz.))

Kardinalheorem (der Interpolationstheorie)

Eine genaue Aussage der Bedingungen, unter denen Werte, die bei einem doppelt unendlichen Satz gleichermaßen beabstandeten Punkte angegeben sind

$${\ displaystyle {\ frac {\ sin (x-x_ {i})} {x-x_ {i}}.}$$

Genau das, worauf sie sich beziehen, bleibt sie mysteriös.

Als Shannon den Probenahme -Theorem in seinem Artikel von 1949 erklärte und bewies, heißt es in Meijering,^[19] "Er bezog sich auf das kritische Stichprobenintervall ${\ displayStyle t = {\ frac {1} {2w}}}$ als die Nyquist -Intervall entsprechend der Bande WIn Anerkennung der Entdeckung der grundlegenden Bedeutung dieses Intervalls durch Nyquist im Zusammenhang mit der Telegraphie. "

In ähnlicher Weise wurde der Name von Nyquist beigefügt Nyquist Rate 1953 von Harold S. Black:

"Wenn der wesentliche Frequenzbereich auf begrenzt ist B Zyklen pro Sekunde 2B wurde von Nyquist als maximale Anzahl von Codeelementen pro Sekunde gegeben, die eindeutig aufgelöst werden konnten, vorausgesetzt, die Spitzenstörungen sind weniger halb Quantenschritt. Diese Rate wird im Allgemeinen als als bezeichnet Signalisierung der Nyquist -Rate und ${\ displayStyle {\ frac {1} {2b}}}$ wurde als a bezeichnet Nyquist -Intervall. "^[25] (BOLD hinzugefügt für Betonung; Kursivschrift wie im Original)

Laut dem OEDDies kann der Ursprung des Begriffs sein Nyquist Rate. Bei Blacks Verwendung ist es keine Stichprobenrate, sondern eine Signalrate.

Siehe auch

• 44.100 HzEine übliche Rate, die zum Abtasthörfrequenzen verwendet wird
• Balian -Low -Theorem, eine ähnliche theoretische Untergrenze der Stichprobenraten, die jedoch für Zeit -Frequenz -Transformationen gilt
• Cheung - markiert Theorem, die Bedingungen angibt, bei denen die Wiederherstellung eines Signals durch den Probenahmesatz schlecht werden kann
• Shannon -Hartley -Theorem
• Nyquist ISI -Kriterium
• Rekonstruktion von Zero Crossings
• Null-Strecke halten

Anmerkungen

Verweise

Weitere Lektüre

• Higgins, J.R.: Fünf Kurzgeschichten über die KardinalserieBulletin of the AMS 12 (1985)
• Küpfmüller, Karl, "Utjämningsförlopp inom Telegraf-och Telefontekniken", ("Transienten in Telegraph und Telefontechnik"), Teknisk Tidskrift, nein. 9 S. 153–160 und 10 S. 178–182, 1931. [1] [2]
• Marks, R.J. (ii): Einführung in die Shannon -Probenahme- und Interpolationstheorie, Springer-Verlag, 1991.
• Marks, R. J. (ii), Herausgeber: Fortgeschrittene Themen in der Shannon -Stichproben- und Interpolationstheorie, Springer-Verlag, 1993.
• Marks, R. J. (ii), Handbuch der Fourier -Analyse und seiner Anwendungen, Oxford University Press, (2009), Kapitel 5–8. Google Bücher
• Presse, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Abschnitt 13.11. Numerische Verwendung des Stichprobensatzes", Numerische Rezepte: Die Kunst des wissenschaftlichen Computers (3. Aufl.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Uner, Michael: Probenahme-50 Jahre nach Shannon, Proc. IEEE, Vol. 88, nein. 4, S. 569–587, April 2000

Externe Links

• Lernen durch Simulationen Interaktive Simulation der Auswirkungen unzureichender Probenahme
• Interaktive Präsentation der Stichprobe und Rekonstruktion in einem Web-Demo Institut für Telekommunikation, Universität Stuttgart
• Unterabtastung und Anwendung davon
• Stichprobenentheorie für digitales Audio
• Journal, das der Stichprobenentheorie gewidmet ist
• Probenahme -Theorem mit variabler Breite konstanter Amplitude
• Lüke, Hans Dieter (April 1999). "Die Ursprünge des Probenahmesatzes" (PDF). IEEE Communications Magazine. 37 (4): 106–108. Citeseerx 10.1.1.163.2887. doi:10.1109/35.755459.