Numerische Ziffer

The ten digits of the Arabic numerals, in order of value.
Die zehn Ziffern der arabische Ziffernin Reihenfolge des Wertes.

A Numerische Ziffer (oft verkürzt auf gerecht Ziffer) ist ein einzelnes Symbol allein (wie "2") oder in Kombinationen (wie "25"), um darzustellen Zahlen in einem Positional Ziffernungssystem. Der Name "Ziffer" ergibt sich aus der Tatsache, dass die zehn Ziffern (Latein Digiti bedeutet Finger)[1] der Hände entsprechen den zehn Symbolen des Gemeinsamen Basis 10 Ziffernungssystem, d.h. das Dezimaler (altes lateinisches Adjektiv Dezember bedeutet zehn)[2] Ziffern.

Für ein bestimmtes Ziffernsystem mit einer Ganzzahl BaseDie Anzahl der erforderlichen unterschiedlichen Ziffern wird von der angegeben absoluter Wert der Basis. Zum Beispiel benötigt das Dezimalsystem (Basis 10) zehn Ziffern (0 bis 9), während die Binärsystem (Basis 2) benötigt zwei Ziffern (0 und 1).

Überblick

In einem grundlegenden digitalen System a Ziffer ist eine Abfolge von Ziffern, die von willkürlicher Länge sein kann. Jede Position in der Sequenz hat a Stellenwertund jede Ziffer hat einen Wert. Der Wert der Ziffer wird berechnet, indem jede Ziffer in der Sequenz mit ihrem Platzwert multipliziert und die Ergebnisse summiert.

Digitale Werte

Jede Ziffer in einem Zahlensystem repräsentiert eine Ganzzahl. Zum Beispiel in Dezimal Die Ziffer "1" repräsentiert die Ganzzahl eines, und in der hexadezimal System, der Buchstabe "a" repräsentiert die Nummer zehn. EIN Positionsnummernsystem hat eine einzigartige Ziffer für jede Ganzzahl von Null bis, aber nicht einschließlich der, die Radix des Zahlensystems.

Somit können im Positions -Dezimalsystem die Zahlen 0 bis 9 unter Verwendung ihrer jeweiligen Ziffern "0" bis "9" in der Position rechts rechts ausgedrückt werden. Die Zahl 12 kann mit der Numeral "2" in der Position der Einheiten und mit der Ziffer "1" in der Position "Zehn" links vom "2" ausgedrückt werden, während die Zahl 312 durch drei Ziffern ausgedrückt werden kann: "3" in der Position "Hunderte", "1" in der Position "Zehn" und "2" in der Position "Einheiten".

Berechnung der Ortswerte

Das Dezimal Zifferungssystem verwendet a Dezimaltrennzeichen, häufig a Zeitraum auf Englisch oder a Komma in anderen europäisch Sprachen,[3] den "Ort" oder "Einheiten Ort" zu bezeichnen,[4][5][6] das hat einen Platzwert eins. Jeder aufeinanderfolgende Ort links davon hat einen Platzwert, der dem Platzwert der vorherigen Zifferzeiten entspricht Base. In ähnlicher Weise hat jeder aufeinanderfolgende Ort rechts vom Separator einen Platzwert, der dem Platzwert der vorherigen Ziffer geteilt durch die Basis entspricht. Zum Beispiel in der Ziffer 10.34 (geschrieben in Basis 10),

das 0 ist sofort links vom Separator, so dass es sich an den Ort oder Einheiten befindet und wird als die genannt Einheitenziffer oder eine Ziffer;[7][8][9]
das 1 links von dem Ort befindet sich an der Zehnerstelle und wird das genannt Zehnte Ziffer;[10]
das 3 ist rechts von dem Ort, also ist es am Zehntel Ort und heißt das Zehntel Ziffer;[11]
das 4 Rechts vom Zehntel Platz befindet sich am Hundertstel und wird das genannt Hundertsteligit.[11]

Der Gesamtwert der Zahl beträgt 1 zehn, 0 eins, 3 Zehntel und 4 Hundertstel. Beachten Sie, dass die Null, die keinen Wert zur Zahl beiträgt, angibt, dass sich die 1 eher an den Zehnten als an dem Ort befindet.

Der Platzwert einer bestimmten Ziffer in einer Ziffer kann durch eine einfache Berechnung angegeben werden, die an sich eine Ergänzung zur Logik hinter Zifferungssystemen ist. Die Berechnung beinhaltet die Multiplikation der angegebenen Ziffer durch die vom Exponent erhöhte Basis n - 1, wo n repräsentiert die Position der Ziffer aus dem Separator; der Wert von n ist positiv (+), aber dies ist nur dann, wenn sich die Ziffer links vom Separator befindet. Und rechts wird die Ziffer mit der Basis multipliziert, die durch ein negatives ( -) angehoben wird n. Zum Beispiel in der Nummer 10.34 (geschrieben in Basis 10),

das 1 ist zweiter links vom Separator, so dass der Wert auf der Berechnung basiert, ist, dass sein Wert ist.
das 4 ist zweiter rechts vom Separator, so dass der Wert auf der Berechnung basiert, der Wert ist,

Geschichte

Hauptartikel: Geschichte des hindu -arabischen Ziffernsystems
Glyphen, die zur Darstellung von Ziffern des hindu -arabischen Ziffernsystems verwendet werden.
europäisch (aus dem westarabischen Abgeordneten) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Arabisch-indisch ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩
Ostarabisch-indisch (Persisch und Urdu) ۰ ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹
Devanagari (Hindi) ० १ २ ३ ४ ५ ६ ७ ८ ९
Tamilisch ௧ ௨ ௩ ௪ ௫ ௬ ௭ ௮ ௯

Das erste wahre geschriebene geschriebene Positionszahlensystem wird als das angesehen Hindu -arabisches Ziffernungssystem. Dieses System wurde vom 7. Jahrhundert in Indien gegründet.[12] war aber noch nicht in seiner modernen Form, weil die Verwendung der Ziffer verwendet wurde Null war noch nicht allgemein anerkannt worden. Anstelle einer Null waren manchmal die Ziffern mit Punkten markiert, um ihre Bedeutung anzuzeigen, oder ein Raum wurde als Platzhalter verwendet. Die erste weithin anerkannte Verwendung von Null war 876.[13] Die ursprünglichen Ziffern waren den modernen sehr ähnlich, sogar bis zur Glyphen Wird verwendet, um Ziffern darzustellen.[12]

Die Ziffern des Maya -Ziffernsystems

Bis zum 13. Jahrhundert, Westarabische Ziffern wurden in europäischen mathematischen Kreisen akzeptiert (Fibonacci benutzte sie in seinem Liber Abaci). Sie begannen im 15. Jahrhundert in die gemeinsame Verwendung.[14] Bis zum Ende des 20. Jahrhunderts wurden praktisch alle nicht kompterisierten Berechnungen der Welt mit arabischen Ziffern durchgeführt, die in den meisten Kulturen native Ziffernsysteme ersetzt haben.

Andere historische Ziffernsysteme mit Ziffern

Das genaue Alter der Maya Ziffern ist unklar, aber es ist möglich, dass es älter als das hindu -arabische System ist. Das System war Vigesimal (Basis 20), also hat es zwanzig Ziffern. Die Mayas verwendeten ein Shell -Symbol, um Null darzustellen. Ziffern wurden vertikal geschrieben, wobei der Ort unten geplant war. Das Mayas hatte kein Äquivalent zur Moderne Dezimaltrennzeichenso konnte ihr System keine Brüche darstellen.

Das Thai -Ziffernungssystem ist identisch mit dem Hindu -arabisches Ziffernungssystem mit Ausnahme der Symbole, die zur Darstellung von Ziffern verwendet werden. Die Verwendung dieser Ziffern ist in weniger häufig in Thailand als einst, aber sie werden immer noch neben arabischen Ziffern verwendet.

Die Rod numerals, die geschriebenen Formen von Zählstangen Einmal benutzt von Chinesisch und japanisch Mathematiker sind ein Dezimalpositionssystem, das nicht nur Null, sondern auch negative Zahlen darstellen kann. Das Zählen von Stäben selbst ist vor dem hindu -arabischen Ziffernsystem. Das Suzhou Ziffern sind Varianten von Rod -Ziffern.

Stäbchen Ziffern (vertikal)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Counting rod 0.png Counting rod v1.png Counting rod v2.png Counting rod v3.png Counting rod v4.png Counting rod v5.png Counting rod v6.png Counting rod v7.png Counting rod v8.png Counting rod v9.png
–0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9
Counting rod -0.png Counting rod v-1.png Counting rod v-2.png Counting rod v-3.png Counting rod v-4.png Counting rod v-5.png Counting rod v-6.png Counting rod v-7.png Counting rod v-8.png Counting rod v-9.png

Moderne digitale Systeme

In Informatik

Das binär (Basis 2), Oktal (Basis 8) und hexadezimal (Basis 16) Systeme, ausgiebig verwendet in Informatik, alle folgen den Konventionen der Hindu -arabisches Ziffernungssystem.[15] Das binäre System verwendet nur die Ziffern "0" und "1", während das Oktalsystem die Ziffern von "0" bis "7" verwendet. Das Hexadezimalsystem verwendet alle Ziffern aus dem Dezimalsystem sowie die Buchstaben "A" bis "F", die die Zahlen 10 bis 15 darstellen.[16]

Ungewöhnliche Systeme

Das ternär und ausgewogener Ternär Systeme wurden manchmal verwendet. Sie sind beide Basis -3 -Systeme.[17]

Ausgewogener Ternär ist ungewöhnlich, wenn es darum geht, die Ziffernwerte 1, 0 und –1 zu haben. Ausgewogener ternärer Ternärer hat einige nützliche Eigenschaften, und das System wurde im experimentellen Russisch verwendet Setun Computers.[18]

Mehrere Autoren in den letzten 300 Jahren haben eine Einrichtung von festgestellt Positionsnotation Das ist ein geändert Dezimalrepräsentation. Einige Vorteile werden zur Verwendung numerischer Ziffern angeführt, die negative Werte darstellen. 1840 Augustin-Louis Cauchy Befürwortete Verwendung von Repräsentation mit signierter Digit der Zahlen und 1928 Florian Cajori präsentierte seine Sammlung von Referenzen für Negative Ziffern. Das Konzept der Repräsentation mit signiertem Digit wurde ebenfalls aufgenommen in Computerdesign.

Ziffern in Mathematik

Trotz der wesentlichen Rolle der Ziffern bei der Beschreibung von Zahlen sind sie für modern relativ unwichtig Mathematik.[19] Trotzdem gibt es einige wichtige mathematische Konzepte, die die Darstellung einer Zahl als Abfolge von Ziffern verwenden.

Digitale Wurzeln

Hauptartikel: Digitale Wurzel

Die digitale Wurzel ist die einstellige Zahl, die durch Summieren der Ziffern einer gegebenen Zahl erhalten, dann die Ziffern des Ergebnisses summiert und so weiter, bis eine einstellige Zahl erhalten wird.[20]

Nines ausstrecken

Hauptartikel: Nines ausstrecken

Nines ausstrecken ist ein Verfahren zur Überprüfung der von Hand durchgeführten Arithmetik. Um es zu beschreiben, lassen Sie es repräsentieren Digitale Wurzel von , wie oben beschrieben. Nines ausstrecken nutzt die Tatsache, dass wenn , dann . Im Prozess des Ausgießens von Neuns beide Seiten des letzteren Gleichung werden berechnet, und wenn sie nicht gleich sind, muss die ursprüngliche Ergänzung fehlerhaft gewesen sein.[21]

Repunits und Wiederholungen

Hauptartikel: Ab Aufnahme

Repunits sind Ganzzahlen, die nur mit der Ziffer 1 dargestellt werden. Zum Beispiel ist 1111 (eintausend, einhundertfünf elf) eine Rekleinheit. Wiederholungen sind eine Verallgemeinerung von Repunits; Sie sind Ganzzahlen, die durch wiederholte Instanzen derselben Ziffer dargestellt werden. Zum Beispiel ist 333 ein Repdigit. Das Primalität von Repunits ist für Mathematiker von Interesse.[22]

Palindromzahlen und Lychrelzahlen

Hauptartikel: Palindromische Zahl

Palindromische Zahlen sind Zahlen, die dasselbe lesen, wenn ihre Ziffern umgekehrt sind.[23] A Lychrel -Nummer ist eine positive Ganzzahl, die niemals eine palindromische Zahl ergibt, wenn er dem iterativen Prozess ausgesetzt wird, sich mit umgekehrten Ziffern hinzugefügt wird.[24] Die Frage, ob es in Basis 10 Lychrelzahlen gibt, ist ein offenes Problem in Freizeitmathematik; Der kleinste Kandidat ist 196.[25]

Geschichte der alten Zahlen

Hauptartikel: Geschichte des Schreibens alter Zahlen

Das Zählen von AIDS, insbesondere die Verwendung von Körperteilen (Zählen von Fingern), wurde sicherlich in prähistorischen Zeiten wie heute verwendet. Es gibt viele Variationen. Neben zehn Fingern haben einige Kulturen Knöchel, den Raum zwischen den Fingern und Zehen sowie Fingern gezählt. Das Oksapmin Die Kultur von Neuguinea verwendet ein System von 27 Oberkörpern, um Zahlen darzustellen.[26]

Numerische Informationen erhalten, Teile Seit prähistorischer Zeit wurden in Holz, Knochen und Stein geschnitzt.[27] Steinzeitkulturen, einschließlich Antike Indigene Amerikaner Gruppen, gebrauchte Teile für Glücksspiele, persönliche Dienstleistungen und Handelsgüter.

Eine Methode zur Erhaltung numerischer Informationen in Ton wurde von der erfunden Sumerer Zwischen 8000 und 3500 v. Chr.[28] Dies geschah mit kleinen Ton -Token verschiedener Formen, die wie Perlen auf einer Saite aufgereiht waren. Ab 3500 v. Chr. Wurden Ton -Token nach und nach durch Zahlenzeichen ersetzt, die mit einem runden Stift in verschiedenen Winkeln in Tontabletten (ursprünglich Container für Token) beeindruckt wurden, die dann gebacken wurden. Ungefähr 3100 v. Chr. Wurden schriftliche Zahlen von den Dingen dissoziiert, die gezählt wurden und zu abstrakten Ziffern wurden.

Zwischen 2700 und 2000 v. Chr. In Sumer wurde der runde Stift allmählich durch einen Reed-Stift ersetzt, der zum Drücken von Keilkeilschildern in Ton in Ton verwendet wurde. Diese Keilschrift -Zahlenzeichen ähnelten den Rundnummernzeichen, die sie ersetzten und den Additiv beibehalten haben Anmeldeschwerer der runden Zahlenzeichen. Diese Systeme konvergierten allmählich auf einem gemeinsamen sexagesimal Zahlensystem; Dies war ein Ortswertsystem, das nur aus zwei beeindruckten Markierungen bestand, dem vertikalen Keil und dem Chevron, das auch Brüche darstellen konnte.[29] Dieses sexagesimale Zahlensystem wurde zu Beginn der alten Babylonienzeit (ca. 1950 v. Chr.) Voll entwickelt und wurde in Babylonien Standard.[30]

Sexagesimal Ziffern waren a gemischter Radix System, das die abwechselnde Basis 10 und Basis 6 in einer Sequenz von keilförmigen vertikalen Keilen und Chevronen beibehielt. Bis 1950 v. Chr. War dies ein Positionsnotation System. Sexagesimale Ziffern wurden im Handel häufig verwendet, wurden aber auch in astronomischen und anderen Berechnungen verwendet. Dieses System wurde aus Babylonien exportiert und in ganz Mesopotamien verwendet, und von jeder mediterranen Nation, die Standard -babylonische Maßeinheiten und Zählungen verwendete, einschließlich der Griechen, Römer und Ägypter. Die sexagesimale Numation im babylonischen Stil wird in modernen Gesellschaften immer noch verwendet, um zu messen Zeit (Minuten pro Stunde) und Winkel (Grad).[31]

Geschichte der modernen Zahlen

Im ChinaArmeen und Bestimmungen wurden unter Verwendung modularer Zahlen von gezählt Primzahlen. Eindeutige Anzahl von Truppen und Reismaßen scheinen als einzigartige Kombinationen dieser Zahlen zu sehen. Eine große Bequemlichkeit von Modulararithmetik ist, dass es leicht zu multiplizieren ist.[32] Dies nutzt modulare Arithmetik für Provisionen besonders attraktiv. Herkömmliche Zahlen sind ziemlich schwer zu multiplizieren und zu teilen. In der modernen Zeiten wird modulare Arithmetik manchmal in verwendet digitale Signalverarbeitung.[33]

Das älteste griechische System war das der des Dachboden Ziffern,[34] Aber im 4. Jahrhundert v. Chr. Begannen sie, ein quasidecimales alphabetisches System zu verwenden (siehe Griechische Ziffern).[35] Juden begannen ein ähnliches System zu verwenden (Hebräische Ziffern) mit den ältesten Beispielen, die bekannt sind, Münzen von etwa 100 v. Chr.[36]

Das Römische Reich verwendete über Wachs, Papyrus und Stein geschrieben und folgte grob dem griechischen Brauch, Buchstaben zu verschiedenen Zahlen zuzuweisen. Das Römisches Ziffernsystem blieb in Europa in allgemeiner Verwendung bis zur Positionsnotation kam im 16. Jahrhundert gemeinsam eingesetzt.[37]

Das Maya von Mittelamerika verwendete ein gemischtes Basis 18 und Basis 20 -System, das möglicherweise von der geerbt wurde Olmec, einschließlich fortschrittlicher Merkmale wie Positionsnotation und a Null.[38] Sie verwendeten dieses System, um fortschrittliche astronomische Berechnungen durchzuführen Venus.[39]

Das Inka -Reich führte eine große Kommandowirtschaft mithilfe Quipu, Tallies, die durch Knoten farbige Fasern hergestellt werden.[40] Die Kenntnis der Kodierungen der Knoten und Farben wurde von der unterdrückt Spanisch Eroberer im 16. Jahrhundert und hat nicht überlebt, obwohl einfache quipuartige Aufnahmegeräte noch in der verwendet werden Anden Region.

Einige Behörden glauben, dass die Positionsarithmetik mit dem breiten Einsatz von begonnen hat Zählstangen in China.[41] Die frühesten schriftlichen Positionsunterlagen scheinen zu sein Stangenkalkül Ergebnisse in China um 400 Jahre Brahmagupta.[42]

Das moderne positionale arabische Ziffernsystem wurde von entwickelt von Mathematiker in Indienund weitergegeben zu Muslimische Mathematikerzusammen mit astronomischen Tischen, die an gebracht wurden Bagdad von einem indischen Botschafter um 773.[43]

Aus Indien, der florierende Handel zwischen islamischen Sultanen und Afrika brachte das Konzept zu Kairo. Arabische Mathematiker erweiterten das System um einbezogen Dezimalfraktionen, und Muḥammad ibn Mūsā al-ḵwārizmī schrieb im 9. Jahrhundert eine wichtige Arbeit darüber.[44] Das moderne arabische Ziffern wurden mit der Übersetzung dieser Arbeit im 12. Jahrhundert in Spanien in Europa eingeführt und Leonardo von Pisa's Liber Abaci von 1201.[45] In Europa wurde das komplette indische System mit der Null im 12. Jahrhundert von den Arabern abgeleitet.[46]

Das Binärsystem (Basis 2) wurde im 17. Jahrhundert von propagiert von Gottfried Leibniz.[47] Leibniz hatte das Konzept zu Beginn seiner Karriere entwickelt und es erneut besucht, als er eine Kopie des Ich ching aus China.[48] Binärzahlen wurden aufgrund von Computeranwendungen im 20. Jahrhundert häufig verwendet.[47]

Ziffern in den beliebtesten Systemen

Westarabisch 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Asomiya (Assamese); Bengali ০ ১ ২ ৩ ৪ ৫ ৬ ৭ ৮ ৯
Devanagari ० १ २ ३ ४ ५ ६ ७ ८ ९
Ostarabisch ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩
persisch ٠ ١ ٢ ٣ ۴ ۵ ۶ ٧ ٨ ٩
Gurmukhi ੦ ੧ ੨ ੩ ੪ ੫ ੬ ੭ ੮ ੯
Urdu ۰ ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹
Chinesisch
(täglich)		 〇 一 二 三 四 五 六 七 八 九
Chinesisch
(formal)		 零 壹 贰/貳 叁/叄 肆 伍 陆/陸 柒 捌 玖
Chinesisch
(Suzhou)		 〇 〡 〢 〣 〤 〥 〦 〧 〨 〩
Meine Güte
(Äthiopisch)		 ፩ ፪ ፫ ፬ ፭ ፮ ፯ ፰ ፱
Gujarati ૦ ૧ ૨ ૩ ૪ ૫ ૬ ૭ ૮ ૯
Hieroglyphischer Ägypter
japanisch 零 / 〇 一 二 三 四 五 六 七 八 九
Kannada ೦ ೧ ೨ ೩ ೪ ೫ ೬ ೭ ೮ ೯
Khmer (Kambodscha) ០ ១ ២ ៣ ៤ ៥ ៦ ៧ ៨ ៩
Lao ໐ ໑ ໒ ໓ ໔ ໕ ໖ ໗ ໘ ໙
Limbu ᥆ ᥇ ᥈ ᥉ ᥊ ᥋ ᥌ ᥍ ᥎ ᥏
Malayalam ൦ ൧ ൨ ൩ ൪ ൫ ൬ ൭ ൮ ൯
mongolisch ᠐ ᠑ ᠒ ᠓ ᠔ ᠕ ᠖ ᠗ ᠘ ᠙
birmanisch ၀ ၁ ၂ ၃ ၄ ၅ ၆ ၇ ၈ ၉
Oriya ୦ ୧ ୨ ୩ ୪ ୫ ୬ ୭ ୮ ୯
römisch ich II III Iv V Vi Vii Viii Ix
Shan ႐ ႑ ဋ္ဌ ႓ ႔ ႕ ႖ ႗ ႘ ႙
Sinhala
Tamilisch ௦ ௧ ௨ ௩ ௪ ௫ ௬ ௭ ௮ ௯
Telugu ౦ ౧ ౨ ౩ ౪ ౫ ౬ ౭ ౮ ౯
Thai ๐ ๑ ๒ ๓ ๔ ๕ ๖ ๗ ๘ ๙
Tibetaner ༠ ༡ ༢ ༣ ༤ ༥ ༦ ༧ ༨ ༩
Neuer Tai Lue ᧐ ᧑ ᧒ ᧓ ᧔ ᧕ ᧖ ᧗ ᧘ ᧙
Javaner ꧐ ꧑ ꧒ ꧓ ꧔ ꧕ ꧖ ꧗ ꧘ ꧙

Zusätzliche Ziffern

1 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 500 1000 10000 108
Chinesisch
(einfach)		 一 五 十 二十 三十 四十 五十 六十 七十 八十 九十 百 五百 千 万 亿
Chinesisch
(Komplex)		 壹 伍 拾 贰拾 叁拾 肆拾 伍拾 陆拾 柒拾 捌拾 玖拾 佰 伍佰 仟 萬 億
Meine Güte
(Äthiopisch)		 ፩ ፭ ፲ ፳ ፴ ፵ ፶ ፷ ፸ ፹ ፺ ፻ ፭፻ ፲፻ ፼ ፼፼
römisch ich V X Xx Xxx Xl L Lx LXX Lxxx Xc C D M X

Siehe auch

Zifferungsnotation in verschiedenen Skripten

Verweise

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