Ziffernungssystem

Zahlen in verschiedenen Ziffernsystemen.

A Ziffernungssystem (oder System der Numation) ist ein Schreibsystem zum Ausdruck von Zahlen; das ist ein Mathematische Notation zur Darstellung Zahlen eines gegebenen Satzes, verwendet Ziffern oder andere Symbole konsistent.

Die gleiche Abfolge von Symbolen kann unterschiedliche Zahlen in verschiedenen Zifferungssystemen darstellen. Zum Beispiel repräsentiert "11" die Zahl elf in dem Dezimalzahlsystem (verwendet im gemeinsamen Leben) die Zahl drei in dem Binäres Ziffernsystem (benutzt in Computers) und die Nummer zwei in dem Unarmes Ziffernsystem (z. B. verwendet in Tallying Bewertungen).

Die Zahl, die die Zahl darstellt, heißt ihren Wert. Nicht alle Zahlensysteme können alle Zahlen darstellen, die in der heutigen Zeit berücksichtigt werden. Zum Beispiel haben römische Ziffern keine Null.

Im Idealfall wird ein Zifferungssystem:

Eine nützliche Reihe von Zahlen darstellen (z. B. alle Ganzzahlen, oder Rationale Zahlen)
Geben Sie jede Zahl an, die eine eindeutige Darstellung darstellt (oder zumindest eine Standarddarstellung)
Reflektiere das algebraisch und Arithmetik Struktur der Zahlen.

Zum Beispiel das Übliche Dezimalrepräsentation gibt jedem ungleich Null natürliche Zahl eine einzigartige Darstellung als endlich Reihenfolge von ZiffernBeginnend mit einer Ziffer ungleich Null.

Ziffernsysteme werden manchmal genannt Zahlensysteme, aber dieser Name ist mehrdeutig, da er sich auf verschiedene Zahlensysteme beziehen könnte, wie das System von reale Nummern, das System von komplexe Zahlen, das System von p-Adische Zahlenusw. Solche Systeme sind jedoch nicht das Thema dieses Artikels.

Hauptfunktionssysteme

Das am häufigsten verwendete System von Ziffern ist Dezimal. Indische Mathematiker wird der Entwicklung der Ganzzahlversion zugeschrieben, die Hindu -arabisches Ziffernungssystem.^[1] Aryabhata von Kusumapura entwickelte die Place-Wert-Notation im 5. und ein Jahrhundert später Brahmagupta stellte das Symbol für ein Null. Das System breitete sich aufgrund ihrer kommerziellen und militärischen Aktivitäten mit Indien langsam auf andere umliegende Regionen wie Arabien aus. Nahte Osten Mathematiker erweiterten das System auf negative Kräfte von 10 (Brüche), wie in einer Abhandlung von aufgezeichnet von syrisch Mathematiker Abu'l-hasan al-uqlidisi im Jahr 952–953 und der Komma Notation wurde eingeführt^[wenn?] durch Sind ibn Ali, der auch die früheste Abhandlung über arabische Ziffern schrieb. Das hindu-arabische Ziffernsystem verbreitet sich dann aufgrund des Handels mit Händlern auf Europa, und die in Europa verwendeten Ziffern werden genannt arabische Ziffernwie sie sie von den Arabern lernten.

Das einfachste Ziffernsystem ist das Unarmes Ziffernsystem, in welchem jeder natürliche Zahl wird durch eine entsprechende Anzahl von Symbolen dargestellt. Wenn das Symbol / wird zum Beispiel ausgewählt, dann würde die Nummer sieben von dargestellt von ///////. Tally -Markierungen Ein solches System darstellen, das noch immer gemeinsam verwendet wird. Das unäre System ist nur für kleine Zahlen nützlich, obwohl es eine wichtige Rolle in spielt Theoretische Informatik. Elias Gamma -Codierung, was üblicherweise in verwendet wird Datenkompressiondrückt beliebige Zahlen aus, indem sie Unary verwendet, um die Länge einer binären Ziffer anzuzeigen.

Die unäre Notation kann durch Einführung verschiedener Symbole für bestimmte neue Werte abgekürzt werden. Sehr häufig sind diese Werte Kräfte von 10; Zum Beispiel kann die Zahl 304 beispielsweise für eine, für zehn und + für 100 steht, kompakt als +++ //// und die Nummer 123 als + - - ///// ohne null Bedürfnis. Das nennt man Anmeldeschwerer. Die antiken Ägyptisches Ziffernsystem war von dieser Art und die Römisches Ziffernsystem war eine Modifikation dieser Idee.

Nützlicher sind immer noch Systeme, die spezielle Abkürzungen für Wiederholungen von Symbolen verwenden. Zum Beispiel die ersten neun Buchstaben des Alphabets für diese Abkürzungen mit einem Ansehen für "ein Vorkommen", B "zwei Vorkommen" usw. beim Schreiben Chinesische Ziffern und andere ostasiatische Ziffern, die auf Chinesen basieren. Das Zahlensystem der Englische Sprache ist von diesem Typ ("dreihundert [und] vier"), ebenso wie die von anderen gesprochenen Sprachenunabhängig davon, welche schriftlichen Systeme sie übernommen haben. Viele Sprachen verwenden jedoch Gemische von Basen und andere Funktionen, beispielsweise 79 in Französisch ist Soixante Dix-Neuf (60 + 10 + 9) und in Walisisch ist Pedwar ar bymtheg ein Thrigain (4 + (5 + 10) + (3 × 20)) oder (etwas archaisch) Pedwar Ugain Namyn un (4 × 20 - 1). Auf Englisch könnte man sagen "vier Punkte weniger", wie im berühmten Gettysburg Adresse Vertretung von "vor 87 Jahren" als "vier Punkte und vor sieben Jahren".

Eleganter ist a Positionssystemauch als Ortswertnotation bekannt. Wieder in Basis 10 arbeiten, zehn verschiedene Ziffern 0, ..., 9 werden verwendet und die Position einer Ziffer wird verwendet, um die Leistung von zehn zu bedeuten, mit denen die Ziffer multipliziert werden soll, wie in 304 = 3 × 100 + 0 × 10 + 4 × 1 oder genauer gesagt 3 × 10² + 0 × 10¹ + 4 × 10⁰. Null, das in den anderen Systemen nicht benötigt wird, ist hier von entscheidender Bedeutung, um eine Leistung "überspringen" zu können. Das in Indien stammende Hindu -arabische Ziffernsystem ist ein Positionsbasis -10 -System.

Die Arithmetik ist in Positionssystemen viel einfacher als in den früheren additiven. Darüber hinaus benötigen additive Systeme eine große Anzahl verschiedener Symbole für die verschiedenen Kräfte von 10; Ein Positionssystem benötigt nur zehn verschiedene Symbole (vorausgesetzt, es verwendet Basis 10).^[2]

Das Positions -Dezimalsystem wird derzeit im menschlichen Schreiben allgemein verwendet. Die Basis 1000 wird ebenfalls verwendet (wenn auch nicht universell), indem die Ziffern gruppiert und eine Sequenz von drei Dezimalstellen als einzelne Ziffern berücksichtigt wird. Dies ist die Bedeutung der gemeinsamen Notation von 1.000.234.567, die für sehr große Zahlen verwendet werden.

Im ComputersDie Hauptfunktionssysteme basieren auf dem Positionssystem in Base 2 (Binäres Ziffernsystem), mit zwei Binär-Zahlen, 0 und 1. Positionssysteme, die durch Gruppierung binärer Ziffern um drei erhalten wurden (Oktalzahlensystem) oder vier (hexadezimales Ziffernsystem) werden üblicherweise verwendet. Für sehr große ganze Zahlen, Basen 2³² oder 2⁶⁴ (Gruppierung binärer Ziffern um 32 oder 64, die Länge der Länge der Maschinenwort) werden zum Beispiel in verwendet GMP.

In bestimmten biologischen Systemen die Unary Coding System wird verwendet. Unäre Ziffern verwendet in der Nervenkreise verantwortlich für Birdsong Produktion.^[3] Der Kern im Gehirn der Singvögel, der sowohl für das Lernen als auch für die Produktion von Vogellied spielt, ist der HVC (High Vocal Center). Die Befehlssignale für verschiedene Notizen im Birdsong sind aus verschiedenen Punkten im HVC ausgestattet. Diese Codierung fungiert als Raumcodierung, die aufgrund ihrer inhärenten Einfachheit und Robustheit eine effiziente Strategie für biologische Schaltkreise darstellt.

Die beim Schreiben von Zahlen oder Symbolen verwendeten Ziffern können in zwei Typen unterteilt werden, die als die genannt werden können Arithmetik Ziffern (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) und die geometrisch Ziffern (1, 10, 100, 1000, 10000 ...). Die Signwertsysteme verwenden nur die geometrischen Ziffern und die Positionssysteme verwenden nur die arithmetischen Ziffern. Ein Zeichenwertsystem benötigt keine arithmetischen Ziffern, da sie durch Wiederholung hergestellt werden (mit Ausnahme der Ionensystem) und ein Positionssystem benötigt keine geometrischen Ziffern, da sie nach Position hergestellt werden. Die gesprochene Sprache verwendet jedoch beide arithmetische und geometrische Ziffern.

In bestimmten Bereichen der Informatik eine modifizierte Basis k Positionssystem wird verwendet, genannt Bijektive Numation, mit Ziffern 1, 2, ..., k (k ≥ 1) und Null werden durch eine leere Zeichenfolge dargestellt. Dies legt a fest Bijection Zwischen dem Satz all dieser Ziffernstringe und dem Satz nicht negativer Ganzzahlen, vermeiden Sie die durch führende Nullen verursachte Nichteinheit. Bijektive Basis-k Die Numation wird auch genannt k-Adische Notation, nicht verwechselt werden mit p-Adische Zahlen. Die bijektive Basis 1 ist die gleiche wie unär.

Positionssysteme im Detail

In einer Positionsbasis b Ziffernystem (mit b a natürliche Zahl größer als 1 bekannt als die Radix), b grundlegende Symbole (oder Ziffern), die dem ersten entsprechen b Natürliche Zahlen einschließlich Null werden verwendet. Um den Rest der Ziffern zu erzeugen, wird die Position des Symbols in der Abbildung verwendet. Das Symbol in der letzten Position hat seinen eigenen Wert, und wenn es nach links bewegt wird, wird sein Wert von multipliziert von b.

Zum Beispiel in der Dezimal System (Basis 10), die Zahl 4327 bedeutet $(4 \times 10 3) + (3 \times 10 2) + (2 \times 10 1) + (7 \times 10 0)$ , bemerken, dass $100 = 1$ .

Im Allgemeinen, wenn b Ist die Basis, schreibt man eine Zahl in das Zifferungssystem der Basis b Indem Sie es in der Form ausdrücken $a n b n + a n - 1 b n - 1 + a n - 2 b n - 2 + ... + a 0 b 0$ und die aufgezählten Ziffern schreiben $a n a n - 1 a n - 2 ... a 0$ in absteigender Reihenfolge. Die Ziffern sind natürliche Zahlen zwischen 0 und $b - 1$ , inklusive.

Wenn in einem Text (wie dieser diese) mehrere Basen erörtert und wenn Unklarheit besteht_Base. Sofern nicht durch den Kontext angegeben, gelten Zahlen ohne Einweis als dezimal.

Durch die Verwendung eines Punktes, um die Ziffern in zwei Gruppen zu unterteilen, kann man auch Fraktionen in das Positionssystem schreiben. Zum Beispiel bezeichnet die Basis 2 -Ziffer 10.11 $1 \times 2 1 + 0 \times 2 0 + 1 \times 2 -1 + 1 \times 2 -2 = 2,75$ .

Im Allgemeinen Zahlen in der Basis b System sind von der Form:

oder = 0}^{n} a_ {k} b^{k}+\ sum _ {k = 1}^{\ infty} c_ {k} b^{-k}.}

Die Zahlen b^k und b^−k sind die Gewichte der entsprechenden Ziffern. Die Position k ist der Logarithmus des entsprechenden Gewichts w, das ist ${\ displayStyle k = \ log _ {b} w = \ log _ {b} b^{k}}$ . Die höchste verwendete Position liegt nahe an der Größenordnung der Zahl.

Die Anzahl der Tally -Markierungen erforderlich in der Unarmes Ziffernsystem zum Beschreibung des Gewichts wäre gewesen w. Im Positionssystem ist die Anzahl der Ziffern, die erforderlich sind, um es zu beschreiben, nur ${\ displayStyle k+1 = \ log _ {b} w+1}$ , zum k ≥ 0. Zum Beispiel, um das Gewicht 1000 zu beschreiben, dann werden vier Ziffern benötigt, weil ${\ displayStyle \ log _ {10} 1000+1 = 3+1}$ . Die Anzahl der Ziffern, die erforderlich sind Beschreiben Sie die Position ist ${\ displayStyle \ log _ {b} k+1 = \ log _ {b} \ log _ {b} W+1}$ (In den Positionen 1, 10, 100, ... nur zum Einfachheit halber im Dezimalbeispiel).

oder ^{1} & b^{0} & b^{-1} & b^{-2} & \ cdots \\ {\ text {digit}} & a_ {3} & a_ {2} & a_ {1} & a_ {0} & c_ {1}&c_{2}&\cdots \\\hline {\text{Decimal example weight}}&1000&100&10&1&0.1&0.01&\cdots \\{\text{Decimal example digit}}&4&3&2&7&0&0&\cdots \end{array}} }

Eine Zahl hat eine Kündigung oder wiederholte Erweiterung dann und nur dann, wenn es ist rational; Dies hängt nicht von der Basis ab. Eine Zahl, die in einer Basis endet, kann sich in einer anderen wiederholen (somit $0,3 10 = 0.0100110011001 ... 2$ ). Eine irrationale Zahl bleibt in allen integralen Grundlagen aperiodisch (mit unendlicher Anzahl von nicht wiederholenden Ziffern). Somit zum Beispiel in Basis 2, $π = 3.1415926 ... 10$ kann als aperiodisch 11.00100100000011111 geschrieben werden ...₂.

Putten Übersteuerung, n, oder Punkte, ṅÜber den gemeinsamen Ziffern befindet sich eine Konvention, mit der sich wiederholte rationale Erweiterungen darstellen. Daher:

14/11 = 1,272727272727 ... = 1.27 OR 321.3217878787878 ... = 321.32178.

Wenn b = p ist ein Primzahl, man kann die Basis definieren.p Ziffern, deren Expansion nach links niemals aufhört; Diese werden die genannt p-Adische Zahlen.

Verallgemeinerte Zahlen der variablen Länge

Allgemeiner verwendet a gemischter Radix Notation (hier geschrieben Little-Endian) wie ${\ displayStyle a_ {0} a_ {1} a_ {2}}$ zum ${\ displayStyle a_ {0}+a_ {1} b_ {1}+a_ {2} b_ {1} b_ {2}}$ , etc.

Dies wird in verwendet Punycode, ein Aspekt, von dem die Darstellung einer Sequenz nicht negativer Ganzzahlen von willkürlicher Größe in Form einer Sequenz ohne Grenzwerte, von "Ziffern" aus einer Sammlung von 36: a-Z und 0–9, die 0–25 darstellt bzw. 26–35. Es gibt auch sogenannte Schwellenwerte ( ${\ displayStyle t_ {0}, t_ {1}, ...}$ ) die für jede Position in der Nummer festgelegt sind. Eine Ziffer ${\ displayStyle a_ {i}}$ (in einer gegebenen Position in der Zahl), die niedriger ist als der entsprechende Schwellenwert ${\ displayStyle t_ {i}}$ bedeutet, dass es sich um die signifikanteste Ziffer handelt, daher ist dies das Ende der Zahl, und das nächste Symbol (falls vorhanden) ist die am wenigsten signifikante Ziffer der nächsten Zahl.

Zum Beispiel, wenn der Schwellenwert für die erste Ziffer ist b (d.h. 1) dann a (d. H. 0) markiert das Ende der Zahl (es hat nur eine Ziffer), so b₁ ist 35 statt 36. allgemeiner, wenn t_n ist die Schwelle für die n-Die Ziffer ist es leicht zu zeigen ${\ displayStyle b_ {n+1} = 36-t_ {n}}$ . Angenommen, die Schwellenwerte für die zweite und dritte Ziffern sind c (d. H. 2), dann ist der zweitaugitale Bereich a-b (d. H. 0–1), wobei die zweite Ziffer am signifikantesten ist, während der Bereich in Gegenwart einer dritten Ziffer C-9 (d. H. 2–35) beträgt. Im Allgemeinen für jeden n, das Gewicht der (n+1) -D-Ziffer ist das Gewicht der vorherigen Zeit (36-Schwelle der n-D -Ziffer). Das Gewicht des zweiten Symbols ist also ${\ displayStyle 36-t_ {0} = 35}$ . Und das Gewicht des dritten Symbols ist ${\ displayStyle 35*(36-t_ {1}) = 35*34 = 1190}$ .

Wir haben also die folgende Abfolge der Zahlen mit höchsten 3 Ziffern:

a (0), ba (1), ca. (2), ..., 9a (35), BB (36), CB (37), ..., 9b (70), BCA (71), ..., 99a (1260), BCB (1261), ..., 99b (2450).

Im Gegensatz zu einem regulären N-basierten Ziffernsystem gibt es Zahlen wie 9b wo 9 und b jeweils repräsentiert 35; Dennoch ist die Darstellung einzigartig, weil AC und Aca sind nicht erlaubt - der erste a würde jede dieser Zahlen beenden.

Die Flexibilität bei der Auswahl von Schwellenwerten ermöglicht die Optimierung für die Anzahl der Ziffern in Abhängigkeit von der Häufigkeit des Auftretens der Anzahl verschiedener Größen.

Der Fall mit allen Schwellenwerten entspricht 1 entspricht Bijektive Numation, wobei die Nullen Zahlenabschlüssen mit Ziffern entsprechen, die ungleich Null sind.

Siehe auch

Verweise

^ David Eugene Smith; Louis Charles Karpinski (1911). Die hindu-arabischen Ziffern. Ginn und Gesellschaft.
^ Chowdhury, Arnab. Entwurf eines effizienten Multiplikators mit DBNs. Giap -Journale. ISBN 978-93-83006-18-2.
^ Fiete, I. R.; Seung, H. S. (2007). "Neuronale Netzwerkmodelle für die Produktion, das Lernen und die Codierung von Birdsong". In Squire, L.; Albright, T.; Bloom, F.; Gage, F.; Spitzer, N. Neue Enzyklopädie der Neurowissenschaften.

Quellen

Georges Ifrah. Die universelle Geschichte der Zahlen: Von der Vorgeschichte bis zur Erfindung des Computers, Wiley, 1999. ISBN0-471-37568-3.
D. Knuth. Die Kunst der Computerprogrammierung. Band 2, 3. Aufl. Addison -Wesley. S. 194–213, "Positionsnummernsysteme".
A. L. Kroeber (Alfred Louis Kroeber) (1876–1960), Handbuch der Indianer von Kalifornien, Bulletin 78 des Bureau of American Ethnology of the Smithsonian Institution (1919)
J.P. Mallory und D.Q. Adams, Enzyklopädie der indoeuropäischen Kultur, Fitzroy Dearborn Publishers, London und Chicago, 1997.
Hans J. Nissen; Peter Damerow; Robert K. Englund (1993). Archaische Buchhaltung: Frühes Schreiben und Techniken der Wirtschaftsverwaltung im alten Nahen Osten. Presse der Universität von Chicago. ISBN 978-0-226-58659-5.
Schmandt-Besserat, Denise (1996). Wie das Schreiben entstanden ist. Presse der Universität von Texas. ISBN 978-0-292-77704-0.
Zaslavsky, Claudia (1999). Afrika zählt: Anzahl und Muster in afrikanischen Kulturen. Chicago Review Press. ISBN 978-1-55652-350-2.

Externe Links

Medien im Zusammenhang mit Ziffernsystemen bei Wikimedia Commons

[1] David Eugene Smith; Louis Charles Karpinski (1911). Die hindu-arabischen Ziffern. Ginn und Gesellschaft.

[2] Chowdhury, Arnab. Entwurf eines effizienten Multiplikators mit DBNs. Giap -Journale. ISBN 978-93-83006-18-2.

[3] Fiete, I. R.; Seung, H. S. (2007). "Neuronale Netzwerkmodelle für die Produktion, das Lernen und die Codierung von Birdsong". In Squire, L.; Albright, T.; Bloom, F.; Gage, F.; Spitzer, N. Neue Enzyklopädie der Neurowissenschaften.

[1]

[2]

[3]