Zahlentheorie

Die Verteilung von Primzahlen ist ein zentraler Studienpunkt in der Zahlentheorie. Dies Ulam -Spirale dient dazu, es zu veranschaulichen, insbesondere in der Bedingung zu deuten Unabhängigkeit zwischen Primem und einem Wert bestimmter quadratischer Polynome.

Zahlentheorie (oder Arithmetik oder höhere Arithmetik im älteren Gebrauch) ist ein Zweig von reine Mathematik in erster Linie dem Studium der Ganzzahlen und Ganzzahlgewertete Funktionen. Deutscher Mathematiker Carl Friedrich Gauß (1777–1855) sagte: "Mathematik ist die Königin der Wissenschaften - und die Zahlentheorie ist die Königin der Mathematik."^{[1][Anmerkung 1]} Zahltheoretiker studieren Primzahlen sowie die Eigenschaften mathematischer Objekte aus Ganzzahlen (zum Beispiel, zum Beispiel, Rationale Zahlen) oder definiert als Verallgemeinerungen der Ganzzahlen (zum Beispiel, Algebraische Ganzzahlen).

Ganzzahlen können entweder an sich oder als Lösungen für Gleichungen betrachtet werden (Diophantinische Geometrie). Fragen in der Zahlentheorie werden oft am besten durch das Studium verstanden analytisch Objekte (zum Beispiel die Riemann Zeta -Funktion) die Eigenschaften der Ganzzahlen, Primzahlen oder anderer zahlentheoretischer Objekte in gewisser Weise codieren ((analytische Zahlentheorie). Man kann auch studieren reale Nummern in Bezug auf rationale Zahlen beispielsweise, wie von letzterem (angenähertDiophantinische Näherung).

Der ältere Begriff für die Zahlentheorie ist Arithmetik. Bis zum frühen zwanzigsten Jahrhundert war es durch "Zahlentheorie" ersetzt worden.^{[Anmerkung 2]} (Das Wort "Arithmetik"wird von der Öffentlichkeit verwendet, um zu meinen"Elementarberechnungen"; es hat auch andere Bedeutungen in erworben Mathematische Logik, wie in Peano -Arithmetik, und Informatik, wie in schwimmende Punktarithmetik.) Die Verwendung des Begriffs Arithmetik zum Zahlentheorie in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts wieder auf dem Boden zurückgegangen, teilweise aufgrund des französischen Einflusses.^{[Notiz 3]} Im Speziellen, arithmetisch wird üblicherweise als Adjektiv vor bevorzugt zahlentheoretisch.

Geschichte

Ursprünge

Morgendämmerung der Arithmetik

Die Plimpton 322 -Tablette

Der früheste historische Fund einer arithmetischen Natur ist ein Fragment einer Tabelle: die gebrochene Tontablette Plimpton 322 (Larsa, Mesopotamien, ca. 1800 v. Chr.) Enthält eine Liste von "Pythagoräische Dreifachungen", das heißt, Ganzzahlen ${\ displayStyle (a, b, c)}$ so dass ${\ displayStyle a^{2}+b^{2} = c^{2}}$. Die Dreifach sind zu viele und zu groß, um von erhalten worden zu werden rohe Gewalt. Die Überschrift über die erste Spalte lautet: "Die takiltum von der Diagonale, die so subtrahiert wurde, dass die Breite ... "^[2]

Das Layout der Tabelle schlägt vor^[3] dass es durch welche Menge, in der modernen Sprache, zu dem konstruiert wurde Identität

$oder {1} {2}} \ links (x+{\ frac {1} {x}} \ rechts) \ rechts)^{2},},},},},},},},},},},},}$

was in der Routine impliziert ist Alter babylonischer Übungen.^[4] Wenn eine andere Methode verwendet wurde,^[5] Die Dreifach wurden zuerst konstruiert und dann von neu bestellt von ${\ displayStyle c/a}$vermutlich für die tatsächliche Verwendung als "Tabelle" beispielsweise mit Ansicht auf Anwendungen.

Es ist nicht bekannt, was diese Anwendungen gewesen sein könnten oder ob es gewesen sein könnte; Babylonische AstronomieZum Beispiel kam zum Beispiel erst später für sich. Stattdessen wurde vorgeschlagen, dass die Tabelle eine Quelle numerischer Beispiele für Schulprobleme war.^{[6][Anmerkung 4]}

Während babylonische Zahltheorie - oder was überlebt von Babylonische Mathematik Das kann so genannt werden-Konstruktionen dieses einzelnen, auffälligen Fragments babylonische Algebra (im Sinne der sekundären Schule ""Algebra") war außergewöhnlich gut entwickelt.^[7] Späte neoplatonische Quellen^[8] Geben Sie das an Pythagoras gelehrte Mathematik von den Babyloniern. Viel frühere Quellen^[9] Geben Sie das an Thales und Pythagoras gereist und studiert in Ägypten.

Euklid IX 21–34 ist sehr wahrscheinlich pythagorisch;^[10] Es ist ein sehr einfaches Material ("ungerade Zeiten ist sogar" sogar "," Wenn eine ungerade Zahl eine gleichmäßige Zahl misst [= teilt], dann misst sie auch die Hälfte davon "), aber alles ist, was benötigt wird Beweise das ${\ displayStyle {\ sqrt {2}}}$ ist irrational.^[11] Pythagoräische Mystiker gab dem Odd und dem Gerten große Bedeutung.^[12] Die Entdeckung das ${\ displayStyle {\ sqrt {2}}}$ ist irrational, wird den frühen Pythagoräer (vor-Theodorus).^[13] Durch die Enthüllung (in modernen Begriffen), dass Zahlen irrational sein könnten, scheint diese Entdeckung die erste Grundkrise in der mathematischen Geschichte provoziert zu haben. Sein Beweis oder seine Entlassung werden manchmal zugeschrieben Hippasus, der aus der pythagoräischen Sekte vertrieben oder getrennt wurde.^[14] Dies erzwang eine Unterscheidung zwischen Zahlen (Ganzzahlen und Rationale - die Themen der Arithmetik), einerseits und Längen und Proportionen (was wir uns dagegen mit reellen Zahlen identifizieren würden, ob rational oder nicht).

Die pythagoräische Tradition sprach ebenfalls von sogenannten polygonal oder Figurate Zahlen.^[15] Während Quadratzahl, Kubikzahlenusw. werden jetzt als natürlicher angesehen als dreieckige Zahlen, Pentagonale Zahlenusw. Die Untersuchung der Summen der dreieckigen und pentagonalen Zahlen würde sich in der frühen Neuzeit (17. bis Anfang des 19. Jahrhunderts) als fruchtbar erweisen.

Wir kennen kein klares arithmetisches Material in Antike Ägypter oder Vedisch Quellen, obwohl es jeweils etwas Algebra gibt. Das Chinesischer Rest -Theorem erscheint als Übung ^[16] in Sunzi Suanjing (3., 4. oder 5. Jahrhundert n. Chr.).^[17] (In Sunzis Lösung ist ein wichtiger Schritt beschönigt:^{[Anmerkung 5]} Es ist das Problem, das später von gelöst wurde Āryabhaṭa's Kuṭṭaka - sehen unter.))

Es gibt auch numerische Mystik in der chinesischen Mathematik,^{[Anmerkung 6]} Aber im Gegensatz zu den Pythagoräern scheint es nirgendwohin geführt zu haben. Wie die Pythagoräer ' Perfekte Zahlen, Magische Quadrate vom Aberglauben in die Erholung.

Klassisches Griechenland und die frühe hellenistische Periode

Abgesehen von wenigen Fragmenten ist uns die Mathematik des klassischen Griechenlands entweder durch die Berichte zeitgenössischer Nichtmathematiker oder durch mathematische Werke aus der frühen hellenistischen Zeit bekannt.^[18] Im Fall der Zahlentheorie bedeutet dies im Großen und Ganzen, Plato und Euklid, beziehungsweise.

Während asiatische Mathematik das griechische und hellenistische Lernen beeinflusste, scheint es der Fall zu sein, dass die griechische Mathematik auch eine indigene Tradition ist.

Eusebius, Pe x, Kapitel 4 Erwähnungen von Pythagoras:

"Tatsächlich besuchte die besagten Pythagoras, während er die Weisheit jeder Nation studierte, Babylon und Ägypten und alle Persien, die von den Magiern und den Priestern unterrichtet wurden: und zusätzlich zu diesen ist er verwandt, mit dem er unter den Brahmanen (Brahmanen ( Dies sind indische Philosophen) und von einigen sammelte er Astrologie, von anderen Geometrie, Arithmetik und Musik von anderen und unterschiedlichen Dinge aus verschiedenen Nationen, und nur von den Weisen Griechenland Armut und Mangel an Weisheit: Also im Gegenteil, er selbst wurde der Autor der Unterricht an die Griechen des Lernens, das er aus dem Ausland beschafft hatte. "^[19]

Aristoteles behauptete, dass die Philosophie von Platon die Lehren der Pythagorer genau verfolgte,^[20] und Cicero wiederholt diese Behauptung: Platonem Ferunt Didicisse Pythagorea Omnia ("Sie sagen, Platon hat alle Dinge pythagorerisch gelernt").^[21]

Plato hatte ein großes Interesse an Mathematik und unterschieden sich deutlich zwischen Arithmetik und Berechnung. (Durch Arithmetik Er meinte zum Teil die Anzahl der Anzahl, anstatt was zu theoretisieren, anstatt was Arithmetik oder Zahlentheorie bedeuten.) Es ist durch einen von Platons Dialogen - nämlich, Theaetetus- Das wissen wir das Theodorus hatte das bewiesen ${\ displaystyle {\ sqrt {3}}, {\ sqrt {5}}, \ dots, {\ sqrt {17}}}$ sind irrational. Theaetetus war, wie Platon, ein Schüler von Theodorus; Er arbeitete daran, verschiedene Arten von zu unterscheiden inconsurablesund war so wohl ein Pionier in der Studie von Zahlensysteme. (Buch x von Euklids Elemente wird beschrieben von Pappus als größtenteils auf Theaetetus 'Arbeit basiert.)

Euklid engagierter Teil von ihm Elemente zu Primzahlen und Spaltbarkeit, Themen, die eindeutig zur Zahlentheorie gehören und grundlegend dafür sind (Bücher VII bis IX von Euklids Elemente). Insbesondere gab er einen Algorithmus für die Berechnung des größten gemeinsamen Teils von zwei Zahlen (die Euklidischer Algorithmus; ElementeProp. Vii.2) und der erste bekannte Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen (Elemente, Prop. Ix.20).

1773, Lessing veröffentlicht an Epigramm Er hatte während seiner Arbeit als Bibliothekar in einem Manuskript gefunden; es behauptete, ein Brief zu sein, der von gesendet wurde Archimedes zu Eratosthenes.^[22][23] Das Epigramm schlug vor, was bekannt geworden ist alsArchimedes Rinderproblem; Seine Lösung (fehlt im Manuskript) erfordert die Lösung einer unbestimmten quadratischen Gleichung (die sich auf das verringert, was später falsch benannt werden würde Pells Gleichung). Soweit wir wissen, wurden solche Gleichungen zunächst erfolgreich von der behandelt Indische Schule. Es ist nicht bekannt, ob Archimedes selbst eine Methode der Lösung hatte.

Diophantus

Titelseite der 1621 Ausgabe von Diophantus's Arithmetik, übersetzt in Latein durch Claude Gaspard Bachet de Méziriac.

Über sehr wenig ist bekannt Diophantus von Alexandria; Er lebte wahrscheinlich im dritten Jahrhundert n. Chr., Das heißt, etwa fünfhundert Jahre nach Euklid. Sechs der dreizehn Bücher von Diophantus Arithmetik Überleben Sie im ursprünglichen Griechischen und vier weitere überleben in einer arabischen Übersetzung. Das Arithmetik ist eine Sammlung von ausgearbeiteten Problemen, bei denen die Aufgabe immer dazu besteht, rationale Lösungen für ein System von Polynomgleichungen zu finden, normalerweise der Form ${\ displayStyle f (x, y) = z^{2}}$ oder ${\ displayStyle f (x, y, z) = w^{2}}$. So sprechen wir heutzutage davon Diophantinengleichungen Wenn wir von Polynomgleichungen sprechen, zu denen rationale oder ganzzahlige Lösungen gefunden werden müssen.

Man kann sagen, dass Diophantus rationale Punkte untersuchte, dh Punkte, deren Koordinaten rational sind - Kurven und Algebraische Sorten; Im Gegensatz zu den Griechen der klassischen Zeit tat Diophantus jedoch das, was wir jetzt als Basisalgebra bezeichnen würden, in rein algebraischer Begriffe das, was wir jetzt als grundlegende algebraische Geometrie bezeichnen würden. In der modernen Sprache tat Diophantus rationale Parametrisierungen von Sorten; Das heißt, bei einer Gleichung der Form (sagen wir)${\ displayStyle f (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = 0}$sein Ziel war es, (im Wesentlichen) drei zu finden rationale Funktionen ${\ displayStyle g_ {1}, g_ {2}, g_ {3}}$ so dass für alle Werte von ${\ displayStyle r}$ und ${\ displayStyle S}$, Einstellung${\ displaystyle x_ {i} = g_ {i} (r, s)}$ zum ${\ displayStyle i = 1,2,3}$ gibt eine Lösung für ${\ displayStyle f (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = 0.}$

Diophantus untersuchte auch die Gleichungen einiger nicht-rationaler Kurven, für die keine rationale Parametriation möglich ist. Er schaffte es, einige rationale Punkte für diese Kurven zu finden (Elliptische KurvenWie es passiert, in dem, was ihr erstes bekanntes Ereignis zu sein scheint), würde seine Methode sich als Zeichnung einer Tangente zu einer Tangente als Zeichnung einer Tangente als Tangente als Zeichnung einer Tangente zu einer Tangente als Tangente als Zeichnung einer Tangente unterziehen (was nicht existierte, was in Diophantus nicht vorhanden war, um eine Tangentenkonstruktion zu erreichen (was nicht existierte). Kurve an einem bekannten rationalen Punkt und dann den anderen Schnittpunkt der Tangente mit der Kurve finden; Dieser andere Punkt ist ein neuer rationaler Punkt. (Diophantus griff auch auf einen Sonderfall einer Sekantkonstruktion zurück.)

Während Diophantus sich größtenteils mit rationalen Lösungen befasste, übernahm er einige Ergebnisse zu ganzzahligen Zahlen, insbesondere das Jede Ganzzahl ist die Summe von vier Quadraten (Obwohl er nie so viel explizit festgelegt hat).

Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara

Während die griechische Astronomie wahrscheinlich das indische Lernen beeinflusste, bis zur Einführung der Trigonometrie,^[24] Es scheint der Fall zu sein, dass die indische Mathematik ansonsten eine indigene Tradition ist;^[25] Insbesondere gibt es keine Beweise dafür, dass Euklids Elemente vor dem 18. Jahrhundert Indien erreichten.^[26]

Āryabhaṭa (476–550 n. Chr. Zeigten, dass Paare von gleichzeitigen Kongruenz ${\ displayStyle n \ äquiv a_ {1} {\ bmod {m}} _ {1}}$, ${\ displayStyle n \ äquiv a_ {2} {\ bmod {m}} _ {2}}$ könnte mit einer Methode gelöst werden, die er nannte Kuṭṭaka, oder Pulverser;^[27] Dies ist ein Verfahren nahe der (einer Verallgemeinerung von) der Euklidischer Algorithmus, was wahrscheinlich in Indien unabhängig entdeckt wurde.^[28] Āryabhaṭa scheint an Anwendungen für astronomische Berechnungen im Kopf zu haben.^[24]

Brahmagupta (628 n. Chr.) Die systematische Studie von unbestimmten quadratischen Gleichungen startete insbesondere die Fehlbezeichnung Pellgleichung, in welchem Archimedes Möglicherweise war er zuerst interessiert, und das begann erst im Westen bis zur Zeit von Fermat und Euler zu gelöst. Spätere Sanskrit -Autoren würden mit Brahmaguptas technischer Terminologie folgen. Ein allgemeines Verfahren (das Chakravalaoder "zyklische Methode") zur Lösung von Pells Gleichung wurde schließlich von Jayadeva gefunden (zitiert im elften Jahrhundert; seine Arbeit geht ansonsten verloren); Die früheste überlebende Ausstellung erscheint in Bhāskara II's Bīja-Gaṇita (12. Jahrhundert).^[29]

Die indische Mathematik blieb in Europa bis zum späten 18. Jahrhundert weitgehend unbekannt.^[30] Brahmagupta und Bhāskaras Arbeit wurden 1817 ins Englische übersetzt Henry Colebrooke.^[31]

Arithmetik im islamischen Goldenen Zeitalter

Al-Haytham Wie vom Westen gesehen: auf dem Frontispiz von Selenographia Alhasen [sic] Repräsentiert Wissen durch Vernunft und Galileo -Wissen durch die Sinne.

Im frühen neunten Jahrhundert das Kalifen Al-Ma'mun geordnete Übersetzungen vieler griechischer mathematischer Werke und mindestens ein Sanskrit -Werk (die Sindhind, welches kann ^[32] oder nicht^[33] sein Brahmagupta's Brāhmasphuṭasiddhānta). Diophantus 'Hauptarbeit, die Arithmetikwurde in Arabisch übersetzt von Qusta ibn luqa (820–912). Teil der Abhandlung Al-Fakhri (durch Al-Karajī, 953 - ca. 1029) baut in gewissem Maße darauf auf. Laut Rashed Roshdi, Al-Karajīs Zeitgenosse Ibn al-Haytham wusste^[34] Was würde später genannt werden Wilsons Theorem.

Westeuropa im Mittelalter

Anders als eine Abhandlung über Quadrate im arithmetischen Fortschreiten durch Fibonacci- Wer in Nordafrika und Konstantinopel reiste und studierte - keine Zahlentheorie wurde im Mittelalter in Westeuropa durchgeführt. Die Angelegenheiten begannen sich in der späten Zeit in Europa zu verändern Renaissancedank einer erneuten Untersuchung der Werke der griechischen Antike. Ein Katalysator war die textliche Emendation und Übersetzung in das Latein von Diophantus. Arithmetik.^[35]

Zahlentheorie der frühen Neuzeit

Fermat

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat (1607–1665) hat nie seine Schriften veröffentlicht; Insbesondere seine Arbeit zur Zahlentheorie ist fast ausschließlich in Briefen an Mathematiker und in privaten Grenznotizen enthalten.^[36] In seinen Notizen und Briefen schrieb er kaum Beweise - er hatte keine Models in der Gegend.^[37]

Im Laufe seines Lebens leistete Fermat die folgenden Beiträge zum Feld:

• Eines der ersten Interessen von Fermat war Perfekte Zahlen (die in Euklid erscheinen, Elemente Ix) und freundliche Zahlen;^{[Anmerkung 7]} Diese Themen veranlassten ihn, an Ganzzahl zu arbeiten Divisors, die von Anfang an unter den Themen der Korrespondenz (ab 1636) waren, die ihn mit der mathematischen Gemeinschaft des Tages in Kontakt bringen.^[38]
• 1638 behauptete Fermat ohne Beweise, dass alle ganzen Zahlen als Summe von vier oder weniger Quadraten ausgedrückt werden können.^[39]
• Fermats kleiner Theorem (1640):^[40] wenn a ist nicht durch eine Prime teilbar p, dann ${\ displaystyle a^{p-1} \ äquiv 1 {\ bmod {p}}.}$^{[Anmerkung 8]}
• Wenn a und b sind dann Coprime ${\ displayStyle a^{2}+b^{2}}$ ist von keinem Grund auf –1 Modulo 4 teilbar;^[41] und jede Prime Congonent to 1 Modulo 4 kann in der Form geschrieben werden ${\ displayStyle a^{2}+b^{2}}$.^[42] Diese beiden Aussagen stammen ebenfalls ab 1640; Im Jahr 1659 erklärte Fermat Huygens, er habe die letztere Aussage von der nachgewiesen Methode der unendlichen Abstammung.^[43]
• 1657 stellte Fermat das Problem der Lösung auf ${\ displaystyle x^{2} -ny^{2} = 1}$ als Herausforderung für englische Mathematiker. Das Problem wurde in wenigen Monaten von Wallis und Brouncker gelöst.^[44] Fermat betrachtete ihre Lösung gültig, wies jedoch darauf hin, dass sie einen Algorithmus ohne Beweis bereitgestellt hatten (wie Jayadeva und Bhaskara, obwohl Fermat dies nicht wusste). Er erklärte, dass ein Beweis durch unendliche Abstammung gefunden werden könne.
• Fermat erklärte und bewiesen (durch unendliche Abstieg) im Anhang zu Beobachtungen zum Diophantus (Obs. XLV)^[45] das ${\ displaystyle x^{4}+y^{4} = z^{4}}$ Hat keine nicht trivialen Lösungen in den Ganzzahlen. Fermat erwähnte auch seinen Korrespondenten ${\ displaystyle x^{3}+y^{3} = z^{3}}$ hat keine nicht trivialen Lösungen, und dies könnte auch durch unendliche Abstammung nachgewiesen werden.^[46] Der erste bekannte Beweis ist Euler (1753; in der Tat durch unendliche Abstammung) zu verdanken.^[47]
• Fermat behauptet (Fermats letzter Satz) zu zeigen, dass es keine Lösungen gibt ${\ displaystyle x^{n}+y^{n} = z^{n}}$ für alle ${\ displayStyle N \ Geq 3}$; Diese Behauptung erscheint in seinen Anmerkungen am Rande seiner Kopie von Diophantus.

Euler

Leonhard Euler

Das Interesse von Leonhard Euler (1707–1783) In der Zahlentheorie wurde 1729 erstmals 1729 angeregt, als ein Freund von ihm, der Amateur^{[Anmerkung 9]} Goldbach, zeigte ihn auf einige von Fermats Arbeiten zu diesem Thema.^[48][49] Dies wurde als "Wiedergeburt" der modernen Zahlentheorie bezeichnet,^[50] Nach Fermats relativer Mangel an Erfolg, die Aufmerksamkeit seiner Zeitgenossen für das Thema zu erregen.^[51] Eulers Arbeit zur Zahlentheorie enthält Folgendes:^[52]

• Beweise für die Aussagen von Fermat. Das beinhaltet Fermats kleiner Theorem (verallgemeinert von Euler auf Nicht-Primemodul); die Tatsache, dass ${\ displayStyle p = x^{2}+y^{2}}$ dann und nur dann, wenn ${\ displayStyle p \ äquiv 1 {\ bmod {4}}}$; Erste Arbeit in Richtung eines Beweises, dass jede Ganzzahl die Summe von vier Quadraten ist (der erste vollständige Beweis ist von Joseph-Louis Lagrange (1770), bald von Euler selbst verbessert^[53]); Der Mangel an Integer-Lösungen ungleich Null an ${\ displaystyle x^{4}+y^{4} = z^{2}}$ (implizieren den Fall n = 4 von Fermats letzter Satz, der Fall n = 3 von denen Euler auch nach einer verwandten Methode bewiesen hat).
• Pells Gleichung, zuerst von Euler falsch benannt.^[54] Er schrieb über den Zusammenhang zwischen fortgesetzten Brüchen und Pells Gleichung.^[55]
• Erste Schritte in Richtung analytische Zahlentheorie. In seiner Arbeit von Summen von vier Quadraten, Partitionen, Pentagonale Zahlen, und die Verteilung Von Primzahlen war Euler Pionier der Verwendung von dem, was als Analyse (insbesondere Infinite -Serien) in der Zahlentheorie angesehen werden kann. Da lebte er vor der Entwicklung von Komplexe AnalyseDer größte Teil seiner Arbeit ist auf die formelle Manipulation von beschränkt Power -Serie. Er hat jedoch einige sehr bemerkenswerte (wenn auch nicht vollständig strenge) frühe Arbeit an dem, was später genannt werden würde Riemann Zeta -Funktion.^[56]
• Quadratische Formen. Nach Fermats Vorsprung hat Euler weitere Untersuchungen darüber untersucht, welche Primzahlen in der Form ausgedrückt werden können ${\ displaystyle x^{2}+ny^{2}}$einige davon bevorzugen Quadratische Gegenseitigkeit.^{[57] [58][59]}
• Diophantinengleichungen. Euler arbeitete an einigen diophantinischen Gleichungen der Gattung 0 und 1.^[60][61] Insbesondere studierte er DiophantusArbeit; Er versuchte es zu systematisieren, aber es war noch nicht reif für eine solche Unterbringung - eine allgebraische Geometrie steckte noch in den Kinderschuhen.^[62] Er bemerkte, dass es einen Zusammenhang zwischen diophantinischen Problemen gab und Elliptische Integrale,^[62] dessen Studie er selbst initiiert hatte.

"Hier war ein Problem, das ich, ein 10 -Jähriger, verstehen konnte, und ich wusste von diesem Moment an, dass ich es niemals loslassen würde. Ich musste es lösen."^[63] - Herr Andrew Wiles um Sein Beweis von Fermats letzter Satz.

Lagrange, Legendre und Gauß

Carl Friedrich Gauß's DISTQUISATORES ARITHMETHAE, erste Ausgabe

Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) war der erste, der einige der Arbeit und Beobachtungen von Fermat und Euler für einige von Fermats und Eulers beobachtet hat - zum Beispiel die vier Quadratmeter-Theorem und die grundlegende Theorie der falsch genannten "Pell's Gleichung" (für die Fermat und seine Zeitgenossen sowie Jayadeva und von Fermat und seinen Zeitgenossen eine algorithmische Lösung gefunden wurden Bhaskara II vor ihnen.) Er studierte auch quadratische Formen in voller Allgemeinheit (im Gegensatz zu ${\ displayStyle mx^{2}+ny^{2}}$) - Definition ihrer Äquivalenzbeziehung, zeigt, wie sie in reduzierter Form usw. gesteckt werden sollen, usw.

Adrien-Marie Legendre (1752–1833) war der erste, der das Gesetz der quadratischen Gegenseitigkeit angab. Er vermutete auch, was dem entspricht Primzahl Theorem und Dirichlets Theorem über arithmetische Fortschritte. Er gab eine vollständige Behandlung der Gleichung ${\ displayStyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2} = 0}$^[64] und arbeitete an quadratischen Formen entlang der späteren Linien, die später von Gauß vollständig entwickelt wurden.^[65] In seinem Alter war er der erste, der Fermats letzter Satz für den letzten Satz beweist ${\ displayStyle n = 5}$ (Fertigstellung von Arbeiten durch Peter Gustav Lejeune Dirichletund gut ihm und ihn und ihn und ihn gutgeschrieben Sophie Germain).^[66]

Carl Friedrich Gauß

In seinem DISTQUISATORES ARITHMETHAE (1798), Carl Friedrich Gauß (1777–1855) bewiesen das Gesetz von Quadratische Gegenseitigkeit und entwickelte die Theorie der quadratischen Formen (insbesondere ihre Komposition definiert). Er führte auch eine grundlegende Notation vor (Kongruenzen) und widmete einen Abschnitt rechnergestützten Angelegenheiten, einschließlich Primalitätstests.^[67] Der letzte Abschnitt der Disquisitiones stellte einen Zusammenhang zwischen Wurzeln der Einheit und Zahlentheorie:

Die Theorie der Aufteilung des Kreises ..., die in Sec. Behandelt wird. 7 gehört nicht alleine zu Arithmetik, aber seine Prinzipien können nur aus höherer Arithmetik gezogen werden.^[68]

Auf diese Weise machte Gauß wohl einen ersten Ausflug in Richtung beider Évariste GaloisArbeit und Algebraische Zahlentheorie.

Reife und Aufteilung in Unterfelder

Ernst Kummer

Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Ab Anfang des neunzehnten Jahrhunderts fanden die folgenden Entwicklungen allmählich statt:

• Der Aufstieg zum Selbstbewusstsein der Zahlentheorie (oder höhere Arithmetik) als Studienfeld.^[69]
• Die Entwicklung eines Großteils der modernen Mathematik, die für die grundlegende moderne Zahlentheorie notwendig ist: Komplexe Analyse, Gruppentheorie, Galois -Theorie—Akkompanitiert durch größere Strenge in der Analyse und Abstraktion in Algebra.
• Die grobe Unterteilung der Zahlentheorie in seine modernen Unterfelder - insbesondere, analytisch und algebraische Zahlentheorie.

Es kann gesagt werden, dass die Algebraik -Zahlentheorie mit der Untersuchung der Gegenseitigkeit und der Untersuchung beginnen Zyklotomie, kam aber wirklich mit der Entwicklung von zur eigenen Zusammenfassung Algebra und frühe ideale Theorie und Bewertung Theorie; siehe unten. Ein herkömmlicher Ausgangspunkt für die analytische Zahlentheorie ist Dirichlets Theorem über arithmetische Fortschritte (1837),^{[70] [71]} deren Beweis vorgestellt wurde L-Funktionen und beinhaltete eine asymptotische Analyse und einen begrenzenden Prozess für eine reale Variable.^[72] Die erste Verwendung von analytischen Ideen in der Zahlentheorie geht tatsächlich auf Euler (1730S) zurück.^{[73] [74]} Wer verwendete formale Machtserien und nicht rigorous (oder implizite) einschränkende Argumente. Die Verwendung von Komplex Analyse in der Zahlentheorie kommt später: Die Arbeit von Bernhard Riemann (1859) auf der Zeta -Funktion ist der kanonische Ausgangspunkt;^[75] Jacobis vier Quadratmeter-Theorem (1839), was vor ihm geht, gehört zu einem anfänglich anderen Strang, der inzwischen eine führende Rolle in der analytischen Zahlentheorie übernommen hat (Theorie (Modulare Formen).^[76]

Die Geschichte jedes Teilfelds wird in seinem eigenen Abschnitt kurz angesprochen; In dem Hauptartikel jedes Teilfelds finden Sie Fuller -Behandlungen. Viele der interessantesten Fragen in jedem Bereich bleiben offen und werden aktiv daran gearbeitet.

Hauptunterteilungen

Elementarzahl Theorie

Der Begriff elementar Bezeichnet im Allgemeinen eine Methode, die nicht verwendet wird Komplexe Analyse. Zum Beispiel die Primzahl Theorem wurde erstmals 1896 unter Verwendung einer komplexen Analyse bewiesen, aber erst 1949 wurde ein elementarer Beweis gefunden Erdős und Selberg.^[77] Der Begriff ist etwas mehrdeutig: zum Beispiel Beweise basierend auf Komplex Taubersche Theoreme (zum Beispiel, Wiener -akehara) werden oft als ziemlich aufschlussreich, aber nicht elementar angesehen, trotz der Verwendung von Fourier -Analysen und nicht als komplexe Analyse als solche. Hier wie anderswo, eine elementar Der Beweis kann für die meisten Leser länger und schwieriger sein als eine nicht-Elementary.

Zahlen -Theoretiker Paul Erdős und Terence Tao 1985, als Erdős 72 und Tao 10 war.

Die Zahlentheorie hat den Ruf, ein Feld zu sein, von dem viele der Ergebnisse für den Laien angegeben werden können. Gleichzeitig sind die Beweise dieser Ergebnisse nicht besonders zugänglich, teilweise, da der von ihnen verwendete Tools, wenn überhaupt, in der Mathematik ungewöhnlich breit ist.^[78]

Analytische Zahlentheorie

Riemann Zeta -Funktion ζ (s) in dem Komplexe Ebene. Die Farbe eines Punktes s gibt den Wert von ζ an (s): Dunkle Farben bezeichnen Werte nahe Null und der Farbton gibt den Wert an Streit.

Die Handlung der Modulare Gruppe auf der Ebene der oberen Halbzeit. Die Region in Grau ist der Standard Grunddomäne.

Analytische Zahlentheorie kann definiert werden

• in Bezug auf seine Werkzeuge als Untersuchung der Ganzzahlen mittels Werkzeuge aus der realen und komplexen Analyse;^[70] oder
• In Bezug auf ihre Bedenken, wie die Studie innerhalb der Zahl der Schätzungen der Größe und der Dichte im Gegensatz zu Identitäten.^[79]

Einige Probanden, die beispielsweise als Teil der analytischen Zahlentheorie angesehen werden, sind Siebentheorie,^{[Anmerkung 10]} sind besser von der zweiten als von der ersten Definition abgedeckt: Einige der Siebentheorie, zum Beispiel nur wenig Analyse, verwendet,^{[Anmerkung 11]} Dennoch gehört es zur analytischen Zahlentheorie.

Das Folgende sind Beispiele für Probleme in der analytischen Zahlentheorie: die Primzahl Theorem, das Goldbach -Vermutung (oder der Zwillings -Prime -Vermutung, oder der Hardy -Littlewood -Vermutungen), das Waringproblem und die Riemann -Hypothese. Einige der wichtigsten Instrumente der analytischen Zahlentheorie sind die Kreismethode, Siebmethoden und L-Funktionen (oder eher das Studium ihrer Eigenschaften). Die Theorie von Modulare Formen (und allgemeiner, allgemeiner, Automatische Formen) nimmt auch einen zunehmend zentralen Ort in der Toolbox der Analytikentheorie ein.^[80]

Man kann analytische Fragen stellen Algebraische Zahlen, und verwenden Sie analytische Mittel, um solche Fragen zu beantworten; So überschneiden sich die algebraische und analytische Zahlentheorie. Zum Beispiel kann man definieren Hauptideale (Verallgemeinerungen von Primzahlen Im Bereich der algebraischen Zahlen) und fragen Sie, wie viele Hauptideale bis zu einer bestimmten Größe sind. Diese Frage kann beantwortet werden durch eine Untersuchung von Dedekind Zeta Funktionen, die Verallgemeinerungen der Riemann Zeta -Funktion, ein wichtiges analytisches Objekt an den Wurzeln des Subjekts.^[81] Dies ist ein Beispiel für ein allgemeines Verfahren in der analytischen Zahlentheorie: Ableitungen von Informationen über die Verteilung einer Sequenz (hier, Prime-Ideale oder Primzahlen) aus dem analytischen Verhalten einer angemessen konstruierten komplex-Wert-Funktion.^[82]

Algebraische Zahlentheorie

Ein Algebraikum ist jede komplexe Zahl, die eine Lösung für eine Polynomgleichung ist ${\ displayStyle f (x) = 0}$ mit rationalen Koeffizienten; Zum Beispiel jede Lösung ${\ displayStyle x}$ von ${\ displaystyle x^{5}+(11/2) x^{3} -7x^{2}+9 = 0}$ (Sagen) ist eine algebraische Zahl. Felder von algebraischen Zahlen werden ebenfalls genannt Algebraische Zahlenfelderoder in Kürze Zahlenfelder. Algebraische Zahlen Theorie Studien Algebraische Zahlenfelder.^[83] Somit können und überlappen sich die analytische und algebraische Zahlentheorie: Ersteres wird durch ihre Methoden definiert, letztere durch ihre Studienobjekte.

Es könnte argumentiert werden, dass die einfachste Art von Zahlenfeldern (nämlich quadratische Felder) bereits von Gauß untersucht wurden, als die Diskussion von quadratischen Formen in DISTQUISATORES ARITHMETHAE kann in Bezug auf angepasst werden Ideale undNormen in quadratischen Feldern. (EIN quadratisches Feld besteht aus allen Zahlen der Form ${\ displayStyle a+b {\ sqrt {d}}}$, wo${\ displayStyle a}$ und ${\ displayStyle B}$ sind rationale Zahlen und ${\ displayStyle d}$ ist eine feste rationale Zahl, deren Quadratwurzel nicht rational ist.) In dieser Angelegenheit das 11. Jahrhundert Chakravala -Methode Beträge - in modernen Begriffen - zu einem Algorithmus zum Finden der Einheiten eines realen quadratischen Zahlenfeldes. Allerdings auch nicht Bhāskara Noch wusste Gauß von Zahlenfeldern als solche.

Die Gründe des Themas, wie wir wissen, wurde im späten 19. Jahrhundert festgelegt, wann Ideale Zahlen, das Theorie der Ideale und Bewertungstheorie wurden entwickelt; Dies sind drei komplementäre Möglichkeiten, um mit der mangelnden einzigartigen Faktorisierung der algebraischen Zahlenfelder umzugehen. (Zum Beispiel in dem von den Rationalen erzeugten Feld und ${\ displayStyle {\ sqrt {-5}}}$, die Nummer ${\ displayStyle 6}$ kann beides als beides als faktorisiert werden ${\ displayStyle 6 = 2 \ cdot 3}$ und${\ displayStyle 6 = (1+{\ sqrt {-5}}) (1-{\ sqrt {-5})}}$; alle ${\ displayStyle 2}$, ${\ displayStyle 3}$, ${\ displayStyle 1+{\ sqrt {-5}}}$ und${\ displayStyle 1-{\ sqrt {-5}}}$ sind nicht reduzierbar und somit im naiven Sinne analog zu den Primzahlen unter den Ganzzahlen.) Der anfängliche Impuls für die Entwicklung idealer Zahlen (durch Kummer) scheint aus der Untersuchung höherer Reziprozitätsgesetze her zu sein,^[84] Das heißt, Verallgemeinerungen von Quadratische Gegenseitigkeit.

Zahlenfelder werden häufig als Erweiterungen kleinerer Zahlenfelder untersucht: ein Feld L soll ein Verlängerung eines Feldes K wenn L enthält K. (Zum Beispiel die komplexen Zahlen C sind eine Erweiterung der Realität Rund die Realität R sind eine Erweiterung der Rationalen Q.) Es ist ein schwieriges und teilweise offenes Problem, die möglichen Erweiterungen eines bestimmten Zahlenfeldes zu klassifizieren. Abelsche Erweiterungen - das heißt, Erweiterungen L von K so dass das Galois -Gruppe^{[Anmerkung 12]} Mädchen (L/K) von L Über K ist ein Abelsche Gruppe- sind relativ gut verstanden. Ihre Klassifizierung war Gegenstand des Programms von Klassenfeldtheorie, was Ende des 19. Jahrhunderts initiiert wurde (teilweise durch Kronecker und Eisenstein) und weitgehend 1900–1950 durchgeführt.

Ein Beispiel für ein aktives Forschungsbereich in der algebraischen Zahlentheorie ist Iwasawa Theorie. Das Langlands ProgrammEiner der wichtigsten aktuellen groß angelegten Forschungspläne in Mathematik wird manchmal als Versuch beschrieben, die Feldtheorie der Klassenfeld auf nicht-wegfende Erweiterungen von Zahlenfeldern zu verallgemeinern.

Diophantinische Geometrie

Das zentrale Problem von Diophantinische Geometrie ist zu bestimmen, wann a Diophantinengleichung hat Lösungen, und wenn dies der Fall ist, wie viele. Der Ansatz besteht darin, die Lösungen einer Gleichung als geometrisches Objekt zu betrachten.

Beispielsweise definiert eine Gleichung in zwei Variablen eine Kurve in der Ebene. Allgemeiner definieren eine Gleichung oder ein Gleichungssystem in zwei oder mehr Variablen a Kurve, a auftauchen oder ein anderes solches Objekt in n-Dimensionaler Raum. In der diophantinischen Geometrie fragt man, ob es welche gibt rationale Punkte (Punkte alle, deren Koordinaten Rationale sind) oderintegrale Punkte (Punkte, von denen alle Koordinaten Ganzzahlen sind) auf der Kurve oder Oberfläche. Wenn es solche Punkte gibt, ist der nächste Schritt zu fragen, wie viele es gibt und wie sie verteilt werden. Eine grundlegende Frage in dieser Richtung ist, ob es endlich oder unendlich viele rationale Punkte in einer bestimmten Kurve (oder Oberfläche) gibt.

In dem Pythagoreigleichung ${\ displaystyle x^{2}+y^{2} = 1,}$ Wir möchten seine rationalen Lösungen untersuchen, dh seine Lösungen${\ displayStyle (x, y)}$ so dassx und y sind beide rational. Dies ist dasselbe wie die Frage nach allen ganzzahligen Lösungen zu ${\ displayStyle a^{2}+b^{2} = c^{2}}$; Jede Lösung für die letztere Gleichung gibt uns eine Lösung ${\ displayStyle x = a/c}$, ${\ displayStyle y = b/c}$ zu ersteren. Es ist auch dasselbe wie mit rationalen Koordinaten in der von beschriebenen Kurve nach allen Punkten zu fragen ${\ displaystyle x^{2}+y^{2} = 1}$. (Diese Kurve ist ein Radius -Kreis 1 um den Ursprung.)

Zwei Beispiele für ein elliptische Kurvedas heißt eine Kurve von Gattung 1 mit mindestens einen rationalen Punkt. (Beide Grafiken können als Scheibe von a gesehen werden Torus im vierdimensionalen Raum.)

Die Umformung von Fragen zu Gleichungen in Bezug auf Punkte auf Kurven ist nachgedacht. Die Endlichkeit oder nicht von der Anzahl der rationalen oder ganzzahligen Punkte in einer algebraischen Kurve - dh rationale oder ganzzahlige Lösungen für eine Gleichung ${\ displayStyle f (x, y) = 0}$, wo ${\ displayStyle f}$ ist ein Polynom in zwei Variablen - dreht sich heraus, um entscheidend von der abhängig zu sein Gattung der Kurve. Das Gattung kann wie folgt definiert werden:^{[Anmerkung 13]} Erlauben Sie die Variablen in ${\ displayStyle f (x, y) = 0}$ komplexe Zahlen sein; dann ${\ displayStyle f (x, y) = 0}$ Definiert eine zweidimensionale Oberfläche im (projektiven) 4-dimensionalen Raum (da zwei komplexe Variablen in vier reale Variablen zersetzt werden können, dh vier Dimensionen). Wenn wir die Anzahl der (Donut-) Löcher in der Oberfläche zählen; Wir nennen diese Nummer die Gattung von ${\ displayStyle f (x, y) = 0}$. Andere geometrische Vorstellungen sind genauso entscheidend.

Es gibt auch den eng verbundenen Bereich von Diophantinische Näherungen: eine Nummer gegeben ${\ displayStyle x}$und dann herauszufinden, wie gut es von Rationals angenähert werden kann. (Wir suchen nach Annäherung ${\ displayStyle a/q}$ (mit ${\ displayStyle \ gcd (a, q) = 1}$) Eine gute Annäherung an ${\ displayStyle x}$ wenn ${\ displayStyle | x-a/q | <{\ frac {1} {q^{c}}}}}$, wo ${\ displayStyle c}$ ist groß.) Diese Frage ist von besonderem Interesse, wenn ${\ displayStyle x}$ ist eine algebraische Zahl. Wenn ${\ displayStyle x}$ Kann nicht gut angenähert werden, dann haben einige Gleichungen keine ganzzahligen oder rationalen Lösungen. Darüber hinaus mehrere Konzepte (insbesondere die von Höhe) Es erweisen sich sowohl in der diophantinischen Geometrie als auch in der Untersuchung von diophantinischen Näherungen als kritisch. Diese Frage ist auch von besonderem Interesse an Transzendentale Zahlentheorie: Wenn eine Zahl besser angenähert werden kann als jede algebraische Zahl, dann ist es a Transzendentale Nummer. Es ist durch dieses Argument, dass π und e Es wurde gezeigt, dass sie transzendent sind.

Diophantinische Geometrie sollte nicht mit dem verwechselt werden Geometrie der Zahlen, das ist eine Sammlung grafischer Methoden zur Beantwortung bestimmter Fragen in der Algebraikumentheorie. Arithmetische Geometrieist jedoch ein zeitgenössischer Begriff für die gleiche Domäne wie der Begriff Diophantinische Geometrie. Der Begriff Arithmetische Geometrie wird wohl am häufigsten verwendet, wenn man die Verbindungen zur modernen algebraischen Geometrie hervorheben möchte (wie zum Beispiel in, zum Beispiel, Faltings 'Theorem) und nicht zu Techniken in diophantinischen Näherungen.

Andere Teilfelder

Die Gebiete unterhalb des Mitte des 20. Jahrhunderts stammen aus dem Mitte des 20. Jahrhunderts, auch wenn sie auf älterem Material basieren. Wie nachstehend erläutert wird beispielsweise die Frage der Algorithmen in der Zahlentheorie sehr alt, in gewissem Sinne älter als das Beweiskonzept; Gleichzeitig das moderne Studium von Berechnbarkeit datiert nur aus den 1930er und 1940er Jahren, und Computerkomplexitätstheorie Ab den 1970er Jahren.

Probabilistische Zahlentheorie

Ein Groß unabhängig. Zum Beispiel ist das Ereignis, dass eine zufällige Ganzzahl zwischen einem und einer Million durch zwei teilbar ist, und das Ereignis, dass sie von drei teilbar ist, ist fast unabhängig, aber nicht ganz.

Es wird manchmal gesagt Probabilistische Kombinatorik verwendet die Tatsache, dass alles, was mit einer Wahrscheinlichkeit größer ist als größer als ${\ displayStyle 0}$ muss manchmal passieren; Man kann mit gleichen Gerechtigkeit sagen, dass viele Anwendungen der probabilistischen Zahlentheorie davon abhalten, dass alles, was ungewöhnlich ist, selten sein muss. Wenn bestimmte algebraische Objekte (z. B. rationale oder ganzzahlige Lösungen für bestimmte Gleichungen) als im Schwanz bestimmter vernünftig definierter Verteilungen gezeigt werden, muss darauf nur wenige von ihnen sein; Dies ist eine sehr konkrete nicht-probabilistische Aussage, die von einer probabilistischen Aussage nachfolgt.

Manchmal führt ein nicht rigorous, probabilistischer Ansatz zu einer Reihe von Heuristik Algorithmen und offene Probleme, insbesondere Cramérs Vermutung.

Arithmetische Kombinatorik

Wenn wir von einem ziemlich "dicken" unendlichen Satz beginnen ${\ displayStyle a}$Enthält es viele Elemente im arithmetischen Fortschreiten: ${\ displayStyle a}$Anwesend${\ displayStyle a+b, a+2b, a+3b, \ ldots, a+10b}$, sagen? Sollte es möglich sein, große ganze Zahlen als Summen von Elementen von zu schreiben ${\ displayStyle a}$?

Diese Fragen sind charakteristisch von Arithmetische Kombinatorik. Dies ist derzeit ein Koalescing -Feld; Es füllt sich Additivzahl Theorie (was sich mit bestimmten sehr spezifischen Sätzen befasst ${\ displayStyle a}$ von arithmetischer Bedeutung, wie die Primzahlen oder die Quadrate) und wohl einige der Geometrie der Zahlenzusammen mit einigen schnell entwickelnden neuen Materialien. Seine Fokussierung auf Fragen des Wachstums- und Verteilungskontens teilweise für seine sich entwickelnden Verbindungen zu Ergodische Theorie, Endliche Gruppentheorie, Modelltheorieund andere Felder. Der Begriff Additive Kombinatorik wird auch verwendet; Die Sets jedoch ${\ displayStyle a}$ Untersuchung muss nicht von ganzen Zahlen, sondern Untergruppen von nicht-kommutativen Sätzen sein Gruppen, für das das Multiplikationssymbol, nicht das Additionsymbol, traditionell verwendet wird; Sie können auch Teilmengen von sein RingeIn diesem Fall das Wachstum von ${\ displayStyle a+a}$ und ${\ displayStyle a}$·${\ displayStyle a}$ kann verglichen werden.

Rechenzahltheorie

A Lehm Sieb, ein Primitiv digitaler Computer verwendet, um zu finden Primzahlen und einfach lösen Diophantinengleichungen.

Während das Wort Algorithmus geht nur zu bestimmten Lesern von zurück al-khwārizmī, sorgfältige Beschreibungen von Lösungsmethoden sind älter als Beweise: Solche Methoden (dh Algorithmen) sind so alt wie jede erkennbare Mathematik - anwesend ägyptisch, babylonisch, vedisch, chinesisch -, die nur mit den Griechen der klassischen Periode erschienen.

Ein früher Fall ist der von dem, was wir jetzt das nennen Euklidischer Algorithmus. In seiner Grundform (nämlich als Algorithmus zum Berechnen der größter gemeinsamer Teiler) Es erscheint als Satz 2 von Buch VII in Elementezusammen mit einem Nachweis der Korrektheit. In der Form, die häufig in der Zahlentheorie verwendet wird (nämlich als Algorithmus zum Auffinden von Ganzzahllösungen für eine Gleichung ${\ displayStyle ax+by = c}$, oder was ist gleich, um die Mengen zu finden, deren Existenz durch die gewährleistet ist Chinesischer Rest -Theorem) Es erscheint zuerst in den Werken von Āryabhaṭa (5. und 6. Jahrhundert n. Chr.) Als Algorithmus nannteKuṭṭaka ("Pulverser"), ohne einen Nachweis der Korrektheit.

Es gibt zwei Hauptfragen: "Können wir das berechnen?" und "Können wir es schnell berechnen?" Jeder kann testen, ob eine Zahl Prime ist oder, wenn dies nicht der Fall ist, sie in Primfaktoren aufteilt. Dies ist eine andere Sache. Wir kennen jetzt schnelle Algorithmen für Primalität testenAber trotz vieler Arbeit (sowohl theoretisch als auch praktisch) kein wirklich schneller Algorithmus für die Factoring.

Die Schwierigkeit einer Berechnung kann nützlich sein: moderne Protokolle für Nachrichten verschlüsseln (zum Beispiel, RSA) Abhängig von Funktionen, die allen bekannt sind, deren Umkehrungen jedoch nur wenigen ausgewählt sind und eine zu lange Zeit nehmen würden, um selbst herauszufinden. Beispielsweise können diese Funktionen so sein, dass ihre Inversen nur berechnet werden können, wenn bestimmte Dickgotenträger faktorisiert werden. Während viele schwierige Rechenprobleme außerhalb der Zahl der Zahlentheorie bekannt sind, basieren die meisten arbeitenden Verschlüsselungsprotokolle heutzutage auf der Schwierigkeit einiger zahlentheoretischer Probleme.

Einige Dinge sind möglicherweise überhaupt nicht berechnet; Tatsächlich kann dies in einigen Fällen nachgewiesen werden. Zum Beispiel wurde es 1970 als Lösung für eine Lösung für Hilberts 10. Problem, dass es keine gibt Turing Maschine was alle diophantinischen Gleichungen lösen kann.^[85] Insbesondere bedeutet dies, dass a gegeben a rechenbar aufzählbar Set von Axiomen gibt es diophantinische Gleichungen, für die es keinen Beweis gibt, der von den Axiomen beginnt, ob die Menge von Gleichungen ganzzahlige Lösungen hat oder nicht. (Wir würden notwendigerweise von diophantinischen Gleichungen sprechen, für die es keine ganzzahligen Lösungen gibt, da die Lösung selbst bei einer diophantinischen Gleichung mit mindestens einer Lösung einen Beweis dafür liefert Gleichung ist von dieser Art, da dies bedeuten würde, dass sie keine Lösungen hat.)

Anwendungen

Der Zahlenheoriker Leonard Dickson (1874–1954) sagte: "Gott sei Dank, dass die Zahlentheorie von jeder Anwendung nicht verschuldet ist." Eine solche Ansicht gilt nicht mehr für die Zahlentheorie.^[86] 1974,, Donald Knuth sagte: "... praktisch jeder Theorem in der Elementarzahltheorie entsteht auf natürliche, motivierte Weise im Zusammenhang mit dem Problem, Computer mit hohen Geschwindigkeit numerischen Berechnungen durchzuführen."^[87] Die Elementarzahltheorie wird in gelehrt Diskrete Mathematik Kurse für Informatiker; Auf der anderen Seite hat die Zahltheorie auch Anwendungen für das kontinuierliche in numerische Analyse.^[88] Sowie die bekannten Anwendungen auf KryptographieEs gibt auch Anwendungen für viele andere Bereiche der Mathematik.^{[89][90][angeben]}

Preise

Das American Mathematical Society Auszeichnung der Cole Prize in Zahlentheorie. Darüber hinaus ist die Zahltheorie eine der drei mathematischen Subdisziplinen, die von der belohnt werden Fermat -Preis.

Siehe auch

• Algebraic -Funktionsfeld
• Endliches Feld
• P-adische Nummer

Anmerkungen

Verweise

Quellen

• Dieser Artikel enthält Material von der Staatsbürger Artikel "Zahlentheorie", die unter der Creative Commons Attribution-sharealike 3.0 unportierte Lizenz, jedoch nicht unter der GFDL lizenziert.

Weitere Lektüre

Zwei der beliebtesten Einführungen in das Thema sind:

• G.H. Winterhart; E. M. Wright (2008) [1938]. Eine Einführung in die Zahlentheorie (Rev. von D. R. Heath-Brown und J. H. Silverman, 6. Aufl.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. Abgerufen 2016-03-02.
• Vinogradov, I.M. (2003) [1954]. Elemente der Zahlentheorie (Nachdruck der Ausgabe von 1954). Mineola, NY: Dover Publications.

Das Buch von Hardy und Wrights ist ein umfassender Klassiker, obwohl seine Klarheit manchmal aufgrund des Beharrens der Autoren auf elementaren Methoden leidet (Apostol N.D.). Die Hauptattraktion von Vinogradov besteht in ihren Problemen, die schnell zu den eigenen Forschungsinteressen von Vinogradov führen. Der Text selbst ist sehr einfach und nahezu minimal. Andere beliebte erste Einführungen sind:

• Ivan M. Niven; Herbert S. Zuckerman; Hugh L. Montgomery (2008) [1960]. Eine Einführung in die Zahlentheorie (Nachdruck der 5. Ausgabe 1991 Hrsg.). John Wiley & Sons. ISBN 978-81-265-1811-1. Abgerufen 2016-02-28.
• Kenneth H. Rosen (2010). Elementarzahl Theorie (6. Aufl.). Pearson Ausbildung. ISBN 978-0-321-71775-7. Abgerufen 2016-02-28.

Zu den beliebten Auswahlmöglichkeiten für ein zweites Lehrbuch gehören:

• Boorevich, A. I.; Shafarevich, Igor R. (1966). Zahlentheorie. Reine und angewandte Mathematik. Vol. 20. Boston, MA: Akademische Presse. ISBN 978-0-12-117850-5. HERR 0195803.
• Serre, Jean-Pierre (1996) [1973]. Ein Kurs in Arithmetik. Graduiertentexte in Mathematik. Vol. 7. Springer. ISBN 978-0-387-90040-7.

Externe Links

• Medien im Zusammenhang mit der Zahlentheorie bei Wikimedia Commons
• Zahlentheorie Eintrag in Enzyklopädie der Mathematik
• Zahlentheorie Web