Zahlenlinie

Im Elementary Mathematics, a Zahlenlinie ist ein Bild eines Absolventen gerade Linie das dient als Abstraktion zum reale Nummern, bezeichnet durch ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$. Es wird angenommen, dass jeder Punkt einer Zahlenlinie a entspricht reelle Zahlund jede reale Zahl bis zu einem gewissen Punkt.^[1]

Das Ganzzahlen werden oft als speziell markierte Punkte gezeigt, die gleichmäßig auf der Linie verteilt sind. Obwohl dieses Bild nur die Ganzzahlen von –9 bis 9 zeigt, enthält die Zeile alle reale Nummernfür immer in jede Richtung und auch Zahlen, die zwischen den Ganzzahlen liegen. Es wird oft als Hilfe beim einfachen Unterrichten verwendet Zusatz und Subtraktionvor allem einbezogen Negative Zahlen.

In fortgeschrittener Mathematik die Ausdrücke reelle Zahlenzeile, oder echte Linie werden typischerweise verwendet, um das oben genannte Konzept anzuzeigen, dass jeder Punkt auf einer geraden Linie einer einzelnen reellen Zahl entspricht, und und umgekehrt.

Geschichte

Die erste Erwähnung der für Betriebszwecke verwendeten Zahlenlinie finden Sie in John Wallis's Abhandlung von Algebra.^[2] In seiner Abhandlung beschreibt Wallis die Addition und Subtraktion auf einer Zahlenlinie, um sich nach vorne und rückwärts zu bewegenden, unter der Metapher einer Person, die läuft.

Eine frühere Darstellung ohne Erwähnung der Operationen findet sich jedoch in John Napier's Eine Beschreibung der bewundernswerten Tabelle der Logarithmes, was die Werte 1 bis 12 von links nach rechts zeigt.^[3]

Entgegen der landläufigen Meinung, Rene Descartes'S Original La Géométrie verfügt nicht über eine Zahlenlinie, die so definiert ist, wie wir sie heute verwenden, obwohl es ein Koordinatensystem verwendet. Insbesondere enthält Descartes 'Arbeit keine spezifischen Zahlen, die auf Linien zugeordnet sind, nur abstrakte Mengen.^[4]

Zeichnen der Zahlenlinie

Eine Zahlenlinie wird normalerweise als Sein dargestellt horizontal, aber in a Kartesische Koordinatenebene Die vertikale Achse (y-Achse) ist ebenfalls eine Zahlenlinie.^[5] Nach einer Konvention, Positive Zahlen Immer auf der rechten Seite von Null liegen, Negative Zahlen Immer auf der linken Seite von Null liegen, und Pfeilspitzen an beiden Enden der Linie sollen darauf hindeuten, dass die Linie in positiven und negativen Richtungen auf unbestimmte Zeit fortgesetzt wird. Eine andere Konvention verwendet nur eine Pfeilspitze, die die Richtung angibt, in der die Zahlen wachsen.^[5] Die Linie setzt sich in den positiven und negativen Richtungen gemäß den Regeln der Geometrie auf, die eine Linie ohne Endpunkte definieren unendliche Linie, eine Linie mit einem Endpunkt als Strahlund eine Linie mit zwei Endpunkten als Liniensegment.

Vergleich der Zahlen

Wenn eine bestimmte Zahl weiter rechts auf der Zahlenlinie ist als eine andere Zahl, ist die erste Zahl größer als die zweite (entsprechend ist die zweite die zweite als die erste). Der Abstand zwischen ihnen ist die Größe ihrer Differenz - dh die erste Zahl minus der zweiten oder gleichermaßen den Absolutwert der zweiten Zahl abzüglich der ersten. Diesen Unterschied zu nehmen ist der Prozess von Subtraktion.

Somit zum Beispiel die Länge von a Liniensegment Zwischen 0 und einer anderen Zahl repräsentiert die Größe der letzteren Zahl.

Zwei Zahlen können sein hinzugefügt Indem Sie die Länge von 0 bis zu einer der Zahlen "aufnehmen" und sie erneut mit dem Ende ablegen, das 0 auf der anderen Zahl platziert wurde.

Zwei Zahlen können sein multipliziert Wie in diesem Beispiel: Um 5 × 3 zu multiplizieren, beachten Sie, dass dies mit 5 + 5 + 5 entspricht. Nehmen Sie also die Länge von 0 bis 5 auf und legen Sie sie rechts von 5, und nehmen Platzieren Sie es rechts vom vorherigen Ergebnis. Dies ergibt ein Ergebnis, das 3 kombinierte Längen von jeweils 5 entspricht; Da der Prozess bei 15 endet, finden wir, dass 5 × 3 = 15.

Aufteilung kann wie im folgenden Beispiel durchgeführt werden: um 6 durch 2 zu teilen - dh herauszufinden, wie oft 2 in 6 fließt -, ist die Länge von 0 bis 2 am Anfang der Länge von 0 bis 6; Nehmen Sie die frühere Länge auf und legen Sie sie wieder rechts von seiner ursprünglichen Position, wobei das Ende früher bei 0 bei 2 auf 2 platziert war, und bewegen Sie dann die Länge rechts von seiner letzten Position. Dies legt das rechte Ende der Länge 2 am rechten Ende der Länge von 0 bis 6. Da drei Längen von 2 die Länge 6 gefüllt haben, 2 füllte 2 dreimal in 6 (dh 6 ÷ 2 = 3).

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  Die Bestellung für die Zahlenlinie: Größere Elemente befinden sich in Richtung des Pfeils.

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  Die Differenz 3-2 = 3+(-2) in der realen Zahlenlinie.

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  Die Zugabe 1+2 in der realen Zahlenlinie

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  Der absolute Unterschied.

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  Die Multiplikation 2 -mal 1,5

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  Die Division 3 ÷ 2 auf der realen Zahlenlinie

Teile der Zahlenlinie

Das geschlossene Intervall [a, b].

Der Abschnitt der Zahlenlinie zwischen zwei Zahlen wird als als bezeichnet Intervall. Wenn der Abschnitt beide Zahlen enthält, wird bezeichnet, dass es sich um ein geschlossenes Intervall handelt, während er beider Zahlen als offenes Intervall bezeichnet wird. Wenn es eine der Zahlen enthält, aber nicht die andere, wird es als ein halbes Open-Intervall bezeichnet.

Alle Punkte, die sich für immer in eine Richtung von einem bestimmten Punkt erstrecken Strahl. Wenn der Strahl den jeweiligen Punkt enthält, ist er ein geschlossener Strahl; Ansonsten ist es ein offener Strahl.

Erweiterungen des Konzepts

Logarithmische Darstellung

Ein log-log-Diagramm von y=x(blau), y=x²(grün) und y=x³(rot).
Beachten Sie die logarithmischen Maßstabsmarkierungen an jedem der Achsen und das Protokollx und Protokolly Achsen (wo die Logarithmen 0 sind) sind wo x und y selbst sind 1.

Auf der Zahlenlinie ist der Abstand zwischen zwei Punkten die Einheitslänge nur dann, wenn die Differenz der dargelegten Zahlen entspricht. Es sind andere Auswahlmöglichkeiten möglich.

Eine der häufigsten Entscheidungen ist die Logarithmische Darstellung, was eine Darstellung der ist positiv Zahlen in einer Zeile, so dass der Abstand von zwei Punkten die Einheitslänge ist, wenn das Verhältnis der dargelegten Zahlen einen festen Wert aufweist, typischerweise 10. In einer solchen logarithmischen Skala repräsentiert der Ursprung 1; Ein Zoll nach rechts hat einer 10, einen Zoll rechts von 10 10 × 10 = 100, dann 10 × 100 = 1000 = 10³, dann 10 × 1000 = 10.000 = 10⁴usw. In ähnlicher Weise hat ein Zoll links von 1, einer hat 1/10 = 10^–1, dann 1/100 = 10^–2, etc.

Dieser Ansatz ist nützlich, wenn man in derselben Abbildung Werte mit sehr unterschiedlich darstellen will Größenordnung. Zum Beispiel erfordert man eine logarithmische Skala, um gleichzeitig die Größe der verschiedenen Körper darzustellen, die in der existieren Universumtypischerweise a Photon, ein Elektron, ein Atom, a Molekül, a Mensch, das Erde, das Sonnensystem, a Galaxisund das sichtbare Universum.

Logarithmische Skalen werden in verwendet Rutschregeln zum Multiplizieren oder Teilen von Zahlen durch Hinzufügen oder Subtrahieren von Längen auf logarithmischen Skalen.

Die beiden logarithmischen Skalen einer Folienregel

Zahlenlinien kombinieren

Eine Linie, die durch den Ursprung im rechten Winkel zur realen Zahlenlinie gezogen wird, kann verwendet werden, um die darzustellen imaginäre Zahlen. Diese Zeile, genannt imaginäre Linieerweitert die Zahlenlinie auf a Komplexe Zahlenebenemit Punkten, die dargestellt werden komplexe Zahlen.

Alternativ kann eine reelle Zahlenlinie horizontal gezeichnet werden, um mögliche Werte einer reellen Zahl zu bezeichnen, die allgemein genannt werden xund eine andere reelle Zahlenlinie kann vertikal gezeichnet werden, um mögliche Werte einer anderen reellen Zahl zu bezeichnen, die allgemein genannt werden y. Zusammen bilden diese Zeilen das, was als bekannt ist Kartesisches Koordinatensystemund jeder Punkt in der Ebene repräsentiert den Wert eines Paares realer Zahlen. Darüber hinaus kann das kartesische Koordinatensystem selbst erweitert werden, indem eine dritte Zahlenlinie "Aus dem Bildschirm (oder aus der Seite)" visualisiert wird, wobei eine dritte Variable genannt wird z. Positive Zahlen liegen näher an den Augen des Betrachters als der Bildschirm, während negative Zahlen "hinter dem Bildschirm" liegen. Größere Zahlen sind weiter vom Bildschirm entfernt. Dann repräsentiert jeder Punkt im dreidimensionalen Raum, in dem wir leben, die Werte eines Trios realer Zahlen.

Siehe auch

• Chronologie
• Komplexe Ebene
• Cuisenaire -Stangen
• Erweiterte reelle Zahlenlinie
• Hyperreale Zahlenlinie
• Zahlenform (Neurologisches Phänomen)
• Der Bau einer Dezimalzahl

Verweise

Externe Links

• Medien im Zusammenhang mit Zahlenlinien bei Wikimedia Commons