Norm (Mathematik)

Im Mathematik, a Norm ist ein Funktion von einem real oder Komplex Vektorraum zu den nicht negativen realen Zahlen, die sich auf bestimmte Weise verhalten, wie die Entfernung von der Ursprung: es Pendler mit der Skalierung einer Form der Dreiecksungleichungund ist Null nur am Ursprung. Insbesondere die Euklidische Entfernung eines Vektors aus dem Ursprung ist eine Norm, die als die genannt Euklidische Norm, oder 2-Norm, was auch als die definiert werden kann Quadratwurzel des Innenprodukt eines Vektors mit sich selbst.

A Seminorm erfüllt die ersten beiden Eigenschaften einer Norm, kann aber für andere Vektoren als den Ursprung Null sein.[1] Ein Vektorraum mit einer angegebenen Norm wird a genannt Normed Vektorraum. In ähnlicher Weise wird ein Vektorraum mit einem Seminorm genannt Seminormed Vektorraum.

Der Begriff Pseudonorm wurde für mehrere verwandte Bedeutungen verwendet. Es kann ein Synonym für "Seminorm" sein.[1] Ein Pseudonorm kann dieselben Axiome wie eine Norm erfüllen, wobei die Gleichheit durch eine Ungleichheit ersetzt wird. ""In der Homogenität Axiom.[2] Es kann sich auch auf eine Norm beziehen, die unendliche Werte annehmen kann.[3] oder zu bestimmten Funktionen, die durch a parametriert sind gerichteter Satz.[4]

Definition

Angenommen Vektorraum über ein Unterfeld F der komplexen Zahlen a Norm an ist ein reale Funktion mit den folgenden Eigenschaften, wo bezeichnet das Übliche absoluter Wert eines Skalars :[5]

  1. Subadditivität/Dreiecksungleichung: für alle
  2. Absolute Homogenität: für alle und alle Skalare
  3. Positive Bestimmte/ Pointendern: für alle wenn dann
    • Weil Eigenschaft (2) impliziert Einige Autoren ersetzen Eigenschaften (3) durch die gleichwertige Bedingung: für jeden dann und nur dann, wenn

A Seminorm an ist eine Funktion Das hat Eigenschaften (1) und (2)[6] so dass insbesondere jede Norm auch ein Seminorm ist (und damit auch a Sublinear funktional). Es gibt jedoch Seminorms, die keine Normen sind. Eigenschaften (1) und (2) implizieren das, wenn ist eine Norm (oder allgemeiner ein Seminorm) dann und das hat auch die folgende Eigenschaft:

  1. Nicht-Negativität: für alle

Einige Autoren enthalten Nicht-Negativität als Teil der Definition von "Norm", obwohl dies nicht erforderlich ist.

Äquivalente Normen

Nehme an, dass p und q sind zwei Normen (oder Seminorms) auf einem Vektorraum Dann p und q werden genannt Äquivalent, wenn es zwei echte Konstanten gibt c und C mit c > 0 so dass für jeden Vektor

Die Normen p und q sind äquivalent, wenn sie nur dann die gleiche Topologie induzieren [7] Zwei beliebige Normen für einen endlich-dimensionalen Raum sind gleichwertig, aber dies erstreckt sich nicht auf unendlich-dimensionale Räume.[7]

Notation

Wenn eine Norm wird auf einem Vektorraum gegeben Xdann die Norm eines Vektors wird normalerweise dadurch bezeichnet, dass es innerhalb von doppelten vertikalen Linien eingeschlossen wird: Eine solche Notation wird manchmal auch verwendet, wenn p ist nur ein Seminorm. Für die Länge eines Vektors im euklidischen Raum (was ein Beispiel für eine Norm ist wie unten erklärt) die Notation mit einzelnen vertikalen Linien ist ebenfalls weit verbreitet.

Beispiele

Jeder (reale oder komplexe) Vektorraum gibt eine Norm zu: wenn ist ein Hamelbasis Für einen Vektorraum X dann die realgeschätzte Karte, die sendet x = ΣiI sixiX (wo fast endlich viele der Scalare si sind 0) zu ΣiI |si| ist eine Norm auf X.[8] Es gibt auch eine große Anzahl von Normen, die zusätzliche Eigenschaften aufweisen, die sie für bestimmte Probleme nützlich machen.

Absolutwerte Norm

Das absoluter Wert

ist eine Norm auf der eindimensional Vektorräume, die von der gebildet werden real oder komplexe Zahlen.

Jede Norm p auf einem eindimensionalen Vektorraum X ist äquivalent (bis zur Skalierung) der absoluten Wertnorm, was bedeutet Isomorphismus von Vektorräumen wo entweder oder und Normvorverschalterung bedeutet das Dieser Isomorphismus wird durch Senden gegeben zu einem Normvektor 1, was existiert, da ein solcher Vektor durch Multiplizieren eines Vektors ungleich Null mit der Umkehrung seiner Norm erhalten wird.

Euklidische Norm

Auf der -Dimensional Euklidischer Raum der intuitive Begriff der Länge des Vektors wird von der Formel erfasst[9]

Dies ist das Euklidische Norm, was den gewöhnlichen Abstand vom Ursprung bis zum Punkt verleiht X- Eine Folge der Satz des Pythagoras. Diese Operation kann auch als "SRSS" bezeichnet werden, was eine Akronym für die ist sQuare rOOT der sähm von sQuarness.[10]

Die euklidische Norm ist bei weitem die am häufigsten verwendete Norm auf [9] Es gibt jedoch andere Normen in diesem Vektorraum, wie unten gezeigt wird. Alle diese Normen sind jedoch in dem Sinne gleichwertig, dass sie alle dieselbe Topologie definieren.

Das Innenprodukt von zwei Vektoren von a Euklideaner Vektorraum ist der Skalarprodukt ihrer Vektoren koordinieren über ein Orthonormale Basis. Daher kann die euklidische Norm koordinatefrei geschrieben werden wie

Die euklidische Norm wird auch die genannt Norm,[11] Norm, 2-Norm, oder Quadratnorm; sehen Platz. Es definiert a Entfernungsfunktion genannt Euklidische Länge, Distanz, oder Distanz.

Der Satz von Vektoren in deren euklidische Norm ist eine gegebene positive konstante Formen und bildet sich -Kugel.

Euklidische Norm komplexer Zahlen

Die euklidische Norm von a komplexe Zahl ist der absoluter Wert (auch als die genannt Modul) davon, wenn die Komplexe Ebene wird mit dem identifiziert Euklidische Ebene Diese Identifizierung der komplexen Zahl Als Vektor in der euklidischen Ebene macht die Menge (Wie erstmals von Euler vorgeschlagen) Die mit der komplexe Zahl verbundene euklidische Norm.

Quaternionen und Oktonionen

Es gibt genau vier Euklidische Hurwitz -Algebren über dem reale Nummern. Das sind die realen Zahlen die komplexen Zahlen das Quaternionen und zuletzt die Oktonionen wo die Dimensionen dieser Räume über die realen Zahlen sind beziehungsweise. Die kanonischen Normen auf und sind sie absoluter Wert Funktionen, wie zuvor erläutert.

Die kanonische Norm auf von Quaternionen wird definiert von

Für jedes Quaternion in Dies ist dasselbe wie die euklidische Norm auf als Vektorraum angesehen In ähnlicher Weise die kanonische Norm auf der Oktonionen ist nur die euklidische Norm auf

Endlich-dimensionale komplexe Normedäume

Auf an -Dimensional Komplexer Raum Die häufigste Norm ist

In diesem Fall kann die Norm als die ausgedrückt werden Quadratwurzel des Innenprodukt des Vektors und sich selbst:

wo ist als a Spaltenvektor und bezeichnet seine konjugierte Transponierung.

Diese Formel gilt für jede innerer Produktraum, einschließlich euklidischer und komplexer Räume. Für komplexe Räume entspricht das innere Produkt dem Komplexes Punktprodukt. Daher kann die Formel in diesem Fall auch unter Verwendung der folgenden Notation geschrieben werden:

Taxicab Norm oder Manhattan Norm

Der Name bezieht sich auf die Entfernung, die ein Taxi in einem Rechteck fahren muss Straßennetz (wie das der des New York Bezirk von Manhattan) um vom Ursprung bis zum Punkt zu gelangen x.

Der Satz von Vektoren, deren 1-Norm eine gegebene Konstante ist, bildet die Oberfläche von a Polytope überqueren der Dimension entspricht der der Norm minus 1. Die Taxi -Norm wird auch als die genannt Norm. Die von dieser Norm abgeleitete Entfernung wird als die genannt Manhattan -Entfernung oder 1 Distanz.

Der 1-Norm ist einfach die Summe der absoluten Werte der Spalten.

Im Gegensatz,

ist keine Norm, da sie negative Ergebnisse liefern kann.

p-Norm

Lassen p ≥ 1 eine echte Zahl sein. Das p-norm (auch genannt -norm) des Vektors ist[9]

Zum p = 1wir bekommen das Taxi -Norm, zum p = 2 Wir bekommen das Euklidische Norm, und wie p Ansätze das p-Norm nähert sich dem Unendlichkeitsnorm oder Maximale Norm:
Das p-norm ist mit dem verwandt verallgemeinerte Mittelwert oder Machtbedeutung.

Diese Definition ist immer noch von Interesse für 0 << p < 1, aber die resultierende Funktion definiert keine Norm,[12] Weil es gegen die verletzt Dreiecksungleichung. Was gilt für diesen Fall von 0 << p < 1selbst im messbaren Analog ist das entsprechende Lp Klasse ist ein Vektorraum, und es ist auch wahr, dass die Funktion

(ohne pDie Wurzel) definiert eine Entfernung, die macht Lp(X) in eine vollständige Metrik Topologischer Vektorraum. Diese Räume sind von großem Interesse an Funktionsanalyse, Wahrscheinlichkeitstheorie und Harmonische Analyse. Abgesehen von trivialen Fällen ist dieser topologische Vektorraum jedoch nicht lokal konvex und hat jedoch keine kontinuierlichen linearen Formen ungleich Null. Somit enthält der topologische Doppelraum nur die Nullfunktion.

Das teilweise Derivat der p-norm ist gegeben durch

Das Derivat in Bezug auf xist daher ist

wo bezeichnet Hadamard -Produkt und wird für den absoluten Wert jeder Komponente des Vektors verwendet.

Für den Sonderfall von p = 2, das wird

oder

Maximale Norm (Sonderfall von: Infinity -Norm, gleichmäßige Norm oder Supremum -Norm)

Wenn ist ein Vektor so, dass das dann:

Die Menge von Vektoren, deren Unendlichkeitsnorm eine bestimmte Konstante ist, cbildet die Oberfläche von a Hypercube mit Kantenlänge 2c.

Null Norm

In der Wahrscheinlichkeit und Funktionsanalyse induziert die Nullnorm eine vollständige metrische Topologie für den Raum von messbare Funktionen und für die F-Raum von Sequenzen mit F -Norm [13] Hier verstehen wir mit F-Norm einige realbewertete Funktion auf einem F-Raum mit Entfernung d, so dass Das F-Norm beschrieben oben ist im üblichen Sinne keine Norm, da es die erforderliche Homogenitätseigenschaft fehlt.

Hamming -Abstand eines Vektors von Null

Im Metrische Geometrie, das Diskrete Metrik Nimmt den Wert eins für verschiedene Punkte und sonst Null. Wenn die Koordinate auf die Elemente eines Vektorraums angewendet wird, definiert der diskrete Abstand die Hamming -Entfernung, was wichtig ist in Codierung und Informationstheorie. Im Bereich realer oder komplexer Zahlen ist der Abstand der diskreten Metrik von Null im Punkt ungleich Null nicht homogen; In der Tat bleibt der Abstand von Null eins eins, da sein Argument ungleich Null Null nähert. Der diskrete Abstand einer Zahl von Null erfüllt jedoch die anderen Eigenschaften einer Norm, nämlich die Dreieck -Ungleichheit und die positive Bestimmung. Bei der Anwendung von Komponenten in Bezug auf Vektoren verhält sich der diskrete Abstand von Null wie eine nicht-homogene "Norm", die die Anzahl der Komponenten ungleich Null in seinem Vektorargument zählt. Auch diese nicht-homogene "Norm" ist diskontinuierlich.

Im Signalverarbeitung und Statistiken, David Donoho auf die Null "Norm" mit Anführungszeichen. Nach Donohos Notation die Null "Norm" von "Norm" x ist einfach die Anzahl der Koordinaten von ungleich Null von von x, oder der Hamming -Abstand des Vektors von Null. Wenn diese "Norm" in einem begrenzten Satz lokalisiert ist, ist sie die Grenze von p-norms als p Ansätze 0. Natürlich ist die Null "Norm" nicht Wirklich eine Norm, weil es nicht ist positive homogene. In der Tat ist es nicht einmal ein F-Norm in dem oben beschriebenen Sinne, da es in Bezug auf das skalare Argument in der Skalar-Vektor-Multiplikation und in Bezug auf sein Vektorargument diskontinuierlich, gemeinsam und streng, in Bezug auf das skalare Argument ist.Terminologie missbrauchen, einige Ingenieure[wer?] Lassen Sie Donohos Anführungszeichen aus und rufen Sie die Anzahl der Non-Zeros-Funktionen unangemessen auf die Funktion L0 Norm, die die Notation für die wiederholt Lebesgue -Raum von messbare Funktionen.

Unendliche Dimensionen

Die Verallgemeinerung der oben genannten Normen auf eine unendliche Anzahl von Komponenten führt zu p und Lp Räume, mit Normen

Für komplexe Wertssequenzen und Funktionen auf Dies kann weiter verallgemeinert werden (siehe Haar -Maßnahme).

Irgendein Innenprodukt induziert auf natürliche Weise die Norm

Andere Beispiele für unendlich dimensionale normierte Vektorräume finden Sie in der Banach -Raum Artikel.

Zusammengesetzte Normen

Andere Normen auf kann durch Kombination des oben genannten konstruiert werden; zum Beispiel

ist eine Norm auf

Für jede Norm und jede andere injektiv lineare Transformation A Wir können eine neue Norm von definieren x, gleicht

In 2d, mit A Eine Rotation um 45 ° und eine geeignete Skalierung, wodurch die Taxi -Norm in die maximale Norm ändert. Jeder A Angewendet auf die Taxicab -Norm bis hin zur Inversion und des Austauschs von Achsen ergibt eine andere Einheitskugel: a Parallelogramm einer bestimmten Form, Größe und Ausrichtung.

In 3D ist dies ähnlich, aber für den 1-Norm (unterschiedlichOktaedronen) und die maximale Norm (Prismen mit Parallelogrammbasis).

Es gibt Beispiele für Normen, die nicht durch "Eintrags" -Formeln definiert werden. Zum Beispiel die Minkowski funktional von einem zentral symmetrischen konvexen Körper in (zentriert bei Null) definiert eine Norm auf (sehen § Klassifizierung von Seminorms: absolut konvexe absorbierende Sets unter).

Alle oben genannten Formeln liefern auch Normen auf ohne Änderung.

Es gibt auch Normen auf Räumen von Matrizen (mit realen oder komplexen Einträgen), die sogenannten Matrixnormen.

In abstrakter Algebra

Lassen E sei a Endliche Erweiterung eines Feldes k von untrennbarer Abschluss pμ, und lass k einen algebraischen Abschluss haben K. Wenn das Unterschiedliche Einbettungen von E sind {σj}j, dann ist die Galois-theoretische Norm eines Elements αE ist der Wert Da diese Funktion homogen von Grad ist [E:k]Die Galois-theoretische Norm ist im Sinne dieses Artikels keine Norm. Allerdings die [E:k]-Die Wurzel der Norm (unter der Annahme, dass das Konzept Sinn macht) ist eine Norm.[14]

Zusammensetzungsalgebren

Das Konzept der Norm in Zusammensetzungsalgebren tut nicht Teilen Sie die üblichen Eigenschaften einer Norm mit, da sie für negativ oder Null sein kann z ≠ 0. Eine Zusammensetzungsalgebra (A, *, N) besteht aus einem Algebra über ein Feld A, ein Involution *, und ein quadratische Form Das heißt "Norm".

Das charakteristische Merkmal von Kompositionsalgebren ist das Homomorphismus Eigentum von N: Für das Produkt Wz von zwei Elementen w und z der Kompositionsalgebra erfüllt ihre Norm Zum und O Die Kompositionsalgebra -Norm ist das Quadrat der oben diskutierten Norm. In diesen Fällen ist die Norm a bestimmte quadratische Form. In anderen Zusammensetzungsalgebren ist die Norm eine isotrope quadratische Form.

Eigenschaften

Für jede Norm auf einem Vektorraum das Ungleichheit der Dreiecksumkehr hält:

Wenn ist eine kontinuierliche lineare Karte zwischen normierten Räumen, dann der Norm von und die Norm der Transponieren von sind gleich.[15]

Für die Lp Normen haben wir Hölders Ungleichheit[16]

Ein Sonderfall davon ist der Cauchy -Schwarz -Ungleichheit:[16]
Illustrationen von Einheitskreise in verschiedenen Normen.

Gleichwertigkeit

Das Konzept von Einheitskreis (Der Satz aller Vektoren der Norm 1) ist in verschiedenen Normen unterschiedlich: Für den 1-Norm ist der Einheitskreis a QuadratFür den 2-Norm (euklidische Norm) ist es die bekannte Einheit KreisWährend für die Infinity -Norm es sich um ein anderes Quadrat handelt. Für jeden p-norm, es ist a Superellipse mit kongruenten Achsen (siehe die dazugehörige Abbildung). Aufgrund der Definition der Norm muss der Einheitskreis sein konvex und zentral symmetrisch (daher kann der Einheitsball ein Rechteck sein, aber kein Dreieck sein, und Für ein p-Norm).

In Bezug auf den Vektorraum definiert das Seminorm a Topologie auf dem Raum, und das ist a Hausdorff Die Topologie, genau dann, wenn das Seminorm zwischen verschiedenen Vektoren unterscheiden kann, was wiederum der Seminorm entspricht, die eine Norm ist. Die so definierte Topologie (entweder durch eine Norm oder ein Seminorm) kann entweder in Bezug auf Sequenzen oder offene Mengen verstanden werden. EIN Reihenfolge von Vektoren wird gesagt zu konvergieren norm zu wenn wie Äquivalent besteht die Topologie aus allen Sätzen, die als Gewerkschaft von Open dargestellt werden können Bälle. Wenn ist dann ein normierter Raum[17]

Zwei Normen und auf einem Vektorraum werden genannt Äquivalent Wenn sie dieselbe Topologie induzieren,[7] Was geschieht, wenn und nur wenn es positive reelle Zahlen gibt C und D so dass für alle

Zum Beispiel wenn, wenn an dann[18]

Im Speziellen,

Das ist,
Wenn der Vektorraum ein endlich-dimensionales reales oder komplexes ist, sind alle Normen gleichwertig. Andererseits sind bei unendlich-dimensionalen Vektorräumen nicht alle Normen gleichwertig.

Äquivalente Normen definieren die gleichen Vorstellungen von Kontinuität und Konvergenz und müssen für viele Zwecke nicht unterschieden werden. Genauer gesagt, die einheitliche Struktur, die durch äquivalente Normen am Vektorraum definiert ist, ist genauer einheitlich isomorph.

Klassifizierung von Seminorms: absolut konvexe absorbierende Sets

Alle Seminorms auf einem Vektorraum kann in Bezug auf klassifiziert werden absolut konvex Absorbing Untergruppen A von Zu jeder solchen Untergruppe entspricht ein Seminorm pA genannt Messgerät von A, definiert als

wo 'inf' das ist Infimummit der Eigenschaft das
Umgekehrt:

Irgendein lokal konvexer topologischer Vektorraum hat ein Lokale Basis bestehend aus absolut konvexen Sätzen. Eine gemeinsame Methode, um eine solche Grundlage zu konstruieren, besteht darin, eine Familie zu verwenden (p) von Seminorms p das trennt Punkte: Die Sammlung aller endlichen Kreuzungen von Sets {p < 1/n} verwandelt den Raum in a lokal konvexer topologischer Vektorraum so dass jeder P ist kontinuierlich.

Eine solche Methode wird zum Entwerfen verwendet schwache und schwache* Topologien.

Normfall:

Nehmen wir jetzt an (das (p) enthält eine einzelne p: seit (p) ist Trennung, p ist eine Norm und ist seine offen Einheitsball. Dann A ist absolut konvex begrenzt Nachbarschaft von 0 und ist kontinuierlich.
Das Gegenteil ist auf Andrey Kolmogorov: Jeder lokal konvexe und lokal begrenzte topologische Vektorraum ist normierbar. Genau:
Wenn ist eine absolut konvex begrenzte Nachbarschaft von 0, die Anzeige (so dass ist eine Norm.

Siehe auch

Verweise

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  2. ^ "Pseudo -Norm - Enzyklopädie der Mathematik". Encyclopediaofmath.org. Abgerufen 2022-05-12.
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  4. ^ Hyers, D. H. (1939-09-01). "Pseudo-normierte lineare Räume und Abelsche Gruppen". Duke Mathematical Journal. 5 (3). doi:10.1215/s0012-7094-39-00551-x. ISSN 0012-7094.
  5. ^ Pugh, C.C. (2015). Echte mathematische Analyse. Springer. p.Seite 28. ISBN 978-3-319-17770-0. Prugovečki, E. (1981). Quantenmechanik im Hilbert -Raum. p.Seite 20.
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  10. ^ Chopra, Anil (2012). Dynamik der Strukturen, 4. Aufl.. Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-285803-8.
  11. ^ Weisstein, Eric W. "Norm". mathworld.wolfram.com. Abgerufen 2020-08-24.
  12. ^ Außer in wo es mit der euklidischen Norm zusammenfällt und wo es trivial ist.
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  14. ^ Lang, Serge (2002) [1993]. Algebra (Überarbeitet 3. Aufl.). New York: Springer Verlag. p. 284. ISBN 0-387-95385-x.
  15. ^ Trèves 2006, S. 242–243.
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  17. ^ Narici & Beckenstein 2011, S. 107–113.
  18. ^ "Beziehung zwischen P-Norms". Mathematik -Stack Exchange.

Literaturverzeichnis