Nicht standardmäßige Analyse

Gottfried Wilhelm Leibniz argumentierte, dass idealisierte Zahlen enthalten Infinitesimals vorgestellt werden.

Das Geschichte des Kalküls ist voller philosophischer Debatten über die Bedeutung und logische Gültigkeit von Flussmittel oder infinitesimal Zahlen. Die Standardmethode zur Lösung dieser Debatten besteht darin, die Operationen von Kalkül zu definieren. Epsilon -Delta Verfahren eher als Infinitesimals. Nicht standardmäßige Analyse[1][2][3] Umformuliert stattdessen den Kalkül mit einem logisch strengen Begriff von infinitesimal Zahlen.

Die nicht standardmäßige Analyse wurde in den frühen 1960er Jahren vom Mathematiker entstanden Abraham Robinson.[4][5] Er schrieb:

... die Idee von unendlich klein oder infinitesimal Mengen scheinen natürlich für unsere Intuition zu appellieren. In jedem Fall war die Verwendung von Infinitesimals in den formativen Stadien des Differential- und integralen Kalküls weit verbreitet. Was den Einwand angeht ... dass der Abstand zwischen zwei unterschiedlichen reellen Zahlen nicht unendlich klein sein kann, Gottfried Wilhelm Leibniz argumentierte, dass die Theorie der Infinitesimals die Einführung idealer Zahlen impliziert, die im Vergleich zu den realen Zahlen, aber die waren, unendlich klein oder unendlich groß sein könnten die gleichen Eigenschaften zu besitzen wie letztere.

Robinson argumentierte, dass dies Gesetz der Kontinuität von Leibniz ist ein Vorläufer der Übertragungsprinzip. Robinson fuhr fort:

Weder er noch seine Jünger und Nachfolger konnten jedoch eine rationale Entwicklung vor einem System dieser Art verleihen. Infolgedessen fiel die Theorie der Infinitesimale allmählich in Verruf und wurde schließlich durch die klassische Theorie der Grenzen ersetzt.[6]

Robinson fährt fort:

... Leibniz 'Ideen können vollständig bestätigt werden und ... sie führen zu einem neuartigen und fruchtbaren Ansatz für die klassische Analyse und zu vielen anderen Zweigen der Mathematik. Der Schlüssel zu unserer Methode ist durch die detaillierte Analyse der Beziehung zwischen mathematischen Sprachen und mathematischen Strukturen, die am Ende der Zeitgenosse liegen Modelltheorie.

1973,, Intuitionist Arend heyting Lobte die nicht standardmäßige Analyse als "Standardmodell wichtiger mathematischer Forschung".[7]

Einführung

Ein Element ungleich Null von a Bestellter Feld ist infinitesimal, wenn und nur wenn es ist absoluter Wert ist kleiner als jedes Element von der Form , zum eine Standardnummer. Bestellte Felder mit unendlichen Elementen werden ebenfalls genannt Nichtarchimedan. Allgemeiner nicht standardmäßig Analyse ist jede Form von Mathematik Nicht standardmäßige Modelle und die Übertragungsprinzip. Ein Feld, das das Transferprinzip für reale Zahlen erfüllt, ist a Hyperreales Feldund eine nicht standardmäßige reale Analyse verwendet diese Felder als Nicht standardmäßige Modelle der realen Zahlen.

Robinsons ursprünglicher Ansatz basierte auf diesen nicht standardmäßigen Modellen des realen Bereichs. Sein klassisches Grundbuch zu diesem Thema Nicht standardmäßige Analyse wurde 1966 veröffentlicht und ist immer noch gedruckt.[8] Auf Seite 88 schreibt Robinson:

Die Existenz von nicht standardmäßigen Arithmetikmodellen wurde von entdeckt Thoralf Skolem (1934). Skolems Methode advortiert die Ultrapower Konstruktion [...]

Es müssen mehrere technische Probleme angegangen werden, um einen Berechnungskalkül der Infinitesimals zu entwickeln. Zum Beispiel reicht es nicht aus, ein geordnetes Feld mit Infinitesimals zu konstruieren. Siehe den Artikel über Hyperreale Zahlen für eine Diskussion einiger der relevanten Ideen.

Grundlegende Definitionen

In diesem Abschnitt skizzieren wir einen der einfachsten Ansätze zur Definition eines hyperrealen Feldes . Lassen Sei das Feld realer Zahlen und lass sei der Seming natürlicher Zahlen. Bezeichnet durch Die Menge der Realzahlen. Ein Feld ist definiert als ein geeigneter Quotient von , folgendermaßen. Nehmen Sie ein nicht prinzipales Ultrafilter . Im Speziellen, enthält die Fréchet -Filter. Beachten Sie ein Paar Sequenzen

Wir sagen das und sind gleichwertig, wenn sie mit einer Reihe von Indizes übereinstimmen, die Mitglied des Ultrafilters oder in Formeln sind:

Der Quotient von Durch die resultierende Äquivalenzbeziehung ist ein hyperreales Feld , eine von der Formel zusammengefasste Situation .

Motivation

Es gibt mindestens drei Gründe, eine nicht standardmäßige Analyse zu berücksichtigen: historisch, pädagogisch und technisch.

Historisch

Ein Großteil der frühesten Entwicklung des infinitesimalen Kalküls durch Newton und Leibniz wurde unter Verwendung von Ausdrücken wie z. infinitesimale Zahl und Verschwandte. Wie in dem Artikel über erwähnt Hyperreale ZahlenDiese Formulierungen wurden weithin kritisiert von George Berkeley und andere. Die Herausforderung, eine konsistente und zufriedenstellende Analysetheorie unter Verwendung von Infinitesimalen zu entwickeln, wurde erstmals von Abraham Robinson begegnet.[6]

1958 Curt Schmieren und Detlef Laugwitz veröffentlichte einen Artikel "Einweitterung der InfinitesimalRegung" ".[9] ("Eine Ausdehnung des infinitesimalen Kalküls"), der eine Konstruktion eines Rings vorschlug, der Infinitesimals enthielt. Der Ring wurde aus Sequenzen realer Zahlen konstruiert. Zwei Sequenzen wurden als äquivalent angesehen, wenn sie sich nur in einer begrenzten Anzahl von Elementen unterschieden. Die arithmetischen Operationen wurden elementweise definiert. Der auf diese Weise konstruierte Ring enthält jedoch keine Divisoren und kann daher kein Feld sein.

Pädagogisch

H. Jerome Keisler, David Tallund andere Pädagogen behaupten, dass der Einsatz von Infinitesimals intuitiver und leichter von den Schülern erfasst wird als die "Epsilon -Delta" -Ansatz zu analytischen Konzepten.[10] Dieser Ansatz kann manchmal einfachere Ergebnisse für die Ergebnisse liefern als die entsprechende Epsilon -Delta -Formulierung des Beweises. Ein Großteil der Vereinfachung ergibt sich aus der Anwendung sehr einfacher Regeln der nicht standardmäßigen Arithmetik wie folgt:

infinitesimal × endlich = unendlichsimal
infinitesimal + infinitesimal = infinitesimal

zusammen mit dem nachstehend erwähnten Transferprinzip.

Eine weitere pädagogische Anwendung der nicht standardmäßigen Analyse ist Edward NelsonDie Behandlung der Theorie von stochastische Prozesse.[11]

Technisch

Einige neuere Arbeiten wurden in der Analyse unter Verwendung von Konzepten aus der nicht standardmäßigen Analyse durchgeführt, insbesondere bei der Untersuchung der begrenzten Prozesse der Statistik und der mathematischen Physik. Sergio Alarmeverio et al.[12] Besprechen Sie einige dieser Anwendungen.

Ansätze zur nicht standardmäßigen Analyse

Es gibt zwei verschiedene Ansätze für die nicht standardmäßige Analyse: die semantisch oder Modell-theoretischer Ansatz und der syntaktische Ansatz. Beide Ansätze gelten für andere Bereiche der Mathematik, die über die Analyse hinausgehen, einschließlich der Zahlentheorie, Algebra und Topologie.

Robinsons ursprüngliche Formulierung der nicht standardmäßigen Analyse fällt in die Kategorie der Kategorie Semantischer Ansatz. Wie von ihm in seinen Papieren entwickelt, basiert es auf dem Studium der Modelle (insbesondere auf gesättigte Modelle) von a Theorie. Seit Robinsons Arbeiten zum ersten Mal erschien, wurde ein einfacherer semantischer Ansatz (aufgrund von Elias Zakon) unter Verwendung von rein theoretischen Objekten entwickelt, die genannt wurden Überbauten. bei diesem Ansatz ein Modell einer Theorie wird durch ein Objekt namens a ersetzt Überbau V(S) über einen Satz S. Ausgehend von einem Aufbau V(S) Man konstruiert ein anderes Objekt *V(S) Verwendung der Ultrapower Konstruktion zusammen mit einer Kartierung V(S) → *V(S) das erfüllt das Übertragungsprinzip. Die Karte * bezieht formelle Eigenschaften von V(S) und *V(S). Darüber hinaus ist es möglich, eine einfachere Form der Sättigung zu berücksichtigen genannt zählbar Sättigung. Dieser vereinfachte Ansatz eignet sich auch eher für die Verwendung von Mathematikern, die keine Spezialisten für Modelltheorie oder Logik sind.

Das syntaktischer Ansatz erfordert viel weniger Logik und Modelltheorie, um zu verstehen und zu verwenden. Dieser Ansatz wurde Mitte der 1970er Jahre vom Mathematiker entwickelt Edward Nelson. Nelson führte eine vollständig axiomatische Formulierung der nicht standardmäßigen Analyse ein, die er nannte Interne Set -Theorie (Ist).[13] Ist eine Erweiterung von Zermelo -Fraenkel -Set -Theorie (ZF) In der neben der grundlegenden binären Mitgliedsrelation ∈ werden ein neues unäres Prädikat eingeführt Standard, die auf Elemente des mathematischen Universums zusammen mit einigen Axiomen zum Denken mit diesem neuen Prädikat angewendet werden können.

Die syntaktische nicht standardmäßige Analyse erfordert eine große Sorgfalt bei der Anwendung des Prinzips der festgelegten Bildung (formell als die bezeichnet Axiom des Verständnisses), was Mathematiker normalerweise für selbstverständlich halten. Wie Nelson betont, ist ein Irrtum in der Argumentation in iST der von illegale Set -Formation. Zum Beispiel gibt es in IST keinen Satz, dessen Elemente genau die Standardzahlen sind (hier hier Standard wird im Sinne des neuen Prädikats verstanden). Um eine illegale festgelegte Bildung zu vermeiden, muss man nur Prädikate von ZFC verwenden, um Teilmengen zu definieren.[13]

Ein weiteres Beispiel für den syntaktischen Ansatz ist der Alternative festgelegte Theorie[14] Vorgestellt von Petr vopěnkaVersuch, Set-Theory-Axiome zu finden, die mit der nicht standardmäßigen Analyse kompatibeler als die Axiome von ZF kompatibel sind.

Robinsons Buch

Abraham Robinsons Buch Nicht standardmäßige Analyse wurde 1966 veröffentlicht. Einige der in dem Buch entwickelten Themen waren bereits in seinem Artikel von 1961 in gleichem Titel (Robinson 1961) vorhanden.[15] Das Buch enthält nicht nur die erste vollständige Behandlung der nicht standardmäßigen Analyse, sondern enthält auch einen detaillierten historischen Abschnitt, in dem Robinson einige der erhaltenen Meinungen zur Geschichte der Mathematik auf der Grundlage der Wahrnehmung von Infinitesimalen vor der Nonstandsanalyse als inkonsistente Einheiten in Frage stellt. So fordert Robinson die Idee heraus, dass Augustin-Louis Cauchy's "Summensatz" in Kurse d'Alalyze In Bezug auf die Konvergenz einer Reihe kontinuierlicher Funktionen war falsch und schlägt eine infinitesimale Interpretation seiner Hypothese vor, die zu einem korrekten Satz führt.

Invariante Subspace -Problem

Abraham Robinson und Allen Bernstein verwendeten eine nicht standardmäßige Analyse, um zu beweisen, dass jedes polynomisch kompakte linearer Bediener auf einen Hilbert Raum hat an Invariante Unterraum.[16]

Einen Bediener gegeben T auf Hilbert Space HBetrachten Sie die Umlaufbahn eines Punktes v in H unter den Iteraten von T. Anwendung von Gram -Schmidt, die eine orthonormale Basis erhält (ei) zum H. Lassen (Hi) Seien Sie die entsprechende verschachtelte Sequenz von "Koordinaten" -Subräumen von H. Die Matrix aIch, j ausdrücken T in Gedenken an (ei) ist fast oberes Dreieck in dem Sinne, dass die Koeffizienten die Koeffizienten ai+1,i sind die einzigen sub-diagonalen Koeffizienten ungleich Null. Bernstein und Robinson zeigen das, wenn T ist polynomial kompakt, dann gibt es einen hyperfiniten Index w so dass der Matrixkoeffizient aw+1,w ist infinitesimal. Betrachten Sie als nächstes den Unterraum Hw von *H. Wenn y in Hw hat dann endliche Norm T(y) ist unendlich nahe bei Hw.

Nun lass Tw Sei der Bediener Einwirken auf Hw, wo Pw ist die orthogonale Projektion zu Hw. Bezeichnet durch q das Polynom so dass das q(T) ist kompakt. Der Unterraum Hw ist intern der hyperfiniten Dimension. Durch die Übertragung der oberen Triangularisierung von Operatoren mit endlich-dimensionalem komplexem Vektorraum gibt es eine interne orthonormale Hilbert-Raumbasis (ek) zum Hw wo k läuft von 1 zu w, so dass jeder der entsprechenden k-Dimensionale Unterteile Ek ist T-invariante. Bezeichnet durch Πk die Projektion auf den Unterraum Ek. Für einen Vektor ungleich Null x von endlicher Norm in Hman kann das annehmen q(T) (x) ist ungleich Null, oder |q(T) (x) | > 1 Ideen reparieren. Seit q(T) ist ein kompakter Operator, (q(Tw)) (x) ist unendlich nahe bei q(T) (x) Und deshalb hat man auch |q(Tw) (x) | > 1. Nun lass j Seien Sie der größte Index, so dass . Dann der Raum aller Standardelemente unendlich nahe da Ej ist der gewünschte invariante Unterraum.

Beim Lesen eines Vorabdrucks des Papiers Bernstein und Robinson,, Paul Halmos neu interpretierte ihren Beweis mit Standardtechniken.[17] Beide Zeitungen erschienen in derselben Ausgabe der Pacific Journal of Mathematics. Einige der Ideen, die in Halmos 'Beweis verwendet wurden, tauchten viele Jahre später in Halmos' eigener Arbeit an quasi-triangulären Operatoren wieder auf.

Andere Anwendungen

Andere Ergebnisse wurden entlang der Linie der Neuinterpretation oder Wiedergabe zuvor bekannter Ergebnisse empfangen. Von besonderem Interesse ist Teturo Kamaes Beweis[18] des Individueller ergodischer Theorem oder L. van Den trocknet und Alex WilkieBehandlung[19] von Gromovs Theorem über Gruppen des Polynomwachstums. Die nicht standardmäßige Analyse wurde von Larry Manevitz und verwendet Shmuel Weinberger ein Ergebnis in algebraischer Topologie zu beweisen.[20]

Die tatsächlichen Beiträge der nicht standardmäßigen Analyse liegen jedoch in den Konzepten und Theoremen, die die neue erweiterte Sprache der nicht standardmäßigen festgelegten Theorie verwenden. Unter der Liste der neuen Anwendungen in der Mathematik gibt es neue Wahrscheinlichkeitsansätze.[11] Hydrodynamik,[21] Theorie messen,[22] Nicht -glatt und harmonische Analyse,[23] usw.

Es gibt auch Anwendungen der nicht standardmäßigen Analyse auf die Theorie stochastischer Prozesse, insbesondere Konstruktionen von Brownsche Bewegung wie Zufällige Spaziergänge. Albeverio et al.[12] Haben Sie eine hervorragende Einführung in diesen Forschungsbereich.

Anwendungen auf Kalkül

Als Antrag auf Mathematische Ausbildung, H. Jerome Keisler schrieb Elementarkalkül: Ein infinitesimaler Ansatz.[10] Abdeckung Nicht standardmäßiger KalkülEs entwickelt unterschiedliche und integrale Kalkül unter Verwendung der Hyperrealzahlen, die infinitesimale Elemente enthalten. Diese Anwendungen der nicht standardmäßigen Analyse hängen von der Existenz des Standardteil von einem endlichen Hyperreal r. Der Standard Teil von r, bezeichnet ST (r), ist eine Standard -Realzahl unendlich nahe bei r. Eines der Visualisierungsgeräte, die Keisler verwendet, ist das eines imaginären Infinite-Magnification-Mikroskops, um Punkte unendlich nahe beieinander zu unterscheiden. Keislers Buch ist jetzt vergriffen, aber frei von seiner Website erhältlich. Siehe Referenzen unten.

Kritik

Trotz der Eleganz und Attraktivität einiger Aspekte der nicht standardmäßigen Analyse wurden auch Kritikpunkte geäußert, wie sie von denen von Errett Bishop, Alain Connes, und Paul Halmos, wie dokumentiert bei Kritik an der nicht standardmäßigen Analyse.

Logischer Rahmen

Bei jedem Satz S, das Überbau über einen Satz S ist das Set V(S) definiert durch die Bedingungen

So der Überbau über S wird durch Beginn von aus S und Iteration des Betrieb Leistungssatz von S und die Vereinigung der resultierenden Sequenz zu nehmen. Der Aufbau über die realen Zahlen enthält eine Fülle mathematischer Strukturen: Zum Beispiel enthält sie isomorph Kopien von allen trennbar Metrikräume und messbare topologische Vektorräume. Praktisch alle Mathematik, die ein Analyst interessiert V(R).

Die Arbeitsansicht der nicht standardmäßigen Analyse ist ein Satz *R und eine Zuordnung *: V(R) → V(*R) Das erfüllt einige zusätzliche Eigenschaften. Um diese Prinzipien zu formulieren, geben wir zunächst einige Definitionen an.

A Formel hat begrenzte Quantifizierung Wenn und nur wenn die einzigen Quantifizierer, die in der Formel auftreten, einen Bereich über Sets eingeschränkt haben, sind dies alle Form:

Zum Beispiel die Formel

hat die Quantifizierung begrenzt, die allgemein quantifiziert Variable x reicht vorbei A, das existenziell quantifiziert Variable y über der Poweret von reicht B. Auf der anderen Seite,

hat keine begrenzte Quantifizierung, weil die Quantifizierung von y ist uneingeschränkt.

Interne Sets

Ein Satz x ist intern dann und nur dann, wenn x ist ein Element von *A für ein Element A von V(R). *A selbst ist intern, wenn A gehört V(R).

Wir formulieren nun den grundlegenden logischen Rahmen der nicht standardmäßigen Analyse:

  • Verlängerungsprinzip: Die Zuordnung * ist die Identität auf R.
  • Übertragungsprinzip: Für jede Formel P(x1, ..., xn) mit begrenzter Quantifizierung und mit freien Variablen x1, ..., xnund für alle Elemente A1, ..., An von V(R)Die folgende Äquivalenz gilt:
  • Zählbare Sättigung: Wenn {Ak}kN ist eine abnehmende Folge nicht leerer interner Sätze mit k dann über die natürlichen Zahlen reicht, dann

Man kann mit Ultraprodukten zeigen, dass eine solche Karte * existiert. Elemente von V(R) werden genannt Standard. Elemente von *R werden genannt Hyperreale Zahlen.

Erste Konsequenzen

Das Symbol *N bezeichnet die nicht standardmäßigen natürlichen Zahlen. Nach dem Verlängerungsprinzip ist dies ein Supersatz von N. Der Satz *NN ist nicht leer. Um dies zu sehen, wenden Sie zählbar an Sättigung zur Abfolge der internen Sätze

Die Sequenz {An}nN hat eine nicht leere Kreuzung, die das Ergebnis beweist.

Wir beginnen mit einigen Definitionen: Hyperreals r, s sind unendlich nahe dann und nur dann, wenn

Ein Hyperreal r ist infinitesimal wenn und nur wenn es unendlich nahe 0 ist. Zum Beispiel, wenn n ist ein Hyperintier, d.h. ein Element von *NN, dann 1/n ist ein Infinitesimal. Ein Hyperreal r ist begrenzt (oder endlich) Wenn und nur wenn sein absoluter Wert von (weniger als) einer Standardgeist dominiert wird. Die begrenzten Hyperreals bilden einen Unterring von *R die Realität enthält. In diesem Ring sind die infinitesimalen Hyperreden eine Ideal.

Der Satz begrenzter Hyperreden oder der Satz infinitesimaler Hyperreden sind extern Untergruppen von V(*R); In der Praxis bedeutet dies, dass die begrenzte Quantifizierung, bei der die gebundene Bindung ein interner Satz ist, niemals über diese Sätze lag.

Beispiel: Das Flugzeug (x, y) mit x und y überschreiten *R ist intern und ein Modell der euklidischen Ebene der Ebene. Das Flugzeug mit x und y beschränkt auf begrenzte Werte (analog zur Dehn Flugzeug) ist extern, und in dieser begrenzten Ebene wird das parallele Postulat verletzt. Zum Beispiel jede Linie, die durch den Punkt verläuft (0, 1) auf der y-Axis und infinitesimale Neigung sind parallel zur x-Achse.

Satz. Für alle begrenzten Hyperreal r Es gibt einen einzigartigen Standard -Echtzug, der bezeichnet wird ST (r) unendlich nahe bei r. Die Zuordnung st ist ein Ring -Homomorphismus aus dem Ring von begrenzten Hyperreden auf R.

Die Mapping ST ist ebenfalls extern.

Eine Art zu denken an das Standardteil eines hyperrealen ist in Bezug auf Dedekind schneidet; Jeder begrenzte Hyperreal s definiert einen Schnitt, indem Sie das Setspaar berücksichtigen (L, U) wo L ist der Satz von Standardrationalen a weniger als s und U ist der Satz von Standardrationalen b größer als s. Die reelle Zahl entspricht (L, U) kann gesehen werden, um den Zustand zu erfüllen, der Standardteil von zu sein s.

Eine intuitive Charakterisierung der Kontinuität ist wie folgt:

Satz. Eine realbewertete Funktion f in der Pause [a, b] ist kontinuierlich, wenn und nur wenn für jedes Hyperreal x in der Pause *[a, b], wir haben: *f(x) ≅ *f(ST (ST (x)).

(sehen Mikrokontinuität für mehr Details). Ähnlich,

Satz. Eine realbewertete Funktion f ist zum tatsächlichen Wert differenzierbar x wenn und nur wenn für jede infinitesimale Hyperreale Zahl h, der Wert

existiert und ist unabhängig von h. In diesem Fall f'(x) ist eine reelle Zahl und ist die Ableitung von f bei x.

κ-Sättigung

Es ist möglich, die Sättigung zu "verbessern", indem Sie eine Überschneidung von höheren Kardinalität durchführen. Ein Modell ist κ-gesättigt Wenn, wann immer ist eine Sammlung interner Sets mit dem Finite Intersection -Eigenschaft und Anwesend

Dies ist zum Beispiel in einem topologischen Raum nützlich X, wo wir wollen | 2X|-Sättigung, um den Schnittpunkt eines Standards zu gewährleisten Nachbarschaftsbasis ist nicht leer.[24]

Für jeden Kardinal κ, a κ-Saturierte Erweiterung kann konstruiert werden.[25]

Siehe auch

Weitere Lektüre

Verweise

  1. ^ Nicht standardmäßige Analyse in der Praxis. Herausgegeben von Francine Diener, Marc Diener. Springer, 1995.
  2. ^ Nicht standardmäßige Analyse axiomatisch. Von V. Vladimir Grigorevich Kanovei, Michael Reeken. Springer, 2004.
  3. ^ Nicht standardmäßige Analyse für den arbeitenden Mathematiker. Bearbeitet von Peter A. Loeb, Manfred P. H. Wolff. Springer, 2000.
  4. ^ Nicht standardmäßige Analyse. Durch Abraham Robinson. Princeton University Press, 1974.
  5. ^ Abraham Robinson und nicht standardmäßige Analyse Archiviert 15. April 2014 bei der Wayback -Maschine: Geschichte, Philosophie und Grundlagen der Mathematik. Durch Joseph W. Dauben. www.mcps.umn.edu.
  6. ^ a b Robinson, A.: Nicht standardmäßige Analyse. North-Holland Publishing Co., Amsterdam 1966.
  7. ^ Heijting, A. (1973) "Ansprache an Professor A. Robinson. Anlässlich des Brouwer Memorial Lecture von Prof. A.Robinson am 26. April 1973." Nieuw Arch. Wisk. (3) 21, S. 134—137.
  8. ^ Robinson, Abraham (1996). Nicht standardmäßige Analyse (Überarbeitete Ausgabe). Princeton University Press. ISBN 0-691-04490-2.
  9. ^ Curt Schmieren und Detlef Laugwitz: Eine Erweiterung der Infinitesimal -Anradnung, Mathematische Zeitschrift 69 (1958), 1-39
  10. ^ a b H. Jerome Keisler, Elementarkalkül: Ein infinitesimaler Ansatz. Erstausgabe 1976; 2. Auflage 1986: Volltext der 2. Ausgabe
  11. ^ a b Edward Nelson: Radikal elementare Wahrscheinlichkeitstheorie, Princeton University Press, 1987, voller Text
  12. ^ a b Sergio Albarverio, Jans Erik Fenstad, Raphael Høegh-Krohn, Tom Lindstrøm: Nicht standardmäßige Methoden in der stochastischen Analyse und der mathematischen Physik, Academic Press 1986.
  13. ^ a b Edward Nelson: Interne Set -Theorie: Ein neuer Ansatz zur nicht standardmäßigen Analyse, Bulletin der American Mathematical Society, Vol. 83, Nummer 6, November 1977. Ein Kapitel über die interne festgelegte Theorie ist bei verfügbar http://www.math.princeton.edu/~nelson/books/1.pdf
  14. ^ Vopěnka, P. Mathematik in der alternativen Set -Theorie. Teubner, Leipzig, 1979.
  15. ^ Robinson, Abraham: 'Nicht standardmäßige Analyse', Kon. Nederl. Akad. WETENSCH. Amsterdam Proc. Am (= Indag. Math. 23), 1961, 432-440.
  16. ^ Allen Bernstein und Abraham Robinson, Lösung eines invarianten Subspace -Problems von K. T. Smith und P. R. Halmos, Pacific Journal of Mathematics 16: 3 (1966) 421-431
  17. ^ P. Halmos, Invariante Unterteile für polynomisch kompakte Operatoren, Pacific Journal of Mathematics, 16: 3 (1966) 433-437.
  18. ^ T. Kamamae: Ein einfacher Beweis des ergodischen Theorems unter Verwendung einer nicht standardmäßigen Analyse, Israel Journal of Mathematics vol. 42, Nummer 4, 1982.
  19. ^ L. van Den Dries und A. J. Wilkie: Gromovs Theorem über Gruppen von Polynomwachstum und Elementarlogik, Journal of Algebra, Band 89, 1984.
  20. ^ Manevitz, Larry M.; Weinberger, Shmuel: Diskrete Kreisaktionen: Ein Hinweis mit einer nicht standardmäßigen Analyse. Israel Journal of Mathematics 94 (1996), 147-155.
  21. ^ Capinski M., SchneidlandNJ. Nicht standardmäßige Methoden für die stochastische Flüssigkeitsmechanik. Singapur usw., World Scientific Publishers (1995)
  22. ^ Cutland N. Loeb Maßnahmen in der Praxis: jüngste Fortschritte. Berlin etc.: Springer (2001)
  23. ^ Gordon E. I.,, Kutateladze S. S.und Kusraev A. G. Infinitesimale Analyse Dordrecht, Kluwer Academic Publishers (2002)
  24. ^ Salbany, S.; Todorov, T. Nicht standardmäßige Analyse in der Point-Set-Topologie. Erwing Schrodinger Institute für mathematische Physik.
  25. ^ Chang, C. C.; Keisler, H. J. Modelltheorie. Dritte Edition. Studien zur Logik und der Grundlagen der Mathematik, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. XVI+650 PP. ISBN0-444-88054-2

Literaturverzeichnis

Externe Links