Netzwerksynthese

Netzwerksynthese ist eine Designtechnik für Lineare elektrische Schaltkreise. Die Synthese beginnt von einem vorgeschriebenen Impedanz Funktion der Frequenz oder Frequenzgang und bestimmt dann die möglichen Netzwerke, die die erforderliche Antwort erzeugen. Die Technik ist verglichen zu werden Netzwerkanalyse in der die Antwort (oder ein anderes Verhalten) eines bestimmten Schaltkreises berechnet wird. Vor der Netzwerksynthese war nur Netzwerkanalysen verfügbar, dies erfordert jedoch, dass man bereits weiß, welche Form der Schaltung analysiert werden soll. Es gibt keine Garantie dafür, dass die gewählte Schaltung die möglichst möglichst möglichst an die gewünschte Reaktion entspricht und dass die Schaltung die einfachste möglich ist. Die Netzwerksynthese befasst sich direkt mit diesen Problemen. Die Netzwerksynthese war in der Vergangenheit mit der Synthesiesiesie passiv Netzwerke, ist aber nicht auf solche Schaltungen beschränkt.

Das Feld wurde von gegründet von Wilhelm Cacher nach dem Lesen Ronald M. Foster1924 Papier Ein Reaktanzsatz. Fosters Theorem bot eine Methode des Synthesings LC -Schaltungen mit willkürlicher Anzahl von Elementen durch eine teilweise Bruchausdehnung der Impedanzfunktion. CAUER erweiterte die Methode von Foster zu Rc und RL -Schaltungen, fand neue Synthesemethoden und Methoden, die einen allgemeinen synthetisieren könnten RLC -Schaltung. Andere wichtige Fortschritte vorher Zweiter Weltkrieg sind zu verdanken Otto Brune und Sidney Darlington. In den 1940er Jahren Raoul Bott und Richard Duffin veröffentlichte eine Synthese -Technik, die im allgemeinen Fall keine Transformatoren erforderte (die Eliminierung hatte die Forscher seit einiger Zeit beunruhigend). In den 1950er Jahren wurden große Anstrengungen in die Frage gestellt, die Anzahl der in einer Synthese erforderlichen Elemente zu minimieren, jedoch nur mit begrenztem Erfolg. Bis in die 2000er Jahre wurde wenig vor Ort geschehen, als das Problem der Minimierung erneut zu einem aktiven Forschungsbereich wurde, aber ab 2018 immer noch ein ungelöstes Problem ist.

Eine primäre Anwendung der Netzwerksynthese ist das Design von Netzwerksynthesefilter Dies ist jedoch nicht die einzige Anwendung. Unter anderem sind Impedanzübereinstimmung Netzwerke, Zeitverzögerungsnetzwerke, Richtungskoppler, und Ausgleich. In den 2000er Jahren wurde die Netzwerksynthese sowohl auf mechanische als auch auf elektrische Systeme angewendet, insbesondere in Formel Eins Rennen.

Überblick

Bei der Netzwerksynthese geht es darum, ein elektrisches Netzwerk zu entwerfen, das sich auf eine vorgeschriebene Weise verhält, ohne dass die Netzwerkform vorhanden ist. Typischerweise an Impedanz muss mit passiven Komponenten synthetisiert werden. Das heißt ein Netzwerk, das besteht aus Widerstände (R), Induktivität (Land Kapazitäten (C). Solche Netzwerke haben immer eine Impedanz, bezeichnet ${\ displayStyle z (s)}$in Form von a rationale Funktion des Komplexe Frequenz Variable s. Das heißt, die Impedanz ist das Verhältnis von zwei Polynomen in s.^[1]

Es gibt drei breite Studienbereiche in der Netzwerksynthese. Approximieren Sie eine Anforderung mit einer rationalen Funktion, synthetisieren diese Funktion in ein Netzwerk und bestimmen die Äquivalente des synthetisierten Netzwerks.^[2]

Annäherung

Die idealisierte vorgeschriebene Funktion kann selten genau von Polynomen beschrieben werden. Es ist daher nicht möglich, ein Netzwerk zu synthetisieren, um es genau zu reproduzieren.^[3] Ein einfaches und häufiges Beispiel ist das Backstein-Wand-Filter. Dies ist die ideale Reaktion von a Tiefpassfilter aber es ist stückweise kontinuierlich Die Antwort ist aufgrund der Diskontinuitäten unmöglich mit Polynomen zu repräsentieren. Um diese Schwierigkeit zu überwinden, wird festgestellt Approximationstheorie.^[4] Je näher die Näherung näher ist, desto höher ist der Grad des Polynoms und desto mehr Elemente sind im Netzwerk erforderlich.^[5]

Zu diesem Zweck werden in der Netzwerksynthese viele Polynome und Funktionen verwendet. Die Wahl hängt davon ab, welche Parameter der vorgeschriebenen Funktion der Designer optimieren möchte.^[6] Einer der frühesten verwendeten war Butterworth -Polynome das führt zu a Maximal flach Antwort im Passband.^[7] Eine gemeinsame Wahl ist die Chebyshev -Annäherung in dem der Designer angibt, wie viel die Passband -Reaktion vom Ideal im Austausch für Verbesserungen in anderen Parametern abweichen kann.^[8] Andere Annäherungen sind zur Optimierung der Zeitverzögerung verfügbar. Impedanzübereinstimmung, Abrollenund viele andere Anforderungen.^[9]

Realisierung

Bei einer rationalen Funktion muss normalerweise festgestellt werden, ob die Funktion als diskretes passives Netzwerk realisierbar ist. Alle diese Netzwerke werden durch eine rationale Funktion beschrieben, aber nicht alle rationalen Funktionen sind als diskretes passives Netzwerk realisierbar.^[10] In der Vergangenheit befasste sich die Netzwerksynthese ausschließlich mit solchen Netzwerken. Moderne aktive Komponenten haben diese Einschränkung in vielen Anwendungen weniger relevant gemacht.^[11] aber am höheren Funkfrequenzen Passive Netzwerke sind immer noch die Technologie der Wahl.^[12] Da ist ein Einfache Eigenschaft von rationalen Funktionen, die vorhersagen, ob die Funktion als passives Netzwerk realisierbar ist. Sobald festgestellt wird, dass eine Funktion realisierbar ist, gibt es eine Reihe von Algorithmen, die ein Netzwerk daraus synthetisieren.^[13]

Gleichwertigkeit

Eine Netzwerkrealisierung aus einer rationalen Funktion ist nicht einzigartig. Die gleiche Funktion kann viele äquivalente Netzwerke realisieren. Es ist bekannt, dass Affine -Transformationen der Impedanzmatrix in Netzanalyse eines Netzwerks sind alle Impedanzmatrizen äquivalenter Netzwerke (weitere Informationen bei Analogfilter § Realisierbarkeit und Äquivalenz).^[14] Sonstiges Impedanztransformationen sind bekannt, aber ob es weiter gibt Äquivalenzklassen Es bleibt eine offene Frage.^[15]

Ein Hauptforschungsbereich in der Netzwerksynthese bestand darin, die Erkenntnis zu finden, die die Mindestzahl von Elementen verwendet. Diese Frage wurde für den allgemeinen Fall nicht vollständig gelöst.^[16] Für viele Netzwerke mit praktischen Anwendungen stehen jedoch Lösungen zur Verfügung.^[17]

Geschichte

Das Gebiet der Netzwerksynthese wurde von deutschem Mathematiker und Wissenschaftler gegründet Wilhelm Cacher (1900–1945). Der erste Hinweis auf eine Theorie kam vom amerikanischen Mathematiker Ronald M. Foster (1896–1998), als er veröffentlichte Ein Reaktanzsatz 1924 erkannte Cacher sofort die Bedeutung dieser Arbeit und machte sich auf die Verallgemeinerung und Erweiterung. Seine Diplomarbeit im Jahr 1926 ging auf "die Verwirklichung von Impedanzen einer vorgeschalteten Frequenzabhängigkeit" und ist der Beginn des Feldes. Die detailliertesten Arbeit von Cauler wurde während Zweiter Weltkrieg, aber er wurde kurz vor dem Ende des Krieges getötet. Seine Arbeiten konnten während des Krieges nicht weit verbreitet werden, und erst 1958 sammelte seine Familie seine Papiere und veröffentlichte sie für die breitere Welt. In den Vereinigten Staaten wurden Fortschritte auf der Grundlage der Veröffentlichungen vor dem Krieg und dem Material des Kauers gemacht, das während des Krieges festgehalten wurde.^[18]

Englischer autodidaktischer Mathematiker und Wissenschaftler Oliver Heaviside (1850–1925) war der erste, der zeigte, dass die Impedanz eines RLC -Netzwerks immer eine rationale Funktion eines Frequenzbetreibers war, aber keine Methode zur Realisierung eines Netzwerks aus einer rationalen Funktion darstellte.^[19] Cauler fand eine notwendige Bedingung, dass eine rationale Funktion als passives Netzwerk realisierbar ist. südafrikanisch Otto Brune (1901–1982) prägten später den Begriff Positive reale Funktion (PRF) für diesen Zustand. CAUER postulierte, dass PRF a war notwendig und ausreichend Zustand, konnte es aber nicht beweisen und schlug es Brune als Forschungsprojekt vor, der sein war Student in den Vereinigten Staaten zu dieser Zeit.^[20] Brune veröffentlichte den fehlenden Beweis in seinem 1931 Doktorarbeit.^[21]

Die Erkenntnis von Foster beschränkte sich auf LC -Netzwerke und lag in einer von zwei Formen. Entweder eine Reihe von Serien LC -Schaltungen Parallel dazu oder eine Reihe paralleler LC -Schaltungen in Reihe. Fosters Methode bestand darin, sich zu erweitern ${\ displayStyle z (s)}$ hinein Partialbrüche. Cauler zeigte, dass die Methode von Foster auf RL- und RC -Netzwerke erweitert werden könnte. Cacher fand auch eine andere Methode; expandieren ${\ displayStyle z (s)}$ Als ein Fortsetzung Bruch das führt zu a Leiternetzwerkwieder in zwei möglichen Formen.^[22] Im Allgemeinen wird ein PRF ein RLC -Netzwerk darstellen. Bei allen drei Arten von Elementen ist die Erkenntnis schwieriger. Sowohl CAUER als auch Brune verwendet Ideale Transformatoren in ihren Erkenntnissen von RLC -Netzwerken. Transformatoren einbeziehen zu müssen, ist in einer praktischen Implementierung einer Schaltung unerwünscht.^[23]

1949 wurde 1949 eine Verwirklichungsmethode zur Verfügung gestellt Raoul Bott (1923–2005) und amerikanischer Physiker Richard Duffin (1909–1996).^[24] Die Methode Bott und Duffin bietet eine Erweiterung durch wiederholte Anwendung von Richards 'Satz, ein Ergebnis von 1947 aufgrund des amerikanischen Physikers und des angewandten Mathematikers Paul I. Richards (1923–1978).^[25] Die resultierenden Bott-Duffin-Netzwerke haben nur begrenzte praktische Verwendung (zumindest für rationale Funktionale von hoher Grad) Da die Anzahl der erforderlichen Komponenten exponentiell mit dem Grad wächst.^[26] Eine Reihe von Variationen der ursprünglichen Bott-Duffin-Methode reduziert die Anzahl der Elemente in jedem Abschnitt von sechs auf fünf, aber immer noch mit exponentiell wachsenden Gesamtzahlen.^[27] Zu den Zeitungen, die dies erzielen, gehören Pantell (1954), Reza (1954), Storer (1954) und Fialkow & Gest (1955).^[28] Seit 2010 gab es keinen weiteren signifikanten Fortschritt bei der synthetisierenden rationalen Funktionen.^[29]

1939 der amerikanische Elektroingenieur Sidney Darlington zeigten, dass jeder PRF als realisiert werden kann Zwei-Port-Netzwerk bestehend nur aus L- und C -Elementen und terminiert an seiner Ausgabe mit a Widerstand. Das heißt, in jedem Netzwerk ist nur ein Widerstand erforderlich, wobei die verbleibenden Komponenten verlustlos sind. Der Satz wurde unabhängig von Cauer und Giovanni Cocci entdeckt.^[30] Das Konsequenzproblem, um eine Synthese von PRFs unter Verwendung von R- und C -Elementen mit nur einem Induktor zu finden, ist ein ungelöstes Problem in der Netzwerktheorie.^[31] Ein weiteres ungelöstes Problem ist, einen Beweis für Darlingtons Vermutung (1955) zu finden, dass jedes RC-2-Port mit einem gemeinsamen Terminal als Serien-Parallel-Netzwerk realisiert werden kann.^[32] Eine wichtige Überlegung in praktischen Netzwerken besteht darin, die Anzahl der Komponenten, insbesondere die Wundkomponenten - Induktoren und Transformatoren - zu minimieren. Trotz großer Anstrengungen in die Minimierung,^[33] Es wurde noch nie eine allgemeine Theorie der Minimierung entdeckt, wie sie für die Boolesche Algebra digitaler Schaltungen.^[34]

CAUER verwendet Elliptische rationale Funktionen Annäherungen an ideale Filter produzieren.^[35] Ein Sonderfall elliptischer rationaler Funktionen ist die Chebyshev -Polynome wegen Pafnuty Chebyshev (1821–1894) und ist ein wichtiger Teil von Approximationstheorie.^[36] Chebyshev -Polynome werden häufig zum Entwerfen von Filtern verwendet. 1930 britischer Physiker Stephen Butterworth (1885–1958) entworfen die Butterworth -Filter, auch als maximal flacher Filter bezeichnet, verwendet Butterworth -Polynome.^[37] Butterworths Arbeit war völlig unabhängig vom Kauer, aber später wurde festgestellt, dass die Butterworth -Polynome ein begrenzter Fall der Chebyshev -Polynome waren.^[38] Noch früher (1929) und erneut unabhängig, amerikanischer Ingenieur und Wissenschaftler Edward Lawry Norton (1898–1983) entwarf eine maximal flache mechanischer Filter mit einer Reaktion, die vollständig zum elektrischen Filter von Butterworth analog ist.^[39]

In den 2000er Jahren wurde das Interesse an der Weiterentwicklung der Netzwerksynthesetheorie einen Schub gegeben, als die Theorie auf große mechanische Systeme angewendet wurde.^[40] Das ungelöste Problem der Minimierung ist aufgrund der Größe und der Kosten von Komponenten im mechanischen Bereich viel wichtiger als die Elektrik.^[41] Im Jahr 2017 beschränkten sich Forscher der University of Cambridge auf die Betrachtung Biquadratische rationale Funktionen, stellte fest, dass Bottle-Duffin-Realisierungen solcher Funktionen für alle Serien-Parallel-Netzwerke und die meisten willkürlichen Netzwerke die Mindestanzahl von Reaktanzen hatten (Hughes, 2017). Sie fanden dieses Ergebnis überraschend, da zeigte, dass die Bott-Duffin-Methode nicht ganz so nicht minimal war wie bisher angenommen.^[42] Diese Forschung konzentrierte sich teilweise auf die Überprüfung der Ladenheim -Katalog. Dies ist eine Aufzählung aller unterschiedlichen RLC -Netzwerke mit nicht mehr als zwei Reaktanzen und drei Widerständen. Edward Ladenheim führte diese Arbeit 1948 durch, während sie ein Student von Foster. Die Relevanz des Katalogs ist, dass alle diese Netzwerke durch biquadratische Funktionen realisiert werden.^[43]

Anwendungen

Die am weitesten verbreitete Anwendung der Netzwerksynthese ist im Design von Signalverarbeitungsfilter. Die modernen Entwürfe solcher Filter sind fast immer eine Form von Netzwerksynthesefilter.^[44]

Eine andere Anwendung ist das Design von Impedanzübereinstimmung Netzwerke. Die Impedanzübereinstimmung mit einer einzigen Frequenz erfordert nur ein triviales Netzwerk - normalerweise eine Komponente. Die Impedanzübereinstimmung über ein breites Band erfordert jedoch ein komplexeres Netzwerk, selbst wenn die Quell- und Lastwiderstände nicht mit der Frequenz variieren. Dies mit passiven Elementen und ohne den Einsatz von Transformatoren führt zu einem filterähnlichen Design. Außerdem, wenn die Last kein reines ist Widerstand Dann ist es nur möglich, eine perfekte Übereinstimmung mit einer Reihe diskreter Frequenzen zu erreichen. Das Match über die Bande insgesamt muss angenähert werden.^[45] Der Designer schreibt zuerst das Frequenzband vor, über das das passende Netzwerk betrieben werden soll, und entwirft dann a Bandpassfilter Für diese Band. Der einzige wesentliche Unterschied zwischen einem Standardfilter und einem übereinstimmenden Netzwerk besteht darin, dass die Quell- und Lastimpedanzen nicht gleich sind.^[46]

Es gibt Unterschiede zwischen Filtern und passenden Netzwerken, in denen Parameter wichtig sind. Wenn das Netzwerk nicht eine doppelte Funktion hat, ist der Designer nicht allzu besorgt über das Verhalten des Impedance -Matching -Netzwerks außerhalb der Passband. Es spielt keine Rolle, ob die Übergangsband ist nicht sehr eng oder dass die Stoppband hat arm Dämpfung. In der Tat versuchen Sie, die zu verbessern Bandbreite Über das, was streng notwendig ist, beeinträchtigt die Genauigkeit der Impedanzübereinstimmung. Mit einer bestimmten Anzahl von Elementen im Netzwerk verbessert die Verengung der Designbandbreite die Übereinstimmung und umgekehrt. Die Einschränkungen der Impedanz -Matching -Netzwerke wurden erstmals vom amerikanischen Ingenieur und Wissenschaftler untersucht Hendrik Wade Bode 1945, und das Prinzip, dass sie notwendigerweise filterartig sein müssen, wurde vom italienisch-amerikanischen Informatiker festgelegt Robert Fano 1950.^[47] Ein Parameter im Passband, der normalerweise für Filter eingestellt ist Einfügungsverlust. Für die Impedanz -Matching -Netzwerke kann ein besseres Übereinstimmung erhalten werden, indem auch ein Mindestverlust festgelegt wird. Das heißt, der Gewinn steigt zu keinem Zeitpunkt auf die Einheit.^[48]

Zeitverzögerungsnetzwerke können von der Netzwerksynthese mit filterähnlichen Strukturen entwickelt werden. Es ist nicht möglich, ein Verzögerungsnetzwerk zu entwerfen, das in einem Band bei allen Frequenzen konstant verzögert wird. Eine Annäherung an dieses Verhalten muss auf eine vorgeschriebene Bandbreite beschränkt werden. Die vorgeschriebene Verzögerung tritt höchstens bei einer begrenzten Anzahl von Punktfrequenzen auf. Das Bessel -Filter hat maximal flach zeitverzögert.^[49]

Die Anwendung der Netzwerksynthese ist nicht auf die elektrische Domäne beschränkt. Es kann auf Systeme in jeder Energiedomäne angewendet werden, die als Netzwerk linearer Komponenten dargestellt werden kann. Insbesondere hat die Netzwerksynthese Anwendungen in gefunden mechanische Netzwerke im mechanischen Bereich. Berücksichtigung der mechanischen Netzwerksynthese -LED Malcolm C. Smith Um ein neues mechanisches Netzwerkelement vorzuschlagen, die Interter, was analog zum elektrischen Kondensator ist.^[50] Mechanische Komponenten mit der Intanzeigenschaft haben eine Anwendung in den Suspensionen von gefunden Formel Eins Rennautos.^[51]

Synthesetechniken

Die Synthese beginnt mit der Auswahl einer Approximationstechnik, die a liefert rationale Funktion Approximieren Sie die erforderliche Funktion des Netzwerks. Wenn die Funktion mit passiven Komponenten implementiert werden soll, muss die Funktion auch die Bedingungen von a erfüllen Positive reale Funktion (PRF).^[52] Die verwendete Synthese -Technik hängt zum Teil davon ab, welche Form des Netzwerks gewünscht wird, und teilweise, wie viele Arten von Elementen im Netzwerk benötigt werden. Ein Ein-Elemente-Netzwerk ist ein trivialer Fall, der auf eine Impedanz eines einzelnen Elements reduziert wird. Ein Zwei-Elemente-Netzwerk (LC, RC oder RL) kann mit einer Pflege- oder Cauer-Synthese synthetisiert werden. Ein Drei-Elemente-Netzwerk (ein RLC-Netzwerk) erfordert eine fortgeschrittenere Behandlung wie die Brune- oder Bott-Duffin-Synthese.^[53]

Was und wie viele Arten von Elementen erforderlich sind Stangen und Nullen (gemeinsam als kritische Frequenzen bezeichnet) der Funktion.^[54] Die Anforderung an die kritischen Frequenzen ist für jede Art von Netzwerk in den relevanten Abschnitten unten angegeben.

Foster -Synthese

Die Synthese von Foster in ihrer ursprünglichen Form kann nur auf LC -Netzwerke angewendet werden. Ein PRF repräsentiert ein LC-Netzwerk mit zwei Elementen, wenn die kritischen Frequenzen von ${\ displayStyle z (s)}$ Alle existieren auf dem ${\ displayStyle i \ Omega}$ Achse der komplexen Ebene von ${\ displayStyle s = \ sigma +i \ omega}$ (das s-Flugzeug) und wechselt zwischen Stangen und Nullen. Es muss eine einzige kritische Frequenz am Ursprung und im Unendlichen geben, der Rest muss in der konjugierte Paare. ${\ displayStyle z (s)}$ Muss das Verhältnis eines geraden und seltsamen Polynoms sein und ihre Abschlüsse müssen sich um genau um einen unterscheiden. Diese Anforderungen sind eine Folge von Fosters Reaktanzsatz.^[55]

Foster ich behe

Fosters erste Form (Foster i form) synthetisiert ${\ displayStyle z (s)}$ als eine Reihe paralleler LC -Schaltungen in Reihe. Zum Beispiel,

${\ displayStyle z (s) = {\ frac {9s^{5}+30s^{3}+24s} {18s^{4}+36S^{2} +8}}}$

kann in teilweise Brüche als, erweitert werden

${\ displayStyle z (s) = {s \ über 2}+{\ frac {(25+11 {\ sqrt {5}}) 2} +20}}+{\ frac {(25-11 {\ sqrt {5}}) s} {5 (9-3 {\ sqrt {5}}) {s \ über 2}+{\ frac {2.48s} {3.93s^{2} +1}}+{\ frac {0.020s} {0,573S^{2} +1}}}}}}$

Der erste Term repräsentiert einen Serien -Induktor, eine Folge von ${\ displayStyle z (s)}$ einen Pol im Unendlichen haben. Wenn es eine Stange am Ursprung hätte, würde dies einen Serienkondensator darstellen. Die verbleibenden zwei Begriffe repräsentieren jeweils konjugierte Pole von Polen auf der ${\ displayStyle i \ Omega}$ Achse. Jeder dieser Begriffe kann als paralleler LC -Schaltung durch Vergleich mit dem Impedanzausdruck für eine solche Schaltung synthetisiert werden.^[56]

${\ displayStyle z_ {lc} (s) = {\ frac {ls} {lcs^{2} +1}}}$

Die resultierende Schaltung ist in der Abbildung dargestellt.

Foster II -Form

Foster II -Formsynthetisierung ${\ displayStyle z (s)}$ als eine Reihe von Serien -LC -Schaltungen parallel. Die gleiche Methode zur Erweiterung in teilweise Fraktionen wird wie bei Foster I -Form verwendet, aber auf die angewendet Zulassung, ${\ displayStyle y (s)}$, Anstatt von ${\ displayStyle z (s)}$. Verwenden des gleichen Beispiels PRF wie zuvor,

$oder }}}$

In teilweisen Brüchen erweitert,

${\ displayStyle y (s) \ simeq {1 \ über 3S}+{\ frac {2.498s} {0.6346S^{2} +1}}+{\ frac {1.415s} {0,4719s^{2}+++++ 1}}}$

Der erste Begriff ist ein Shunt -Induktor, eine Folge von ${\ displayStyle y (s)}$ einen Pol am Ursprung haben (oder gleichwertig, ${\ displayStyle z (s)}$ hat eine Null am Ursprung). Wenn es im Unendlichkeit einen Pol gehabt hätte, würde dies einen Shunt -Kondensator darstellen. Die verbleibenden zwei Begriffe repräsentieren jeweils konjugierte Pole von Polen auf der ${\ displayStyle i \ Omega}$ Achse. Jeder dieser Begriffe kann im Vergleich zum Zulassungsausdruck für eine solche Schaltung als Serien -LC -Schaltung synthetisiert werden.^[57]

${\ displayStyle y_ {lc} (s) = {\ frac {cs} {lcs^{2} +1}}}$

Die resultierende Schaltung ist in der Abbildung dargestellt.

Erweiterung an RC- oder RL -Netzwerke

Die Pflege-Synthese kann auf ein beliebiges Netzwerk mit zwei Elementen erweitert werden. Zum Beispiel wird die teilweisen Fraktionsbedingungen eines RC -Netzwerks in Foster I -Form jeweils ein R- und C -Element parallel darstellen. In diesem Fall werden die Teilbrüche von der Form sein,^[58]

${\ displayStyle z_ {rc} (s) = {\ frac {r} {rcs+1}}}$

Andere Formen und Elementarten folgen durch Analogie. Wie bei einem LC -Netzwerk kann der PRF getestet werden, um festzustellen, ob es sich um ein RC- oder RL -Netzwerk handelt, indem die kritischen Frequenzen untersucht werden. Die kritischen Frequenzen müssen alle auf der negativen realen Achse liegen und zwischen Polen und Nullen abwechseln, und es muss jeweils gleiche Anzahl geben. Wenn die kritische Frequenz am nächsten oder bei der Ursprung ein Pol ist, ist der PRF ein RC -Netzwerk, wenn er a darstellt ${\ displayStyle z (s)}$oder es ist ein RL -Netzwerk, wenn es a darstellt ${\ displayStyle y (s)}$. Umgekehrt, wenn die kritische Frequenz am nächsten oder bei dem Ursprung eine Null ist. Diese Erweiterungen der Theorie gelten auch für die nachstehend beschriebenen Kaugerformen.^[59]

Unmundheit

In der obigen Pflegesynthese ist die Ausdehnung der Funktion sowohl in der Foster I -Form als auch in der Foster II -Form das gleiche Verfahren. Es ist bequem, insbesondere in theoretischen Arbeiten, sie als zusammen zu behandeln Unmundheit eher als separat als Impedanz oder als Zulassung. Es ist nur notwendig zu erklären, ob die Funktion eine Impedanz oder eine Zulassung an dem Punkt darstellt, an dem eine tatsächliche Schaltung realisiert werden muss. Unmondance kann auch auf die gleiche Weise mit den Formen der Cauer I und der CAUER II und anderen Verfahren verwendet werden.^[60]

CAUER -Synthese

Die CAUER -Synthese ist eine alternative Synthese zur Foster -Synthese, und die Bedingungen, die ein PRF begegnen muss, entsprechen genau der Foster -Synthese. Wie bei der Foster -Synthese gibt es zwei Formen der Cauer -Synthese, und beide können auf RC- und RL -Netzwerke erweitert werden.

CAUER I BROOM

Der Kauger, den ich bildet, erweitert sich ${\ displayStyle z (s)}$ in ein Fortsetzung Bruch. Verwenden des gleichen Beispiels wie für die Foster I -Form,

${\ displayStyle z (s) = 0,5s+{\ cfrac {1} {1.5s+{\ cfrac {1} {2s+{\ cfrac {1 {1,5s+{\ cfrac {1 {0,5s}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {1} {} ° C) jedoch jedoch jedoch. }}}}$

oder in kompakteren Notation,

${\ displayStyle z (s) = [0,5s; 1,5s, 2s, 1,5s, 0,5s].}$

Die Bedingungen dieser Expansion können direkt als Komponentenwerte eines Leiternetzwerks implementiert werden, wie in der Abbildung gezeigt.^[61] Der gegebene PRF kann einen Nenner haben, der einen größeren Grad hat als der Zähler. In solchen Fällen die multiplikativer Inverse der Funktion wird stattdessen erweitert. Das heißt, wenn die Funktion darstellt ${\ displayStyle z (s)}$, dann ${\ displayStyle y (s)}$ wird stattdessen erweitert und umgekehrt.^[62]

CAUER II Form

Die Form des CAUER II erweitert sich ${\ displayStyle z (s)}$ Genauso wie bei Cacher bildet ich, außer dass der niedrigste Gradbegriff zuerst in der fortgesetzten Fraktionsausdehnung und nicht in den höchsten Gradbegriffe extrahiert wird, wie es in CAUER I BORM TATE ERGEBNISET.^[63] Das Beispiel für die Form von CAUER I und die Pflegeformen, wenn sie als CAUER II -Form erweitert wird, führt zu einigen Elementen mit negativen Werten.^[64] Dieser besondere PRF kann daher nicht in passiven Komponenten als CAUER II -Form ohne die Aufnahme von Transformatoren oder als Cacher II realisiert werden gegenseitige Induktivität.^[65]

Der wesentliche Grund, warum das Beispiel ${\ displayStyle z (s)}$ Kann nicht als Cacher II -Form realisiert werden, ist, dass diese Form a hat Hochpass Topologie. Das erste in der fortgesetzte Fraktion extrahierte Element ist ein Serienkondensator. Dies macht es für die Null von unmöglich ${\ displayStyle z (s)}$ am Ursprung zu realisieren. Der Kauger, den ich bildet, hat dagegen eine Tiefpass Topologie und natürlich eine Null am Ursprung.^[66] Allerdings die ${\ displayStyle y (s)}$ dieser Funktion kann als CAUER II -Form realisiert werden, da das erste extrahierte Element ein Shunt -Induktor ist. Dies gibt eine Pole am Ursprung für ${\ displayStyle y (s)}$aber das bedeutet die notwendige Null am Ursprung für ${\ displayStyle z (s)}$. Die fortgesetzte Bruchausdehnung ist,

$oder$

und das realisierte Netzwerk ist in der Abbildung dargestellt.

Brunensynthese

Die Brune-Synthese kann jeden willkürlichen PRF synthetisieren, sodass im Allgemeinen ein 3-Elemente-Netzwerk (d. H. RLC) Netzwerk führt. Die Stangen und Nullen können überall in der linken Hälfte der komplexen Ebene liegen.^[67] Die Brunenmethode beginnt mit einigen vorläufigen Schritten, um kritische Frequenzen auf der imaginären Achse wie in der Pflegemethode zu beseitigen. Diese vorläufigen Schritte werden manchmal als als genannt Präambel fördern.^[68] Es gibt dann einen Zyklus von Schritten, um a zu produzieren Kaskade von Brunenabschnitten.^[69]

Entfernung kritischer Frequenzen auf der imaginären Achse

Stangen und Nullen auf der ${\ displayStyle J \ Omega}$ Die Achse repräsentieren L- und C -Elemente, die aus dem PRF extrahiert werden können. Speziell,

• Ein Pol am Ursprung ist ein Serienkondensator
• Ein Pol bei Infinity repräsentiert eine Serieninduktivität
• Eine Null am Ursprung repräsentiert einen Shunt -Induktor
• Eine Null im Unendlichkeit ist ein Shunt -Kondensator
• ein Paar Stangen bei ${\ displayStyle s = \ pm i \ Omega _ {c}}$ repräsentiert einen parallelen LC -Schaltkreis der Resonanzfrequenz ${\ displayStyle \ Omega _ {c}}$ in Serie
• ein Paar Nullen bei ${\ displayStyle s = \ pm i \ Omega _ {c}}$ repräsentiert eine Serie LC -Schaltung der Resonanzfrequenz ${\ displayStyle \ Omega _ {c}}$ in Shunt

Nach diesen Extraktionen hat der Rest PRF keine kritischen Frequenzen auf der imaginären Achse und ist als a bekannt Minimum Reaktanz, Minimum Anfälligkeit Funktion. Die richtige Brunensynthese beginnt mit einer solchen Funktion.^[70]

Großer Umriss der Methode

Die Essenz der Brunenmethode besteht darin, ein konjugiertes Paar Nullen auf der zu erstellen ${\ displayStyle i \ Omega}$ Achse durch Extrahieren der realen und imaginären Teile der Funktion mit dieser Frequenz und dann das Nullenpaar als Resonanzkreis extrahieren. Dies ist der erste Brunenabschnitt des synthetisierten Netzwerks. Der resultierende Rest ist eine weitere Mindestreaktanzfunktion, die zwei Grad niedriger ist. Der Zyklus wird dann wiederholt, wobei jeder Zyklus einen weiteren Brunenabschnitt des endgültigen Netzwerks erzeugt, bis nur ein konstanter Wert (ein Widerstand) bleibt.^[71] Die Brunensynthese ist kanonisch, dh die Anzahl der Elemente im endgültigen synthetisierten Netzwerk entspricht der Anzahl der willkürlichen Koeffizienten in der Impedanzfunktion. Die Anzahl der Elemente in der synthetisierten Schaltung kann daher nicht weiter reduziert werden.^[72]

Entfernung des Mindestwiderstands

Eine minimale Reaktanzfunktion hat einen minimalen realen Teil. ${\ displayStyle r _ {\ text {min}}}$in gewisser Frequenz ${\ displayStyle \ Omega _ {0}}$. Dieser Widerstand kann aus der Funktion extrahiert werden, die einen Rest eines anderen PRF bezeichnet und a Minimale positive Realfunktion, oder nur Mindestfunktion.^[73] Zum Beispiel die Mindestreaktanzfunktion

${\ displayStyle z (s) = {\ frac {3s^{2}+3s+6} {2s^{2}+s+2}}}$

hat ${\ displayStyle \ Omega _ {\ text {min}} = {\ sqrt {2}}}$ und ${\ displayStyle r _ {\ text {min}} = 1}$. Die minimale Funktion, ${\ displayStyle z_ {1} (s)}}$, ist deshalb,

$oder }}$

Entfernung einer negativen Induktivität oder Kapazität

Seit ${\ displayStyle z_ {1} (i \ omega _ {0})}$ hat keinen wirklichen Teil, wir können schreiben,

${\ displayStyle z_ {1} (i \ omega _ {0}) = ix \.}$

Für die Beispielfunktion,

${\ displayStyle z_ {1} (i \ omega _ {0}) =-i {\ sqrt {2}} = ix \.}$

In diesem Fall, ${\ displayStyle x}$ ist negativ und wir interpretieren es als Reaktanz eines negativen Induktors, ${\ displayStyle l_ {1}}$. Daher,

${\ displayStyle ix = i \ Omega _ {0} l_ {1}}$ und

${\ displayStyle l_ {1} =-1}$

Nach dem Ersetzen der Werte von ${\ displayStyle \ Omega _ {0}}$ und ${\ displayStyle ix}$. Diese Induktivität wird dann aus extrahiert ${\ displayStyle z_ {1} (s)}}$einen anderen PRF verlassen, ${\ displayStyle z_ {2} (s)}}$Anwesend

$oder +s+2}} \.}$^[74]

Der Grund, einen negativen Wert zu extrahieren ${\ displayStyle -sl_ {1}}$ ist ein PRF, was es nicht wäre, wenn ${\ displayStyle l_ {1}}$ waren positiv. Dies garantiert das ${\ displayStyle z_ {2} (s)}}$ wird auch PRF sein (weil die Summe von zwei PRFs auch PRF ist).^[75] Für Fälle, in denen ${\ displayStyle x}$ ist ein positiver Wert, die Zulassungsfunktion wird stattdessen verwendet und eine negative Kapazität extrahiert.^[76] Wie diese negativen Werte implementiert werden, wird in einem späteren Abschnitt erläutert.

Entfernen eines konjugierten Nullenpaares

Sowohl die realen als auch die imaginären Teile von ${\ displayStyle z (i \ Omega _ {0})}$ wurden in früheren Schritten entfernt. Dies hinterlässt ein Paar Nullen in ${\ displayStyle z_ {2} (s)}}$ bei ${\ displayStyle \ PM i \ Omega _ {0}}$ wie durch Faktorisierung der Beispielfunktion gezeigt;^[77]

$oder ^{2} +2) (2s+2)} {2s^{2}+s+2}} \.}$

Da ein solches Paar Nullen einen Shunt -Resonanzkreis darstellt, extrahieren wir ihn als ein Paar Polen aus der Zulassungsfunktion.

$oder 2} +2) (2S+2)}} \\ & = {1 \ Over {2s+2}}+{\ frac {s/2} {S^{2} +2}} \\ & = y_ {3} (s)+{\ frac {s/2} {s^{2} +2}} \\\ end {ausgerichtet}}}$

Der Term rechts ist der extrahierte Resonanzkreis mit ${\ displayStyle l_ {2} = 2}$ und ${\ displayStyle c_ {2} = 1/4}$.^[78] Das bisher synthetisierte Netzwerk ist in der Abbildung dargestellt.

Entfernung einer Pole im Unendlichen

${\ displayStyle z_ {3} (s)}}$ Muss eine Pole im Unendlichen haben, da dort durch die Extraktion einer negativen Induktivität erzeugt wurde. Dieser Pol kann jetzt als positive Induktivität extrahiert werden.^[79]

${\ displayStyle z_ {3} (s) = {1 \ over y_ {3} (s)} = 2s+2 = z_ {4} (s)+2s.}$

Daher ${\ displayStyle l_ {3} = 2}$ Wie in der Abbildung gezeigt.

Ersetzen negativer Induktivität durch einen Transformator

Die negative Induktivität kann nicht direkt mit passiven Komponenten implementiert werden. Das "T -Shirt" der Induktoren kann jedoch sein in sich gegenseitig gekoppelte Induktoren umgewandelt die die negative Induktivität absorbiert.^[80] Mit einer Kopplungskoeffizient der Einheit (eng gekoppelt) die gegenseitige Induktivität, ${\ displayStyle m}$Im Beispiel ist der Fall 2.0.

Spülen und wiederholen

Im Algemeinen, ${\ displayStyle z_ {4} (s)}}$ wird eine weitere Mindestreaktanzfunktion sein und der Brunenzyklus wird dann wiederholt, um einen anderen Brunenabschnitt zu extrahieren^[81] In dem Beispielfall war der ursprüngliche PRF von Grad 2, so dass nach der Reduzierung von zwei Grad nur ein konstanter Term übrig bleibt, der trivial als Widerstand synthetisiert wird.

Positiv X

In Schritt zwei des Zyklus wurde erwähnt, dass ein negativer Elementwert extrahiert werden muss, um einen PRF -Rest zu gewährleisten. Wenn ${\ displayStyle x}$ ist positiv, das extrahierte Element muss ein Shunt -Kondensator anstelle eines Serieninduktors sein, wenn das Element negativ sein soll. Es wird aus der Zulassung extrahiert ${\ displayStyle y_ {1} (s)}}$ statt der Impedanz ${\ displayStyle z_ {1} (s)}}$. Die Kreislauftopologie kam in Schritt vier des Zyklus ein a Π (pi) von Kondensatoren plus einem Induktor anstelle eines Tee von Induktoren sowie einem Kondensator. Es kann gezeigt werden, dass dieses π von Kondensatoren plus Induktor eine äquivalente Schaltung des Tee von Induktoren sowie Kondensator ist. Somit ist es zulässig, eine positive Induktivität zu extrahieren und dann wie der ${\ displayStyle z_ {2} (s)}}$ waren PRF, obwohl dies nicht der Fall ist. Das korrekte Ergebnis wird weiterhin erreicht und die Restfunktion wird PRF sein und kann also in den nächsten Zyklus eingespeist werden.^[82]

Bott-Duffin-Synthese

Die Bott-Duffin-Synthese beginnt wie bei der Brune-Synthese, indem alle Stangen und Nullen auf dem entfernt werden ${\ displayStyle i \ Omega}$ Achse. Dann Richards 'Satz wird angerufen, was sagt, für,

${\ displayStyle r (s) = {\ frac {kz (s) -sz (k)} {kz (k) -sz (s)}}}$

wenn ${\ displayStyle z (s)}$ ist dann ein PRF ${\ displayStyle r (s)}$ ist ein PRF für alle realen, positiven Werte von ${\ displayStyle K}$.^[83]

Herstellung ${\ displayStyle z (s)}$ das Thema des Ausdrucks führt dazu,^[84]

$oder \ links ({\ frac {1} {z (k) r (s)}}+{\ frac {s} {kz (k)}} \ rechts)^{-1}}$

Ein Beispiel für einen Zyklus der Bott-Duffin-Synthese ist in den Abbildungen gezeigt. Die vier Begriffe in diesem Ausdruck sind jeweils ein PRF (${\ displayStyle z_ {2} (s)}}$ im Diagramm) eine Induktivität, ${\ displayStyle l}$parallel dazu ein weiterer PRF (${\ displayStyle z_ {1} (s)}}$ im Diagramm) und eine Kapazität, ${\ displayStyle c}$parallel dazu. Ein Paar kritischer Frequenzen auf der ${\ displayStyle i \ Omega}$ Die Achse wird dann aus jedem der beiden neuen PRFs (Details, die hier nicht angegeben) als Resonanzkreis realisiert werden. Die beiden Reste PRFs (${\ displayStyle y_ {3} (s)}}$ und ${\ displayStyle z_ {4} (s)}}$ im Diagramm) sind jeweils zwei Grad niedriger als ${\ displayStyle z (s)}$.^[85] Das gleiche Verfahren wird dann wiederholt auf die neuen PRFs angewendet, die generiert werden, bis nur ein einzelnes Element bestehen bleibt.^[86] Da die Anzahl der PRFs mit jedem Zyklus verdoppelt wurde, wird die Anzahl der synthetisierten Elemente exponentiell wachsen. Obwohl die Bott-Duffin-Methode die Verwendung von Transformatoren vermeidet und auf jeden Ausdruck angewendet werden kann, der als passives Netzwerk realisiert wird, hat sie aufgrund der erforderlichen hohen Komponentenzahl nur begrenzt praktisch verwendet.^[87]

Bayard -Synthese

Bayard -Synthese ist a Zustandsraum Synthesemethode basierend auf der Gauß -Faktorisierungsverfahren. Diese Methode gibt eine Synthese unter Verwendung der minimalen Anzahl von Widerständen zurück und enthält nein Gyratoren. Die Methode ist jedoch nicht kanonisch und wird im Allgemeinen eine nicht-minimale Anzahl von Reaktanzelementen zurückgeben.^[88]

Darlington Synthese

Darlington -Synthese beginnt von einer anderen Perspektive als die bisher diskutierten Techniken, die alle von einer vorgeschriebenen rationalen Funktion beginnen und sie als als erkennen Ein-Port Impedanz. Die Darlington -Synthese beginnt mit einer vorgeschriebenen rationalen Funktion, die die gewünschte Übertragungsfunktion von a Zwei-Port-Netzwerk. Darlington zeigte, dass jeder PRF als Zwei-Port-Netzwerk mit nur L- und C-Elementen mit einem einzelnen Widerstand realisiert werden kann, der den Ausgangsanschluss endet.^[89] Die Darlington und die verwandten Methoden werden als die genannt Einfügungsverlustmethode.^[90] Die Methode kann auf Multi-Port-Netzwerke erweitert werden, wobei jeder Port mit einem einzelnen Widerstand gekündigt wird.^[91]

Die Darlington -Methode erfordert im Allgemeinen Transformatoren oder gekoppelte Induktoren. Die meisten häufigsten Filtertypen können jedoch ohne diese unerwünschten Merkmale mit der Darlington -Methode konstruiert werden.^[92]

Aktive und digitale Realisierungen

Wenn die Anforderung, nur passive Elemente zu verwenden, aufgehoben wird, kann die Erkenntnis stark vereinfacht werden. Verstärker können verwendet werden Puffer Die Teile des Netzwerks voneinander, damit sie nicht interagieren.^[93] Jede gepufferte Zelle kann direkt ein Paar Polen der rationalen Funktion realisieren. Es ist dann keine iterative Expansion der Funktion erforderlich. Das erste Beispiel dieser Art von Synthese ist auf Stephen Butterworth 1930.^[94] Das Butterworth -Filter Er produzierte zu einem Klassiker des Filterdesigns, wurde jedoch häufiger mit rein passiver als mit aktiven Komponenten implementiert. Allgemein anwendbare Designs dieser Art umfassen die Sallen -Key -Topologie Aufgrund von R. P. Sallen und E. L. Key im Jahr 1955 bei MIT Lincoln Laboratory, und die Biquadratischer Filter.^[95] Wie der Darlington-Ansatz beginnen Butterworth und Sallen-Key eher mit einer vorgeschriebenen Übertragungsfunktion als mit einer Impedanz. Ein wesentlicher praktischer Vorteil der aktiven Implementierung besteht darin, dass die Verwendung von Wundkomponenten (Transformatoren und Induktoren) insgesamt vermieden werden kann.^[96] Diese sind aus Produktionsgründen unerwünscht.^[97] Ein weiteres Merkmal von aktiven Designs ist, dass sie nicht auf PRFs beschränkt sind.^[98]

Digitale Realisierungen wie aktive Schaltkreise sind nicht auf PRFs beschränkt und können jede rationale Funktion einfach durch Programmieren implementieren. Die Funktion ist jedoch möglicherweise nicht stabil. Das heißt, es kann zu führen Schwingung. PRFs sind garantiert stabil, andere Funktionen sind jedoch möglicherweise nicht. Die Stabilität einer rationalen Funktion kann bestimmt werden, indem die Pole und Nullen der Funktion untersucht und die Anwendung der Anwendung Nyquist -Stabilitätskriterium.^[99]

Verweise

Literaturverzeichnis

Quellen

• Aatre, Vasudev K., Netzwerktheorie und Filterdesign, New Age International, 1986 ISBN0852260148.
• Anderson, Brian D. O.; Vongpanitlerd, Sumeth, Netzwerkanalyse und Synthese: Ein Ansatz der modernen Systemtheorie, Courier Corporation, 2013 ISBN0486152170.
• Awang, Zaiki, Konstruktion von Mikrowellensystemen, Springer, 2013 ISBN9789814451246.
• Bakshi, U.A.; Bakshi, A. V., Schaltungsanalyse - II, Technische Veröffentlichungen, 2009 ISBN9788184315974.
• Bakshi, U.A.; Chitode, J.S.,, Lineare Systemanalyse, Technische Veröffentlichungen, 2009 ISBN8184317409.
• Belevitch, Vitold, "Zusammenfassung der Geschichte der Schaltungstheorie", Verfahren des Zorns, vol. 50, ISS. 5, S. 848–855, Mai 1962.
• Carlin, Herbert J.; Civalleri, Pier Paolo, Breitbandschaltungsdesign, CRC Press, 1997 ISBN9780849378973.
• CAUER, Emil; Mathis, Wolfgang; Pauli, Rainer, "Leben und Werk von Wilhelm Cauer (1900 - 1945)", Verfahren des vierzehnten Internationalen Symposiums der mathematischen Theorie von Netzwerken und Systemen (MTNS2000), Perpignan, Juni 2000.
• Chao, Alan; Athans, Michael, "Stabilität Robustheit gegenüber unstrukturierter Unsicherheit für lineare Zeitinvarianten", Kap. 30 in, Levine, William S., Das Steuerhandbuch, CRC Press, 1996 ISBN0849385709.
• Chen, Michael Z.Q.; Hu, Yinlong, Inerter und ihre Anwendung in Vibrationssteuerungssystemen, Springer, 2019 ISBN981107089x.
• Chen, Michael Z.Q.; Smith, Malcolm C., "Elektrische und mechanische passive Netzwerksynthese", S. 35–50 in, Blondel, Vincent D.; Boyd, Stephen P.; Kimuru, Hidenori (Hrsg.), Jüngste Fortschritte beim Lernen und Kontrolle, Springer, 2008 ISBN9781848001541.
• Comer, David J.; Comer, Donald T., Erweiterte elektronische Schaltung Design, Wiley, 2003 ISBN0471228281.
• Darlington, Sidney "Eine Geschichte der Netzwerksynthese und Filtertheorie für Schaltungen aus Widerständen, Induktoren und Kondensatoren", IEEE -Transaktionen: Schaltungen und Systeme, vol. 31, S. 3–13, 1984.
• Ghosh, S. P., Chakroborty, A.K., Netzwerkanalyse und Synthese, Tata McGraw Hill, 2010 ISBN9781259081422.
• Glisson, Tildon H., Einführung in die Schaltungsanalyse und zum Entwurf, Springer, 2011 ISBN ISBN9048194431.
• Houpis, Konstantin H.; Lubeltel, Jerzy, Pulsschaltungen, Simon und Schuster, 1970 OCLC 637996615.
• Hubbard, John H., "Die Bott-Duffin-Synthese von elektrischen Schaltungen", S. 33–40 in, Kotiuga, P. Robert (Hrsg.), Eine Feier des mathematischen Erbes von Raoul Bott, American Mathematical Society, 2010 ISBN9780821883815.
• Hughes, Timothy H.; Morelli, Alessandro; Smith, Malcolm C., "Synthese für elektrische Netzwerke: Eine Übersicht über die jüngsten Arbeiten", S. 281–293 in, Tempo, R.; Yurkovich, S.; Misra, P. (Hrsg.), Aufkommende Anwendungen der Kontroll- und Systemtheorie, Springer, 2018 ISBN9783319670676.
• Kalman, Rudolf, "Alte und neue Richtungen der Forschung in der Systemtheorie", S. 3–13 in Willems, Jan; Hara, Shinji; Ohta, Yoshito; Fujioka, Hisaya (Hrsg.), Perspektiven in der mathematischen Systemtheorie, Kontrolle und Signalverarbeitung, Springer, 2010 ISBN9783540939177.
• Lee, Thomas H., Planare Mikrowellen -Engineering, Cambridge University Press, 2004 ISBN0521835267.
• Mattthaei, George L.; Jung, Leo; Jones, E.M.T., Mikrowellenfilter, Impedanzanpassungsnetzwerke und Kopplungsstrukturen, McGraw-Hill 1964 Lccn 64-7937.
• Genevalmann, Larry D.,, Design und Analyse von analogen Filtern, Springer Science & Business Media, 2001 ISBN0792373731.
• Robertson, Ean; Somjit, Nutapong; Chongcheawchamnan Mitchai, Mikrowellen- und Millimeter-Wellen-Design für drahtlose Kommunikation, John Wiley & Sons, 2016 ISBN1118917219.
• Shenoi, Belle A., Größen- und Verzögerungsnäherung von 1-D- und 2-D-digitalen Filtern, Springer, 2012 ISBN3642585736.
• Sisodia, M. L.; Gupta, Vijay Laxmi, Mikrowellen: Einführung in Schaltungen, Geräte und Antennen, New Age International, 2007 ISBN8122413382.
• Storer, James Edward, Passive Netzwerksynthese, McGraw-Hill, 1957 OCLC 435995425.
• Swanson, David C., Signalverarbeitung für intelligente Sensorsysteme mit MATLAB, CRC Press, 2012 ISBN1420043056.
• Vaisband, Inna P.; Jakushokas, Renatas, Popovich, Mikhail; Mezhiba, Andrey V.; Köse, Selçuk; Friedman Eby G., On-Chip-Stromversorgung und -verwaltung, Springer, 2016 ISBN3319293958.
• Wanhammar, Lars, Analogfilter mit MATLAB, Springer, 2009 ISBN0387927670.
• Youla, Dante C., Theorie und Synthese von linearen passiven zeitinvarianten Netzwerken, Cambridge University Press, 2015 ISBN1107122864.
• Flügel, Omar, Theorie der klassischen Schaltung, Springer, 2008 ISBN0387097406.

Hauptdokumente

• Bott, Raoul; Duffin, Richard, "Impedanzsynthese ohne Verwendung von Transformatoren", Journal of Applied Physics, vol. 20, ISS. 8, p. 816, August 1949.
• Bode, Hendrik, Netzwerkanalyse und Feedback -Verstärkerdesign, S. 360–371, D. van Nostrand Company, 1945 OCLC 1078811368.
• Brune, Otto, "Synthese eines endlichen Zwei-terminalen Netzwerks, dessen Antriebspunktimpedanz eine vorgeschriebene Funktion der Frequenz ist", MIT Journal of Mathematics and Physics, vol. 10, S. 191–236, April 1931.
• Butterworth, Stephen, "Über die Theorie der Filterverstärker", Experimentelles Wireless und der Wireless Engineer, vol. 7, nein. 85, S. 536–541, Oktober 1930.
• CAUER, WILHELM, "Die Verwirklichung der Wechselstromwiderstände Vorersschriebener Frequenzabhängigeit" (die Realisierung von Impedanzen der vorgeschriebenen Frequenzabhängigkeit), Archiv für Elektrorotechnik, vol. 17, S. 355–388, 1926 (auf Deutsch).
• CAUER, WILHELM, "VIERPOLE MIT VORGECHRIEBENEM D ̈AMPFungs-Verhalten", Telegraphen-, Fernprech-, Funk-und Fern-Seehtechnik, vol. 29, S. 185–192, 228–235. 1940 (auf Deutsch).
• Cocci, Giovanni, "Relpresentazione di Bipoli qualsiasi con quadripoli di reines Reattanz Chiussi Su Widerstand", Alta -Frequenza, vol. 9, S. 685–698, 1940 (auf Italienisch).
• Darlington, Sidney, "Synthese von Reaktanz-4-Polen, die vorgeschriebene Merkmale des Insertionsverlusts erzeugen: einschließlich spezieller Anwendungen für das Filterdesign", MIT Journal of Mathematics and Physics, vol. 18, S. 257–353, April 1939.
• Fano, Robert, "Theoretische Einschränkungen für die Breitbandanpassung willkürlicher Impedanzen", Zeitschrift des Franklin Institute, vol. 249, ISS. 1, S. 57–83, Januar 1950.
• Fialko, Aaron; Gerst, Irving, "Impedanzsynthese ohne gegenseitige Kopplung", Vierteljährlich angewandte Mathematik, vol. 12, Nr. 4, S. 420–422, 1955
• Hughes, Timothy H., "Warum RLC -Realisierungen bestimmter Impedanzen viel mehr Energiespeicherelemente benötigen als erwartet", IEEE -Transaktionen zur automatischen Steuerung, vol. 62, ISS 9, S. 4333-4346, September 2017.
• Hughes, Timothy H., "Passivität und elektrische Schaltungen: Ein Verhaltensansatz", Ifac-papersonline, vol. 50, ISS. 1, S. 15500–15505, Juli 2017.
• Ladenheim, Edward L., Eine Synthese biquadratischer Impedanzen, Masterarbeit, Polytechnic Institute of Brooklyn, New York, 1948.
• Pantell, R.H.,, "Eine neue Methode zur Impedanz -Synthese der Antriebspunkte", Verfahren des Zorns, vol. 42, ISS. 5, p. 861, 1954.
• Reza, F.M., "Ein Brückenäquivalent für einen Brunenzyklus, der in einem Widerstand endet", Verfahren des Zorns, vol. 42, ISS. 8, p. 1321, 1954.
• Richards, Paul I. I., "Eine besondere Klasse von Funktionen mit positivem realem Teil in einer halben Ebene", Duke Mathematical Journal, vol. 14, nein. 3, 777–786, 1947.
• Sallen, R.P.; Schlüssel, E.L, "Eine praktische Methode zum Entwerfen von RC -aktiven Filtern", IRE -Transaktionen zur Schaltungstheorie, vol. 2, ISS. 1 S. 74–85, März 1955.
• Smith, Malcolm C., "Synthese mechanischer Netzwerke: Die Interter", IEEE -Transaktionen zur automatischen Steuerung, vol. 47, ISS. 10, S. 1648–1662, Oktober 2002.
• Storer, J.E.,, "Beziehung zwischen der Synthese von Bott-Duffin und Pantell Impedanz", Verfahren des Zorns, vol. 42, ISS. 9, p. 1451, September 1954.