Netzwerkanalyse (elektrische Schaltungen)

Linear Netzwerkanalyse
Elemente
Komponenten
Serien- und Parallelschaltungen
Impedanz transformiert
Generator Theorems	Netzwerk Theoreme
Netzwerkanalysemethoden
Zwei-Port-Parameter

Ein Netzwerk im Kontext von Elektrotechnik und Elektronik, ist eine Sammlung von miteinander verbundenen Komponenten. Netzwerkanalyse Ist der Prozess, die Spannungen über alle Netzwerkkomponenten zu finden. Es gibt viele Techniken zur Berechnung dieser Werte. Zum größten Teil nehmen die Techniken jedoch an linear Komponenten. Außer wenn angegeben, sind die in diesem Artikel beschriebenen Methoden nur für anwendbar linear Netzwerkanalyse.

Definitionen

Komponente	Ein Gerät mit zwei oder mehr Terminals in welches oder aus welchem, der Strom fließen kann.
Knoten	Ein Punkt, an dem Terminals mehr als zwei Komponenten verbunden sind. Ein Leiter mit einem wesentlichen Nullwiderstand wird zum Zwecke der Analyse als Knoten angesehen.
Zweig	Die Komponenten verbinden zwei Knoten.
Gittergewebe	Eine Gruppe von Zweigen innerhalb eines Netzwerks hat sich angeschlossen, um eine vollständige Schleife so zu bilden, dass sich keine andere Schleife darin befindet.
Hafen	Zwei Terminals, in denen der Strom in einen mit dem Strom identisch ist.
Schaltkreis	Ein Strom aus einem Terminal von a Generatordurch Lastkomponenten und zurück in das andere Terminal. Eine Schaltung ist in diesem Sinne ein Ein-Port-Netzwerk und ist ein trivialer Fall zu analysieren. Wenn es eine Verbindung zu anderen Schaltungen gibt, wurde ein nicht triviales Netzwerk gebildet und mindestens zwei Ports müssen vorhanden sein. Oft werden "Schaltkreis" und "Netzwerk" austauschbar verwendet, aber viele Analysten reservieren "Netzwerk", um ein idealisiertes Modell zu bedeuten, das aus idealen Komponenten besteht.[1]
Übertragungsfunktion	Die Beziehung der Ströme und/oder Spannungen zwischen zwei Ports. Meistens werden ein Eingangsanschluss und ein Ausgangsport diskutiert und die Übertragungsfunktion als Gewinn oder Dämpfung beschrieben.
Komponentenübertragungsfunktion	Für eine Zwei-terminale Komponente (d. H. Ein-Port-Komponente) werden der Strom und die Spannung als Eingang und Ausgabe angenommen, und die Übertragungsfunktion hat Impedanz- oder Zulassungseinheiten (es ist normalerweise eine Frage der willkürlichen Bequemlichkeit, unabhängig davon, ob Spannung oder Strom ist in Betracht gezogen). Eine drei (oder mehr) Endkomponente hat effektiv zwei (oder mehr) Ports, und die Übertragungsfunktion kann nicht als einzelne Impedanz ausgedrückt werden. Der übliche Ansatz besteht darin, die Übertragungsfunktion als eine Matrix von Parametern auszudrücken. Diese Parameter können Impedanzen sein, aber es gibt eine große Anzahl anderer Ansätze (siehe Zwei-Port-Netzwerk).

Äquivalente Schaltungen

Ein nützliches Verfahren in der Netzwerkanalyse besteht darin, das Netzwerk zu vereinfachen, indem die Anzahl der Komponenten reduziert wird. Dies kann durch Ersetzen physikalischer Komponenten durch andere fiktive Komponenten erfolgen, die den gleichen Effekt haben. Eine bestimmte Technik kann die Anzahl der Komponenten direkt reduzieren, beispielsweise durch die Kombination von Impedanzen in Reihe. Andererseits kann es lediglich die Form in eine in eine, in der die Komponenten in einem späteren Betrieb reduziert werden können, nur ändern. Beispielsweise kann man einen Spannungsgenerator mit dem Theorem von Norton in einen Stromgenerator verwandeln, um später den internen Widerstand des Generators mit einer parallelen Impedanzlast kombinieren zu können.

A Widerstandskreis ist eine Schaltung, die nur enthält Widerstände, ideal Aktuelle Quellenund ideal Spannungsquellen. Wenn die Quellen konstant sind (DC) Quellen, das Ergebnis ist a Gleichstromkreis. Die Analyse einer Schaltung besteht aus der Lösung der in der Schaltung vorhandenen Spannungen und Ströme. Die hier beschriebenen Lösungsprinzipien gelten auch für Phasor Analyse von AC -Schaltungen.

Zwei Schaltungen sollen sein Äquivalent in Bezug auf ein Paar Terminals, wenn die Stromspannung über die Terminals und aktuell Durch die Terminals für ein Netzwerk haben die gleiche Beziehung wie die Spannung und den Strom an den Terminals des anderen Netzwerks.

Wenn ${\ displayStyle v_ {2} = v_ {1}}$ impliziert ${\ displayStyle i_ {2} = i_ {1}}$ für alle (realen) Werte von ${\ displayStyle v_ {1}}$In Bezug auf die Klemmen AB und XY sind Schaltkreis 1 und Schaltung 2 gleichwertig.

Das obige ist eine ausreichende Definition für a Ein-Port Netzwerk. Für mehr als einen Port muss definiert werden, dass die Ströme und Spannungen zwischen allen passenden Ports die gleiche Beziehung tragen müssen. Zum Beispiel sind Star- und Delta -Netzwerke effektiv drei Portnetzwerke und benötigen daher drei gleichzeitige Gleichungen, um ihre Äquivalenz vollständig anzugeben.

Serienimpedanzen und parallel

Einige zwei terminale Impedanzen können schließlich durch aufeinanderfolgende Anwendungen von Impedanzen in Reihe oder paralleler Impedanz auf eine einzige Impedanz reduziert werden.

Impedanzen in Serie: ${\ displayStyle z _ {\ mathrm {eq}} = z_ {1}+z_ {2}+\, \ cdots \,+z_ {n}.}$

Impedanzen in parallel: ${\ displayStyle {\ frac {1} {z _ {\ mathrm {eq}}}} = {\ frac {1} {z_ {1}}}}+{\ frac {1 {z_ {2}}}}}}+\ \ \ cdots \,+{\ frac {1} {z_ {n}}}.}$

Die oben genannten vereinfacht nur zwei parallele Impedanzen: $oder$

Delta-Wye-Transformation

Ein Netzwerk von Impedanzen mit mehr als zwei Terminals kann nicht auf eine einzelne Impedanz -Äquivalentschaltung reduziert werden. Ein N-terminales Netzwerk kann bestenfalls auf reduziert werden n Impedanzen (im schlimmsten Fall ⁿC₂). Für ein Drei -Terminal -Netzwerk können die drei Impedanzen als Dreiknoten -Delta (δ) -Netzwerk oder vier Knotenstern (Y) -Netzwerk ausgedrückt werden. Diese beiden Netzwerke sind gleichwertig und die Transformationen zwischen ihnen sind nachstehend angegeben. Ein allgemeines Netzwerk mit einer willkürlichen Anzahl von Knoten kann nicht auf die minimale Anzahl von Impedanzen reduziert werden, die nur Serien und parallele Kombinationen unter Verwendung von Impedanzen. Im Allgemeinen müssen auch y-Δ- und Δ-Y-Transformationen verwendet werden. Für einige Netzwerke die Erweiterung von y-Δ an Sternpolygon Transformationen können auch erforderlich sein.

Für die Äquivalenz müssen die Impedanzen zwischen allen Klemmenpaaren für beide Netzwerke gleich sein, was zu einem Satz von drei gleichzeitigen Gleichungen führt. Die folgenden Gleichungen werden als Widerstände ausgedrückt, gelten jedoch gleichermaßen für den allgemeinen Fall mit Impedanzen.

Delta-to-Stern-Transformationsgleichungen

$oder \ mathrm {bc}}}}}}$

$oder \ mathrm {bc}}}}}}$

$oder \ mathrm {bc}}}}}}$

Stern-to-Delta-Transformationsgleichungen

$oder }$

$oder }$

$oder }$

Allgemeine Form der Netzwerkknoten -Eliminierung

Die Stern-to-Delta- und Serienresistor-Transformationen sind spezielle Fälle des Allgorithmus zur Eliminierung des allgemeinen Widerstandsnetzwerks. Jeder Knoten, der durch verbunden ist durch ${\ displayStyle n}$ Widerstände (${\ displayStyle r_ {1}}$ .. ${\ displayStyle r_ {n}}$) zu Knoten 1 .. N kann durch ersetzt werden durch ${\ displayStyle {n \ wählen Sie 2}}$ Widerstände, die die verbleibenden Verknüpfung zusammenhängen ${\ displayStyle n}$ Knoten. Der Widerstand zwischen zwei beliebigen Knoten ${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle y}$ wird gegeben durch:

$oder$

Für einen Stern zu Delta (${\ displayStyle n = 3}$) Dies reduziert sich auf:

$oder +oder B} r_ {c})} {r_ {a} r_ {b} r_ {c}}} = {\ frac {r_ {a} r_ {b}+r_ {b} r_ {c}+r_ {c} R_ {a}} {r_ {c}}}}$

Für eine Serienreduzierung (${\ displayStyle n = 2}$) Dies reduziert sich auf:

$oder ) = {\ frac {r_ {a} r_ {b} (r_ {a}+r_ {b})} {r_ {a} r_ {b}}} = r_ {a}+r_ {b}}}$

Für einen baumelnden Widerstand (${\ displayStyle n = 1}$) es führt zur Beseitigung des Widerstands, weil ${\ displayStyle {1 \ wählen Sie 2} = 0}$.

Quelltransformation

Ein Generator mit einer internen Impedanz (d. H. Nicht-idealer Generator) kann entweder als idealer Spannungsgenerator oder als idealer Stromgenerator plus der Impedanz dargestellt werden. Diese beiden Formen sind äquivalent und die Transformationen sind nachstehend angegeben. Wenn die beiden Netzwerke in Bezug auf die Terminals AB gleichwertig sind, müssen V und ich für beide Netzwerke identisch sein. Daher,

$oder$ oder $oder$

• Nortons Theorem Gibt an, dass jedes lineare Zwei-terminale Netzwerk auf einen idealen Stromgenerator und eine parallele Impedanz reduziert werden kann.
• Thévenins Satz Gibt an, dass jedes zwei-terminale lineare Netzwerk auf einen idealen Spannungsgenerator sowie eine Serienimpedanz reduziert werden kann.

Einfache Netzwerke

Einige sehr einfache Netzwerke können analysiert werden, ohne die systematischeren Ansätze anzuwenden.

Spannungsabteilung von Serienkomponenten

Betrachten Sie N -Impedanzen, die in verbunden sind Serie. Die Spannung ${\ displayStyle v_ {i}}$ über jede Impedanz ${\ displayStyle z_ {i}}$ ist

$oder }$

Aktuelle Aufteilung paralleler Komponenten

Betrachten Sie N -Zulassungen, die in verbunden sind parallel. Die jetzige ${\ displayStyle i_ {i}}$ durch jede Zulassung ${\ displayStyle y_ {i}}$ ist

$oder }$

zum ${\ displayStyle i = 1,2, ..., n.}$

Sonderfall: Aktuelle Aufteilung von zwei parallelen Komponenten

$oder$

$oder$

Knotenanalyse

1. Beschriftet alle Knoten in der Schaltung. Wählen Sie beliebig einen Knoten als Referenz aus.

2. Definieren Sie eine Spannungsvariable aus jedem verbleibenden Knoten auf die Referenz. Diese Spannungsvariablen müssen in Bezug auf den Referenzknoten als Spannungssteigerung definiert werden.

3. Schreiben Sie a Kcl Gleichung für jeden Knoten außer der Referenz.

4. Lösen Sie das resultierende Gleichungssystem.

Netzanalyse

Gittergewebe- Eine Schleife, die keine innere Schleife enthält.

1. Zählen Sie die Anzahl der „Fensterscheiben“ in der Schaltung. Weisen Sie jedem Fensterbereich einen Netzstrom zu.

2. Schreiben Sie a KVL Gleichung für jedes Netz, dessen Strom unbekannt ist.

3. Lösen Sie die resultierenden Gleichungen

Überlagerung

Bei dieser Methode wird der Effekt jedes Generators wiederum berechnet. Alle anderen Generatoren als die, die berücksichtigt werden, werden bei Spannungsgeneratoren entfernt und entweder kurzverkleidet oder im Fall von Stromgeneratoren offen oder offen. Der Gesamtstrom durch oder die Gesamtspannung über einen bestimmten Zweig wird dann berechnet, indem alle einzelnen Ströme oder Spannungen summiert werden.

Diese Methode ist eine zugrunde liegende Annahme, dass der Gesamtstrom oder die Spannung eine lineare Überlagerung ihrer Teile ist. Daher kann die Methode nicht verwendet werden, wenn nichtlineare Komponenten vorhanden sind.^[2] Die Überlagerung von Befugnissen kann nicht verwendet werden, um selbst in linearen Schaltungen die Gesamtleistung zu finden, die von Elementen verbraucht wird. Die Leistung variiert je nach Quadrat der Gesamtspannung oder des Stroms, und das Quadrat der Summe ist im Allgemeinen nicht gleich der Summe der Quadrate. Die Gesamtleistung in einem Element kann durch Anwenden von Überlagerung auf die Spannungen und den Strom unabhängig angewendet und dann die Leistung der Gesamtspannung und des Stroms berechnet.

Wahl der Methode

Wahl der Methode^[3] ist in gewissem Maße eine Frage des Geschmacks. Wenn das Netzwerk besonders einfach ist oder nur ein bestimmter Strom oder eine bestimmte Spannung erforderlich ist, kann die Ad-hoc-Anwendung einiger einfacher äquivalenter Schaltkreise die Antwort ohne Rückgriff auf die systematischeren Methoden ergeben.

• Knotenanalyse: Die Anzahl der Spannungsvariablen und damit gleichzeitige Gleichungen entsprechen der Anzahl der Knoten minus eins. Jede mit dem Referenzknoten verbundene Spannungsquelle reduziert die Anzahl der Unbekannten und Gleichungen um eins.
• Netzanalyse: Die Anzahl der Stromvariablen und damit gleichzeitige Gleichungen entsprechen der Anzahl der Maschen. Jede aktuelle Quelle in einem Netz reduziert die Anzahl der Unbekannten um eins. Mesh -Analyse kann nur mit Netzwerken verwendet werden, die als gezeichnet werden können Planar Netzwerk, dh ohne Kreuzungskomponenten.^[4]
• Überlagerung ist möglicherweise die konzeptionell einfachste Methode, führt aber schnell zu einer großen Anzahl von Gleichungen und chaotischen Impedanzkombinationen, wenn das Netzwerk größer wird.
• Effektive mittlere Näherungen: Für ein Netzwerk, das aus einer hohen Dichte von zufälligen Widerständen besteht, kann eine genaue Lösung für jedes einzelne Element unpraktisch oder unmöglich sein. Stattdessen können die effektiven Resistenz- und Stromverteilungseigenschaften in Bezug auf von modelliert werden Graph Maßnahmen und geometrische Eigenschaften von Netzwerken.^[5]

Übertragungsfunktion

A Übertragungsfunktion drückt die Beziehung zwischen einem Eingang und einer Ausgabe eines Netzwerks aus. Für Widerstandsnetzwerke wird dies immer eine einfache reelle Zahl oder ein Ausdruck sein, der auf eine reelle Zahl hinausgeht. Widerstandsnetzwerke werden durch ein System gleichzeitiger algebraischer Gleichungen dargestellt. Im allgemeinen Fall linearer Netzwerke wird das Netzwerk jedoch durch ein System gleichzeitig linearer Differentialgleichungen dargestellt. In der Netzwerkanalyse, anstatt die Differentialgleichungen direkt zu verwenden, ist es üblich, a auszuführen Laplace-Transformation Zuerst bei ihnen und dann das Ergebnis in Bezug auf den Laplace -Parameter s, was im Allgemeinen im Allgemeinen ist Komplex. Dies wird als Arbeit in der bezeichnet S-Domain. Die direkte Arbeit mit den Gleichungen würde als Arbeit in der Zeit- (oder T) -Domäne beschrieben, da die Ergebnisse als zeitliche Größen ausgedrückt werden. Die Laplace-Transformation ist die mathematische Methode zur Transformation zwischen der S-Domäne und der T-Domäne.

Dieser Ansatz ist Standard in Kontrolltheorie und ist nützlich für die Bestimmung Stabilität eines Systems beispielsweise in einem Verstärker mit Rückmeldung.

Zwei Endkomponentenübertragungsfunktionen

Für zwei Endkomponenten die Übertragungsfunktion oder allgemeiner für nichtlineare Elemente die konstitutive Gleichung, ist die Beziehung zwischen dem Stromeingang zum Gerät und der resultierenden Spannung darüber. Die Übertragungsfunktion Z (s) hat somit Impedanzeinheiten - Ohm. Für die drei passiven Komponenten in elektrischen Netzwerken sind die Übertragungsfunktionen;

Widerstand	${\ displayStyle z (s) = r \, \!}$
Induktor	${\ displayStyle z (s) = sl \, \!}$
Kondensator	${\ displayStyle z (s) = {\ frac {1} {sc}}}$

Für ein Netzwerk, auf das nur stetige Wechselstromsignale angewendet werden, wird S ersetzt Jω und die bekannteren Werte aus der Wechselstromnetzwerkstheorie.

Widerstand	${\ displayStyle z (j \ omega) = r \, \!}$
Induktor	${\ displayStyle z (j \ omega) = j \ omega l \, \!}$
Kondensator	${\ displayStyle z (j \ omega) = {\ frac {1} {j \ omega c}}}$

Schließlich wird für ein Netzwerk, auf das nur stetiger Gleichstrom angewendet wird, S ersetzt durch die Null- und DC -Netzwerktheorie.

Widerstand	${\ displayStyle z = r \, \!}$
Induktor	${\ displayStyle z = 0 \, \!}$
Kondensator	${\ displayStyle z = \ infty \, \!}$

Zwei Port -Netzwerkübertragungsfunktion

Übertragungsfunktionen im Allgemeinen in der Kontrolltheorie erhalten das Symbol H (s). Am häufigsten in der Elektronik ist die Übertragungsfunktion als das Verhältnis der Ausgangsspannung zu Eingangsspannung und gegebenenfalls das Symbol A (s) oder häufiger (weil die Analyse immer in Bezug das;

${\ displaystyle a (j \ omega) = {\ frac {v_ {o}} {v_ {i}}}}$

Das A -Stellung zur Dämpfung oder Verstärkung, abhängig vom Kontext. Im Allgemeinen wird dies eine komplexe Funktion von sein Jω, die aus einer Analyse der Impedanzen im Netzwerk und ihrer individuellen Übertragungsfunktionen abgeleitet werden können. Manchmal interessiert sich der Analyst nur für die Größe des Verstärks und nicht an dem Phasenwinkel. In diesem Fall können die komplexen Zahlen aus der Übertragungsfunktion beseitigt werden und kann dann geschrieben werden.

${\ displaystyle a (\ omega) = \ links | {\ frac {v_ {o}} {v_ {i}} \ rechts |}$

Zwei Portparameter

Das Konzept eines Zwei-Port-Netzwerks kann in der Netzwerkanalyse als nützlich sein Flugschreiber Ansatz zur Analyse. Das Verhalten des Zwei-Port-Netzwerks in einem größeren Netzwerk kann vollständig charakterisiert werden, ohne unbedingt etwas über die interne Struktur anzugeben. Dazu ist es jedoch notwendig, mehr Informationen zu haben als nur die oben beschriebene a (jω). Es kann gezeigt werden, dass vier solcher Parameter erforderlich sind, um das Zwei-Port-Netzwerk vollständig zu charakterisieren. Dies könnte die Vorwärtsübertragungsfunktion, die Eingangsimpedanz, die umgekehrte Übertragungsfunktion (d. H. Die am Eingang angezeigte Spannung, die beim Eingang des Ausgangs angewendet wird) und die Ausgangsimpedanz sein. Es gibt viele andere (siehe Hauptartikel für eine vollständige Auflistung), eines davon drückt alle vier Parameter als Impedanzen aus. Es ist üblich, die vier Parameter als Matrix auszudrücken.

$oder 12} \\ z (j \ omega) _ {21} & z (j \ omega) _ {22} \ end {bmatrix} {\ begin {bmatrix} i_ {1} \\ i_ {{} \ end {bmatrix }}}$

Die Matrix kann zu einem repräsentativen Element abgekürzt werden;

${\ displayStyle \ links [z (j \ Omega) \ rechts]}$ oder nur ${\ displayStyle \ links [z \ rechts]}$

Diese Konzepte können auf Netzwerke von mehr als zwei Ports ausgedehnt werden. Dies wird jedoch selten in der Realität geschehen, da in vielen praktischen Fällen Ports entweder ein reiner oder rein ausgegeben werden. Wenn die Übertragungsfunktionen der Reverse Direction ignoriert werden, kann ein Multi-Port-Netzwerk jederzeit in eine Reihe von Zwei-Port-Netzwerken zerlegt werden.

Verteilte Komponenten

Wenn ein Netzwerk aus diskreten Komponenten besteht, ist die Analyse unter Verwendung von Zwei-Port-Netzwerken eine Frage der Wahl, nicht wesentlich. Das Netzwerk kann immer alternativ in Bezug auf seine individuellen Komponentenübertragungsfunktionen analysiert werden. Wenn jedoch ein Netzwerk enthält verteilte Komponenten, wie bei a ÜbertragungsleitungDann ist es nicht möglich, in Bezug auf einzelne Komponenten zu analysieren, da sie nicht existieren. Der häufigste Ansatz hierfür besteht darin, die Linie als Zwei-Port-Netzwerk zu modellieren und sie mit zwei Portparametern (oder etwas entspricht, das ihnen entspricht). Ein weiteres Beispiel für diese Technik ist die Modellierung der Träger, die die Basisregion in einem Hochfrequenztransistor überqueren. Die Basisregion muss eher als verteilter Widerstand und Kapazität als als verteilte als modelliert werden Kammelkomponenten.

Bildanalyse

Übertragungsleitungen und bestimmte Arten von Filterdesign verwenden die Bildmethode, um deren Übertragungsparameter zu bestimmen. Bei dieser Methode wird das Verhalten einer unendlich langen Kaskadenkette identischer Netzwerke berücksichtigt. Die Eingangs- und Ausgangsimpedanzen sowie die Vorwärts- und Rückwärtsübertragungsfunktionen werden dann für diese unendlich lange Kette berechnet. Obwohl die so erhaltenen theoretischen Werte in der Praxis niemals genau realisiert werden können, dienen sie in vielen Fällen als sehr gute Annäherung für das Verhalten einer endlichen Kette, solange sie nicht zu kurz ist.

Nichtlineare Netzwerke

Die meisten elektronischen Designs sind in Wirklichkeit nichtlinear. Es gibt nur sehr wenige, die einige Halbleitergeräte nicht enthalten. Diese sind ausnahmslos nichtlinear, die Übertragungsfunktion eines idealen Halbleiters P-N Junction wird durch die sehr nichtlineare Beziehung gegeben;

${\ displayStyle i = i_ {o} (e^{\ frac {v} {v_ {t}}}-1)}$

wo;

• i und v sind der sofortige Strom und die Spannung.
• I_o ist ein willkürlicher Parameter, der als Reverse -Leckagestrom bezeichnet wird, dessen Wert vom Konstruktion des Geräts abhängt.
• V_T ist ein Parameter proportional zur Temperatur, der als Wärmespannung bezeichnet wird und bei Raumtemperatur etwa 25 mV entspricht.

Es gibt viele andere Möglichkeiten, wie Nichtlinearität in einem Netzwerk erscheinen kann. Alle Methoden, die die lineare Superposition verwenden, schließen fehl, wenn nichtlineare Komponenten vorhanden sind. Abhängig von der Art der Schaltung und der Informationen, die der Analyst erhalten möchte, gibt es mehrere Optionen zum Umgang mit Nichtlinearität.

Konstitutive Gleichungen

Das Diode Gleichung oben ist ein Beispiel für eine Element konstitutive Gleichung der allgemeinen Form,

${\ displayStyle f (v, i) = 0 \,}$

Dies kann als nichtlinearer Widerstand betrachtet werden. Die entsprechenden konstitutiven Gleichungen für nichtlineare Induktoren und Kondensatoren sind jeweils;

${\ displayStyle f (v, \ varphi) = 0 \,}$

${\ displayStyle f (v, q) = 0 \,}$

wo f ist eine willkürliche Funktion, φ ist der gespeicherte magnetische Fluss und q ist die gespeicherte Gebühr.

Existenz, Einzigartigkeit und Stabilität

Eine wichtige Überlegung bei der nichtlinearen Analyse ist die Frage der Einzigartigkeit. Für ein Netzwerk, das aus linearen Komponenten besteht, gibt es immer eine und nur eine einzigartige Lösung für einen bestimmten Satz von Randbedingungen. Dies ist bei nichtlinearen Schaltungen nicht immer der Fall. Beispielsweise hat ein linearer Widerstand mit einem festgelegten Strom nur eine Lösung für die Spannung. Andererseits der nichtlineare Tunneldiode hat bis zu drei Lösungen für die Spannung für einen bestimmten Strom. Das heißt, eine bestimmte Lösung für den Strom durch die Diode ist nicht eindeutig, es kann andere geben, gleichermaßen gültig. In einigen Fällen gibt es möglicherweise überhaupt keine Lösung: Die Frage der Existenz von Lösungen muss berücksichtigt werden.

Eine weitere wichtige Überlegung ist die Frage der Stabilität. Eine bestimmte Lösung kann existieren, aber es ist möglicherweise nicht stabil und verlässt bei geringster Stimulation schnell von diesem Punkt. Es kann gezeigt werden, dass ein Netzwerk, das für alle Bedingungen absolut stabil ist, eine und nur eine Lösung für jeden Satz von Bedingungen haben muss.^[6]

Methoden

Boolesche Analyse von Schaltnetzwerken

Ein Schaltgerät ist eines, bei dem die Nichtlinearität verwendet wird, um zwei entgegengesetzte Zustände zu erzeugen. CMOS -Geräte in digitalen Schaltkreisen haben beispielsweise ihre Ausgabe entweder mit der positiven oder der negativen Versorgungsschiene angeschlossen und werden bei einem vorübergehenden Zeitraum, in dem das Gerät wechselt. Hier ist die Nichtlinearität extrem und der Analytiker kann diese Tatsache nutzen. Diese Art von Netzwerken kann mithilfe von Verwendung analysiert werden boolsche Algebra Durch die Zuweisung der beiden Zustände ("auf"/"aus", "positiv"/"negativ" oder was auch immer Zustände verwendet werden) der booleschen Konstanten "0" und "1".

Die Transienten werden in dieser Analyse zusammen mit einer leichten Diskrepanz zwischen dem Zustand des Geräts und dem nominalen Zustand, der einem booleschen Wert zugeordnet ist, ignoriert. Zum Beispiel kann Boolean "1" dem Zustand von +5V zugeordnet werden. Die Ausgabe des Geräts kann +4,5 V betragen, der Analyst ist jedoch immer noch als "1" boolean. Gerätehersteller geben in der Regel eine Reihe von Werten in ihren Datenblättern an, die als undefiniert angesehen werden sollen (d. H. Das Ergebnis ist unvorhersehbar).

Die Transienten sind für den Analysten nicht völlig uninteressant. Die maximale Schaltungsrate wird durch die Übergangsgeschwindigkeit von einem Zustand zum anderen bestimmt. Zum Glück für den Analysten tritt der größte Teil des Übergangs für viele Geräte im linearen Teil der Geräteübertragungsfunktion auf, und lineare Analysen können angewendet werden, um mindestens eine ungefähre Antwort zu erhalten.

Es ist mathematisch möglich, abzuleiten Boolesche Algebren Das hat mehr als zwei Staaten. Für diese in der Elektronik wird nicht zu viel verwendet, obwohl Drei-Staaten-Geräte passlos häufig sind.

Trennung von Verzerrungs- und Signalanalysen

Diese Technik wird verwendet, wenn der Betrieb der Schaltung im Wesentlichen linear sein soll, aber die zur Implementierung verwendeten Geräte sind nicht linear. Ein Transistorverstärker ist ein Beispiel für diese Art von Netzwerk. Die Essenz dieser Technik besteht darin, die Analyse in zwei Teile zu trennen. Erstens der DC Vorurteile werden unter Verwendung einer nichtlinearen Methode analysiert. Dies legt die fest ruhig Betriebspunkt der Schaltung. Zweitens die kleines Signal Die Eigenschaften der Schaltung werden unter Verwendung der linearen Netzwerkanalyse analysiert. Beispiele für Methoden, die für diese beiden Stufen verwendet werden können, sind unten angegeben.

Grafische Methode der DC -Analyse

In sehr vielen Schaltungskonstruktionen wird die Gleichstromverzerrung einer nichtlinearen Komponente über einen Widerstand (oder möglicherweise ein Netzwerk von Widerständen) zugeführt. Da Widerstände lineare Komponenten sind, ist es besonders einfach, den ruhenden Betriebspunkt des nichtlinearen Geräts aus einer Grafik seiner Übertragungsfunktion zu bestimmen. Die Methode lautet wie folgt: Aus der linearen Netzwerkanalyse wird die Ausgangsübertragungsfunktion (dh Ausgangspannung gegen Ausgangsstrom) für das Netzwerk von Widerständen und den Generator berechnet. Dies wird eine gerade Linie sein (genannt die Lastlinie) und kann leicht auf dem Übertragungsfunktionsdiagramm des nichtlinearen Geräts überlagert werden. Der Punkt, an dem die Linien kreuzen, ist der ruhende Betriebspunkt.

Möglicherweise ist die einfachste praktische Methode die Berechnung des (linearen) Netzwerks offenen Schaltungsspannung und Kurzschlusstrom und auf der Übertragungsfunktion des nichtlinearen Geräts. Die gerade Linie, die diesen beiden Punkten verbindet, ist die Übertragungsfunktion des Netzwerks.

In Wirklichkeit würde der Designer der Schaltung in umgekehrter Richtung zu dem beschriebenen vorgehen. Ausgehend von einem im Herstellerdatenblatt für das nichtlinearen Gerät bereitgestellten Diagramm wählte der Designer den gewünschten Betriebspunkt und berechnet dann die linearen Komponentenwerte, die für die Erreichung erforderlich sind.

Es ist weiterhin möglich, diese Methode zu verwenden, wenn das voreingenommene Gerät seine Vorspannung über ein anderes Gerät, das selbst nichtlinear ist, gespeist wird-zum Beispiel eine Diode. In diesem Fall wäre das Diagramm der Netzwerkübertragungsfunktion auf das vorgespannte Gerät jedoch keine geraden Linie mehr und ist folglich mühsamer.

Kleiner Signaläquivalentschaltung

Diese Methode kann verwendet werden, wenn die Abweichung der Eingangs- und Ausgangssignale in einem Netzwerk innerhalb eines wesentlich linearen Teils der nichtlinearen Geräteübertragungsfunktion bleiben, oder sind so gering, dass die Kurve der Übertragungsfunktion linear betrachtet werden kann. Unter einem Satz dieser spezifischen Bedingungen kann das nichtlineare Gerät durch ein äquivalentes lineares Netzwerk dargestellt werden. Es muss daran erinnert werden, dass diese äquivalente Schaltung vollständig fiktiv ist und nur für die kleinen Signalabweichungen gültig ist. Es ist völlig unanwendbar für die DC -Vorurteile des Geräts.

Für ein einfaches Zwei-terminaler-Gerät ist der kleine Signaläquivalentkreis möglicherweise nicht mehr als zwei Komponenten. Ein Widerstand, der der Steigung der V/I -Kurve am Betriebspunkt (als dynamischer Widerstand bezeichnet) und der Kurve entspricht. Ein Generator, weil diese Tangente im Allgemeinen den Ursprung nicht durchläuft. Bei mehr Terminals sind kompliziertere äquivalente Schaltungen erforderlich.

Eine beliebte Form der Angabe des kleinen Signaläquivalent-Schaltkreises bei Transistorherstellern besteht darin, die als zwei Port-Netzwerkparameter bekannten Netzwerkparameter zu verwenden [h] Parameter. Dies sind eine Matrix von vier Parametern wie bei den [z] -Parametern, bei den [H] -Parametern sind sie ein hybrides Gemisch von Impedanzen, Zulassungen, Stromgewinnen und Spannungsgewinnen. In diesem Modell wird der drei Terminaltransistor als zwei Portnetzwerk angesehen, wobei eines seiner Terminals für beide Ports gemeinsam ist. Die [H] -Parameter unterscheiden sich sehr unterschiedlich, je nachdem, welches Terminal als gemeinsame ausgewählt wird. Der wichtigste Parameter für Transistoren ist normalerweise die Vorwärtsstromverstärkung, H.₂₁in der gemeinsamen Emitterkonfiguration. Dies wird als h bezeichnet_fe auf Datenblättern.

Die kleine Signaläquivalentschaltung in Bezug auf zwei Portparameter führt zum Konzept der abhängigen Generatoren. Das heißt, der Wert einer Spannung oder eines Stromgenerators hängt linear von einer Spannung oder einem Strom an anderer Stelle in der Schaltung ab. Zum Beispiel führt das [z] Parametermodell zu abhängigen Spannungsgeneratoren, wie in diesem Diagramm gezeigt;

Es wird immer abhängige Generatoren in einem Parameter-Äquivalent-Schaltkreis mit zwei Ports geben. Dies gilt sowohl für die [H] -Parameter als auch für die [z] und andere Art. Diese Abhängigkeiten müssen bei der Entwicklung der Gleichungen in einer größeren linearen Netzwerkanalyse erhalten bleiben.

Stückweise lineare Methode

Bei dieser Methode wird die Übertragungsfunktion des nichtlinearen Geräts in Regionen unterteilt. Jede dieser Regionen wird durch eine gerade Linie angenähert. Somit ist die Übertragungsfunktion bis zu einem bestimmten Punkt linear, an dem eine Diskontinuität vorhanden ist. Nach diesem Punkt ist die Übertragungsfunktion wieder linear, aber mit einer anderen Steigung.

Eine bekannte Anwendung dieser Methode ist die Näherung der Übertragungsfunktion einer PN -Übergangsdiode. Die Übertragungsfunktion einer idealen Diode wurde oben in diesem (nichtlinearen) Abschnitt angegeben. Diese Formel wird jedoch selten in der Netzwerkanalyse verwendet, wobei stattdessen eine stückweise Annäherung verwendet wird. Es ist ersichtlich, dass der Diodenstrom schnell zu -i abnimmt_o wie die Spannung fällt. Dieser Strom ist für die meisten Zwecke so klein, dass sie ignoriert werden kann. Mit zunehmender Spannung nimmt der Strom exponentiell zu. Die Diode wird als offener Stromkreis bis zum Knie der exponentiellen Kurve modelliert und dann als Widerstand über den Massenwiderstand des halbleitenden Materials hinaus.

Die häufig anerkannten Werte für die Übergangspunktspannung betragen 0,7 V für Siliziumgeräte und 0,3 V für Germanium -Geräte. Ein noch einfacheres Modell der Diode, das manchmal in Schaltanwendungen verwendet wird, ist der Kurzschluss für Vorwärtsspannungen und offener Stromkreis für Rückspannungen.

Das Modell eines vorwärts vorgespannten PN-Übergangs mit einer ungefähr konstanten 0,7 V ist auch eine stark verwendete Annäherung für die Transistor-Basis-Emitter-Übergangsspannung im Verstärkerdesign.

Die stückweise Methode ähnelt der kleinen Signalmethode darin, dass lineare Netzwerkanalysetechniken nur angewendet werden können, wenn das Signal innerhalb bestimmter Grenzen bleibt. Wenn das Signal einen Diskontinuitätspunkt überschreitet, ist das Modell für lineare Analysezwecke nicht mehr gültig. Das Modell hat jedoch den Vorteil gegenüber einem kleinen Signal, als es gleichermaßen für Signal- und Gleichstromverzerrungen anwendbar ist. Diese können daher beide in denselben Operationen analysiert werden und sind linear überlagbar.

Zeitlich variierende Komponenten

In der linearen Analyse wird angenommen, dass die Komponenten des Netzwerks unveränderlich sind, in einigen Schaltungen gilt dies jedoch nicht, wie z. B. Sweep -Oszillatoren. Spannungsgesteuerte Verstärkerund variabel Equalizer. In vielen Umständen ist die Änderung des Komponentenwerts regelmäßig. Eine nichtlineare Komponente, die beispielsweise mit einem periodischen Signal angeregt ist linear Komponente. Sidney Darlington offenbarte eine Methode zur Analyse solcher periodischen Zeitverlagerungen. Er entwickelte kanonische Schaltungsformen, die zu den kanonischen Formen von analog sind Ronald M. Foster und Wilhelm Cacher Wird zur Analyse linearer Schaltungen verwendet.^[7]

Vektorkreistheorie

Die Verallgemeinerung der Schaltungstheorie auf der Grundlage von Skalarmengen auf vektorielle Ströme ist eine Notwendigkeit für neu entwickelnde Schaltkreise wie Spin -Schaltungen.^{[Klarstellung erforderlich]} Verallgemeinerte Schaltungsvariablen bestehen aus vier Komponenten: Skalarstrom und Vektorspinstrom in X-, Y- und Z -Richtungen. Die Spannungen und Ströme werden jeweils zu Vektormengen, wobei Leitfähigkeit als 4x4 -Spin -Leitfähigkeitsmatrix beschrieben wird.

Siehe auch

Verweise

Externe Links

• Schaltungsanalysetechniken- Beinhaltet Knoten-/Maschenanalyse, Überlagerung und Thevenin/Norton -Transformation