Negation

Negation
NICHT
Venn diagram of Negation
Definition
Wahrheitstabelle
Logik -Tor NOT ANSI.svg
Normale Formen
Disjunktiv
Konjunktiv
Zhegalkin Polynom
Posts Gitter
0-Präserving nein
1-Präserving nein
Monoton nein
Befriedigung Jawohl

Im Logik, Negation, auch die genannt logische Ergänzung, ist ein Betrieb das braucht a Vorschlag zu einem anderen Satz "nicht ", geschrieben , oder . Es wird intuitiv als wahr interpretiert, wenn ist falsch und falsch, wenn ist wahr.[1][2] Negation ist also a einstellig Logische Binde. Es kann als Operation eingesetzt werden Vorstellungen, Aussagen, Wahrheitswerte, oder semantische Werte allgemeiner. Im klassische LogikNegation wird normalerweise mit dem identifiziert Wahrheitsfunktion das macht Wahrheit zu Falschheit (und umgekehrt). Im intuitionistische Logik, laut dem Brouwer -Heying -Kolmogorov -Interpretation, die Verneinung eines Vorschlags ist der Satz, dessen Beweise die Widerspruch von sind .

Definition

Es besteht keine Übereinstimmung über die Möglichkeit der Definition der Negation, des logischen Status, der Funktion und der Bedeutung, in Bezug auf das Gebiet der Anwendbarkeit und in Bezug auf die Auslegung des negativen Urteils (F.H. Heinemann 1944).[3]

Klassische Verneinung ist ein Betrieb Auf eins logischer Wert, normalerweise der Wert von a Vorschlag, that produces a value of Stimmt Wenn sein Operand falsch ist und ein Wert von FALSCH Wenn sein Operand wahr ist. Also wenn auch Aussage P ist dann wahr, dann (ausgesprochen "nicht P") wäre dann falsch; und umgekehrt, wenn ist dann falsch, dann P wäre wahr.

Das Wahrheitstabelle von ist wie folgt:

WAHR FALSCH
FALSCH WAHR

Negation kann in Bezug auf andere logische Operationen definiert werden. Zum Beispiel, kann definiert werden als (wo ist logische Konsequenz und ist Absolute Falschheit). Umgekehrt kann man definieren wie für jeden Vorschlag Q (wo ist logische Konjunktion). Die Idee hier ist, dass alle Widerspruch ist falsch, und während diese Ideen sowohl in klassischer als auch in intuitionistischer Logik funktionieren, funktionieren sie nicht in Paraconsistente Logik, wo Widersprüche nicht unbedingt falsch sind. In der klassischen Logik erhalten wir auch eine weitere Identität, kann definiert werden als , wo ist logische Disjunktion.

Algebraisch entspricht klassische Negation Ergänzung in einem boolsche Algebraund intuitionistische Negation der Pseudokomplementierung in a Heying Algebra. Diese Algebren liefern a Semantik für klassische und intuitionistische Logik.

Notation

Die Verneinung eines Vorschlags p ist auf unterschiedliche Weise in verschiedenen Kontexten der Diskussion und der Anwendungsfelder notiert. Die folgende Tabelle dokumentiert einige dieser Varianten:

Notation Einfacher Text Vokalisierung
¬p Nicht p
~ p Nicht p
-p Nicht p
Np En p
p'
  • p Prime,
  • p ergänzen
p
  • p Bar,
  • Bar p
!p
  • Knall p
  • Nicht p

Die Notation np ist ŁukaSiewicz Notation.

Im Mengenlehre, wird auch verwendet, um 'nicht im Satz von' anzuzeigen: ist der Satz aller Mitglieder von U das sind nicht Mitglieder von A.

Unabhängig davon, wie es notiert ist oder symbolisiert, die Negation kann als "Es ist nicht der Fall, dass das gelesen werden P", "nicht das P"oder normalerweise einfacher als" nicht P".

Eigenschaften

Doppelte Negation

Innerhalb eines Systems von klassische Logik, doppelte Negation, dh die Negation der Verneinung eines Satzes , ist logisch äquivalent zu . Symbolisch ausgedrückt, . Im intuitionistische LogikEin Satz impliziert seine doppelte Negation, aber nicht umgekehrt. Dies markiert einen wichtigen Unterschied zwischen klassischer und intuitionistischer Negation. Algebraisch wird die klassische Negation als eine genannt Involution von Zeit zwei.

Allerdings in intuitionistische Logikdie schwächere Äquivalenz hält. Dies liegt daran, dass in intuitionistischer Logik, ist nur eine Abkürzung für und wir haben auch . Das Verfassen dieser letzten Implikation mit dreifacher Negation impliziert, dass .

Infolgedessen ist im Vorschlag ein Satz klassisch nachweisbar, wenn seine doppelte Negation intuitionistisch nachweisbar ist. Dieses Ergebnis ist bekannt als Glivenko's Theorem.

Verbreitung

De Morgans Gesetze eine Möglichkeit geben Verbreitung Negation über disjunktion und Verbindung:

, und
.

Linearität

Lassen bezeichnen die logisch xor Betrieb. Im boolsche AlgebraEine lineare Funktion ist eine so, dass:

Wenn es gibt Anwesend, für alle .

Eine andere Möglichkeit, dies auszudrücken, ist, dass jede Variable immer einen Unterschied in der macht Wahrheitswert der Operation, oder es macht nie einen Unterschied. Negation ist ein linearer logischer Operator.

Selbst dual

Im boolsche AlgebraEine Selbstdoppelfunktion ist eine Funktion, so dass:

für alle. Negation ist ein selbstdoppelter logischer Operator.

Negationen von Quantifizierern

Im Logik erster OrdnungEs gibt zwei Quantifizierer, einer ist der universelle Quantifizierer (bedeutet "für alle") und der andere ist der existenzielle Quantifizierer (bedeutet "Es gibt"). Die Negation eines Quantifizierers ist der andere Quantifizierer ( und ). Zum Beispiel mit dem Prädikat P wie "x ist sterblich "und die Domäne von X als Sammlung aller Menschen, bedeutet "eine Person X in allen Menschen ist sterblich" oder "alle Menschen sind sterblich". Die Negation davon ist , was bedeutet "Es gibt eine Person x Bei allen Menschen, die nicht sterblich sind "oder" es gibt jemanden, der für immer lebt ".

Inferenzregeln

Es gibt eine Reihe äquivalenter Möglichkeiten, Regeln für die Verneinung zu formulieren. Eine übliche Möglichkeit, die klassische Negation in a zu formulieren natürlicher Abzug Die Einstellung bedeutet als primitive Inferenzregeln Negation Einführung (aus einer Ableitung von zu beiden und , schließen ; Diese Regel wird auch genannt Reduktion ad absurdum), Negation Eliminierung (aus und schließen ; Diese Regel wird auch genannt Ex Falso Quodlibet), und Doppelnegation Eliminierung (aus schließen ). Man erhält die Regeln für die intuitionistische Negation auf die gleiche Weise, aber die Doppelnegation der Eliminierung ausschließt.

Die Einführung in Negation besagt, dass, wenn eine Absurdität als Schlussfolgerung aus gezogen werden kann dann darf nicht der Fall sein (d.h. ist falsch (klassisch) oder widersprüchlich (intuitionistisch) oder usw.). Die Negation der Eliminierung besagt, dass irgendetwas aus einer Absurdität folgt. Manchmal wird die Negation der Eliminierung unter Verwendung eines primitiven Absurditätszeichens formuliert . In diesem Fall sagt die Regel aus und folgt einer Absurdität. Zusammen mit der Eliminierung der Doppelnegation kann man unsere ursprünglich formulierte Regel schließen, nämlich dass etwas aus einer Absurdität folgt.

Typischerweise die intuitionistische Negation von ist definiert als . Dann sind die Einführung und Beseitigung der Negation nur besondere Fälle von Implikationseinführung (bedingter Beweis) und Eliminierung (Modus Ponens). In diesem Fall muss man auch als primitive Regel hinzufügen Ex Falso Quodlibet.

Programmiersprache und gewöhnliche Sprache

Wie in der Mathematik wird die Negation in verwendet Informatik logische Anweisungen zu konstruieren.

wenn (!(r == t)) {   /*....Statements ausgeführt, wenn R nicht gleich ist.*/ } 

Das Ausrufezeichen "!"bedeutet logisch nicht in B, Cund Sprachen mit einer C-inspirierten Syntax wie z. C ++, Java, JavaScript, Perl, und Php. "NICHT"Ist der Operator in verwendet in Algol 60, BASICund Sprachen mit einer Algol- oder Basis-inspirierten Syntax wie z. Pascal, Ada, Eiffel und Samen7. Einige Sprachen (C ++, Perl usw.) liefern mehr als einen Operator zur Negation. Ein paar Sprachen wie Pl/i und Ratte verwenden ¬ zur Negation. In den meisten modernen Sprachen kann die obige Aussage gekürzt werden if (! (r == t)) zu if (r! = t), was es manchmal zulässt, wenn der Compiler/Dolmetscher es nicht optimieren kann, schnellere Programme.

In der Informatik gibt es auch bitweise Negation. Dies nimmt den angegebenen Wert an und wechselt alle binär 1s bis 0s und 0 bis 1s. Sehen Bitgewise Operation. Dies wird oft zum Erstellen verwendet Einen Ergänzung oder "~"in C oder C ++ und Zwei ergänzt (Nur vereinfacht zu "-"oder das negative Vorzeichen, da dies der Einnahme des arithmetischen negativen Wertes der Zahl entspricht), da er im Grunde genommen das entgegengesetzte (negative Wertäquivalent) oder mathematische Ergänzung des Wertes erzeugt (wobei beide Werte zusammengefügt werden, erzeugen sie ein Ganzes).

Um den absoluten (positiven äquivalenten) Wert einer bestimmten Ganzzahl zu erhalten, würde der folgende als das funktionieren "-"Verändert es von negativ zu positiv (es ist negativ, weil"x <0"ergibt wahr)

ohne Vorzeichen int Abs(int x) {   wenn (x < 0)   Rückkehr -x;   anders   Rückkehr x; } 

Logische Negation zu demonstrieren:

ohne Vorzeichen int Abs(int x) {   wenn (!(x < 0))   Rückkehr x;   anders   Rückkehr -x; } 

Das Invertieren des Zustands und die Umkehrung der Ergebnisse erzeugt Code, der logischerweise dem ursprünglichen Code äquivalent entspricht, d. H. Es wird identische Ergebnisse für jede Eingabe haben (beachten Sie, dass sich die vom Computer ausgeführten tatsächlichen Anweisungen abhängig vom verwendeten Compiler unterscheiden können).

Diese Konvention taucht gelegentlich in gewöhnlicher schriftlicher Rede auf, wie computerbezogen Slang zum nicht. Zum Beispiel der Ausdruck !Wählen bedeutet "nicht stimmen". Ein weiteres Beispiel ist der Ausdruck !Hinweis Dies wird als Synonym für "No-Clue" oder "ahnungslos" verwendet.[4][5]

Kripke -Semantik

Im Kripke -Semantik wo die semantischen Werte von Formeln sind Sätze von mögliche Welten, Negation kann zu bedeuten Set-theoretische Ergänzung (siehe auch mögliche Weltsemantik für mehr).

Siehe auch

Verweise

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Negation". mathworld.wolfram.com. Abgerufen 2. September 2020.
  2. ^ "Logik und mathematische Aussagen - Arbeitsbeispiele". www.math.toronto.edu. Abgerufen 2. September 2020.
  3. ^ Horn, Laurence R (2001). "Kapitel 1". Eine Naturgeschichte der Verneinung. Stanford University: CLSI -Veröffentlichungen. p. 1. ISBN 1-57586-336-7.
  4. ^ Raymond, Eric und Steele, Typ. Das Wörterbuch des neuen Hackers, p. 18 (MIT Press 1996).
  5. ^ Munat, Judith. Lexikalische Kreativität, Texte und Kontext, p. 148 (John Benjamins Publishing, 2007).

Weitere Lektüre

Externe Links

Tische der Wahrheit von zusammengesetzten Klauseln