Natürliche Zahl

Das doppelter Takt Capital N -Symbol, häufig verwendet, um die Menge aller natürlichen Zahlen zu bezeichnen (siehe Glossar mathematischer Symbole).

Natürliche Zahlen können zum Zählen verwendet werden (ein Apfel, zwei Äpfel, drei Äpfel, ...)

Im Mathematik, das natürliche Zahlen sind jene Zahlen verwendet zum Zählen (wie in "Es gibt es sechs Münzen auf der Tabelle ") und Bestellung (wie in" Dies ist das dritte größte Stadt des Landes ").

Zum Zählen verwendete Zahlen werden genannt Kardinalzahlenund für die Bestellung verwendete Zahlen werden genannt Ordnungszahlen. Natürliche Zahlen werden manchmal als Etiketten verwendet, bekannt als als Nennzahlen, keine der Eigenschaften von Zahlen in mathematischer Sinne (z. B. Sport Jersey -Zahlen).^[1][2]

Einige Definitionen, einschließlich des Standards ISO 80000-2,^[3][a] Beginnen Sie die natürlichen Zahlen mit 0, Entsprechend der Nicht negative Ganzzahlen 0, 1, 2, 3, ...während andere mit beginnen mit 1, Entsprechend der positive ganze Zahlen 1, 2, 3, ...^[4][b] Texte, die Null aus den natürlichen Zahlen ausschließen ganze ZahlenWährend in anderen Schriften dieser Begriff stattdessen für die ganzen Zahlen verwendet wird (einschließlich negativer Ganzzahlen).^[5]

Die natürlichen Zahlen sind eine Grundlage, aus der viele andere Zahlensätze durch Erweiterung erstellt werden können: die Ganzzahlen, durch Einbeziehung (wenn auch noch in) die Identitätselement 0 und an Additive Inverse (−n) für jede natürliche Zahl ungleich Null n; das Rationale Zahlendurch Einbeziehung a multiplikativer Inverse (${\ displayStyle {\ tfrac {1} {n}}}$) für jede Unzusuger ungleich Null n (und auch das Produkt dieser Inversen durch Ganzzahlen); das reale Nummern durch Einbeziehung mit den Rationalen die Grenzen von (konvergieren) Cauchy -Sequenzen von Rationalen; das komplexe Zahlen, durch Einbeziehung der realen Zahlen die ungelösten Quadratwurzel minus eins (und auch die Summen und Produkte davon); usw.^[c][d] Diese Kette von Erweiterungen macht die natürlichen Zahlen kanonisch eingebettet (Identifiziert) in den anderen Zahlensystemen.

Eigenschaften der natürlichen Zahlen, wie z. Trennbarkeit und die Verteilung von Primzahlen, werden in studiert Zahlentheorie. Probleme in Bezug auf das Zählen und Bestellen, wie z. Partitionierung und Aufzählungen, werden in studiert Kombinatorik.

In gemeinsamer Sprache, insbesondere in der Grundschule, können natürliche Zahlen aufgerufen werden Zählen von Zahlen^[6] intuitiv die negativen Ganzzahlen und Null auszuschließen und auch die Gegensatz Diskretion von Zählen zum Kontinuität von Messung- Ein Hallmark -charakteristisch von reale Nummern.

Geschichte

Alte Wurzeln

Das Ishango Bone (zur Ausstellung am Royal Belgian Institute of Natural Sciences)^[7][8][9] Es wird angenommen, dass vor 20.000 Jahren für die natürliche Zahl Arithmetik verwendet wurde.

Die primitivste Methode zur Darstellung einer natürlichen Zahl besteht darin, für jedes Objekt eine Marke zu legen. Später konnte eine Reihe von Objekten auf Gleichheit, Überschuss oder Mangel getestet werden - indem ein Objekt aus dem Satz gestrichen und ein Objekt entfernt werden.

Der erste große Fortschritt bei der Abstraktion war die Verwendung von Ziffern Zahlen darstellen. Dies ermöglichte es, Systeme für die Aufzeichnung großer Zahlen zu entwickeln. Die antiken Ägypter entwickelte ein leistungsstarkes System von Ziffern mit unterschiedlichem Hieroglyphen für 1, 10 und alle Mächte von 10 bis über 1 Million. Eine Steinschnitzerei von Karnak, aus dem Jahr etwa 1500 v. Chr. Und jetzt am Louvre In Paris zeigt 276 als 2 Hunderte, 7 Zehns und 6 ein; und ähnlich für die Zahl 4.622. Das Babylonier hatte a Stellenwert Systembasiert im Wesentlichen auf den Ziffern für 1 und 10, unter Verwendung von Basis sechzig, so dass das Symbol für sechzig das gleiche wie das Symbol für einen war - der Wert, der aus dem Kontext bestimmt wurde.^[10]

Ein viel späterer Fortschritt war die Entwicklung der Idee, dass0 kann als eine Zahl mit einer eigenen Zahl betrachtet werden. Die Verwendung einer 0 Ziffer An Ort und Stelle stammt die Notation (innerhalb anderer Zahlen) bereits 700 v. Chr. Von den Babyloniern zurück, die eine solche Ziffer weggelassen haben, als es das letzte Symbol in der Zahl gewesen wäre.^[e] Das Olmec und Maya -Zivilisationen verwendet 0 als separate Zahl so früh wie die 1. Jahrhundert v. Chr, aber diese Verwendung breitete sich nicht darüber hinaus aus Mesoamerica.^[12][13] Die Verwendung einer Ziffer 0 in der modernen Zeit entstand mit dem indischen Mathematiker Brahmagupta In 628 n. Chr. 0 war jedoch im Mittelalter als Zahl verwendet worden Computus (Die Berechnung des Ostdatums) beginnend mit Dionysius exiguus 525 n. römische Zahlen Ich habe kein Symbol für 0). Stattdessen, Nulla (oder die Genitivform Nullae) aus NullusDas lateinische Wort für "keine" wurde eingesetzt, um einen Wert von 0 zu bezeichnen.^[14]

Die erste systematische Studie von Zahlen als Abstraktionen wird normalerweise dem gutgeschrieben griechisch Philosophen Pythagoras und Archimedes. Einige griechische Mathematiker behandelten die Zahl 1 unterschiedlich als größere Zahlen, manchmal sogar nicht als Zahl.^[f] EuklidZum Beispiel definierte zum Beispiel zuerst eine Einheit und dann eine Zahl als eine Vielzahl von Einheiten, so dass eine Einheit nach seiner Definition keine Zahl ist und es keine eindeutigen Zahlen gibt (z. B. zwei Einheiten aus unbegrenzt vielen Einheiten sind 2).^[16]

Unabhängige Studien zu Zahlen traten ebenfalls ungefähr zur gleichen Zeit in auf Indien, China und Mesoamerica.^[17]

Moderne Definitionen

Im Europa aus dem 19. Jahrhundert gab es mathematische und philosophische Diskussionen über die genaue Natur der natürlichen Zahlen. Eine Schule^[die?] von Naturalismus stellte fest, dass die natürlichen Zahlen eine direkte Folge der menschlichen Psyche waren. Henri Poincaré war einer seiner Befürworter, wie es war Leopold Kronecker, der seinen Glauben zusammenfasste, als "Gott die ganzen Zahlen gemacht hat, alles andere ist das Werk des Menschen".^[g]

Im Gegensatz zu den Naturforschern die Konstruktivisten sah die Notwendigkeit, die logische Strenge in der zu verbessern Grundlagen der Mathematik.^[h] In den 1860er Jahren, Hermann Grassmann vorgeschlagen a rekursive Definition Für natürliche Zahlen, so dass sie nicht wirklich natürlich waren - aber eine Folge von Definitionen. Später wurden zwei Klassen solcher formalen Definitionen konstruiert; Später wurde gezeigt, dass sie in den meisten praktischen Anwendungen gleichwertig sind.

Set-theoretische Definitionen natürlicher Zahlen wurden von initiiert von Frege. Er definierte zunächst eine natürliche Zahl als die Klasse aller Sätze, die sich in einer eins-zu-Eins-Korrespondenz mit einem bestimmten Satz befinden. Diese Definition führte jedoch zu Paradoxien, einschließlich Russells Paradox. Um solche Paradoxien zu vermeiden, wurde der Formalismus so geändert, dass eine natürliche Zahl als bestimmte Menge definiert wird, und jeder Satz, der mit diesem Satz in eins zu eins Korrespondenz gebracht werden kann, soll diese Anzahl von Elementen haben.^[20]

Die zweite Klasse von Definitionen wurde von eingeführt von Charles Sanders Peirce, verfeinert von Richard Dedekindund weiter untersucht von Giuseppe Peano; Dieser Ansatz wird jetzt genannt Peano -Arithmetik. Es basiert auf einem Axiomatisierung der Eigenschaften von Ordnungszahlen: Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger und jede natürliche Zahl ungleich Null hat einen eindeutigen Vorgänger. Peano -Arithmetik ist gleich mit mehreren schwachen Systemen der festgelegten Theorie. Ein solches System ist ZFC mit dem Axiom der Unendlichkeit ersetzt durch seine Negation. Theoreme, die in ZFC nachgewiesen werden können, aber nicht unter Verwendung der Peano -Axiome inklusive nachgewiesen werden können Goodsteins Theorem.^[21]

Bei all diesen Definitionen ist es zweckmäßig, 0 einzuschließen (entsprechend dem leeres Set) als natürliche Zahl. Einschließlich 0 ist jetzt die gemeinsame Konvention unter Theoretiker setzen^[22] und Logiker.^[23] Andere Mathematiker umfassen auch 0,,^[a] und Computersprachen häufig Von Null anfangen Bei Aufzählung von Gegenständen wie Schleifenzähler und String- oder Array-Elemente.^[24][25] Auf der anderen Seite haben viele Mathematiker die ältere Tradition gehalten, 1 als erste natürliche Zahl zu sein.^[26]

Notation

Mathematiker verwenden N oder ${\ displaystyle \ mathbb {n}}$ sich auf die beziehen einstellen aller natürlichen Zahlen.^[1][27] Die Existenz eines solchen Satzes ist in festgelegt Mengenlehre. Ältere Texte haben auch gelegentlich eingesetzt J als Symbol für diesen Satz.^[28]

Da verschiedene Eigenschaften üblicherweise mit den Token verbunden sind 0 und 1 (z. B. Identitätselemente für Addition bzw. Multiplikationen) Es ist wichtig zu wissen, welche Version von natürliche Zahlen wird in dem vorgesehenen Fall beschäftigt. Dies kann durch Erläuterung in der Prosa, durch explizites Schreiben des Satzes oder durch Qualifizierung des generischen Kenners mit einem Super- oder Index erfolgen.^[3][29] Zum Beispiel so:

• Natürliche ohne Null: ${\ displayStyle \ {1,2, ... \} = \ mathbb {n} ^{*} = \ mathbb {n} ^{+} = \ mathbb {n} _ {0} \ smallsetMinus \ {0 \ \ \ \ \ \} _ {0} \ smallsetminus \ {0 \ \ } = \ mathbb {n} _ {1}}$
• Natürliche mit Null: $oder \ {0 \}}$

Alternativ bilden die natürlichen Zahlen natürlich a Teilmenge des Ganzzahlen (häufig bezeichnet ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$), Sie können als positive bzw. nicht negative Ganzzahlen bezeichnet werden.^[30] Um eindeutig zu sein, ob 0 enthalten ist oder nicht, wird manchmal ein Index (oder SuperScript) "0" im ersteren Fall hinzugefügt und ein Superscript ".*"wird im letzteren Fall hinzugefügt:^[3]

$oder > 0}}$

$oder {Z} _ {\ geq 0}}$

Eigenschaften

Zusatz

Angesichts des Satzes ${\ displaystyle \ mathbb {n}}$ natürlicher Zahlen und die Nachfolgerfunktion ${\ displayStyle s \ colon \ mathbb {n} \ to \ mathbb {n}}$ Wenn Sie jede natürliche Nummer an die nächste senden, kann man definieren Zusatz von natürlichen Zahlen rekursiv durch Einstellen a + 0 = a und a + S(b) = S(a + b) für alle a, b. Dann ${\ displayStyle (\ mathbb {n},+)}$ ist ein kommutativ Monoid mit Identitätselement0. Es ist a Freies Monoid auf einem Generator. Dieser kommutative Monoid erfüllt die Stornierungseigenschaftso kann es in a eingebettet werden Gruppe. Die kleinste Gruppe, die die natürlichen Zahlen enthält, ist die Ganzzahlen.

Wenn 1 definiert ist als S(0), dann b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) = S(b). Das ist, b + 1 ist einfach der Nachfolger von b.

Multiplikation

Analog, da die Zugabe definiert wurde, a Multiplikation Operator ${\ displayStyle \ Times}$ kann durch definiert werden a × 0 = 0 und a × s (b) = ((a × b) + a. Das dreht sich ${\ displayStyle (\ mathbb {n} ^{*}, \ times)}$ in ein Kostenloser kommutatives Monoid mit Identitätselement 1; Ein Generatorset für diesen Monoid ist der Satz von von Primzahlen.

Beziehung zwischen Addition und Multiplikation

Addition und Multiplikation sind kompatibel, was in der ausgedrückt wird Verteilungsgesetz: a × (b + c) = ((a × b) + (a × c). Diese Eigenschaften von Addition und Multiplikation machen die natürlichen Zahlen zu einer Instanz von a kommutativ Seming. Semirings sind eine algebraische Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen, bei denen eine Multiplikation nicht unbedingt kommutativ ist. Das Fehlen von additiven Inversen, was der Tatsache entspricht, dass ${\ displaystyle \ mathbb {n}}$ ist nicht abgeschlossen Unter Subtraktion (dh, das Subtrahieren eines Natürlichen von einem anderen führt nicht immer zu einem anderen Natur) bedeutet das ${\ displaystyle \ mathbb {n}}$ ist nicht a Ring; Stattdessen ist es ein Seming (auch bekannt als a Rig).

Wenn die natürlichen Zahlen als "ausschließen 0" und "ab 1" angesehen werden, sind die Definitionen von + und × wie oben, außer dass sie mit beginnen mit a + 1 = S(a) und a × 1 = a.

Befehl

In diesem Abschnitt stellt Variablen gegenüber, z. B. ab Geben Sie das Produkt an a × b,^[31] und der Standard Operationsreihenfolge wird angenommen.

A Gesamtbestellung auf die natürlichen Zahlen wird durch das Vermeiden definiert a ≤ b Wenn und nur wenn es eine andere natürliche Zahl gibt c wo a + c = b. Diese Reihenfolge ist mit dem kompatibel arithmetische Operationen im folgenden Sinne: wenn a, b und c sind natürliche Zahlen und a ≤ b, dann a + c ≤ b + c und AC ≤ BC.

Eine wichtige Eigenschaft der natürlichen Zahlen ist, dass sie es sind geordnet: Jede nicht leere Gruppe natürlicher Zahlen hat ein geringstes Element. Der Rang unter gut geordneten Sets wird von einem ausgedrückt Ordinalzahl; Für die natürlichen Zahlen wird dies als bezeichnet als als ω (Omega).

Aufteilung

In diesem Abschnitt stellt Variablen gegenüber, z. B. ab Geben Sie das Produkt an a × bund der Standard Operationsreihenfolge wird angenommen.

Obwohl es im Allgemeinen nicht möglich ist, eine natürliche Zahl durch eine andere zu teilen und als Ergebnis eine natürliche Zahl zu erhalten, ist das Verfahren von Aufteilung mit Rest oder Euklidische Division ist als Ersatz erhältlich: für zwei natürliche Zahlen a und b mit b ≠ 0 Es gibt natürliche Zahlen q und r so dass

${\ displayStyle a = bq+r {\ text {und}} r <b.}$

Die Nummer q wird genannt Quotient und r wird genannt Rest der Teilung von a durchb. Die Zahlen q und r werden einzigartig bestimmt von a undb. Diese euklidische Abteilung ist der Schlüssel zu den verschiedenen anderen Eigenschaften (Trennbarkeit), Algorithmen (wie die Euklidischer Algorithmus) und Ideen in der Zahlentheorie.

Algebraische Eigenschaften, die durch die natürlichen Zahlen erfüllt sind

Die Addition (+) und die Multiplikation (×) Operationen auf natürlichen Zahlen, wie oben definiert, haben mehrere algebraische Eigenschaften:

• Schließung unter Hinzufügen und Multiplikation: Für alle natürlichen Zahlen a und b, beide a + b und a × b sind natürliche Zahlen.^[32]
• Assoziativität: Für alle natürlichen Zahlen a, b, und c, a + (b + c) = ((a + b) + c und a × (b × c) = ((a × b) × c.^[33]
• Amtativität: Für alle natürlichen Zahlen a und b, a + b = b + a und a × b = b × a.^[34]
• Existenz von Identitätselemente: Für jede natürliche Zahl a, a + 0 = a und a × 1 = a.
• Verbreitung Multiplikation über Addition für alle natürlichen Zahlen a, b, und c, a × (b + c) = ((a × b) + (a × c).
• Kein ungleich Null Zero Divisors: wenn a und b sind natürliche Zahlen so, dass a × b = 0, dann a = 0 oder b = 0 (oder beides).

Verallgemeinerungen

Zwei wichtige Verallgemeinerungen natürlicher Zahlen ergeben sich aus den beiden Verwendungen des Zählens und der Ordnung: Kardinalzahlen und Ordnungszahlen.

• Eine natürliche Zahl kann verwendet werden, um die Größe eines endlichen Satzes auszudrücken. Genauer gesagt ist eine Kardinalzahl eine Maßnahme für die Größe eines Satzes, das sogar für unendliche Sets geeignet ist. Dieses Konzept der "Größe" basiert auf Karten zwischen Sätzen, so dass zwei Sätze haben die gleiche Größegenau, ob es a existiert a Bijection zwischen ihnen. Die Menge der natürlichen Zahlen selbst und jedes bijektive Bild davon soll sein Zähler Unendlich unendlich und zu haben Kardinalität Aleph-Null (ℵ₀).
• Natürliche Zahlen werden auch als verwendet als sprachliche ordinale Zahlen: "First", "Second", "Third" und so weiter. Auf diese Weise können sie den Elementen eines vollständig geordneten endlichen Satzes und auch den Elementen eines jeden zugeordnet werden geordnet Zähler unendlich unendlich set. Diese Aufgabe kann auf allgemeine Wohltätigkeiten mit einer Kardinalität verallgemeinert werden, die über die Zählbarkeit hinausgeht, um die Ordnungszahlen zu ergeben. Eine Ordnungszahl kann auch verwendet werden, um den Begriff "Größe" für einen gut geordneten Satz zu beschreiben, in gewisser Weise anders als die Kardinalität: wenn es eine gibt Bestellen Sie den Isomorphismus (Mehr als eine Bijection!) Zwischen zwei gut geordneten Sätzen haben sie die gleiche Ordnungszahl. Die erste Ordnungszahl, die keine natürliche Zahl ist ω; Dies ist auch die Ordnungszahl der natürlichen Zahlen selbst.

Die geringste Ordinal der Kardinalität ℵ₀ (Das heißt, das anfängliche Ordinal von ℵ₀) ist ω aber viele gut geordnete Sets mit Kardinalzahl ℵ₀ haben eine Ordnungszahl größer als ω.

Zum endlich Geführte Sätze, es gibt eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen Ordnungs- und Kardinalnummern. Daher können beide durch die gleiche natürliche Zahl ausgedrückt werden, die Anzahl der Elemente des Satzes. Diese Zahl kann auch verwendet werden, um die Position eines Elements in einem größeren endlichen oder unendlichen, zu beschreiben. Reihenfolge.

Ein zählbar Nicht standardmäßiges Arithmetikmodell Befriedigung der Erdbaumarithmetik (dh die Erdungspano-Axiome erster Ordnung) wurde von entwickelt von Skolem 1933. Die Hypernatural Zahlen sind ein unzähliges Modell, das aus den gewöhnlichen natürlichen Zahlen über die konstruiert werden kann Ultrapowere Konstruktion.

Georges Reeb Wird verwendet, um provokativ zu behaupten, dass "die naiven Ganzzahlen nicht füllen" ${\ displaystyle \ mathbb {n}}$. Andere Verallgemeinerungen werden im Artikel über Zahlen erläutert.

Formale Definitionen

Peano -Axiome

Viele Eigenschaften der natürlichen Zahlen können von den fünf abgeleitet werden Peano -Axiome:^[35][ich]

1. 0 ist eine natürliche Zahl.
2. Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger, der auch eine natürliche Zahl ist.
3. 0 ist nicht der Nachfolger einer natürlichen Zahl.
4. Wenn der Nachfolger von ${\ displayStyle x}$ gleich dem Nachfolger von ${\ displayStyle y}$, dann ${\ displayStyle x}$ gleich ${\ displayStyle y}$.
5. Das Axiom der Induktion: Wenn eine Aussage von 0 gilt und wenn die Wahrheit dieser Aussage für eine Zahl ihre Wahrheit für den Nachfolger dieser Zahl impliziert, dann gilt die Aussage für jede natürliche Zahl.

Dies sind nicht die ursprünglichen Axiome, die von Peano veröffentlicht wurden, sondern zu seinen Ehren genannt werden. Einige Formen der Erdung Axiome haben 1 anstelle von 0. In gewöhnlicher Arithmetik, der Nachfolger von ${\ displayStyle x}$ ist ${\ displayStyle x+1}$. Ersetzen von Axiom 5 durch ein Axiomschema erhält man eine (schwächere) Theorie erster Ordnung, die genannt wird Peano -Arithmetik.

Konstruktionen basierend auf der festgelegten Theorie

Von Neumann Ordinale

Im Bereich der Mathematik genannt Mengenlehre, eine bestimmte Konstruktion aufgrund John von Neumann^[36][37] definiert die natürlichen Zahlen wie folgt:

• Satz 0 = {}, das leeres Set,
• Definieren S(a) = a ∪ {a} Für jeden Satz a. S(a) ist der Nachfolger von a, und S wird genannt Nachfolgerfunktion.
• Bis zum Axiom der UnendlichkeitEs gibt einen Satz, der 0 enthält und unter der Nachfolgerfunktion geschlossen ist. Solche Sets sollen sein induktiv. Der Schnittpunkt aller dieser induktiven Sätze wird als die Menge natürlicher Zahlen definiert. Es kann überprüft werden, ob die natürliche Zahlen die natürlichen Zahlen erfüllen Peano -Axiome.
• Daraus folgt, dass jede natürliche Zahl gleich dem Satz aller natürlichen Zahlen ist, die weniger als sie sind:

• 0 = {},
• 1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{}},
• 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{}, {{}}},
• 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}},
• n = n−1 ∪ {n−1} = {0, 1, ...,, n−1} = {{}, {{}}, ..., {{}, {{}}, ...}}, etc.

Mit dieser Definition eine natürliche Zahl n ist ein bestimmtes Set mit n Elemente und n ≤ m dann und nur dann, wenn n ist ein Teilmenge von m. Die Standarddefinition, jetzt als Definition von bezeichnet von Neumann Ordinale, IS: "Jeder Ordinal ist der gut geordnete Satz aller kleineren Ordinale."

Auch mit dieser Definition, unterschiedliche mögliche Interpretationen von Notationen wie ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$ (n-Tupel gegen Zuordnungen von n hinein ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$) zusammenfällt.

Auch wenn einer Akzeptiert das Axiom der Unendlichkeit nicht und kann daher nicht akzeptieren, dass die Menge aller natürlichen Zahlen existiert, es ist immer noch möglich, eines dieser Sätze zu definieren.

Zermelo -Ordinale

Obwohl die Standardkonstruktion nützlich ist, ist sie nicht die einzige mögliche Konstruktion. Ernst ZermeloDie Konstruktion lautet wie folgt:^[37]

• Satz 0 = {}
• Definieren S(a) = {a},
• Dann folgt das

• 0 = {},
• 1 = {0} = {{}},
• 2 = {1} = {{{}}},
• n = {{n−1} = {{{...}}}, etc.

Jede natürliche Zahl ist dann gleich dem Satz, der nur die natürliche Zahl enthält. Dies ist die Definition von Zermelo -Ordinale. Im Gegensatz zu von Neumanns Bau erstrecken sich die Zermelo -Ordinals nicht auf unendliche Ordinale.

Siehe auch

• Kanonische Darstellung einer positiven Ganzzahl- Darstellung einer Zahl als Produkt von Primzahlen
• Zählbar- mathematisches Set, das aufgezählt werden kann
• Ordinalzahl-Verallgemeinerung von "n-ten" auf unendliche Fälle
• Kardinalzahl- Größe eines möglicherweise unendlichen Satzes
• Set-theoretische Definition natürlicher Zahlen

Zahlensysteme Komplex ${\ displayStyle: \; \ mathbb {c}}$ Real ${\ displayStyle: \; \ mathbb {r}}$ Rational ${\ displayStyle: \; \ mathbb {q}}$ Ganze Zahl ${\ displayStyle: \; \ mathbb {z}}$ Natürlich ${\ displayStyle: \; \ mathbb {n}}$ Null: 0 Einer: 1 Primzahlen Zusammengesetzte Zahlen Negative Ganzzahlen Fraktion Finite Decimal Dyadisch (endlich binär) Dezimal wiederholen Irrational Algebraisch irrational Transzendental Imaginär

Anmerkungen

Verweise

Literaturverzeichnis

Externe Links

• "Natürliche Zahl", Enzyklopädie der Mathematik, EMS Press, 2001 [1994]
• "Axiome und Konstruktion natürlicher Zahlen". apronus.com.