Mehrwertige Funktion

Dieses Diagramm stellt ein mehrwertiges, aber nicht ein richtiges (einzeln bewertet) dar. Funktion, weil das Element 3 in X ist mit zwei Elementen verbunden, b und c, in Y.

Im Mathematik, a Mehrwertige Funktion, auch genannt Multifunktion, Viele bewertete Funktion, SET-Wert-Funktion, ist ähnlich wie a Funktion, kann jedoch mehrere Werte mit jeder Eingabe assoziieren. Genauer gesagt eine mehrwertige Funktion von a Domain X zu einem Codomäne Y Associates jeweils x in X zu einem oder mehreren Werten y in Y; es ist also a serielle binäre Beziehung. Einige Autoren erlauben eine mehrfache Funktion, für einige Eingaben keinen Wert zu haben (in diesem Fall ist eine mehrfache Funktion einfach eine binäre Beziehung).

In einigen Kontexten wie in Komplexe Analyse (X = Y = C), Autoren bevorzugen es, die Funktionstheorie nachzuahmen, wenn sie Konzepte der gewöhnlichen (einzeln bewerteten) Funktionen erweitern. In diesem Zusammenhang ein gewöhnliches Funktion wird oft als a genannt Einzelwertfunktion um Verwirrung zu vermeiden.

Der Begriff Mehrwertige Funktion Ursprung in der komplexen Analyse, aus Analytische Fortsetzung. Es tritt oft auf, dass man den Wert eines Komplexes kennt analytische Funktion ${\ displayStyle f (z)}$ in einigen Nachbarschaft von einem Punkt ${\ displayStyle z = a}$. Dies ist der Fall für Funktionen, die von der definiert sind implizite Funktionssheorem oder von a Taylor -Serie um ${\ displayStyle z = a}$. In einer solchen Situation kann man die Domäne der einzelnsten Funktion erweitern ${\ displayStyle f (z)}$ entlang der Kurven in der komplexen Ebene beginnend bei ${\ displayStyle a}$. Dabei stellt man fest, dass der Wert der erweiterten Funktion an einem Punkt ${\ displayStyle z = b}$ hängt von der gewählten Kurve von ab ${\ displayStyle a}$ zu ${\ displayStyle B}$; Da keiner der neuen Werte natürlicher ist als die anderen, werden alle in eine mehrwertige Funktion einbezogen.

Zum Beispiel lassen ${\ displayStyle f (z) = {\ sqrt {z}} \,}$ Sei der übliche Quadratwurzel Funktion auf positive reelle Zahlen. Man kann seine Domäne auf eine Nachbarschaft von ausdehnen ${\ displayStyle z = 1}$ in der komplexen Ebene und dann weiter entlang der Kurven beginnen bei ${\ displayStyle z = 1}$, so dass die Werte entlang einer bestimmten Kurve kontinuierlich abweichen ${\ displayStyle {\ sqrt {1}} = 1}$. Wenn man sich auf negative reelle Zahlen erstreckt, erhält man zwei gegenteilige Werte für die Quadratwurzel - zum Beispiel - ±i zum –1- Abhängig davon, ob die Domäne durch die obere oder die untere Hälfte der komplexen Ebene verlängert wurde. Dieses Phänomen ist sehr häufig und tritt auf nDie Wurzeln, Logarithmen, und inverse trigonometrische Funktionen.

Um eine einzelnwerte Funktion aus einer komplexen mehrwertigen Funktion zu definieren, kann man einen der Mehrfachwerte als die unterscheiden HauptwertErzeugung einer einzelwertigen Funktion in der gesamten Ebene, die entlang bestimmter Grenzkurven diskontinuierlich ist. Alternativ kann der Umgang mit der mehrwertigen Funktion etwas, das überall kontinuierlich ist, auf Kosten möglicher Wert ändert, wenn man einem geschlossenen Pfad folgt (einem geschlossenen Pfad (Monodromie). Diese Probleme sind in der Theorie von gelöst Riemann -Oberflächen: eine mehrwertige Funktion in Betracht ziehen ${\ displayStyle f (z)}$ Als gewöhnliche Funktion, ohne Werte zu verwerfen, multipliziert man die Domäne in eine vielschichtige Raum bedecken, a vielfältig Welches ist die Riemann -Oberfläche, die zugeordnet ist ${\ displayStyle f (z)}$.

Beispiele

• Jeder reelle Zahl größer als null hat zwei reale Quadratwurzeln, so dass die Quadratwurzel als mehrwertige Funktion angesehen werden kann. Zum Beispiel können wir schreiben ${\ displaystyle {\ sqrt {4}} = \ pm 2 = \ {2, -2 \}}$; Obwohl Null nur eine Quadratwurzel hat, ${\ displaystyle {\ sqrt {0}} = \ {0 \}}$.
• Jeder ungleich Null komplexe Zahl Hat zwei Quadratwurzeln, drei Würfelwurzeln, und allgemein n nDie Wurzeln. Das einzige nDie Wurzel von 0 ist 0.
• Das Komplexer Logarithmus Funktion ist mehrfach bewertet. Die Werte angenommen von ${\ displayStyle \ log (a+bi)}$ für reale Zahlen ${\ displayStyle a}$ und ${\ displayStyle B}$ sind ${\ displaystyle \ log {\ sqrt {a^{2}+b^{2}}}+i \ arg (a+bi) +2 \ pi ni}$ für alle Ganzzahlen ${\ displayStyle n}$.
• Inverse trigonometrische Funktionen sind mehrfach bewertet, weil trigonometrische Funktionen regelmäßig sind. Wir haben
  $$oder \ tfrac {-3 \ pi} {4}} \ rechts) = \ tan \ links ({\ tfrac {(2n+1) \ pi} {4} \ \ rechts) = \ cdots = 1.}$$

  
  Infolgedessen hängt Arctan (1) intuitiv mit mehreren Werten zusammen: π/4, 5π/4, –3π/4 und so weiter. Wir können Arctan als eine Einsatzfunktion behandeln, indem wir die Tan-Domäne einschränken x zu −π/2 < x < π/2 - eine Domäne, über die Bräune x ist monoton nimmt. Somit der Bereich von Arctan (x) wird −π/2 < y < π/2. Diese Werte aus einer eingeschränkten Domäne werden aufgerufen Hauptwerte.
• Das antiderivativ kann als mehrwertige Funktion betrachtet werden. Das Antiderivieren einer Funktion ist der Satz von Funktionen, deren Ableitung diese Funktion ist. Das Integrationskonstante folgt aus der Tatsache, dass die Ableitung einer konstanten Funktion 0 beträgt.
• Inverse hyperbolische Funktionen Über die komplexe Domäne sind mehrfach bewertet, da hyperbolische Funktionen entlang der imaginären Achse periodisch sind. Im Rahmen der Realität sind sie mit Ausnahme von Arcosh und Arsech einzeln bewertet.
• Das Argmax ist zum Beispiel mehrfachedig gestaltet $oder$

Dies sind alles Beispiele für mehrwertige Funktionen, die von Non nicht entstehenInjektivfunktionen. Da die ursprünglichen Funktionen nicht alle Informationen ihrer Eingaben bewahren, sind sie nicht reversibel. Oft ist die Einschränkung einer mehrwertigen Funktion a teilweise inverse der ursprünglichen Funktion.

Mehrwertige Funktionen einer komplexen Variablen haben Zweigstellen. Zum Beispiel für die nTH Root- und Logarithmusfunktionen, 0 ist ein Zweigpunkt; Für die Arctangent -Funktion die imaginären Einheiten i und -i sind Zweigstellen. Unter Verwendung der Zweigstellen können diese Funktionen durch Einschränkung des Bereichs als Einzelwertfunktionen neu definiert werden. Ein geeignetes Intervall kann durch Verwendung von a gefunden werden Astgeschnitten, eine Art Kurve, die Paare von Zweigpunkten verbindet, wodurch das mehrschichtige Verringerung reduziert wird Riemann Oberfläche der Funktion zu einer einzelnen Schicht. Wie im Fall mit realen Funktionen kann der eingeschränkte Bereich als die als die bezeichnet werden Prinzipie der Funktion.

SET-Wert-Analyse

SET-Wert-Analyse ist das Studium von Sets im Geiste von Mathematische Analyse und Allgemeine Topologie.

Anstatt Sammlungen nur Punkte zu berücksichtigen, berücksichtigt die SET-Wert-Analyse Sammlungen von Sätzen. Wenn eine Sammlung von Sets mit einer Topologie ausgestattet ist oder eine geeignete Topologie aus einem zugrunde liegenden topologischen Raum erbt, kann die Konvergenz von Sets untersucht werden.

Ein Großteil der festgestellten Analyse ergab Mathematische Ökonomie und optimale Kontrolleteilweise als Verallgemeinerung von Konvexe Analyse; der Begriff "Variationsanalyse"wird von Autoren verwendet, z. R. Tyrrell Rockafellar und Roger J-B-Wets, Jonathan Borwein und Adrian Lewis, und Boris Mordukhovich. In der Optimierungstheorie die Konvergenz der Approximation Subdifferenz Zu einem Subdifferential ist wichtig, um die notwendigen oder ausreichenden Bedingungen für minimierende Punkte zu verstehen.

Aus punktgenannten Analyse existiert ein SET-Wert-Erweiterungen der folgenden Konzepte: Kontinuität, Unterscheidung, Integration,^[1] implizite Funktionssheorem, Kontraktionszuordnungen, Theorie messen, Festpunkt Theoreme,^[2] Optimierung, und topologische Grad -Theorie.

Gleichungen sind verallgemeinert auf Einschlüsse.

Arten von mehrwertigen Funktionen

Man kann mehrere Konzepte unterscheiden, die verallgemeinert werden Kontinuität, so wie die geschlossene Grafik Eigentum und Ober- und Unter Hemicontinuität^[a]. Es gibt auch verschiedene Verallgemeinerungen von messen zu Multifunktionen.

Anwendungen

Multifunktionen entstehen in Optimale Kontrolltheorie, besonders Differentialeinschlüsse und verwandte Themen als Spieltheorie, bei dem die Kakutani Festpunkt Theorem Für Multifunktionen wurde angewendet, um die Existenz von zu beweisen Nash -Gleichgewichte (Im Kontext der Spieltheorie wird eine mehrwertige Funktion normalerweise als als bezeichnet Korrespondenz). Dies unter vielen anderen Eigenschaften, die locker mit der Annäherung an die obere hämontinuierliche Multifunktionen über kontinuierliche Funktionen verbunden sind, erklärt, warum die obere Hemikontinuität eher bevorzugt als die untere Hemikontinuität.

Trotzdem besitzen niedrigere halbkontinuierliche Multifunktionen normalerweise eine kontinuierliche Auswahl, wie in der angegeben Michael Auswahl Theorem, was eine weitere Charakterisierung von liefert parakompakt Räume.^[3][4] Andere Auswahlmenschen wie Bressan-Colombo-Richtungsauswahl, Richtungsauswahl, Kuratowski und Ryll-Nardzewski messbare Auswahl Theorem, Aumann messbare Selektion und Fryszkowski -Selektion für zersetzbare Karten sind wichtig in optimale Kontrolle und die Theorie von Differentialeinschlüsse.

In der Physik spielen mehrwertige Funktionen eine immer wichtigere Rolle. Sie bilden die mathematische Grundlage für Dirac's Magnetische Monopolefür die Theorie von Mängel in Kristallen und die resultierenden Plastizität von Materialien, für Wirbel in Superfluiden und Superkonferenzen, und für Phasenübergänge Zum Beispiel in diesen Systemen schmelzen und Quark Haft. Sie sind der Ursprung von Messfeld Strukturen in vielen Zweigen der Physik.

Kontrast zu

• Bijection
• Injektivfunktion
• Surjektive Funktion

Siehe auch

• Fettverbindung, ein Eins-zu-Viel-Hyperlink
• Interval finite element
• Teilfunktion
• Vektor-bewertete Funktion

Verweise

Anmerkungen

Weitere Lektüre

• C. D. Aliprantis und K. C. Grenze, Grenze, Unendliche dimensionale Analyse. Anhängerführer, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006
• J. Andres und L. Górniewicz, Topologische Fixpunktprinzipien für Grenzwertprobleme, Kluwer Academic Publishers, 2003
• J.-P. Aubin und A. cellina, Differentiale Einschlüsse, festwertige Karten und Lebensfähigkeitstheorie, Grundl. der Mathematik. Wiss. 264, Springer - Verlag, Berlin, 1984
• J.-P. Aubin und H. Frankowska, SET-Wert-Analyse, Birkhäuser, Basel, 1990
• K. Deimling, Mehrwertige Differentialgleichungen, Walter de Gruyter, 1992
• Geletu, A. (2006). "Einführung in topologische Räume und festwertige Karten" (PDF). Vorlesungsnotizen. Technische Universität Ilmenau.
• H. Kleinert, Mehrwertige Felder in kondensierter Materie, Elektrodynamik und Gravitation, World Scientific (Singapur, 2008) (auch verfügbar online)
• H. Kleinert, Messfelder in kondensierter Materie, Vol. I: Superflow- und Wirbellinien, 1–742, vol. II: Stress und Defekte, 743–1456, World Scientific, Singapur, 1989 (auch online verfügbar: Vol. ich und Vol. II)
• D. Repovš und p.v. Semenov, Kontinuierliche Auswahl mehrerer Mappings, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1998
• E. U. Tarafdar und M. S. R. Chowdhury, Topologische Methoden für die nichtlineare SET-Wert-Analyse, World Scientific, Singapur, 2008
• Mitroi, F.-C.; Nikodem, K.; Wąsowicz, S. (2013). "Hermite-Hadamard-Ungleichheiten für konvexe Set-bewertete Funktionen". Demonstration Mathematica. 46 (4): 655–662. doi:10.1515/Dema-2013-0483.