Multiplikation

Vier Beutel mit drei Murmeln pro Beutel ergeben zwölf Murmeln (4 × 3 = 12).

Multiplikation kann auch als als angesehen werden Skalierung. Hier sehen wir, dass 2 mit einer Skalierung mit 3 multipliziert werden, wobei 6 dadurch 6 angegeben werden.

Animation für die Multiplikation 2 × 3 = 6.

4 × 5 = 20. Das große Rechteck besteht aus 20 Quadraten, jeweils 1 Einheit zu 1 Einheit.

Tuchsbereich 4,5 m × 2,5 m = 11,25 m²; 4 1/2 × 2 1/2 = 11 1/4

Multiplikation (oft mit dem bezeichnet Kreuzsymbol ×, bis zur Mitte Punktbetreiber ⋅, durch Nebeneinanderoder, auf Computers, durch eine Sternchen *) ist einer der vier elementar mathematische Operationen von Arithmetikmit den anderen Sein Zusatz, Subtraktion, und Aufteilung. Das Ergebnis einer Multiplikationsoperation wird a genannt Produkt.

Die Multiplikation von ganze Zahlen kann als als angesehen werden Wiederholte Addition; Das heißt, die Multiplikation von zwei Zahlen entspricht dem Hinzufügen von so vielen Kopien von ihnen, die Multiplikand, wie die Menge des anderen, die Multiplikator. Beide Zahlen können als als bezeichnet werden Faktoren.

$oder$

Zum Beispiel 4 multipliziert mit 3, oft geschrieben als als ${\ displayStyle 3 \ Times 4}$ und als "3 mal 4" gesprochen werden, kann durch Hinzufügen von 3 Kopien von 4 zusammen berechnet werden:

${\ displayStyle 3 \ Times 4 = 4+4+4 = 12}$

Hier, 3 (die Multiplikator) und 4 (die Multiplikand) sind die Faktorenund 12 ist das Produkt.

Einer der Hauptstoffe Eigenschaften von Multiplikation ist das Kommutativgesetz, was in diesem Fall feststellt, dass das Hinzufügen von 3 Kopien von 4 das gleiche Ergebnis wie das Hinzufügen von 4 Kopien von 3 ergibt:

${\ displayStyle 4 \ Times 3 = 3+3+3+3 = 12}$

Daher wirkt sich die Bezeichnung von Multiplikator und Multiplikum nicht auf das Ergebnis der Multiplikation aus.^[1]

Systematische Verallgemeinerungen dieser grundlegenden Definition definieren die Multiplikation von Ganzzahlen (einschließlich negativer Zahlen), rationale Zahlen (Brüche) und reelle Zahlen.

Die Multiplikation kann auch als visualisiert werden Zählen Objekte, die in a angeordnet sind Rechteck (für ganze Zahlen) oder als Finden der Bereich eines Rechtecks, dessen Seiten einige gegeben haben Längen. Der Bereich eines Rechtecks ​​hängt nicht davon ab, welche Seite zuerst gemessen wird - eine Folge der kommutativen Eigenschaft.

Das Produkt von zwei Messungen ist eine neue Art von Messung. Zum Beispiel gibt das Multiplizieren der Längen der beiden Seiten eines Rechtecks ​​seinen Bereich. Ein solches Produkt ist Gegenstand von Dimensionsanalyse.

Der inverse Betrieb der Multiplikation ist Aufteilung. Da 4 beispielsweise mit 3 multipliziert ist, entspricht 12, 12 geteilt durch 3 gleich 4. Die Multiplikation mit 3, gefolgt von der Division mit 3, ergibt die ursprüngliche Zahl. Die Aufteilung einer anderen Zahl als 0 selbst entspricht 1.

Die Multiplikation ist auch für andere Arten von Zahlen definiert, wie z. komplexe Zahlenund für abstraktere Konstrukte wie Matrizen. Für einige dieser abstrakteren Konstrukte, die Reihenfolge, in der die Operanden miteinander vervielfacht werden. Eine Auflistung der vielen verschiedenen Arten von Produkten, die in der Mathematik verwendet werden Produkt (Mathematik).^{[Überprüfung erforderlich]}

Notation und Terminologie

Im ArithmetikDie Multiplikation wird häufig mit dem geschrieben Multiplikationszeichen (entweder × oder${\ displayStyle \ Times}$) zwischen den Begriffen (dh in Infixnotation).^[2] Zum Beispiel,

${\ displayStyle 2 \ Times 3 = 6}$ ("Zweimal drei gleich sechs")

${\ displayStyle 3 \ Times 4 = 12}$

${\ displayStyle 2 \ Times 3 \ Times 5 = 6 \ Times 5 = 30}$

${\ displayStyle 2 \ Times 2 \ Times 2 \ Times 2 \ Times 2 = 32}$

Da sind andere Mathematische Notationen zur Multiplikation:

• Um die Verwirrung zwischen dem Multiplikationszeichen × und der gemeinsamen Variablen zu verringern x, Multiplikation wird auch mit Punktzeichen bezeichnet,^[3] normalerweise ein mittlerer Punktpunkt (selten Zeitraum):

5 ≤ 2 oder 5. 3

Die mittlere Punktnotation, codiert in Unicode als U+22C5 ⋅ Punktbetreiber, ist jetzt Standard in den Vereinigten Staaten und anderen Ländern, in denen die Periode als verwendet wird Komma. Wenn der DOT -Operatorcharakter nicht zugänglich ist, ist der Interpunkt(·) wird genutzt. In anderen Ländern, die a verwenden Komma Als Dezimalzeichen wird entweder der Zeitraum oder ein mittlerer Punkt zur Multiplikation verwendet.

Historisch gesehen wurde im Vereinigten Königreich und Irland manchmal der mittlere Punkt für die Dezimalstelle verwendet, um zu verhindern, dass er in der regierten Linie verschwindet, und der Zeitraum/die volle Station wurde zur Multiplikation verwendet. Aber seit der Technologieministerium regierte, um die Zeit als Dezimalpunkt im Jahr 1968 zu nutzen,^[4] Und der SI -Standard wurde inzwischen weit verbreitet, diese Verwendung ist jetzt nur in den traditionelleren Zeitschriften wie Die Lanzette.^[5]

• Im Algebra, Multiplikation mit Variablen wird oft als Nebeneinander (z.B., xy zum x mal y oder 5x fünfmal x), auch genannt implizite Multiplikation.^[6] Die Notation kann auch für Mengen verwendet werden, von denen umgeben ist Klammern (z. B. 5 (2) oder (5) (2) für fünfmal zwei). Diese implizite Verwendung der Multiplikation kann Unklarheiten verursachen, wenn die verketteten Variablen zufällig mit dem Namen einer anderen Variablen übereinstimmen, wenn ein Variablenname vor einer Klammung mit einem Funktionsnamen oder in der richtigen Bestimmung des Operationsreihenfolge.
• Im VektormultiplikationEs gibt eine Unterscheidung zwischen dem Kreuz und den Punktsymbolen. Das Kreuzsymbol bezeichnet im Allgemeinen die Einnahme a Kreuzprodukt von zwei Vektoreneinen Vektor als Ergebnis ergibt, während der Punkt bezeichnet Skalarprodukt von zwei Vektoren, was zu a führt Skalar.

Im Computerprogrammierung, das Sternchen (wie in 5*2) ist immer noch die häufigste Notation. Dies liegt an der Tatsache, dass die meisten Computer historisch gesehen auf kleine beschränkt waren Zeichensätze (wie zum Beispiel ASCII und Ebcdic) dem fehlte ein Multiplikationszeichen (wie z. ⋅ oder ×), während das Sternchen auf jeder Tastatur erschien. Diese Verwendung entstand in der Forran Programmiersprache.

Die zu multiplizierten Zahlen werden allgemein als "als" bezeichnet "genannt"Faktoren"Die zu multiplizierte Zahl ist der" Multiplikand ", und die Zahl, mit der sie multipliziert wird, ist der" Multiplikator ". Normalerweise wird der Multiplikator zuerst platziert und der Multiplikand wird an zweiter Stelle platziert.^[1] Manchmal ist der erste Faktor der Multiplikand und der zweite der Multiplikator.^[7] Infolge der Multiplikation hängt nicht von der Reihenfolge der Faktoren ab, die Unterscheidung zwischen "Multiplikand" und "Multiplikator" ist nur auf sehr elementarer Ebene und in einigen nützlich Multiplikationsalgorithmen, so wie die lange Multiplikation. Daher wird in einigen Quellen der Begriff "multiplicand" als Synonym für "Faktor" angesehen.^[8] In der Algebra ist eine Zahl, die der Multiplikator einer Variablen oder eines Ausdrucks ist (z. B. 3 in 3xy²) wird a genannt Koeffizient.

Das Ergebnis einer Multiplikation wird a genannt Produkt. Wenn ein Faktor eine Ganzzahl ist, ist das Produkt a mehrere des anderen oder des Produkts der anderen. Daher 2 × π ist ein Vielfaches von π, wie es ist 5133 × 486 × π. Ein Produkt von Ganzzahlen ist ein Vielfaches jedes Faktors. Zum Beispiel ist 15 das Produkt von 3 und 5 und sowohl ein Vielfaches von 3 als auch ein Vielfaches von 5.

Berechnung

Der gebildete Affe - a Blechspielzeug datiert 1918, als Multiplikation "Rechner" verwendet. Zum Beispiel: Stellen Sie die Füße des Affen auf 4 und 9 und lassen Sie das Produkt - 36 - in seine Hände.

Viele gemeinsame Methoden zum Multiplizieren von Zahlen mit Bleistift und Papier erfordern a Multiplikationstabelle von auswendig gelernten oder konsultierten Produkten kleiner Zahlen (normalerweise zwei beliebige Zahlen von 0 bis 9). Jedoch eine Methode, die Bauernmultiplikation Algorithmus, nicht. Das folgende Beispiel zeigt die "lange Multiplikation" (den "Standardalgorithmus", "Multiplikation der School-Schule"):

      23958233 ×         5830 ———————————————       00000000 ( =      23,958,233 ×     0)      71874699  ( =      23,958,233 ×    30)    191665864   ( =      23,958,233 ×   800) + 119791165    ( =      23,958,233 × 5,000) ——— ———————————————— 139676498390 (= 139.676.498.390)

In einigen Ländern wie z. DeutschlandDie obige Multiplikation wird ähnlich dargestellt, aber das ursprüngliche Produkt horizontal und berechnet beginnt mit der ersten Ziffer des Multiplikators:^[9]

23958233 · 5830 ———————————————    119791165     191665864       71874699        00000000  ———————————————    139676498390

Das Multiplizieren von Zahlen mit mehr als ein paar Dezimalstellen von Hand ist mühsam und fehleranfällig. Gemeinsame Logarithmen wurden erfunden, um solche Berechnungen zu vereinfachen, da das Hinzufügen von Logarithmen dem multiplizieren. Das Rechenschieber Erlaubte Zahlen, die sich schnell mit etwa drei Genauigkeitsorten multiplizieren. Ab dem frühen 20. Jahrhundert mechanisch Taschenrechner, so wie die Marschant, automatisierte Multiplikation von bis zu 10-stelligen Zahlen. Moderne elektronische Computers und die Taschenrechner haben den Bedarf an Multiplikation von Hand stark reduziert.

Historische Algorithmen

Multiplikationsmethoden wurden in den Schriften von dokumentiert Antike Ägypter, Griechisch, Inder, und Chinesisch Zivilisationen.

Das Ishango Bone, datiert auf ca. 18.000 bis 20.000 v. Oberer Paläolithikum Ära in Zentralafrika, aber das ist spekulativ.^{[10][Überprüfung erforderlich]}

Ägypter

Die ägyptische Methode zur Multiplikation von Ganzzahlen und Brüchen, die in der dokumentiert sind Rhind Mathematical Papyrus, war nach aufeinanderfolgenden Ergänzungen und Verdoppelung. Zum Beispiel musste man das Produkt von 13 und 21 dreimal verdoppeln, um sie zu verdoppeln und zu erhalten 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 2 × 42 = 84, 8 × 21 = 2 × 84 = 168. Das vollständige Produkt kann dann gefunden werden, indem die entsprechenden Begriffe in der Verdoppelungssequenz hinzugefügt werden:^[11]

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

Babylonier

Das Babylonier verwendet a sexagesimal Positionsnummernsystem, analog zum heutigen Tag Dezimalsystem. Somit war die babylonische Multiplikation der modernen Dezimalmultiplikation sehr ähnlich. Wegen der relativen Schwierigkeit, sich zu erinnern 60 × 60 Verschiedene Produkte, babylonische Mathematiker beschäftigt Einmaleins. Diese Tabellen bestanden aus einer Liste der ersten zwanzig Vielfachen einer bestimmten Hauptnummer n: n, 2n, ..., 20n; gefolgt von den Vielfachen von 10n: 30n 40nund 50n. Dann, um ein sexagesimales Produkt zu berechnen, sagen wir 53n, man musste nur 50 hinzufügenn und 3n aus der Tabelle berechnet.

Chinesisch

38 × 76 = 2888

Im mathematischen Text Zhoubi Suanjing, datiert vor 300 v. Chr. Und die Neun Kapitel über die mathematische Kunst, Multiplikationsberechnungen wurden in Worten ausgeschrieben, obwohl die frühen chinesischen Mathematiker beschäftigt waren Stangenkalkül Einbeziehung von Platzwertabschluss, Subtraktion, Multiplikation und Teilung. Die Chinesen benutzten bereits a Dezimalmultiplikationstabelle am Ende der Kriegerstaaten Zeitraum.^[12]

Moderne Methoden

Produkt von 45 und 256. Beachten Sie, dass die Reihenfolge der Ziffern in 45 die linke Säule umgekehrt ist. Der Tragschritt der Multiplikation kann in der letzten Phase der Berechnung (fettem) durchgeführt werden, wobei das Endprodukt von zurückgegeben wird 45 × 256 = 11520. Dies ist eine Variante von Gittermultiplikation.

Die moderne Methode der Multiplikation basierend auf der Hindu -arabisches Ziffernungssystem wurde zuerst von beschrieben von Brahmagupta. Brahmagupta gab Regeln für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Aufteilung. Henry Burchard gut, dann Professor für Mathematik bei Princeton Universität, schrieb Folgendes:

Die Indianer sind die Erfinder nicht nur des Positions -Dezimalsystems selbst, sondern auch der meisten Prozesse, die mit dem System mit dem System verbunden sind. Addition und Subtraktion haben sie durchaus durchgeführt, wie sie heutzutage durchgeführt werden. Multiplikation, die sie in vielerlei Hinsicht bewirkten, unsere unter ihnen, aber die Aufteilung, die sie kumbisch machten.^[13]

Diese Ortswert -Dezimal -arithmetischen Algorithmen wurden in arabische Länder eingeführt Al Khwarizmi im frühen 9. Jahrhundert und populär in der westlichen Welt von populär von Fibonacci Im 13. Jahrhundert.^[14]

Gittermethode

Grid -Methode Multiplikationoder die Boxmethode wird in Grundschulen in England und Wales und in einigen Bereichen verwendet^[die?] von den Vereinigten Staaten, um ein Verständnis dafür zu vermitteln, wie die multiple Multiplikation mit mehreren Ziffern funktioniert. Ein Beispiel für die Multiplizierung von 34 mit 13 wäre, die Zahlen wie folgt in ein Raster auszulegen:

×	30	4
10	300	40
3	90	12

und fügen Sie dann die Einträge hinzu.

Computeralgorithmen

Die klassische Methode, zwei zu multiplizieren n-Digit -Zahlen erfordert n² Ziffernmultiplikationen. Multiplikationsalgorithmen wurden konzipiert, die die Berechnungszeit erheblich verkürzen, wenn sie große Zahlen multiplizieren. Methoden basierend auf dem diskrete Fourier-Transformation reduzieren Rechenkomplexität zu O(n Protokoll n Protokollprotokoll n). 2016 der Faktor Protokollprotokoll n wurde durch eine Funktion ersetzt, die viel langsamer erhöht, aber immer noch nicht konstant.^[15] Im März 2019 reichten David Harvey und Joris van der Hoeven ein Papier ein, in dem ein ganzzahliger Multiplikationsalgorithmus mit einer Komplexität von vorgestellt wurde ${\ displayStyle o (n \ log n).}$^[16] Der Algorithmus, der ebenfalls auf der schnellen Fourier -Transformation basiert, wird vermutet, dass sie asymptotisch optimal ist.^[17] Der Algorithmus ist praktisch nicht nützlich, da er nur schneller für die Multiplikation extrem großer Zahlen wird (mehr als mehr als 2¹⁷²⁹¹² Bits).^[18]

Messprodukte

Man kann nur aussagekräftige Mengen desselben Typs hinzufügen oder subtrahieren, aber die Mengen verschiedener Typen können ohne Probleme multipliziert oder geteilt werden. Zum Beispiel können vier Taschen mit jeweils drei Murmeln als:^[1]

[4 Beutel] × [3 Murmeln pro Beutel] = 12 Murmeln.

Wenn zwei Messungen miteinander multipliziert werden, ist das Produkt abhängig von den Arten von Messungen von einem Typ. Die allgemeine Theorie ist gegeben durch Dimensionsanalyse. Diese Analyse wird routinemäßig in der Physik angewendet, verfügt jedoch auch über Anwendungen in Finanzen und anderen angewandten Bereichen.

Ein häufiges Beispiel in der Physik ist die Tatsache, dass sich multiplizieren Geschwindigkeit durch Zeit gibt Distanz. Zum Beispiel:

50 Kilometer pro Stunde × 3 Stunden = 150 Kilometer.

In diesem Fall stornieren die Stundeneinheiten und lassen das Produkt nur mit Kilometern.

Weitere Beispiele für Multiplikation mit Einheiten sind:

2,5 Meter × 4,5 Meter = 11,25 Quadratmeter

11 Meter/Sekunden × 9 Sekunden = 99 Meter

4,5 Einwohner pro Haus × 20 Häuser = 90 Einwohner

Produkt einer Sequenz

Kapital Pi Notation

Das Produkt einer Abfolge von Faktoren kann mit dem Produktsymbol geschrieben werden, das aus dem Kapitalbuchstaben stammt ${\ displaystyle \ textstyle \ prod}$ (pi) in der griechisches Alphabet (ähnlich wie der Großbuchstaben ${\ displaystyle \ textstyle \ sum}$ (Sigma) wird im Kontext von verwendet Summe).^[19][20] Unicode -Position U+220f ∏ enthält eine Glyphe, um ein solches Produkt zu bezeichnen, das sich von unterscheidet U+03A0 Π , der Buchstabe. Die Bedeutung dieser Notation ist gegeben durch:

${\ displayStyle \ prod _ {i = 1}^{4} i = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4,}$

das ist

${\ displaystyle \ prod _ {i = 1}^{4} i = 24.}$

Das Index gibt das Symbol für a gebundene Variable (i in diesem Fall), als "Index der Multiplikation" bezeichnet, zusammen mit seiner unteren Grenze (1), während das Superscript (hier hier 4) gibt seine Obergrenze. Die untere und Obergrenze sind Ausdrücke, die Ganzzahlen bezeichnen. Die Faktoren des Produkts werden erhalten, indem der Expression nach dem Produktbetreiber entgegengenommen wird, wobei aufeinanderfolgende Ganzzahlwerte für den Multiplikationsindex ersetzt werden, beginnend von der unteren Grenze und durch 1 bis (und einschließlich) der Obergrenze. Zum Beispiel:

$oder$

Allgemeiner wird die Notation als definiert als

$oder \, \ cdot x_ {n-1} \ cdot x_ {n},},},}$

wo m und n sind ganze Zahlen oder Ausdrücke, die auf Ganzzahlen bewerten. Für den Fall wo m = nDer Wert des Produkts ist der gleiche wie der des Einzelfaktors x_m; wenn m > n, das Produkt ist ein leeres Produkt deren Wert ist 1 - unabhängig vom Ausdruck für die Faktoren.

Eigenschaften der Kapitalpi -Notation

Per Definition,

$oder$

Wenn alle Faktoren identisch sind, ein Produkt von n Faktoren sind gleichwertig zu Exponentiation:

${\ displaystyle \ prod _ {i = 1}^{n} x = x \ cdot x \ cdot \ ldots \ cdot x = x^{n}.}$

Assoziativität und Amtativität der Multiplikation implizieren

$oder (\ prod _ {i = 1}^{n} y_ {i} \ rechts)}$ und

$oder }$

wenn a ist eine nichtnegative Ganzzahl oder wenn alles ${\ displaystyle x_ {i}}$ sind positiv reale Nummern, und

$oder$

ich falle ${\ displayStyle a_ {i}}$ sind nicht negative Ganzzahlen oder wenn x ist eine positive reelle Zahl.

Unendliche Produkte

Man kann auch Produkte von unendlich vielen Begriffen berücksichtigen; Diese nennt man unendliche Produkte. Notational besteht dies zum Ersetzen n oben durch die Unendlichkeitssymbol ∞. Das Produkt einer solchen unendlichen Sequenz ist definiert als die Grenze des Produkts des ersten n Begriffe, as n wächst ohne gebunden. Das ist,

$oder$

Man kann in ähnlicher Weise ersetzen m mit negativer Unendlichkeit und definieren:

$oder oder$

vorausgesetzt, beide Grenzen existieren.

Eigenschaften

Multiplikation der Zahlen 0–10. Zeilenbezeichnungen = multiplicand. X-Achse = Multiplikator. Y-axis = Produkt.
Die Erweiterung dieses Musters in andere Quadranten gibt den Grund an, warum eine negative Anzahl eine negative Zahl eine positive Zahl ergibt.
Beachten Sie auch, wie die Multiplikation mit Null zu einer Verringerung der Dimensionalität führt, ebenso wie die Multiplikation mit a Singuläre Matrix bei dem die bestimmend IS 0. In diesem Prozess gehen Informationen verloren und können nicht wiedererlangt werden.

Zum real und Komplex Zahlen, die beispielsweise, zum Beispiel, enthält natürliche Zahlen, Ganzzahlen, und Brüche, Multiplikation hat bestimmte Eigenschaften:

Kommutativgesetz

Die Reihenfolge, in der zwei Zahlen multipliziert werden, spielt keine Rolle:

${\ displayStyle x \ cdot y = y \ cdot x.}$^[21][22][23]

Assoziatives Eigentum

Ausdrücke, die ausschließlich Multiplikation oder Addition betreffen Operationsreihenfolge:

${\ displayStyle (x \ cdot y) \ cdot z = x \ cdot (y \ cdot z)}$^[21][23]

Verteilungseigenschaft

Hält in Bezug auf die Multiplikation über Addition. Diese Identität ist für die Vereinfachung der algebraischen Ausdrücke von größter Bedeutung:

${\ displayStyle x \ cdot (y+z) = x \ cdot y+x \ cdot z}$^[21][23]

Identitätselement

Die multiplikative Identität beträgt 1; Alles, was von 1 multipliziert wird, ist selbst. Dieses Merkmal von 1 ist als das bekannt Identitätseigenschaft:

${\ displayStyle x \ cdot 1 = x}$^[21][23]

Eigenschaft von 0

Eine beliebige Zahl multipliziert mit 0 ist 0. Dies ist als die bekannt als die Null Eigenschaft der Multiplikation:

${\ displayStyle x \ cdot 0 = 0}$^[21]

Negation

–1 mal eine beliebige Zahl entspricht der Additive Inverse dieser Zahl.

${\ displayStyle (-1) \ cdot x = (-x)}$ wo ${\ displayStyle (-x)+x = 0}$

–1 mal –1 ist 1.

${\ displayStyle (-1) \ cdot (-1) = 1}$

Umgekehrtes Element

Jede Zahl x, außer 0, hat ein multiplikativer Inverse, ${\ displayStyle {\ frac {1} {x}}}$, so dass ${\ displaystyle x \ cdot \ links ({\ frac {1} {x}} \ rechts) = 1}$.^[24]

Befehl Erhaltung

Die Multiplikation mit einer positiven Zahl bewahrt die bestellen:

Zum a > 0, wenn b > c dann ab > AC.

Die Multiplikation nach einer negativen Zahl kehrt die Reihenfolge um:

Zum a < 0, wenn b > c dann ab < AC.

Das komplexe Zahlen Haben Sie keine Bestellung, die sowohl mit Addition als auch mit einer Multiplikation kompatibel ist.^[25][26]

Andere mathematische Systeme, die einen Multiplikationsvorgang enthalten, haben möglicherweise nicht alle diese Eigenschaften. Zum Beispiel ist die Multiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ für Matrizen und Quaternionen.^[21]

Axiome

Im Buch ARITHMETICES PRINCURIA, NOVA METHODO Exposita, Giuseppe Peano Vorgeschlagene Axiome für Arithmetik, die auf seinen Axiomen für natürliche Zahlen basieren.^[27] Die Peano -Arithmetik hat zwei Axiome zur Multiplikation:

${\ displayStyle x \ Times 0 = 0}$

${\ displayStyle x \ mal s (y) = (x \ mal y)+x}$

Hier S(y) repräsentiert die Nachfolger von y; d.h. die folgende natürliche Zahl y. Die verschiedenen Eigenschaften wie Assoziativität können aus diesen und den anderen Axiomen von Peano -Arithmetik nachgewiesen werden, einschließlich Induktion. Zum Beispiel, S(0), bezeichnet mit 1, ist eine multiplikative Identität, weil

$oder$

Die Axiome für Ganzzahlen Definieren Sie sie typischerweise als Äquivalenzklassen geordneter Paare natürlicher Zahlen. Das Modell basiert auf Behandlung (x,y) als äquivalent zu x − y Wenn x und y werden als Ganzzahlen behandelt. Somit sind sowohl (0,1) als auch (1,2) äquivalent zu –1. Das Multiplikations -Axiom für auf diese Weise definierte Ganzzahlen ist

$oder y_ {m}, \; x_ {p} \ times y_ {m}+x_ {m} \ times y_ {p}).}$

Die Regel, dass –1 × –1 = 1 dann abgeleitet werden kann

$oder$

Die Multiplikation wird auf ähnliche Weise erweitert wie Rationale Zahlen und dann zu reale Nummern.

Multiplikation mit fester Theorie

Das Produkt nicht negativer Ganzzahlen kann mit der festgelegten Theorie definiert werden Kardinalzahlen oder der Peano -Axiome. Sehen unter So erweitern Sie dies auf multiplizierte willkürliche Ganzzahlen und dann willkürliche rationale Zahlen. Das Produkt realer Zahlen wird in Bezug auf Produkte rationaler Zahlen definiert. sehen Konstruktion der realen Zahlen.

Multiplikation in der Gruppentheorie

Es gibt viele Sätze, die unter dem Betrieb der Multiplikation die Axiome erfüllen, die definieren Gruppe Struktur. Diese Axiome sind Verschluss, Assoziativität und die Einbeziehung eines Identitätselements und der Inversen.

Ein einfaches Beispiel ist der Satz von ungleich Null Rationale Zahlen. Hier haben wir Identität 1, im Gegensatz zu Gruppen, die unter Zusatz unterscheiden, wenn die Identität normalerweise 0 ist. Beachten Sie, dass wir bei den Rationalen Null ausschließen müssen um Null zu 1. In diesem Beispiel haben wir eine Abelsche Gruppe, aber das ist nicht immer der Fall.

Um dies zu sehen, betrachten Sie den Satz der invertierbaren quadratischen Matrizen einer bestimmten Dimension über eine gegebene aufstellen. Hier ist es unkompliziert, Schließung, Assoziativität und Einbeziehung der Identität zu überprüfen (die Identitätsmatrix) und Inversen. Die Matrixmultiplikation ist jedoch nicht kommutativ, was zeigt, dass diese Gruppe nicht abelisch ist.

Eine andere Tatsache, die erwähnenswert ist, ist, dass die Multiplikationsgassen nicht eine Gruppe bilden - auch wenn wir Null ausschließen. Dies ist leicht durch die Nichtvorhandensein eines Invers für alle anderen Elemente als 1 und –1 zu sehen.

Die Multiplikation in der Gruppentheorie wird typischerweise entweder durch einen Punkt oder durch Nebeneinander (das Auslassen eines Operationssymbols zwischen Elementen) notiert. Also multipliziere Element a durch Element b könnte als notiert als a ${\ displayStyle \ cdot}$ b oder ab. Wenn Sie sich über die Anzeige des Satzes und der Operation auf eine Gruppe beziehen, wird der Punkt verwendet. Zum Beispiel könnte unser erstes Beispiel durch angegeben werden ${\ displaystyle \ links (\ mathbb {q} /\ {0 \}, \, \ cdot \ rechts)}$.

Multiplikation verschiedener Arten von Zahlen

Zahlen können zählen (3 Äpfel), bestellen (der 3. Apfel) oder messen (3,5 Fuß hoch); Da sich die Geschichte der Mathematik von der Zählung auf unsere Finger bis zur Modellierung der Quantenmechanik entwickelt hat, wurde die Multiplikation auf kompliziertere und abstraktere Arten von Zahlen verallgemeinert und auf Dinge, die keine Zahlen sind (wie z. Matrizen) oder nicht ähnlich wie Zahlen aussehen (wie z. Quaternionen).

Ganzzahlen

${\ displayStyle n \ Times m}$ ist die Summe von N Kopien von M Wenn N und M sind positive ganze Zahlen. Dies gibt die Anzahl der Dinge in einem Array N breit und M hoch. Die Verallgemeinerung auf negative Zahlen kann durch durchgeführt werden

${\ displayStyle n \ times (-m) = (-n) \ Times m =-(n \ times m)}$ und

${\ displayStyle (-n) \ Times (-m) = n \ Times m}$

Die gleichen Vorzeichenregeln gelten für rationale und reelle Zahlen.

Rationale Zahlen

Verallgemeinerung auf Brüche ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \ times {\ frac {c} {d}}}$ wird durch Multiplizieren der Zähler bzw. Nenner: $oder$. Dies gibt den Bereich eines Rechtecks ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}$ hoch und ${\ displayStyle {\ frac {c} {d}}}$ breit, und ist die gleiche Anzahl der Dinge in einem Array, wenn die rationalen Zahlen ganze Zahlen sind.^[21][22]

Reale Nummern

Reelle Zahlen und ihre Produkte kann als Sequenzen von rationalen Zahlen definiert werden.

Komplexe Zahlen

Berücksichtigung komplexer Zahlen ${\ displayStyle z_ {1}}$ und ${\ displayStyle z_ {2}}$ Wie geordnete Paare von reellen Zahlen ${\ displayStyle (a_ {1}, b_ {1})}$ und ${\ displayStyle (a_ {2}, b_ {2})}$, das Produkt ${\ displayStyle z_ {1} \ Times z_ {2}}$ ist $oder$. Dies ist dasselbe wie für Reales ${\ displayStyle a_ {1} \ times a_ {2}}$ wenn der imaginäre Teile ${\ displayStyle B_ {1}}$ und ${\ displayStyle B_ {2}}$ sind Null.

Äquivalent, bezeichnet ${\ displayStyle {\ sqrt {-1}}}$ wie ${\ displayStyle i}$, wir haben $oder )+(a_ {1} \ times b_ {2} i)+(b_ {1} \ times a_ {2} i)+(b_ {1} \ times b_ {2} i^{2}) = (a_ {1} a_ {2} -b_ {1} b_ {2})+(a_ {1} b_ {2}+b_ {1} a_ {2}) i.}$^[21][22]

Alternativ in trigonometrischer Form, wenn $oder }+i \ sin \ phi _ {2})}$, dann$oder \ phi _ {2})).}$^[21]

Weitere Verallgemeinerungen

Sehen Multiplikation in der Gruppentheorieoben und Multiplikative Gruppe, was zum Beispiel Matrixmultiplikation enthält. Ein sehr allgemeines und abstraktes Konzept der Multiplikation ist der "multiplikativ bezeichnete" (zweite) binäre Operation in a Ring. Ein Beispiel für einen Ring, der keiner der oben genannten Zahlensysteme ist, ist a Polynomring (Sie können Polynome hinzufügen und multiplizieren, aber Polynome sind in keiner üblichen Sinne Zahlen.)

Aufteilung

Oft Aufteilung, ${\ displayStyle {\ frac {x} {y}}}$, ist die gleiche wie eine Multiplikation durch eine umgekehrte, ${\ displaystyle x \ links ({\ frac {1} {y}} \ rechts)}$. Die Multiplikation für einige Arten von "Zahlen" kann eine entsprechende Teilung ohne Umkehrungen haben. in einem (n Integrale Domäne x kann keine inverse haben "${\ displayStyle {\ frac {1} {x}}}$" aber ${\ displayStyle {\ frac {x} {y}}}$ kann definiert werden. In einem Divisionsring Es gibt Inversen, aber aber ${\ displayStyle {\ frac {x} {y}}}$ kann in nichtkommutativen Ringen seitdem mehrdeutig sein ${\ displaystyle x \ links ({\ frac {1} {y}} \ rechts)}$ muss nicht dasselbe sein wie ${\ displaystyle \ links ({\ frac {1} {y}} \ rechts) x}$.

Exponentiation

Wenn die Multiplikation wiederholt wird, wird die resultierende Operation als bezeichnet als Exponentiation. Zum Beispiel ist das Produkt von drei Faktoren von zwei (2 × 2 × 2) "zwei auf die dritte Leistung erhöht" und wird mit 2 bezeichnet³, a zwei mit a Superscript drei. In diesem Beispiel ist die Nummer zwei die Baseund drei sind die Exponent.^[28] Im Allgemeinen gibt der Exponent (oder SuperScript) an, wie oft die Basis im Ausdruck erscheint, so dass der Ausdruck

$oder$

zeigt an, dass n Kopien der Basis a sind miteinander zu multiplizieren. Diese Notation kann verwendet werden, wenn die Multiplikation bekannt ist Macht assoziativ.^[29]

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

• Boyer, Carl B. (revidiert von Merzbach, UTA C.) (1991). Geschichte der Mathematik. John Wiley and Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.{{}}: Cs1 montiert: Mehrfachnamen: Autorenliste (Link)

Externe Links

• Multiplikation und Arithmetische Operationen in verschiedenen Zahlensystemen bei Schnitt
• Moderne chinesische Multiplikationstechniken auf einem Abakus