Modale Logik

Modale Logik ist eine Sammlung von formelle Systeme entwickelt, um Aussagen über darzustellen Notwendigkeit und Möglichkeit. Es spielt eine wichtige Rolle in Sprachphilosophie, Erkenntnistheorie, Metaphysik, und Natürliche Sprachsemantik. Modale Logik erweitert andere Systeme durch Hinzufügen einstellig Betreiber ${\ displayStyle \ Diamond}$ und ${\ displayStyle \ box}$, darstellen Sie Möglichkeiten und Notwendigkeit. Zum Beispiel die Modalformel ${\ displayStyle \ Diamond P}$ kann als "möglicherweise gelesen werden ${\ displayStyle p}$" während ${\ displayStyle \ box p}$ kann als "notwendigerweise als" gelesen werden ${\ displayStyle p}$". Modale Logik kann verwendet werden, um unterschiedliche Phänomene darzustellen, je nachdem, welche Art von Notwendigkeit und Möglichkeit berücksichtigt werden. ${\ displayStyle \ box}$ wird verwendet, um darzustellen epistemische Notwendigkeit, ${\ displayStyle \ box p}$ besagt, dass ${\ displayStyle p}$ ist epistemisch notwendig oder mit anderen Worten, dass es bekannt ist. Wann ${\ displayStyle \ box}$ wird verwendet, um darzustellen deontische Notwendigkeit, ${\ displayStyle \ box p}$ besagt, dass ${\ displayStyle p}$ ist eine moralische oder rechtliche Verpflichtung.^[1]

Im Standard Relationale Semantik Für die modale Logik werden den Formeln Wahrheitswerten im Vergleich zu a zugewiesen mögliche Welt. Der Wahrheitswert einer Formel in einer möglichen Welt kann von den Wahrheitswerten anderer Formeln bei anderen abhängen zugänglich mögliche Welten. Im Speziellen, ${\ displayStyle \ Diamond P}$ ist in einer Welt wahr, wenn ${\ displayStyle p}$ ist wahr bei etwas zugängliche mögliche Welt während ${\ displayStyle \ box p}$ ist in einer Welt wahr, wenn ${\ displayStyle p}$ ist wahr bei jeder Zugängliche mögliche Welt. Es gibt eine Vielzahl von Proof -Systemen, die in Bezug auf die Semantik solide und komplett sind, indem man die Zugänglichkeitsbeziehung einschränkt. Zum Beispiel die deontische modale Logik D ist solide und vollständig, wenn man die Zugänglichkeitsbeziehung erfordert Serie.

Während die Intuition hinter modaler Logik in die Antike zurückgeht, ist das erste Modal Axiomatische Systeme wurden entwickelt von C. I. Lewis 1912. Die jetzt standardmäßige relationale Semantik entstand Mitte des 20. Jahrhunderts aus der Arbeit von Arthur Prior, Jaakko Hintikka, und Saul Kripke. Zu den jüngsten Entwicklungen gehört Alternative topologisch Semantik wie Nachbarschaftssemantik sowie Anwendungen der relationalen Semantik jenseits ihrer ursprünglichen philosophischen Motivation.^[2] Solche Anwendungen umfassen Spieltheorie,^[3] Moral- und Rechtstheorie,^[3] Web-Design,^[3] Multiverse-basierte Set-Theorie,^[4] und Soziale Erkenntnistheorie.^[5]

Syntax für Modaloperatoren

Die Syntaxregeln für modale Operatoren ${\ displayStyle \ box}$ und ${\ displayStyle \ Diamond}$ sind denen für universelle und existenzielle sehr ähnlich Quantifizierer; In der Tat jede Formel mit modalen Operatoren ${\ displayStyle \ box}$ und ${\ displayStyle \ Diamond}$und die üblichen Logische Verbindungen in Propositionalkalkül (${\ displayStyle \ Land, \ lor, \ neg, \ rightarrow, \ leftrightarrow}$) kann sein neu geschrieben zu einem de dicto Normale Form, ähnlich wie Prenex normale Form. Eine Hauptbehälter: Während die universellen und existenziellen Quantifizierer nur an die bindet Aussagenvariablen oder der Prädikatvariablen folgt den Quantifizierern seit den Modalbetreibern ${\ displayStyle \ box}$ und ${\ displayStyle \ Diamond}$ quantifiziert über zugänglich mögliche Welten, sie werden an jede Formel in ihrer Bindung binden Umfang. Zum Beispiel, ${\ displayStyle (\ existiert x (x^{2} = 1)) \ land (0 = y)}$ ist logisch äquivalent zu ${\ displayStyle \ existiert x (x^{2} = 1 \ land 0 = y)}$, aber ${\ displayStyle (\ diamond (x^{2} = 1)) \ land (0 = y)}$ ist nicht logisch äquivalent zu ${\ displayStyle \ diamond (x^{2} = 1 \ land 0 = y)}$; Stattdessen, ${\ displayStyle \ diamond (x^{2} = 1 \ land 0 = y)}$ ist logisch äquivalent zu ${\ displayStyle (\ diamond (x^{2} = 1)) \ Land \ Diamond (0 = y)}$.

Wenn es in einer Formel sowohl modale Operatoren als auch Quantifizierer gibt verschiedene semantische Bedeutungen; Auch wann Multimodale Logik Beteiligt ist eine unterschiedliche Reihenfolge eines benachbarten Paares von Modaloperatoren auch zu unterschiedlichen semantischen Bedeutungen.

Semantik

Relationale Semantik

Grundvorstellungen

Die Standardsemantik für modale Logik wird als die genannt Relationale Semantik. Bei diesem Ansatz wird die Wahrheit einer Formel relativ zu einem Punkt bestimmt, der oft als als als genannt wird mögliche Welt. Für eine Formel, die einen modalen Operator enthält, kann sein Wahrheitswert davon abhängen, was bei anderen wahr ist zugänglich Welten. Somit interpretiert die relationale Semantik Formeln der modalen Logik unter Verwendung Modelle definiert wie folgt.^[6]

• A Relationales Modell ist ein Tupel ${\ displayStyle {\ mathfrak {m}} = \ Langle W, r, v \ rangle}$ wo:

1. ${\ displayStyle W}$ ist eine Reihe möglicher Welten
2. ${\ displayStyle r}$ ist eine binäre Beziehung auf ${\ displayStyle W}$
3. ${\ displayStyle v}$ ist eine Bewertungsfunktion, die jedem Paar Atomformel und einer Welt einen Wahrheitswert zuweist (d.h. ${\ displayStyle v: W \ Times f \ to \ {0,1 \}}$ wo ${\ displayStyle f}$ ist der Satz von Atomformeln)

Der Satz ${\ displayStyle W}$ wird oft das genannt Universum. Die binäre Beziehung ${\ displayStyle r}$ wird als ein genannt Zugänglichkeitsbeziehungund es kontrolliert, welche Welten sich gegenseitig "sehen" können, um zu bestimmen, was wahr ist. Zum Beispiel, ${\ displayStyle WRU}$ bedeutet, dass die Welt ${\ displayStyle u}$ ist aus der Welt zugänglich ${\ displayStyle W}$. Das heißt, das Zustand bekannt als ${\ displayStyle u}$ ist eine lebende Möglichkeit für ${\ displayStyle W}$. Schließlich die Funktion ${\ displayStyle v}$ ist als Bewertungsfunktion bekannt. Es bestimmt welche Atomformeln sind wahr, in welchen Welten.

Dann definieren wir rekursiv die Wahrheit einer Formel in einer Welt ${\ displayStyle W}$ in einem Modell ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$:

• ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}, w \ models p}$ IFF ${\ displayStyle v (w, p) = 1}$
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}, w \ models \ neg p}$ IFF ${\ displayStyle w \ models p}$
• ${\ displayStyle {\ mathfrak {m}}, w \ models (p \ wedge q)}$ IFF ${\ displayStyle W \ Models P}$ und ${\ displayStyle W \ Models Q}$
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}, w \ models \ box p}$ IFF für jedes Element ${\ displayStyle u}$ von ${\ displayStyle W}$, wenn ${\ displayStyle WRU}$ dann ${\ displayStyle u \ Models P}$
• ${\ displayStyle {\ mathfrak {m}}, W \ Models \ Diamond P}$ IFF für ein Element ${\ displayStyle u}$ von ${\ displayStyle W}$das hält das ${\ displayStyle WRU}$ und ${\ displayStyle u \ Models P}$

Nach dieser Semantik ist eine Formel notwendig in Bezug auf eine Welt ${\ displayStyle W}$ Wenn es in jeder Welt gilt, von der es zugänglich ist ${\ displayStyle W}$. es ist möglich Wenn es in einer Welt gilt, von der es zugänglich ist ${\ displayStyle W}$. Die Möglichkeit hängt damit von der Zugänglichkeitsbeziehung ab ${\ displayStyle r}$, was es uns ermöglicht, die relative Natur der Möglichkeit auszudrücken. Zum Beispiel könnten wir sagen, dass es für Menschen angesichts unserer Physikgesetze nicht möglich ist, schneller als die Lichtgeschwindigkeit zu reisen, aber dass dies unter anderen Umständen möglich gewesen sein könnte. Mit der Barrierefreiheitsbeziehung können wir dieses Szenario wie folgt übersetzen: In allen Welten, die für unsere eigene Welt zugänglich sind Ein weiterer Welt zugänglich von diese Welten, aber nicht zugänglich von unseren eigenen, bei denen Menschen schneller als die Lichtgeschwindigkeit reisen können.

Frames und Vollständigkeit

Die Wahl der Zugänglichkeitsbeziehung allein kann manchmal ausreichen, um die Wahrheit oder Falschheit einer Formel zu gewährleisten. Betrachten Sie zum Beispiel ein Modell ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ deren Zugänglichkeitsbeziehung ist reflexiv. Weil die Beziehung reflexiv ist, werden wir das haben ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}, w \ models p \ rightarrow \ diamond p}$ für jeden ${\ displayStyle w \ in g}$ unabhängig davon, welche Bewertungsfunktion verwendet wird. Aus diesem Grund sprechen modale Logiker manchmal darüber Rahmen, die der Teil eines relationalen Modells ohne die Bewertungsfunktion sind.

• A relationaler Rahmen ist ein Paar ${\ displayStyle {\ mathfrak {m}} = \ Langle G, r \ rangle}$ wo ${\ displayStyle g}$ ist eine Reihe möglicher Welten, ${\ displayStyle r}$ ist eine binäre Beziehung auf ${\ displayStyle g}$.

Die verschiedenen Systeme der modalen Logik werden mit Verwendung definiert Rahmenbedingungen. Ein Rahmen heißt:

• reflexiv wenn w r w, für jeden w in G
• symmetrisch wenn w r u impliziert u r w, für alle w und u in G
• transitiv wenn w r u und u r q zusammen implizieren w r q, für alle w, u, q in G.
• Serie Wenn für jeden w in G es gibt einige u in G so dass w r u.
• Euklidisch Wenn für jeden u, t, und w, w r u und W r t impliziert u r t (Symmetrie impliziert auch t r u, ebenso gut wie t r t und u r u)

Die Logik, die unter diesen Rahmenbedingungen zurückzuführen ist, lautet:

• K: = keine Bedingungen
• D: = seriell
• T: = reflexiv
• B: = reflexiv und symmetrisch
• S4: = Reflexiv und transitiv
• S5: = reflexiv und Euklidisch

Die euklidische Eigenschaft zusammen mit Reflexivität ergibt Symmetrie und Transitivität. (Die euklidische Eigenschaft kann auch aus Symmetrie und Transitivität erhalten werden.) Wenn die Zugänglichkeitsbeziehung R ist reflexiv und euklidisch, R ist nachweislich symmetrisch und transitiv auch. Daher für Modelle von S5, R ist ein Äquivalenzbeziehung, Weil R ist reflexiv, symmetrisch und transitiv.

Wir können beweisen, dass diese Frames dieselben gültigen Sätze erzeugen wie die Rahmen, in denen alle Welten alle anderen Welten sehen können W (d.h., wo R ist eine "totale" Beziehung). Dies gibt das entsprechende Modal Graph das ist total vollständig (d.h.Es können keine Kanten (Beziehungen) hinzugefügt werden). Zum Beispiel in jeder modalen Logik basierend auf den Rahmenbedingungen:

${\ displayStyle W \ Models \ Diamond P}$ wenn und nur wenn für ein Element u von Gdas hält das ${\ displayStyle u \ Models P}$ und w r u.

Wenn wir Frames basierend auf der Gesamtbeziehung betrachten, können wir das einfach sagen

${\ displayStyle W \ Models \ Diamond P}$ wenn und nur wenn für ein Element u von Gdas hält das ${\ displayStyle u \ Models P}$.

Wir können die Zugänglichkeitsklausel von der letzteren Bestimmung fallen lassen w und u das w r u. Beachten Sie jedoch, dass dies in allen S5 -Bildern nicht der Fall sein muss, was immer noch aus mehreren Teilen bestehen kann, die vollständig miteinander verbunden sind, aber immer noch voneinander getrennt sind.

Alle diese logischen Systeme können auch axiomatisch definiert werden, wie im nächsten Abschnitt gezeigt wird. Zum Beispiel in S5 die Axiome ${\ displayStyle p \ impliziert \ box \ diamond p}$, ${\ displaystyle \ box p \ impliziert \ box \ box p}$ und ${\ displaystyle \ box p \ impliziert p}$ (korrespondierend zu Symmetrie, Transitivität und Reflexivitätgilt, während mindestens eines dieser Axiome nicht in jeder der anderen, schwächeren Logik gilt.

Topologische Semantik

Die modale Logik wurde auch unter Verwendung topologischer Strukturen interpretiert. Zum Beispiel die Innensemantik interpretiert Formeln der modalen Logik wie folgt.

A Topologisches Modell ist ein Tupel ${\ displayStyle \ mathrm {x} = \ Langle x, \ tau, v \ rangle}$ wo ${\ displayStyle \ Langle x, \ tau \ rangle}$ ist ein topologischer Raum und ${\ displayStyle v}$ ist eine Bewertungsfunktion, die jede Atomformel auf eine Teilmenge von ordnet ${\ displayStyle x}$. Die grundlegende Innensemantik interpretiert Formeln der Modallogik wie folgt:

• ${\ displayStyle \ mathrm {x}, x \ models p}$ IFF ${\ displayStyle x \ in v (p)}$
• ${\ displayStyle \ mathrm {x}, x \ models \ neg \ phi}$ IFF ${\ displayStyle \ mathrm {x}, x \ nicht \ models \ phi}$
• ${\ displayStyle \ mathrm {x}, x \ models \ phi \ land \ chi}$ IFF ${\ displayStyle \ mathrm {x}, x \ models \ phi}$ und ${\ displayStyle \ mathrm {x}, x \ models \ chi}$
• ${\ displayStyle \ mathrm {x}, x \ models \ box \ phi}$ IFF für einige ${\ displayStyle u \ in \ tau}$ Wir haben beide das ${\ displayStyle x \ in u}$ Und auch das ${\ displayStyle \ mathrm {x}, y \ models \ phi}$ für alle ${\ displayStyle y \ in u}$

Topologische Ansätze subsumme relationale und ermöglichen nicht normale Modallogiken. Die zusätzliche Struktur, die sie bereitstellen, ermöglicht auch eine transparente Art, bestimmte Konzepte wie die Beweise oder die Rechtfertigung zu modellieren, die man für die eigenen Überzeugungen hat. Die topologische Semantik wird in jüngsten Arbeiten in der formalen Erkenntnistheorie häufig verwendet und hat in früheren Arbeiten wie z. David Lewis und Angelika KratzerLogik für Kontrafakte.

Axiomatische Systeme

Die ersten Formalisierungen der modalen Logik waren axiomatisch. Seitdem wurden zahlreiche Variationen mit sehr unterschiedlichen Eigenschaften vorgeschlagen C. I. Lewis begann 1912 in der Gegend zu arbeiten. Hughes und Cresswell (1996) beschreiben beispielsweise 42 normal und 25 nicht normale modale Logik. Zeman (1973) beschreibt einige Systeme, die Hughes und Cresswell weglassen.

Moderne Behandlungen der modalen Logik beginnen damit, die zu erhöhen Propositionalkalkül Mit zwei unären Operationen, die eine "Notwendigkeit" und die andere "Möglichkeit" bezeichnen. Die Notation von C. I. Lewis, sehr beschäftigt seitdem, bezeichnet "notwendigerweise" p"durch ein vorangestelltes" Box "(□p) Deren Umfang wird von Klammern festgelegt. Ebenso ein vorangestellter "Diamant" (◇p) bezeichnet "möglicherweise" möglicherweise p". Ähnlich wie Quantifizierer in Logik erster Ordnung, "Notwendig p"(□p) Nimmt das nicht an Quantifizierungsbereich (die Reihe von möglichen Welten in zugänglichen Welten in Kripke -Semantik) nicht leer sein, während "möglicherweise" p"(◇p) oft implizit annimmt ${\ displayStyle \ diamond \ top}$ (Die Menge der zugänglichen möglichen Welten ist nicht leer). Unabhängig von der Notation ist jeder dieser Operatoren in Bezug auf die andere in der klassischen Modallogik definierbar:

• □p (Notwendig p) ist äquivalent zu ¬ ◇ ¬p ("nicht möglich, dass nicht-p"))
• ◇p (möglicherweise p) ist äquivalent zu ¬ □ ¬p ("Nicht unbedingt nicht-p"))

Daher □ und ◇ Form a Doppelpaar von Operatoren.

In vielen modalen Logiken erfüllen die Notwendigkeit und die Möglichkeit Operatoren die folgenden Analoga von De Morgans Gesetze aus boolsche Algebra:

"Es ist nicht notwendig X" ist logisch äquivalent zu "es ist möglich, dass nicht X".

"Es ist nicht möglich X"ist logisch äquivalent zu" ist es notwendig, dass nicht X".

Genau das, was Axiome und Regeln zum hinzugefügt werden müssen Propositionalkalkül Ein nutzbares System der modalen Logik zu schaffen, ist eine Frage der philosophischen Meinung, die oft von den Theorems getrieben wird, die man beweisen möchte; Oder in der Informatik ist es eine Frage der Art von rechnerischem oder deduktivem System, das man modellieren möchte. Viele modale Logik, kollektiv als als Normale modale LogikFügen Sie die folgende Regel und Axiom ein:

• N, Notwendigkeitsregel: Wenn p ist ein Satz/Tautologie (von jedem System/Modell aufrufen N), dann □p ist ebenfalls ein Satz (d.h. ${\ displayStyle (\ models p) \ implements (\ models \ box p)}$).
• K, Verteilung Axiom: □ (p → q) → (□p → □q).

Die Schwächsten Normale modale Logik, genannt "K" zu Ehren von Saul Kripke, ist einfach das Propositionalkalkül erweitert durch □, die Regel Nund das Axiom K. K ist insofern schwach, als es nicht feststellt, ob ein Satz notwendig sein kann, aber nur notwendig notwendig ist. Das heißt, es ist kein Satz von K das, wenn □p ist wahr, dann □□p ist wahr, d. H. Dass notwendige Wahrheiten "notwendigerweise notwendig" sind. Wenn solche Verwirrungen als erzwungen und künstlich angesehen werden, ist dieser Defekt von K ist keine großartige. In jedem Fall liefern verschiedene Antworten auf solche Fragen verschiedene Systeme der modalen Logik.

Hinzufügen von Axiomen zu K führt zu anderen bekannten Modalsystemen. Man kann nicht beweisen K dass wenn "p ist notwendig "dann p ist wahr. Das Axiom T Abhilfemaßnahmen diesen Defekt:

• T, Reflexivitäts -Axiom: □p → p (Wenn p ist dann notwendig p ist der Fall.)

T hält in den meisten, aber nicht in allen modalen Logiken. Zeman (1973) beschreibt einige Ausnahmen, wie z. S1⁰.

Andere bekannte elementare Axiome sind:

• 4: ${\ displaystyle \ box p \ to \ box \ box p}$
• B: ${\ displayStyle p \ to \ box \ diamond p}$
• D: ${\ displaystyle \ box p \ to \ diamond p}$
• 5: ${\ displayStyle \ diamond p \ to \ box \ diamond p}$

Diese ergeben die Systeme (in fett gedruckte Axiome, kursiv Systeme):

• K: = K + N
• T: = K + T
• S4: = T + 4
• S5: = T + 5
• D: = K + D.

K durch S5 bilden eine verschachtelte Hierarchie von Systemen, die den Kern von ausmachen Normale modale Logik. Spezifische Regeln oder Regeln sind jedoch für bestimmte Systeme geeignet. Zum Beispiel in Deontic Logic, ${\ displaystyle \ box p \ to \ diamond p}$ (Wenn es das sein sollte pdann ist es erlaubt, das p) scheint angemessen zu sein, aber wir sollten das wahrscheinlich nicht einbeziehen ${\ displayStyle p \ to \ box \ diamond p}$. In der Tat bedeutet dies, die zu begehen an die Natur appellieren Irrtum (d. H. Zu sagen, dass das, was natürlich ist, auch gut ist, indem man das sagt, wenn p ist der Fall, p sollte erlaubt sein).

Das häufig verwendete System S5 macht einfach alle modalen Wahrheiten notwendig. Zum Beispiel wenn p ist möglich, dann ist es "notwendig", dass p ist möglich. Auch wenn p ist notwendig, dann ist es notwendig, dass p ist notwendig. Andere Systeme der modalen Logik wurden zum Teil weil formuliert, weil S5 beschreibt nicht jede Art von Interessenmodalität.

Strukturelle Beweistheorie

Sequente Kalkül und Systeme des natürlichen Abzugs wurden für mehrere modale Logiken entwickelt, aber es hat sich als schwierig erwiesen, Allgemeinheit mit anderen von gut erwarteten Funktionen zu kombinieren strukturelle Beweistheorien, wie Reinheit (die Proof-Theorie führt keine extra-logischen Vorstellungen wie Beschriftungen) und Analytizität (die logischen Regeln unterstützen einen sauberen Begriff von analytischer Beweis). Auf modale Logik wurden komplexere Berechnungen angewendet, um Allgemeinheit zu erreichen.

Entscheidungsmethoden

Analytische Tableaus Bieten Sie die beliebteste Entscheidungsmethode für modale Logik.

Modale Logik in der Philosophie

Alethische Logik

Modalitäten der Notwendigkeit und Möglichkeit werden genannt alethisch Modalitäten. Sie werden auch manchmal genannt Besondere Modalitäten aus dem Latein Spezies. Die modale Logik wurde erstmals entwickelt, um mit diesen Konzepten umzugehen, und erst später wurde auf andere ausgedehnt. Aus diesem Grund oder vielleicht für ihre Vertrautheit und Einfachheit, Notwendigkeit und Möglichkeit werden oft beiläufig als behandelt als das Gegenstand der modalen Logik. Darüber hinaus ist es einfacher, eine relativisierende Notwendigkeit zu verstehen, z. legal, physisch, nomologisch, epistemischund so weiter, als es ist, andere Vorstellungen zu relativieren.

Im Klassische modale Logik, ein Satz soll sein

• möglich Wenn es so ist Nicht unbedingt falsch (unabhängig davon, ob es tatsächlich wahr oder tatsächlich falsch ist);
• notwendig Wenn es so ist Nicht unmöglich falsch (d.h. wahr und notwendigerweise wahr);
• Kontingent Wenn es so ist Nicht unbedingt falsch und Nicht unbedingt wahr (d. H. Möglich, aber nicht unbedingt wahr);
• unmöglich Wenn es so ist Nicht wahr wahr (d. H. Falsch und notwendigerweise falsch).

In der klassischen modalen Logik kann daher der Begriff der Möglichkeit oder der Notwendigkeit als grundlegend angesehen werden, wobei diese anderen Begriffe in Bezug auf die Art und Weise definiert werden De Morgan Dualität. Die intuitionistische modale Logik behandelt die Möglichkeit und Notwendigkeit als nicht perfekt symmetrisch.

Nehmen wir zum Beispiel an, dass wir beim Gehen zum Supermarkt an Friedrichs Haus vorbeikommen und feststellen, dass die Lichter ausgeschaltet sind. Auf dem Rückweg stellen wir fest, dass sie eingeschaltet wurden.

• "Jemand oder etwas hat das Licht angeschaltet" ist " notwendig.
• "Friedrich hat die Lichter angeschmissen", Friedrichs Mitbewohner Max machte das Licht an "und" Ein Einbrecher namens Adolf brach in Friedrichs Haus ein und schaltete die Lichter an "sind an" Kontingent.
• Alle oben genannten Aussagen sind möglich.
• es ist unmöglich das Sokrates (Wer ist seit über zweitausend Jahren tot) schaltete das Licht ein.

(Natürlich wendet diese Analogie keine alethische Modalität in a an wirklich strenge Mode; dafür müsste es axiomatisch solche Aussagen machen, wie "Menschen nicht von den Toten auferstehen", "Sokrates war ein menschliches Wesen und kein unsterblicher Vampir", und "wir nahmen keine halluzinogenen Medikamente, die uns dazu veranlassten, zu Glaube fälschlicherweise, dass die Lichter an waren ", Ad infinitum. Die absolute Gewissheit der Wahrheit oder Falschheit besteht nur im Sinne logisch konstruierter abstrakter Konzepte wie "Es ist unmöglich, ein Dreieck mit vier Seiten zu zeichnen" und "alle Junggesellen sind unverheiratet".

Für diejenigen, die Schwierigkeiten mit dem Konzept, dass etwas möglich ist, aber nicht wahr ist Leibniz) oder "alternative Universen"; Etwas "notwendiges" ist in allen möglichen Welten wahr, etwas "Mögliches" ist in mindestens einer möglichen Welt wahr. Diese "möglichen Weltsemantik" werden mit formalisiert Kripke -Semantik.

Körperliche Möglichkeit

Etwas ist physisch oder nominell möglich, wenn es von der zulässig ist Gesetze der Physik. Zum Beispiel wird angenommen, dass die aktuelle Theorie es zulässt, dass es eine gibt Atom mit einem Ordnungszahl von 126,^[7] Auch wenn es keine solchen Atome gibt. Im Gegensatz dazu ist es logisch möglich, über die hinaus zu beschleunigen Lichtgeschwindigkeit,^[8] Die moderne Wissenschaft sieht vor, dass es für materielle Partikel oder Informationen nicht physisch möglich ist.^[9]

Metaphysische Möglichkeit

Philosophen^[wer?] Debatte, wenn Objekte Eigenschaften haben, die von den wissenschaftlichen Gesetzen unabhängig sind. Zum Beispiel könnte es metaphysisch notwendig sein, als einige, die sich befürworten Physikalismus Ich habe gedacht, dass alle denkenden Wesen Körper haben^[10] und kann den Durchgang von erleben Zeit. Saul Kripke hat argumentiert, dass jede Person notwendigerweise die Eltern hat, die sie haben: Jeder mit verschiedenen Eltern wäre nicht dieselbe Person.^[11]

Metaphysische Möglichkeit Es wurde angenommen, dass es einschränkender ist als bloße logische Möglichkeiten^[12] (d. h. weniger Dinge sind metaphysisch möglich als logisch möglich). Die genaue Beziehung (falls vorhanden) zu logischer Möglichkeit oder zur physischen Möglichkeit ist jedoch eine Frage des Streits. Philosophen^[wer?] Übereinstimmung auch darüber, ob metaphysische Wahrheiten nur "per Definition" notwendig sind oder ob sie einige zugrunde liegende tiefe Tatsachen über die Welt oder etwas ganz anderes widerspiegeln.

Epistemische Logik

Epistemische Modalitäten (aus dem Griechischen Epistem, Wissen), um die umgehen Sicherheit von Sätzen. Der □ Operator wird als "X weiß, dass ..." übersetzt, und der ◇ -Operator wird als "Für alle X weiß, es kann wahr sein, dass ..." in gewöhnlicher Sprache sowohl metaphysische als auch epistemische Modalitäten häufig in ähnlichen Worten ausgedrückt werden; Die folgenden Kontraste können helfen:

Eine Person, Jones, könnte vernünftigerweise sagen beide: (1) "Nein, es ist es nicht möglich dass Bigfoot existiert; Ich bin mir dessen ziemlich sicher "; und, (2) "Sicher, es ist möglich Dass Bigfoots existieren könnten ". Was Jones mit (1) meint, ist, dass angesichts aller verfügbaren Informationen keine Frage gibt metaphysisch behaupten, dass es ist möglich für Bigfoot existieren, obwohl er es nicht tut: Es gibt keinen physischen oder biologischen Grund, dass große, federlose, zweibipedale Kreaturen mit dickem Haar in den Wäldern Nordamerikas nicht existieren könnten (unabhängig davon, ob sie es tun oder nicht). In ähnlicher Weise ist "es möglich, dass die Person, die diesen Satz liest, vierzehn Fuß groß und genannt" Chad "ist metaphysisch wahr (eine solche Person würde aufgrund ihrer Größe und ihrem Namen nicht irgendwie daran gehindert werden), aber nicht Aletisch stimmt, es sei denn, Sie stimmen mit dieser Beschreibung und nicht überein epistemisch Es stimmt, wenn bekannt ist, dass es noch nie vierzehn Fuß hohe Menschen gab.

Aus der anderen Richtung könnte Jones sagen, (3) "ist es möglich das Goldbachs Vermutung ist wahr; aber auch möglich dass es falsch ist ", und Auch (4) "Wenn es ist Richtig, dann ist es notwendigerweise wahr und nicht möglicherweise falsch ". Hier bedeutet Jones, dass es ist, dass es ist epistemisch möglich Dass es wahr oder falsch ist, denn alles, was er weiß (Goldbachs Vermutung wurde weder wahr noch falsch), aber wenn es da ist ist ein Beweis (bisher unentdeckt), dann würde es zeigen, dass es nicht ist logisch Möglicherweise, damit Goldbachs Vermutung falsch ist - es könnte keine Reihe von Zahlen bestehen, die gegen sie verstoßen haben. Logische Möglichkeit ist eine Form von alethisch Wahrscheinlichkeit; (4) erhebt einen Anspruch darüber, ob es möglich ist (d. H. Logisch gesehen), dass eine mathematische Wahrheit falsch war, aber (3) nur eine Behauptung darüber gilt Gewiss), dass die mathematische Behauptung spezifisch entweder wahr oder falsch ist, und so widerspricht Jones sich selbst nicht. Es lohnt Goldbachs Vermutung ist sowohl wahr als auch unbegeibt.

Die epistemischen Möglichkeiten haben auch die tatsächliche Welt auf eine Weise, dass metaphysische Möglichkeiten dies nicht tun. Metaphysische Möglichkeiten basieren auf Wege der Welt hätte sein können, aber epistemische Möglichkeiten tragen die Art der Welt auf vielleicht (Nach allem, was wir wissen). Nehmen wir zum Beispiel an, dass ich wissen möchte, ob ich einen Regenschirm nehmen soll oder nicht, bevor ich gehe. Wenn du es mir sagst "ist es möglich dass Es regnet draußen " - im Sinne der epistemischen Möglichkeit -, dann würde das wiegen, ob ich den Regenschirm nehme oder nicht. Aber wenn Sie mir nur sagen, dass" es ist "ist es möglich für es zu regnen draußen " - im Sinne von metaphysische Möglichkeit - Dann bin ich für dieses Stück modaler Aufklärung nicht besser dran.

Einige Merkmale der epistemischen Modallogik diskutieren. Zum Beispiel wenn x weiß, dass p, tut x weiß, dass es das weiß p? Das heißt, sollte □ sollteP → □□P ein Axiom in diesen Systemen sein? Während die Antwort auf diese Frage unklar ist, ist unklar, während^[13] Es gibt mindestens ein Axiom, das im Allgemeinen in der epistemischen Modallogik enthalten ist der Abschnitt auf axiomatischen Systemen):

• K, Verteilung Axiom: ${\ displayStyle \ box (p \ to q) \ to (\ box p \ to \ box q)}$.

Es wurde in Frage gestellt, ob die epistemischen und alethischen Modalitäten voneinander unterschieden werden sollten. Die Kritik besagt, dass es keinen wirklichen Unterschied zwischen "der Wahrheit in der Welt" (alethisch) und "die Wahrheit im Kopf eines Individuums" (epistemisch) gibt.^[14] Eine Untersuchung hat keine einzige Sprache gefunden, in der aletische und epistemische Modalitäten formell unterschieden werden, wie durch die Mittel von a grammatikalische Stimmung.^[15]

Zeitliche Logik

Zeitlogik ist ein Ansatz zur Semantik von Ausdrücken mit Zeitformdas heißt, Ausdruck mit Qualifikationen von Wann. Einige Ausdrücke wie "2 + 2 = 4" sind jederzeit wahr, während angespannte Ausdrücke wie "John is glücklich" nur manchmal wahr sind.

In der zeitlichen Logik werden angespannte Konstruktionen in Bezug auf Modalitäten behandelt, bei denen eine Standardmethode zum Formalisierungsgespräch von Zeit verwendet wird zwei Operatorenpaare, eine für die Vergangenheit und eine für die Zukunft (P wird nur bedeuten, dass P 'der Fall ist). Zum Beispiel:

FP: Es wird manchmal der Fall sein P

GP: Es wird immer der Fall sein P

PP: Es war irgendwann so P

HP: Es war schon immer der Fall, dass P

Es gibt dann mindestens drei modale Logiken, die wir entwickeln können. Zum Beispiel können wir das festlegen,

${\ displayStyle \ Diamond P}$ = P ist irgendwann der Fall t

${\ displayStyle \ box p}$ = P ist bei jedem Mal der Fall der Fall t

Oder wir können diese Betreiber nur mit der Zukunft (oder Vergangenheit) umgehen. Zum Beispiel,

${\ displayStyle \ diamond _ {1} p}$ = FP

${\ displayStyle \ box _ {1} p}$ = GP

oder,

${\ displayStyle \ diamond _ {2} p}$ = P und/oder FP

${\ displayStyle \ box _ {2} p}$ = P und GP

Die Betreiber F und G mag anfangs fremd erscheinen, aber sie schaffen es Normale Modalsysteme. Beachten Sie, dass FP ist dasselbe wie ¬G¬P. Wir können die oben genannten Operatoren kombinieren, um komplexe Aussagen zu bilden. Zum Beispiel, PP → □PP sagt (effektiv), Alles, was vergangen und wahr ist, ist notwendig.

Es scheint vernünftig zu sagen, dass es möglicherweise morgen regnen wird, und möglicherweise nicht; Andererseits, da wir die Vergangenheit nicht ändern können, wenn es wahr ist, dass sie gestern geregnet hat, ist es wahrscheinlich nicht wahr, dass sie gestern nicht geregnet hat. Es scheint, dass die Vergangenheit in gewisser Weise "fixiert" oder notwendig ist. Dies wird manchmal als bezeichnet als Zufällige Notwendigkeit. Aber wenn die Vergangenheit "repariert" ist und alles, was in der Zukunft ist, irgendwann in der Vergangenheit sein wird, dann scheint es plausibel zu sagen, dass auch zukünftige Ereignisse notwendig sind.

Ebenso das Problem der zukünftigen Kontingente Betrachtet die Semantik der Behauptungen über die Zukunft: Ist einer der Vorschläge "Es wird morgen eine Seeschlacht" oder "Es wird keine Seeschlacht morgen geben" jetzt wahr? In Anbetracht dieser These führte Aristoteles das abzulehnen Prinzip der Bivalenz für Behauptungen über die Zukunft.

Zusätzliche binäre Operatoren sind auch für zeitliche Logik relevant. Q.V. Lineare zeitliche Logik.

Versionen der zeitlichen Logik können in verwendet werden Informatik Computervorgänge zu modellieren und Theoreme über sie zu beweisen. In einer Version ◇ ◇P bedeutet "zu einer zukünftigen Zeit in der Berechnung ist es möglich, dass der Computerstaat so sein wird, dass P wahr ist"; □P bedeutet "zukünftige Zeiten in der Berechnung P wird wahr sein". In einer anderen Version ◇ ◇P bedeutet "im unmittelbaren nächsten Zustand der Berechnung, P könnte wahr sein "; □P bedeutet "im unmittelbaren nächsten Zustand der Berechnung wird P wahr sein". Diese unterscheiden sich in der Wahl von Zugänglichkeitsbeziehung. (P bedeutet immer, "P ist im aktuellen Computerzustand wahr".) Diese beiden Beispiele umfassen nicht deterministische oder nicht sehr verständliche Berechnungen; Es gibt viele andere modale Logik, die auf verschiedene Arten der Programmanalyse spezialisiert sind. Jeder führt natürlich zu leicht unterschiedlichen Axiomen.

Deontic Logic

Ebenso von Moral sprechen oder von Verpflichtung und Normen Im Allgemeinen scheint eine modale Struktur zu sein. Der Unterschied zwischen "Du muss das tun" und "du kannst das tun" sieht dem Unterschied zwischen "das ist notwendig" und "das ist möglich" aus. Solche Logiken werden genannt deontisch, vom Griechischen für "Pflicht".

Deontische Logik fehlt üblicherweise das Axiom T semantisch entspricht der Reflexivität der Zugänglichkeitsbeziehung in Kripke -Semantik: in Symbolen, ${\ displayStyle \ box \ phi \ to \ phi}$. Interpretieren □ als "es ist obligatorisch, dass", T Nach informell sagt, dass jede Verpflichtung wahr ist. Zum Beispiel, wenn es obligatorisch ist, andere nicht zu töten (d. H. Töten ist moralisch verboten), dann T Impliziert, dass Menschen tatsächlich andere nicht töten. Die Konsequenten sind offensichtlich falsch.

Stattdessen verwenden Sie Kripke -SemantikWir sagen, obwohl unsere eigene Welt nicht alle Verpflichtungen erfasst, die Welten, die dafür zugänglich sind, tun (d. H.,,, T hält an diesen Welten). Diese Welten werden genannt idealisiert Welten. P ist in Bezug auf unsere eigene Welt obligatorisch, wenn überhaupt idealisierte Welten, die für unsere Welt zugänglich sind, P hält. Obwohl dies eine der ersten Interpretationen der formalen Semantik war, wurde sie kürzlich unter Kritik geraten.^[16]

Ein weiteres Prinzip, das oft (zumindest traditionell) als deontisches Prinzip akzeptiert wird, ist D, ${\ displayStyle \ box \ phi \ to \ diamond \ phi}$, was der Serialität (oder Extendabilität oder Unglückheit) der Zugänglichkeitsbeziehung entspricht. Es ist eine Verkörperung der kantischen Idee, dass "das sie impliziert". (Eindeutig kann die "Dose" in verschiedenen Sinnen interpretiert werden, z. B. im moralischen oder alethischen Sinne.)

Intuitive Probleme mit der deontischen Logik

Wenn wir versuchen, die Ethik mit Standardmodallogik zu formalisieren, stoßen wir auf Probleme. Angenommen, wir haben einen Vorschlag K: Sie haben etwas Geld gestohlen und ein anderer. Q: Sie haben eine kleine Menge Geld gestohlen. Nehmen wir nun an, wir möchten den Gedanken zum Ausdruck bringen, dass "wenn Sie etwas Geld gestohlen haben, es eine kleine Menge Geld sein sollte". Es gibt zwei wahrscheinliche Kandidaten,

(1) ${\ displayStyle (k \ bis \ box q)}}$

(2) ${\ displayStyle \ box (k \ bis q)}}$

Aber (1) und K zusammen beinhaltet □Q, was besagt, dass es der Fall sein sollte, dass Sie einen kleinen Geldbetrag gestohlen haben. Dies ist sicherlich nicht richtig, denn Sie hätten überhaupt nichts gestohlen haben sollen. Und (2) funktioniert auch nicht: Wenn die richtige Darstellung von "Wenn Sie etwas Geld gestohlen haben, sollte es ein kleiner Betrag sein" (2), dann die richtige Darstellung von (3) ", wenn Sie etwas Geld gestohlen haben dann sollte es eine große Menge sein "ist" ${\ displayStyle \ box (k \ to (k \ land \ lnot q))}$. Nehmen wir nun an (wie vernünftig erscheint), dass Sie nichts stehlen sollten oder ${\ displayStyle \ box \ lnot k}$. Aber dann können wir uns schließen ${\ displayStyle \ box (k \ to (k \ land \ lnot q))}$ über ${\ displayStyle \ box (\ lnot k) \ bis \ box (k \ bis k \ land \ lnot k)}$ und ${\ displaystyle \ box (k \ land \ lnot k \ to (k \ land \ lnot q))}$ (das kontrapositiv von ${\ displayStyle q \ bis k}$); Satz (3) folgt also aus unserer Hypothese (natürlich zeigt dieselbe Logik Satz (2)). Aber das kann nicht richtig sein und ist nicht richtig, wenn wir eine natürliche Sprache verwenden. Jemandem zu sagen, dass er nicht stehlen sollte, bedeutet sicherlich nicht, dass er große Geldbeträge stehlen sollte, wenn sie sich an Diebstahl beteiligen.^[17]

Doxastische Logik

Doxastische Logik betrifft die Logik des Glaubens (einiger Reihe von Agenten). Der Begriff Doxastik wird von der abgeleitet Altgriechisch Doxa was "Glaube" bedeutet. Normalerweise verwendet eine doxastische Logik □ oft geschrieben "B", um "zu bedeuten" es wird angenommen, dass ", oder wenn es zu einem bestimmten Agenten relativiert wird," wird von S geglaubt ".

Metaphysische Fragen

Bei der häufigsten Interpretation der modalen Logik berücksichtigt man "logisch möglich Welten ". Wenn eine Aussage in allen wahr ist mögliche WeltenDann ist es eine notwendige Wahrheit. Wenn eine Aussage in unserer Welt wahr ist, aber in allen möglichen Welten nicht wahr ist, dann ist es eine Kontingentwahrheit. Eine Aussage, die in einer möglichen Welt (nicht unbedingt unsere eigene) wahr ist, wird als mögliche Wahrheit bezeichnet.

Unter dieser "möglichen Idiom" Welts "ist es möglich, dass Bigfoots Existenz möglich ist, aber nicht tatsächlich:" Es gibt eine mögliche Welt, in der Bigfoot existiert; aber in der tatsächlichen Welt existiert Bigfoot nicht. " Es ist jedoch unklar, wozu diese Behauptung uns begeht. Behaupteten wir wirklich die Existenz möglicher Welten, genauso real wie unsere tatsächliche Welt, nur nicht tatsächlich? Saul Kripke glaubt, dass "mögliche Welt" eine Fehlbezeichnung ist - dass der Begriff "mögliche Welt" nur eine nützliche Möglichkeit ist, das Konzept der Möglichkeit zu visualisieren.^[18] Für ihn sind die Sätze "Sie hätten eine 4 anstelle von 6" und "Es gibt eine mögliche Welt, in der Sie eine 4 gerollt haben, aber Sie haben eine 6 in der tatsächlichen Welt", sind keine wesentlichen unterschiedlichen Aussagen, und wir begehen uns auch nicht zur Existenz einer möglichen Welt.^[19] David LewisAndererseits machte er sich berüchtigt, indem er die Kugel beißte und behauptete, dass nur mögliche Welten so real sind wie unsere eigenen und das, was unsere Welt als unterscheidet tatsächlich ist einfach, dass es in der Tat unsere Welt ist - Dies Welt.^[20] Diese Position ist ein wichtiger Grundsatz von "Modaler Realismus"Einige Philosophen lehnen es ab, jede Version des modalen Realismus zu unterstützen, wenn man sie ontologisch extravagant betrachtet, und lieber verschiedene Wege suchen, um diese ontologischen Verpflichtungen zu paraphrasieren. Robert Adams Es ist, dass "mögliche Welten" besser als "Weltgeschichte" oder konsequente Sätze von Sätzen betrachtet werden. Daher ist es möglich, dass Sie eine 4 gerollt haben, wenn ein solcher Zustand kohärent beschrieben werden kann.^[21]

Informatiker werden im Allgemeinen eine hochspezifische Interpretation der modalen Operatoren auswählen, die auf die bestimmte Art der analysierten Berechnung spezialisiert sind. Anstelle von "allen Welten" haben Sie möglicherweise "alle möglichen nächsten Zustände des Computers" oder "alle möglichen zukünftigen Zustände des Computers".

Weitere Anwendungen

Modale Logiken haben in Bereichen der Geisteswissenschaften wie Literatur, Poesie, Kunst und Geschichte begonnen.^[22][23]

Geschichte

Die grundlegenden Ideen der modalen Logik stammen aus der Antike. Aristoteles entwickelte eine modale Syllogistik in Buch I von ihm Vorherige Analytik (Kap. 8–22), was Theophrastus Versuch zu verbessern.^[24] Es gibt auch Passagen in Aristoteles 'Arbeiten, wie dem Berühmten Seebettargument in De interpretatione §9, die jetzt als Vorweggenommenheit des Zusammenhangs der modalen Logik mit angesehen werden Möglichkeit und Zeit. In der hellenistischen Zeit die Logiker Diodorus Cronus, Philo der Dialektiker und das Stoiker Chrysippus Jedes entwickelte ein modales System, das die Interdefinierbarkeit von Möglichkeiten und Notwendigkeit verantwortlich machte, akzeptiert Axiom T (sehen unter) und kombinierte Elemente der modalen Logik und zeitliche Logik In Versuchen, die Notorious zu lösen Meisterargument.^[25] Das früheste formale System der modalen Logik wurde von entwickelt von Avicenna, der letztendlich eine Theorie von "entwickelte"zeitlich Modal "Syllogistic.^[26] Modale Logik als selbstbewusstes Thema verdankt den Schriften der Schriften der Scholastik, im Speziellen William von Ockham und John Duns Scotus, der modal informell argumentierte, hauptsächlich zur Analyse von Aussagen über Wesen und Unfall.

Im 19. Jahrhundert, Hugh Maccoll leistete innovative Beiträge zur modalen Logik, fand aber nicht viel Anerkennung.^[27] C. I. Lewis gründete die moderne Modallogik in einer Reihe von wissenschaftlichen Artikeln, die 1912 mit "Implikation und der Algebra der Logik" begannen.^[28][29] Lewis wurde zu einer modalen Logik für Erfindungen geführt und speziell strenge Implikationmit der Begründung, dass die klassische Logik gewährt Paradoxien der materiellen Implikation wie der Prinzip, dass Eine Falschheit impliziert einen Vorschlag.^[30] Dieses Werk gipfelte in seinem Buch von 1932 Symbolische Logik (mit C. H. Langford),^[31] was die fünf Systeme einführte S1 durch S5.

Nach Lewis erhielt die Modal Logic mehrere Jahrzehnte lang wenig Aufmerksamkeit. Nicholas Rescker hat argumentiert, dass dies das war, weil Bertrand Russell lehnte es ab.^[32] Jan Dejnozka hat jedoch gegen diese Ansicht argumentiert und erklärt, dass ein modales System, das Dejnozka "MDL" bezeichnet Aussagenfunktionen"Wie er schrieb Die Analyse der Materie.^[33]

Arthur Norman Prior gewarnt Ruth Barcan Marcus sich in den Debatten über die quantifizierte Modallogik mit der quantifizierten Modallogik gut vorzubereiten Willard Van Orman Quine, aufgrund der Verzerrungen gegen modale Logik.^[34]

Ruth C. Barcan (später Ruth Barcan Marcus) entwickelte die ersten axiomatischen Systeme der quantifizierten modalen Logik - Erste und zweite Belastungen von Lewis. S2, S4, und S5.^[35][36][37]

Die zeitgenössische Ära in der modalen Semantik begann 1959, wann Saul Kripke (Dann nur ein 18-Jähriger Harvard Universität Student) stellte den inzwischen Standard vor Kripke -Semantik für modale Logik. Diese werden allgemein als "mögliche Welten" -Semantik bezeichnet. Kripke und A. N. Prior hatte zuvor aus einer gewissen Länge korrespondiert. Die Kripke-Semantik ist im Grunde genommen einfach, aber die Beweise werden mit semantischen Tableaux oder erleichtert Analytische Tableaus, wie erklärt von E. W. Beth.

A. N. Prior modern erstellt zeitliche Logik, eng mit der modalen Logik verwandt, 1957 durch Hinzufügen modaler Operatoren [f] und [p] "schließlich" und "vor". Vaughan Pratt eingeführt dynamische Logik 1976. 1977,, Amir Pnueli Vorschläge mit der zeitlichen Logik, um das Verhalten von kontinuierlich operativen gleichzeitigen Programmen zu formalisieren. Zu den Aromen der zeitlichen Logik gehören Aussagen dynamische Logik (PDL), aussagekräftige lineare temporale Logik (PLTL), lineare zeitliche Logik (LTL), Berechnungsbaumlogik (CTL), Hennessy -Milner -Logik, und T.^{[Klarstellung erforderlich]}

Die mathematische Struktur der modalen Logik, nämlich Boolesche Algebren erweitert mit Unary Operations (oft angerufen Modale Algebren), begann mit aufzuteilen mit J. C. C. McKinsey1941 Beweis dafür S2 und S4 sind lehnte, leidenschaftlich,^[38] und erreichte die volle Blume in der Arbeit von Alfred Tarski und sein Schüler Bjarni Jónsson (Jónsson und Tarski 1951–52). Diese Arbeit enthüllte das S4 und S5 sind Modelle von Innenalgebra, eine ordnungsgemäße Erweiterung der Booleschen Algebra, die ursprünglich so konzipiert wurde, dass sie die Eigenschaften der Eigenschaften erfassen Innere und Verschlussbetreiber von Topologie. Texte zur Modallogik tun normalerweise kaum mehr als die Verbindungen mit der Studie von zu erwähnen Boolesche Algebren und Topologie. Eine gründliche Übersicht über die Geschichte der formalen modalen Logik und der damit verbundenen Mathematik siehe Robert Goldblatt (2006).^[39]

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

• Dieser Artikel enthält Material von der Kostenloses Online-Wörterbuch des Computers, verwendet mit Genehmigung unter dem GFDL.
• Barcan-Marcus, Ruth JSL 11 (1946) und JSL 112 (1947) und "Modalities", OUP, 1993, 1995.
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• Zeman, J. J. (1973) Modale Logik. Reidel. Beschäftigt Polnische Notation.
• "Geschichte der Logik", Britannica online.

Weitere Lektüre

• Ruth Barcan Marcus, Modalitäten, Oxford University Press, 1993.
• D. M. Gabbay, A. Kurucz, F. Wolter und M. Zakharyaschev, Viele dimensionale modale Logik: Theorie und Anwendungen, Elsevier, Studien in Logik und die Grundlagen der Mathematik, Band 148, 2003, ISBN0-444-50826-0. [Deckt viele Sorten modaler Logik ab, z. zeitliche, epistemische, dynamische, Beschreibung, räumlich aus einer einheitlichen Perspektive mit Schwerpunkt auf Informatikaspekten, z. Dekidabilität und Komplexität.]
• Andrea Borghini, Eine kritische Einführung in die Metaphysik der Modalität, New York: Bloomsbury, 2016.

Externe Links

• Internet -Enzyklopädie der Philosophie:
  • "Modale Logik: Eine zeitgenössische Sichtweise" - von Johan Van Benthem.
  • "Rudolf Carnaps modale Logik" - von MJ Cresswell.
• Stanford Encyclopedia of Philosophy:
  • "Modale Logik" - durch James Garson.
  • "Moderne Ursprünge der modalen Logik" - von Roberta Ballarin.
  • "Proviertigkeitslogik" - von Rineke Verbrugge.
• Edward N. Zalta, 1995, "Grundlegende Konzepte in der Modallogik."
• John McCarthy, 1996, "Modale Logik."
• Molle Ein Java -Prover zum Experimentieren mit modaler Logik
• Suber, Peter, 2002, "Bibliographie der modalen Logik."
• Liste der Logiksysteme Liste vieler modaler Logik mit Quellen von John Halleck.
• Fortschritte in der modalen Logik. Biannuelle internationale Konferenz- und Buchreihe in Modal Logic.
• S4prover Ein Tableaus -Prover für die S4 -Logik
• "Einige Bemerkungen zur Logik und Topologie" - von Richard Moot; Expositionen a topologisch Semantik Für die modale Logik S4.
• Lotrec Der allgemeinste Prover für modale Logik der Irit/Toulouse University