Metrischer Raum

Im Mathematik, a metrischer Raum ist ein einstellen zusammen mit a metrisch am Set. Die Metrik ist a Funktion das definiert ein Konzept von Distanz zwischen zwei Mitglieder des Satzes, das normalerweise genannt wird Punkte. Die Metrik erfüllt die folgenden Eigenschaften:

• die Entfernung von A zu B ist Null, wenn und nur wenn A und B sind der gleiche Punkt,
• Der Abstand zwischen zwei unterschiedlichen Punkten ist positiv,
• die Entfernung von A zu B ist dasselbe wie der Abstand von B zu A, und
• die Entfernung von A zu B ist kleiner als oder gleich dem Abstand von A zu B über einen beliebigen dritten Punkt C.

Eine Metrik auf einem Raum induziert Topologische Eigenschaften wie offen und geschlossene Sets, was zur Untersuchung von Abstrakten führt Topologische Räume.

Der bekannteste metrische Raum ist 3-dimensionaler euklidischer Raum. Tatsächlich ist eine "Metrik" die Verallgemeinerung der Euklidische Metrik Aus den vier lang bekannten Eigenschaften der euklidischen Entfernung. Die euklidische Metrik definiert den Abstand zwischen zwei Punkten als Länge der gerade Liniensegment sie verbinden. Andere Metrikräume treten beispielsweise in auf Elliptische Geometrie und Hyperbolische Geometrie, wo Entfernung auf einem Kugel gemessen durch Winkel ist eine Metrik und die Hyperboloidmodell von hyperbolischer Geometrie wird von verwendet von Spezielle Relativität als metrischer Raum von velocities. Einige der nicht geometrischen metrischen Räume enthalten Räume endlicher Saiten (endliche Sequenzen von Symbolen aus einem vordefinierten Alphabet) mit z. Hamming -Entfernung oder Levenshtein -Entfernung, ein Raum von Teilmengen aller metrischen Raum mit ausgestattet mit mit Hausdorff -Entfernungein Raum von echte Funktionen integrierbar auf einer Einheit Intervall mit einer integralen Metrik $oder$, oder der Satz von Wahrscheinlichkeitsmaßnahmen am Borel Sigma-Algebra eines bestimmten metrischen Raums, der mit dem ausgestattet ist Wasserstein Metrik W_p (${\ displayStyle p \ in \ mathbb {r} _ {\ geq 1}}$). Siehe auch den Abschnitt § Beispiele für metrische Räume.

Geschichte

Im Jahr 1906 Maurice Fréchet Einführte Metrikräume in seiner Arbeit Sur Quelques Punkte du Calcul Fonctionnel.^[1] Der Name ist jedoch zurückzuführen Felix Hausdorff.

Definition

A metrischer Raum ist ein geordnetes Paar ${\ displayStyle (m, d)}$ wo ${\ displayStyle m}$ ist ein Set und ${\ displayStyle d}$ ist ein metrisch an ${\ displayStyle m}$, d.h. Funktion

${\ displayStyle d \, \ colon m \ times m \ to \ mathbb {r}}$

so dass für jeden ${\ displayStyle x, y, z \ in m}$, Folgendes gilt:^[2]

1.	${\ displayStyle d (x, y) = 0 \ iff x = y}$	Identität von Indiscernibles
2.	${\ displayStyle d (x, y) = d (y, x)}$	Symmetrie
3.	${\ displayStyle d (x, z) \ leq d (x, y)+d (y, z)}$	Subadditivität oder Dreiecksungleichung

Angesichts der oben genannten drei Axiome haben wir das auch ${\ displayStyle d (x, y) \ Geq 0}$ für jeden ${\ displayStyle x, y \ in m}$. Dies wird wie folgt abgeleitet (von oben nach unten):

${\ displayStyle d (x, y)+d (y, x) \ geq d (x, x)}$	durch Dreieck -Ungleichheit
${\ displayStyle d (x, y)+d (x, y) \ geq d (x, x)}$	durch Symmetrie
${\ displayStyle 2d (x, y) \ Geq 0}$	durch die Identität von unpisrernibles
${\ displayStyle d (x, y) \ Geq 0}$	Wir haben keine Negativität

Die Funktion ${\ displayStyle d}$ wird auch genannt Entfernungsfunktion oder einfach Distanz. Häufig, ${\ displayStyle d}$ wird weggelassen und man schreibt nur ${\ displayStyle m}$ Für einen metrischen Raum, wenn aus dem Kontext klar ist, welche Metrik verwendet wird.

Ignorieren mathematische Details für jedes Straßen- und Geländesystem Die Entfernung zwischen zwei Standorten kann als Länge der kürzesten Route definiert werden, die diese Standorte verbindet. Um eine Metrik zu sein, sollte es keine Einbahnstraßen geben. Die Dreiecksungleichheit drückt die Tatsache aus, dass Umwege keine Verknüpfungen sind. Wenn der Abstand zwischen zwei Punkten Null ist, sind die beiden Punkte nicht von einem anderen zu unterscheiden. Viele der folgenden Beispiele können als konkrete Versionen dieser allgemeinen Idee angesehen werden.

Beispiele für metrische Räume

• Das reale Nummern mit der Entfernungsfunktion ${\ displayStyle d (x, y) = | y-x |}$ gegeben durch die absoluter Unterschiedund allgemeiner, allgemeiner, Euklidisch n-Platz mit dem Euklidische Entfernung, sind Komplett Metrikräume. Das Rationale Zahlen Mit der gleichen Entfernungsfunktion bilden auch einen metrischen Raum, aber nicht einen vollständigen.
• Das positive reelle Zahlen mit Entfernungsfunktion ${\ displayStyle d (x, y) = \ links | \ log (y/x) \ rechts |}$ ist ein vollständiger metrischer Raum.
• Irgendein Normed Vektorraum ist ein metrischer Raum durch Definition ${\ displayStyle d (x, y) = \ lvert y-x \ rvert}$, siehe auch Metriken auf Vektorräumen. (Wenn ein solcher Raum ist Komplett, wir nennen es a Banach -Raum.) Beispiele:
  • Das Manhattan Norm liefert die Manhattan -Entfernung, wobei der Abstand zwischen zwei Punkten oder Vektoren die Summe der Unterschiede zwischen entsprechenden Koordinaten ist.
  • Die zyklische Metrik- oder Mannheim -Entfernung ist eine Modulo -Variante der Manhattan -Metrik.^[3][4]
  • Das Maximale Norm liefert die Chebyshev Distanz oder Schachbrettabstand, die minimale Anzahl von Bewegungen a Schachkönig würde nehmen, um zu reisen ${\ displayStyle x}$ zu ${\ displayStyle y}$.
• Das Britische Schiene Metrik (auch "Post -Office Metric" oder die "genannt"SNCF metrisch ") auf a Normed Vektorraum wird gegeben von ${\ displayStyle d (x, y) = \ lvert x \ rvert +\ lvert y \ rvert}$ für unterschiedliche Punkte ${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle y}$, und ${\ displayStyle d (x, x) = 0}$. Allgemeiner ${\ displaystyle \ lvert \ cdot \ rvert}$ kann durch eine Funktion ersetzt werden ${\ displayStyle f}$ ein willkürliches Set nehmen ${\ displayStyle S}$ zu nicht negativen Realen und den Wert nehmen ${\ displayStyle 0}$ höchstens einmal: Dann wird die Metrik definiert ${\ displayStyle S}$ durch ${\ displayStyle d (x, y) = f (x)+f (y)}}$ für unterschiedliche Punkte ${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle y}$, und ${\ displayStyle d (x, x) = 0}$. Der Name spielt auf die Tendenz von Eisenbahnreisen an, über London (oder Paris) unabhängig von ihrem endgültigen Ziel zu fahren.
• Wenn ${\ displayStyle (m, d)}$ ist ein metrischer Raum und ${\ displayStyle x}$ ist ein Teilmenge von ${\ displayStyle m}$, dann ${\ displayStyle (x, d)}$ wird zu einem metrischen Raum, indem er den Bereich von einschränken ${\ displayStyle d}$ zu ${\ displayStyle x \ mal x}$.
• Das Diskrete Metrik, wo ${\ displayStyle d (x, y) = 0}$ wenn ${\ displayStyle x = y}$ und ${\ displayStyle d (x, y) = 1}$ Ansonsten ist ein einfaches, aber wichtiges Beispiel und kann auf alle Sätze angewendet werden. Dies zeigt insbesondere, dass für jeden Satz immer ein metrischer Raum zugeordnet ist. Mit dieser Metrik ist der Singleton eines beliebigen Punktes ein offener BallDaher ist jede Untergruppe offen und der Raum hat den Diskrete Topologie.
• Ein endlicher metrischer Raum ist ein metrischer Raum mit a endlich Anzahl der Punkte. Nicht jeder endliche metrische Raum kann sein isometrisch eingebettet in a Euklidischer Raum.^[5][6]
• Das Hyperbolische Ebene ist ein metrischer Raum. Allgemeiner:
  • Wenn ${\ displayStyle m}$ ist jeder in Verbindung gebracht Riemanner VerteilerDann können wir uns drehen ${\ displayStyle m}$ in einen metrischen Raum, indem die Entfernung von zwei Punkten als die definiert wird Infimum der Längen der Pfade (kontinuierlich differenzierbar Kurven) verbinden sie.
• Wenn ${\ displayStyle x}$ ist ein Set und ${\ displayStyle m}$ ist also ein metrischer Raum, der Satz von allen begrenzte Funktionen ${\ displayStyle f \ colon x \ bis m}$ (d. H. Diese Funktionen, deren Bild a ist begrenzte Untergruppe von ${\ displayStyle m}$) kann durch Definition in einen metrischen Raum verwandelt werden ${\ displayStyle d (f, g) = \ sup _ {x \ in x} d (f (x), g (x))}$ für zwei beliebte Funktionen ${\ displayStyle f}$ und ${\ displayStyle g}$ (wo ${\ displayStyle \ sup}$ ist Supremum).^[7] Diese Metrik wird die genannt einheitliche Metrik oder supremum metrik und wenn ${\ displayStyle m}$ ist vollständig, dann das Funktionsraum ist auch vollständig. Wenn X ist auch ein topologischer Raum, dann der Satz aller begrenzten kontinuierlich Funktionen von ${\ displayStyle x}$ zu ${\ displayStyle m}$ (mit der einheitlichen Metrik ausgestattet) ist auch eine vollständige Metrik, wenn M ist.
• Wenn ${\ displayStyle g}$ ist ein Unbekanntes verbundenes Diagramm, dann der Satz ${\ displayStyle v}$ von Scheitelpunkten von ${\ displayStyle g}$ kann durch Definition in einen metrischen Raum verwandelt werden ${\ displayStyle d (x, y)}$ Um die Länge des kürzesten Pfades zu sein, der die Eckpunkte verbindet ${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle y}$. Dies wird auch genannt kürzester Wachabstand oder geodätische Entfernung. Im Geometrische Gruppentheorie Dies wird auf die angewendet Cayley -Graph einer Gruppe, die die ergibt Wortmetrik.
• Graph Edit Distanz ist ein Maß für die Unähnlichkeit zwischen zwei Grafiken, definiert als minimale Anzahl von Grafikbearbeitungsvorgänge erforderlich, um eine Grafik in eine andere zu verwandeln.
• Das Levenshtein -Entfernung ist ein Maß für die Unähnlichkeit zwischen zwei Saiten ${\ displayStyle u}$ und ${\ displayStyle v}$, definiert als die minimale Anzahl von Zeichendeletionen, Insertionen oder Substitutionen, die zur Transformation erforderlich sind ${\ displayStyle u}$ hinein ${\ displayStyle v}$. Dies kann als Sonderfall der kürzesten Pfadmetrik in einem Diagramm betrachtet werden und ist ein Beispiel für eine Entfernung bearbeiten.
• Einen metrischen Raum gegeben ${\ displayStyle (x, d)}$ und eine zunehmende konkave Funktion $oder$ so dass ${\ displayStyle f (x) = 0}$ dann und nur dann, wenn ${\ displayStyle x = 0}$, dann ${\ displayStyle f \ circ d}$ ist auch eine Metrik auf ${\ displayStyle x}$.
• Gegeben an Injektivfunktion ${\ displayStyle f}$ von jedem Satz ${\ displayStyle a}$ zu einem metrischen Raum ${\ displayStyle (x, d)}$, ${\ displayStyle d (f (x), f (y))}$ definiert eine Metrik auf ${\ displayStyle a}$.
• Verwendung T-theory, das enge Spanne eines metrischen Raums ist auch ein metrischer Raum. Die enge Spanne ist in verschiedenen Arten von Analysen nützlich.
• Der Satz von allen ${\ displayStyle m}$ durch ${\ displayStyle n}$ Matrizen über etwas aufstellen ist ein metrischer Raum in Bezug auf die Rang Distanz ${\ displayStyle d (x, y) = \ mathrm {rank} (y-x)}$.
• Das Helly Metric wird in verwendet Spieltheorie.

Offene und geschlossene Sets, Topologie und Konvergenz

Jeder metrische Raum ist a topologischer Raum auf natürliche Weise, und daher gelten alle Definitionen und Theoreme über allgemeine topologische Räume auch für alle metrischen Räume.

Über jeden Punkt ${\ displayStyle x}$ in einem metrischen Raum ${\ displayStyle m}$ Wir definieren die offener Ball des Radius ${\ displayStyle r> 0}$ (wo ${\ displayStyle r}$ ist eine reelle Zahl) über ${\ displayStyle x}$ als Set

${\ displayStyle b (x; r) = \ {y \ in m: d (x, y) <r \}.}$

Diese offenen Bälle bilden die Base für eine Topologie auf M, machen es a topologischer Raum.

Explizit eine Untergruppe ${\ displayStyle u}$ von ${\ displayStyle m}$ wird genannt offen Wenn für jeden ${\ displayStyle x}$ in ${\ displayStyle u}$ Es gibt eine ${\ displayStyle r> 0}$ so dass ${\ displayStyle b (x; r)}$ ist in ${\ displayStyle u}$. Das ergänzen eines offenen Satzes heißt abgeschlossen. EIN Nachbarschaft des Punktes ${\ displayStyle x}$ ist jede Teilmenge von ${\ displayStyle m}$ das enthält einen offenen Ball um ${\ displayStyle x}$ als Untergruppe.

Ein topologischer Raum, der auf diese Weise aus einem metrischen Raum entstehen kann metrizierbarer Raum.

A Reihenfolge (${\ displayStyle x_ {n}}$) in einem metrischen Raum ${\ displayStyle m}$ wird gesagt zu konvergieren bis zum Limit ${\ displayStyle x \ in m}$ dann und nur dann, wenn für jeden ${\ displayStyle \ varepsilon> 0}$Es gibt eine natürliche Zahl N so dass ${\ displayStyle d (x_ {n}, x) <\ varepsilon}}$ für alle ${\ displayStyle n> n}$. Äquivalent kann man die allgemeine Definition der Konvergenz verwenden, die in allen topologischen Räumen verfügbar ist.

Eine Teilmenge ${\ displayStyle a}$ des metrischen Raums ${\ displayStyle m}$ wird nur dann geschlossen, wenn jede Sequenz in ${\ displayStyle a}$ das konvergiert zu einer Grenze in ${\ displayStyle m}$ hat seine Grenze in ${\ displayStyle a}$.

Arten von metrischen Räumen

Vollständige Räume

Ein metrischer Raum ${\ displayStyle m}$ wird gesagt, dass Komplett Wenn alles Cauchy -Sequenz konvergiert ein ${\ displayStyle m}$. Das heißt: wenn ${\ displayStyle d (x_ {n}, x_ {m}) \ bis 0}$ wie beide ${\ displayStyle n}$ und ${\ displayStyle m}$ unabhängig von unendlich gehen, dann gibt es einige ${\ displayStyle y \ in m}$ mit ${\ displayStyle d (x_ {n}, y) \ bis 0}$.

Jeder Euklidischer Raum ist vollständig, ebenso wie jede geschlossene Teilmenge eines vollständigen Raums. Die rationalen Zahlen verwenden die Absolutwertmetrik ${\ displayStyle d (x, y) = \ vert x-y \ vert}$, sind nicht vollständig.

Jeder metrische Raum hat eine einzigartige (bis zu Isometrie) Fertigstellung, was ein vollständiger Raum ist, der den angegebenen Raum als gegebenen Raum enthält dicht Teilmenge. Zum Beispiel sind die realen Zahlen die Fertigstellung der Rationals.

Wenn ${\ displayStyle x}$ ist eine vollständige Untergruppe des metrischen Raums ${\ displayStyle m}$, dann ${\ displayStyle x}$ ist geschlossen in ${\ displayStyle m}$. In der Tat ist ein Raum abgeschlossen, wenn er nur dann in einem metrischen Raum geschlossen ist.

Jeder vollständige metrische Raum ist a Baire -Raum.

Begrenzte und völlig begrenzte Räume

Ein metrischer Raum ${\ displayStyle m}$ wird genannt begrenzt Wenn es eine Reihe gibt ${\ displayStyle r}$, so dass ${\ displayStyle d (x, y) \ leq r}$ für alle ${\ displayStyle x, y \ in M.}$ Das kleinstmögliche solche ${\ displayStyle r}$ wird genannt Durchmesser von ${\ displayStyle M.}$ Der Raum ${\ displayStyle m}$ wird genannt Vorvergleich oder total begrenzt Wenn für jeden ${\ displayStyle r> 0}$ Es gibt endlich viele offene Radiuskugeln ${\ displayStyle r}$ deren Gewerkschaft deckt ab ${\ displayStyle M.}$ Da der Satz der Zentren dieser Bälle endlich ist, hat es einen endlichen Durchmesser, aus dem sie folgt (unter Verwendung der Dreiecksungleichheit), dass jeder völlig begrenzte Raum begrenzt ist. Das Gegenteil gilt nicht, da ein unendlicher Satz die diskrete Metrik (eines der obigen Beispiele) gegeben werden kann, unter der es begrenzt und dennoch nicht vollständig begrenzt ist.

Beachten Sie das im Kontext von Intervalle im Raum von reale Nummern und gelegentlich Regionen in einem euklidischen Raum ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$ Ein begrenzter Satz wird als "ein endliches Intervall" oder "endlicher Region" bezeichnet. Die Begrenzung sollte jedoch im Allgemeinen nicht mit "endlich" verwechselt werden, was sich auf die Anzahl der Elemente bezieht, nicht wie weit der Satz erstreckt. Endlichkeit impliziert Begrenzung, aber nicht umgekehrt. Beachten Sie auch, dass eine unbegrenzte Teilmenge von ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$ kann eine endliche haben Volumen.

Kompakträume

Ein metrischer Raum ${\ displayStyle m}$ ist kompakt, wenn jede Sequenz in ${\ displayStyle m}$ hat ein Subsequenz das konvergiert zu einem Punkt in ${\ displayStyle m}$. Dies ist bekannt als als Sequentielle Kompaktheit und in metrischen Räumen (aber nicht im Allgemeinen topologische Räume) entspricht den topologischen Vorstellungen von Zählbare Kompaktheit und Kompaktheit definiert über offene Abdeckungen.

Beispiele für kompakte metrische Räume umfassen das geschlossene Intervall ${\ displayStyle [0,1]}$ mit der absoluten Wertmetrik, allen metrischen Räumen mit endlich vielen Punkten und der Cantor -Set. Jede geschlossene Teilmenge eines kompakten Raums ist selbst kompakt.

Ein metrischer Raum ist kompakt, wenn er vollständig und vollständig begrenzt ist. Dies ist als die bekannt Heine -Borel -Theorem. Beachten Sie, dass Kompaktheit nur von der Topologie abhängt, während die Begrenzung von der Metrik abhängt.

Lebesguges Nummer lemma gibt das für jede offene Abdeckung eines kompakten metrischen Raums an ${\ displayStyle m}$Es gibt eine "Lebesgue -Nummer" ${\ displayStyle \ Delta}$ so dass jede Untergruppe von ${\ displayStyle m}$ von Durchmesser ${\ displayStyle r <\ delta}$ ist in einem Mitglied des Covers enthalten.

Jeder kompakte metrische Raum ist zweiter zählbar,^[8] und ist ein kontinuierliches Bild der Cantor -Set. (Letzteres Ergebnis ist auf Pavel Alexandrov und Urysohn.))

Lokal kompakte und richtige Räume

Ein metrischer Raum soll sein lokal kompakt Wenn jeder Punkt eine kompakte Nachbarschaft hat. Euklidische Räume sind lokal kompakt, aber unendlich-dimensionale Banach-Räume nicht.

Ein Raum ist richtig Wenn jeder geschlossene Ball ${\ displaystyle \ {y \, \ colon d (x, y) \ leq r \}}$ ist kompakt. Die richtigen Räume sind lokal kompakt, aber das Gegenteil ist im Allgemeinen nicht wahr.

Verbundenheit

Ein metrischer Raum ${\ displayStyle m}$ ist in Verbindung gebracht Wenn die einzigen Teilmengen, die sowohl offen als auch geschlossen sind ${\ displayStyle m}$ selbst.

Ein metrischer Raum ${\ displayStyle m}$ ist Pfad verbunden Wenn für zwei Punkte ${\ displayStyle x, y \ in m}$ Es gibt eine kontinuierliche Karte ${\ displayStyle f \ colon [0,1] \ bis m}$ mit ${\ displayStyle f (0) = x}$ und ${\ displayStyle f (1) = y}$. Jeder von Pfad verbundene Raum ist verbunden, aber das Gegenteil ist im Allgemeinen nicht wahr.

Es gibt auch lokale Versionen dieser Definitionen: lokal verbundene Räume und lokal Pfad angeschlossene Räume.

Einfach verbundene Räume sind diejenigen, die in gewissem Sinne keine "Löcher" haben.

Trennbare Räume

Ein metrischer Raum ist Trennbarer Raum Wenn es eine hat zählbar dicht Teilmenge. Typische Beispiele sind die realen Zahlen oder einen euklidischen Raum. Für metrische Räume (aber nicht für allgemeine topologische Räume) entspricht die Trennbarkeit Zweitzählbarkeit und auch zum Lindelöf Eigentum.

Spitze metrische Räume

Wenn ${\ displayStyle x}$ ist ein metrischer Raum und ${\ displayStyle x_ {0} \ in x}$ dann ${\ displayStyle (x, x_ {0})}$ wird als a genannt Spitze metrischer Raum, und ${\ displayStyle x_ {0}}$ wird als a genannt Distinguished Point. Beachten Sie, dass ein spitzem metrischer Raum nur ein leerer metrischer Raum ist, der auf seinen angesehenen Punkt aufmerksam ist und dass jeder nicht leere metrische Raum als spitzen metrischen Raum angesehen werden kann. Der angesehene Punkt wird manchmal bezeichnet ${\ displayStyle 0}$ Aufgrund seines ähnlichen Verhaltens wie Null in bestimmten Kontexten.

Arten von Karten zwischen metrischen Räumen

Vermuten ${\ displayStyle (m_ {1}, d_ {1})}$ und ${\ displayStyle (m_ {2}, d_ {2})}$ sind zwei metrische Räume.

Kontinuierliche Karten

Die Karte ${\ displayStyle f \, \ colon m_ {1} \ to m_ {2}}$ ist kontinuierlich Wenn es eine (und damit alle) der folgenden äquivalenten Eigenschaften hat:

Allgemeine topologische Kontinuität

Für jedes offene Set ${\ displayStyle u}$ in ${\ displayStyle m_ {2}}$, das Vorbereitung ${\ displayStyle f^{-1} [u]}$ ist offen in ${\ displayStyle m_ {1}}$

Dies ist die allgemeine Definition von Kontinuität in der Topologie.

Satzkontinuität

wenn ${\ displayStyle (x_ {n})}$ ist eine Sequenz in ${\ displayStyle m_ {1}}$ das konvergiert zu ${\ displayStyle x}$dann die Sequenz ${\ displayStyle (f (x_ {n}))}$ konvergiert zu ${\ displayStyle f (x)}$ in ${\ displayStyle m_ {2}}$.

Das ist Satzkontinuität, wegen Eduard Heine.

ε-δ-Definition

für jeden ${\ displayStyle x \ in m_ {1}}$ Und jeder ${\ displayStyle \ varepsilon> 0}$ Es gibt es ${\ displayStyle \ Delta> 0}$ so dass für alle ${\ displayStyle y}$ in ${\ displayStyle m_ {1}}$ wir haben

$${\ displayStyle d_ {1} (x, y) <\ delta \ impliziert d_ {2} (f (x), f (y)) <\ varepsilon.}$$

Dies verwendet die (ε, δ) -Definition der Grenzeund ist auf Augustin Louis Cauchy.

Darüber hinaus, ${\ displayStyle f}$ ist kontinuierlich, wenn und nur wenn es in jeder kompakten Teilmenge von kontinuierlich ist ${\ displayStyle m_ {1}}$.

Das Bild Von jedem kompakten Satz unter einer kontinuierlichen Funktion ist kompakt, und das Bild jedes angeschlossenen Satzes unter einer kontinuierlichen Funktion ist verbunden.

Gleichmäßig kontinuierliche Karten

Die Karte ${\ displayStyle f \, \ colon m_ {1} \ to m_ {2}}$ ist gleichmäßig kontinuierlich Wenn für jeden ${\ displayStyle \ varepsilon> 0}$ Es gibt es ${\ displayStyle \ Delta> 0}$ so dass

$oder \ in m_ {1}.}$

Jede gleichmäßig kontinuierliche Karte ${\ displayStyle f \, \ colon m_ {1} \ to m_ {2}}$ ist kontinuierlich. Das Gegenteil ist wahr, wenn ${\ displayStyle m_ {1}}$ ist kompakt (Heine -Cantor -Theorem).

Einheitlich kontinuierliche Karten drehen Cauchy -Sequenzen in ${\ displayStyle m_ {1}}$ in Cauchy -Sequenzen in ${\ displayStyle m_ {2}}$. Für kontinuierliche Karten ist dies im Allgemeinen falsch; Zum Beispiel eine kontinuierliche Karte aus dem offenen Intervall ${\ displayStyle (0,1)}$ auf zu Die reale Linie verwandelt einige Cauchy -Sequenzen in unbegrenzte Sequenzen.

Lipschitz-kontinuierliche Karten und Kontraktionen

Bei einer reellen Zahl ${\ displayStyle k> 0}$, die Karte ${\ displayStyle f \, \ colon m_ {1} \ to m_ {2}}$ ist K-Lipschitz kontinuierlich wenn

$oder .}$

Jede lipschitz-kontinuierliche Karte ist einheitlich kontinuierlich, aber das Gegenteil ist im Allgemeinen nicht wahr.

Wenn ${\ displayStyle k <1}$, dann ${\ displayStyle f}$ wird als a genannt Kontraktion. Vermuten ${\ displayStyle m_ {2} = m_ {1}}$ und ${\ displayStyle m_ {1}}$ ist komplett. Wenn ${\ displayStyle f}$ ist dann eine Kontraktion ${\ displayStyle f}$ gibt einen einzigartigen Fixpunkt zu (Banach Festpunkt Theorem). Wenn ${\ displayStyle m_ {1}}$ ist kompakt, der Zustand kann ein wenig geschwächt werden: ${\ displayStyle f}$ gibt einen einzigartigen Fixpunkt zu, wenn

$oder$.

Isometrien

Die Karte ${\ displayStyle f \, \ colon m_ {1} \ to m_ {2}}$ ist ein Isometrie wenn

$oder$

Isometrien sind immer injektiv; Das Bild eines kompakten oder vollständigen Satzes unter einer Isometrie ist kompakt oder vollständig. Wenn die Isometrie jedoch nicht ist surjektivund dann muss das Bild eines geschlossenen (oder offenen) Satzes nicht geschlossen (oder geöffnet) werden.

Quasi-Isometrien

Die Karte ${\ displayStyle f \, \ colon m_ {1} \ to m_ {2}}$ ist ein Quasi-Isometrie Wenn es Konstanten gibt ${\ displayStyle a \ geq 1}$ und ${\ displayStyle b \ geq 0}$ so dass

$oder x), f (y))+b \ quad {\ text {für alle}} \ quad x, y \ in m_ {1}}$

und eine Konstante ${\ displayStyle C \ Geq 0}$ so dass jeder Punkt in ${\ displayStyle m_ {2}}$ hat höchstens eine Entfernung ${\ displayStyle c}$ Von irgendeinem Punkt im Bild ${\ displayStyle f (m_ {1})}$.

Beachten Sie, dass eine Quasi-Isometrie nicht kontinuierlich sein muss. Quasi-Isometrien vergleichen die "großräumige Struktur" von metrischen Räumen; Sie finden verwendet in Geometrische Gruppentheorie in Bezug auf die Wortmetrik.

Vorstellungen der metrischen Raumäquivalenz

Mit zwei Metrikplätzen gegeben ${\ displayStyle (m_ {1}, d_ {1})}$ und ${\ displayStyle (m_ {2}, d_ {2})}$:

• Sie heißen homomorph (topologisch isomorph), wenn es a Homomorphismus zwischen ihnen (d. H. a Bijection kontinuierlich in beide Richtungen).
• Sie heißen einheitlich (gleichmäßig isomorph) Wenn es a einheitlicher Isomorphismus zwischen ihnen (d. H. a Bijection Einheitlich kontinuierlich in beide Richtungen).
• Sie heißen isometrisch Wenn es vorhanden ist a Bijektiv Isometrie zwischen ihnen. In diesem Fall sind die beiden metrischen Räume im Wesentlichen identisch.
• Sie heißen quasi isometrisch Wenn es vorhanden ist a Quasi-Isometrie zwischen ihnen.

Topologische Eigenschaften

Metrische Räume sind parakompakt^[9] Hausdorff Räume^[10] und daher normal (In der Tat sind sie völlig normal). Eine wichtige Folge ist, dass jeder metrische Raum zulässt Partitionen der Einheit und dass jede kontinuierliche realvaluierte Funktion, die auf einer geschlossenen Teilmenge eines metrischen Raums definiert ist, auf eine kontinuierliche Karte auf dem gesamten Raum ausgedehnt werden kann (Tietze -Erweiterungstheorem). Es ist auch wahr, dass jeder reale Wert Lipschitz-kontinuierlich Die auf einer Untergruppe eines metrischen Raums definierte Karte kann auf eine lipschitz-kontinuierliche Karte im gesamten Raum ausgedehnt werden.

Metrische Räume sind zuerst zählbar Da kann man Bälle mit einem rationalen Radius als Nachbarschaftsbasis verwenden.

Die metrische Topologie auf einem metrischen Raum ${\ displayStyle m}$ ist die kohnlichste Topologie auf ${\ displayStyle m}$ relativ zu dem die Metrik ${\ displayStyle d}$ ist eine kontinuierliche Karte aus dem Produkt von ${\ displayStyle m}$ mit sich selbst zu den nicht negativen reellen Zahlen.

Abstand zwischen Punkten und Sätzen; Hausdorff -Entfernung und Gromov -Metrik

Eine einfache Möglichkeit, eine Funktion zu konstruieren, die einen Punkt von einem geschlossenen Satz trennt (wie erforderlich für a völlig regelmäßig Raum) soll die berücksichtigen Abstand zwischen dem Punkt und dem Satz. Wenn ${\ displayStyle (m, d)}$ ist ein metrischer Raum, ${\ displayStyle S}$ ist ein Teilmenge von ${\ displayStyle m}$ und ${\ displayStyle x}$ ist ein Punkt von ${\ displayStyle m}$, wir definieren den Abstand von ${\ displayStyle x}$ zu ${\ displayStyle S}$ wie

wo ${\ displayStyle \ inf}$ repräsentiert die Infimum.

Dann ${\ displayStyle d (x, s) = 0}$ dann und nur dann, wenn ${\ displayStyle x}$ gehört zum Schließung von ${\ displayStyle S}$. Darüber hinaus haben wir die folgende Verallgemeinerung der Dreiecksungleichheit:

Was insbesondere zeigt, dass die Karte ${\ displayStyle x \ MapSto D (x, s)}$ ist kontinuierlich.

Zwei Untergruppen gegeben ${\ displayStyle S}$ und ${\ displayStyle t}$ von ${\ displayStyle m}$, wir definieren ihre Hausdorff -Entfernung sein

wo ${\ displayStyle \ sup}$ repräsentiert die Supremum.

Im Allgemeinen die Hausdorff -Entfernung ${\ displayStyle d_ {h} (s, t)}$ kann unendlich sein. Zwei Sätze befinden sich in der Hausdorff -Entfernung nahe beieinander, wenn jedes Element eines Sets nahe an einem Element des anderen Satzes liegt.

Die Hausdorff -Entfernung ${\ displayStyle d_ {h}}$ dreht das Set ${\ displayStyle k (m)}$ von allen nicht leeren kompakten Untergruppen von ${\ displayStyle m}$ in einen metrischen Raum. Man kann das zeigen ${\ displayStyle k (m)}$ ist vollständig, wenn ${\ displayStyle m}$ ist komplett. (Ein anderer Begriff der Konvergenz kompakter Teilmengen wird von der gegeben Kuratowski -Konvergenz.))

Man kann dann das definieren Gromov -Hausdorff -Entfernung zwischen zwei beliebigen metrischen Räumen unter Berücksichtigung der minimalen Hausdorff -Entfernung der isometrisch eingebetteten Versionen der beiden Räume. Mit dieser Entfernung wird die Klasse aller (Isometrieklassen) kompakte metrische Räume zu einem eigenen metrischen Raum.

Produktmetrische Räume

Wenn ${\ displayStyle (m_ {1}, d_ {1}), \ ldots, (m_ {n}, d_ {n})}$ sind metrische Räume und ${\ displayStyle n}$ ist der Euklidische Norm an ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$, dann $oder$ ist ein metrischer Raum, wo die Produktmetrik wird definiert von

$oder }) {\ Big)} = n {\ big (} d_ {1} (x_ {1}, y_ {1}), \ ldots, d_ {n} (x_ {n}, y_ {n}) {\ Groß )},}$

und die induzierte Topologie stimmt mit der überein Produkttopologie. Durch die Äquivalenz von Normen in endlichen Dimensionen wird eine äquivalente Metrik erhalten, wenn ${\ displayStyle n}$ ist der Taxi -Norm, a P-Norm, die maximale Norm oder eine andere Norm, die als Koordinaten eines positiven ${\ displayStyle n}$-tupel erhöht sich (ergibt die Dreiecksungleichheit).

In ähnlicher Weise kann ein zählbares Produkt von metrischen Räumen unter Verwendung der folgenden Metrik erhalten werden

$oder , y_ {i})} {1+d_ {i} (x_ {i}, y_ {i})}}.}$

Ein unzähliges Produkt von metrischen Räumen muss nicht metrizierbar sein. Zum Beispiel, ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{\ mathbb {r}}}$ ist nicht zuerst zählbar und daher ist nicht messbar.

Kontinuität der Entfernung

Im Falle eines einzelnen Raums ${\ displayStyle (m, d)}$, die Entfernungskarte ${\ displayStyle d \ colon m \ times m \ bis r^{+}}$ (von dem Definition) ist in Bezug auf eines der oben genannten Produktmetriken einheitlich kontinuierlich ${\ displayStyle n (d, d)}$und insbesondere ist in Bezug auf die Produkttopologie von kontinuierlich ${\ displayStyle m \ Times m}$.

Quotient metrische Räume

Wenn M ist ein metrischer Raum mit Metrik ${\ displayStyle d}$, und ${\ displayStyle \ Sim}$ ist ein Äquivalenzbeziehung an ${\ displayStyle m}$Dann können wir den Quotientensatz ausgeben ${\ displayStyle m/\! \ sim}$ mit einem pseudometrischen. Bei zwei Äquivalenzklassen ${\ displayStyle [x]}$ und ${\ displayStyle [y]}$, wir definieren

$oder p_ {n}, q_ {n}) \}}$

bei dem die Infimum wird alle endlichen Sequenzen übernommen ${\ displayStyle (p_ {1}, p_ {2}, \ dots, p_ {n})}$ und ${\ displayStyle (q_ {1}, q_ {2}, \ dots, q_ {n})}$ mit ${\ displayStyle [p_ {1}] = [x]}$, ${\ displayStyle [q_ {n}] = [y]}$, ${\ displayStyle [q_ {i}] = [p_ {i+1}], i = 1,2, \ dots, n-1}$. Im Allgemeinen wird dies nur a definieren pseudometrisch, d.h. ${\ displayStyle d '([x], [y]) = 0}$ impliziert das nicht unbedingt das ${\ displayStyle [x] = [y]}$. Für einige Äquivalenzbeziehungen (z. B. diejenigen, die durch Kleben von Polyeder entlang der Gesichter verabreicht werden), ${\ displayStyle d '}$ ist eine Metrik.

Die Quotient -Metrik ${\ displayStyle d}$ ist durch Folgendes gekennzeichnet Universelles Eigentum. Wenn ${\ displayStyle f \, \ colon (m, d) \ bis (x, \ delta)}$ ist ein Metrische Karte zwischen metrischen Räumen (dh,, ${\ displayStyle \ delta (f (x), f (y)) \ leq d (x, y)}$ für alle ${\ displayStyle x}$, ${\ displayStyle y}$) befriedigend ${\ displayStyle f (x) = f (y)}}$ Wann immer ${\ displayStyle x \ sim y,}$ dann die induzierte Funktion ${\ displayStyle {\ overline {f}} \, \ colon m/\! \ sim \ bis x}$, gegeben durch ${\ displayStyle {\ overline {f}} ([x]) = f (x)}$, ist eine metrische Karte ${\ displayStyle {\ overline {f}} \, \ colon (m/\! \ sim, d ') \ to (x, \ delta).}$

Ein topologischer Raum ist sequentiell Wenn und nur wenn es sich um einen Quotienten eines metrischen Raums handelt.^[11]

Verallgemeinerungen von metrischen Räumen

• Jeder metrische Raum ist a einheitlicher Raum auf natürliche Weise, und jeder einheitliche Raum ist natürlich a topologischer Raum. Einheitliche und topologische Räume können daher als Verallgemeinerungen von metrischen Räumen angesehen werden.
• Entspannen der Anforderung, dass der Abstand zwischen zwei unterschiedlichen Punkten ungleich Null führt, führt zu den Konzepten von a pseudometrischer Raum oder ein ausgeschalteter metrischer Raum.^[12] Wenn wir die Anforderungen der Symmetrie beseitigen, kommen wir zu a quasimetrischer Raum. Das Ersetzen der Dreiecksungleichheit durch eine schwächere Form führt zu Semimetrische Räume.
• Wenn die Entfernungsfunktion Werte in der erweiterte reelle Zahlenlinie ${\ displayStyle \ mathbb {r} \ cup \ {+\ infty \}}$, aber ansonsten die Bedingungen einer Metrik erfüllt, dann wird sie als eine bezeichnet erweiterte Metrik und der entsprechende Raum wird als ein bezeichnet ${\ displayStyle \ Infty}$-Metrischer Raum. Wenn die Entfernungsfunktion Werte in einigen (geeigneten) geordneten Set nimmt (und die Dreiecksungleichheit entsprechend angepasst wird), kommen wir zu dem Begriff von Generalisierte ultrametrische.^[12]
• Annäherung Räume sind eine Verallgemeinerung von metrischen Räumen, die auf Punkt-zu-Satz-Entfernungen anstelle von Punkt-zu-Punkt-Entfernungen basieren.
• A Kontinuitätsraum ist eine Verallgemeinerung von metrischen Räumen und Posets, das kann verwendet werden, um die Vorstellungen von metrischen Räumen zu vereinen und Domänen.
• Ein partieller metrischer Raum soll die am wenigsten verallgemeinerische Verallgemeinerung des Begriffs eines metrischen Raums sein, so dass der Abstand jedes Punktes von sich selbst nicht mehr unbedingt Null ist.^[13]

Metrische Räume als angereicherte Kategorien

Das bestellte Set ${\ displayStyle (\ mathbb {r}, \ geq)}$ kann als als gesehen werden Kategorie durch genau einen anfordern Morphismus ${\ displayStyle a \ bis B}$ wenn ${\ displayStyle a \ Geq B}$ Und sonst niemand. Durch die Nutzung ${\ displayStyle +}$ als die Tensorprodukt und ${\ displayStyle 0}$ als die Identität, es wird a Monoidale Kategorie ${\ displayStyle r^{*}}$. Jeder metrische Raum ${\ displayStyle (m, d)}$ kann jetzt als Kategorie angesehen werden ${\ displayStyle m^{*}}$ angereichert Über ${\ displayStyle r^{*}}$:

• Satz ${\ displayStyle \ operatorname {ob} (m^{*}): = m}$
• Für jeden ${\ displayStyle x, y \ in m}$ einstellen $oder$
• Der Zusammensetzung Morphismus $oder$ wird der einzigartige Morphismus in sein ${\ displayStyle r^{*}}$ Aus der Dreiecksungleichheit gegeben ${\ displayStyle d (y, z)+d (x, y) \ geq d (x, z)}$
• Der Identitätsmorphismus ${\ displayStyle 0 \ to \ operatorname {hom} (x, x)}$ wird der einzigartige Morphismus sein, der aus der Tatsache gegeben wird, dass ${\ displayStyle 0 \ Geq D (x, x)}$.
• Seit ${\ displayStyle r^{*}}$ ist ein Poset, alle Diagramme diese sind für eine angereicherte Kategorie automatisch erforderlich.

Siehe das Papier von F.W. Lawvere unten aufgeführt.

Siehe auch

• Assouad-Nagata-Dimension
• Aleksandrov -Rassias -Problem
• Kategorie von metrischen Räumen
• Klassischer Wienerraum
• Kontraktionskartierung- Funktionsreduzierender Abstand zwischen allen Punkten
• Glossar der Riemannian- und Metrikgeometrie- Mathematik -Glossar
• Hilbert Raum- Verallgemeinerung des euklidischen Raums, der unendliche Dimensionen ermöglicht
• Hilberts viertes Problem- Konstruieren Sie alle metrischen Räume, in denen Linien denen auf einer Kugel ähneln
• Isometrie-Distanzpräsentierende mathematische Transformation
• Lee -Entfernung
• Lipschitz -Kontinuität- starke Form der einheitlichen Kontinuität
• Maß (Mathematik)- Verallgemeinerung von Masse, Länge, Fläche und Volumen
• Metrik (Mathematik)- Mathematische Funktion definieren Distanz
• Metrische Karte
• Metrische Signatur- Anzahl der positiven, negativen und null Eigenwerte eines metrischen Tensors
• Metrischer Tensor- Struktur, die lokal eine Entfernung auf einem Riemannschen Verteiler definiert
• Metrikbaum
• Norm (Mathematik)- Länge in einem Vektorraum
• Normed Vektorraum- Vektorraum, auf dem eine Entfernung definiert ist
• Produktmetrik- Metrik auf dem kartesischen Produkt von endlich vielen metrischen Räumen
• Raum (Mathematik)- Mathematischer Set mit einer zusätzlichen Struktur
• Dreiecksungleichung- Eigenschaft der Geometrie, auch verwendet, um den Begriff der "Entfernung" in metrischen Räumen zu verallgemeinern
• Ultrametrischer Raum- Art des metrischen Raums

Verweise

Weitere Lektüre

• Victor Bryant, Metrikräume: Iteration und Anwendung, Cambridge University Press, 1985, ISBN0-521-31897-1.
• Dmitri Burago, Yu d burago, Sergei Ivanov, Ein Kurs in der metrischen Geometrie, American Mathematical Society, 2001, ISBN0-8218-2129-6.
• Athanase Papadopoulos, Metrische Räume, Konvexität und nicht positive Krümmung, Europäische Mathematische Gesellschaft, Erstausgabe 2004, ISBN978-3-03719-010-4. Zweite Ausgabe 2014, ISBN978-3-03719-132-3.
• Mícheál Ó Searcóid, Metrikräume, Springer Undergraduate Mathematics Series, 2006, ISBN1-84628-369-8.
• Lawvere, F. William, "Metrische Räume, generalisierte Logik und geschlossene Kategorien", [Rend. Sem. Matte. Fis. Milano 43 (1973), 135—166 (1974); (Italienische Zusammenfassung)

Dies wird nachgedruckt (mit Autorenkommentar) bei Nachdrucke in Theorie und Anwendungen von Kategorien Auch (mit einem Autor -Kommentar) in angereicherten Kategorien in der Logik der Geometrie und Analyse. Reprieren Theorie Appl. Kategorie. Nr. 1 (2002), 1–37.

• Weisstein, Eric W. "Produktmetrik". Mathord.

Externe Links

• "Metrischer Raum", Enzyklopädie der Mathematik, EMS Press, 2001 [1994]
• Weit und in der Nähe - mehrere Beispiele für Entfernungsfunktionen bei Schnitt.