Bedeuten

Es gibt verschiedene Arten von bedeuten in Mathematik, besonders in Statistiken. Jeder Mittelwert dient dazu, eine bestimmte Gruppe von zusammenzufassen Daten, oft um den Gesamtwert besser zu verstehen (Größe und Schild) eines gegebenen Datensatz.

Für ein Datensatz, das arithmetisches Mittel, auch bekannt als "arithmetischer Durchschnitt", ist ein Maß für zentrale Tendenz einer endlichen Anzahl von Zahlen: Insbesondere die Summe der Werte geteilt durch die Anzahl der Werte. Das arithmetische Mittel einer Reihe von Zahlen x₁, x₂, ..., x_n wird normalerweise mit einem bezeichnet Overhead Bar, ${\ displayStyle {\ bar {x}}}$.^{[Anmerkung 1]} Wenn der Datensatz auf einer Reihe von Beobachtungen basierte, die durch erhalten wurden durch Probenahme von einem Statistische Bevölkerungdas arithmetische Mittel ist das Probenmittelwert (${\ displayStyle {\ bar {x}}}$), um es vom Mittelwert zu unterscheiden, oder erwarteter Wert, der zugrunde liegenden Verteilung, die Bevölkerung bedeuten (bezeichnet ${\ displayStyle \ mu}$ oder ${\ displayStyle \ mu _ {x}}$^{[Anmerkung 2]}).^[1]

Außenwahrscheinlichkeit und Statistiken werden häufig eine Vielzahl anderer Mittel der Mittelwert verwendet Geometrie und Mathematische Analyse; Beispiele sind unten angegeben.

Arten von Mitteln

Pythagoräische Mittel

Arithmetisches Mittel (AM)

Das arithmetisches Mittel (oder einfach bedeuten) einer Liste von Zahlen ist die Summe aller Zahlen geteilt durch die Anzahl der Zahlen. Ebenso der Mittelwert einer Probe ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}}$, normalerweise gekennzeichnet durch ${\ displayStyle {\ bar {x}}}$, ist die Summe der abgetasteten Werte geteilt durch die Anzahl der Elemente in der Probe

$oder x_ {1}+x_ {2}+\ cdots+x_ {n}} {n}}}$

Zum Beispiel ist der arithmetische Mittelwert von fünf Werten: 4, 36, 45, 50, 75::

${\ displaystyle {\ frac {4+36+45+50+75} {5}} = {\ frac {210} {5}} = 42.}$

Geometrischer Mittel (GM)

Das geometrisches Mittelwert ist ein Durchschnitt, der für Sätze positiver Zahlen nützlich ist, die nach ihrem Produkt (wie bei Wachstumsraten der Fall) und nicht nach ihrer Summe (wie beim arithmetischen Mittel) interpretiert werden:

$oder x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} \ rechts)^{\ frac {1} {n}}}$ ^[2]

Zum Beispiel ist der geometrische Mittelwert von fünf Werten: 4, 36, 45, 50, 75:

$oder .}$

Harmonisches Mittel (HM)

Das harmonische Mittel ist ein Durchschnitt, der für Zahlensätze nützlich ist, die in Bezug auf einige definiert sind Einheit, wie im Fall von Geschwindigkeit (d. h. Entfernung pro Zeiteinheit):

$oder$

Zum Beispiel der harmonische Mittel der fünf Werte: 4, 36, 45, 50, 75 ist

${\ displaystyle {\ frac {5} {{\ tfrac {1} {4}}+{\ tfrac {1} {36}} {\ tfrac {1 {45} {{\ tfrac {1 {1 {1 {1 {1 {1 {1 {1 {1 {1 {1 {1) 50}}+{\ tfrac {1} {75}}}} = {\ frac {5} {\; {\ tfrac {1} {3}} \;}} = 15.$

Beziehung zwischen AM, GM und HM

Beweis ohne Worte des Ungleichheit von arithmetischen und geometrischen Mitteln:
PR ist ein Durchmesser eines auf o zentrierten Kreises; Sein Radius AO ist der arithmetisches Mittel von a und b. Verwendung der Geometrischer Mittelwert, Dreieck PGRs Höhe GQ ist das geometrisches Mittelwert. Für jedes Verhältnis a:b, Ao ≥ gq.

AM, GM und HM erfüllen diese Ungleichheiten:

$oder$

Gleichheit gilt, wenn alle Elemente der angegebenen Stichprobe gleich sind.

Statistische Lage

Vergleich der arithmetisches Mittel, Median, und Modus von zwei verzerrten (logarisch-normal) Verteilungen.

Geometrische Visualisierung des Modus, Median und Mittelwert einer willkürlichen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.^[3]

Im beschreibende Statistik, die Mittelwert kann mit dem verwechselt werden Median, Modus oder Mittelklasse, wie jeder von diesen als "Durchschnitt" bezeichnet werden kann (formaler, ein Maß von zentrale Tendenz). Der Mittelwert einer Reihe von Beobachtungen ist der arithmetische Durchschnitt der Werte; Allerdings für verzerrte Verteilungen, der Mittelwert ist nicht unbedingt der gleiche wie der mittlere Wert (Median) oder der wahrscheinlichste Wert (Modus). Zum Beispiel wird das mittlere Einkommen in der Regel von einer kleinen Anzahl von Menschen mit sehr großem Einkommen nach oben verzerrt, so dass die Mehrheit ein Einkommen niedriger als der Mittelwert hat. Im Gegensatz dazu ist das mittlere Einkommen das Niveau, auf dem die Hälfte der Bevölkerung unter und die Hälfte oben ist. Das Moduseinkommen ist das wahrscheinlichste Einkommen und bevorzugt die größere Anzahl von Menschen mit niedrigeren Einkommen. Während der Median und der Modus häufig intuitivere Maßnahmen für solche verzerrten Daten sind, werden viele verzerrte Verteilungen tatsächlich am besten mit ihrem Mittelwert beschrieben, einschließlich der exponentiell und Poisson Verteilungen.

Mittelwert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Das Mittel von a Wahrscheinlichkeitsverteilung ist der langfristige arithmetische Durchschnittswert von a zufällige Variable diese Verteilung haben. Wenn die zufällige Variable mit bezeichnet wird durch ${\ displayStyle x}$dann ist es auch als das bekannt erwarteter Wert von ${\ displayStyle x}$ (bezeichnet ${\ displayStyle e (x)}$). Für ein Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, der Mittelwert ist gegeben durch ${\ displaystyle \ textstyle \ sum xp (x)}$, wobei die Summe alle möglichen Werte der Zufallsvariablen übernommen wird und ${\ displayStyle p (x)}$ ist der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion. Für ein kontinuierliche Verteilung, der Mittelwert ist $oder$, wo ${\ displayStyle f (x)}$ ist der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.^[4] In allen Fällen, einschließlich derer, in denen die Verteilung weder diskret noch kontinuierlich ist, ist der Mittelwert das Lebesgue Integral der zufälligen Variablen in Bezug auf ihre Wahrscheinlichkeitsmaß. Der Mittelwert muss nicht existieren oder endlich sein; Für einige Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist der Mittelwert unendlich (+∞ oder −∞), während für andere der Mittelwert ist nicht definiert.

Verallgemeinerte Mittel

Kraftbedeutung

Das verallgemeinerte MittelwertAuch als Machtmittelbedeutung oder Hölder -Mittel ist eine Abstraktion der quadratisch, arithmetische, geometrische und harmonische Mittel. Es ist für einen Satz von definiert n Positive Zahlen x_i durch

$oder ^{\ frac {1} {m}}}$ ^[2]

Durch die Auswahl verschiedener Werte für den Parameter mDie folgenden Arten von Mitteln werden erhalten:

${\ displayStyle \ lim _ {m \ to \ infty}}$

maximal von ${\ displaystyle x_ {i}}$

${\ displaystyle \ lim _ {m \ bis 2}}$

quadratischer Mittelwert

${\ displaystyle \ lim _ {m \ bis 1}}$

arithmetisches Mittel

${\ displaystyle \ lim _ {m \ bis 0}}$

geometrisches Mittelwert

${\ displaystyle \ lim _ {m \ bis -1}}$

harmonische Mittel

${\ displayStyle \ lim _ {m \ to -\ infty}}$

Minimum von ${\ displaystyle x_ {i}}$

f-bedeuten

Dies kann weiter als die verallgemeinert werden verallgemeinert f-bedeuten

$oder i} \ rechts)}} \ rechts)}$

und wieder eine geeignete Wahl eines Invertierbaren f wird geben

${\ displayStyle f (x) = x}$	arithmetisches MittelAnwesend
${\ displayStyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}$	harmonische MittelAnwesend
${\ displayStyle f (x) = x^{m}}$	KraftbedeutungAnwesend
${\ displayStyle f (x) = \ ln (x)}$	geometrisches Mittelwert.

Gewichtter arithmetischer Mittelwert

Das Gewichtter arithmetischer Mittelwert (oder gewichteter Durchschnitt) wird verwendet, wenn man die Durchschnittswerte aus unterschiedlichen Stichproben derselben Bevölkerung kombinieren möchte:

${\ displayStyle {\ bar {x}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1}^{n} {w_ {i} {\ bar {x_ {i}}} {\ sum _ {i i {x_ {i}}} {\ sum _ {i ig {i i. = 1}^{n} W_ {i}}}.}$ ^[2]

Wo ${\ displayStyle {\ bar {x_ {i}}}}$ und ${\ displayStyle w_ {i}}$ sind der Mittelwert und die Größe der Probe ${\ displayStyle i}$ beziehungsweise. In anderen Anwendungen stellen sie eine Maßnahme für die Zuverlässigkeit des Einflusses auf den Mittelwert durch die jeweiligen Werte dar.

Abgeschnittenes Mittelwert

Manchmal enthalten eine Reihe von Zahlen Ausreißer (d. H. Datenwerte, die viel niedriger oder viel höher sind als die anderen). Oft sind Ausreißer fehlerhafte Daten, die durch verursacht werden durch Artefakte. In diesem Fall kann man a verwenden abgeschnittenes Mittelwert. Dazu gehört, gegebene Teile der Daten oben oder am unteren Ende zu verwerfen, normalerweise eine gleiche Menge an jedem Ende und dann den arithmetischen Mittelwert der verbleibenden Daten. Die Anzahl der entfernten Werte wird als Prozentsatz der Gesamtzahl der Werte angegeben.

Interquartilmittel

Das Interquartilmittel ist ein spezifisches Beispiel für einen abgeschnittenen Mittelwert. Es ist einfach der arithmetische Mittelwert, nachdem das niedrigste und höchste Viertel der Werte entfernt wird.

$oder {4}} n} \! \! X_ {i}}$

Unter der Annahme, dass die Werte geordnet wurden, ist einfach ein spezifisches Beispiel für einen gewichteten Mittelwert für einen bestimmten Satz von Gewichten.

Mittelwert einer Funktion

Unter bestimmten Umständen können Mathematiker einen Mittelwert eines Unendlichen (oder sogar einen berechnen unzähliger) Wertesatz. Dies kann bei der Berechnung des Mittelwerts passieren ${\ displayStyle y _ {\ text {avg}}}$ einer Funktion ${\ displayStyle f (x)}$. Intuitiv kann ein Mittelwert einer Funktion als Berechnung der Fläche unter einem Abschnitt einer Kurve angesehen werden und dann durch die Länge dieses Abschnitts dividieren. Dies kann grob erfolgen, indem Quadrate auf Diagrammpapier oder genauer gesagt durch gezählt werden Integration. Die Integrationsformel ist geschrieben als:

$oder$

In diesem Fall muss darauf geachtet werden, dass das Integral konvergiert. Aber das Mittelwert kann endlich sein, auch wenn die Funktion selbst an einigen Stellen unendlich unendlich ist.

Mittelwerte für Winkel und zyklische Mengen

WinkelTageszeiten und andere zyklische Mengen erfordern Modulararithmetik Zahlen hinzufügen und ansonsten kombinieren. In all diesen Situationen wird es kein einzigartiges Mittel geben. Zum Beispiel sind die Zeiten eine Stunde vor und nach Mitternacht sowohl mit Mitternacht als auch mittags gleich. Es ist auch möglich, dass es kein Mittel gibt. Betrachten Sie a Farbkreis- Es gibt keinen Abschluss für das Set aller Farben. In diesen Situationen müssen Sie entscheiden, welches Mittelwert am nützlichsten ist. Sie können dies tun, indem Sie die Werte vor der Mittelung oder durch Verwendung von a anpassen Spezialer Ansatz für den Mittelwert der kreisförmigen Mengen.

Fréchet mean

Das Fréchet mean gibt eine Weise zur Bestimmung des "Zentrums" einer Massenverteilung auf a auftauchen oder allgemeiner, Riemanner Verteiler. Im Gegensatz zu vielen anderen Mitteln wird das Fréchet -Mittelwert auf einem Raum definiert, dessen Elemente nicht unbedingt von Skalaren addiert oder multipliziert werden können. Es ist manchmal auch als das bekannt Karcher gemein (benannt nach Hermann Karger).

Swansons Regel

Dies ist eine Annäherung an den Mittelwert für eine mäßig verzerrte Verteilung.^[5] Es wird in der Kohlenwasserstoff -Exploration verwendet und definiert als:

${\ displayStyle m = 0.3p_ {10}+0.4p_ {50}+0.3p_ {90}}$

wo P₁₀, P₅₀ und P₉₀ 10., 50. und 90. Perzentil der Verteilung.

Andere Mittel

Siehe auch

• Zentrale Tendenz
  • Median
  • Modus
• Beschreibende Statistik
• Kurtosis
• Gesetz der Durchschnittswerte
• Mittelwert Theorem
• Moment (Mathematik)
• Zusammengefasste Statistiken
• Taylors Gesetz

Anmerkungen

Verweise