Maxwell -Boltzmann -Verteilung

Maxwell -Boltzmann
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Maxwell-Boltzmann distribution pdf.svg
Verteilungsfunktion
Maxwell-Boltzmann distribution cdf.svg
Parameter
Die Unterstützung
PDF
CDF wo Erf ist der Fehlerfunktion
Bedeuten
Modus
Varianz
Schiefe
Ex. Kurtosis
Entropie

Im Physik (insbesondere in Statistische Mechanik), das Maxwell -Boltzmann -Verteilung ist ein besonderes Wahrscheinlichkeitsverteilung benannt nach James Clerk Maxwell und Ludwig Boltzmann.

Es wurde zuerst definiert und zur Beschreibung der Partikel verwendet Geschwindigkeiten in idealisierte Gase, wo sich die Partikel frei in einem stationären Behälter bewegen, ohne miteinander zu interagieren, außer sehr kurz Kollisionen in dem sie Energie und Impuls miteinander oder mit ihrer thermischen Umgebung austauschen. Der Begriff "Partikel" in diesem Zusammenhang bezieht sich nur auf gasförmige Partikel (Atome oder Moleküle), und es wird angenommen, dass das System der Partikel erreicht ist Thermodynamisches Gleichgewicht.[1] Die Energien solcher Partikel folgen dem, was bekannt ist Maxwell -Boltzmann -Statistikund die statistische Verteilung der Geschwindigkeiten wird abgeleitet, indem Partikelenergien mit gleichermaßen kinetische Energie.

Mathematisch ist die Maxwell -Boltzmann -Verteilung die CHI -Verteilung mit drei Freiheitsgrade (die Komponenten der Geschwindigkeit Vektor in Euklidischer Raum), mit einer Skalenparameter Messgeschwindigkeiten in Einheiten proportional zur Quadratwurzel von (das Verhältnis von Temperatur und Partikelmasse).[2]

Die Maxwell -Boltzmann -Verteilung ist ein Ergebnis der kinetische Gasentheorie, was eine vereinfachte Erklärung vieler grundlegender gasförmiger Eigenschaften liefert, einschließlich Druck und Diffusion.[3] Die Maxwell -Boltzmann -Verteilung gilt grundlegend für Partikelgeschwindigkeiten in drei Dimensionen, hängt jedoch nur von der Geschwindigkeit ab (die Größe der Geschwindigkeit der Partikel. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Partikelgeschwindigkeitswahrscheinlichkeit zeigt an, welche Geschwindigkeiten wahrscheinlicher sind: Ein Teilchen hat eine Geschwindigkeit, die zufällig aus der Verteilung ausgewählt wird, und es ist wahrscheinlicher, dass es innerhalb eines Geschwindigkeitsbereichs liegt als ein anderer. Die kinetische Theorie der Gase gilt für die Klassiker ideales Gas, was eine Idealisierung von echten Gasen ist. In realen Gasen gibt es verschiedene Effekte (z. B.,, Van der Waals Wechselwirkungen, Wirbel fließen, relativistisch Geschwindigkeitsbegrenzungen und Quantum Austausch Interaktionen) Das kann ihre Geschwindigkeitsverteilung von der Form der Maxwell -Boltzmann -Form unterscheiden. Jedoch, verdünnt Gase bei normalen Temperaturen verhalten sich nahezu wie ein ideales Gas und die Maxwell -Geschwindigkeitsverteilung ist eine hervorragende Annäherung für solche Gase. Ideal Plasmen, die ionisierten Gase mit ausreichend niedriger Dichte sind, haben häufig auch Partikelverteilungen, die teilweise oder vollständig maxwellianisch sind.[4]

Die Verteilung wurde erstmals von Maxwell 1860 aus heuristischen Gründen abgeleitet.[5] Boltzmann führte später in den 1870er Jahren erhebliche Untersuchungen zu den physikalischen Ursprüngen dieser Verteilung durch. Die Verteilung kann auf den Boden abgeleitet werden, dass sie die Entropie des Systems maximiert. Eine Liste von Ableitungen ist:

  1. Maximale Entropiewahrscheinlichkeitsverteilung im Phasenraum mit der Einschränkung von Erhaltung der durchschnittlichen Energie ;
  2. Kanonisches Ensemble.

Verteilungsfunktion

Angenommen, das interessierende System enthält eine große Anzahl von Partikeln, den Teil der Partikel in einem infinitesimalen Element des dreidimensionalen Geschwindigkeitsraums, , zentriert auf einen Geschwindigkeitsvektor der Größenordnung , ist :

wo ist die Partikelmasse, ist der Boltzmanns Konstante, und thermodynamic temperature.
Die Geschwindigkeitswahrscheinlichkeitsdichtefunktionen der Geschwindigkeiten von wenigen Edelgase bei einer Temperatur von 298,15 K (25 ° C). Das y-Axis ist in s/m, so dass der Bereich unter einem Abschnitt der Kurve (der die Wahrscheinlichkeit darstellt, dass die Geschwindigkeit in diesem Bereich liegt) dimensionlos ist.

Man kann das Element des Geschwindigkeitsraums schreiben als für Geschwindigkeiten in einem Standard -kartesisches Koordinatensystem oder als in einem Standardkugelkoordinatensystem wo, wo ist ein Element des festen Winkels. Hier wird als Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion angegeben, ordnungsgemäß normalisiert, damit über alle Geschwindigkeiten entspricht eins. In der Plasmaphysik wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung häufig mit der Partikeldichte multipliziert, so dass das Integral der resultierenden Verteilungsfunktion der Dichte entspricht.

Die Maxwellsche Verteilungsfunktion für Partikel, die sich nur in eine Richtung bewegen, wenn diese Richtung ist , ist

Dies kann durch Integration der oben angegebenen dreidimensionalen Form erhalten werden und .

Erkennen der Symmetrie von , man kann sich über festen Winkel integrieren und eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von Geschwindigkeiten als Funktion schreiben[6]

Dies Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gibt die Wahrscheinlichkeit pro Geschwindigkeit der Einheit, das Partikel mit einer Geschwindigkeit in der Nähe zu finden . Diese Gleichung ist einfach die Maxwell -Boltzmann -Verteilung (im Infobox angegeben) mit Verteilungsparameter . Die Maxwell -Boltzmann -Verteilung entspricht der CHI -Verteilung mit drei Freiheitsgraden und Skalenparameter .

Das einfachste gewöhnliche Differentialgleichung zufrieden durch die Verteilung ist:

oder in unitloser Präsentation:

Mit dem Darwin -Fowler -Methode Die Mittelwerte wird die Maxwell -Boltzmann -Verteilung als genaues Ergebnis erhalten.
Simulation eines 2D -Gase

Beziehung zur 2d Maxwell -Boltzmann -Verteilung

Für Partikel, die in einer Ebene beschränkt sind, ist die Geschwindigkeitsverteilung gegeben

Diese Verteilung wird zur Beschreibung von Systemen im Gleichgewicht verwendet. Die meisten Systeme beginnen jedoch nicht in ihrem Gleichgewichtszustand. Die Entwicklung eines Systems in Richtung seines Gleichgewichtszustands unterliegt dem von der Boltzmann Gleichung. Die Gleichung prognostiziert, dass für Kurzstreckenwechselwirkungen die Verteilung der Gleichgewichtsgeschwindigkeit einer Maxwell -Boltzmann -Verteilung folgen wird. Rechts ist a Molekulare Dynamik (MD) Simulation, in der 900harte Sphäre Partikel werden beschränkt, sich in einem Rechteck zu bewegen. Sie interagieren über perfekt elastische Kollisionen. Das System wird aus dem Gleichgewicht initialisiert, aber die Geschwindigkeitsverteilung (in blau) konvergiert schnell in die 2D -Verteilung von 2D Maxwell -Voltzmann (in orange).

Typische Geschwindigkeiten

Solar Atmosphere Maxwell–Boltzmann Distribution.
Die Maxwell -Boltzmann -Verteilung entspricht der Sonnenatmosphäre. Partikelmassen sind eins Protonenmasse, und die Temperatur ist die effektive Temperatur der Suns Photosphäre, . Markieren Sie die wahrscheinlichsten, mittleren und wurzelsten mittleren quadratischen Geschwindigkeiten. Ihre Werte sind und .

Das bedeuten Geschwindigkeit , die wahrscheinlichste Geschwindigkeit (Modus) vp, und Wurzelstrichgeschwindigkeit kann aus Eigenschaften der Maxwell -Verteilung erhalten werden.

Das funktioniert für fast gut Ideal, Monatom Gase wie Helium, aber auch für Molekulare Gase Wie Diatomic Sauerstoff. Dies liegt daran, dass trotz der größeren Wärmekapazität (größere interne Energie bei gleicher Temperatur) aufgrund ihrer größeren Anzahl von Freiheitsgrade, ihr translational kinetische Energie (und damit ihre Geschwindigkeit) ist unverändert.[7]

  • Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit, vp, ist die Geschwindigkeit, die am wahrscheinlichsten von jedem Molekül besessen ist (der gleichen Masse m) im System und entspricht dem maximalen Wert oder dem Modus von f(v). Um es zu finden, berechnen wir die Derivat df/dvStellen Sie es auf Null ein und lösen Sie für v:
    mit der Lösung:
    R ist der Gaskonstante und M ist Molmasse der Substanz und kann daher als Produkt der Partikelmasse berechnet werden, m, und Avogadro konstant, NA:
    Für Diatomstickstoff (n2die Hauptkomponente von Luft)[8] bei Zimmertemperatur (300 k), das gibt
  • Die mittlere Geschwindigkeit ist die erwarteter Wert der Geschwindigkeitsverteilung, Einstellung :
  • Die mittlere Quadratgeschwindigkeit ist die zweite Ordnung roher Moment der Geschwindigkeitsverteilung. Die "Wurzel mittlere quadratische Geschwindigkeit" ist die quadratische Wurzel der mittleren Quadratgeschwindigkeit, die der Geschwindigkeit eines Teilchens mit dem Median entspricht kinetische Energie, Einstellung :

Zusammenfassend sind die typischen Geschwindigkeiten wie folgt verwandt:

Die quadratische Geschwindigkeit der Wurzel steht in direktem Zusammenhang mit der Schallgeschwindigkeit c im Gas, von

wo ist der Adiabatischer Index, f ist die Anzahl von Freiheitsgrade des einzelnen Gasmoleküls. Für das obige Beispiel, Diatom -Stickstoff (approximieren Luft) bei 300 k, [9] und
Der wahre Wert für Luft kann durch die Verwendung des durchschnittlichen Molflokals von angenähert werden Luft (29 g/mol), nachgeben 347 m/s bei 300 k (Korrekturen für Variable Feuchtigkeit sind in der Größenordnung von 0,1% bis 0,6%).

Die durchschnittliche relative Geschwindigkeit

wo die dreidimensionale Geschwindigkeitsverteilung ist

Das Integral kann problemlos durch Wechsel zu Koordinaten durchgeführt werden und

Ableitung und verwandte Verteilungen

Maxwell -Boltzmann -Statistik

Die ursprüngliche Ableitung im Jahr 1860 von James Clerk Maxwell war ein Argument basierend auf molekularen Kollisionen der Kinetische Gasentheorie sowie bestimmte Symmetrien in der Geschwindigkeitsverteilungsfunktion; Maxwell gab auch ein frühes Argument dafür, dass diese molekularen Kollisionen eine Tendenz zum Gleichgewicht beinhalten.[5][10] Nach Maxwell, Ludwig Boltzmann 1872[11] leitet auch die Verteilung aus mechanischen Gründen ab und argumentierte, dass Gase im Laufe der Zeit aufgrund von Kollisionen zu dieser Verteilung tendieren sollten (siehe H-Theorem). Er später (1877)[12] leitete die Verteilung erneut unter dem Rahmen von ab Statistische Thermodynamik. Die Ableitungen in diesem Abschnitt befinden sich entsprechend den Linien von Boltzmanns Ableitung von 1877, beginnend mit dem bekannt als Ergebnis bekannt als Maxwell -Boltzmann -Statistik (aus statistischer Thermodynamik). Maxwell-Kolzmann-Statistik ergibt die durchschnittliche Anzahl von Partikeln, die in einem gegebenen Einzelpartikel enthalten sind Mikrostata. Unter bestimmten Annahmen ist der Logarithmus des Teilchenanteils in einer gegebenen Mikrostata proportional zum Verhältnis der Energie dieses Zustands zur Temperatur des Systems:

Die Annahmen dieser Gleichung sind, dass die Partikel nicht interagieren und klassisch sind; Dies bedeutet, dass der Zustand jedes Teilchens unabhängig von den Zuständen der anderen Partikel betrachtet werden kann. Zusätzlich wird angenommen, dass die Partikel im thermischen Gleichgewicht liegen.[1][13]

Diese Beziehung kann als Gleichung geschrieben werden, indem ein Normalisierungsfaktor eingeführt wird:

 

 

 

 

(1)

wo:

  • Ni ist die erwartete Anzahl von Partikeln in der Einzelpartikelmikrostata i,
  • N ist die Gesamtzahl der Partikel im System,
  • Ei ist die Energie der Mikrostata i,
  • die Summe über Index j berücksichtigt alle Mikrostatten,
  • T ist die Gleichgewichtstemperatur des Systems,
  • k ist der Boltzmann Konstante.

Der Nenner in Gleichung (1) ist ein Normalisierungsfaktor, so dass die Verhältnisse sich der Einheit summieren - mit anderen Worten, es ist eine Art Art von Partitionsfunktion (Für das Einzelpartikelsystem nicht die übliche Partitionsfunktion des gesamten Systems).

Weil Geschwindigkeit und Geschwindigkeit mit Energie und Gleichung zusammenhängen (Gleichung (1) kann verwendet werden, um Beziehungen zwischen Temperatur und den Geschwindigkeiten von Gaspartikeln abzuleiten. Alles, was benötigt wird, ist nur die Dichte der Mikrostates in der Energie zu entdecken, die durch Aufteilung des Impulsraums in Regionen gleicher Größe bestimmt wird.

Verteilung für den Impulsvektor

Die potentielle Energie wird als Null angesehen, so dass die gesamte Energie in Form kinetischer Energie liegt. Die Beziehung zwischen kinetische Energie und Impuls für massive Nicht-Nichtrelativistisch Partikel ist

 

 

 

 

(2)

wo p2 ist das Quadrat des Impulsvektors p = [px, py, pz]. Wir können daher Gleichung umschreiben (1) wie:

 

 

 

 

(3)

wo Z ist der Partitionsfunktion, entsprechend dem Nenner in Gleichung (1). Hier m ist die molekulare Masse des Gases, T ist die thermodynamische Temperatur und k ist der Boltzmann Konstante. Diese Verteilung von ist proportional zum Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion fp zum Suche nach einem Molekül mit diesen Werten von Impulskomponenten, also:

 

 

 

 

(4)

Das Normalisierung der Konstante kann durch Erkenntnis bestimmt werden, dass die Wahrscheinlichkeit eines Moleküls mit etwas Impuls muss 1. Integration des Exponentials in (4) gesamt px, py, und pz ergibt einen Faktor von

So dass die normalisierte Verteilungsfunktion lautet:

(6))

Die Verteilung ist das Produkt von drei unabhängigen normal verteilt Variablen , , und , mit Varianz . Darüber hinaus ist ersichtlich, dass die Größe des Impulses als Maxwell -Boltzmann -Verteilung verteilt wird, mit . Die Maxwell -Boltzmann -Verteilung für den Impuls (oder gleichermaßen für die Geschwindigkeiten) kann grundlegender verwendet werden H-Theorem im Gleichgewicht innerhalb der Kinetische Gasentheorie Rahmen.

Verteilung für die Energie

Die Energieverteilung wird imposant gefunden

 

 

 

 

(7)

wo ist das infinitesimale Phasenraumvolumen des Impulses, der dem Energieintervall entspricht . Nutzung der sphärischen Symmetrie der Energiemomentum-Dispersions-Beziehung Dies kann in Bezug auf ausgedrückt werden wie

 

 

 

 

(8)

Dann verwenden (dann (8) in (7) und alles in Bezug auf die Energie ausdrücken , wir bekommen

und schlussendlich

(9))

Da die Energie proportional zur Summe der Quadrate der drei normal verteilten Impulskomponenten ist, kann diese Energieverteilung äquivalent als äquivalent geschrieben werden Gamma -Verteilungmit einem Formparameter, und ein Skalenparameter, .

Verwendung der EquipartitionstheoremAngesichts der Tatsache, dass die Energie gleichmäßig auf alle drei Freiheitsgrade im Gleichgewicht verteilt ist, können wir uns auch teilen in einen Satz von Chi-Quadrat-Verteilungen, wo die Energie pro Freiheitsgrad, , wird als Chi-Quadrat-Verteilung mit einem Freiheitsgrad verteilt,[14]

Im Gleichgewicht gilt diese Verteilung für eine beliebige Anzahl von Freiheitsgraden. Wenn die Partikel beispielsweise starre Massendipole des festen Dipolmoments sind, haben sie drei translationale Freiheitsgrade und zwei zusätzliche Rotationsgrade. Die Energie in jedem Freiheitsgrad wird gemäß der obigen Chi-Quadrat-Verteilung mit einem Freiheitsgrad beschrieben, und die Gesamtenergie wird gemäß einer Chi-Quadrat-Verteilung mit fünf Freiheitsgraden verteilt. Dies hat Auswirkungen auf die Theorie der spezifische Wärme von einem Gas.

Verteilung für den Geschwindigkeitsvektor

Erkennen, dass die Geschwindigkeitswahrscheinlichkeitsdichte fv ist proportional zur Impulswahrscheinlichkeitsdichtefunktion durch

und verwenden p = mv wir bekommen

Das ist die Verteilung der Maxwell -Boltzmann -Geschwindigkeit. Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen mit Geschwindigkeit im infinitesimalen Element zu finden [dvx, dvy, dvz] über Geschwindigkeit v = [vx, vy, vz] ist

Wie die Impuls ist diese Verteilung das Produkt von drei unabhängigen normal verteilt Variablen , , und , aber mit Varianz . Es ist auch ersichtlich, dass die Verteilung der Maxwell -Boltzmann -Geschwindigkeit für die Vektorgeschwindigkeit[vx, vy, vz] ist das Produkt der Verteilungen für jede der drei Richtungen:

wo die Verteilung für eine einzelne Richtung ist

Jede Komponente des Geschwindigkeitsvektors hat a Normalverteilung mit gemein und Standardabweichung , so hat der Vektor eine dreidimensionale Normalverteilung, eine bestimmte Art von Art von Multivariate Normalverteilung, mit gemein und Kovarianz , wo ist der Identitätsmatrix.

Verteilung für die Geschwindigkeit

Die Maxwell -Boltzmann -Verteilung für die Geschwindigkeit folgt unmittelbar aus der Verteilung des Geschwindigkeitsvektors oben. Beachten Sie, dass die Geschwindigkeit ist

und die Volumenelement in Sphärische Koordinaten
wo und sind die sphärische Koordinate Winkel des Geschwindigkeitsvektors. Integration der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Geschwindigkeit über die festen Winkel ergibt einen zusätzlichen Faktor von . Die Geschwindigkeitsverteilung mit Substitution der Geschwindigkeit für die Summe der Quadrate der Vektorkomponenten:

Im n-Dimensionaler Raum

Im n-Dimensionaler Raum, Maxwell -Boltzmann -Verteilung wird:

Geschwindigkeitsverteilung wird:

Das folgende integrale Ergebnis ist nützlich:

wo ist der Gamma -Funktion. Dieses Ergebnis kann verwendet werden, um die zu berechnen Momente der Geschwindigkeitsverteilungsfunktion:
Welches ist das bedeuten Geschwindigkeit selbst .

das verleiht Wurzelmantelgeschwindigkeit .

Die Ableitung der Geschwindigkeitsverteilungsfunktion:

Dies ergibt die wahrscheinlichste Geschwindigkeit (Modus) .

Siehe auch

Verweise

  1. ^ a b Statistische Physik (2. Ausgabe), F. Mandl, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN9780471915331
  2. ^ Universitätsphysik - mit moderner Physik (12. Ausgabe), H.D. Young, R.A. Freedman (Originalausgabe), Addison-Wesley (Pearson International), 1. Ausgabe: 1949, 12. Ausgabe: 2008, ISBN978-0-321-50130-1
  3. ^ Enzyklopädie der Physik (2. Auflage), R.G. Lerner, G. L. Trigg, VHC Publishers, 1991, ISBN3-527-26954-1 (Verlagsgesellschaft), ISBN0-89573-752-3 (VHC Inc.)
  4. ^ N. A. Krall und A.W. Blumendreihe, Prinzipien der Plasma -Physik, San Francisco Press, Inc., 1986, unter anderem in anderen Texten zur grundlegenden Plasma -Physik
  5. ^ a b Sehen:
    • Maxwell, J.C. (1860 a): Abbildungen der dynamischen Theorie der Gase. Teil I. Über die Bewegungen und Kollisionen perfekt elastischer Kugeln. The London, Edinburgh und Dublin Philosophical Magazine und Journal of Science, 4th Series, Vol.19, S. 19-32. [1]
    • Maxwell, J.C. (1860 b): Abbildungen der dynamischen Theorie der Gase. Teil II. Zum Prozess der Verbreitung von zwei oder mehr Arten von sich bewegenden Partikeln untereinander. The London, Edinburgh und Dublin Philosophical Magazine und Journal of Science, 4. Ser., Vol.20, S. 21-37. [2]
  6. ^ H.J.W. Müller-Kirsten (2013), Grundlagen der statistischen Physik, 2. Aufl., Welt wissenschaftlich, ISBN978-981-4449-53-3, Kapitel 2.
  7. ^ Raymond A. Serway; Jerry S. Faughn & Chris Vuille (2011). Hochschulphysik, Band 1 (9. Aufl.). p. 352. ISBN 9780840068484.
  8. ^ Die Berechnung wird nicht beeinflusst, dass der Stickstoff diatomisch ist. Trotz der größeren Wärmekapazität (größere innere Energie bei gleicher Temperatur) der Diatomgase im Vergleich zu monatomischen Gasen aufgrund ihrer größeren Anzahl von Freiheitsgrade, ist immer noch der Mittelwert translational kinetische Energie. Stickstoff, der zweist M = 28 g/mol. Siehe z. K. Prakashan, Technische Physik (2001), 2.278.
  9. ^ Stickstoff bei Raumtemperatur wird als "starres" Diatomgas mit zwei Rotationsgraden zusätzlich zu den drei translationalen und dem nicht erreichbaren Schwingungsgrad der Freiheit angesehen.
  10. ^ Gyenis, Balazs (2017). "Maxwell und die Normalverteilung: Eine farbige Geschichte von Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit und Tendenz zum Gleichgewicht". Studien in Geschichte und Philosophie der modernen Physik. 57: 53–65. Arxiv:1702.01411. Bibcode:2017shpmp..57 ... 53g. doi:10.1016/j.shpsb.2017.01.001. S2CID 38272381.
  11. ^ Boltzmann, L., "Weitere Studien über Das Wärmegleichgewicht Unter Gasmolekülen." Sittensbericht der Kaiserliche Akademie der Wissenschaften in Wien, Mathematisch-Naturwissens-Schaftlich-Klasse, 66, 1872, S. 275–370.
  12. ^ Boltzmann, L., "über Die Beziehung Zwischen dem Zweiten Hauptsatz der Mechanismen Wärmeetheorie und der Wahrschmlichlichkelsglung Respektive Deuten Sätzen über das Wärmegleichswicht." Sittensbericht der Kaiserliche Akademie der Wissenschaften in Wien, Mathematisch-Naturwissens-Schaftlich-Klasse. Abt. II, 76, 1877, S. 373–435. Nachgedruckt WISSENCHAFTILE Abhandlungen, Vol. II, S. 164–223, Leipzig: Barth, 1909. Übersetzung erhältlich bei: http://crystal.med.upenn.edu/sharp-lab-pdfs/2015sharpmatschinsky_Boltz1877_entropy17.pdf
  13. ^ McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2. Ausgabe), C. B. Parker, 1994, ISBN0-07-051400-3
  14. ^ Laurendeau, Normand M. (2005). Statistische Thermodynamik: Grundlagen und Anwendungen. Cambridge University Press. p. 434. ISBN 0-521-84635-8., Anhang N, Seite 434

Weitere Lektüre

  • Physik für Wissenschaftler und Ingenieure - mit moderner Physik (6. Ausgabe), P. A. Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, ISBN0-7167-8964-7
  • Thermodynamik, von Konzepten bis hin zu Anwendungen (2. Auflage), A. Shavit, C. Gutfinger, CRC Press (Taylor und Francis Group, USA), 2009, ISBN978-1-4200-7368-3
  • Chemische Thermodynamik, D.J.G. Ives, Universitätschemie, MacDonald Technical and Scientific, 1971, ISBN0-356-03736-3
  • Elemente der statistischen Thermodynamik (2. Auflage), L.K. Nash, Prinzipien der Chemie, Addison-Wesley, 1974, ISBN0-201-05229-6
  • Ward, CA & Fang, G 1999, "Ausdruck zur Vorhersage des Flüssigkeitsverdampfungsflusss: statistischer Rate -Theorie -Ansatz", Physical Review E, Vol. 59, nein. 1, S. 429–40.
  • Rahimi, P & Ward, CA 2005, "Kinetik der Verdunstung: Statistische Rate -Theorie -Ansatz", International Journal of Thermodynamics, Vol. 8, nein. 9, S. 1–14.

Externe Links