Mathematik

3. Jahrhundert v. Chr. Griechischen Mathematiker Euklid Holding Bremssättelwie vorgestellt von Raphael in diesem Detail von Die Schule von Athen (1509–1511)^[a]

Mathematik (aus Altgriechisch μάθημα; Máthēma:'Wissen, Studium, Lernen') ist ein Wissensbereich, der Themen wie Zahlen (Zahlen (Arithmetik, Zahlentheorie),^[1] Formeln und verwandte Strukturen (Algebra),^[2] Formen und die Räume, in denen sie enthalten sind (Geometrie),^[1] und Mengen und ihre Veränderungen (Infinitesimalrechnung und Analyse).^[3][4][5]

Die meisten mathematischen Aktivitäten beinhalten das Entdecken und Beweis von Eigenschaften von abstrakte Objekte durch reine Argumentation. Diese Objekte sind entweder Abstraktionen aus der Natur, wie z. natürliche Zahlen oder Linien, oder - in modernen Mathematik - Entitäten, die mit bestimmten Eigenschaften festgelegt sind, genannt Axiome. EIN nachweisen besteht aus einer Reihe von Anwendungen einiger deduktive Regeln zu bereits bekannten Ergebnisse, einschließlich zuvor bewiesen Theoreme, Axiome und (im Fall von Abstraktion von der Natur) einige grundlegende Eigenschaften, die als echte Ausgangspunkte der untersuchten Theorie angesehen werden. Das Ergebnis eines Beweises heißt a Satz.

Die Mathematik wird in großem Umfang verwendet Wissenschaft zum Modellieren Phänomene. Dies ermöglicht die Extraktion quantitativer Vorhersagen aus experimentellen Gesetzen. Zum Beispiel kann die Bewegung von Planeten genau mithilfe der Verwendung genau vorhergesagt werden Newtons Gravitationsgesetz kombiniert mit mathematischer Berechnung. Die Unabhängigkeit der mathematischen Wahrheit aus einem Experimentieren impliziert, dass die Genauigkeit solcher Vorhersagen nur von der Angemessenheit des Modells für die Beschreibung der Realität abhängt. Ungenauige Vorhersagen implizieren die Notwendigkeit, mathematische Modelle zu verbessern oder zu ändern, nicht dass die Mathematik in den Modellen selbst falsch ist. Zum Beispiel die Perihel -Präzession des Quecksilbers kann nicht durch Newtons Gravitationsgesetz erklärt werden, wird aber genau erklärt durch Einstein's generelle Relativität. Diese experimentelle Validierung von Einsteins Theorie zeigt, dass Newtons Gravitationsgesetz nur eine Annäherung ist, wenn auch in der täglichen Anwendung genau.

Mathematik ist in vielen Bereichen von wesentlicher Bedeutung, einschließlich Naturwissenschaften, Ingenieurwesen, Medizin, Finanzen, Informatik und Sozialwissenschaften. Einige Bereiche der Mathematik, wie z. Statistiken und Spieltheoriewerden in enger Korrelation mit ihren Anwendungen entwickelt und häufig unter gruppiert angewandte Mathematik. Andere mathematische Bereiche werden unabhängig von jeder Anwendung entwickelt (und werden daher genannt reine Mathematik), aber praktische Anwendungen werden oft später entdeckt.^[6][7] Ein passendes Beispiel ist das Problem von Ganzzahlfaktorisierung, was zurückgeht Euklid, aber die keine praktische Anwendung vor seiner Verwendung in der RSA Cryptosystem (für die Sicherheit von Computernetzwerke).

Historisch, das Konzept von a nachweisen und es ist damit verbunden Mathematische Strenge Erschienen zuerst in Griechische Mathematikvor allem in Euklid's Elemente.^[8] Seit ihrem Anfang wurden die Mathematik im Wesentlichen in unterteilt in Geometrie, und Arithmetik (die Manipulation von natürliche Zahlen und Brüche), bis zum 16. und 17. Jahrhundert, wann Algebra^[b] und Infinitesimale Kalkül wurden als neue Bereiche eingeführt. Seitdem die Interaktion zwischen mathematischen Innovationen und wissenschaftliche Entdeckungen hat zu einem raschen Anstieg der Entwicklung der Mathematik geführt. Ende des 19. Jahrhunderts, die Grundkrise der Mathematik führte zur Systematisierung der Axiomatische Methode. Dies führte wiederum zu einem dramatischen Anstieg der Anzahl der Mathematikbereiche und ihrer Anwendungsfelder. Ein Beispiel dafür ist das Mathematik -Fachklassifizierung, in dem mehr als sechzig Bereiche der Mathematik in der ersten Ebene aufgeführt sind.

Bereiche der Mathematik

Vor dem Renaissance, Mathematik wurde in zwei Hauptbereiche unterteilt: Arithmetik - In Bezug auf die Manipulation von Zahlen, und Geometrie - In Bezug auf die Untersuchung von Formen. Einige Arten von Pseudowissenschaften, wie zum Beispiel Numerologie und Astrologiewurden dann nicht klar von der Mathematik unterschieden.

Während der Renaissance erschienen zwei weitere Bereiche. Mathematische Notation führte zu Algebra, was grob gesagt aus der Studie und der Manipulation von besteht Formeln. Infinitesimalrechnung, bestehend aus den beiden Teilfeldern Infinitesimale Kalkül und Integralrechnung, ist das Studium von kontinuierliche Funktionen, die die typisch nichtlinearen Beziehungen zwischen unterschiedlichen Mengen modellieren (Variablen). Diese Aufteilung in vier Hauptbereiche - Arithmetik, Geometrie, Algebra, Kalkül^{[Überprüfung erforderlich]} - bis zum Ende des 19. Jahrhunderts ertragen. Bereiche wie Himmelsmechanik und Feste Mechanik wurden dann oft als Teil der Mathematik betrachtet, werden aber jetzt als Zugehörigkeit zu Physik. Einige Probanden, die während dieser Zeit entwickelt wurden, sind vor der Mathematik und sind in Bereiche unterteilt wie Wahrscheinlichkeitstheorie und Kombinatorik, die erst später als autonome Gebiete angesehen wurden.

Ende des 19. Jahrhunderts, die Grundkrise in Mathematik und die resultierende Systematisierung der Axiomatische Methode führte zu einer Explosion neuer Bereiche der Mathematik. Heute, den Mathematik -Fachklassifizierung enthält nicht weniger als vierundsechzig Gebiete der ersten Ebene. Einige dieser Bereiche entsprechen der älteren Teilung, wie dies in Bezug auf Zahlentheorie (der moderne Name für höhere Arithmetik) und Geometrie. (In mehreren anderen Bereichen der ersten Ebene sind jedoch in ihren Namen eine "Geometrie" oder werden ansonsten als Teil der Geometrie angesehen.) Algebra und Kalkül erscheinen nicht als Gebiete der ersten Ebene, sondern werden jeweils in mehrere Bereiche der ersten Ebene aufgeteilt. Andere Gebiete der ersten Ebene entstanden im 20. Jahrhundert (zum Beispiel Kategoriestheorie; Homologische Algebra, und Informatik) oder zuvor nicht als Mathematik angesehen worden Mathematische Logik und Fundamente (einschließlich Modelltheorie, Computerbarkeitstheorie, Mengenlehre, Beweistheorie, und algebraische Logik).

Zahlentheorie

Dies ist das Ulam -Spirale, was die Verteilung von illustriert Primzahlen. Die dunklen diagonalen Linien im spiralförmigen Hinweis auf die hypothetische Annäherung an die ungefähre Unabhängigkeit Zwischen der Primem und einem Wert eines quadratischen Polynoms, eine Vermutung, die jetzt als bekannt ist Hardy und Littlewoods Vermutung f.

Die Zahlentheorie begann mit der Manipulation von Zahlen, das ist, natürliche Zahlen ${\ displayStyle (\ mathbb {n}),},}$ und später erweitert auf Ganzzahlen ${\ displayStyle (\ mathbb {z})}$ und Rationale Zahlen ${\ displayStyle (\ mathbb {q}).}$ Früher wurde die Zahlentheorie genannt ArithmetikAber heutzutage wird dieser Begriff hauptsächlich für numerische Berechnungen verwendet.

Viele leicht festgelegte Zahlenprobleme haben Lösungen, die ausgefeilte Methoden aus der Mathematik erfordern. Ein prominentes Beispiel ist Fermats letzter Satz. Diese Vermutung wurde 1637 von angegeben Pierre de Fermat, aber es war bewiesen erst 1994 von Andrew Wiles, wer verwendete Tools einschließlich Schema -Theorie aus Algebraische Geometrie, Kategoriestheorie und Homologische Algebra. Ein anderes Beispiel ist Goldbachs Vermutung, was behauptet, dass jede gleichmäßige Ganzzahl größer als 2 die Summe von zwei ist Primzahlen. 1742 von 1742 von Christian GoldbachEs bleibt bis heute trotz erheblicher Anstrengungen unbewiesen.

Die Zahlentheorie umfasst mehrere Teilbereiche, einschließlich analytische Zahlentheorie, Algebraische Zahlentheorie, Geometrie der Zahlen (methodorientiert), Diophantinengleichungen, und Transzendenztheorie (Problemorientiert).

Geometrie

Die Geometrie ist eine der ältesten Zweige der Mathematik. Es begann mit empirischen Rezepten zu Formen, wie z. Linien, Winkel und Kreise, die hauptsächlich für die Bedürfnisse von entwickelt wurden Vermessung und die Architektur, ist aber seitdem in viele andere Teilfelder aufgebraucht.

Eine grundlegende Innovation war die Einführung des Konzepts von Beweise durch Antike Griechen, mit der Anforderung, dass jede Behauptung sein muss bewiesen. Zum Beispiel reicht es nicht aus, durch Messung zu überprüfen, ob beispielsweise zwei Längen gleich sind. Ihre Gleichheit muss durch Argumentation aus zuvor akzeptierten Ergebnissen nachgewiesen werden (Theoreme) und ein paar grundlegende Aussagen. Die grundlegenden Aussagen unterliegen nicht dem Beweis, weil sie selbstverständlich sind (Postulate), oder sie sind Teil der Definition des Untersuchungsfachs (Studienfach (Axiome). Dieses Prinzip, das für alle Mathematik grundlegend ist, wurde erstmals für die Geometrie ausgearbeitet und durch systematisiert Euklid ca. 300 v. Chr. In seinem Buch Elemente.

Das resultierende Euklidische Geometrie ist das Studium der Formen und ihrer Arrangements gebaut aus Linien, Flugzeuge und Kreise in dem Euklidische Ebene (Ebene Geometrie) und die (dreidimensionale) Euklidischer Raum.^[c]

Die euklidische Geometrie wurde bis zum 17. Jahrhundert ohne Veränderung von Methoden oder Umfang entwickelt, wann René Descartes eingeführt, was jetzt genannt wird Kartesischen Koordinaten. Dies war eine große Veränderung des Paradigmas, da anstatt zu definieren, anstatt zu definieren reale Nummern als Längen von Liniensegmente (sehen Zahlenlinie), es ermöglichte die Darstellung von Punkten mit ihren Koordinaten (die Zahlen sind). Dies ermöglicht es einem zu verwenden Algebra (und später, Infinitesimalrechnung) geometrische Probleme zu lösen. Diese Split -Geometrie in zwei neue Teilfelder: synthetische Geometrie, was rein geometrische Methoden verwendet und analytische Geometrie, was Koordinaten systemisch verwendet.

Die analytische Geometrie ermöglicht die Untersuchung von Kurven Das hängt nicht mit Kreisen und Linien zusammen. Solche Kurven können definiert werden als Diagramm der Funktionen (deren Studie führte zu Differentialgeometrie). Sie können auch definiert werden als implizite Gleichungen, häufig Polynomgleichungen (was entstanden Algebraische Geometrie). Die analytische Geometrie ermöglicht es auch, berücksichtigt zu werden Räume von höher als drei Dimensionen.

Im 19. Jahrhundert entdeckten Mathematiker Nichteuklidische Geometrien, die dem nicht folgen Parallele Postulat. Indem diese Entdeckung die Wahrheit dieses Postulats in Frage stellt, schließt sich diese Entdeckung zusammen Russels Paradoxon als Enthüllung der Grundkrise der Mathematik. Dieser Aspekt der Krise wurde gelöst, indem die systematisiert wurde Axiomatische Methodeund zu übernehmen, dass die Wahrheit der gewählten Axiome kein mathematisches Problem ist. Das axiomatische Verfahren ermöglicht wiederum die Untersuchung verschiedener Geometrien, die entweder durch Ändern der Axiome oder durch Berücksichtigung von Eigenschaften, die unter bestimmten Transformationen der Veränderungen invariant sind Platz.

Heutzutage umfassen die Teilbereiche der Geometrie:

• Projektive Geometrie, eingeführt im 16. Jahrhundert von Girard Desargueserweitert die euklidische Geometrie durch Hinzufügen Punkte auf unendlich bei welchem parallele Linien schneiden. Dies vereinfacht viele Aspekte der klassischen Geometrie, indem die Behandlungen für die Überschneidung und parallele Linien vereint werden.
• Affine Geometriedie Untersuchung von Eigenschaften im Vergleich zu Parallelität und unabhängig vom Konzept der Länge.
• Differentialgeometrie, die Untersuchung von Kurven, Oberflächen und deren Verallgemeinerungen, die verwendet werden differenzierbare Funktionen
• Vielfältige Theorie, die Untersuchung von Formen, die nicht unbedingt in einen größeren Raum eingebettet sind
• Riemannian Geometriedie Untersuchung der Entfernungseigenschaften in gekrümmten Räumen
• Algebraische Geometrie, die Untersuchung von Kurven, Oberflächen und deren Verallgemeinerungen, die verwendet werden Polynome
• Topologie, die Untersuchung von Eigenschaften, die untergehalten werden kontinuierliche Verformungen
  • Algebraische Topologie, die Verwendung in der Topologie algebraischer Methoden, hauptsächlich Homologische Algebra
• Diskrete Geometriedie Untersuchung endlicher Konfigurationen in der Geometrie
• Konvexe Geometrie, das Studium der konvexe Sets, was seine Bedeutung von seinen Anwendungen in nimmt Optimierung
• Komplexe Geometrie, die Geometrie, die durch Ersetzen realer Zahlen durch ersetzt wurde komplexe Zahlen

Algebra

Algebra ist die Kunst des Manipulationens Gleichungen und Formeln. Diophantus (3. Jahrhundert) und Al-Khwarizmi (9. Jahrhundert) waren die beiden Hauptvorläufer der Algebra. Der erste löste einige Gleichungen, die unbekannt waren natürliche Zahlen durch Ableitung neuer Beziehungen, bis er die Lösung erhielt. Die zweite führte systematische Methoden zur Transformation von Gleichungen ein (z. B. das Verschieben eines Begriffs von einer Seite einer Gleichung in die andere Seite). Der Begriff Algebra wird aus dem abgeleitet Arabisch Wort, das er verwendet hat, um eine dieser Methoden im Titel von zu benennen Seine Hauptabhandlung.

Das quadratische Formel, was präzise die Lösungen aller ausdrückt quadratische Gleichungen

Algebra wurde nur mit selbst zu einem eigenen Bereich François Viète (1540–1603), der die Verwendung von Buchstaben einführte (Buchstaben (Variablen) zur Darstellung unbekannter oder nicht spezifizierter Zahlen. Dies ermöglicht es Mathematikern, die Operationen zu beschreiben, die auf den mit verwendeten Zahlen durchgeführt werden müssen Mathematische Formeln.

Bis zum 19. Jahrhundert bestand Algebra hauptsächlich aus der Studie von lineare Gleichungen (gegenwärtig Lineare Algebra), und Polynomgleichungen In einem einzigen Unbekannt, die genannt wurden algebraische Gleichungen (Ein Begriff, der noch verwendet wird, obwohl er mehrdeutig ist). Während des 19. Jahrhunderts begannen Mathematiker, Variablen zu verwenden, um andere Dinge als Zahlen darzustellen (wie z. Matrizen, Modulare Ganzzahlen, und Geometrische Transformationen), über welche Verallgemeinerungen arithmetischer Operationen häufig gültig sind. Das Konzept von algebraische Struktur adressiert dies, bestehend aus a einstellen deren Elemente nicht spezifiziert sind, von Operationen, die auf die Elemente des Satzes wirken, und Regeln, die diese Operationen befolgen müssen. Aufgrund dieser Veränderung wuchs der Umfang der Algebra um die Untersuchung von algebraischen Strukturen. Dieses Objekt der Algebra wurde genannt Moderne Algebra oder Zusammenfassung Algebra. (Der letztere Begriff erscheint hauptsächlich in einem pädagogischen Kontext in Gegensatz zu Elementaralgebra, was sich mit der älteren Art der Manipulation von Formeln befasst.)

Rubik's Cube: Die Untersuchung der möglichen Bewegungen ist eine konkrete Anwendung von Gruppentheorie

Einige Arten von algebraischen Strukturen haben in vielen Bereichen der Mathematik nützliche und oft grundlegende Eigenschaften. Ihre Studie wurde zu autonomen Teilen von Algebra und umfasst:

• Gruppentheorie;
• Feldtheorie;
• Vektorräume, dessen Studie im Wesentlichen gleich ist wie Lineare Algebra;
• Ringtheorie;
• kommutative Algebra, was das Studium von ist kommutative Ringe, beinhaltet das Studium von Polynomeund ist ein grundlegender Teil von Algebraische Geometrie;
• Homologische Algebra
• Lügen Sie Algebra und Lügengruppe Theorie;
• boolsche Algebra, was häufig für die Untersuchung der logischen Struktur von verwendet wird Computers.

Die Untersuchung von Arten von algebraischen Strukturen als mathematische Objekte ist das Objekt von Universelle Algebra und Kategoriestheorie. Letzteres gilt für jeden Mathematische Struktur (nicht nur algebraische). Bei seinem Ursprung wurde es zusammen mit homologischen Algebra eingeführt, um die algebraische Untersuchung nichtalgebraischer Objekte wie z. Topologische Räume; Dieser besondere Anwendungsbereich wird genannt Algebraische Topologie.

Kalkül und Analyse

Kalkül, früher genannt Infinitesimale Kalkül, wurde unabhängig und gleichzeitig von Mathematikern aus dem 17. Jahrhundert eingeführt Newton und Leibniz. Grundsätzlich ist das Studium der Variablenbeziehung, die voneinander abhängt. Der Kalkül wurde im 18. Jahrhundert von erweitert Eulermit der Einführung des Konzepts von a Funktionund viele andere Ergebnisse. Derzeit bezieht sich "Kalkül" hauptsächlich auf den elementaren Teil dieser Theorie, und "Analyse" wird üblicherweise für fortgeschrittene Teile verwendet.

Die Analyse wird weiter unterteilt in Echte Analyse, wo Variablen darstellen reale Nummern und Komplexe Analyse wo Variablen darstellen komplexe Zahlen. Die Analyse umfasst viele Unterbereiche, die einige mit anderen Bereichen der Mathematik teilen. Sie beinhalten:

• Multivariable Infinitesimalrechnung
• Funktionsanalyse, wo Variablen unterschiedliche Funktionen darstellen;
• Integration, Theorie messen und potenzielle Theorie, alle stark verwandt mit Wahrscheinlichkeitstheorie;
• Gewöhnliche Differentialgleichungen;
• Partielle Differentialgleichungen;
• Numerische Analyse, hauptsächlich der Berechnung von Computern von Lösungen gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen, die in vielen Anwendungen entstehen.

Diskrete Mathematik

Diskrete Mathematik ist im Großen und Ganzen das Studium der endlichen Studie mathematische Objekte. Weil die Studienobjekte hier diskret sind, die Methoden von Infinitesimalrechnung und Mathematische Analyse Nicht direkt anwenden.^[d] Algorithmen - besonders ihre Implementierung und Rechenkomplexität - spielen eine wichtige Rolle in der diskreten Mathematik.

Diskrete Mathematik umfasst:

• Kombinatorik, die Kunst der Aufzählung mathematische Objekte Das befriedigt einige gegebene Einschränkungen. Ursprünglich waren diese Objekte Elemente oder Untergruppen von einem gegebenen einstellen; Dies wurde auf verschiedene Objekte ausgeweitet, die einen starken Zusammenhang zwischen Kombinatorik und anderen Teilen diskreter Mathematik herstellen. Beispielsweise umfasst diskrete Geometrie Zählkonfigurationen von geometrische Formen
• Graphentheorie und Hypergraphen
• Codierungstheorie, einschließlich Fehlerkorrekturcodes und ein Teil von Kryptographie
• Matroid Theorie
• Diskrete Geometrie
• Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Spieltheorie (obwohl kontinuierliche Spiele werden auch untersucht, die häufigsten Spiele, wie z. Schach und Poker sind diskret)
• Diskrete Optimierung, einschließlich Kombinatorische Optimierung, Ganzzahlprogrammierung, Einschränkungsprogrammierung

Das Vier Farbsatz und Optimale Kugelverpackung waren zwei Hauptprobleme der diskreten Mathematik in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts gelöst. Das P gegen NP -Problem, was bis heute offen bleibt, ist auch für diskrete Mathematik wichtig, da seine Lösung einen Großteil davon beeinflussen würde.^{[Weitere Erklärung erforderlich]}

Mathematische Logik und festgelegte Theorie

Die beiden Themen der mathematischen Logik und der festgelegten Theorie gehören seit Ende des 19. Jahrhunderts beide zur Mathematik. Vor diesem Zeitraum wurden Sets nicht betrachtet mathematische Objekte, und Logik, obwohl verwendet für Mathematische Beweise, gehörte zu Philosophieund wurde nicht speziell von Mathematikern untersucht.

Vor KantorStudie von Unendliche SetsMathematiker zögerten sich zu berücksichtigen Eigentlich unendlich Sammlungen und überlegen Unendlichkeit das Ergebnis von endlos sein Aufzählung. Cantors Arbeit beleidigte viele Mathematiker nicht nur, indem sie tatsächlich unendliche Sets betrachtete, sondern auch, indem dies gezeigt wird, dass dies unterschiedliche Unendlichkeitsgrößen impliziert (siehe Cantors diagonales Argument) und die Existenz mathematischer Objekte, die nicht berechnet oder sogar explizit beschrieben werden können (zum Beispiel, Hamel -Basen des reale Nummern über dem Rationale Zahlen). Dies führte zur Kontroverse über Cantors Set -Theorie.

Im gleichen Zeitraum kamen verschiedene Bereiche der Mathematik zu dem Schluss, dass die früheren intuitiven Definitionen der grundlegenden mathematischen Objekte nicht ausreichten, um sicherzustellen Mathematische Strenge. Examples of such intuitive definitions are "a set is a collection of objects", "natürliche Zahl ist das, was zum Zählen verwendet wird "," ein Punkt ist eine Form mit einer Nulllänge in jeder Richtung "," a Kurve ist eine Spur von einem beweglichen Punkt ", usw.

Dies wurde das Grundkrise der Mathematik.^[9] Es wurde schließlich in Mainstream -Mathematik gelöst, indem die systematisiert wurde Axiomatische Methode in einem formalisierte Set -Theorie. Grob gesagt wird jedes mathematische Objekt durch den Satz aller ähnlichen Objekte und die Eigenschaften, die diese Objekte haben müssen, definiert. Zum Beispiel in Peano -Arithmetik, das natürliche Zahlen werden durch "Zero ist eine Zahl", "jede Zahl als eindeutige Nachfolger", "jede Zahl, aber Null hat einen eindeutigen Vorgänger" und einige Argumentationsregeln. Die "Natur" der auf diese Weise definierten Objekte ist ein philosophisches Problem, das Mathematiker den Philosophen überlassen, auch wenn viele Mathematiker Meinungen zu dieser Art haben und ihre Meinung - manchmal als "Intuition" bezeichnet -, um ihr Studium und ihre Beweise zu leiten.

Dieser Ansatz ermöglicht die Berücksichtigung von "Logik" (dh, die Sätze der zulässigen Ableitung Regeln). Theoreme, Proofs usw. als mathematische Objekte, und um Theoreme für sie zu beweisen. Zum Beispiel, Gödels unvollständige Theoreme Behauptet, in etwa jeder Theorie, die die natürlichen Zahlen enthält, gibt es Theoreme, die wahr sind (was in einer größeren Theorie nachweisbar ist), aber in der Theorie nicht nachweisen.

Dieser Ansatz der Grundlagen der Mathematik wurde in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts von Mathematikern angeführt, angeführt von Brouwer, der befördert hat intuitionistische Logik, was explizit fehlt Gesetz der ausgeschlossenen Mitte.

Diese Probleme und Debatten führten zu einer großen Ausdehnung der mathematischen Logik mit Subaräas wie z. Modelltheorie (Modellierung einiger logischer Theorien in anderen Theorien), Beweistheorie, Typentheorie, Computerbarkeitstheorie und Computerkomplexitätstheorie. Obwohl diese Aspekte der mathematischen Logik vor dem Aufstieg von eingeführt wurden Computers, ihre Verwendung in Compiler Entwurf, Programmzertifizierung, Proof Assistenten und andere Aspekte von Informatik, wiederum zur Ausdehnung dieser logischen Theorien beigetragen.^[10]

Angewandte Mathematik

Angewandte Mathematik ist die Untersuchung mathematischer Methoden in der Wissenschaft, Ingenieurwesen, Geschäft, und Industrie. "Angewandte Mathematik" ist also a Mathematische Wissenschaft mit spezialisiert Wissen. Der Begriff angewandte Mathematik beschreibt auch die professionelle Spezialität, in der Mathematiker an praktischen Problemen arbeiten; als Beruf, der sich auf praktische Probleme konzentrierte, angewandte Mathematik Konzentriert sich auf die "Formulierung, Studie und Verwendung mathematischer Modelle".

In der Vergangenheit haben praktische Anwendungen die Entwicklung mathematischer Theorien motiviert, die dann zum Thema Studie in reiner Mathematik wurden, wo die Mathematik hauptsächlich aus eigener Sake entwickelt wird. Somit ist die Aktivität der angewandten Mathematik mit der Forschung in der Forschung in verbunden reine Mathematik.^{[Beispiele erforderlich]}

Statistik und andere Entscheidungswissenschaften

Die angewandte Mathematik überlappen sich erheblich mit der Disziplin der Statistik, deren Theorie mathematisch formuliert wird Wahrscheinlichkeitstheorie.^{[Definition erforderlich]} Statistiker (arbeiten als Teil eines Forschungsprojekts) "Erstellen Sie Daten, die sinnvoll sind" mit Stichproben und mit randomisiert Experimente;^[11] Das Design einer statistischen Stichprobe oder eines statistischen Beispiels gibt die Analyse der Daten an (bevor die Daten verfügbar sind). Wenn Daten aus Experimenten und Proben überprüft werden oder bei der Analyse von Daten von beobachtende Studien, Statistiker "verstehen die Daten" mit der Kunst von Modellieren und die Theorie von Inferenz-mit Modellauswahl und Einschätzung; die geschätzten Modelle und Folge Vorhersagen sollte sein geprüft an neue Daten.^{[Klarstellung erforderlich][e]}

Statistische Theorie Studien Entscheidungsprobleme wie minimieren die Risiko (erwarteter Verlust) einer statistischen Handlung, wie beispielsweise a Verfahren In zum Beispiel in Parameter Schätzung, Hypothesentest, und Auswählen der besten. In diesen traditionellen Bereichen von Mathematische Statistik, ein Problem der statistischen Entscheidung wird durch Minimieren eines formuliert Zielfunktion, wie erwarteten Verlust oder kostenUnter spezifischen Einschränkungen: Zum Beispiel beinhaltet das Entwerfen einer Umfrage häufig die Kosten für die Schätzung eines Bevölkerungswerts mit einem bestimmten Vertrauensniveau.^[12] Wegen seiner Verwendung von OptimierungDie mathematische Theorie der Statistiken überschneidet sich mit anderen Entscheidungswissenschaften, wie zum Beispiel Unternehmensforschung, Kontrolltheorie, und Mathematische Ökonomie.^[13]

Rechenmathematik

Computermathematik ist das Studium von Mathematische Probleme Das sind in der Regel zu groß für die menschliche numerische Fähigkeit. Numerische Analyse Untersucht Methoden für Probleme in Analyse Verwendung Funktionsanalyse und Approximationstheorie; Die numerische Analyse umfasst im Großen und Ganzen die Studie von Annäherung und Diskretisierung mit besonderem Fokus auf Rundungsfehler. Numerische Analyse und im weiteren Sinne des wissenschaftlichen Computers untersuchen auch nicht-analytische Themen der mathematischen Wissenschaft, insbesondere die Algorithmisch-Matrix-und-Graphentheorie. Andere Bereiche der rechnerischen Mathematik sind Computeralgebra und Symbolische Berechnung.

Geschichte

Die Geschichte der Mathematik ist eine ständig wachsende Reihe von Abstraktionen. Evolutionär gesehen, die erste Abstraktion, die jemals entdeckt wurde, eines von vielen Tieren teilte,^[14] war wahrscheinlich die der Zahlen: die Erkenntnis, dass beispielsweise eine Sammlung von zwei Äpfeln und eine Sammlung von zwei Orangen (sagen) etwas gemeinsam haben, nämlich dass es gibt, dass es gibt zwei von ihnen. Wie belegt durch Teile auf Knochen gefunden, zusätzlich zu erkennen, wie es geht zählen physikalische Objekte, prähistorisch Die Völker haben vielleicht auch gewusst, wie man abstrakte Mengen wie Zeit, Jahreszeiten oder Jahre zählt.^[15][16]

Die babylonische mathematische Tablette Plimpton 322, datiert auf 1800 v. Chr.

Der Hinweis auf komplexere Mathematik erscheint erst rund 3000BC, wenn der Babylonier und Ägypter begannen zu benutzen Arithmetik, Algebra, und Geometrie für Besteuerung und andere finanzielle Berechnungen, für den Bau und der Bau und für Astronomie.^[17] Die ältesten mathematischen Texte von Mesopotamien und Ägypten sind von 2000 bis 1800 v. Chr. Viele frühe Texte erwähnen Pythagoräische Dreifachungen und so durch Schluss die Satz des Pythagoras scheint das älteste und weit verbreitete mathematische Konzept nach grundlegender Arithmetik und Geometrie zu sein. Es ist in Babylonische Mathematik das Elementararithmetik (Zusatz, Subtraktion, Multiplikation, und Aufteilung) erscheinen zuerst in der archäologischen Aufzeichnung. Die Babylonier besaßen auch ein Ortswertsystem und verwendeten a sexagesimal Ziffernes System, das bis heute für Messwinkel und Zeit verwendet wird.^[18]

Archimedes benutzte die Erschöpfungsmethode, hier dargestellt, um den Wert von zu approximieren Pi.

Ab dem 6. Jahrhundert v. Chr. Mit dem Pythagoräer, mit Griechische Mathematik das Antike Griechen begann eine systematische Studie der Mathematik als eigenes Thema.^[19] Ca. 300 v. Chr., Euklid stellte die vor Axiomatische Methode Heute noch in Mathematik verwendet, bestehend aus Definition, Axiom, Theorem und Proof. Sein Buch, Elementewird allgemein als das erfolgreichste und einflussreichste Lehrbuch aller Zeiten angesehen.^[20] Der größte Mathematiker der Antike wird oft als sein Archimedes (c. 287–212 v. Chr.) Von Syrakus.^[21] Er entwickelte Formeln zur Berechnung der Oberfläche und des Volumens von Festkörper der Revolution und benutzte die Erschöpfungsmethode um die zu berechnen Bereich unter dem Bogen von a Parabel mit dem Summierung einer unendlichen Serie, auf eine Weise nicht zu unterschiedlich von modernen Kalkül.^[22] Andere bemerkenswerte Errungenschaften der griechischen Mathematik sind Kegelabschnitte (Apollonius von Perga, 3. Jahrhundert v. Chr.),^[23] Trigonometrie (Hipparchus von Nicaea, 2. Jahrhundert v. Chr.),^[24] und die Anfänge der Algebra (Diophantus, 3. Jahrhundert n. Chr.).^[25]

Die in der verwendeten Ziffern Bakhshali Manuskript, datiert zwischen dem 2. Jahrhundert v. Chr. Und dem 2. Jahrhundert n. Chr.

Das Hindu -arabisches Ziffernungssystem und die Regeln für die Nutzung seiner Operationen, die heute in der ganzen Welt verwendet werden Indien und wurden an die übertragen westliche Welt über Islamische Mathematik. Andere bemerkenswerte Entwicklungen der indischen Mathematik sind die moderne Definition und Näherung von Sinus und Kosinusund eine frühe Form von unendliche Serie.

Eine Seite von al-khwārizmīs Algebra

Leonardo Fibonacci, der italienische Mathematiker, der das vorstellte Hindu -arabisches Ziffernungssystem zwischen dem 1. und 4. Jahrhundert durch indische Mathematiker in die westliche Welt erfunden.

Während der Goldenes Zeitalter des IslamBesonders während des 9. und 10. Jahrhunderts baute die Mathematik viele wichtige Innovationen auf der griechischen Mathematik auf. Die bemerkenswerteste Leistung von Islamische Mathematik war die Entwicklung von Algebra. Andere Errungenschaften der islamischen Zeit sind Fortschritte in sphärische Trigonometrie und das Hinzufügen der Komma zum arabischen Ziffernsystem.^[26] Viele bemerkenswerte Mathematiker aus dieser Zeit waren Persisch wie Persisch, wie z. Al-Khwarismi, Omar Khayyam und Sharaf al-Dīn al-ṭūsī.

Während der frühe Neuzeit, Mathematik begann sich in einem beschleunigenden Tempo zu entwickeln Westeuropa. Die Entwicklung von Infinitesimalrechnung durch Isaac Newton und Gottfried Leibniz im 17. Jahrhundert revolutionierte die Mathematik. Leonhard Euler war der bemerkenswerteste Mathematiker des 18. Jahrhunderts und trug zahlreiche Theoreme und Entdeckungen bei. Vielleicht war der führende Mathematiker des 19. Jahrhunderts der deutsche Mathematiker Carl Gauß, der zahlreiche Beiträge zu Feldern geleistet hat, z. B. Algebra, Analyse, Differentialgeometrie, Matrix -Theorie, Zahlentheorie, und Statistiken. Anfang des 20. Jahrhunderts, Kurt Gödel transformierte Mathematik, indem er seine veröffentlichen Unvollständigkeitstheoreme, die teilweise zeigen, dass ein konsistentes axiomatisches System - wenn es leistungsfähig genug ist, um die Arithmetik zu beschreiben - echte Aussagen enthält, die nicht nachgewiesen werden können.

Die Mathematik wurde seitdem stark erweitert, und es gab eine fruchtbare Interaktion zwischen Mathematik und Wissenschaftzugunsten von beidem. Bis heute werden bis heute mathematische Entdeckungen gemacht. Laut Mikhail B. Sevryuk in der Januar -Ausgabe 2006 der Bulletin der American Mathematical Society"Die Anzahl der Papiere und Bücher, die in der enthalten sind Mathematische Bewertungen Die Datenbank seit 1940 (das erste Betriebsjahr von MR) beträgt jetzt mehr als 1,9 Millionen, und in der Datenbank werden jedes Jahr mehr als 75.000 Artikel hinzugefügt. Die überwältigende Mehrheit der Werke in diesem Ozean enthält neue Mathematik Theoreme und ihre Beweise. "^[27]

Etymologie

Das Wort Mathematik kommt von Altgriechisch Máthēma (μάθημα), bedeutet "das, was gelernt wird", "^[28] "Was man lernt", daher "studieren" und "Wissenschaft". Das Wort für "Mathematik" hatte auch in klassischen Zeiten die schmalere und technische Bedeutung "mathematisches Studium".^[29] Es ist Adjektiv ist Mathēmatikós (μαθηματικός), was "im Zusammenhang mit Lernen" oder "fleißig" bedeutet, was ebenfalls weiter "mathematisch" bedeutet. Im Speziellen, Mathēmatikḗ Tékhnē (μαθηματικὴ τέχνη; Latein: ars mathematica) bedeutete "die mathematische Kunst".

In ähnlicher Weise eine der beiden wichtigsten Denkschulen in Pythagoreiismus war bekannt als die Mathēmatikoi (μαθηματικοί) - was zu dieser Zeit "Lernende" und nicht "Mathematiker" im modernen Sinne bedeutete.

Im lateinischen und in englischer Sprache bis etwa 1700 der Begriff Mathematik häufiger gemeint ""Astrologie" (oder manchmal "Astronomie") anstelle" Mathematik "; die Bedeutung änderte sich allmählich in ihre Gegenwart von ca. 1500 bis 1800. Dies hat zu mehreren Fehlübersetzungen geführt. Zum Beispiel, Heiliger AugustinusWarnung, dass Christen vorgehen sollten mathematici, was Astrologen bedeutet, wird manchmal als Verurteilung von Mathematikern falsch übersetzt.^[30]

Das scheinbare Plural- Form in englischer Form, wie die französische Pluralform les mathématiques (und die weniger häufig verwendeten Singular Derivat la mathématique), geht auf das Latein zurück kastrieren Plural- mathematica (Cicero) basierend auf dem griechischen Plural Ta Mathēmatiká (τὰ μαθηματικά), benutzt von Aristoteles (384–322 v. Chr.) Und bedeutet ungefähr "alle Dinge mathematisch", obwohl es plausibel ist, dass Englisch nur das Adjektiv entlehnt hat mathematisch (Al) und bildete das Substantiv Mathematik neu, nach dem Muster von Physik und Metaphysik, die aus Griechisch geerbt wurden.^[31] Auf Englisch das Substantiv Mathematik nimmt ein einzigartiges Verb. Es wird oft verkürzt auf Mathe oder in Nordamerika, Mathematik.^[32]

Vorgeschlagene Definitionen

Es gibt keinen allgemeinen Konsens über die genaue Definition oder erkenntnistheoretischer Status der Mathematik.^[33][34] Viele professionelle Mathematiker interessieren sich nicht für eine Definition von Mathematik oder betrachten sie als nicht definierbar.^[33] Es besteht nicht einmal Konsens darüber, ob Mathematik eine Kunst oder eine Wissenschaft ist.^[34] Einige sagen nur: "Mathematik ist das, was Mathematiker tun."^[33]

Aristoteles Die definierte Mathematik als "Wissenschaft der Menge" und diese Definition setzte sich bis zum 18. Jahrhundert durch. Aristoteles stellte jedoch auch fest, dass sich ein Fokus auf die Menge allein möglicherweise nicht auf die Mathematik von Wissenschaften wie Physik unterscheidet. Seiner Ansicht nach zeichnen die Abstraktion und das Studium der Menge als Eigenschaft "trennbar in Gedanken" von realen Instanzen Mathematik aus.^[35]

Im 19. Jahrhundert, als die Studie der Mathematik in der Strenge zunahm und sich mit abstrakten Themen befasste wie Gruppentheorie und projektive Geometrie, die keine eindeutige Beziehung zu Quantität und Messung haben, schlugen Mathematiker und Philosophen eine Vielzahl neuer Definitionen vor.^[36] Bis zum heutigen Tag stellen Philosophen weiterhin Fragen an Philosophie der Mathematik, wie die Natur von mathematischer Beweis.^[37]

Logische Argumentation

Mathematiker bemühen sich, ihre Ergebnisse mit systematischem Denken zu entwickeln, um falsche "Theoreme" zu vermeiden. Diese falsche Beweise Oft entstehen aus fehlbaren Intuitionen und waren in der Geschichte der Mathematik üblich. Erlauben deduktive ArgumentationEinige grundlegende Annahmen müssen explizit als Axiome zugelassen werden. Traditionell wurden diese Axiome aus den Gründen des gesunden Menschenverstands ausgewählt, aber moderne Axiome drücken typischerweise formelle Garantien für primitive Vorstellungen, wie einfache Objekte und Beziehungen.

Die Gültigkeit von a mathematischer Beweis ist im Grunde eine Frage von Strengeund Missverständnis der Strenge ist eine bemerkenswerte Ursache für einige häufige Missverständnisse über Mathematik. Mathematische Sprache kann mehr Präzision als in alltäglichen Sprache zu normalen Wörtern wie verleihen oder und nur. Andere Wörter wie z. offen und aufstellen werden neue Bedeutungen für bestimmte mathematische Konzepte erhalten. Manchmal haben Mathematiker sogar völlig neue Wörter (z. Homomorphismus). Dieser technische Wortschatz ist sowohl präzise als auch kompakt, was es ermöglicht, komplexe Ideen mental zu verarbeiten. Mathematiker bezeichnen diese Präzision von Sprache und Logik als "Strenge".

Die in der Mathematik erwartete Strenge hat sich im Laufe der Zeit variiert: Die alten Griechen erwarteten detaillierte Argumente, aber in Isaac NewtonDie Zeit waren die verwendeten Methoden weniger streng (nicht aufgrund einer anderen Konzeption der Mathematik, sondern aufgrund des Fehlens der mathematischen Methoden, die für die Erreichung von Strenge erforderlich sind). Probleme, die mit Newtons Ansatz innewohnt, wurden erst in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts mit dem gelöst formell Definitionen von reale Nummern, Grenzen und Integrale. Später im frühen 20. Jahrhundert, Bertrand Russell und Alfred North Whitehead würde ihre veröffentlichen Principia Mathematica, ein Versuch zu zeigen, dass alle mathematischen Konzepte und Aussagen definiert und dann vollständig durchgewiesen werden können Symbolische Logik. Dies war Teil eines breiteren philosophischen Programms, das als als bekannt ist Logicismus, was Mathematik in erster Linie als Erweiterung der Logik ansieht.

Trotz der Präzision der Mathematik erfordern viele Beweise Hunderte von Seiten zum Ausdruck. Das Auftauchen von computergestützte Beweise hat es zulässt, dass die Nachweislänge weiter erweitert werden. Assistierte Beweise können fehlerhaft sein, wenn die Protest -Software Fehler aufweist und wenn sie langwierig sind, schwer zu überprüfen.^[f][38] Auf der anderen Seite, Proof Assistenten Ermöglichen Sie die Überprüfung der Details, die in einem handgeschriebenen Beweis nicht angegeben werden können, und liefern die Richtigkeit langer Beweise wie die der 255-seitigen Beweise Feit -Thompson -Theorem.^[g]

Symbolische Notation

Leonhard Euler Erstellt und populär gemacht, um einen Großteil der heute verwendeten mathematischen Notation zu erstellen.

Zusätzlich zur besonderen Sprache nutzt die zeitgenössische Mathematik besondere Notation. Diese Symbole tragen auch zur Strenge bei, sowohl durch Vereinfachung des Ausdrucks mathematischer Ideen als auch zur Routine zulässt Operationen das folgt konsistente Regeln. Die moderne Notation macht die Mathematik für die Adept viel effizienter, obwohl Anfänger sie entmutigend empfinden können.

Der größte Teil der heute verwendeten mathematischen Notation wurde nach dem 15. Jahrhundert mit vielen Beiträgen von erfunden Leonhard Euler (1707–1783) insbesondere.^{[39][Fehlgeschlagene Überprüfung]} Vorher wurden mathematische Argumente normalerweise in Worten ausgeschrieben, was die mathematische Entdeckung einschränkte.^[40]

Ab dem 19. Jahrhundert eine Denkschule, die als bekannt ist Formalismus aufgetreten. Für einen Formalisten geht es in der Mathematik in erster Linie um formelle Systeme von Symbolen und Regeln für die Kombination. Aus dieser Sicht sind sogar Axiome nur privilegierte Formeln in einem Axiomatisches System, ohne prozedural aus anderen Elementen im System abgeleitet. Ein maximaler Beispiel des Formalismus war David HilbertDer Anruf im frühen 20. Jahrhundert, oft genannt Hilberts Programm, um alle Mathematik auf diese Weise zu codieren.

Kurt Gödel bewies, dass dieses Ziel mit seinem grundlegend unmöglich war Unvollständigkeitstheoreme, das ein formales System zeigte, das reich genug ist, um selbst einfache Arithmetik zu beschreiben, konnte seine eigene Vollständigkeit oder Konsistenz nicht garantieren. Trotzdem beeinflussen formalistische Konzepte die Mathematik weiterhin stark, bis zu den Punktaussagen standardmäßig ausdrücklich in der theoretisch Formeln. Es werden nur sehr außergewöhnliche Ergebnisse als nicht in ein axiomatisches System angenommen.^[41]

Abstraktes Wissen

Isaac Newton (links) und Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelte infinitesimale Kalkül.

In der Praxis sind Mathematiker in der Regel mit Wissenschaftlern zusammengefasst, und die Mathematik teilt viel mit den physischen Wissenschaften, insbesondere mit deduktiven Denken aus Annahmen. Mathematiker entwickeln mathematische Hypothesen, bekannt als als Vermutungen, verwenden Versuch und Irrtum mit Intuition Ebenso ähnlich wie Wissenschaftler.^[42] Experimentelle Mathematik und Computermethoden wie Simulation wachsen auch innerhalb der Mathematik an Bedeutung.

Heutzutage stellen alle Wissenschaften Probleme auf, die von Mathematikern untersucht wurden und umgekehrt aus der Mathematik führt häufig zu neuen Fragen und Erkenntnissen in den Wissenschaften. Zum Beispiel die Physiker Richard Feynman kombinierter mathematisches Denken und physische Einblicke, um die zu erfinden Pfadintegrale Formulierung von Quantenmechanik. StringtheorieAndererseits ist ein vorgeschlagener Rahmen für die Vereinigung eines Großteils der modernen Physik, die neue Techniken und Ergebnisse zu Mathematik inspiriert hat.^[43]

Carl Friedrich Gauß, bekannt als Prinz der Mathematiker

Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauß Mathematik "The Queen of the Sciences" genannt,^[44] und in jüngerer Zeit, Marcus du Sautoy hat Mathematik als "die wichtigste treibende Kraft hinter wissenschaftlicher Entdeckung" beschrieben.^[45] Einige Autoren betonen jedoch, dass sich die Mathematik in großer Weise vom modernen Begriff der Wissenschaft unterscheidet: Sie beruht nicht auf empirische Evidenz.^{[46][47][48][49]}

Das mathematische Wissen ist seit dem in Umfang explodiert Wissenschaftliche RevolutionUnd wie bei anderen Studienfeldern hat dies die Spezialisierung gesteuert. Ab 2010 die neuesten Mathematik -Fachklassifizierung des American Mathematical Society erkennt Hunderte von Teilfeldern an, wobei die vollständige Klassifizierung 46 Seiten erreicht.^[50] Typischerweise können viele Konzepte in einem Unterfeld auf unbestimmte Zeit aus anderen Zweigen der Mathematik isoliert bleiben. Die Ergebnisse können in erster Linie als Gerüst dienen, um andere Theoreme und Techniken zu unterstützen, oder sie haben möglicherweise keine klare Beziehung zu etwas außerhalb des Unterfeldes.

Die Mathematik zeigt jedoch eine bemerkenswerte Tendenz, sich weiterzuentwickeln, und in der Zeit entdecken Mathematiker häufig überraschende Anwendungen oder Verbindungen zwischen Konzepten. Eine sehr einflussreiche Instanz davon war das Erlangen -Programm von Felix Klein, die innovative und tiefgreifende Verbindungen zwischen Geometrie und Algebra herstellte. Dies wiederum öffnete beide Felder für eine größere Abstraktion und brachte völlig neue Teilfelder hervor.

Eine Unterscheidung wird oft dazwischen getroffen angewandte Mathematik und Mathematik, die sich ausschließlich an abstrakten Fragen und Konzepten orientieren, bekannt als reine Mathematik. Wie bei anderen Mathematikabteilungen ist die Grenze flüssig. Ideen, die sich zunächst mit einer bestimmten Anwendung entwickeln, werden häufig später verallgemeinert, wobei daraufhin sich dem allgemeinen Bestand der mathematischen Konzepte anschließt. Mehrere Bereiche der angewandten Mathematik haben sich sogar mit praktischen Bereichen zusammengeschlossen, um selbst zu Disziplinen zu werden, wie z. B. Statistiken, Unternehmensforschung, und Informatik.

Noch überraschender ist, wenn Ideen in die andere Richtung fließen und selbst die "reinste" Mathematik zu unerwarteten Vorhersagen oder Anwendungen führen. Zum Beispiel, Zahlentheorie nimmt einen zentralen Ort in der Moderne ein Kryptographieund in Physik Ableitungen von Maxwells Gleichungen experimentelle Beweise von vorbeanspruchten Radiowellen und die Beständigkeit der Lichtgeschwindigkeit. Physiker Eugene Wigner hat dieses Phänomen das "The" genannt "unangemessene Wirksamkeit der Mathematik".^[7]

Die unheimliche Verbindung zwischen abstrakter Mathematik und materieller Realität hat seit mindestens zur Zeit der Pythagoras zu philosophischen Debatten geführt. Der alte Philosoph Plato argumentierte, dass dies möglich war, weil die materielle Realität abstrakte Objekte widerspiegelt, die außerhalb der Zeit existieren. Infolge Platonismus. Während die meisten Mathematiker sich normalerweise nicht mit den von Platonismus aufgeworfenen Fragen befassen, identifizieren sich einige philosophischere, selbst in zeitgenössischen Zeiten als Platonisten.^[51]

Kreativität und Intuition

Eulers Identität, die Richard Feynman Einmal als "die bemerkenswerteste Formel in der Mathematik" bezeichnet^[52]

Das Bedürfnis nach Korrektheit und Strenge bedeutet nicht, dass die Mathematik keinen Platz für Kreativität hat. Im Gegenteil, die meisten mathematischen Arbeiten, die über rote Berechnungen hinausgehen, erfordern intuitiv eine kluge Lösung und Erforschung neuer Perspektiven.

Die mathematisch geneigten sehen oft nicht nur Kreativität in der Mathematik, sondern auch eine ästhetisch Wert, allgemein beschrieben als Eleganz. Eigenschaften wie Einfachheit, Symmetrie, Vollständigkeit und Allgemeinheit werden besonders in Beweisen und Techniken geschätzt. G. H. Hardy in Entschuldigung eines Mathematikers drückte die Überzeugung aus, dass diese ästhetischen Überlegungen an sich ausreichen, um das Studium der reinen Mathematik zu rechtfertigen. Er identifizierte auch andere Kriterien wie Bedeutung, Unerwartetheit und Unvermeidlichkeit, die zur mathematischen Ästhetik beitragen.^[53]

Paul Erdős drückte dieses Gefühl ironischer aus, indem er von "The Book" sprach, einer angeblichen göttlichen Sammlung der schönsten Beweise. Das Buch von 1998 Beweise aus dem Buch, inspiriert von Erdős, ist eine Sammlung besonders prägnanter und offenbarender mathematischer Argumente. Einige Beispiele für besonders elegante Ergebnisse sind eingeschlossen EuklidDer Beweis dafür, dass es unendlich viele gibt Primzahlen und die Schnelle Fourier-Transformation zum Harmonische Analyse.

Einige sind der Meinung Liberale Künste.^[54] Eine Möglichkeit, wie sich dieser Unterschied des Standpunkts abspielt, besteht in der philosophischen Debatte darüber, ob mathematische Ergebnisse sind erstellt (wie in der Kunst) oder entdeckt (wie in der Wissenschaft).^[55] Die Popularität von Freizeitmathematik ist ein weiteres Zeichen für das Vergnügen, das viele bei der Lösung mathematischer Fragen finden.

Im 20. Jahrhundert der Mathematiker L. E. J. Brouwer sogar eine philosophische Perspektive initiiert als als als bekannt Intuitionismus, die in erster Linie die Mathematik mit bestimmten kreativen Prozessen im Kopf identifiziert.^[56] Intuitionismus ist wiederum ein Geschmack einer Haltung, die als bekannt ist Konstruktivismus, die nur ein mathematisches Objekt berücksichtigt, wenn es direkt konstruiert werden kann, und nicht nur indirekt durch logische garantiert. Dies führt verpflichtete Konstruktivisten, bestimmte Ergebnisse abzulehnen, insbesondere Argumente wie existenzielle Beweise basierend auf Gesetz der ausgeschlossenen Mitte.^[57]

Am Ende verdrängte weder Konstruktivismus noch Intuitionismus Klassische Mathematik oder Mainstream -Akzeptanz erreicht. Diese Programme haben jedoch spezifische Entwicklungen motiviert, wie z. intuitionistische Logik und andere grundlegende Erkenntnisse, die für sich genommen geschätzt werden.^[57]

In der Gesellschaft

Die Mathematik hat eine bemerkenswerte Fähigkeit, kulturelle Grenzen und Zeiträume zu überschreiten. Als ein Menschliche Aktivität, Die Praxis der Mathematik hat eine soziale Seite, einschließlich Ausbildung, Karriere, Erkennung, Popularisierung, usw.

Auszeichnungen und Preisprobleme

Die vordere Seite der Feldermedaille

Die prestigeträchtigste Auszeichnung in Mathematik ist die Feldermedaille,^[58][59] 1936 gegründet und alle vier Jahre verliehen (außer um herum Zweiter Weltkrieg) bis zu vier Personen.^[60][61] Es wird als das mathematische Äquivalent der Nobelpreis.^[61]

Weitere prestigeträchtige Mathematikauszeichnungen sind:

• Das Abel -Preisim Jahr 2002 eingerichtet^[62] und erstmals 2003 verliehen^[63]
• Das TAGER MEDAGE Für lebenslange Leistungen, die 2009 eingeführt wurden^[64] und erstmals 2010 verliehen^[65]
• Das Wolfspreis in Mathematikauch für lebenslange Leistungen,^[66] 1978 eingeleitet^[67]

Eine berühmte Liste von 23 Offene Probleme, genannt "Hilberts Probleme"wurde 1900 vom deutschen Mathematiker zusammengestellt David Hilbert.^[68] Diese Liste hat unter den Mathematikern große Berühmtheit erreicht^[69]und ab 2022 wurden mindestens dreizehn Probleme (je nachdem, wie einige interpretiert werden) gelöst.^[68]

Eine neue Liste von sieben wichtigen Problemen mit dem Titel The "Millennium Prize Problems"wurde im Jahr 2000 veröffentlicht. Nur einer von ihnen, die Riemann -Hypothese, dupliziert eines von Hilberts Problemen. Eine Lösung für eines dieser Probleme trägt eine Belohnung von 1 Million Dollar.^[70] Bisher nur eines dieser Probleme, die, die Poincaré -Vermutung, wurde gelöst.^[71]

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Literaturverzeichnis

Weitere Lektüre