Mathematisches Modell

A mathematisches Modell ist eine Beschreibung von a System Verwendung mathematisch Konzepte und Sprache. Der Prozess der Entwicklung eines mathematischen Modells wird bezeichnet mathematische Modellierung. Mathematische Modelle werden in der verwendet Naturwissenschaften (wie zum Beispiel Physik, Biologie, Erdkunde, Chemie) und Ingenieurwesen Disziplinen (wie z. Informatik, Elektrotechnik) sowie in nicht-physischen Systemen wie dem Sozialwissenschaften (wie zum Beispiel Wirtschaft, Psychologie, Soziologie, Politikwissenschaft). Die Verwendung mathematischer Modelle zur Lösung von Problemen in geschäftlichen oder militärischen Operationen ist ein großer Teil des Feldes von Unternehmensforschung. Mathematische Modelle werden auch in verwendet Musik,[1] Linguistik,[2] undPhilosophie (zum Beispiel intensiv in Analytische Philosophie).

Ein Modell kann dazu beitragen, ein System zu erklären und die Auswirkungen verschiedener Komponenten zu untersuchen und Vorhersagen über das Verhalten zu treffen.

Elemente eines mathematischen Modells

Mathematische Modelle können viele Formen annehmen, einschließlich Dynamische Systeme, Statistische Modelle, Differentialgleichung, oder Spiele theoretische Modelle. Diese und andere Arten von Modellen können sich überlappen, wobei ein bestimmtes Modell eine Vielzahl von abstrakten Strukturen umfasst. Im Allgemeinen können mathematische Modelle einschließen Logische Modelle. In vielen Fällen hängt die Qualität eines wissenschaftlichen Bereichs davon ab, wie gut die auf der theoretischen Seite entwickelten mathematischen Modelle mit den Ergebnissen wiederholbarer Experimente übereinstimmen. Die mangelnde Übereinstimmung zwischen theoretischen mathematischen Modellen und experimentellen Messungen führt häufig zu wichtigen Fortschritten, da bessere Theorien entwickelt werden.

In dem Physikalische WissenschaftenEin traditionelles mathematisches Modell enthält die meisten der folgenden Elemente:

  1. Regierungsgleichungen
  2. Zusätzliche Untermodelle
    1. Gleichungen definieren
    2. Konstitutive Gleichungen
  3. Annahmen und Einschränkungen
    1. Initial und Randbedingungen
    2. Klassische Einschränkungen und Kinematische Gleichungen

Klassifizierungen

Mathematische Modelle sind unterschiedliche Typen:

  • Linear gegen nichtlinear: Wenn alle Operatoren in einem mathematischen Modellausstellung LinearitätDas resultierende mathematische Modell wird als linear definiert. Ein Modell wird ansonsten als nichtlinear angesehen. Die Definition von Linearität und Nichtlinearität hängt vom Kontext ab, und lineare Modelle können nichtlineare Ausdrücke enthalten. Zum Beispiel in a Statistisches lineares ModellEs wird angenommen, dass eine Beziehung in den Parametern linear ist, aber in den Prädiktorvariablen nichtlinear sein kann. In ähnlicher Weise soll eine Differentialgleichung linear sein, wenn sie mit linear geschrieben werden kann Differentialoperatoren, aber es kann immer noch nichtlineare Ausdrücke enthalten. In einem Mathematische Programmierung Modell, wenn die objektiven Funktionen und Einschränkungen vollständig durch dargestellt werden lineare Gleichungendann wird das Modell als lineares Modell angesehen. Wenn eine oder mehrere der objektiven Funktionen oder Einschränkungen mit a dargestellt werden nichtlinear Gleichung, dann ist das Modell als nichtlineares Modell bekannt.
    Die lineare Struktur impliziert, dass ein Problem in einfachere Teile zerlegt werden kann, die unabhängig behandelt und/oder in einer anderen Skala analysiert werden können, und die erhaltenen Ergebnisse bleiben für das anfängliche Problem bei der Neuverdichtung und neu skaliert.
    Nichtlinearität, auch in ziemlich einfachen Systemen, ist häufig mit Phänomenen verbunden, z. Chaos und Irreversibilität. Obwohl es Ausnahmen gibt, sind nichtlineare Systeme und Modelle in der Regel schwieriger zu untersuchen als lineare. Ein häufiger Ansatz für nichtlineare Probleme ist LinearisierungAber dies kann problematisch sein, wenn man versucht, Aspekte wie Irreversibilität zu untersuchen, die stark mit Nichtlinearität verbunden sind.
  • Statisch gegen Dynamik: A dynamisch Modell berücksichtigt zeitabhängige Änderungen im Status des Systems, während a statisch (oder stationärem Zustand) Modell berechnet das System im Gleichgewicht und ist daher zeitinvariante. Dynamische Modelle werden typischerweise durch dargestellt Differentialgleichung oder Differenzgleichungen.
  • Explizit gegen implizit: Wenn alle Eingabeparameter des Gesamtmodells bekannt sind und die Ausgabeparameter durch eine endliche Reihe von Berechnungen berechnet werden können, soll das Modell bezeichnet werden explizit. Aber manchmal ist es das Ausgang Bekannte Parameter, und die entsprechenden Eingänge müssen durch ein iteratives Verfahren gelöst werden, wie z. Newtons Methode oder Broydens Methode. In einem solchen Fall soll das Modell sein implizit. Zum Beispiel a DüsentriebwerkDie physikalischen Eigenschaften wie Turbinen- und Düsenhalsbereiche können bei einem Design ausdrücklich berechnet werden Thermodynamischer Zyklus (Luft- und Kraftstoffdurchflussraten, Drücke und Temperaturen) bei einer bestimmten Flugbedingung und Stromeinstellung, aber die Betriebszyklen des Motors bei anderen Flugbedingungen und Leistungseinstellungen können nicht aus den konstanten physikalischen Eigenschaften ausdrücklich berechnet werden.
  • Diskret vs. kontinuierlich: A Diskretes Modell behandelt Objekte als diskret, wie die Partikel in a Molekülmodell oder die Staaten in a Statistisches Modell; während ein kontinuierliches Modell repräsentiert die Objekte kontinuierlich, wie das Geschwindigkeitsfeld der Flüssigkeit in Rohrströmen, Temperaturen und Spannungen in einem festen und elektrischen Feld, das aufgrund einer Punktladung kontinuierlich über das gesamte Modell gilt.
  • Deterministisch vs. probabilistisch (stochastisch): A deterministisch Das Modell ist eines, bei dem jede Reihe von variablen Zuständen durch Parameter im Modell und durch Sätze früherer Zustände dieser Variablen eindeutig bestimmt wird. Daher führt ein deterministisches Modell immer auf die gleiche Weise für einen bestimmten Satz von Anfangsbedingungen durch. Umgekehrt in einem stochastischen Modell - normalerweise als "als" bezeichnet "Statistisches Modell" - Randomness ist vorhanden, und variable Zustände werden nicht durch eindeutige Werte beschrieben, sondern durch eher Wahrscheinlichkeit Verteilungen.
  • Deduktiv, induktiv oder schwebend: A Deduktives Modell ist eine logische Struktur, die auf einer Theorie basiert. Ein induktives Modell ergibt sich aus empirischen Befunden und Verallgemeinern von ihnen. Das schwimmende Modell beruht weder auf Theorie noch Beobachtung, ist aber lediglich die Berufung der erwarteten Struktur. Die Anwendung von Mathematik in Sozialwissenschaften außerhalb der Wirtschaft wurde für unbegründete Modelle kritisiert.[3] Anwendung von Katastrophenentheorie in der Wissenschaft wurde als schwimmendes Modell charakterisiert.[4]
  • Strategisch gegenüber nicht strategisch Modelle verwendet in Spieltheorie unterscheiden sich in dem Sinne, dass sie Agenten mit inkompatiblen Anreizen wie konkurrierenden Arten oder Bietern in einer Auktion modellieren. Strategische Modelle gehen davon aus, dass Spieler autonome Entscheidungsträger sind, die rationale Aktionen auswählen, die ihre objektive Funktion maximieren. Eine wichtige Herausforderung bei der Verwendung von strategischen Modellen besteht darin, zu definieren und zu berechnen Lösungskonzepte wie zum Beispiel Nash -Gleichgewicht. Eine interessante Eigenschaft strategischer Modelle ist, dass sie die Argumentation über Regeln des Spiels vom Denken über das Verhalten der Spieler trennen.[5]

Konstruktion

Im Geschäft und Ingenieurwesen, mathematische Modelle können verwendet werden, um eine bestimmte Ausgabe zu maximieren. Das betrachtete System erfordert bestimmte Eingaben. Das System, das die Eingänge mit Ausgängen bezieht, hängt auch von anderen Variablen ab: Entscheidungsvariablen, Zustandsvariablen, exogen Variablen und zufällige Variablen.

Entscheidungsvariablen werden manchmal als unabhängige Variablen bezeichnet. Exogene Variablen werden manchmal als bekannt als Parameter oder Konstanten. Die Variablen sind nicht unabhängig voneinander, da die Zustandsvariablen von der Entscheidung, Eingabe, zufälligen und exogenen Variablen abhängig sind. Darüber hinaus sind die Ausgangsvariablen vom Zustand des Systems abhängig (dargestellt durch die Zustandsvariablen).

Ziele und Einschränkungen des Systems und seiner Benutzer können als dargestellt werden Funktionen der Ausgangsvariablen oder Zustandsvariablen. Das objektive Funktionen hängt von der Perspektive des Benutzers des Modells ab. Abhängig vom Kontext wird auch eine objektive Funktion als als bezeichnet Leistungsindex, wie es ein gewisses Maß an Interesse für den Benutzer ist. Obwohl die Anzahl der objektiven Funktionen und Einschränkungen, die ein Modell haben kann, keine Begrenzung gibt, wird die Verwendung oder Optimierung des Modells (rechnerisch) mit zunehmendem Zahlen mehr involviert.

Zum Beispiel, Ökonomen häufig anwenden Lineare Algebra beim Benutzen Eingabe-Output-Modelle. Komplizierte mathematische Modelle mit vielen Variablen können durch Verwendung von konsolidiert werden Vektoren wobei ein Symbol mehrere Variablen darstellt.

A priori Information

Um etwas mit einem typischen "Black -Box -Ansatz" zu analysieren, wird nur das Verhalten des Stimulus/der Reaktion berücksichtigt, um das (Unbekannte) zu schließen. Kasten. Die übliche Darstellung davon Black Box -System ist ein Datenflussdiagramm zentriert in der Schachtel.

Mathematische Modellierungsprobleme werden häufig eingestuft Flugschreiber oder weiße Kiste Modelle, je nachdem wie viel a priori Informationen zum System sind verfügbar. Ein Black-Box-Modell ist ein System, von dem keine a priori-Informationen verfügbar sind. Ein White-Box-Modell (auch Glasbox oder Clear Box) ist ein System, in dem alle erforderlichen Informationen verfügbar sind. Praktisch alle Systeme befinden sich irgendwo zwischen den Black-Box- und White-Box-Modellen, daher ist dieses Konzept nur als intuitive Leitfaden für die Entscheidung, welcher Ansatz zu wählen ist.

Normalerweise ist es vorzuziehen, so viel a priori -Informationen wie möglich zu verwenden, um das Modell genauer zu gestalten. Daher werden die White-Box-Modelle normalerweise als einfacher angesehen, da sich das Modell korrekt verhalten wird, wenn Sie die Informationen korrekt verwendet haben. Oft gibt es die a priori -Informationen in Formen, die Art der Funktionen zu kennen, die verschiedene Variablen in Verbindung bringen. Wenn wir beispielsweise ein Modell dafür machen, wie ein Medikament in einem menschlichen System arbeitet, wissen wir, dass normalerweise die Menge an Medizin im Blut ein ist exponentiell verfallen Funktion. Aber wir haben immer noch mehrere unbekannte Parameter; Wie schnell verfällt die Medikamente und wie schnell ist die anfängliche Menge an Medizin im Blut? Dieses Beispiel ist daher kein vollständig weißes Box-Modell. Diese Parameter müssen auf einige Mittel geschätzt werden, bevor man das Modell verwenden kann.

In Black-Box-Modellen versucht man, sowohl die funktionale Form der Beziehungen zwischen Variablen als auch die numerischen Parameter in diesen Funktionen zu schätzen. Mit a priori -Informationen könnten wir beispielsweise mit einer Reihe von Funktionen enden, die das System wahrscheinlich angemessen beschreiben könnten. Wenn es keine a priori -Informationen gibt, würden wir versuchen, Funktionen so allgemein wie möglich zu verwenden, um alle Modelle abzudecken. Ein oft verwendeter Ansatz für Black-Box-Modelle sind Neuronale Netze Dies macht normalerweise keine Annahmen über eingehende Daten. Alternativ Algorithmen, die als Teil von entwickelt wurden Nichtlineare Systemidentifikation[6] Kann verwendet werden, um die Modellterme auszuwählen, die Modellstruktur zu bestimmen und die unbekannten Parameter in Gegenwart von korreliertem und nichtlinearem Rauschen abzuschätzen. Der Vorteil von Narmax -Modellen im Vergleich zu neuronalen Netzwerken besteht darin, dass Narmax Modelle produziert, die sich mit dem zugrunde liegenden Prozess befassen können, während neuronale Netze eine undurchlässige Annäherung erzeugen.

Subjektive Informationen

Manchmal ist es nützlich, subjektive Informationen in ein mathematisches Modell aufzunehmen. Dies kann basierend auf Intuition, Erfahrung, oder Expertenmeinung, oder basierend auf Bequemlichkeit der mathematischen Form. Bayes'sche Statistik Bietet einen theoretischen Rahmen für die Einbeziehung einer solchen Subjektivität in eine strenge Analyse: Wir geben a an vorherige Wahrscheinlichkeitsverteilung (was subjektiv sein kann) und dann diese Verteilung basierend auf empirischen Daten aktualisieren.

Ein Beispiel dafür, wenn ein solcher Ansatz erforderlich wäre, ist eine Situation, in der ein Experimentator eine Münze leicht biegt und einmal wirft, um aufzuzeichnen, ob er die Köpfe aufnimmt, und dann die Aufgabe erteilt, die Wahrscheinlichkeit vorherzusagen, dass der nächste Flip die Köpfe erscheint. Nach der Biegung der Münze ist die wahre Wahrscheinlichkeit, dass die Münze die Köpfe aufwendet, unbekannt. Daher müsste der Experimentator eine Entscheidung treffen (möglicherweise durch Betrachtung der Form der Münze), welche vorherige Verteilung verwendet werden soll. Die Einbeziehung solcher subjektiven Informationen kann wichtig sein, um eine genaue Schätzung der Wahrscheinlichkeit zu erhalten.

Komplexität

Im Allgemeinen beinhaltet die Modellkomplexität einen Kompromiss zwischen Einfachheit und Genauigkeit des Modells. Ockhams Rasiermesser ist ein Prinzip, das für die Modellierung besonders relevant ist. Seine wesentliche Idee ist, dass unter Modellen mit ungefähr gleicher Vorhersage die einfachste am einfachsten ist. Während die zusätzliche Komplexität normalerweise den Realismus eines Modells verbessert, kann das Modell das Verständnis und Analyse erschweren und auch Rechenprobleme darstellen, einschließlich Numerische Instabilität. Thomas Kuhn argumentiert, dass im Laufe der Wissenschaft Erklärungen vor a tendenziell komplexer werden Paradigmenverschiebung Bietet radikale Vereinfachung.[7]

Zum Beispiel konnten wir beim Modellieren des Fluges eines Flugzeugs jeden mechanischen Teil des Flugzeugs in unser Modell einbetten und somit ein fast weißes Box-Modell des Systems erwerben. Die Berechnungskosten für das Hinzufügen einer so großen Menge an Details würden jedoch die Verwendung eines solchen Modells effektiv hemmen. Darüber hinaus würde die Unsicherheit aufgrund eines übermäßig komplexen Systems zunehmen, da jeder getrennte Teil eine gewisse Varianz in das Modell induziert. Es ist daher normalerweise angemessen, einige Annäherungen vorzunehmen, um das Modell auf eine vernünftige Größe zu reduzieren. Ingenieure können oft einige Annäherungen annehmen, um ein robusteres und einfacheres Modell zu erhalten. Zum Beispiel, Newton's klassische Mechanik ist ein ungefähres Modell der realen Welt. Trotzdem reicht Newtons Modell für die meisten gewöhnlichen Situationen ziemlich aus Lichtgeschwindigkeitund wir studieren nur Makropartikel.

Beachten Sie, dass eine bessere Genauigkeit nicht unbedingt ein besseres Modell bedeutet. Statistische Modelle sind anfällig für Überanpassung Dies bedeutet, dass ein Modell zu viel an Daten geeignet ist und seine Fähigkeit verloren hat, neue Ereignisse zu verallgemeinern, die zuvor noch nicht beobachtet wurden.

Training und Tuning

Jedes Modell, das nicht reine Weißbox ist Parameter Dies kann verwendet werden, um das Modell an das System anzupassen, das es beschreiben soll. Wenn die Modellierung von einem durchgeführt wird künstliche neuronale Netz oder andere maschinelles LernenDie Optimierung von Parametern wird aufgerufen Ausbildung, während die Optimierung von Modellhyperparametern genannt wird Stimmung und oft verwendet cross-validation.[8] Bei konventionelleren Modellierung durch explizit angegebene mathematische Funktionen werden Parameter häufig durch bestimmt Kurvenanpassung.

Modellbewertung

Ein entscheidender Teil des Modellierungsprozesses ist die Bewertung, ob ein bestimmtes mathematisches Modell ein System genau beschreibt oder nicht. Diese Frage kann schwer zu beantworten sein, da sie verschiedene Arten der Bewertung beinhaltet.

Anpassung zu empirischen Daten

Normalerweise besteht der einfachste Teil der Modellbewertung darin, zu überprüfen, ob ein Modell experimentelle Messungen oder andere empirische Daten passt. In Modellen mit Parametern besteht ein gemeinsamer Ansatz zum Testen dieser Anpassung darin, die Daten in zwei disjunkte Untergruppen aufzuteilen: Schulungsdaten und Überprüfungsdaten. Die Trainingsdaten werden verwendet, um die Modellparameter zu schätzen. Ein genaues Modell entspricht den Verifizierungsdaten genau, obwohl diese Daten nicht verwendet wurden, um die Parameter des Modells festzulegen. Diese Praxis wird als bezeichnet als cross-validation in Statistiken.

Definition a metrisch Die Messung der Abstände zwischen beobachteten und vorhergesagten Daten ist ein nützliches Instrument zur Bewertung der Modellanpassung. In Statistik, Entscheidungstheorie und einigen Wirtschaftsmodelle, a verlustfunktion spielt eine ähnliche Rolle.

Es ist zwar ziemlich einfach, die Angemessenheit von Parametern zu testen, aber es kann schwieriger sein, die Gültigkeit der allgemeinen mathematischen Form eines Modells zu testen. Im Allgemeinen wurden mathematische Tools entwickelt, um die Anpassung von zu testen Statistische Modelle als Modelle mit Differentialgleichung. Werkzeuge von Nichtparametrische Statistiken Kann manchmal verwendet werden, um zu bewerten, wie gut die Daten zu einer bekannten Verteilung passen, oder um ein allgemeines Modell zu entwickeln, das nur minimale Annahmen über die mathematische Form des Modells ergibt.

Umfang des Modells

Die Beurteilung des Umfangs eines Modells, dh, zu bestimmen, auf welche Situationen das Modell anwendbar ist, kann weniger einfach sein. Wenn das Modell basierend auf einer Datenmenge konstruiert wurde, muss man bestimmen, für welche Systeme oder Situationen die bekannten Daten ein "typischer" Datensatz sind.

Die Frage, ob das Modell die Eigenschaften des Systems zwischen Datenpunkten gut beschreibt, wird aufgerufen Interpolationund die gleiche Frage nach Ereignissen oder Datenpunkten außerhalb der beobachteten Daten wird aufgerufen Extrapolation.

Als Beispiel für die typischen Einschränkungen des Umfangs eines Modells bei der Bewertung von Newtonianer klassische MechanikWir können feststellen, dass Newton seine Messungen ohne fortgeschrittene Ausrüstung durchgeführt hat, sodass er die Eigenschaften von Partikeln, die mit Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit fuhren, nicht messen konnte. Ebenso hat er die Bewegungen von Molekülen und anderen kleinen Partikeln nicht gemessen, sondern nur Makropartikel. Es ist dann nicht verwunderlich, dass sein Modell nicht gut in diese Bereiche extrapoliert, obwohl sein Modell für die gewöhnliche Lebensphysik ziemlich ausreicht.

Philosophische Überlegungen

Viele Arten von Modellierungen beinhalten implizit Ansprüche darüber Kausalität. Dies gilt normalerweise (aber nicht immer) für Modelle mit Differentialgleichungen. Da der Zweck der Modellierung darin besteht, unser Verständnis der Welt zu erhöhen, beruht die Gültigkeit eines Modells nicht nur auf seine Anpassung an empirische Beobachtungen, sondern auch auf seine Fähigkeit, auf Situationen oder Daten zu extrapolieren, die über die ursprünglich im Modell beschriebenen ursprünglich beschriebenen ursprünglich beschriebenen extrapolieren. Man kann dies als die Unterscheidung zwischen qualitativen und quantitativen Vorhersagen betrachten. Man kann auch argumentieren, dass ein Modell wertlos ist, es sei denn, es gibt einen Einblick, der über das hinausgeht, was bereits aus der direkten Untersuchung des untersuchten Phänomens bekannt ist.

Ein Beispiel für eine solche Kritik ist das Argument, dass die mathematischen Modelle von Optimale Futtertheorie Bieten Sie keine Einblicke, die über die gesunden Menschenverstand hinausgehen Evolution und andere Grundprinzipien der Ökologie.[9]

Bedeutung in den Naturwissenschaften

Mathematische Modelle sind in den Naturwissenschaften von großer Bedeutung, insbesondere in Physik. Physisch Theorien werden mit mathematischen Modellen fast immer ausgedrückt.

Im Laufe der Geschichte wurden immer genauere mathematische Modelle entwickelt. Newtons Gesetze Beschreiben Sie viele alltägliche Phänomene genau, aber unter bestimmten Grenzen Relativitätstheorie und Quantenmechanik muss benutzt werden.

Es ist üblich, idealisierte Modelle in der Physik zu verwenden, um die Dinge zu vereinfachen. Massenlose Seile, Punktpartikel, Ideale Gase und die Teilchen in einer Schachtel gehören zu den vielen vereinfachten Modellen, die in der Physik verwendet werden. Die Gesetze der Physik werden mit einfachen Gleichungen wie Newtons Gesetzen vertreten. Maxwells Gleichungen und die Schrödinger Gleichung. Diese Gesetze sind eine Grundlage für mathematische Modelle realer Situationen. Viele reale Situationen sind sehr komplex und somit ungefähr auf einem Computer modelliert, ein Modell, das rechnerisch machbar zu berechnen ist, wird aus den Grundgesetzen oder aus ungefähren Modellen aus den Grundgesetzen hergestellt. Zum Beispiel können Moleküle durch modelliert werden molekulares Orbital Modelle, die ungefähre Lösungen für die Schrödinger -Gleichung sind. Im IngenieurwesenPhysikmodelle werden häufig durch mathematische Methoden wie z. Finite -Elemente -Analyse.

Unterschiedliche mathematische Modelle verwenden unterschiedliche Geometrien, die nicht unbedingt genaue Beschreibungen der Geometrie des Universums sind. Euklidische Geometrie wird in der klassischen Physik häufig verwendet Spezielle Relativität und generelle Relativität sind Beispiele für Theorien, die verwenden Geometrien die nicht euklidisch sind.

Einige Anwendungen

Wenn Ingenieure ein zu gesteuerendes oder optimierter System analysieren, verwenden sie häufig ein mathematisches Modell. In der Analyse können Ingenieure ein beschreibendes Modell des Systems als Hypothese erstellen, wie das System funktionieren könnte, oder zu schätzen, wie sich ein unvorhersehbares Ereignis auf das System auswirken könnte. In ähnlicher Weise können Ingenieure bei der Kontrolle eines Systems unterschiedliche Steuerungsansätze ausprobieren Simulationen.

Ein mathematisches Modell beschreibt normalerweise ein System durch a einstellen von Variablen und einer Reihe von Gleichungen, die Beziehungen zwischen den Variablen herstellen. Variablen können von vielen Typen sein; real oder ganze Zahl Zahlen, Boolesche Werte oder Saiten, zum Beispiel. Die Variablen repräsentieren einige Eigenschaften des Systems, beispielsweise die gemessenen Systemausgänge häufig in Form von Signale, Timingdaten, Zähler und Ereignisvorkommen. Das tatsächliche Modell ist der Satz von Funktionen, die die Beziehungen zwischen den verschiedenen Variablen beschreiben.

Beispiele

  • Eines der beliebten Beispiele in Informatik ist die mathematischen Modelle verschiedener Maschinen, ein Beispiel ist das Deterministische endliche Automaten (DFA), das als abstraktes mathematisches Konzept definiert ist, aber aufgrund der deterministischen Natur eines DFA ist es in Hardware und Software für die Lösung verschiedener spezifischer Probleme implementierbar. Beispielsweise ist das Folgende ein DFA M mit einem binären Alphabet, das erfordert, dass die Eingabe eine gleichmäßige Anzahl von 0s enthält:
Das Zustandsdiagramm zum M
M = (Q, Σ, δ, q0, F) wo
0
1
S1 S2 S1
S2 S1 S2
Der Staat S1 stellt dar, dass es bisher eine gleiche Anzahl von 0er in der Eingabe gab S2 bedeutet eine ungerade Zahl. Eine 1 im Eingang ändert den Status des Automatens nicht. Wenn der Eingang endet, zeigt der Zustand an, ob die Eingabe eine gleichmäßige Anzahl von 0s enthält oder nicht. Wenn der Eingang eine gleichmäßige Anzahl von 0s enthielt, M wird im Staat fertig sein S1, ein Akzeptanzstatus, so dass die Eingangszeichenfolge akzeptiert wird.
Die Sprache, die von erkannt wurde M ist der Regelmäßige Sprache gegeben durch die regulären Ausdruck 1*(0 (1*) 0 (1*))*, wobei "*" das ist Kleene Star, z. B. 1* bezeichnet eine nicht negative Zahl (möglicherweise Null) von Symbolen "1".
  • Viele alltägliche Aktivitäten ohne Gedanken sind die Verwendung mathematischer Modelle. Ein geografisches Kartenprojektion Von einem Bereich der Erde auf eine kleine, ebene Oberfläche ist ein Modell, das für viele Zwecke wie Planungsreisen verwendet werden kann.[10]
  • Eine weitere einfache Aktivität ist die Vorhersage der Position eines Fahrzeugs aus seiner anfänglichen Position, Richtung und Reisendrehzahl, wobei die Gleichung verwendet wird, in der die zurückgelegte Entfernung das Produkt von Zeit und Geschwindigkeit ist. Dies ist bekannt als als tote Abrechnung bei formaler Verwendung. Mathematische Modellierung auf diese Weise erfordert nicht unbedingt formale Mathematik. Es wurde gezeigt, dass Tiere eine tote Abrechnung verwenden.[11][12]
  • Bevölkerung Wachstum. Ein einfaches (wenn auch ungefähres) Modell des Bevölkerungswachstums ist das Malthusian Wachstumsmodell. Ein etwas realistischeres und weitgehend eingesetztes Bevölkerungswachstumsmodell ist das Logistische Funktionund seine Verlängerungen.
  • Modell eines Teilchens in einem Potentialfeld. In diesem Modell betrachten wir ein Teilchen als einen Massenpunkt, der eine Flugbahn im Raum beschreibt, die durch eine Funktion modelliert wird, die seine Koordinaten im Raum als Funktion der Zeit angibt. Das potenzielle Feld wird durch eine Funktion gegeben und die Flugbahn, das ist eine Funktion , ist die Lösung der Differentialgleichung:
das kann auch geschrieben werden wie:
Beachten Sie, dass dieses Modell davon ausgeht, dass das Teilchen eine Punktmasse ist, die in vielen Fällen, in denen wir dieses Modell verwenden, sicherlich falsch ist. Zum Beispiel als Modell der Planetenbewegung.
  • Modell des rationalen Verhaltens für einen Verbraucher. In diesem Modell nehmen wir an, dass ein Verbraucher eine Wahl von gegenübersteht n Waren mit 1,2, ...,n jeweils mit einem Marktpreis p1, p2, ..., pn. Es wird angenommen, dass der Verbraucher eine hat Ordinaler Versorgungsunternehmen Funktion U (Ordinal in dem Sinne, dass nur das Zeichen der Unterschiede zwischen zwei Versorgungsunternehmen und nicht der Nutzung jedes Nutzens von Bedeutung ist) abhängig von den Rohstoffmengen x1, x2, ..., xn verbraucht. Das Modell geht weiter davon aus, dass der Verbraucher ein Budget hat M mit dem ein Vektor gekauft wird x1, x2, ..., xn so maximieren U(x1, x2, ..., xn). Das Problem des rationalen Verhaltens in diesem Modell wird dann a Mathematische Optimierung Problem, das heißt:
vorbehaltlich:
Dieses Modell wurde in einer Vielzahl von wirtschaftlichen Kontexten verwendet, wie in Allgemeine Gleichgewichtstheorie Existenz zeigen und Pareto -Effizienz der wirtschaftlichen Gleichgewichte.
  • Nachbarmodell ist ein Modell, das das erklärt Pilz Bildung aus dem anfänglich chaotischen Pilz- Netzwerk.
  • Im Informatik, mathematische Modelle können verwendet werden, um Computernetzwerke zu simulieren.
  • Im Mechanik, mathematische Modelle können verwendet werden, um die Bewegung eines Raketenmodells zu analysieren.

Siehe auch

Verweise

  1. ^ D. Tymoczko, Eine Geometrie der Musik: Harmonie und Kontrapunkt in der erweiterten gemeinsamen Praxis (Oxford Studies in Music Theory), Oxford University Press; Illustrierte Ausgabe (21. März 2011), ISBN978-0195336672
  2. ^ Andras Kornai, Mathematische Linguistik (erweiterte Informations- und Wissensverarbeitung), Springer, ISBN978-1849966948
  3. ^ Andreski, Stanislav (1972). Sozialwissenschaften als Zauberei. St. Martin's Press. ISBN 0-14-021816-5.
  4. ^ Treesdell, Clifford (1984). Die flüchtigen Aufsätze eines Idiots über Wissenschaft. Springer. S. 121–7. ISBN 3-540-90703-3.
  5. ^ Li, C., Xing, Y., He, F. & Cheng, D. (2018). Ein strategischer Lernalgorithmus für staatliche Spiele. Arxiv.
  6. ^ Billings S.A. (2013), Nichtlineare Systemidentifikation: Narmax-Methoden in den Time, Frequenz- und räumlich-zeitlichen Domänen, Wiley.
  7. ^ "Thomas Kuhn". Stanford Encyclopedia of Philosophy. 13. August 2004. Abgerufen 15. Januar 2019.
  8. ^ Thornton, Chris. "Vorlesung des maschinellen Lernens". Abgerufen 2019-02-06.
  9. ^ Pyke, G. H. (1984). "Optimale Futtertheorie: Eine kritische Übersicht". Jährlicher Überblick über Ökologie und Systematik. 15: 523–575. doi:10.1146/annurev.es.15.110184.002515.
  10. ^ "GIS-Definitionen der Terminologie M-P". Landinfo weltweite Kartierung. Abgerufen 27. Januar, 2020.
  11. ^ Gallistel (1990). Die Organisation des Lernens. Cambridge: Die MIT -Presse. ISBN 0-262-07113-4.
  12. ^ Whishaw, I. Q.; Hines, D. J.; Wallace, D. G. (2001). "Dead Reckoning (Pfadintegration) erfordert die Hippocampusbildung: Beweise aus spontanen Untersuchungen und räumlichen Lernaufgaben in hellen (allothetischen) und dunklen (idiothetischen) Tests". Verhaltenshirnforschung. 127 (1–2): 49–69. doi:10.1016/s0166-4328 (01) 00359-x. PMID 11718884. S2CID 7897256.

Weitere Lektüre

Bücher

  • Aris, Rutherford [1978] (1994). Mathematische Modellierungstechniken, New York: Dover. ISBN0-486-68131-9
  • Bender, E.A. [1978] (2000). Eine Einführung in die mathematische Modellierung, New York: Dover. ISBN0-486-41180-x
  • Gary Chartrand (1977) Grafiken als mathematische Modelle, Prindle, Webber & Schmidt ISBN0871502364
  • Dubois, G. (2018) "Modellierung und Simulation", Taylor & Francis, CRC Press.
  • Gershenfeld, N. (1998) Die Natur der mathematischen Modellierung, Cambridge University Press ISBN0-521-57095-6.
  • Lin, C.C. & Segel, L. A. (1988). Mathematik angewendet auf deterministische Probleme in den Naturwissenschaften, Philadelphia: Siam. ISBN0-89871-229-7

Spezifische Anwendungen

Externe Links

Allgemeine Referenz
Philosophisch