Mathematische Logik

Für Quines Theorie, die manchmal als "mathematische Logik" bezeichnet werden, siehe Neufundamente.
Für andere Verwendungen siehe Logik (Disambiguierung).

Mathematische Logik ist das Studium von formelle Logik innerhalb Mathematik. Zu den wichtigsten Teilgebieten gehören Modelltheorie, Beweistheorie, Mengenlehre, und Rekursionstheorie. Die Forschung in der mathematischen Logik befasst sich gewöhnlich mit den mathematischen Eigenschaften formaler Logiksysteme wie ihrer ausdrucksstarken oder deduktiven Macht. Es kann jedoch auch die Verwendung von Logik zur Charakterisierung des korrekten mathematischen Denkens oder zur Festlegung enthalten Grundlagen der Mathematik.

Seit seiner Gründung hat die mathematische Logik sowohl zu den Stiftungen der Mathematik beigetragen als auch motiviert. Diese Studie begann im späten 19. Jahrhundert mit der Entwicklung von axiomatisch Frameworks für Geometrie, Arithmetik, und Analyse. Anfang des 20. Jahrhunderts wurde es von geformt von David Hilbert's Programm die Konsistenz von Grundtheorien zu beweisen. Ergebnisse von Kurt Gödel, Gerhard Gentzenund andere lieferten eine teilweise Lösung für das Programm und klären die Probleme, die mit der Nachweis der Konsistenz verbunden sind. Die Arbeit in der Set -Theorie zeigte, dass fast alle gewöhnlichen Mathematik in Bezug auf Sets formalisiert werden können, obwohl es einige Theoreme gibt, die in gemeinsamen Axiomsystemen für die festgelegte Theorie nicht nachgewiesen werden können. Die zeitgenössische Arbeit in den Fundamenten der Mathematik konzentriert sich häufig darauf, festzustellen, welche Teile der Mathematik in bestimmten formalen Systemen formalisiert werden können (wie in Reverse Mathematics) anstatt zu versuchen, Theorien zu finden, in denen alle Mathematik entwickelt werden können.

Unterfelder und Umfang

Das Handbuch der mathematischen Logik[1] 1977 macht eine grobe Aufteilung der zeitgenössischen mathematischen Logik in vier Bereiche:

  1. Mengenlehre
  2. Modelltheorie
  3. Rekursionstheorie, und
  4. Beweistheorie und Konstruktive Mathematik (als Teile eines einzelnen Bereichs angesehen).

Zusätzlich manchmal das Feld von Computerkomplexitätstheorie ist auch als Teil der mathematischen Logik enthalten.[2] Jeder Bereich hat einen deutlichen Fokus, obwohl viele Techniken und Ergebnisse zwischen mehreren Bereichen geteilt werden. Die Grenzlinien zwischen diesen Feldern und die Linien, die die mathematische Logik und andere Mathematikfelder trennten, sind nicht immer scharf. Gödels Unvollständigkeitstheorem markiert nicht nur einen Meilenstein in der Rekursionstheorie und der Proof -Theorie, sondern hat auch dazu geführt Löbs Satz in modaler Logik. Die Methode von zwingen wird in der Set -Theorie, der Modelltheorie und der Rekursionstheorie sowie in der Untersuchung der intuitionistischen Mathematik verwendet.

Das mathematische Bereich von Kategoriestheorie Verwendet viele formale axiomatische Methoden und beinhaltet die Untersuchung von Kategorische Logik, aber die Kategorie -Theorie wird normalerweise nicht als Unterfeld der mathematischen Logik angesehen. Aufgrund seiner Anwendbarkeit in verschiedenen Bereichen der Mathematik, einschließlich Mathematiker, einschließlich Saunders Mac Lane haben die Kategorie Theorie als Grundsystem für Mathematik vorgeschlagen, unabhängig von der festgelegten Theorie. Diese Grundlagen verwenden toposes, die verallgemeinerte Modelle der festgelegten Theorie ähneln, die klassische oder nicht klassische Logik verwenden können.

Geschichte

Mitte des 19. Jahrhunderts trat die mathematische Logik als Unterfeld der Mathematik auf und spiegelte den Zusammenfluss zweier Traditionen wider: formale philosophische Logik und Mathematik.[3] "Mathematische Logik, auch 'Logistik', 'symbolische Logik', die ''Algebra der Logik", und in jüngerer Zeit einfach" formale Logik "ist die Menge der logischen Theorien, die im Verlauf des letzten [neunzehnten] Jahrhunderts mit Hilfe einer künstlichen Notation und einer streng deduktiven Methode ausgearbeitet wurden."[4] Vor dieser Entstehung wurde die Logik mit untersucht Rhetorik, mit Berechnungen,[5] durch die Syllogismus, und mit Philosophie. In der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts wurde eine Explosion grundlegender Ergebnisse verzeichnet, begleitet von heftigen Debatten über die Grundlagen der Mathematik.

Frühe Geschichte

Weitere Informationen: Geschichte der Logik

Theorien der Logik wurden in vielen Kulturen in der Geschichte entwickelt, einschließlich China, Indien, Griechenland und die Islamische Welt. Insbesondere griechische Methoden Aristotelische Logik (oder Term Logic) wie in der gefundenen Organon, seit Jahrtausenden eine breite Anwendung und Akzeptanz in westlicher Wissenschaft und Mathematik gefunden.[6] Das Stoiker, besonders Chrysippusbegann die Entwicklung von Prädikatlogik. Im Europa des 18. Jahrhunderts wurden Versuche, die offiziellen Logik auf symbolische oder algebraische Weise zu behandeln, von philosophischen Mathematikern einschließlich der Leibniz und Lambertaber ihre Arbeit blieben isoliert und wenig bekannt.

19. Jahrhundert

Mitte des neunzehnten Jahrhunderts,, George Boole und dann Augustus de Morgan präsentierte systematische mathematische Behandlungen der Logik. Ihre Arbeit, auf Arbeit von Algebraisten aufbauen, z. B. George Peacockverlängerte die traditionelle aristotelische Logiklehre in einen ausreichenden Rahmen für die Untersuchung von Grundlagen der Mathematik.[7] Charles Sanders Peirce Später basiert auf der Arbeit von Boole, ein logisches System für Beziehungen und Quantifizierer zu entwickeln, das er von 1870 bis 1885 in mehreren Papieren veröffentlichte.

Gottlob Frege präsentierte eine unabhängige Entwicklung der Logik mit Quantifizierern in seinem BEGRIFFSSCHRIFT, veröffentlicht 1879, ein Werk, das allgemein als Wendepunkt in der Geschichte der Logik angesehen wird. Freges Arbeit blieb jedoch dunkel, bis Bertrand Russell begann es kurz vor der Jahrhundertwende zu fördern. Die zweidimensionale Notation, die entwickelt wurde, wurde nie weit verbreitet und ist in zeitgenössischen Texten nicht verwendet.

Von 1890 bis 1905,, Ernst Schröder veröffentlicht Vorlesungen über die Algebra der Logik in drei Bänden. Diese Arbeit fasste und erweiterte die Arbeit von Boole, de Morgan und Peirce und war ein umfassender Hinweis auf die symbolische Logik, wie sie Ende des 19. Jahrhunderts verstanden wurde.

Grundtheorien

Bedenken, dass die Mathematik nicht auf einer ordnungsgemäßen Grundlage aufgebaut worden war, führte zur Entwicklung axiomatischer Systeme für grundlegende Bereiche der Mathematik wie Arithmetik, Analyse und Geometrie.

In der Logik der Begriff Arithmetik bezieht sich auf die Theorie der natürliche Zahlen. Giuseppe Peano[8] veröffentlichte eine Reihe von Axiomen für die Arithmetik, die seinen Namen ertraf (Peano -Axiome) unter Verwendung einer Variation des logischen Systems von Boole und Schröder, aber Quantifizierer. Peano war sich damals von Freges Arbeit nicht bewusst. Um die selbe Zeit Richard Dedekind zeigten, dass die natürlichen Zahlen einzigartig durch ihre gekennzeichnet sind Induktion Eigenschaften. Dedekind schlug eine andere Charakterisierung vor, die den formalen logischen Charakter von Peanos Axiomen fehlte.[9] Dedekinds Arbeit erwies sich jedoch als Unzugänglichkeiten in Peanos System, einschließlich der Einzigartigkeit der natürlichen Zahlen (bis zum Isomorphismus) und der rekursiven Definitionen von Addition und Multiplikation von der Nachfolgerfunktion und mathematische Induktion.

Mitte des 19. Jahrhunderts wurden Mängel in Euklids Axiomen für die Geometrie bekannt.[10] Zusätzlich zur Unabhängigkeit der Parallele Postulat, gegründet von Nikolai Lobachevsky im Jahr 1826,[11] Mathematiker stellten fest, dass bestimmte von Euklid als selbstverständliche Theoreme nicht von seinen Axiomen ausgewiesen wurden. Unter diesen ist der Satz, dass eine Linie mindestens zwei Punkte enthält oder dass Kreise desselben Radius, dessen Zentren durch diesen Radius getrennt sind, sich kreuzen müssen. Hilbert[12] entwickelte einen vollständigen Satz von Axiome für die Geometrie, aufbauend auf vorherige Arbeit von Pasch.[13] Der Erfolg bei der axiomatisierenden Geometrie motivierte Hilbert, vollständige Axiomatisierungen anderer Bereiche der Mathematik zu suchen, wie z. B. natürliche Zahlen und der echte Linie. Dies würde sich in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts als ein großes Forschungsbereich erweisen.

Das 19. Jahrhundert verzeichnete große Fortschritte in der Theorie von Echte Analyse, einschließlich Theorien der Konvergenz von Funktionen und die Fourierreihe. Mathematiker wie Karl Weierstrass begann, Funktionen zu konstruieren, die die Intuition erstreckten, wie z. Nirgendwo differenzierbare kontinuierliche Funktionen. Frühere Konzepte einer Funktion in der Regel für die Berechnung oder ein reibungsloses Diagramm waren nicht mehr angemessen. Weierstrass begann sich zu befürworten Arithmetisierung der Analyse, die zur Axiomatisierung der Analyse unter Verwendung der Eigenschaften der natürlichen Zahlen versuchte. Das moderne (ε, δ) -Definition der Grenze und kontinuierliche Funktionen wurde bereits von entwickelt von Bolzano 1817,[14] blieb aber relativ unbekannt.Cauchy 1821 definierte Kontinuität in Bezug auf Infinitesimals (Siehe Kurse d'Alalyze, Seite 34). Im Jahr 1858 schlug Dedekind eine Definition der realen Zahlen in Bezug auf vor Dedekind schneidet von rationalen Zahlen, eine Definition, die noch in zeitgenössischen Texten verwendet wird.[15]

Georg Cantor entwickelten die grundlegenden Konzepte der unendlichen Set -Theorie. Seine frühen Ergebnisse entwickelten die Theorie von Kardinalität und bewiesen dass die Realität und die natürlichen Zahlen unterschiedliche Kardinalitäten haben.[16] In den nächsten zwanzig Jahren entwickelte Cantor eine Theorie von Transfinite Zahlen In einer Reihe von Veröffentlichungen. 1891 veröffentlichte er einen neuen Beweis für die Unaufmerksamkeit der realen Zahlen, die das vorgestellt haben diagonales Argumentund verwendete diese Methode, um zu beweisen Cantors Theorem dass kein Satz die gleiche Kardinalität wie seine haben kann Poweret. Cantor glaubte, dass jeder Satz sein könnte geordnet, konnte aber keinen Beweis für dieses Ergebnis vorlegen, was es 1895 als offenes Problem ließ.[17]

20. Jahrhundert

In den frühen Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts wurden die Hauptstudienbereiche Theorie und formale Logik festgelegt. Die Entdeckung von Paradoxien in der informellen festgelegten Theorie führte dazu, dass einige sich fragten, ob die Mathematik selbst inkonsistent ist und nach Beweisen der Konsistenz zu suchen.

In 1900, Hilbert stellte eine berühmte Liste von auf 23 Probleme Für das nächste Jahrhundert. Die ersten beiden davon waren, die zu lösen Kontinuumshypothese und beweisen die Konsistenz der Elementararithmetik; Das Zehntel sollte eine Methode erstellen, die entscheiden konnte, ob eine multivariate Polynomgleichung über die Ganzzahlen hat eine Lösung. Nachfolgende Arbeiten zur Lösung dieser Probleme prägten die Richtung der mathematischen Logik, ebenso wie die Bemühungen, Hilbert zu lösen Entscheidungsproblem1928 stellte dieses Problem um ein Verfahren, das bei einer formalisierten mathematischen Erklärung entscheiden würde, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Festlegen Theorie und Paradoxe

Ernst Zermelo gab einen Beweis dafür Jedes Set könnte gut geordnet werden, ein Ergebnis Georg Cantor war nicht in der Lage gewesen.[18] Um den Beweis zu erreichen, führte Zermelo die vor Axiom der Wahl, die hitzige Debatten und Forschung unter Mathematikern und Pionieren der festen Theorie erbrachte. Die unmittelbare Kritik an der Methode führte dazu, dass Zermelo eine zweite Darstellung seines Ergebniss veröffentlichte und direkt die Kritik an seinem Beweis befasste.[19] Dieses Papier führte zur allgemeinen Akzeptanz des Axiom der Wahl in der Mathematikgemeinschaft.

Skepsis über das Axiom der Wahl wurde durch kürzlich entdeckte Paradoxe in verstärkt Naive Set -Theorie. Cesare Burali-Forti[20] war der erste, der ein Paradoxon angab: die Burali-Forti Paradox zeigt, dass die Sammlung von allen Ordnungszahlen kann nicht einen Satz bilden. Sehr bald danach, Bertrand Russell entdeckt Russells Paradox im Jahr 1901 und und Jules Richard entdeckt Richards Paradox.[21][Vollständiges Zitat benötigt]

Zermelo lieferte den ersten Satz von Axiomen für die festgelegte Theorie.[22] Diese Axiome zusammen mit dem zusätzlichen Axiom des Ersatzes vorgeschlagen von Abraham Fraenkel, werden jetzt genannt Zermelo -Fraenkel -Set -Theorie (ZF). Zermelos Axiome umfassten das Prinzip von Größeneinschränkung Russells Paradoxon zu vermeiden.

Im Jahr 1910 der erste Band von Principia Mathematica von Russell und Alfred North Whitehead wurde publiziert. Diese wegweisende Arbeit entwickelte die Theorie der Funktionen und Kardinalität in einem vollständig formalen Rahmen von Typentheorie, was Russell und Whitehead entwickelten, um die Paradoxien zu vermeiden. Principia Mathematica wird als eines der einflussreichsten Werke des 20. Jahrhunderts angesehen, obwohl sich der Rahmen der Typtheorie nicht als Grundtheorie für die Mathematik als Grundtheorie erweist.[23]

Fraenkel[24] bewiesen, dass das Axiom der Wahl nicht aus den Axiomen von Zermelos festgelegter Theorie mit beweist werden kann Urelemente. Später Arbeit von Paul Cohen[25] zeigten, dass die Zugabe von Urelementen nicht benötigt wird und das Axiom der Auswahl in ZF nicht bewirtschaftet ist. Cohens Beweis entwickelte die Methode von zwingen, was jetzt ein wichtiges Instrument zum Feststellen ist Unabhängigkeitsergebnisse in der festgelegten Theorie.[26]

Symbolische Logik

Leopold Löwenheim[27] und Thoralf Skolem[28] erhielt die Löwenheim -Skolem -Theoremdas, was das sagt Logik erster Ordnung kann die nicht kontrollieren Kardinalitäten von unendlichen Strukturen. Skolem erkannte, dass dieser Satz für Formalisierungen erster Ordnung der festgelegten Theorie gelten würde und dass eine solche Formalisierung eine hat zählbar Modell. Diese kontraintuitive Tatsache wurde als bekannt als Skolems Paradoxon.

In seiner Doktorarbeit, Kurt Gödel bewiesen das Vollständigkeitstheorem, was eine Korrespondenz zwischen Syntax und Semantik in Logik erster Ordnung festlegt.[29] Gödel benutzte den Vollständigkeitssatz, um das zu beweisen Kompaktheitstheorem, um die endartige Natur der ersten Ordnung zu demonstrieren logische Konsequenz. Diese Ergebnisse halfen dazu, Logik erster Ordnung als die dominante Logik zu etablieren, die von Mathematikern verwendet wurde.

Im Jahr 1931 veröffentlichte Gödel Über formell unentscheidbare Aussagen von Principia Mathematica und verwandten Systemen, was die Unvollständigkeit (in einer anderen Bedeutung des Wortes) aller ausreichend starken, wirksamen Theorien erster Ordnung erweisen. Dieses Ergebnis, bekannt als Gödels Unvollständigkeitstheoremstellt schwerwiegende Einschränkungen für axiomatische Grundlagen für die Mathematik fest und schlägt Hilberts Programm stark aus. Es zeigte die Unmöglichkeit, einen Konsistenznachweis für die Arithmetik in einer formalen Arithmetheorie zu liefern. Hilbert erkannte jedoch die Bedeutung des Unvollständigkeitssatzes für einige Zeit nicht an.[a]

Gödels Theorem zeigt, dass a Konsistenz Der Nachweis eines ausreichend starken, effektiven Axiomsystems kann im System selbst nicht erhalten werden, wenn das System konsistent ist, noch in einem schwächeren System. Dies lässt die Möglichkeit von Konsistenznachweisen offen, die innerhalb des von ihnen berücksichtigten Systems nicht formalisiert werden können. Gentzen hat die Konsistenz der Arithmetik unter Verwendung eines endistischen Systems zusammen mit einem Prinzip von bewiesen Transfinite Induktion.[30] Gentzens Ergebnis führte die Ideen von vor Eliminierung abschneiden und Proof-theoretische Ordnungen, was zu Schlüsselwerkzeugen in der Proof -Theorie wurde. Gödel ergab einen anderen Konsistenznachweis, der die Konsistenz der klassischen Arithmetik auf die der intuitionistischen Arithmetik in höheren Typen verringert.[31]

Das erste Lehrbuch zur symbolischen Logik für den Laien wurde von Lewis Carroll, Autor von Alice im Wunderlandim Jahr 1896.[32]

Anfänge der anderen Zweige

Alfred Tarski entwickelten die Grundlagen von Modelltheorie.

Ab 1935 arbeitete eine Gruppe prominenter Mathematiker unter dem Pseudonym zusammen Nicolas Bourbaki veröffentlichen Éléments de Mathématique, eine Reihe von enzyklopädischen Mathematiktexten. Diese Texte, die in einem strengen und axiomatischen Stil geschrieben wurden, betonten strenge Präsentation und set-theoretische Grundlagen. Terminologie, die durch diese Texte geprägt ist, wie z. B. die Wörter Bijection, Injektion, und Umfrageund die set-theoretischen Fundamente der verwendeten Texte wurden in der Mathematik weit verbreitet.

Die Untersuchung der Berechnbarkeit wurde als Rekursionstheorie bekannt oder Computerbarkeitstheorie, weil frühe Formalisierungen von Gödel und Kleene auf rekursive Definitionen von Funktionen beruhen.[b] Wenn diese Definitionen der Formalisierung von Turing gleichwertig waren Turing -MaschinenEs wurde klar, dass ein neues Konzept - das berechnungsbare Funktion - war entdeckt worden, und dass diese Definition robust genug war, um zahlreiche unabhängige Charakterisierungen zuzugeben. In seiner Arbeit über die Unvollständigkeitsmenschen im Jahr 1931 fehlte Gödel ein strenger Konzept eines wirksamen formalen Systems. Er erkannte sofort, dass die neuen Definitionen der Berechnung für diesen Zweck verwendet werden konnten, was es ihm ermöglichte, die Unvollständigkeit der Allgemeinheit zu sagen, die nur im Originalpapier impliziert werden konnten.

Zahlreiche Ergebnisse in der Rekursionstheorie wurden in den 1940er Jahren von erhalten Stephen Cole Kleene und Emil Leon Post. Kleene[33] stellte die Konzepte der relativen Berechnung vor, die von Turing vorhersagen wird,[34] und die arithmetische Hierarchie. Kleene später verallgemeinerte Rekursionstheorie auf Funktionen höherer Ordnung. Kleene und Georg Kreisel studierte formale Versionen der intuitionistischen Mathematik, insbesondere im Kontext der Proof -Theorie.

Formale logische Systeme

Im Kern befasst sich die mathematische Logik mit mathematischen Konzepten, die mit formalen Ausdrücken ausgedrückt werden Logische Systeme. Diese Systeme teilen sich zwar in vielen Details, die gemeinsame Eigenschaft, nur Ausdrücke in einem festen Ausdruck zu berücksichtigen formelle Sprache. Die Systeme von Aussagelogik und Logik erster Ordnung sind heute die am häufigsten untersuchten, weil sie anwendbar sind Grundlagen der Mathematik und wegen ihrer wünschenswerten Prooden-theoretischen Eigenschaften.[c] Stärkere klassische Logik wie z. Logik zweiter Ordnung oder Infinitarische Logik werden auch zusammen mit untersucht Nicht klassische Logik wie zum Beispiel intuitionistische Logik.

Logik erster Ordnung

Hauptartikel: Logik erster Ordnung

Logik erster Ordnung ist ein besonderes Formales Logiksystem. Es ist Syntax beinhaltet nur endliche Ausdrücke als gut geformte Formeln, während es ist Semantik sind durch die Einschränkung aller gekennzeichnet Quantifizierer zu einem festen Diskursbereich.

Frühe Ergebnisse aus formalen Logik ergaben Einschränkungen der Logik erster Ordnung. Das Löwenheim -Skolem -Theorem (1919) zeigten, dass, wenn ein Satz von Sätzen in einer zählbaren Sprache erster Ordnung ein unendliches Modell hat, mindestens ein Modell für jede unendliche Kardinalität hat. Dies zeigt, dass es für eine Reihe von Axiomen erster Ordnung unmöglich ist, die natürlichen Zahlen, die realen Zahlen oder eine andere unendliche Struktur bis hin zu charakterisieren Isomorphismus. Als Ziel der frühen Grundlagen bestand darin, axiomatische Theorien für alle Teile der Mathematik zu erstellen, war diese Einschränkung besonders stark.

Gödels Vollständigkeitstheorem etablierte die Äquivalenz zwischen semantischen und syntaktischen Definitionen von logische Konsequenz in Logik erster Ordnung.[29] Es zeigt, dass wenn ein bestimmter Satz in jedem Modell wahr ist, das einen bestimmten Satz von Axiomen erfüllt, dann ein endlicher Abzug des Satzes von den Axiomen vorhanden sein muss. Das Kompaktheitstheorem Zuerst trat als Lemma in Gödels Beweis für den Vollständigkeitssatz auf, und es dauerte viele Jahre, bis die Logiker seine Bedeutung ergriffen und anfingen, sie routinemäßig anzuwenden. Es heißt, dass ein Satz von Sätzen ein Modell hat, wenn und nur wenn jede endliche Untergruppe ein Modell hat oder mit anderen Worten, dass ein inkonsistenter Satz von Formeln eine endliche inkonsistente Untergruppe haben muss. Die Vollständigkeits- und Kompaktheitstheoreme ermöglichen eine ausgefeilte Analyse der logischen Konsequenz in der Logik erster Ordnung und die Entwicklung von Modelltheorieund sie sind ein Hauptgrund für die Bedeutung der Logik erster Ordnung in der Mathematik.

Gödels unvollständige Theoreme Legen Sie zusätzliche Grenzen für Axiomatisierungen erster Ordnung fest.[35] Das Erster Unvollständigkeitstheorem gibt an, dass für ein konsistentes, effektiv angegebenes (unten definierter) logisches System, das die Arithmetik interpretieren kann in der Tat in einigen scheitern Nicht standardmäßige Arithmetikmodelle die mit dem logischen System übereinstimmen können). Zum Beispiel in jedem logischen System, das das ausdrücken kann Peano -AxiomeDer Gödel -Satz gilt für die natürlichen Zahlen, kann aber nicht bewiesen werden.

Hier soll ein logisches System effektiv angegeben werden, wenn es möglich ist, zu entscheiden, angesichts einer beliebigen Formel in der Sprache des Systems, ob die Formel ein Axiom ist, und eines, das die Erdungspeano -Axiome ausdrücken kann, wird als "ausreichend stark" bezeichnet. Wenn die Logik erster Ordnung angewendet wird, impliziert der erste Unvollständigkeitssatz, dass jede ausreichend starke, konsistente, effektive Theorie erster Ordnung Modelle hat, die nicht sind elementar äquivalent, eine stärkere Einschränkung als die vom Löwenheim -Skolem -Theorem. Das Zweiter Unvollständigkeitstheorem Staaten, dass kein ausreichend starkes, konsistentes und wirksames Axiomsystem für die Arithmetik seine eigene Konsistenz erweisen kann, die interpretiert wurde, um dies zu zeigen Hilberts Programm kann nicht erreicht werden.

Andere klassische Logik

Neben der Logik erster Ordnung werden viele Logiken untersucht. Diese beinhalten Infinitarische Logik, die es ermöglichen, dass Formeln eine unendliche Menge an Informationen liefern, und Logik höherer Ordnung, einschließlich eines Teils der festgelegten Theorie direkt in ihre Semantik.

Die am besten untersuchte unendliche Logik ist . In dieser Logik können Quantifizierer nur in endliche Tiefen verschachtelt sein, wie in der Logik erster Ordnung, aber Formeln können endliche oder zähe unendliche Konjunktionen und Unterlagen in ihnen aufweisen. Somit ist beispielsweise zu sagen, dass ein Objekt eine ganze Zahl mit einer Formel von ist wie zum Beispiel

Logiken höherer Ordnung ermöglichen eine Quantifizierung nicht nur von Elementen der Diskursbereich, aber Teilmengen des Diskurses, Sätze solcher Teilmengen und anderer Objekte mit höherem Typ. Die Semantik ist definiert, so dass die Quantifizierer statt für jeden Quantifizierer des höheren Typs eine separate Domäne für jeden Quantifizierer des höheren Typs über alle Objekte des entsprechenden Typs liegen. Die vor der Entwicklung der Logik erster Ordnung untersuchten Logik, beispielsweise Frege's Logik, hatten ähnliche set-theoretische Aspekte. Obwohl die Logik höherer Ordnung ausdrucksvoller ist und vollständige Axiomatisierungen von Strukturen wie natürlichen Zahlen ermöglicht, erfüllen sie Analoga der Vollständigkeits- und Kompaktheitstheoreme nicht aus Logik erster Ordnung und sind daher für die Proof-theoretische Analyse weniger zugänglich.

Eine andere Art von Logik ist Festpunktlogiks das erlaubt Induktive Definitionenwie man schreibt für primitive rekursive Funktionen.

Man kann eine Erweiterung der Logik erster Ordnung formell definieren-eine Vorstellung, die alle Logiken in diesem Abschnitt umfasst, da sie sich auf bestimmte Weise wie Logik erster Ordnung verhalten, aber nicht alle Logiken im Allgemeinen umfasst, z. es umfasst nicht intuitionistisch, modal oder Fuzzy Logic.

Lindströms Satz impliziert, dass die einzige Erweiterung der Logik erster Ordnung, die beide erfüllt Kompaktheitstheorem und die Abwärts Löwenheim - Skolem Theorem ist Logik erster Ordnung.

Nicht klassische und modale Logik

Hauptartikel: Nicht klassische Logik

Modale Logik Fügen Sie zusätzliche modale Operatoren hinzu, wie z. B. einen Operator, der besagt, dass eine bestimmte Formel nicht nur wahr, sondern notwendigerweise wahr ist. Obwohl die modale Logik nicht oft zur Axiomatisierung der Mathematik verwendet wird, wurde sie verwendet, um die Eigenschaften der Bekanntheit erster Ordnung erster Ordnung zu untersuchen[36] und set-theoretisches Erzwingen.[37]

Intuitionistische Logik wurde durch Heyting entwickelt, um Brouwers Programm des Intuitionismus zu studieren, in dem Brouwer selbst die Formalisierung vermieden. Die intuitionistische Logik enthält speziell nicht die Gesetz der ausgeschlossenen Mitte, was besagt, dass jeder Satz entweder wahr ist oder seine Negation wahr ist. Kleenes Arbeit mit der Proof -Theorie der intuitionistischen Logik zeigte, dass konstruktive Informationen aus intuitionistischen Beweisen geborgen werden können. Zum Beispiel ist jede nachweislich totale Funktion in der intuitionistischen Arithmetik berechenbar; Dies gilt nicht für klassische Arithmetikheorien wie z. Peano -Arithmetik.

Algebraische Logik

Algebraische Logik verwendet die Methoden von Zusammenfassung Algebra die Semantik der formalen Logik zu untersuchen. Ein grundlegendes Beispiel ist die Verwendung von Boolesche Algebren zu repräsentieren Wahrheitswerte in klassischer Sätze Logik und der Verwendung von Hey -Algebren Wahrheitswerte in der intuitionistischen Aussagelogik darzustellen. Stärkere Logik wie Logik erster Ordnung und Logik höherer Ordnung werden unter Verwendung komplizierterer algebraischer Strukturen wie z. Zylindrische Algebren.

Mengenlehre

Hauptartikel: Mengenlehre

Mengenlehre ist das Studium von Sets, die abstrakte Sammlungen von Objekten sind. Viele der grundlegenden Begriffe wie Ordnungs- und Kardinalnummern wurden von Cantor informell entwickelt, bevor formale Axiomatisierungen der festgelegten Theorie entwickelt wurden. Das Erstens solche Axiomatisierungaufgrund von Zermelo,[22] wurde leicht erweitert, um zu werden Zermelo -Fraenkel -Set -Theorie (ZF), das heute die am häufigsten verwendete Grundtheorie für die Mathematik ist.

Andere Formalisierungen der festgelegten Theorie wurden vorgeschlagen, einschließlich Von Neumann -Bernays -Gödel -Set -Theorie (NBG), Morse -Kelley -Set -Theorie (Mk) und Neufundamente (NF). Von diesen sind ZF, NBG und MK ähnlich bei der Beschreibung a kumulative Hierarchie von Sätzen. New Foundations verfolgt einen anderen Ansatz; Es ermöglicht Objekte wie die Menge aller Sätze auf Kosten für Einschränkungen für seine Set-Existenz-Axiome. Das System von Kripke -Platek -Set -Theorie ist eng mit der generalisierten Rekursionstheorie verwandt.

Zwei berühmte Aussagen in der Set -Theorie sind die Axiom der Wahl und die Kontinuumshypothese. Das Axiom der Wahl, erstmals von Zermelo angegeben,[18] wurde von Fraenkel unabhängig von ZF bewiesen,[24] ist aber von Mathematikern weithin akzeptiert. Es gibt an, dass bei einer Sammlung nicht leerer Sets ein einzelner Satz vorliegt C Das enthält genau ein Element aus jedem Satz in der Sammlung. Der Satz C soll ein Element aus jedem Satz in der Sammlung "auswählen". Während die Fähigkeit, eine solche Entscheidung zu treffen, von einigen als offensichtlich angesehen wird, da jeder in der Sammlung nicht leere Set nicht leer ist, kann das Fehlen einer allgemeinen konkreten Regel, durch die die Wahl getroffen werden kann, das Axiom nicht konstruktiv. Stefan Banach und Alfred Tarski zeigten, dass das Axiom der Wahl verwendet werden kann, um eine feste Kugel in eine endliche Anzahl von Teilen zu zersetzen, die dann ohne Skalierung umgeordnet werden können, um zwei feste Kugeln der ursprünglichen Größe herzustellen.[38] Dieser Theorem, bekannt als der Banach–Tarski paradoxist eines der vielen kontraintuitiven Ergebnisse des Axioms der Wahl.

Die Continuum -Hypothese, die zuerst als Vermutung von Cantor vorgeschlagen wurde, wurde von aufgeführt von David Hilbert Als eines seiner 23 Probleme im Jahr 1900. Gödel zeigte, dass die Kontinuumshypothese nicht von den Axiomen der Zermelo -Fraenkel -Set -Theorie (mit oder ohne das Axiom der Wahl) widerlegt werden kann Konstruktbares Universum der festgelegten Theorie, in der die Kontinuumshypothese gelten muss. 1963,, Paul Cohen zeigten, dass die Kontinuumshypothese nicht aus den Axiomen der Zermelo -Fraenkel -Set -Theorie nachgewiesen werden kann.[25] Dieses Unabhängigkeitsergebnis hat Hilberts Frage jedoch nicht vollständig angezeigt, da es möglich ist, dass neue Axiome für die festgelegte Theorie die Hypothese lösen könnten. Die jüngsten Arbeiten nach dieser Richtung wurden von durchgeführt W. Hugh Woodin, obwohl seine Bedeutung noch nicht klar ist.[39]

Zeitgenössische Forschung in der Set -Theorie umfasst die Studie von Große Kardinäle und Bestimmung. Große Kardinäle sind Kardinalzahlen Bei bestimmten Eigenschaften, die so stark sind, dass die Existenz solcher Kardinäle in ZFC nicht nachgewiesen werden kann. Die Existenz des kleinsten großen Kardinals typischerweise untersucht, und unzugänglicher Kardinalimpliziert bereits die Konsistenz von ZFC. Trotz der Tatsache, dass große Kardinäle extrem hoch sind KardinalitätIhre Existenz hat viele Auswirkungen auf die Struktur der realen Linie. Bestimmung bezieht sich auf die mögliche Existenz von Gewinnstrategien für bestimmte Zwei-Spieler-Spiele (die Spiele sollen sein bestimmt). Die Existenz dieser Strategien impliziert strukturelle Eigenschaften der realen Linie und anderer Polnische Räume.

Modelltheorie

Hauptartikel: Modelltheorie

Modelltheorie Untersucht die Modelle verschiedener formaler Theorien. Hier ein Theorie ist eine Reihe von Formeln in einer bestimmten formalen Logik und Unterschrift, während ein Modell ist eine Struktur, die eine konkrete Interpretation der Theorie ergibt. Die Modelltheorie ist eng mit dem verwandt mit Universelle Algebra und Algebraische GeometrieObwohl sich die Methoden der Modelltheorie mehr auf logische Überlegungen konzentrieren als diese Felder.

Die Menge aller Modelle einer bestimmten Theorie wird als als bezeichnet Grundklasse; Die klassische Modelltheorie versucht, die Eigenschaften von Modellen in einer bestimmten Elementarklasse zu bestimmen oder zu bestimmen, ob bestimmte Klassen von Strukturen Elementarklassen bilden.

Die Methode von Quantifikator -Eliminierung Kann verwendet werden, um zu zeigen, dass definierbare Sets in bestimmten Theorien nicht zu kompliziert sein können. Tarski etablierte die Eliminierung der Quantifizierer für Real-geschlossene Felder, ein Ergebnis, das auch die Theorie des Feldes der realen Zahlen zeigt, ist entschlossen.[40] Er stellte auch fest, dass seine Methoden gleichermaßen auf algebraisch geschlossene Felder von willkürlichem Merkmal anwendbar waren. Ein modernes Unterfeld, das sich daraus entwickelt O-Minimalstrukturen.

Morleys Kategorizitätstheorem, bewiesen von Michael D. Morley,[41] Gibt an, dass wenn eine Theorie erster Ordnung in einer zählbaren Sprache in einer unzähligen Kardinalität kategorisch ist, d. H. Alle Modelle dieser Kardinalität sind isomorph, dann ist sie in allen unzähligen Kardinalitäten kategorisch.

Eine triviale Folge der Kontinuumshypothese ist, dass eine vollständige Theorie mit weniger als kontinuum viele nicht iisomorphe zählbare Modelle nur zäher haben können. Vaughs Vermutung, benannt nach Robert Lawson Vaught, sagt, dass dies sogar unabhängig von der Kontinuumshypothese wahr ist. Es wurden viele besondere Fälle dieser Vermutung festgelegt.

Rekursionstheorie

Hauptartikel: Rekursionstheorie

Rekursionstheorie, auch genannt Computerbarkeitstheorie, untersucht die Eigenschaften von berechnungsbare Funktionen und die Turing -Grad, die die unkomplizierten Funktionen in Sätze unterteilen, die das gleiche Niveau an Unkomputierbarkeit haben. Die Rekursionstheorie umfasst auch die Untersuchung der generalisierten Berechnung und Definition. Rekursionstheorie wuchs aus der Arbeit von Rózsa Péter, Alonzo -Kirche und Alan Turing in den 1930er Jahren, was stark von verlängert wurde durch Kleene und Post In den 1940er Jahren.[42]

Die klassische Rekursionstheorie konzentriert sich auf die Berechnung von Funktionen von den natürlichen Zahlen zu den natürlichen Zahlen. Die grundlegenden Ergebnisse liefern eine robuste, kanonische Klasse rechenbarer Funktionen mit zahlreichen unabhängigen, äquivalenten Charakterisierungen Turing -Maschinen, λ Calculusund andere Systeme. Fortgeschrittenere Ergebnisse betreffen die Struktur der Turing -Grad und die Gitter von rekursiv aufzählbare Sätze.

Die generalisierte Rekursionstheorie verlängert die Ideen der Rekursionstheorie auf Berechnungen, die nicht mehr unbedingt endlich sind. Es beinhaltet die Untersuchung der Berechnungsfähigkeit in höheren Typen sowie Bereiche wie z. Hyperarithmetische Theorie und α-Rezisionstheorie.

Die zeitgenössische Forschung in der Rekursionstheorie umfasst die Untersuchung von Anwendungen wie z. Algorithmische Zufälligkeit, berechnungsbare Modelltheorie, und Reverse Mathematicssowie neue Ergebnisse in der reinen Rekursionstheorie.

Algorithmisch unlösbare Probleme

Ein wichtiges Unterfeld der Rekursionstheorie untersucht algorithmische Unlöslichkeit; a Entscheidungsproblem oder Funktionsproblem ist Algorithmisch unlösbar Wenn es keinen möglichen berechnen Algorithmus gibt, der die richtige Antwort für alle rechtlichen Eingaben auf das Problem zurückgibt. Die ersten Ergebnisse zu Unlöslichkeit, die 1936 unabhängig von Kirche und Turing erzielt wurden, zeigten, dass die Entscheidungsproblem ist algorithmisch unlösbar. Turing bewies dies durch die Festlegung der Unlösbarkeit der Problem stoppen, ein Ergebnis mit weitreichenden Auswirkungen sowohl auf die Rekursionstheorie als auch auf die Informatik.

Es gibt viele Beispiele für unentscheidbare Probleme aus gewöhnlicher Mathematik. Das Wortproblem für Gruppen wurde algorithmisch unlösbar durch nachgewiesen Pyotr Novikov 1955 und unabhängig von W. Boone im Jahr 1959. Die Beschäftigter Biber Problem, entwickelt von Tibor Radó 1962 ist ein weiteres bekanntes Beispiel.

Hilberts zehnte Problem Nach einem Algorithmus gebeten, zu bestimmen, ob eine multivariate Polynomgleichung mit Ganzzahlkoeffizienten eine Lösung in den Ganzzahlen hat. Teilweise Fortschritte wurden von erzielt Julia Robinson, Martin Davis und Hilary Putnam. Die algorithmische Unlösbarkeit des Problems wurde durch bewiesen von Yuri Matiyasevich 1970.[43]

Beweistheorie und konstruktive Mathematik

Hauptartikel: Beweistheorie

Beweistheorie ist die Untersuchung formaler Beweise in verschiedenen logischen Abzugssystemen. Diese Beweise werden als formale mathematische Objekte dargestellt, was ihre Analyse durch mathematische Techniken erleichtert. Es werden allgemein mehrere Abzugssysteme berücksichtigt, einschließlich Abzugssysteme im Hilbert-Stil, Systeme von natürlicher Abzug, und die Sequent Calculus entwickelt von Gentzen.

Das Studium der Konstruktive MathematikIm Kontext der mathematischen Logik umfasst die Untersuchung von Systemen in nicht klassischer Logik wie intuitionistische Logik sowie die Untersuchung von prädikativ Systeme. Ein früher Befürworter des Prädiktivismus war Hermann Weyl, der zeigte, dass es möglich ist, einen großen Teil der realen Analyse mit nur prädiktativen Methoden zu entwickeln.[44]

Da Beweise völlig feinarisch sind, während die Wahrheit in einer Struktur nicht der Fall ist, ist es für die Arbeit in der konstruktiven Mathematik üblich, die Bekanntheit zu betonen. Der Zusammenhang zwischen Vorsicht in klassischen (oder nicht konstruktiven) Systemen und Proviertigkeit in intuitionistischen (oder konstruktiven) Systemen ist von besonderem Interesse. Ergebnisse wie die Gödel -Engen negative Übersetzung zeigen, dass es möglich ist, einzubetten (oder Übersetzen) Klassische Logik in intuitionistische Logik, sodass einige Eigenschaften über intuitionistische Beweise auf klassische Beweise zurückgeführt werden können.

Die jüngsten Entwicklungen in der Proof -Theorie umfassen die Studie von Proof -Bergbau durch Ulrich Kohlenbach und das Studium von Proof-theoretische Ordnungen Von Michael Rathjen.

Anwendungen

"Die mathematische Logik wurde erfolgreich nicht nur auf Mathematik und ihre Grundlagen angewendet (FundamenteG. Frege, B. Russell, D. Hilbert, P. Bernays, H. Scholz, R. Carnap, S. Lesniewski, T. Skolem), aber auch zur Physik (R. Carnap, A. Dittrich, B. Russell, C. E. Shannon, A. N. Whitehead, H. Reichenbach, P. fevrier), zur Biologie (J. H. Woodger, A. Tarski) zu Psychologie (F. B. Fitch, C. G. Hempel) zu Recht und Moral (K. Menger, U. Klug, P. Oppenheim), zu Wirtschaft (J. Neumann, O. Morgenstern) zu praktischen Fragen (E. C. Berkeley, E. Stamm) und sogar für die Metaphysik (J. Jan] Salamucha, H. Scholz, J. M. BOCHENSKI). Die Anwendungen für die Geschichte der Logik haben sich als äußerst fruchtbar erwiesen (J. LukaSiewicz, H. Scholz, B. Partner, A. Becker, E. Moody, J. Salamucha, K. Duerr, Z. Jordan, P. Boehner, J. M. Böchenski, S. [Stanislaw] T. Schayer, D. Ingalls). "[45] "Anwendungen wurden auch auf Theologie gestellt (F. Drewnowski, J. Salamucha, I. Thomas)."[45]

Verbindungen mit Informatik

Hauptartikel: Logik in der Informatik

Das Studium der Computerbarkeitstheorie in der Informatik hängt eng mit der Untersuchung der Berechnbarkeit in der mathematischen Logik zusammen. Es gibt jedoch einen Unterschied in der Betonung. Informatiker konzentrieren sich oft auf konkrete Programmiersprachen und Machbare BerechnbarkeitWährend sich Forscher in der mathematischen Logik häufig auf die Berechnung als theoretisches Konzept und auf Nichtkomputierbarkeit konzentrieren.

Die Theorie von Semantik der Programmiersprachen bezieht sich auf Modelltheorie, wie es ist Programmüberprüfung (im Speziellen, Modellprüfung). Das Curry -Howard -Korrespondenz zwischen Beweisen und Programmen bezieht sich auf Beweistheorie, besonders intuitionistische Logik. Formelle Kalkül wie die Lambda -Kalkül und Kombinationslogik werden jetzt als idealisiert untersucht Programmiersprachen.

Informatik trägt auch zur Mathematik bei, indem sie Techniken für die automatische Überprüfung oder sogar das Feststellen von Beweisen wie z. automatisierter Theorem beweisen und Logikprogrammierung.

Beschreibende Komplexitätstheorie bezieht Logics mit Rechenkomplexität. Das erste bedeutende Ergebnis in diesem Bereich, Fagins Theorem (1974) stellten das fest, dass Np ist genau die Gruppe von Sprachen, die durch existenzielle Sätze ausdrückt werden Logik zweiter Ordnung.

Grundlagen der Mathematik

Hauptartikel: Grundlagen der Mathematik

Im 19. Jahrhundert wurden Mathematiker auf logische Lücken und Inkonsistenzen auf ihrem Gebiet aufmerksam. Es wurde gezeigt, dass Euklid'S -Axiome für die Geometrie, die seit Jahrhunderten als Beispiel für die axiomatische Methode gelehrt worden waren, waren unvollständig. Die Verwendung von Infinitesimalsund die Definition von Funktion, stammte in der Analyse als pathologische Beispiele wie Weierstrass 'nirgendwodifferenzierbar Es wurden kontinuierliche Funktionen entdeckt.

Cantors Studie über willkürliche unendliche Sets zog auch Kritik an. Leopold Kronecker Bekanntlich erklärt "Gott hat die ganzen Zahlen gemacht; alles andere ist das Werk des Menschen", was eine Rückkehr zum Studium endlicher, konkreter Objekte in der Mathematik unterstützt. Obwohl Kroneckers Argument von Konstruktivisten im 20. Jahrhundert vorgebracht wurde, lehnte die mathematische Gemeinschaft als Ganzes ab. David Hilbert argumentierte für die Untersuchung des Unendlichen und sagte: "Niemand soll uns aus dem Paradies vertreiben, das Cantor geschaffen hat."

Mathematiker suchten nach Axiomsystemen, mit denen große Teile der Mathematik formalisiert werden konnten. Zusätzlich zur Beseitigung von Unklarheiten aus zuvor naiven Begriffen wie der Funktion wurde auch hoffen, dass diese Axiomatisierung Konsistenznachweise ermöglichen würde. Im 19. Jahrhundert bestand die Hauptmethode zum Nachweis der Konsistenz einer Reihe von Axiomen darin, ein Modell dafür bereitzustellen. So zum Beispiel, Nichteuklidische Geometrie kann durch Definition als konsistent erwiesen werden Punkt einen Punkt auf einer festen Kugel zu bedeuten und Linie zu bedeuten a schöner Kreis auf der Sphäre. Die resultierende Struktur, ein Modell von Elliptische Geometrieerfüllt die Axiome der Ebenengeometrie mit Ausnahme des parallelen Postulats.

Mit der Entwicklung der formalen Logik fragte Hilbert, ob es möglich sei, zu beweisen, dass ein Axiom -System durch die Analyse der Struktur möglicher Beweise im System konsistent ist und durch diese Analyse gezeigt wird, dass es unmöglich ist, einen Widerspruch nachzuweisen. Diese Idee führte zum Studium von Beweistheorie. Darüber hinaus schlug Hilbert vor, dass die Analyse unter Verwendung des Begriffs völlig konkret sein sollte fünzfindig sich auf die Methoden zu beziehen, die er zulassen würde, aber nicht genau definiert. Dieses Projekt, bekannt als Hilberts Programm, wurde ernsthaft von Gödels Unvollständigkeitsmenschen betroffen, die zeigen, dass die Konsistenz formaler Arithmetik -Theorien nicht mithilfe von Methoden festgestellt werden können, die in diesen Theorien formalisierbar sind. Gentzen zeigte, dass es möglich ist, einen Beweis für die Konsistenz der Arithmetik in einem mit Axiomen von verstärkten fünzfesten Systemen zu erstellen Transfinite Induktionund die Techniken, die er dafür entwickelte, waren in der Proof -Theorie bahnbrechend.

Ein zweiter Thread in der Geschichte der Grundlagen der Mathematik beinhaltet nicht klassische Logik und Konstruktive Mathematik. Das Studium der konstruktiven Mathematik umfasst viele verschiedene Programme mit verschiedenen Definitionen von konstruktiv. Am am besten zuvorkommenden Ende werden Beweise in der ZF -Set -Theorie, die das Axiom der Wahl nicht verwenden, von vielen Mathematikern als konstruktiv bezeichnet. Mehr begrenzte Versionen des Konstruktivismus beschränken sich auf natürliche Zahlen, zahlentheoretische Funktionen, und Sätze natürlicher Zahlen (mit deren reelle Zahlen die Untersuchung der Untersuchung erleichtert werden können Mathematische Analyse). Eine häufige Idee ist, dass ein konkretes Mittel zur Berechnung der Werte der Funktion bekannt sein muss, bevor die Funktion selbst existieren kann.

Anfang des 20. Jahrhunderts, LITZEN EGBERTUS JAN BROUWER Gegründet Intuitionismus Als ein teil von Philosophie der Mathematik . Diese zunächst schlecht verstandene Philosophie erklärte, dass diese Person in der Lage sein muss Intuit Die Aussage, nicht nur der Wahrheit zu glauben, sondern den Grund für ihre Wahrheit zu verstehen. Eine Folge dieser Definition der Wahrheit war die Ablehnung der Gesetz der ausgeschlossenen MitteDenn es gibt Aussagen, die laut Brouwer nicht als wahr behauptet werden konnten, während ihre Negationen auch nicht wahr geltend gemacht werden konnten. Brouwers Philosophie war einflussreich und die Ursache für bittere Streitigkeiten unter prominenten Mathematikern. Später untersuchten Kleene und Kreisel formalisierte Versionen der intuitionistischen Logik (Brouwer lehnte die Formalisierung ab und präsentierte seine Arbeit in unformalisierter natürlicher Sprache). Mit dem Aufkommen der BHK -Interpretation und Kripke -ModelleIntuitionismus wurde leichter zu versöhnen Klassische Mathematik.

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ Im Vorwort zur Erstausgabe von 1934 von "Grundlagen der Mathematik"(Hilbert & Bernays 1934), Schrieb Bernays Folgendes, was an die berühmte Notiz von erinnert Frege wenn er über Russells Paradoxon informiert ist.

    "Die Ausfühung Dieeses Vorhabens Hut ein Wesentliche Verzögerung Dadurch Erfahre, Daß im Einem Stadium, in dem Darstellung Schon Ihrem Abschuß Nahe Krieg, Die Erschine der Herbrand und Von Goliter Eine. Ein hätten Zur Aufgabe Machte. Dabei ist der Umfang des Buches Angewachsen, so daß ein Teilung in Zwei Bände Angezeigt Erschien. "

    Übersetzung:

    "Durch die Durchführung dieses Plans [von Hilbert für eine Ausstellung zur Beweistheorie für die mathematische Logik] hat eine wesentliche Verzögerung erlebt Aufgrund des Auftretens von Werken von Herbrand und Gödel, die die Berücksichtigung neuer Erkenntnisse erforderlich machten. So ist der Umfang dieses Buches gewachsen, so dass eine Spaltung in zwei Bände ratsam zu sein schien. "

    Hilbert war sich also sicherlich der Bedeutung von Gödels Arbeit bis 1934 bewusst. Der zweite Band von 1939 enthielt eine Form von Gentzens Konsistenzbeweis für die Arithmetik.
  2. ^ Eine detaillierte Untersuchung dieser Terminologie wird durch gegeben Soare 1996.
  3. ^ Ferreirós 2001 Untersucht den Aufstieg der Logik erster Ordnung gegenüber anderen formalen Logiken im frühen 20. Jahrhundert.

Verweise

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  26. ^ Siehe auch Cohen 2008.
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  39. ^ Woodin (2001).
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  42. ^ Soare (2011).
  43. ^ Davis (1973).
  44. ^ Weyl 1918.
  45. ^ a b Böchenski (1959), Sec. 0,3, p. 2.

Bachelortexte

Graduiertentexte

Forschungsarbeiten, Monographien, Texte und Umfragen

Klassische Papiere, Texte und Sammlungen

Böchenski, Jozef Maria, hrsg. (1959). Eine Präzision der mathematischen Logik. Synthese Library, Vol. 1. Übersetzt von Otto Bird. Dordrecht: Springer. doi:10.1007/978-94-017-0592-9. ISBN 9789048183296.

  • Burali-Forti, Cesare (1897). Eine Frage zu transfiniten Zahlen. Nachgedruckt Van Heijenoort 1976, S. 104–111

Cantor, Georg (1874). "Ueber Einerschaft des Inegriffes Aller Reellen Algebraischen Zahlen" (PDF). Journal für Die Reine und Angewandte Mathematik. 1874 (77): 258–262. doi:10.1515/crll.1874.77.258. S2CID 199545885. Carroll, Lewis (1896). Symbolische Logik. Kessinger Legacy Nachdrucke. ISBN 9781163444955.

Soare, Robert Irving (22. Dezember 2011). "Computerbarkeitstheorie und Anwendungen: Die Kunst der klassischen Berechnbarkeit" (PDF). Abteilung für Mathematik. Universität von Chicago. Abgerufen 23. August 2017. Swineshead, Richard (1498). Berechnung Suiseth Anglici (auf Litauisch). Papie: pro Franciscum gyrardergum.

Externe Links