Mathematische Induktion

Die mathematische Induktion kann informell durch Bezugnahme auf den sequentiellen Effekt von veranschaulicht werden fallende Dominosteine.[1][2]

Mathematische Induktion ist ein mathematisch nachweisen Technik. Es wird im Wesentlichen verwendet, um zu beweisen, dass eine Aussage P(n) galt für jeden natürliche Zahl n= 0, 1, 2, 3, ...; Das heißt, die Gesamtaussage ist eine Abfolge von unendlich vielen Fällen P(0), P(1), P(2), P(3), ... . Informelle Metaphern helfen dabei, diese Technik zu erklären, z. B. fallende Dominosteine ​​oder eine Leiter klettern:

Die mathematische Induktion beweist, dass wir so hoch wie auf einer Leiter klettern können, indem wir beweisen, dass wir auf die untere Strecke klettern können (die Basis) und das von jedem Sprossen können wir bis zum nächsten klettern (die Schritt).

-Betonmathematik, Seite 3 Margen.

A Beweis durch Induktion besteht aus zwei Fällen. Das erste, die, die Basisfall, beweist die Erklärung für n= 0 ohne Kenntnis anderer Fälle zu übernehmen. Der zweite Fall, der Induktionsschrittbeweist das wenn Die Erklärung gilt für einen bestimmten Fall n=k, dann Es muss auch für den nächsten Fall gelten n=k+1. Diese beiden Schritte belegen, dass die Aussage für jede natürliche Zahl gilt n. Der Basisfall beginnt nicht unbedingt mit n= 0, aber oft mit n= 1 und möglicherweise mit einer festen natürlichen Zahl n=Ndie Wahrheit der Aussage für alle natürlichen Zahlen festlegen nN.

Die Methode kann erweitert werden, um Aussagen zu allgemeineren Nachweisen zu beweisen begründet Strukturen wie z. Bäume; Diese Verallgemeinerung, bekannt als als strukturelle Induktion, wird in verwendet in Mathematische Logik und Informatik. Die mathematische Induktion in diesem erweiterten Sinne ist eng mit dem verwandt mit Rekursion. Mathematische Induktion ist eine Inferenzregel benutzt in formelle Beweiseund ist die Grundlage der meisten Richtigkeit Beweise für Computerprogramme.[3]

Obwohl sein Name etwas anderes vermuten lässt, sollte die mathematische Induktion nicht mit verwechselt werden Induktiver Argumentation wie in Philosophie (sehen Problem der Induktion). Die mathematische Methode untersucht unendlich viele Fälle, um eine allgemeine Aussage zu beweisen, dies jedoch durch eine endliche Kette von deduktive Argumentation mit dem Variable n, was unendlich viele Werte dauern kann.[4]

Geschichte

370 v. Chr., Plato's Parmenides Kann ein frühes Beispiel für einen impliziten induktiven Beweis enthalten haben.[5] Eine entgegengesetzte iterierte Technik, zählen Nieder eher als up, wird in der gefunden Sorites Paradox, wo argumentiert wurde, dass, wenn 1.000.000 Sandkörner einen Haufen bildeten und ein Korn von einem Haufen entfernen, einen Haufen hinterlassen hat, ein einzelner Sandkorn (oder sogar keine Körner) einen Haufen bildet.[6]

In Indien erscheinen frühe implizite Beweise durch mathematische Induktion in Bhaskara's "zyklische Methode",",[7] und in der Al-Fakhri geschrieben von Al-Karaji rund 1000 n. Chr., Wer es angewendet hat arithmetische Sequenzen um das zu beweisen Binomialsatz und Eigenschaften von Pascals Dreieck.[8][9]

Keiner dieser alten Mathematiker erklärte jedoch explizit die Induktionshypothese. Ein weiterer ähnlicher Fall (im Gegensatz zu dem, was Vacca geschrieben hat, wie Freudenthal sorgfältig zeigte)[10] war das von Francesco Maurolico in seinem Arithmeticorum Libri Duo (1575), der die Technik verwendete, um zu beweisen, dass die Summe der ersten n seltsam Ganzzahlen ist n2.

Der Frühste streng Die Verwendung von Induktion war durch Gersonides (1288–1344).[11][12] Die erste explizite Formulierung des Induktionsprinzips wurde gegeben durch Pascal in seinem Merkmale du Dreieck Arithmétique (1665). Ein anderer Franzose, Fermat, ausreichende Verwendung eines verwandten Prinzips: Indirekter Beweis durch unendliche Abstammung.

Die Induktionshypothese wurde auch von der Schweiz verwendet Jakob Bernoulliund von da an wurde es bekannt. Die moderne formale Behandlung des Prinzips kam nur im 19. Jahrhundert mit George Boole,[13] Augustus de Morgan, Charles Sanders Peirce,[14][15] Giuseppe Peano, und Richard Dedekind.[7]

Beschreibung

Die einfachste und häufigste Form der mathematischen Induktion färbt sich einer Aussage, die a beinhaltet natürliche Zahl n (Das heißt eine Ganzzahl n ≥ 0 oder 1) gilt für alle Werte von n. Der Beweis besteht aus zwei Schritten:

  1. Das Basisfall (oder Anfangsfall): Beweisen Sie, dass die Aussage für 0 oder 1 gilt.
  2. Das Induktionsschritt (oder Induktiver Schritt, oder Schrittfall): beweisen Sie das für jeden n, wenn die Aussage für die Aussage gilt ndann hält es für n+1. Mit anderen Worten, nehmen Sie an, dass die Aussage für eine willkürliche natürliche Zahl gilt nund beweisen, dass die Erklärung für n+1.

Die Hypothese im Induktionsschritt, dass die Aussage für eine bestimmte gilt n, heißt das Induktionshypothese oder Induktive Hypothese. Um den Induktionsschritt zu beweisen, nimmt man die Induktionshypothese für an n und verwendet dann diese Annahme, um zu beweisen, dass die Aussage für die Aussage gilt n+1.

Autoren, die es vorziehen, natürliche Zahlen zu definieren, um bei 0 zu beginnen, verwenden diesen Wert im Basisfall. Diejenigen, die natürliche Zahlen definieren, um bei 1 zu beginnen, verwenden diesen Wert.

Beispiele

Summe der aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen

Die mathematische Induktion kann verwendet werden, um die folgende Aussage zu beweisen P(n) für alle natürlichen Zahlen n.

Dies gibt eine allgemeine Formel für die Summe der natürlichen Zahlen an, die weniger oder gleich einer gegebenen Zahl sind; Tatsächlich eine unendliche Abfolge von Aussagen: , , , etc.

Vorschlag. Für jeden ,

Nachweisen. Lassen P(n) Seien Sie die Aussage Wir geben einen Beweis durch Induktion auf n.

Basisfall: Zeigen Sie, dass die Aussage für die kleinste natürliche Zahl gilt n = 0.

P(0) ist eindeutig wahr:

Induktionsschritt: Zeigen Sie das für jeden K ≥ 0, wenn P(k) galtet dann P(k+1) auch hält.

Nehmen Sie die Induktionshypothese an, dass für eine bestimmte k, der Einzelfall n = k hält, was bedeutet P(k) ist wahr:

Es folgt dem:

AlgebraischDie rechte Seite vereinfacht:

Gleichzeitig der extremen Seite der linken und rechten Hand und der rechten Hand und schließen Folgendes ab:

Das heißt die Aussage P(k+1) gilt auch und erstellt den Induktionsschritt.

Fazit: Da sowohl der Basisfall als auch der Induktionsschritt als wahr erwiesen wurden, durch mathematische Induktion die Aussage P(n) gilt für jede natürliche Zahl n.

Eine trigonometrische Ungleichheit

Induktion wird oft verwendet, um zu beweisen Ungleichheiten. Als Beispiel beweisen wir das für jeden reelle Zahl und natürliche Zahl .

Auf den ersten Blick mag es so aussehen, als ob eine allgemeinere Version, für jeden real Zahlen , könnte ohne Induktion bewiesen werden; aber der Fall zeigt, dass es für Nichttegerwerte von nicht falsch sein kann . Dies deutet darauf hin, dass wir die Aussage speziell für untersuchen natürlich Werte von und die Induktion ist das meldeste Werkzeug.

Vorschlag. Für jeden und , .

Nachweisen. Beheben Sie eine willkürliche reelle Nummer , und lass Sei die Aussage . Wir führen auf .

Basisfall: Die Berechnung überprüft .

Induktionsschritt: Wir zeigen die Implikation für jede natürliche Zahl . Nehmen Sie die Induktionshypothese an: Für einen bestimmten Wert , der Einzelfall ist wahr. Verwendung der Winkelzusatzformel und die Dreiecksungleichung, wir schließen:

Die Ungleichheit zwischen der extremen linken und rechten Mengen zeigt das ist wahr, was den Induktionschritt vervollständigt.

Fazit: Der Vorschlag gilt für alle natürlichen Zahlen . ∎

Varianten

In der Praxis sind die Beweise durch Induktion häufig unterschiedlich strukturiert, abhängig von der genauen Art der zu bewährten Eigenschaft. Alle Induktionsvarianten sind besondere Fälle von Transfinite Induktion; sehen unter.

Basisfall anders als 0 oder 1

Wenn man eine Erklärung beweisen möchte, nicht für alle natürlichen Zahlen, sondern nur für alle Zahlen n größer oder gleich einer bestimmten Zahl bund dann besteht der Beweis durch Induktion aus folgenden:

  1. Zeigen, dass die Aussage gilt, wenn n = b.
  2. Zeigt, dass die Erklärung für eine willkürliche Nummer gilt nbund dann gilt die gleiche Aussage auch für n+1.

Dies kann zum Beispiel verwendet werden, um das zu zeigen 2nn + 5 zum n ≥ 3.

Auf diese Weise kann man diese Aussage beweisen P(n) hält für alle n ≥ 1, oder sogar für alle n ≥ –5. Diese Form der mathematischen Induktion ist eigentlich ein Sonderfall der vorherigen Form. P(n) Dann entspricht das Beweisen mit diesen beiden Regeln mit dem Beweismittel P(n + b) Für alle natürlichen Zahlen n mit einem Induktionsbasisfall 0.[16]

Beispiel: Dollarbeträge nach Münzen bilden

Nehmen Sie eine unendliche Versorgung mit 4- und 5-Dollar-Münzen an. Die Induktion kann verwendet werden, um zu beweisen, dass eine ganze Menge von Dollar mehr als oder gleich gleich ist 12 kann durch eine Kombination solcher Münzen gebildet werden. Lassen S(k) bezeichnen die Aussage "k Dollar können durch eine Kombination aus 4- und 5-Dollar-Münzen gebildet werden. S(k) gilt für alle k ≥ 12 kann dann durch Induktion auf erreicht werden k folgendermaßen:

Basisfall: Zeigt das S(k) gilt für k = 12 ist einfach: Nehmen Sie drei 4-Dollar-Münzen.

Induktionsschritt: Angesichts dessen S(k) gilt für einen Wert von von k ≥ 12 (Induktionshypothese), Beweise das S(k+1) hält auch. Davon ausgehen S(k) gilt für einige willkürliche k ≥ 12. Wenn es eine Lösung für gibt k Dollar mit mindestens eine 4-Dollar-Münze, ersetzen Sie sie durch eine 5-Dollar-Münze, um sie zu machen k+1 Dollar. Ansonsten, wenn nur 5-Dollar-Münzen verwendet werden, k Muss ein Vielfaches von 5 sein und so mindestens 15; Aber dann können wir drei 5-Dollar-Münzen durch vier 4-Dollar-Münzen ersetzen, um sie zu machen k+1 Dollar. In jedem Fall, S(k+1) ist wahr.

Daher nach dem Prinzip der Induktion, S(k) hält für alle k ≥ 12und der Beweis ist abgeschlossen.

In diesem Beispiel zwar obwohl S(k) Geht auch für Der obige Beweis kann nicht so geändert werden, dass die Mindestmenge von 12 Dollar zu einem niedrigeren Wert m. Zum m = 11Der Basisfall ist tatsächlich falsch; zum m = 10Der zweite Fall im Induktionsschritt (der drei 5-mal vier 4-Dollar-Münzen ersetzt) ​​funktioniert nicht. geschweige denn für noch niedriger m.

Induktion auf mehr als einem Zähler

Es ist manchmal wünschenswert, eine Aussage mit zwei natürlichen Zahlen zu beweisen, n und mdurch Iterieren des Induktionsprozesses. Das heißt, man beweist einen Basisfall und einen Induktionsschritt für nund in jedem dieser beweist einen Basisfall und einen Induktionschritt für m. Siehe zum Beispiel die Beweis der Niveau Begleitet Zugabe natürlicher Zahlen. Es sind auch kompliziertere Argumente mit drei oder mehr Zähler möglich.

Unendliche Abstammung

Die Methode der unendlichen Abstammung ist eine Variation der mathematischen Induktion, die von verwendet wurde Pierre de Fermat. Es wird verwendet zu zeigen, dass eine Aussage Q(n) ist falsch für alle natürlichen Zahlen n. Seine traditionelle Form besteht darin, das zu zeigen, wenn Q(n) gilt für eine natürliche Zahl nEs gilt auch für eine streng kleinere natürliche Zahl m. Da es keine unendlich abnehmenden Sequenzen natürlicher Zahlen gibt, wäre diese Situation unmöglich, wodurch sich (im Widerspruch) das Q(n) kann nicht für irgendjemanden wahr sein n.

Die Gültigkeit dieser Methode kann aus dem üblichen Prinzip der mathematischen Induktion überprüft werden. Verwendung der mathematischen Induktion in der Erklärung P(n) definiert als "Q(m) ist falsch für alle natürlichen Zahlen m weniger als oder gleich n", es folgt dem P(n) hält für alle n, was bedeutet, dass Q(n) ist falsch für jede natürliche Zahl n.

Präfixinduktion

Die häufigste Form des Beweises durch mathematische Induktion erfordert den Nachweis im Induktionschritt, dass

Daraufhin das Induktionsprinzip "automatisiert" n Anwendungen dieses Schritts, um von P(0) zu P(n). Dies könnte als "Vorgängerinduktion" bezeichnet werden, da jeder Schritt etwas über eine Zahl von etwas über den Vorgänger dieser Zahl beweist.

Eine Variante von Interesse an Rechenkomplexität ist "Präfixinduktion", in der man die folgende Aussage im Induktionschritt beweist:

oder gleichwertig

Das Induktionsprinzip dann "automatisiert" Protokoll2n Anwendungen dieser Schlussfolgerung bei der Erlangung von P(0) zu P(n). Tatsächlich wird es als "Präfixinduktion" bezeichnet binäre Darstellung. Es kann auch als Anwendung der traditionellen Induktion auf die Länge dieser binären Darstellung angesehen werden.

Wenn die traditionelle Vorgängerinduktion als rechnerisch interpretiert wird n-Bep-Schleife, dann würde die Präfixinduktion einem Protokoll entsprechen.n-Bep -Schleife. Aus diesem Grund sind Beweise unter Verwendung der Präfixinduktion "machbarer konstruktiver" als Beweise unter Verwendung der Vorgängerinduktion.

Die Induktion der Vorgänger kann die Präfixinduktion in derselben Anweisung trivial simulieren. Die Präfix -Induktion kann die Induktion der Vorgänger simulieren, jedoch nur auf Kosten der Erklärung der Aussage syntaktisch komplexer (Hinzufügen a begrenzt Universeller Quantifizierer), also die interessanten Ergebnisse in Bezug auf die Präfix -Induktion zu Polynomzeit Die Berechnung hängt davon ab, uneingeschränkte Quantifizierer vollständig auszuschließen und die Wechsel der begrenzten Universal und der Wechsel zu begrenzen und existenziell Quantifizierer in der Aussage erlaubt.[17]

Man kann die Idee einen Schritt weiter gehen: Man muss beweisen

Daraufhin das Induktionsprinzip "automatisiert" Protokollprotokoll n Anwendungen dieser Schlussfolgerung bei der Erlangung von P(0) zu P(n). Diese Form der Induktion wurde analog verwendet, um die parallele Protokollzeit zu untersuchen.

Vollständige (starke) Induktion

Eine andere Variante, genannt vollständige Induktion, Wertungsverlauf Induktion oder starke Induktion (Im Gegensatz zu der Grundform der Induktion wird manchmal als bezeichnet als Schwache Induktion), die Induktionsschritt erleichtert die Verwendung einer stärkeren Hypothese: Man beweist die Aussage unter der Annahme, dass gilt für alle natürliche Zahlen weniger als ; Im Gegensatz dazu nimmt die Grundform nur an . Der Name "starke Induktion" bedeutet nicht, dass diese Methode mehr als "schwache Induktion" beweisen kann, sondern sich lediglich auf die stärkere Hypothese bezieht, die im Induktionschritt verwendet wird.

Tatsächlich kann gezeigt werden, dass die beiden Methoden tatsächlich äquivalent sind, wie unten erläutert. In dieser Form der vollständigen Induktion muss man noch den Basisfall beweisen, und es kann sogar notwendig sein, extra Base-Fälle wie nachzuweisen, wie z. Bevor das allgemeine Argument gilt, wie im folgenden Beispiel des Fibonacci -Nummer .

Obwohl das gerade beschriebene Form einen Basisfall nachweisen muss, ist dies unnötig, wenn man beweisen kann (Annahme für alle tiefer ) für alle . Dies ist ein Sonderfall von Transfinite Induktion Wie nachstehend beschrieben, ist es zwar nicht mehr der gewöhnlichen Induktion entspricht. In dieser Form wird der Basisfall durch den Fall subsumiert , wo wird mit keinem anderen bewiesen vermutet; Dieser Fall muss möglicherweise separat behandelt werden, aber manchmal gilt das gleiche Argument für und den Beweis einfacher und eleganter machen. Bei dieser Methode ist es jedoch wichtig sicherzustellen, dass der Beweis von nimmt das nicht implizit an , z.B. indem Sie sagen: "Wählen Sie ein willkürliches Wählen "oder durch Annahme, dass ein Satz von m Elemente hat ein Element.

Die vollständige Induktion entspricht der gewöhnlichen mathematischen Induktion wie oben beschrieben in dem Sinne, dass ein Beweis durch eine Methode von der anderen in einen Beweis umgewandelt werden kann. Angenommen, es gibt einen Beweis von durch vollständige Induktion. Lassen die Aussage sein " hält für alle so dass ". Dann hält für alle dann und nur dann, wenn hält für alle und unser Beweis von wird leicht in einen Beweis von verwandelt durch (gewöhnliche) Induktion. Wenn andererseits, Nach der gewöhnlichen Induktion wurde der Beweis bereits effektiv durch vollständige Induktion sein: wird im Basisfall unter Verwendung nicht von Annahmen beweisen, und wird im Induktionsschritt bewiesen, in dem man alle früheren Fälle annehmen kann, aber nur den Fall verwenden muss .

Beispiel: Fibonacci -Zahlen

Eine vollständige Induktion ist am nützlichsten, wenn für jeden Induktionschritt mehrere Fälle der induktiven Hypothese erforderlich sind. Zum Beispiel kann eine vollständige Induktion verwendet werden, um dies zu zeigen

wo ist der nth Fibonacci -Nummer, und (das Goldener Schnitt) und sind die Wurzeln des Polynom . Durch Verwendung der Tatsache, dass für jeden Die obige Identität kann durch direkte Berechnung für verifiziert werden Wenn man annimmt, dass es bereits für beide gilt und . Um den Beweis zu vervollständigen, muss die Identität in den beiden Basisfällen überprüft werden: und .

Beispiel: Primfaktorisierung

Ein weiterer Beweis durch vollständige Induktion verwendet die Hypothese, für die die Aussage gilt alle kleiner gründlicher. Betrachten Sie die Aussage, dass "jeder natürliche Zahl größer als 1 ist ein Produkt von (eine oder mehrere) Primzahlen", was das ist"Existenz" Teil von Grundsatz der Arithmetik. Um den Induktionsschritt zu beweisen, ist die Induktionshypothese die für eine gegebene Die Aussage gilt für alle kleineren . Wenn ist Prime, dann ist es sicherlich ein Produkt von Primzahlen, und wenn nicht, dann ist es per Definition ein Produkt: , wo keiner der Faktoren gleich 1 ist; Daher ist auch nicht gleich zu und so sind beide größer als 1 und kleiner als . Die Induktionshypothese gilt jetzt für und Also ist jeder ein Produkt von Primzahlen. Daher ist ein Produkt von Produkten von Primzahlen und damit ein Produkt von Primzahlen selbst.

Beispiel: Dollarbeträge überarbeitet

Wir werden versuchen, das gleiche Beispiel zu beweisen wie Obendiesmal mit starke Induktion. Die Aussage bleibt gleich:

Es wird jedoch geringfügige Unterschiede in der Struktur und die Annahmen des Beweises geben, beginnend mit dem erweiterten Basisfall.

Nachweisen.

Basisfall: Zeige, dass gilt für .

Der Basisfall gilt.

Induktionsschritt: Einige gegeben , davon ausgehen hält für alle mit . Beweise das hält.

Wählen und das beobachten zeigt, dass hält durch die induktive Hypothese. Das heißt, die Summe kann durch eine Kombination von gebildet werden und Dollarmünzen. Dann einfach a hinzufügen Dollarmünze zu dieser Kombination liefert die Summe . Das ist, hält. ∎

Vorwärts-Rückwärtsinduktion

Manchmal ist es bequemer, rückwärts abzuleiten und die Erklärung für zu beweisen Angesichts seiner Gültigkeit für . Nachweis der Gültigkeit der Aussage für keine einzige Zahl ausreicht, um den Basisfall festzulegen; Stattdessen muss man die Aussage für eine unendliche Untergruppe der natürlichen Zahlen nachweisen. Zum Beispiel, Augustin Louis Cauchy zuerst verwendet vorwärts (reguläre) Induktion, um die zu beweisenUngleichheit von arithmetischen und geometrischen Mitteln für alle Kräfte von 2und dann rückwärts Induktion verwendet, um es für alle natürlichen Zahlen zu zeigen.[18][19]

Beispiel für einen Fehler im Induktionsschritt

Der Induktionsschritt muss für alle Werte von nachgewiesen werden n. Um dies zu veranschaulichen, schlug Joel E. Cohen das folgende Argument vor, das vorgibt, durch mathematische Induktion das zu beweisen Alle Pferde haben die gleiche Farbe:[20]

Basisfall: in nur einer Reihe von nur eines Pferd, es gibt nur eine Farbe.

Induktionsschritt: als Induktionshypothese annehmen, dass innerhalb eines jeden Satzes von Pferde, es gibt nur eine Farbe. Schauen Sie sich nun einen Satz an Pferde. Nummer sie: . Betrachten Sie die Sets und . Jedes ist nur ein Satz von nur Pferde, daher gibt es nur eine Farbe. Aber die beiden Sätze überlappen sich, daher muss es nur eine Farbe unter allen geben Pferde.

Der Basisfall ist trivial (da jedes Pferd die gleiche Farbe wie sich selbst ist), und der Induktionsschritt ist in allen Fällen korrekt . Die Logik des Induktionsschritts ist jedoch falsch für , wegen der Aussage, dass "die beiden Sätze überlappen" falsch (es gibt nur Pferde vor der Entfernung und nach der Entfernung überlappen sich die Sätze eines Pferdes nicht).

Formalisierung

Im Logik zweiter Ordnung, man kann das aufschreiben "Axiom der Induktion "wie folgt:

,

wo P(.) Ist eine Variable für Prädikate, die eine natürliche Zahl betreffen und k und n sind Variablen für natürliche Zahlen.

In Worten der Basisfall P(0) und der Induktionsschritt (nämlich die Induktionshypothese P(k) impliziert P(k+1)) implizieren zusammen das P(n) für jede natürliche Zahl n. Das Axiom der Induktion behauptet die Gültigkeit des Schlusss, dass P(n) gilt für jede natürliche Zahl n Aus dem Basisfall und dem Induktionschritt.

Der erste Quantifizierer im Axiom reicht über Prädikate eher als über individuelle Zahlen. Dies ist ein Quantifizierer zweiter Ordnung, was bedeutet, dass dieses Axiom in angegeben wird Logik zweiter Ordnung. Axiomatisierende arithmetische Induktion in Logik erster Ordnung erfordert eine Axiomschema enthält ein separates Axiom für jedes mögliche Prädikat. Der Artikel Peano -Axiome Enthält weitere Diskussionen dieses Problems.

Das Axiom der strukturellen Induktion für die natürlichen Zahlen wurde zuerst von Peano formuliert, der es verwendete, um die natürlichen Zahlen zusammen mit den folgenden vier weiteren Axiomen anzugeben:

  1. 0 ist eine natürliche Zahl.
  2. Die Nachfolgerfunktion s jeder natürlichen Zahl ergibt eine natürliche Zahl (s(x) = x + 1).
  3. Die Nachfolgerfunktion ist injektiv.
  4. 0 ist nicht in der Angebot von s.

Im erste Bestellung ZFC SET -TheorieDie Quantifizierung über Prädikate ist nicht zulässig, aber man kann die Induktion durch Quantifizierung über Sätze ausdrücken:

A kann als Set gelesen werden, das einen Satz darstellt und natürliche Zahlen enthält, für die der Satz gilt. Dies ist kein Axiom, sondern ein Theorem, da natürliche Zahlen in der Sprache der ZFC -Set -Theorie durch Axiome definiert sind, die zu Peanos analog sind.

Transfinite Induktion

Eine Variation des Prinzips der vollständigen Induktion kann für Aussagen zu Elementen einer beliebten Verallgemeinerung verallgemeinert werden Begründete Set, das heißt, ein Set mit einem Irreflexive Beziehung < that contains no unendliche absteigende Ketten. Jeder Satz, der eine darstellt Ordinalzahl ist begründet, die natürliche Zahlen ist einer von ihnen.

Auf eine begründete Menge angewendet, kann die transfinite Induktion als einzelner Schritt formuliert werden. Um zu beweisen, dass eine Aussage P(n) gilt für jede Ordnungszahl:

  1. Zeigen Sie für jede Ordnungszahl anzeigen n, dass wenn P(m) hält für alle m < n, dann P(n) auch hält.

Diese Form der Induktion, wenn sie auf eine Reihe von Ordnungsnummern angewendet wird (welche bildet a geordnet und daher begründet Klasse), wird genannt Transfinite Induktion. Es ist eine wichtige Beweistechnik in Mengenlehre, Topologie und andere Felder.

Beweise durch transfinite Induktion unterscheiden typischerweise drei Fälle:

  1. Wenn n ist ein minimales Element, d. H. Es gibt kein Element kleiner als n;
  2. Wenn n hat einen direkten Vorgänger, d. H. Die Menge von Elementen, die kleiner als n hat ein größtes Element;
  3. Wenn n hat keinen direkten Vorgänger, d.h. n ist ein sogenannter Ordinal begrenzen.

Streng genommen ist es bei der transfiniten Induktion nicht erforderlich, einen Basisfall zu beweisen, da es a ist leer Sonderfall des Vorschlags, dass wenn P gilt für alle n < m, dann P ist wahr von m. Es ist leerlierig, gerade weil es keine Werte gibt n < m Das könnte als Gegenbeispiele dienen. Die Sonderfälle sind also Sonderfälle des allgemeinen Falles.

Beziehung zum gut ordnungsgemäßen Prinzip

Das Prinzip der mathematischen Induktion wird normalerweise als als angegeben Axiom der natürlichen Zahlen; sehen Peano -Axiome. Es ist streng stärker als die Gutes Prinzip im Kontext der anderen Peano -Axiome. Nehmen wir an: Folgendes:

  • Das Trichotomie Axiom: Für alle natürlichen Zahlen n und m, n ist kleiner als oder gleich zu m dann und nur dann, wenn m ist nicht weniger als n.
  • Für jede natürliche Zahl n, n+1 ist besser als n.
  • Für jede natürliche Zahl n, keine natürliche Zahl ist zwischen n und n+1.
  • Keine natürliche Zahl ist weniger als Null.

Es kann dann bewiesen werden, dass die Induktion angesichts der oben aufgeführten Axiome das gut ordnungsgezogene Prinzip impliziert. Der folgende Beweis verwendet eine vollständige Induktion sowie die ersten und vierten Axiome.

Nachweisen. Angenommen, es gibt a nicht leer einstellen, S, von natürlichen Zahlen, die kein geringste Element haben. Lassen P(n) Sei die Behauptung, dass n ist nicht in S. Dann P(0) ist wahr, denn wenn es falsch war, dann ist 0 das geringste Element von S. Außerdem lassen Sie n eine natürliche Zahl sein und annehmen P(m) gilt für alle natürlichen Zahlen m weniger als n+1. Dann wenn P(n+1) ist falsch n+1 ist in S, damit ein minimales Element in sein S, ein Widerspruch. Daher P(n+1) ist wahr. Daher nach dem vollständigen Induktionsprinzip, P(n) gilt für alle natürlichen Zahlen n; Also S ist leer, ein Widerspruch. ∎

"Zahlenlinie"Für das Set {(0, n): n}{(1, n): n}. Zahlen beziehen sich auf die zweite Komponente von Paaren; Der erste kann aus Farbe oder Position erhalten werden.

Andererseits das Set , im Bild gezeigt, ist gut geordnet[21]: 35lf bis zum Lexikografische Ordnung. Darüber hinaus erfüllt es mit Ausnahme des Induktions -Axiom Nachfolger Funktion wird auf Paaren definiert von Succ (x, n) = ((x, n+1) für alle und . Als Beispiel für die Verletzung des Induktions -Axioms definieren Sie das Prädikat P(x, n) wie (x, n) = (0, 0) oder (x, n) = SUCK (y, m) für einige und . Dann der Basisfall P(0, 0) ist trivial wahr, ebenso wie der Induktionsschritt: wenn P(x, n), dann P(Succ (Succ (x, n)). Jedoch, P gilt nicht für alle Paare im Set.

Peanos Axiome mit dem Induktionsprinzip modellieren die natürlichen Zahlen eindeutig. Das Ersetzen des Induktionsprinzips durch das gut ordnungsgemäße Prinzip ermöglicht exotischere Modelle, die alle Axiome erfüllen.[21]

Es wird fälschlicherweise in mehreren Büchern gedruckt[21] und Quellen, dass das gut ordnungsgezogene Prinzip dem Induktions-Axiom entspricht. Im Kontext der anderen Peano -Axiome ist dies nicht der Fall, sondern im Kontext anderer Axiome sind sie gleichwertig;[21] Insbesondere impliziert das gut ordnungsgemäße Prinzip das Induktions-Axiom im Kontext der ersten beiden oben aufgeführten Axiome und

  • Jede natürliche Zahl ist entweder 0 oder n+1 für eine natürliche Zahl n.

Ein häufiger Fehler in vielen fehlerhaften Beweisen besteht darin, das anzunehmen, das n- 1 ist eine einzigartige und gut definierte natürliche Zahl, eine Eigenschaft, die nicht von den anderen Peano-Axiomen impliziert wird.[21]

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ Matt Devos, Mathematische Induktion, Simon Fraser Universität
  2. ^ Gerardo con diaz, Mathematische Induktion Archiviert 2. Mai 2013 bei der Wayback -Maschine, Harvard Universität
  3. ^ Anderson, Robert B. (1979). Programmprogramme korrekt. New York: John Wiley & Sons. p.1. ISBN 978-0471033950.
  4. ^ Suber, Peter. "Mathematische Induktion". Earlham College. Abgerufen 26. März 2011.
  5. ^ Acerbi 2000.
  6. ^ Hyde & Raffman 2018.
  7. ^ a b Cajori (1918), p. 197: 'Der Argumentationsprozess namens "mathematische Induktion" hat mehrere unabhängige Ursprünge gehabt. Es wurde auf den Schweizer Jakob (James) Bernoulli, den Franzose B. Pascal und P. Fermat und den italienischen F. Maurolycus zurückgeführt. [...] Wenn man ein wenig zwischen den Zeilen liest, kann man Spuren der mathematischen Induktion noch früher in den Schriften der Hindus und der Griechen wie beispielsweise in der "zyklischen Methode" von Bhaskara und in Euklids Beweis finden dass die Anzahl der Primzahlen unendlich ist. '
  8. ^ Rashed 1994, S. 62–84.
  9. ^ Mathematisches Wissen und das Zusammenspiel von Praktiken "Der früheste implizite Beweis durch mathematische Induktion wurde in einer Arbeit des persischen Mathematikers al-Karaji rund 1000 gegeben."
  10. ^ Rashed 1994, p. 62.
  11. ^ Simonson 2000.
  12. ^ Rabinovitch 1970.
  13. ^ "Es ist manchmal erforderlich, einen Satz zu beweisen, der bei einer bestimmten Menge wahr sein muss n Was es beinhaltet, muss eine Ganzzahl oder eine ganze Zahl sein, und die Beweismethode ist normalerweise von der folgenden Art. 1. Der Satz wird als wahr erwiesen, wennn= 1. 2.. Es ist bewiesen, dass, wenn der Satz wahr ist, wenn n ist eine bestimmte ganze Zahl, es wird wahr sein, wenn n ist die nächste größere Ganzzahl. Daher ist der Satz allgemein wahr. … Diese Argumentation kann als Fortsetzung bezeichnet werden Soriten"(Boole c. 1849 Elementarabhandlung über Logik nicht mathematisch S. 40–41 Nachdruck in Grattan-Guinness, Ivor und Bornet, Gérard (1997), George Boole: Ausgewählte Manuskripte über Logik und seine Philosophie, Birkhäuser Verlag, Berlin, ISBN3-7643-5456-9)
  14. ^ Peirce 1881.
  15. ^ Shields 1997.
  16. ^ Ted Sundstrom, Mathematische Begründung, p. 190, Pearson, 2006, ISBN978-0131877184
  17. ^ Buss, Samuel (1986). Begrenzte Arithmetik. Naples: Bibliopolis.
  18. ^ "Vorwärts-Rückwärtsinduktion | Brilliantes Mathematik & Naturwissenschaft Wiki". Brilliant.org. Abgerufen 23. Oktober 2019.
  19. ^ Cauchy, Augustin-Louis (1821). Kurse d'Alalyze de l'École Royale Polytechnique, Première Partie, Analyze Algébrique, Archiviert 14. Oktober 2017 bei der Wayback -Maschine Paris. Der Beweis für die Ungleichheit von arithmetischen und geometrischen Mitteln findet sich auf den Seiten 457ff.
  20. ^ Cohen, Joel E. (1961). "Über die Natur des mathematischen Beweises". Opus.. Nachgedruckt Ein zufälliger Wanderwand in der Wissenschaft (R. L. Weber, Hrsg.), Crane, Russak & Co., 1973.
  21. ^ a b c d e Öhman, Lars -Daniel (6. Mai 2019). "Sind Induktions- und gut ordnungsgemäße Äquivalent?". Die mathematische Intelligenz. 41 (3): 33–40. doi:10.1007/s00283-019-09898-4.

Verweise

Einführung

Geschichte