Mathematical economics

Mathematical economics ist die Anwendung von mathematisch Methoden zur Darstellung von Theorien und Analyse von Problemen in Wirtschaft. Oft diese Angewandte Methoden sind jenseits der einfachen Geometrie und können differentiell und integriert sein Infinitesimalrechnung, Unterschied und Differentialgleichung, Matrixalgebra, Mathematische Programmierung, oder andere Rechenmethoden.^[1][2] Befürworter dieses Ansatzes behaupten, dass er die Formulierung theoretischer Beziehungen mit Strenge, Allgemeinheit und Einfachheit ermöglicht.^[3]

Mathematik ermöglicht es Ökonomen, aussagekräftige, überprüfbare Aussagen zu weitreichenden und komplexen Probanden zu bilden, die weniger leicht informell ausgedrückt werden könnten. Darüber hinaus ermöglicht die Sprache der Mathematik Ökonomen, spezifisch zu machen, positiv Behauptungen über kontroverse oder umstrittene Themen, die ohne Mathematik unmöglich wären.^[4] Ein Großteil der Wirtschaftstheorie wird derzeit in Mathematik vorgestellt Wirtschaftsmodelle, eine Reihe von stilisierten und vereinfachten mathematischen Beziehungen, die zur Klärung von Annahmen und Auswirkungen geltend gemacht werden.^[5]

Zu den breiten Anwendungen gehören:

• Optimierung Probleme in Bezug auf das Zielgleichgewicht, ob eines Haushalts, einer Unternehmensfirma oder eines politischen Herstellers
• statisch (oder Gleichgewicht) Analyse, bei der die Wirtschaftseinheit (wie ein Haushalt) oder ein Wirtschaftssystem (wie ein Markt oder der Wirtschaft) wird modelliert als nicht verändert
• Vergleichende Statistiken In Bezug auf eine Änderung von einem Gleichgewicht zum anderen durch eine Änderung eines oder mehrere Faktoren induziert
• dynamisch Analyse, Veränderungen in einem Wirtschaftssystem im Laufe der Zeit zum Beispiel von Wirtschaftswachstum.^[2][6][7]

Die formale Wirtschaftsmodellierung begann im 19. Jahrhundert mit dem Einsatz von Differentialrechnung wirtschaftliches Verhalten darzustellen und zu erklären, wie z. Dienstprogramm Maximierung, eine frühe wirtschaftliche Anwendung von Mathematische Optimierung. Die Wirtschaft wurde in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts als Disziplin mathematischer Zweiter Weltkrieg, wie in Spieltheoriewürde den Einsatz mathematischer Formulierungen in Wirtschaftswissenschaften erheblich erweitern.^[8][7]

Diese schnelle Systematisierung von Wirtschaft alarmierte Kritiker der Disziplin sowie einige bekannte Ökonomen. John Maynard Keynes, Robert Heilbroner, Friedrich Hayek und andere haben den breiten Einsatz mathematischer Modelle für menschliches Verhalten kritisiert und argumentieren, dass einige menschliche Entscheidungen für die Mathematik nicht reduzierbar sind.

Geschichte

Der Einsatz von Mathematik im Dienst der sozialen und wirtschaftlichen Analyse ergibt sich aus dem 17. Jahrhundert. Dann hauptsächlich in Deutsch Universitäten, ein Unterrichtsstil, der sich speziell mit einer detaillierten Darstellung von Daten im Zusammenhang mit der öffentlichen Verwaltung befasste. Gottfried Achenwall auf diese Weise unterrichtet, den Begriff präsentiert Statistiken. Gleichzeitig richtete eine kleine Gruppe von Professoren in England eine Methode des "Denkens durch Zahlen zu Dingen in Bezug auf die Regierung" fest und bezeichnete diese Praxis als Politisches Arithmetick.^[9] Sir William Petty schrieb ausführlich über Fragen, die später Ökonomen wie Besteuerung betreffen würden. Geldgeschwindigkeit und NationaleinkommenAber während seine Analyse numerisch war, lehnte er abstrakte mathematische Methodik ab. Pettys Verwendung detaillierter numerischer Daten (zusammen mit John Graunt) würde Statistiker und Ökonomen für einige Zeit beeinflussen, obwohl Pettys Werke von englischen Gelehrten weitgehend ignoriert wurden.^[10]

Die Mathematisierung der Wirtschaft begann im 19. Jahrhundert ernsthaft. Der größte Teil der wirtschaftlichen Analyse der Zeit war das, was später genannt werden würde klassische Ökonomie. Die Probanden wurden diskutiert und abgegeben algebraisch Mittel, aber Kalkül wurde nicht verwendet. Noch wichtiger ist, bis Johann Heinrich von Thünen's Der isolierte Zustand Im Jahr 1826 entwickelten Ökonomen keine expliziten und abstrakten Modelle für Verhaltensmodelle, um die Werkzeuge der Mathematik anzuwenden. Thünens Modell der Verwendung von Ackerland stellt das erste Beispiel für die Randanalyse dar.^[11] Thünens Arbeit war weitgehend theoretisch, aber er setzte auch empirische Daten ab, um zu versuchen, seine Verallgemeinerungen zu unterstützen. Im Vergleich zu seinen Zeitgenossen baute Thünen Wirtschaftsmodelle und -instrumente auf, anstatt frühere Instrumente auf neue Probleme anzuwenden.^[12]

Inzwischen eine neue Kohorte von Wissenschaftlern, die in den mathematischen Methoden der ausgebildet sind Physikalische Wissenschaften für die Wirtschaft graviert, diese Methoden befürwortet und angewendet auf ihr Thema,^[13] und heute als bewegen von Geometrie zu beschrieben Mechanik.^[14] Diese enthielten W.S. Jevons der 1862 Papier über eine "allgemeine mathematische Theorie der politischen Ökonomie" präsentierte, die einen Überblick über die Verwendung der Theorie von lieferte Grenznutzen in der politischen Ökonomie.^[15] Im Jahr 1871 veröffentlichte er Die Prinzipien der politischen Ökonomieund erklärt, dass das Thema als Wissenschaft "mathematisch sein muss, einfach weil es sich mit Mengen befasst". Jevons erwartete, dass nur die Sammlung von Statistiken für Preis und Mengen es dem Thema ermöglichen würde, eine genaue Wissenschaft zu werden.^[16] Andere gingen und folgten bei der Ausweitung der mathematischen Darstellungen von Wirtschaft Probleme.^[17]

Marginalisten und die Wurzeln der neoklassizistischen Ökonomie

Augustin Cournot und Léon Walras baute die Werkzeuge der Disziplin axiomatisch in Bezug auf den Nutzen und argumentiert, dass Einzelpersonen versuchen, ihre Nützlichkeit über die Auswahl hinweg auf eine Weise zu maximieren, die mathematisch beschrieben werden könnte.^[18] Zu dieser Zeit wurde angenommen, dass der Nutzen in Einheiten, die als bekannt sind, quantifizierbar war Utils.^[19] Cournot, Walras und Francis Ysidro Edgeworth werden als Vorläufer der modernen mathematischen Ökonomie angesehen.^[20]

Augustin Cournot

Cournot, Professor für Mathematik, entwickelte 1838 eine mathematische Behandlung für Duopol- Eine Marktbedingung, die durch den Wettbewerb zwischen zwei Verkäufern definiert ist.^[20] Diese Behandlung des Wettbewerbs, erstmals veröffentlicht in Forschung zu den mathematischen Prinzipien des Wohlstands,^[21] wird bezeichnet als Cournot -Duopol. Es wird angenommen, dass beide Verkäufer den gleichen Zugang zum Markt hatten und ihre Waren ohne Kosten produzieren könnten. Darüber hinaus wurde angenommen, dass beide Waren homogen waren. Jeder Verkäufer würde seine Leistung basierend auf der Ausgabe des anderen variieren und der Marktpreis würde durch die gelieferte Gesamtmenge bestimmt. Der Gewinn für jedes Unternehmen würde durch Multiplizieren seiner Ausgabe und der pro Einheit bestimmt Marktpreis. Die Differenzierung der Gewinnfunktion in Bezug auf die für jedes Unternehmen gelieferte Menge hinterließ ein System linearer Gleichungen, dessen gleichzeitige Lösung die Gleichgewichtsmenge, den Preis und die Gewinne ergab.^[22] Cournots Beiträge zur Mathematisierung der Ökonomie würden jahrzehntelang vernachlässigt, beeinflussten jedoch schließlich viele der der Marginalisten.^[22][23] Cournots Duopolmodelle und Oligopol repräsentieren auch eine der ersten Formulierungen von Nicht kooperative Spiele. Heute kann die Lösung als gegeben werden Nash -Gleichgewicht Aber Cournots Arbeit ging modernem voraus Spieltheorie Mit über 100 Jahren.^[24]

Léon Walras

Während Cournot eine Lösung für das, was später als teilweise Gleichgewicht bezeichnet werden sollte Allgemeines Wettbewerbsgleichgewicht. Das Verhalten eines jeden wirtschaftlichen Akteurs wird sowohl auf der Produktion als auch auf der Verbrauchseite berücksichtigt. Walras präsentierte ursprünglich vier separate Austauschmodelle, die jeweils rekursiv im nächsten enthalten sind. Die Lösung des resultierenden Gleichungssystems (sowohl linear als auch nichtlinear) ist das allgemeine Gleichgewicht.^[25] Zu dieser Zeit konnte keine allgemeine Lösung für ein System von willkürlich vielen Gleichungen ausgedrückt werden, aber Walras 'Versuche führten zu zwei berühmten Ergebnissen in der Wirtschaft. Das erste ist Walras 'Gesetz und das zweite ist das Prinzip von Tâtonnement. Walras 'Methode wurde für die Zeit als sehr mathematisch angesehen, und Edgeworth kommentierte ausführlich zu dieser Tatsache in seiner Rezension von Éléments d'économie Politique rein (Elemente der reinen Wirtschaft).^[26]

Walras 'Gesetz wurde als theoretische Antwort auf das Problem der Bestimmung der Lösungen im allgemeinen Gleichgewicht eingeführt. Seine Notation unterscheidet sich von der modernen Notation, kann aber mit modernerer Summierungsnotation konstruiert werden. Walras ging davon aus, dass im Gleichgewicht das gesamte Geld für alle Waren ausgegeben würde: Jedes Gut würde zum Marktpreis für diesen Wohl verkauft und jeder Käufer würde seinen letzten Dollar für einen Warenkorb ausgeben. Ausgehend von dieser Annahme könnte Walras dann nachweisen, dass der N-te Markt, wenn es N-Märkte und N-1-Märkte gäbe (erreichte Gleichgewichtsbedingungen). Dies ist am einfachsten mit zwei Märkten (in den meisten Texten als Markt für Waren und Markt für Geld) zu visualisieren. Wenn einer von zwei Märkten einen Gleichgewichtszustand erreicht hat, können oder umgekehrt Geld keine zusätzlichen Waren (oder umgekehrt Geld) in den zweiten Markt eintreten oder verlassen, sodass er sich auch in einem Gleichgewichtszustand befinden muss. Walras nutzte diese Aussage, um einen Nachweis der Existenz von Lösungen für das allgemeine Gleichgewicht zu beantragen, aber sie wird heute üblicherweise verwendet, um die Marktlöschung auf den Geldmärkten auf Bachelor -Ebene zu veranschaulichen.^[27]

Tâtonnement (grob, französisch für tupfen in Richtung) sollte als praktischer Ausdruck des allgemeinen Gleichgewichts von Walrasian dienen. Walras hat den Markt als Auktion von Waren abstrahiert, bei dem der Auktionator die Preise und die Marktteilnehmer warten würde, bis sie ihre persönlichen Reservierungspreise für die gewünschte Menge befriedigen könnten (erinnert sich hier, dass dies eine Auktion auf ist alle Waren, also hat jeder einen Reservierungspreis für seinen gewünschten Warenkorb).^[28]

Nur wenn alle Käufer mit dem angegebenen Marktpreis zufrieden sind. Der Markt würde zu diesem Preis "klar" - es würde kein Überschuss oder kein Mangel bestehen. Das Wort Tâtonnement wird verwendet, um die Anweisungen des Marktes zu beschreiben tupfen in Richtung Gleichgewicht, hohe oder niedrige Preise für verschiedene Waren, bis ein Preis für alle Waren vereinbart wird. Während der Prozess dynamisch erscheint, präsentierten Walras nur ein statisches Modell, da keine Transaktionen auftreten würden, bis alle Märkte im Gleichgewicht waren. In der Praxis arbeiten nur sehr wenige Märkte auf diese Weise.^[29]

Francis Ysidro Edgeworth

Edgeworth führte mathematische Elemente in die Wirtschaft ein explizit in der Wirtschaft ein Mathematische Hellseher: Ein Aufsatz über die Anwendung der Mathematik auf die Moralwissenschaften, veröffentlicht 1881.^[30] Er adoptierte Jeremy Bentham's Felicific Calculus zu wirtschaftlichem Verhalten, damit das Ergebnis jeder Entscheidung in eine Veränderung des Nutzens umgewandelt wird.^[31] Unter Verwendung dieser Annahme hat Edgeworth ein Austauschmodell für drei Annahmen erstellt: Einzelpersonen sind selbstinteressiert, Einzelpersonen handeln, um den Nutzen zu maximieren, und Einzelpersonen können "frei mit einer anderen unabhängig von ... jedem Dritten neu vergeben".^[32]

Bei zwei Personen wird der Satz von Lösungen, bei denen beide Individuen den Nutzen maximieren können, von der beschrieben Vertragskurve auf dem, was jetzt als bekannt ist Edgeworth Box. Technisch gesehen wurde die Konstruktion der Zwei-Personen-Lösung für Edgeworths Problem erst 1924 von 1924 von entwickelt Arthur Lyon Bowley.^[34] Die Vertragskurve der Edgeworth -Box (oder allgemeiner auf jeder Reihe von Lösungen für Edgeworths Problem für mehr Akteure) wird als die bezeichnet Ader einer Wirtschaft.^[35]

Edgeworth legte beträchtliche Anstrengungen auf, darauf zu bestehen, dass mathematische Beweise für alle Denkschulen in Wirtschaftswissenschaften geeignet waren. Während der Spitze von Das Economic JournalEr veröffentlichte mehrere Artikel, in denen er die mathematische Genauigkeit von konkurrierenden Forschern kritisierte, einschließlich Edwin Robert Anderson Seligman, ein bekannter Skeptiker der mathematischen Ökonomie.^[36] Die Artikel konzentrierten sich auf ein Hin und Her Steuerinzidenz und Antworten von Produzenten. Edgeworth bemerkte, dass ein Monopol, das ein Gutes erzeugt hat, das die Versorgung, aber nicht die Nachfrage der Nachfrage hatte (wie First Class und Economy in einem Flugzeug, wenn das Flugzeug fliegt, möglicherweise den von dem gesehenen Preis senken könnte Verbraucher für eine der beiden Waren, wenn eine Steuer angewendet wurde. Der gesunde Menschenverstand und eine traditionellere numerische Analyse schienen darauf hinzudeuten, dass dies absurd war. Seligman bestand darauf, dass die Ergebnisse, die Edgeworth erzielte, eine Eigenart seiner mathematischen Formulierung waren. Er schlug vor, dass die Annahme einer kontinuierlichen Nachfragefunktion und einer infinitesimalen Änderung der Steuer zu den paradoxen Vorhersagen führte. Harold Hotelling Später zeigten, dass Edgeworth korrekt war und dass das gleiche Ergebnis (eine "Preissenkung infolge der Steuer") mit einer diskontinuierlichen Nachfragefunktion und großen Änderungen des Steuersatzes auftreten könnte.^[37]

Moderne mathematische Ökonomie

Aus den späteren 1930er Jahren, eine Reihe neuer mathematischer Werkzeuge aus Differentialkalkül und Differentialgleichungen, konvexe Sets, und Graphentheorie wurden eingesetzt, um die Wirtschaftstheorie in ähnlicher Weise wie neue mathematische Methoden zu fördern, die früher für die Physik angewendet wurden.^[8][38] Der Prozess wurde später als bewegen Mechanik zu Axiomatik.^[39]

Differentialrechnung

Vilfredo Pareto analysiert Mikroökonomie Durch die Behandlung von Entscheidungen wirtschaftlicher Akteure als Versuche, eine bestimmte Zuteilung von Waren auf eine andere, bevorzugte Zuteilung zu ändern. Zuordnungssätze könnten dann als behandelt werden Pareto effizient (Pareto Optimal ist ein äquivalenter Term) Wenn keine Börsen zwischen Akteuren auftreten könnten, die mindestens eine Person besser drehen könnten, ohne dass ein anderer Individuum schlechter wird.^[40] Paretos Beweis wird üblicherweise mit einem walriassianischen Gleichgewicht verbunden oder informell zugeschrieben Adam Smith's Unsichtbare Hand Hypothese.^[41] Vielmehr war Paretos Aussage die erste formelle Behauptung dessen, was als die bekannt sein würde Erster grundlegender Theorem der Wohlfahrtsökonomie.^[42] In diesen Modellen fehlten die Ungleichheiten der nächsten Generation der mathematischen Ökonomie.

In der Meilensteinabhandlung Grundlagen der wirtschaftlichen Analyse (1947), Paul Samuelson identifizierte ein gemeinsames Paradigma und eine mathematische Struktur über mehrere Felder in diesem Thema, wobei er auf früheren Arbeiten von aufbaute Alfred Marshall. Fundamente nahm mathematische Konzepte aus der Physik und wandte sie auf wirtschaftliche Probleme an. Diese breite Ansicht (z. B. Vergleiche Le Chateliers Prinzip zu Tâtonnement) treibt die grundlegende Prämisse der mathematischen Ökonomie an: Systeme wirtschaftlicher Akteure können modelliert und ihr Verhalten ähnlich wie jedes andere System beschrieben werden. Diese Erweiterung folgte der Arbeit der Marginalisten im vergangenen Jahrhundert und erweiterte sie erheblich. Samuelson näherte Vergleichende Statistiken, was zwei verschiedene vergleicht Gleichgewicht Staaten nach an exogen Änderung einer Variablen. Diese und andere Methoden in dem Buch bildeten die Grundlage für die mathematische Wirtschaft im 20. Jahrhundert.^[7][43]

Lineare Modelle

Eingeschränkte Modelle des allgemeinen Gleichgewichts wurden durch formuliert John von Neumann 1937.^[44] Im Gegensatz zu früheren Versionen hatten die Modelle von von Neumann Ungleichheitsbeschränkungen. Für sein Modell einer wachsenden Wirtschaft bewies von Neumann die Existenz und Einzigartigkeit eines Gleichgewichts unter Verwendung seiner Verallgemeinerung von Brouwers fester Punkt Theorem. Von Neumanns Modell einer expandierenden Wirtschaft betrachtete die Matrix Bleistift  A - λ B mit nichtnegativen MatrizenA und B; von Neumann suchte Wahrscheinlichkeit Vektoren p undq und eine positive Zahlλ das würde das lösen Komplementarität Gleichung

p^T(A − λB))q = 0,,

zusammen mit zwei Ungleichheitssystemen, die wirtschaftliche Effizienz ausdrücken. In diesem Modell die (transponiert) Wahrscheinlichkeitsvektor p repräsentiert die Preise der Ware, während der Wahrscheinlichkeitsvektor Q die "Intensität" darstellt, bei der der Produktionsprozess ausgeführt würde. Der Einzigartige Lösung λ repräsentiert die Wachstumsrate der Wirtschaft, der dem entspricht der Zinsrate. Das Bestehen einer positiven Wachstumsrate und zu beweisen, dass die Wachstumsrate dem Zinssatz entspricht, war selbst für von Neumann bemerkenswerte Erfolge.^[45][46][47] Von Neumanns Ergebnissen wurden als Sonderfall von angesehen Lineares Programmieren, wo von Neumanns Modell nur nichtnegative Matrizen verwendet.^[48] Die Untersuchung von von Neumanns Modell einer wachsenden Wirtschaft interessiert die mathematische Ökonomen weiterhin mit Interessen an der Computerökonomie.^[49][50][51]

Input-Output-Ökonomie

1936 der russisch -geborene Ökonom Wassily Leontief baute sein Modell von Eingabe-Output-Analyse Aus den von sowjetischen Ökonomen erstellten "Materialbalance" -Tabellen, die selbst frühere Arbeiten von der folgten Physiokraten. Mit seinem Modell, das ein System der Produktions- und Nachfrageprozesse beschrieben hat, beschrieben Leontief, wie Änderungen der Nachfrage in einem Ökonomischer Sektor würde die Produktion in einem anderen beeinflussen.^[52] In der Praxis schätzte Leontief die Koeffizienten seiner einfachen Modelle, um wirtschaftlich interessante Fragen zu beantworten. Im Produktionsökonomie, "Leontief Technologies" erzeugen Ausgaben unter Verwendung konstanter Anteile von Inputs, unabhängig vom Preis von Inputs, wodurch der Wert von Leontief -Modellen für das Verständnis von Volkswirtschaften verringert wird, die Parameter jedoch relativ leicht geschätzt werden. Im Gegensatz dazu erlaubt das von Neumann -Modell einer expandierenden Wirtschaft Auswahl der Techniken, aber die Koeffizienten müssen für jede Technologie geschätzt werden.^[53][54]

Mathematische Optimierung

In Mathematik, Mathematische Optimierung (oder Optimierung oder mathematische Programmierung) bezieht sich auf die Auswahl eines besten Elements aus einigen verfügbaren Alternativen.^[55] Im einfachsten Fall eine Optimierungsproblem beinhaltet Maximierung oder Minimierung a echte Funktion durch die Auswahl Eingang Werte der Funktion und Berechnung der entsprechenden Werte der Funktion. Der Lösungsprozess umfasst die Befriedigung der allgemeinen notwendige und ausreichende Bedingungen für Optimalität. Für Optimierungsprobleme, Spezialnotation kann in Bezug auf die Funktion und ihre Eingaben verwendet werden. Im Allgemeinen umfasst die Optimierung das Beste verfügbar Element von einigen Funktionen, die eine definierte gegeben haben Domain und kann eine Vielzahl verschiedener verwenden Computeroptimierungstechniken.^[56]

Die Wirtschaft ist eng genug mit der Optimierung durch Agenten in einem (n Wirtschaft dass eine einflussreiche Definition die Ökonomie zuletzt beschreibt qua Wissenschaft als "Studium des menschlichen Verhaltens als Beziehung zwischen den Enden und spärlich bedeutet "mit alternativen Verwendungen.^[57] Optimierungsprobleme durch die moderne Wirtschaft, viele mit expliziten wirtschaftlichen oder technischen Einschränkungen. In der Mikroökonomie die Nützlichkeitsmaximierungsproblem und sein Dual Problem, das Ausgabenminimierungsproblem Für ein bestimmtes Nutzen sind wirtschaftliche Optimierungsprobleme.^[58] Theorie setzt das voraus Verbraucher maximieren ihre Dienstprogramm, vorbehaltlich ihrer Budgetbeschränkungen und das Firmen maximieren ihre Profite, vorbehaltlich ihrer Produktionsfunktionen, Eingang Kosten und Markt fordern.^[59]

Wirtschaftliches Gleichgewicht wird in der Optimierungstheorie als Schlüsselbestandteil wirtschaftlicher Theoreme untersucht, die im Prinzip gegen empirische Daten getestet werden können.^[7][60] Neuere Entwicklungen sind in aufgetreten Dynamische Programmierung und Modellierungsoptimierung mit Risiko und Unsicherheit, einschließlich Anwendungen an Portfolio -Theorie, das Wirtschaftlichkeit von Informationen, und Suchtheorie.^[59]

Optimalitätseigenschaften für eine ganze Marktsystem kann in mathematischer Begriffe wie in Formulierung der beiden angegeben werden grundlegende Theoreme der Wohlfahrtsökonomie^[61] und in der Pfeil -Debreu -Modell von Allgemeines Gleichgewicht (auch diskutiert unter).^[62] Konkretter ist viele Probleme für analytisch (Formel) Lösung. Viele andere können ausreichend komplex sein, um zu verlangen Numerische Methoden der Lösung, unterstützt durch Software.^[56] Wieder andere sind komplex, aber flehbar genug, um zuzulassen berechnungsbare Methoden insbesondere von Lösung Rechenbares allgemeines Gleichgewicht Modelle für die gesamte Wirtschaft.^[63]

Die lineare und nichtlineare Programmierung haben die Mikroökonomie zutiefst beeinflusst, die zuvor nur Gleichstellungsbeschränkungen berücksichtigt hatte.^[64] Viele der mathematischen Ökonomen, die Nobelpreise in Wirtschaftswissenschaften erhielten, hatten mithilfe einer linearen Programmierung bemerkenswerte Forschungen durchgeführt: Leonid Kantorovich, Leonid Hurwicz, Tjalling Koopmans, Kenneth J. Arrow, Robert Dorfman, Paul Samuelson und Robert Solow.^[65] Sowohl Kantorovich als auch Koopmans haben das anerkannt George B. Dantzig verdient es, ihren Nobelpreis für lineare Programme zu teilen. Wirtschaftswissenschaftler, die Forschungen in nichtlinearer Programmierung durchgeführt haben Ragnar Frisch Zusätzlich zu Kantorovich, Hurwicz, Koopmans, Pfeil und Samuelson.

Lineare Optimierung

Lineares Programmieren wurde entwickelt, um die Zuteilung der Ressourcen in Unternehmen und in Branchen in den 1930er Jahren in Russland und in den 1940er Jahren in den USA zu unterstützen. Während der Berlin Airlift (1948)Die lineare Programmierung wurde verwendet, um die Lieferung von Vorräten zu planen, um zu verhindern, dass Berlin nach der sowjetischen Blockade hungert.^[66][67]

Nichtlineare Programmierung

Erweiterungen zu Nichtlineare Optimierung mit Ungleichheitsbeschränkungen wurden 1951 von erreicht von Albert W. Tucker und Harold Kuhn, der als nichtlinear betrachtete Optimierungsproblem:

Minimieren ${\ displayStyle f (x)}$ vorbehaltlich ${\ displayStyle g_ {i} (x) \ leq 0}$ und ${\ displayStyle H_ {j} (x) = 0}$ wo

${\ displayStyle f (\ cdot)}$ ist der Funktion minimiert werden

${\ displayStyle g_ {i} (\ cdot)}$ sind die Funktionen der ${\ displayStyle m}$ Ungleichheit Einschränkungen wo ${\ displayStyle i = 1, \ dots, m}$

${\ displayStyle H_ {j} (\ cdot)}$ sind die Funktionen der ${\ displayStyle l}$ Gleichheitsbeschränkungen wo ${\ displayStyle j = 1, \ dots, l}$.

Bei Ungleichheitsbeschränkungen die Kuhn -Tucker -Ansatz verallgemeinert die klassische Methode von Lagrange -Multiplikatoren, was (bis dahin) nur Gleichstellungsbeschränkungen zugelassen hatte.^[68] Der Kuhn -Tucker -Ansatz inspirierte weitere Erforschung der Lagrange -Dualität, einschließlich der Behandlung von Ungleichheitsbeschränkungen.^[69][70] Die Dualitätstheorie der nichtlinearen Programmierung ist besonders zufriedenstellend, wenn es angewendet wird konvexe Minimierung Probleme, die das genießen konvex-analytisch Dualitätstheorie von Fenchel und Rockafellar; Diese konvexe Dualität ist besonders stark für Polyedrische konvexe Funktionen, wie diejenigen, die sich entstehen, Lineares Programmieren. Lagrange -Dualität und konvexe Analyse werden täglich in verwendet Unternehmensforschungbei der Planung von Kraftwerken, der Planung von Produktionsplänen für Fabriken und der Routing von Fluggesellschaften (Routen, Flüge, Flugzeuge, Besatzungen).^[70]

Variationsrechnung und optimale Kontrolle

Wirtschaftliche Dynamik Ermöglicht Änderungen der wirtschaftlichen Variablen im Laufe der Zeit, einschließlich in Dynamische Systeme. Das Problem der Suche nach optimalen Funktionen für solche Änderungen wird in untersucht Variationsrechnung und in Optimale Kontrolltheorie. Vor dem Zweiten Weltkrieg, Frank Ramsey und Harold Hotelling verwendete den Kalkül der Variationen zu diesem Zweck.

Folgen Richard BellmanDie Arbeit an dynamischer Programmierung und der englischen Übersetzung von L. Pontryagin et al.'s frühere Arbeit,^[71] Die optimale Kontrolltheorie wurde in der Ökonomie ausführlicher verwendet, um dynamische Probleme anzugehen, insbesondere in Bezug auf Wirtschaftswachstum Gleichgewicht und Stabilität von Wirtschaftssystemen,^[72] von denen ein Lehrbuchbeispiel ist optimaler Verbrauch und Sparen.^[73] Eine entscheidende Unterscheidung besteht zwischen deterministischen und stochastischen Kontrollmodellen.^[74] Andere Anwendungen der optimalen Kontrolltheorie umfassen beispielsweise diejenigen in Finanzen, Inventaren und Produktion.^[75]

Funktionsanalyse

Es war im Verlauf der Existenz eines optimalen Gleichgewichts in seinem Modell von 1937 von 1937 Wirtschaftswachstum das John von Neumann eingeführt Funktionsanalyse Methoden einbeziehen Topologie insbesondere in der Wirtschaftstheorie, Festpunkttheorie durch seine Verallgemeinerung von Brouwers Festpunkt Theorem.^[8][44][76] Nach dem Programm von von Neumann, Kenneth Arrow und Gérard DebreU formulierte abstrakte Modelle wirtschaftlicher Gleichgewichte mithilfe konvexe Sets und feste Punkte -Theorie. Bei der Einführung der Pfeil -Debreu -Modell 1954 bewiesen sie die Existenz (aber nicht die Einzigartigkeit) eines Gleichgewichts und bewiesen, dass jedes Walras -Gleichgewicht ist Pareto effizient; Im Allgemeinen muss Gleichgewichte nicht einzigartig sein.^[77] In ihren Modellen wurde der ("ursprüngliche") Vektorraum dargestellt Mengen während "Dual" Vektorraum repräsentiert Preise.^[78]

In Russland der Mathematiker Leonid Kantorovich entwickelte Wirtschaftsmodelle in teilweise geordnete VektorräumeDas betonte die Dualität zwischen Mengen und Preisen.^[79] Kantorovich umbenannt Preise als "objektiv bestimmte Bewertungen", die in Russisch als "o.^[78][80][81]

Selbst in endlichen Dimensionen haben die Konzepte der funktionalen Analyse die Wirtschaftstheorie beleuchtet, insbesondere bei der Klärung der Rolle von Preisen als Normale Vektoren zu einem Hyperebene unterstützend ein konvexes Set, das Produktions- oder Verbrauchsmöglichkeiten darstellt. Probleme bei der Beschreibung der Optimierung über die Zeit oder unter Unsicherheit erfordern jedoch die Verwendung von unendlich dimensionalen Funktionsräumen stochastische Prozesse.^{[78][82][83][84]}

Differentialverletzung und Erhöhung

John von Neumannarbeitet an Funktionsanalyse und Topologie brach Neuland in Mathematik und Wirtschaftstheorie.^[44][85] Es hat auch die fortschrittliche mathematische Ökonomie mit weniger Anwendungen von Differentialkalkül zurückgelassen. Insbesondere verwendeten allgemeine Gleichgewichtstheoretiker Allgemeine Topologie, Konvexe Geometrie, und Optimierungstheorie Mehr als Differentialrechnung, da der Ansatz des Differentialkalküls die Existenz eines Gleichgewichts nicht bestanden hatte.

Der Rückgang des Differentialkalküls sollte jedoch nicht übertrieben sein, da im Abschluss und in Anwendungen immer Differentialkalkül verwendet wurde. Darüber hinaus ist der Differentialkalkül auf höchstes Maß an mathematischer Wirtschaft zurückgekehrt, Allgemeine Gleichgewichtstheorie (Bekommen), wie von der "geübt"Set set"(die humorvolle Bezeichnung aufgrund Jacques H. Drèze). In den 1960er und 1970er Jahren, jedoch, Gérard DebreU und Stephen Smale leitete eine Wiederbelebung der Verwendung von Differentialkalkül in der mathematischen Wirtschaft. Insbesondere konnten sie die Existenz eines allgemeinen Gleichgewichts beweisen, in dem frühere Schriftsteller aufgrund ihrer Romanmathematik gescheitert waren: Baire -Kategorie aus Allgemeine Topologie und Sards Lemma aus Differentialtopologie. Andere Ökonomen, die mit der Verwendung der Differentialanalyse verbunden sind, sind Egbert Dierker, Andreu Mas-Colell, und Yves Balasko.^[86][87] Diese Fortschritte haben die traditionelle Erzählung der Geschichte der mathematischen Ökonomie nach von Neumann verändert, die die Aufgabe der Differentialrechnung feierte.

Spieltheorie

John von Neumann arbeitet mit Oskar Morgenstern auf der Theorie der Spiele, brach 1944 einen neuen mathematischen Boden, indem er sich erstreckte Funktionsanalyse Methoden im Zusammenhang mit konvexe Sets und topologisch Festpunkttheorie zur wirtschaftlichen Analyse.^[8][85] Ihre Arbeit vermied damit das Traditionelle Differentialrechnungfür die für die maximal–Operator galt nicht für nicht differenzierbare Funktionen. Fortsetzung von Neumanns Arbeit in Kooperative Spieltheorie, Spieltheoretiker Lloyd S. Shapley, Martin Shubik, Hervé Moulin, Nimrod MegiddoBezalel Peleg beeinflusste die wirtschaftliche Forschung in Politik und Wirtschaft. Zum Beispiel Erforschung der faire Preise in kooperativen Spielen und Faire Werte zum Wahlspiele führte zu geänderten Regeln für die Abstimmung in Gesetzgebern und für die Berücksichtigung der Kosten in öffentlichen Arbeitsprojekten. Zum Beispiel wurde die kooperative Spieltheorie zur Gestaltung des Wasserverteilungssystems Südschwedens und zur Festlegung von Preisen für dedizierte Telefonleitungen in den USA verwendet.

Vorhin neoklassizistisch Theorie hatte nur die begrenzt Angebot beispielsweise von Verhandlungsergebnissen und in besonderen Fällen Bilaterales Monopol oder entlang der Vertragskurve des Edgeworth Box.^[88] Die Ergebnisse von von Neumann und Morgsenstern waren ähnlich schwach. Nach dem Programm von von Neumann jedoch, John Nash verwendete feste Punkt -Theorie, um Bedingungen zu beweisen, unter denen die Verhandlungsproblem und Nichtkooperative Spiele kann ein einzigartiges erzeugen Gleichgewicht Lösung.^[89] Die nichtkooperative Spieltheorie wurde als grundlegender Aspekt von übernommen Versuchsökonomie,^[90] Verhaltensökonomie,^[91] Informationsökonomie,^[92] industrielle Organisation,^[93] und politische Wirtschaft.^[94] Es hat auch das Thema von geführt Mechanismus -Design (manchmal als Reverse -Game -Theorie bezeichnet), das privat und hat öffentlich-politische Anwendungen zur Verbesserung der Möglichkeiten wirtschaftliche Effizienz Durch Anreize für den Informationsaustausch.^[95]

Im Jahr 1994, Nash, John Harsanyi, und Reinhard Selten erhielt die Nobel -Gedenkpreis in Wirtschaftswissenschaften ihre Arbeit an nicht -kooperativen Spielen. Harsanyi und Selten wurden für ihre Arbeiten vergeben Wiederholte Spiele. Spätere Arbeiten haben ihre Ergebnisse auf Rechenmethoden Modellierung.^[96]

Agentenbasierte Computerökonomie

Agentenbasierte Computational Economics (ACE) als benanntes Feld ist relativ neu und stammt aus den 90er Jahren in Bezug auf veröffentlichte Arbeiten. Es untersucht wirtschaftliche Prozesse, einschließlich Ganzes Volkswirtschaften, wie Dynamische Systeme der Interaktion Agenten im Laufe der Zeit. Als solcher fällt es in die Paradigma von Komplexe adaptive Systeme.^[97] In entsprechendem Agentenbasierte ModelleAgenten sind keine echten Menschen, sondern "Computerobjekte, die als Interaktion nach Regeln modelliert werden" ... ", dessen Interaktionen auf Mikroebene aufkommende Muster erzeugen" in Raum und Zeit.^[98] Die Regeln werden formuliert, um Verhalten und soziale Interaktionen auf der Grundlage von Anreizen und Informationen vorherzusagen. Die theoretische Annahme von mathematisch Optimierung nach Agentenmärkten wird durch das weniger restriktive Postulat von Agenten mit ersetzt begrenzt Rationalität Anpassung zu vermarkten Kräften.^[99]

ACE -Modelle gelten Numerische Methoden der Analyse zu Computerbasierte Simulationen von komplexen dynamischen Problemen, für die konventionellere Methoden, wie z. B. die Satzformulierung, möglicherweise nicht bereit sind.^[100] Ausgehend von den angegebenen Anfangsbedingungen die Rechenaufwand Wirtschaftssystem wird im Laufe der Zeit so modelliert, dass seine konstituierenden Wirkstoffe wiederholt miteinander interagieren. In dieser Hinsicht wurde ACE als ein kulturvertretender Bottom-up-Ansatz für das Studium der Wirtschaft charakterisiert.^[101] Im Gegensatz zu anderen Standardmodellierungsmethoden werden ACE -Ereignisse ausschließlich von Anfangsbedingungen gesteuert, unabhängig davon, ob Gleichgewichte existieren oder nicht rechnerisch -greifbar sind. Die ACE -Modellierung umfasst jedoch die Anpassung, Autonomie und das Lernen von Agenten.^[102] Es hat eine Ähnlichkeit zu und überlappen sich mit, Spieltheorie Als agentenbasierte Methode zur Modellierung sozialer Interaktionen.^[96] Andere Dimensionen des Ansatzes umfassen so standardmäßige wirtschaftliche Themen wie Wettbewerb und Zusammenarbeit,^[103] Marktstruktur und industrielle Organisation,^[104] Transaktionskosten,^[105] Wohlfahrtsökonomie^[106] und Mechanismus -Design,^[95] Informationen und Unsicherheit,^[107] und Makroökonomie.^[108][109]

Die Methode soll von fortgesetzten Verbesserungen der Modellierungstechniken von profitieren Informatik und erhöhte Computerfunktionen. Zu den Problemen gehören diejenigen, die gemeinsam sind Versuchsökonomie Im Algemeinen^[110] und im Vergleich^[111] und zur Entwicklung eines gemeinsamen Rahmens zur empirischen Validierung und zur Lösung offener Fragen in der agentenbasierten Modellierung.^[112] Das ultimative wissenschaftliche Ziel der Methode wurde als "theoretische Erkenntnisse gegen reale Daten auf eine Weise beschrieben, die es empirisch unterstützte Theorien im Laufe der Zeit ermöglichen, wobei die Arbeit jedes Forschers angemessen auf der Arbeit aufbaut, die zuvor gelaufen ist".^[113]

Mathematisierung der Wirtschaft

Im Laufe des 20. Jahrhunderts Artikel in "Kernjournals"^[115] in der Wirtschaft wurden fast ausschließlich von Ökonomen in geschrieben Akademie. Infolgedessen bezieht sich ein Großteil des in diesen Zeitschriften übertragenen Materials auf die Wirtschaftstheorie, und "Wirtschaftstheorie selbst war kontinuierlich abstrakter und mathematischer".^[116] Eine subjektive Bewertung der mathematischen Techniken^[117] In diesen Kernjournalen wurde ein Verringerung der Artikel gezeigt, die weder geometrische Darstellungen noch mathematische Notation von 95% im Jahr 1892 auf 5,3% im Jahr 1990 verwenden.^[118] Eine Umfrage von 2007 unter zehn der Top -Wirtschaftszeitschriften ergab, dass nur 5,8% der in den Zeitlichkeiten 2003 und 2004 veröffentlichten Artikel beide nicht statistische Datenanalysen hatten und mathematische Ausdrücke angezeigt wurden, die mit Zahlen am Rande der Seite indiziert wurden.^[119]

Ökonometrie

Zwischen den Weltkriegen Fortschritte in Mathematische Statistik und ein Kader mathematisch ausgebildeter Ökonomen führte zu Ökonometrie, was der Name war, der für die Disziplin der Förderung der Wirtschaft vorgeschlagen wurde, indem Mathematik und Statistik verwendet werden. Innerhalb der Ökonomie wurde "Ökonometrie" häufig für statistische Methoden in der Wirtschaft und nicht für die mathematische Wirtschaft eingesetzt. Statistische Ökonometrie zeigt die Anwendung der linearen Regression und der Zeitreihenanalyse auf Wirtschaftsdaten.

Ragnar Frisch prägte das Wort "Ökonometrie" und half dabei, beide zu finden Ökonometrische Gesellschaft 1930 und das Journal Econometrica 1933.^[120][121] Ein Student von Frisch, Trygve Haavelmo veröffentlicht Der Wahrscheinlichkeitsansatz in der Ökonometrie 1944, wo er behauptete, dass eine genaue statistische Analyse als Instrument zur Validierung mathematischer Theorien über wirtschaftliche Akteure mit Daten aus komplexen Quellen verwendet werden könnte.^[122] Diese Verknüpfung der statistischen Analyse von Systemen mit der Wirtschaftstheorie wurde auch von der Cowles -Kommission (jetzt die Cowles Foundation) in den 1930er und 1940er Jahren.^[123]

Die Wurzeln der modernen Ökonometrie können auf den amerikanischen Ökonom zurückgeführt werden Henry L. Moore. Moore untersuchte die landwirtschaftliche Produktivität und versuchte, sich wechselnde Produktivitätswerte für Mais und andere Pflanzen an eine Kurve unter Verwendung unterschiedlicher Elastizitätswerte anzupassen. Moore machte mehrere Fehler in seiner Arbeit, einige aus seiner Wahl der Modelle und einige aus Einschränkungen bei der Verwendung von Mathematik. Die Genauigkeit der Modelle von Moore war auch durch die schlechten Daten für nationale Konten in den USA zu dieser Zeit begrenzt. Während seine ersten Produktionsmodelle statisch waren, veröffentlichte er 1925 ein dynamisches "bewegendes Gleichgewicht" -Modell zur Erklärung von Geschäftszyklen Spinnennetzmodell. Eine formellere Ableitung dieses Modells wurde später von vorgenommen Nicholas Kaldor, der größtenteils für seine Darstellung zugeschrieben wird.^[124]

Anwendung

Ein Großteil der klassischen Ökonomie kann in einfachen geometrischen Begriffen oder elementaren mathematischen Notation präsentiert werden. Die mathematische Ökonomie nutzt jedoch herkömmlicherweise von Infinitesimalrechnung und Matrixalgebra in der wirtschaftlichen Analyse, um starke Behauptungen zu erheben, wären dies ohne solche mathematischen Instrumente schwieriger. Diese Instrumente sind Voraussetzungen für formale Studien, nicht nur in der mathematischen Wirtschaft, sondern auch in der zeitgenössischen Wirtschaftstheorie im Allgemeinen. Wirtschaftliche Probleme betreffen oft so viele Variablen, die Mathematik ist die einzige praktische Art, sie anzugreifen und zu lösen. Alfred Marshall argumentierte, dass jedes wirtschaftliche Problem, das quantifiziert, analytisch ausgedrückt und gelöst werden kann, mittels mathematischer Arbeit behandelt werden sollte.^[126]

Die Wirtschaft ist zunehmend von mathematischen Methoden abhängig, und die mathematischen Instrumente, die sie einsetzt, sind anspruchsvoller geworden. Infolgedessen ist die Mathematik für Fachleute in Wirtschaft und Finanzen wesentlich wichtiger geworden. Graduiertenprogramme in Wirtschaft und Finanzen erfordern eine starke Vorbereitung der Mathematik für die Zulassung und ziehen aus diesem Grund eine zunehmend hohe Anzahl von Anzahl an Mathematiker. Angewandte Mathematiker Anwenden Sie mathematische Prinzipien auf praktische Probleme wie wirtschaftliche Analyse und andere wirtschaftsbezogene Probleme, und viele wirtschaftliche Probleme werden häufig als in den Umfang der angewandten Mathematik integriert.^[18]

Diese Integration ergibt sich aus der Formulierung wirtschaftlicher Probleme als stilisierte Modelle mit klaren Annahmen und fälschbaren Vorhersagen. Diese Modellierung kann informell oder prosaisch sein, so wie es war Adam Smith's Der Reichtum der Nationenoder es kann formell, streng und mathematisch sein.

Im Großen und Ganzen können formelle Wirtschaftsmodelle als klassifiziert werden als stochastisch oder deterministisch und als diskret oder kontinuierlich. Auf praktischer Ebene wird die quantitative Modellierung auf viele Bereiche der Wirtschaft angewendet, und mehrere Methoden haben sich mehr oder weniger unabhängig voneinander entwickelt.^[127]

• Stochastische Modelle werden verwendet stochastische Prozesse. Sie modellieren im Laufe der Zeit wirtschaftlich beobachtbare Werte. Das meiste von Ökonometrie basiert auf Statistiken formulieren und testen Hypothesen über diese Prozesse oder Schätzungsparameter für sie. Zwischen den Weltkriegen,, Herman Wold entwickelt a Darstellung stationärer stochastischer Prozesse in Bezug auf autoregressiv Modelle und ein deterministischer Trend. Wold und Jan Tinbergen Angewandte Zeitreihenanalyse auf Wirtschaftsdaten. Zeitgenössische Forschung zu Zeitfolgen Statistiken Betrachten Sie zusätzliche Formulierungen stationärer Prozesse, wie z. autoregressive gleitende Durchschnittsmodelle. Allgemeinere Modelle umfassen Autoregressive bedingte Heteroskedastizität (Arch) Modelle und verallgemeinerter Bogen (Garch) Modelle.
• Nicht stochastische mathematische Modelle kann rein qualitativ sein (z. B. Modelle, die an einem Aspekt von beteiligt sind Theorie der sozialen Wahl) oder quantitativ (beispielsweise Rationalisierung finanzieller Variablen, zum Beispiel mit Hyperbolische Koordinatenund/oder bestimmte Formen von Funktionale Beziehungen zwischen Variablen). In einigen Fällen behaupten wirtschaftliche Vorhersagen eines Modells lediglich die Richtung der Bewegung wirtschaftlicher Variablen, und so werden die funktionellen Beziehungen nur im qualitativen Sinne verwendet: Zum Beispiel, wenn die Preis eines Gegenstands nimmt zu, dann die fordern Für diesen Artikel nimmt ab. Für solche Modelle verwenden Ökonomen häufig zweidimensionale Diagramme anstelle von Funktionen.
• Qualitative Modelle gelegentlich verwendet werden. Ein Beispiel ist qualitativ Szenarioplanung in denen mögliche zukünftige Ereignisse ausgetragen werden. Ein weiteres Beispiel ist die nicht numerische Entscheidungsbaumanalyse. Qualitative Modelle leiden häufig unter mangelnder Präzision.

Beispiel: Die Auswirkung einer Körperschaftsteuersenkung auf die Löhne

Die große Anziehungskraft der mathematischen Ökonomie ist, dass sie dem wirtschaftlichen Denken ein gewisses Maß an strengeres Denken bringt, insbesondere in Bezug auf angeklagte politische Themen. Zum Beispiel während der Diskussion der Wirksamkeit von a Körperschaftsteuersenkung Um die Löhne der Arbeitnehmer zu erhöhen, erwies sich ein einfaches mathematisches Modell als vorteilhaft für das Verständnis der jeweiligen Probleme.

Als intellektuelle Übung wurde das folgende Problem von gestellt Prof. Greg Mankiw von Harvard Universität:^[128]

Eine offene Wirtschaft hat die Produktionsfunktion ${\ textstyle y = f (k)}$, wo ${\ textstyle y}$ ist ausgabe pro Arbeiter und ${\ textstyle k}$ ist Kapital pro Arbeitnehmer. Das Kapitalbestand passt so ein ${\ textstyle r}$... wie viel wird die Steuersenkung den Löhnen erhöhen?

Um diese Frage zu beantworten, folgen wir John H. Cochrane des Hoover Institution.^[129] Angenommen, eine offene Wirtschaft hat die Produktionsfunktion:

Wo die Variablen in dieser Gleichung sind:

• ${\ textstyle y}$ ist die Gesamtleistung
• ${\ textstyle f (k, l)}$ ist die Produktionsfunktion
• ${\ textstyle k}$ ist das Gesamtkapitalbestand
• ${\ textstyle l}$ ist der gesamte Arbeitsbestand

Die Standardauswahl für die Produktionsfunktion ist die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion:

wo ${\ textStyle a}$ ist der Produktivitätsfaktor - Angenommen, eine Konstante. Eine Körperschaftsteuersenkung in diesem Modell entspricht einer Kapitalsteuer. Mit Steuern versuchen Unternehmen, zu maximieren:wo ${\ textstyle \ tau}$ ist der Kapitalsteuersatz, ${\ textstyle w}$ ist Löhne pro Arbeiter und ${\ textstyle r}$ ist der exogene Zinssatz. Dann ist die Optimalitätsbedingungen erster Ordnung werden:Daher implizieren die Optimalitätsbedingungen:Definieren Sie die Gesamtsteuern ${\ textstyle x = \ tau [f (k, l) -wl]}$. Dies impliziert diese Steuern pro Arbeitnehmer ${\ textstyle x}$ sind:Dann beträgt die Änderung der Steuern pro Arbeitnehmer angesichts des Steuersatzes:Um die Änderung der Löhne zu finden, unterscheiden wir die zweite Optimalitätsbedingung für die zu erhaltenen Löhne pro Arbeiter:Unter der Annahme, dass der Zinssatz auf festgelegt ist ${\ textstyle r}$, so dass ${\ textstyle dr/d \ tau = 0}$Wir können die erste Optimalitätsbedingung für den Zinssatz unterscheiden:Konzentrieren wir uns für den Moment nur auf die statisch Auswirkung einer Kapitalsteuersenkung, so dass ${\ textstyle dx/d \ tau = f '(k) k}$. Wenn wir diese Gleichung in Gleichung durch Lohnänderungen in Bezug auf den Steuersatz ersetzen, finden wir das:deshalb, die statisch Die Auswirkung einer Kapitalsteuersenkung auf die Löhne hat:Basierend auf dem Modell scheint es möglich, dass wir einen Anstieg des Lohns eines Arbeitnehmers erreichen können, der größer ist als die Höhe der Steuersenkung. Dies berücksichtigt jedoch nur den statischen Effekt, und wir wissen, dass der dynamische Effekt berücksichtigt werden muss. Im dynamischen Modell können wir die Gleichung für Änderungen der Steuern pro Arbeitnehmer in Bezug auf den Steuersatz als:Daran erinnern ${\ textstyle dw/d \ tau = -f '(k) k/(1- \ tau)}$, wir haben das:Mit der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion haben wir Folgendes:deshalb, die dynamisch Die Auswirkung einer Kapitalsteuersenkung auf die Löhne hat:Wenn wir nehmen ${\ textstyle \ alpha = \ tau = 1/3}$dann ist der dynamische Effekt der Senkung der Kapitalsteuern auf die Löhne sogar größer als der statische Effekt. Wenn die Kapitalakkumulation positive externe Effekte gibt, wäre die Auswirkung der Steuersenkung auf die Löhne größer als in dem gerade abgeleiteten Modell. Es ist wichtig zu beachten, dass das Ergebnis eine Kombination von:

1. Das Standardergebnis, das in einer kleinen offenen Wirtschaftsarbeit 100% einer kleinen Kapitaleinkommensteuer trägt
2. Die Tatsache, dass die Belastung einer Steuererhöhung mit einem positiven Steuersatz aufgrund des Deadgewichts erster Ordnung die Einnahmen übersteigt

Dieses Ergebnis zeigt, dass unter bestimmten Annahmen eine Körperschaftsteuersenkung die Löhne der Arbeitnehmer um mehr als die verlorenen Einnahmen erhöhen kann, bedeutet nicht, dass die Größe korrekt ist. Es schlägt vielmehr eine Grundlage für die politische Analyse vor, die nicht auf der Handwaspur basiert. Wenn die Annahmen vernünftig sind, ist das Modell eine akzeptable Annäherung an die Realität; Wenn dies nicht der Fall ist, sollten bessere Modelle entwickelt werden.

CES -Produktionsfunktion

Nehmen wir nun an, dass wir anstelle der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion eine allgemeinere Konstante Elastizität der Substitution (CES) Produktionsfunktion:

wo ${\ textstyle \ rho = 1- \ sigma ^{-1}}$; ${\ textstyle \ sigma}$ ist die Elastizität des Substitution zwischen Kapital und Arbeit. Die relevante Menge, die wir berechnen möchten, ist ${\ textstyle f '/kf' '}$, die abgeleitet werden können wie:Daher können wir dies verwenden, um das festzustellen:Daher beträgt der dynamische Effekt einer Kapitalsteuersenkung unter einem allgemeinen CES -Modell:Wir erholen die Cobb-Douglas-Lösung, wenn ${\ textstyle \ rho = 0}$. Wann ${\ textstyle \ rho = 1}$, was der Fall ist, wenn perfekte Ersatzstoffe existieren, finden wir das ${\ textstyle dw/dx = 0}$ - Es hat keine Auswirkungen von Änderungen der Kapitalsteuern auf die Löhne. Und wann ${\ textStyle \ rho =-\ infty}$, was der Fall ist, wenn perfekte Ergänzungen vorhanden sind, finden wir das ${\ textstyle dw/dx = -1}$ - Eine Senkung der Kapitalsteuern erhöht die Löhne um genau einen Dollar.

Kritik und Verteidigung

Angemessenheit der Mathematik für qualitative und komplizierte Ökonomie

Friedrich Hayek machte geltend, dass die Verwendung formaler Techniken eine wissenschaftliche Genauigkeit projiziert, die nicht angemessen für Informationsbeschränkungen von realen Wirtschaftsagenten berücksichtigt wird. ^[130]

In einem Interview im Jahr 1999 der Wirtschaftshistoriker Robert Heilbroner angegeben:^[131]

Ich denke, der wissenschaftliche Ansatz hat in den letzten zwanzig bis dreißig Jahren den Beruf in den Beruf eindringen und bald dominieren. Dies entstand zum Teil aufgrund der "Erfindung" der mathematischen Analyse verschiedener Art und in der Tat erhebliche Verbesserungen. Dies ist das Alter, in dem wir nicht nur mehr Daten, sondern auch eine ausgefeiltere Verwendung von Daten haben. Es gibt also das starke Gefühl, dass dies eine daten beladene Wissenschaft und ein daten beladenes Unternehmen ist, das aufgrund der schieren Numeriker, der schiere Gleichungen und des schieren Aussehens einer Zeitschrift-Seite eine gewisse Ähnlichkeit mit der Wissenschaft aufweist. . . Diese eine zentrale Aktivität sieht wissenschaftlich aus. Ich verstehe das. Ich finde das echt. Es nähert sich als universelles Gesetz. Aber einer Wissenschaft zu ähneln, unterscheidet sich von einer Wissenschaft.

Heilbroner stellte fest, dass "einige/viel Wirtschaftswissenschaften nicht von Natur aus quantitativ sind und sich daher nicht für mathematische Darstellungen eignen."^[132]

Testen der Vorhersagen der mathematischen Ökonomie

Philosoph Karl Popper erörterte das wissenschaftliche Ansehen der Wirtschaft in den 1940er und 1950er Jahren. Er argumentierte, dass die mathematische Ökonomie unter der Tautologisch litt. Mit anderen Worten, insofern, als die Wirtschaft zu einer mathematischen Theorie wurde, stützte sich die mathematische Wirtschaft auf die empirische Widerlegung, stützte sich jedoch eher Mathematische Beweise und ungezwungen.^[133] Laut Popper können gefälschbare Annahmen durch Experiment und Beobachtung getestet werden, während nicht zu fundierbare Annahmen für ihre Konsequenzen und für ihre mathematisch untersucht werden können Konsistenz mit anderen Annahmen.^[134]

Teilen Sie Poppers Bedenken über Annahmen in der Wirtschaft im Allgemeinen und nicht nur der mathematischen Ökonomie, Milton Friedman erklärte, dass "alle Annahmen unrealistisch sind". Friedman schlug vor, Wirtschaftsmodelle nach ihrer Vorhersageleistung zu beurteilen und nicht nach der Übereinstimmung zwischen ihren Annahmen und Realität.^[135]

Mathematische Ökonomie als Form der reinen Mathematik

Berücksichtigung der mathematischen Ökonomie, J. M. Keynes schrieb in Die allgemeine Theorie:^[136]

Es ist ein großer Fehler symbolischer pseudo-mathematischer Methoden zur Formalisierung eines Systems der wirtschaftlichen Analyse ... dass sie ausdrücklich strenge Unabhängigkeit zwischen den beteiligten Faktoren annehmen und ihre Kohärenz und Autorität verlieren, wenn diese Hypothese nicht zugelassen ist. Während wir im gewöhnlichen Diskurs, wo wir nicht die ganze Zeit ausblindend manipulieren und wissen, was wir tun und was die Worte bedeuten, können wir die erforderlichen Reserven und Qualifikationen und Anpassungen, die wir haben werden, auf der Rückseite unserer Köpfe behalten können später zu machen, in einer Weise, in der wir komplizierte teilweise Unterschiede im Hintergrund mehrerer Seiten Algebra halten können, die davon ausgehen, dass sie alle verschwinden. Ein zu großer Teil der jüngsten „mathematischen“ Ökonomie ist lediglich zu erfunden, so ungenau wie die anfänglichen Annahmen, auf denen er sich ausruht, die es dem Autor ermöglichen, die Komplexität und Interdependenten der realen Welt in einem Labyrinth von anspruchsvollen und nicht hilfreichen Symbolen aus den Augen zu verlieren.

Verteidigung der mathematischen Ökonomie

Als Reaktion auf diese Kritik argumentierte Paul Samuelson, dass Mathematik eine Sprache ist, die eine These von These wiederholt Josiah Willard Gibbs. In der Ökonomie ist die Sprache der Mathematik manchmal erforderlich, um inhaltliche Probleme darzustellen. Darüber hinaus hat die mathematische Ökonomie zu konzeptionellen Fortschritten in der Wirtschaft geführt.^[137] Insbesondere Samuelson gab das Beispiel von Mikroökonomie, schreiben, dass "nur wenige Menschen genial genug sind, um komplexere Teile zu erfassen ... ohne Zurück auf die Sprache der Mathematik, während die meisten gewöhnlichen Personen dies ziemlich leicht tun können mit Die Hilfe der Mathematik. "^[138]

Einige Ökonomen geben an, dass die mathematische Ökonomie wie andere Formen der Mathematik, insbesondere seiner Nachbarn in Mathematische Optimierung und Mathematische Statistik und zunehmend in Theoretische Informatik. Mathematische Wirtschaft und andere mathematische Wissenschaften haben eine Geschichte, in der theoretische Fortschritte regelmäßig zur Reform der angewandten Wirtschaftszweige beigetragen haben. Insbesondere nach dem Programm von John von NeumannDie Spieltheorie bietet nun die Grundlagen für die Beschreibung eines Großteils der angewandten Ökonomie, von der statistischen Entscheidungstheorie (als "Spielen gegen die Natur") und der Ökonometrie bis hin zur allgemeinen Gleichgewichtstheorie und der industriellen Organisation. Im letzten Jahrzehnt haben mathematische Ökonomen und Optimierungsexperten und Informatiker mit dem Aufstieg des Internets an Problemen der Preisgestaltung für Online-Dienste gearbeitet-ihre Beiträge unter Verwendung von Mathematik aus kooperativen Spieltheorie, nicht differenzierbarer Optimierung und kombinatorischen Spielen.

Robert M. Solow kam zu dem Schluss, dass die mathematische Ökonomie der Kern war "Infrastruktur"der zeitgenössischen Ökonomie:

Die Wirtschaft ist für Damen und Herren kein passendes Gesprächsstück mehr. Es ist ein technisches Thema geworden. Wie jedes technische Thema zieht es einige Menschen an, die mehr an der Technik interessiert sind als an dem Thema. Das ist schade, aber es kann unvermeidlich sein. Kinder Sie sich auf jeden Fall nicht selbst ein: Der technische Kern der Wirtschaft ist eine unverzichtbare Infrastruktur für die politische Ökonomie. Wenn Sie [eine Referenz in der zeitgenössischen Wirtschaft] nach Erleuchtung der heutigen Welt konsultieren, werden Sie zu technischer Ökonomie oder Geschichte oder gar nichts geführt.^[139]

Mathematische Ökonomen

Prominente mathematische Ökonomen umfassen die folgenden.

19. Jahrhundert

20. Jahrhundert

Siehe auch

• Ökonophysik
• Mathematische Finanzierung

Verweise

Weitere Lektüre

• Alpha C. Chiang und Kevin Wainwright, [1967] 2005. Grundlegende Methoden der mathematischen Ökonomie, McGraw-Hill Irwin. Inhalt.
• E. Roy Weintraub, 1982. Mathematik für Ökonomen, Cambridge. Inhalt.
• Stephen Glaister, 1984. Mathematische Methoden für Ökonomen, 3. Aufl., Blackwell. Inhalt.
• Akira Takayama, 1985. Mathematische Ökonomie, 2. Aufl. Cambridge. Inhalt.
• Nancy L. Stokey und Robert E. Lucas mit Edward Prescott, 1989. Rekursive Methoden in der wirtschaftlichen Dynamik, Harvard University Press. Entweihung und Kapitelpräview Links.
• A. K. Dixit, [1976] 1990. Optimierung in der Wirtschaftstheorie, 2. Aufl., Oxford. Beschreibung und Inhalt Vorschau.
• Kenneth L. Judd, 1998. Numerische Methoden in der Wirtschaftswissenschaften, MIT Press. Beschreibung und Kapitelpräview Links.
• Michael Carter, 2001. Grundlagen der mathematischen Ökonomie, MIT Press. Inhalt.
• Ferenc Szidarovszky und Sándor Molnár, 2002. Einführung in die Matrix -Theorie: Mit Anwendungen für Geschäft und Wirtschaftswissenschaften, World Scientific Publishing. Beschreibung und Vorschau.
• D. Wade Hands, 2004. Einführende mathematische Ökonomie, 2. Aufl. Oxford. Inhalt.
• Giancarlo Gandolfo, [1997] 2009. Wirtschaftliche Dynamik, 4. Aufl., Springer. Beschreibung und Vorschau.
• John Stachurski, 2009. Wirtschaftsdynamik: Theorie und Berechnung, MIT Press. Beschreibung und Vorschau.

Externe Links

• Journal of Mathematical Economics Ziele und Umfang
• Mathematische Wirtschaft und finanzielle Mathematik bei Curlie
• Erasmus Mundus Master QEM - Modelle und Methoden der quantitativen Ökonomie, Die Modelle und Methoden der quantitativen Ökonomie - QEM