Karte (Mathematik)

Eine Art von Karte ist eine Funktion, wie in der Assoziation eines der vier farbigen Formen in x zu seiner Farbe in y

Im Mathematik, a Karte wird oft als Synonym für a verwendet Funktion,[1] kann aber auch auf einige Verallgemeinerungen beziehen. Ursprünglich war dies eine Abkürzung von Kartierung, was sich häufig auf die Wirkung bezieht, eine Funktion auf die Elemente ihrer anzuwenden Domain. Diese Terminologie ist nicht vollständig fest Jargon.[2] Diese Begriffe haben möglicherweise als Verallgemeinerung des Prozesses des Erstellens von a entstanden sein Geografische Karte, was aus ... besteht Kartierung Die Erdoberfläche zu einem Blatt Papier.[3]

Karten können entweder sein Funktionen oder Morphismen, obwohl die Begriffe einige Überschneidungen teilen.[3] Der Begriff Karte kann verwendet werden, um einige spezielle Arten von Funktionen zu unterscheiden, wie z. Homomorphismen. Zum Beispiel a lineare Karte ist ein Homomorphismus von Vektorräumewährend der Begriff lineare Funktion Kann diese Bedeutung und eine andere haben.[4][5] Im KategoriestheorieEine Karte kann sich auf einen Morphismus beziehen, der eine Verallgemeinerung der Idee einer Funktion ist. In einigen Fällen der Begriff Transformation kann auch austauschbar verwendet werden.[3] Es gibt auch einige weniger verbreitete Verwendungen in Logik und Graphentheorie.

Karten als Funktionen

In vielen Zweigen der Mathematik der Begriff Karte wird verwendet, um a zu bedeuten Funktion,[6][2][7] manchmal mit einer bestimmten Eigenschaft von besonderer Bedeutung für diesen Zweig. Zum Beispiel ist eine "Karte" ein "kontinuierliche Funktion" in Topologie, a "lineare Transformation" in Lineare Algebra, etc.

Einige Autoren wie z. Serge Lang,[8] Verwenden Sie "Funktion" nur, um sich auf Karten zu beziehen, in denen die Codomäne ist eine Reihe von Zahlen (d. H. Eine Teilmenge von R oder C) und die Laufzeit reservieren Kartierung für allgemeinere Funktionen.

Karten bestimmter Arten sind die Themen vieler wichtiger Theorien. Diese beinhalten Homomorphismen in Zusammenfassung Algebra, Isometrien in Geometrie, Betreiber in Analyse und Darstellungen in Gruppentheorie.[3]

In der Theorie von Dynamische Systeme, eine Karte bezeichnet eine Evolutionsfunktion verwendet zum Erstellen Diskrete dynamische Systeme.

A Teilkarte ist ein Teilfunktion. Verwandte Begriffe wie z. Domain, Codomäne, injektiv, und kontinuierlich kann gleichermaßen auf Karten und Funktionen mit der gleichen Bedeutung angewendet werden. Alle diese Verwendungen können auf "Karten" als allgemeine Funktionen oder als Funktionen mit besonderen Eigenschaften angewendet werden.

Als Morphismen

In der Kategorie -Theorie wird "MAP" häufig als Synonym für "verwendet"Morphismus"oder" Pfeil "und daher allgemeiner als" Funktion ".[9] Zum Beispiel ein Morphismus in einem konkrete Kategorie (d. H. Ein Morphismus, der als Funktionen angesehen werden kann) trägt die Informationen seiner Domäne (die Quelle des Morphismus) und seiner Codomäne (das Ziel ). In der weit verbreiteten Definition einer Funktion , ist eine Teilmenge von bestehend aus allen Paaren zum . In diesem Sinne erfasst die Funktion nicht die Informationen, die festgelegt werden wird als Codomäne verwendet; Nur der Bereich wird durch die Funktion bestimmt.

Siehe auch

Verweise

  1. ^ Die Wörter Karte, Kartierung, Transformation, Korrespondenz, und Operator werden oft synonym verwendet. Halmos 1970, p. 30. Einige Autoren verwenden den Begriff Karte mit einer allgemeineren Bedeutung als Funktion, die beschränkt sein kann, nur für Zahlen zu gelten.
  2. ^ a b Weisstein, Eric W. "Karte". mathworld.wolfram.com. Abgerufen 2019-12-06.
  3. ^ a b c d "Mapping | Mathematik". Enzyklopädie Britannica. Abgerufen 2019-12-06.
  4. ^ Apostol, T. M. (1981). Mathematische Analyse. Addison-Wesley. p. 35. ISBN 0-201-00288-4.
  5. ^ Stacho, Juraj (31. Oktober 2007). "Funktion, eins zu eins, auf" (PDF). Cs.Toronto.edu. Abgerufen 2019-12-06.
  6. ^ "Funktionen oder Zuordnen | Lernzuordnung | Funktion als besondere Art von Beziehung". Math Nur Mathe. Abgerufen 2019-12-06.
  7. ^ "Mapping, mathematisch | Encyclopedia.com". www.encyclopedia.com. Abgerufen 2019-12-06.
  8. ^ Lang, Serge (1971). Lineare Algebra (2. Aufl.). Addison-Wesley. p. 83. ISBN 0-201-04211-8.
  9. ^ Simmons, H. (2011). Eine Einführung in die Kategorie -Theorie. Cambridge University Press. p. 2. ISBN 978-1-139-50332-7.

Externe Links