Mandelbrot set

Das Mandelbrot -Set (schwarz) in einer kontinuierlich gefärbten Umgebung

Mandelbrot -Animation basierend auf einer statischen Anzahl von Iterationen pro Pixel

Mandelbrot -Detail

Das Mandelbrot Set (/ˈmændəlbroʊt, -brɒt/)^[1][2] ist der einstellen von komplexe Zahlen ${\ displayStyle c}$ für die die Funktion ${\ displayStyle f_ {c} (z) = z^{2}+c}$ nicht divergieren bis unendlich wann iteriert aus ${\ displayStyle z = 0}$, d.h. ${\ displayStyle f_ {c} (0)}$, ${\ displayStyle f_ {c} (f_ {c} (0))}$usw. bleibt in absolutem Wert begrenzt.

Dieser Satz wurde zuerst definiert und gezeichnet von Robert W. Brooks und Peter Matelski im Jahr 1978 als Teil einer Studie von Kleinsche Gruppen.^[3] Danach 1980,, Benoit Mandelbrot erhielt qualitativ hochwertige Visualisierungen des Sets während der Arbeit bei der Arbeit bei IBM's Thomas J. Watson Research Center in Yorktown Heights, New York.

Zoomen in die Grenze des Mandelbrot -Sets

Bilder des Mandelbrot -Sets zeigen eine aufwändige und unendlich komplizierte Grenze Das zeigt zunehmend immer zu einem Finanzer rekursiv Details bei zunehmenden Vergrößerungen; Mathematisch würde man sagen, dass die Grenze des Mandelbrot -Sets a ist fraktal Kurve. Der "Stil" dieses rekursiven Details hängt von der Region der untersuchten festgelegten Grenze ab. Mandelbrot -Set -Bilder können erstellt werden, indem die komplexen Zahlen und Tests für jeden Beispielpunkt abgetastet werden ${\ displayStyle c,}$ ob die Sequenz ${\ displayStyle f_ {c} (0), f_ {c} (f_ {c} (0)), \ dotsc}$ geht in unendlich. Behandlung der real und imaginäre Teile von ${\ displayStyle c}$ wie Bildkoordinaten auf der Komplexe Ebene, Pixel können dann gemäß wie schnell die Sequenz gefärbt werden ${\ displayStyle | f_ {c} (0) |, | f_ {c} (f_ {c} (0)) |, \ dotsc}$ Überquert einen willkürlich gewählten Schwellenwert (der Schwellenwert muss mindestens 2 betragen, da -2 die komplexe Zahl mit der größten Größe innerhalb des Satzes ist, aber ansonsten ist der Schwellenwert willkürlich). Wenn ${\ displayStyle c}$ wird konstant gehalten und der Anfangswert von ${\ displayStyle z}$ wird stattdessen variiert, man erhält den entsprechenden Julia Set für den Punkt ${\ displayStyle c}$.

Das Mandelbrot -Set ist draußen populär geworden Mathematik Sowohl für seine ästhetische Anziehungskraft als auch als Beispiel für eine komplexe Struktur, die sich aus der Anwendung einfacher Regeln ergibt. Es ist eines der bekanntesten Beispiele von Mathematische Visualisierung, Mathematische Schönheit, und Motiv.

Geschichte

Das erste veröffentlichte Bild des Mandelbrot -Sets von, von Robert W. Brooks und Peter Matelski im Jahr 1978

Das Mandelbrot -Set hat seinen Ursprung in Komplexe Dynamik, ein Feld, das zuerst von der untersucht wurde Französische Mathematiker Pierre Fatou und Gaston Julia zu Beginn des 20. Jahrhunderts. Dieser Fraktal wurde erstmals 1978 von definiert und gezogen Robert W. Brooks und Peter Matelski als Teil einer Studie von Kleinsche Gruppen.^[3] Am 1. März 1980 bei IBM's Thomas J. Watson Research Center in Yorktown Heights, New York, Benoit Mandelbrot sah zuerst eine Visualisierung des Satzes.^[4]

Mandelbrot studierte die Parameterraum von Quadratische Polynome In einem Artikel, der 1980 erschien.^[5] Die mathematische Studie des Mandelbrot -Sets begann wirklich mit der Arbeit der Mathematiker Adrien Douady und John H. Hubbard (1985),^[6] der viele seiner grundlegenden Immobilien etablierte und das Set zu Ehren von Mandelbrot für seine einflussreiche Arbeit in benannte Fraktale Geometrie.

Die Mathematiker Heinz-Otto Peitgen und Peter Richter wurde bekannt für die Werbung für das Set mit Fotografien, Bücher (1986),^[7] und eine international tourende Ausstellung des Deutschen Goethe-Institut (1985).^[8][9]

Der Cover -Artikel des August 1985 Wissenschaftlicher Amerikaner stellte ein breites Publikum in die vor Algorithmus Für die Berechnung des Mandelbrot -Satzes. Das Cover wurde von Peitgen, Richter und erstellt Saupe Bei der Universität Bremen.^[10] Das Mandelbrot-Set wurde Mitte der 1980er Jahre als Computer herausragend Grafikdemo, Wenn persönliche Computer wurde mächtig genug, um das Set in hoher Auflösung zu zeichnen und anzuzeigen.^[11]

Die Arbeit von Douady und Hubbard fiel mit einem enormen Anstieg des Interesses an komplexer Dynamik und zusammenzufassen abstrakte MathematikUnd die Untersuchung des Mandelbrot -Sets ist seitdem ein Herzstück dieses Feldes. Eine umfassende Liste aller, die seitdem zum Verständnis dieses Satzes beigetragen haben Jean-Christophe Yoccoz, Mitsuhiro Shishikura, Curt McMullen, John Milnor und Mikhail Lyubich.^[12][13]

Formale Definition

Der Mandelbrot -Satz ist der Satz von Werten von c in dem Komplexe Ebene für was die Orbit des kritischer Punkt ${\ textstyle z = 0}$ unter Wiederholung des Quadratische Karte

${\ displayStyle z_ {n+1} = z_ {n}^{2}+c}$

Überreste begrenzt.^[14] Also a komplexe Zahl c ist ein Mitglied des Mandelbrot -Sets, wenn mit Beginn mit Beginn mit ${\ displayStyle z_ {0} = 0}$ und die Iteration wiederholt anwenden, die absoluter Wert von ${\ displayStyle z_ {n}}$ bleibt für alle begrenzt ${\ displayStyle n> 0}$.

Zum Beispiel für c = 1, die Reihenfolge ist 0, 1, 2, 5, 26, ..., was dazu tendiert Unendlichkeit, also ist 1 kein Element des Mandelbrot -Satzes. Andererseits für ${\ displayStyle c = -1}$, Die Sequenz ist 0, –1, 0, –1, 0, ..., was begrenzt ist, also gehört –1 zum Satz.

Der Mandelbrot -Set kann auch als das definiert werden Verbindungsort der Familie der quadratischen Polynome, während es ist Grenze kann definiert als die Bifurkationsort dieser quadratischen Familie.

Grundeigenschaften

Das Mandelbrot -Set ist a Kompaktsatz, seit es ist abgeschlossen und in der enthalten geschlossene Scheibe von Radius 2 um die Ursprung. Genauer gesagt ein Punkt ${\ displayStyle c}$ gehört zum Mandelbrot -Set, wenn und nur wenn ${\ displayStyle | z_ {n} | \ leq 2}$ für alle ${\ displayStyle N \ Geq 0}$. Mit anderen Worten, die absoluter Wert von ${\ displayStyle z_ {n}}$ muss bei oder unter 2 bleiben für ${\ displayStyle c}$ im Mandelbrot -Set sein, ${\ displayStyle m}$Als ob dieser Absolutwert 2 überschreitet, entkommt die Sequenz in Unendlichkeit. Seit ${\ displayStyle c = z_ {1}}$, es folgt dem ${\ displayStyle | C | \ Leq 2}$das feststellen ${\ displayStyle c}$ wird immer in der geschlossenen Scheibe von Radius 2 um den Ursprung sein.

Korrespondenz zwischen dem Mandelbrot -Satz und der Bifurkationsdiagramm des Logistische Karte

Mit ${\ displayStyle z_ {n}}$ Auf der vertikalen Achse aufgetragenen Iteraten ist der Mandelbrot -Set zu sehen, dass das Set endlich ist

Das Überschneidung von ${\ displayStyle m}$ mit der realen Achse ist genau das Intervall ${\ displayStyle [-2, {\ frac {1} {4}}]}$. Die Parameter entlang dieses Intervall Logistische FamilieAnwesend

${\ displaystyle x_ {n+1} = rx_ {n} (1-x_ {n}), \ quad r \ in [1,4].}$

Die Korrespondenz ist gegeben durch

$oder {2}} \ rechts).}$

Tatsächlich gibt dies eine Korrespondenz zwischen dem gesamten Parameterraum der logistischen Familie und der des Mandelbrot -Sets.

Douady und Hubbard haben gezeigt, dass der Mandelbrot -Set ist in Verbindung gebracht. Tatsächlich konstruierten sie einen expliziten Konforme Isomorphismus zwischen der Ergänzung des Mandelbrot -Satzes und der Ergänzung des geschlossene Einheiten -Festplatte. Mandelbrot hatte ursprünglich vermutet, dass der Mandelbrot -Set ist getrennt. Diese Vermutung basierte auf Computerbildern, die durch Programme erzeugt wurden, die die dünnen Filamente, die verschiedene Teile von verbinden, nicht erkennen können ${\ displayStyle m}$. Nach weiteren Experimenten überarbeitete er seine Vermutung und entschied sich dafür ${\ displayStyle m}$ sollte verbunden sein. Es gibt auch a topologisch Beweis für die Verbindung, die 2001 von entdeckt wurde, von Jeremy Kahn.^[15]

Externe Wachstrahlen in der Nähe des Zeitraums 1 Kontinent im Mandelbrot -Set

Die dynamische Formel für die Uniformisierung des Komplements des Mandelbrot -Sets, der sich aus Douady und Hubbards Beweis für die Verbundenheit von ergibt ${\ displayStyle m}$führt dazu externe Strahlen des Mandelbrot -Satzes. Diese Strahlen können verwendet werden, um den Mandelbrot in kombinatorischen Begriffen zu untersuchen und das Rückgrat des Yoccoz Brüstchen.^[16]

Wie bereits in dem Artikel erwähnt, die Grenze des Mandelbrot -Satzes ist das Bifurkationsort der Familie der quadratischen Polynome. Mit anderen Worten, die Grenze des Mandelbrot -Satzes ist der Satz aller Parameter ${\ displayStyle c}$ für die die Dynamik der quadratischen Karte ${\ displayStyle z_ {n} = z_ {n-1}^{2}+c}$ zeigt eine empfindliche Abhängigkeit von ${\ displayStyle c,}$ d.h. ändert sich abrupt unter willkürlich geringen Änderungen von ${\ displayStyle c.}$ Es kann als Grenzwert einer Sequenz von konstruiert werden Ebene algebraische Kurven, das Mandelbrot Kurven, des allgemeinen Typs bekannt als Polynome lemcates. Die Mandelbrot -Kurven werden durch Einstellen definiert ${\ displayStyle p_ {0} = z, \ p_ {n+1} = p_ {n}^{2}+z}$und dann die Punkte interpretieren ${\ displayStyle | p_ {n} (z) | = 2}$ in der komplexen Ebene als Kurve in der Realität Kartesische Ebene Grad ${\ displayStyle 2^{n+1}}$in x und y.^[17] Jede Kurve ${\ displayStyle n> 0}$ ist die Zuordnung eines Anfangskreises von Radius 2 unter ${\ displayStyle p_ {n}}$. Diese algebraischen Kurven werden in Bildern des Mandelbrot -Sets angezeigt, das mit dem unten erwähnten "Escape Time Algorithmus" berechnet wurde.

Andere Eigenschaften

Hauptkardioid- und Periodenlampen

Perioden hyperbolischer Komponenten

Wenn man sich ein Bild des Mandelbrot -Sets ansieht, bemerkt man sofort das große kardioid Region im Zentrum. Dies Hauptkardioid ist der Region der Parameter ${\ displayStyle c}$ für die die Karte

${\ displayStyle f_ {c} (z) = z^{2}+c}$

hat an Fixpunkt anziehen. Es besteht aus allen Parametern der Form

$oder$

für einige ${\ displayStyle \ mu}$ in dem Offene Einheit Disk.

Links von der Hauptkardioid, die an dem Punkt daran befestigt ist ${\ displayStyle c = -3/4}$, ein Rundschreiben Birne genannt Periode-2-Glühbirne ist sichtbar. Der Grund für den Namen ist, dass die Glühbirne genau aus diesen Parametern besteht ${\ displayStyle c}$ für welche ${\ displayStyle f_ {c}}$ hat an Zyklus von Periode 2 anziehen. Es ist in der Tat der gefüllte Kreis von Radius 1/4, der um –1 zentriert ist.

Allgemeiner für jede positive Ganzzahl ${\ displayStyle q> 2}$, es gibt ${\ displayStyle \ phi (q)}$ kreisförmige Lampen Tangente der Hauptkardioid genannt Periode-Q-Glühbirnen (wo ${\ displayStyle \ phi}$ bezeichnet die Euler Phi -Funktion), die aus Parametern bestehen ${\ displayStyle c}$ für welche ${\ displayStyle f_ {c}}$ hat einen Anziehungszyklus der Periode ${\ displayStyle q}$. Genauer gesagt für jeden Primitiv ${\ displayStyle q}$Die Wurzel der Einheit ${\ displayStyle r = e^{2 \ pi i {\ frac {p} {q}}}}$ (wo ${\ displayStyle 0 <{\ frac {p} {q}} <1}$), Es gibt eine Perioden-Q-Glühbirne als die genannt ${\ displayStyle {\ frac {p} {q}}}$ Glühbirne, die am Hauptkardioid am Parameter tangential ist

$oder }$

Zyklus in 2/5-Bulb anziehen Julia Set (Animation)

und was Parameter mit enthält ${\ displayStyle q}$-Cycles mit einer kombinatorischen Drehzahl ${\ displayStyle {\ frac {p} {q}}}$. Genauer gesagt die ${\ displayStyle q}$ periodisch Fatou -Komponenten mit dem Anziehungszyklus alle Berührungen an einem gemeinsamen Punkt (üblicherweise als das genannt ${\ displayStyle \ alpha}$-Fixpunkt). Wenn wir diese Komponenten kennzeichnen ${\ displayStyle u_ {0}, \ dots, u_ {q-1}}$ Im Gegenz und gegen den Uhrzeigersinn, dann ${\ displayStyle f_ {c}}$ ordnet die Komponente ab ${\ displayStyle u_ {j}}$ zur Komponente ${\ displayStyle u_ {j+p \, (\ operatorname {mod} q)}}$.

Zyklen anziehen und Julia setzt Für Parameter im 1/2, 3/7, 2/5, 1/3, 1/4 und 1/5 Lampen

Die Verhaltensänderung bei ${\ displayStyle c _ {\ frac {p} {q}}}$ ist als a bekannt Gabelung: Der anziehende Fixpunkt "kollidiert" mit einer abstoßenden Periode-q Kreislauf. Wenn wir den Bifurkationsparameter in die durchlaufen ${\ displayStyle {\ tfrac {p} {q}}}$-Bulb verwandelt sich der anziehende Fixpunkt in einen abstoßenden Fixpunkt (der ${\ displayStyle \ alpha}$-Fixter Punkt) und der Periode-q Zyklus zieht an.

Hyperbolische Komponenten

Alle im vorherigen Abschnitt begegneten Glühbirnen waren Innenkomponenten des Mandelbrot -Sets, in dem die Karten ${\ displayStyle f_ {c}}$ einen periodischen Zyklus anziehen. Solche Komponenten werden genannt Hyperbolische Komponenten.

Es wird vermutet, dass dies die sind nur Innenregionen von ${\ displayStyle m}$. Dieses Problem, bekannt als Dichte der Hyperbolität, kann das wichtigste offene Problem im Bereich von sein Komplexe Dynamik. Hypothetische nicht-hyperbolische Komponenten des Mandelbrot-Sets werden häufig als "queere" oder Geisterkomponenten bezeichnet.^[18][19] Zum real Quadratische Polynome, diese Frage wurde in den neunziger Jahren unabhängig von Lyubich und Graczyk und Świątek positiv beantwortet. (Beachten Sie, dass hyperbolische Komponenten, die die reale Achse schneiden Feigenbaum -Diagramm. Dieses Ergebnis besagt also, dass solche Fenster in der Nähe jedes Parameters im Diagramm existieren.)

Nicht jede hyperbolische Komponente kann durch eine Folge direkter Bifurkationen aus der Hauptkardioid des Mandelbrot -Satzes erreicht werden. Eine solche Komponente jedoch kann durch eine Folge direkter Bifurkationen aus dem Hauptkardioid einer kleinen Mandelbrot -Kopie (siehe unten) erreicht werden.

Jeder der hyperbolischen Komponenten hat a Center, was ein Punkt ist c so dass die innere Fatou -Domäne für ${\ displayStyle f_ {c} (z)}$ hat einen superattraktiven Zyklus-das heißt, die Anziehungskraft ist unendlich (siehe Bild hier). Dies bedeutet, dass der Zyklus den kritischen Punkt 0 enthält, so dass 0 nach einigen Iterationen wieder auf sich selbst wiederholt wird. Das haben wir deshalb das ${\ displayStyle f_ {c}^{n} (0) = 0}$ für einige n. Wenn wir das Polynom nennen ${\ displayStyle q^{n} (c)}$ (Lassen Sie es abhängen c Anstatt von z), wir haben das ${\ displayStyle q^{n+1} (c) = q^{n} (c)^{2}+c}$ und dass der Grad von ${\ displayStyle q^{n} (c)}$ ist ${\ displayStyle 2^{n-1}}$. Wir können daher die Zentren der hyperbolischen Komponenten konstruieren, indem wir die Gleichungen nacheinander lösen ${\ displayStyle q^{n} (c) = 0, n = 1,2,3, ...}$. Die Anzahl der neuen Zentren, die in jedem Schritt produziert werden, wird von Sloane's gegeben Oeis:A000740.

Lokale Konnektivität

Es wird vermutet, dass das Mandelbrot -Set ist lokal verbunden. Diese berühmte Vermutung ist bekannt als MLC (zum Mandelbrot lokal verbunden). Durch die Arbeit von Adrien Douady und John H. HubbardDiese Vermutung würde zu einem einfachen abstrakten "eingeklemmten Festplatten" -Modell des Mandelbrot -Satzes führen. Insbesondere würde es das wichtige bedeuten Hyperbolizitäts Vermutung oben erwähnt.

Die Arbeit von Jean-Christophe Yoccoz etablierte lokale Konnektivität des Mandelbrot -Sets zuletzt endlich renormalisiert Parameter; Das heißt ungefähr diejenigen, die nur in endlich vielen kleinen Mandelbrot -Kopien enthalten sind.^[20] Seitdem wurde die lokale Konnektivität an vielen anderen Punkten von bewiesen ${\ displayStyle m}$, aber die volle Vermutung ist noch offen.

Selbstähnlichkeit

Selbstähnlichkeit Im Mandelbrot-Satz, das durch Zoomen eines runden Features während des Negativs gezoomt wird.x Richtung. Die Pans des Display-Centers von der fünften bis zur siebten Runde (-1.4002, 0) bis (-1.4011, 0), während sich die Ansicht um den Faktor von 21,78 vergrößert, um das Quadrat des Quadrats zu approximieren Feigenbaum -Verhältnis ${\ displayStyle \ Delta}$.

Das Mandelbrot -Set ist selbstähnlich unter Vergrößerung in den Nachbarschaften der Misiurewicz Punkte. Es wird auch vermut Feigenbaum Punkte (z. B. –1.401155 oder –0,1528+1,0397i), im Sinne des Konvertierens zu einem Grenzwert.^[21][22] Der Mandelbrot-Set im Allgemeinen ist nicht streng selbstähnlich, aber es ist quasi selbstähnlich, da kleine, leicht unterschiedliche Versionen von sich selbst auf willkürlich kleinen Maßstäben zu finden sind. Diese kleinen Kopien des Mandelbrot -Sets sind alle etwas unterschiedlich, hauptsächlich aufgrund der dünnen Gewinde, die sie mit dem Hauptkörper des Satzes verbinden.

Weitere Ergebnisse

Das Hausdorff -Dimension des Grenze des Mandelbrot -Satzes entspricht 2, wie durch ein Ergebnis von bestimmt wird Mitsuhiro Shishikura.^[23] Die Tatsache, dass dies größer ist (von einer ganzen Ganzzahl!) fraktal Art der Mandelbrot -Grenze. Tatsächlich gibt Shishikuras Ergebnis intuitiv an, dass die Grenze zwischen Mandelbrot so "wackelig" ist, dass es es schafft, den Raum so effizient wie eine zweidimensionale planare Region lokal auszufüllen. Dies eröffnet die potenzielle Möglichkeit, dass der Mandelbrot die Grenze festgelegt hat, obwohl sie eine Kurve ist, a ungleich Null Bereich (oder formaler hat einen positiven Planar Lebesgue -Maßnahme). Ob dies tatsächlich der Fall ist oder nicht, bleibt heute ein offenes Problem.

Es wurde gezeigt^[24] dass der verallgemeinerte Mandelbrot in höherdimensionalen Hyperkomplex-Zahlenräumen festgelegt ist (d. H. Wenn die Leistung ${\ displayStyle \ alpha}$ der iterierten Variablen ${\ displayStyle z}$ tendiert um unendlich) ist der Einheit konvergent (${\ displayStyle \ alpha}$-1) -Sphere.

In dem Blum -Shub -Smale Modell von Echte Berechnung, der Mandelbrot -Set ist nicht berechnet, aber seine Ergänzung ist rechenbar aufzählbar. Allerdings viele einfache Objekte (z.B.Das Diagramm der Exponentiation) ist auch im BSS -Modell nicht berechnet. Derzeit ist nicht bekannt Berechnungsbare Analyse, die enger mit der intuitiven Vorstellung entsprechen, "den von einem Computer festgelegten Satz zu zeichnen". Hertling hat gezeigt, dass der Mandelbrot -Satz in diesem Modell berechnet werden kann, wenn die Hyperbolizitätsvermutung wahr ist.

Beziehung zu Julia Sets

Infolge der Definition des Mandelbrot -Satzes gibt es eine enge Korrespondenz zwischen dem Geometrie des an einem bestimmten Punkt festgelegten Mandelbrot und der Struktur der entsprechenden Julia Set. Beispielsweise befindet sich ein Punkt im Mandelbrot -Set genau, wenn der entsprechende Julia -Satz verbunden ist.

Dieses Prinzip wird in praktisch allen tiefen Ergebnissen im Mandelbrot -Set genutzt. Zum Beispiel hat Shishikura bewiesen, dass die Julia -Set für eine dichte Reihe von Parametern in der Grenze des Mandelbrot -Sets hat Hausdorff -Dimension zwei, und überträgt diese Informationen dann in die Parameterebene.^[23] In ähnlicher Weise hat Yoccoz zunächst die lokale Konnektivität von Julia -Mengen bewiesen, bevor sie für den Mandelbrot -Set an den entsprechenden Parametern festgelegt wurde.^[20] Adrien Douady eloquent fasst dieses Prinzip als:

Pflügen Sie in der dynamischen Ebene und ernten Sie im Parameterraum.

Geometrie

Für jede rationale Zahl ${\ displayStyle {\ tfrac {p} {q}}}$, wo p und q sind relativ primär, eine hyperbolische Komponente der Periode q Bifurcate vom Hauptkardioid an einem Punkt am Rande des Cardioids, der einem entspricht innerer Winkel von ${\ displayStyle {\ tfrac {2 \ pi p} {q}}}$.^[25] Der Teil des Mandelbrot -Satzes, der an der Hauptkardioid an diesem Bifurkationspunkt angeschlossen ist p/q-Glied. Computerexperimente legen nahe, dass die Durchmesser der Extremität tendiert zu Null wie ${\ displayStyle {\ tfrac {1} {q^{2}}}}$. Die beste bekannte aktuelle Schätzung ist die Yoccoz-Engalität, was besagt, dass die Größe null null ist wie ${\ displayStyle {\ tfrac {1} {q}}}$.

Eine Periode, ein Zeitabstand-q Glied wird haben ${\ displayStyle q-1}$ "Antennae" oben auf seiner Extremität. Wir können somit die Periode einer bestimmten Glühbirne bestimmen, indem wir diese Antennen zählen. Wir können auch den Zähler der Rotationsnummer finden, pdurch die Nummerierung jeder Antenne gegen den Uhrzeigersinn vom Glied von 1 nach ${\ displayStyle q-1}$ und herauszufinden, welche Antenne die kürzeste ist.^[25]

Pi im Mandelbrot -Set

Um zu demonstrieren, dass die Dicke der p/q-limb ist null, David Boll hat a durchgeführt Computer Experiment im Jahr 1991, wo er die Anzahl der für die erforderlichen Iterationen berechnete Serie abweichen ${\ displayStyle z =-{\ tfrac {3} {4}}+i \ varepsilon}$ (${\ displayStyle -{\ tfrac {3} {4}}}$ der Ort davon sein). Da die Serie nicht für den genauen Wert von abweist ${\ displayStyle z =-{\ tfrac {3} {4}}}$Die Anzahl der erforderlichen Iterationen steigt mit einem kleinen Anstieg ${\ displayStyle \ varepsilon}$. Es stellt sich heraus, dass sich der Wert von multiplizieren ${\ displayStyle \ varepsilon}$ mit der Anzahl der erforderlichen Iterationen ergibt eine Annäherung von ${\ displayStyle \ pi}$ Das wird besser für kleiner ${\ displayStyle \ varepsilon}$. Zum Beispiel für ${\ displayStyle \ varepsilon}$ = 0,0000001 Die Anzahl der Iterationen beträgt 31415928 und das Produkt beträgt 3,1415928.^[26] Im Jahr 2001 erwies sich Aaron Klebanoff als Bolls Entdeckung.^[27]

Fibonacci -Sequenz im Mandelbrot -Set

Es kann gezeigt werden, dass die Fibonacci-Folge befindet sich innerhalb des Mandelbrot -Satzes und dass eine Beziehung zwischen dem Hauptkardioid und dem besteht Tirey Diagramm. Bei der Abbildung des Hauptkardioids auf eine Festplatte kann man feststellen, dass die Menge an Antennen, die sich von der nächstgrößten hyperbolischen Komponente erstreckt und zwischen den beiden zuvor ausgewählten Komponenten befindet, der Fibonacci -Sequenz folgt. Die Menge an Antennen korreliert auch mit dem fairen Diagramm und der Nenner ist innerhalb der entsprechenden Bruchwerte, von denen sich auf die Entfernung um die Scheibe bezieht. Beide Teile dieser Bruchwerte selbst können danach zusammen summiert werden ${\ displayStyle {\ frac {1} {3}}}$ Um den Ort der nächsten hyperbolischen Komponente innerhalb der Sequenz zu erzeugen. Somit kann die Fibonacci -Sequenz von 1, 2, 3, 5, 8, 13 und 21 innerhalb des Mandelbrot -Satzes gefunden werden.

Bildgalerie einer Zoomsequenz

Die Grenze des Mandelbrot -Satzes zeigt kompliziertere Details, je näher man aussieht oder vergrößert Das Bild, normalerweise "Zoomen in" genannt. Das folgende Beispiel einer Bildsequenz, die zu einem ausgewählten Zoomen geht c Der Wert gibt einen Eindruck des unendlichen Reichtums verschiedener geometrischer Strukturen, die in der Mandelbrot -Grenze vorhanden sind, und erklärt einige ihrer typischen Regeln.

Die Vergrößerung des letzten Bildes relativ zum ersten beträgt ungefähr 10¹⁰ bis 1. im Zusammenhang mit einem gewöhnlichen Zusammenhang ComputerbildschirmEs stellt einen Abschnitt eines Mandelbrot -Sets mit einem Durchmesser von 4 Millionen Kilometern dar. Sein Rand zeigt eine astronomische Anzahl verschiedener fraktaler Strukturen.

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  Anfang. Mandelbrot mit kontinuierlich gefärbter Umgebung.

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  Lücke zwischen dem "Kopf" und dem "Körper", das auch das "Seahorse Valley" bezeichnet wird, genannt

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  Doppelte Spirale links, "Seepferdchen" rechts

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  "Seepferdchen" verkehrt herum

Der Seahorse "Körper" besteht aus 25 "Speichen", bestehend aus zwei Gruppen von 12 "Speichen" jeweils ", die sich mit dem Hauptkardioid verbinden. Diese beiden Gruppen können durch eine Art von Metamorphose auf die beiden "Finger" der "Oberhand" des Mandelbrot -Sets zurückgeführt werden. Daher steigt die Anzahl der "Speichen" von einem "Seepferdchen" zum nächsten um 2; Der "Hub" ist sogenannt Misiurewicz Punkt. Zwischen dem "oberen Teil des Körpers" und dem "Schwanz" kann eine verzerrte kleine Kopie des Mandelbrot -Sets als Satelliten erkannt werden.

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  Der zentrale Endpunkt des "Seepferdchenschwanzes" ist auch a Misiurewicz Punkt.

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  Ein Teil des "Schwanzes" - Es gibt nur einen Weg, der aus den dünnen Strukturen besteht, die durch den gesamten "Schwanz" führen. Dieser Zick -Zack -Pfad übergibt die "Hubs" der großen Objekte mit 25 "Speichen" am inneren und äußeren Rand des "Schwanzes"; Somit ist der Mandelbrot -Set a Einfach verbunden Set, was bedeutet, dass es keine Inseln und keine Schleifenstraßen um ein Loch gibt.

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  Satellit. Die beiden "Seahorse Tails" sind der Beginn einer Reihe konzentrischer Kronen mit dem Satelliten in der Mitte.

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  Jede dieser Kronen besteht aus ähnlichen "Seepferdchenschwänzen"; Ihre Zahl nimmt mit 2 -Kräften zu, einem typischen Phänomen in der Umgebung der Satelliten. Der einzigartige Weg zum Spiralzentrum führt den Satellit von der Rille des Cardioids bis zur Spitze der "Antenne" am "Kopf".

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  "Antenne" des Satelliten. Es können mehrere Satelliten zweiter Ordnung erkannt werden.

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  Das "Seahorse Valley" des Satelliten. Alle Strukturen vom Beginn des Zooms tauchen wieder auf.

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  Doppelpirale und "Seepferdchen"-im Gegensatz zum 2. Bild von Anfang an haben sie Anhänge, die aus Strukturen wie "Seahorse Tails" bestehen. Dies zeigt die typische Verknüpfung von n + 1 verschiedene Strukturen in der Umgebung der Satelliten der Ordnung n, hier für den einfachsten Fall n = 1.

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  Doppelspirale mit Satelliten zweiter Ordnung-analog zu den "Seepferdchen" und können als Metamorphose der "Antenne" als Metamorphose interpretiert werden.

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  Im äußeren Teil der Anhänge können Strukturen anerkannt werden; Sie haben eine Form wie Julia setzt J_c; Der größte von ihnen kann in der Mitte des "Doppelhochs" auf der rechten Seite gefunden werden

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  Teil des "Doppelhochs"

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  Inseln

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  Detail einer Insel

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  Detail der Spirale. Öffnen Sie diesen Ort in einem interaktiven Betrachter.

Die Inseln im dritten bis lenten Schritt scheinen aus unendlich vielen Teilen wie zu bestehen Kantorsets, wie es ist^{[Klarstellung erforderlich]} Eigentlich der Fall für den entsprechenden Julia -Set ${\ displayStyle j_ {c}}$. Sie sind jedoch durch winzige Strukturen verbunden, so dass das Ganze einen einfach verbundenen Satz darstellt. Die winzigen Strukturen treffen sich in einem Satelliten in der Mitte, der zu klein ist, um bei dieser Vergrößerung erkannt zu werden. Der Wert von ${\ displayStyle c}$ für die entsprechenden ${\ displayStyle j_ {c}}$ ist nicht das des Bildzentrums, sondern hat relativ zum Hauptkörper des Mandelbrot -Sets die gleiche Position wie die Zentrum dieses Bildes relativ zum Satelliten, das im 6. Zoomschritt gezeigt wird.

Innere Struktur

Während der Mandelbrot -Set normalerweise das externe Grenzdetail dargestellt wird, kann auch die Struktur innerhalb des begrenzten Satzes aufgedeckt werden. Wenn Sie beispielsweise berechnet werden, ob ein gegebener C -Wert gebunden oder ungebunden ist, während er gebunden bleibt, kann der maximale Wert, den diese Zahl erreicht, mit dem C -Wert an diesem Ort verglichen werden. Wenn die Summe der Quadratsmethoden verwendet wird, wäre die berechnete Zahl max: (real^2 + imaginär^2) - c: (real^2 + imaginär^2). Das Ausmaß dieser Berechnung kann als Wert für einen Gradienten gerendert werden.

Dies führt zu Ergebnissen wie folgenden, Gradienten mit unterschiedlichen Kanten und Konturen, wenn die Grenzen angesprochen werden. Die Animationen dienen dazu, die Gradientengrenzen hervorzuheben.

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  Animierte Gradientenstruktur im Mandelbrot -Set

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  Animierte Gradientenstruktur im Mandelbrot -Set, Detail

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  Darstellung progressiver Iterationen von 285 auf ungefähr 200.000 mit entsprechenden begrenzten Gradienten animiert

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  Miniaturansicht für Gradienten in progressiven Iterationen

Verallgemeinerungen

Animationen des Multibrot -Satzes für d von 0 bis 5 (links) und von 0,05 bis 2 (rechts).

Ein 4D-Julia-Set kann in 3D projiziert oder querisch projiziert werden, und aus diesem Grund ist auch ein 4D-Mandelbrot möglich.

Multibrot -Sets

Multibrot -Sets sind begrenzte Sets in der gefunden Komplexe Ebene für Mitglieder des allgemeinen Monic Univariate Polynom Familie der Rekursionen

${\ displayStyle z \ mapsto z^{d}+c. \}$

Für ein ganze Zahl D, diese Sets sind für die aus derselben Formel erstellten Julia -Sets mit verbundenen Loki verbunden. Der vollständige Locus Cubic Connectedness wurde ebenfalls untersucht. Hier berücksichtigt man die Zwei-Parameter-Rekursion ${\ displayStyle z \ mapsto z^{3}+3kz+c}$, deren zwei kritische Punkte sind die Komplexe quadratische Wurzeln des Parameters k. Ein Parameter befindet sich im Kubik -Verbindungsort, wenn beide kritischen Punkte stabil sind.^[28] Für allgemeine Familien von Holomorphe Funktionen, das Grenze des Mandelbrot -Satzes verallgemeinert auf die Bifurkationsort, was ein natürliches Objekt ist, das man auch untersuchen kann, wenn der Verbindungsort nicht nützlich ist.

Das Multibrot set wird erhalten, indem der Wert des Exponenten variiert d. Das Artikel hat ein Video, das die Entwicklung von zeigt ${\ displayStyle d}$ = 0 bis 7, an diesem Punkt gibt es 6, d.h. ${\ displayStyle (d-1)}$ Lappen um die Umfang. Im Allgemeinen, wenn d ist eine positive Ganzzahl, die zentrale Region in jedem dieser Sets ist immer ein Epicycloid von ${\ displayStyle (d-1)}$ Höcker. Eine ähnliche Entwicklung mit negativen integralen Exponenten führt dazu ${\ displayStyle (1-d)}$ Spalten an der Innenseite eines Rings, in dem die Hauptzentralregion des Sets a ist Hypocycloid von ${\ displayStyle (1-d)}$ Höcker.

Höhere Dimensionen

Es gibt keine perfekte Erweiterung des Mandelbrot in 3D. Dies liegt daran, dass es kein 3D -Analogon der komplexen Zahlen gibt, für die sie iterieren können. Es gibt jedoch eine Erweiterung der komplexen Zahlen in 4 Dimensionen, die als die genannt werden QuaternionenDies schafft eine perfekte Erweiterung des Mandelbrot -Sets und die Julia setzt in 4 Dimensionen ein.^[29] Diese können dann entweder sein Querschnitt oder projiziert in eine 3D -Struktur. Das Quaternion (vierdimensionale) Mandelbrot-Set ist jedoch einfach a solide der Revolution des zweidimensionalen Mandelbrot-Satzes (in der J-K-Ebene) und ist daher weitgehend uninteressant, da es keine der Eigenschaften hat, die von einem vierdimensionalen Fraktal erwartet werden.^[30] Einnahme eines dreidimensionalen Querschnitts bei ${\ displayStyle d = 0 \ (q = a+bi+cj+dk)}}$ führt zu einem Feststoff der Revolution des 2-dimensionalen Mandelbrot, der sich um die reale Achse setzt.

Andere, nicht analytische Mappings

Bild des Tricorn / Mandelbar Fractal

Von besonderem Interesse ist das Tricorn fraktal, der verbundene Ort der verbundenen Anti-Holomorph Familie

${\ displayStyle z \ mapsto {\ bar {z}}^{2}+c.}$

Das Tricorn (manchmal auch das genannt Mandelbar) wurde von begegnet von Milnor In seiner Untersuchung von Parameterscheiben von Real Kubische Polynome. es ist nicht lokal verbunden. Diese Eigenschaft wird durch den Connectedness -Ort realer kubischer Polynome geerbt.

Eine andere nicht analytische Verallgemeinerung ist die Brennende Schiffsfraktal, die durch Iterieren von Folgendem erhalten wird:

${\ displaystyle z \ mapsto (| \ re \ links (z \ rechts) |+i | \ im \ links (z \ rechts) |)^{2}+c.}$

Computerzeichnungen

Es gibt eine Vielzahl verschiedener Algorithmen, um den Mandelbrot -Satz über ein Computergerät zu zeichnen. Hier wird der am häufigsten verwendete und einfachste Algorithmus demonstriert, nämlich der naive "Fluchtzeitalgorithmus". Im Fluchtzeitalgorithmus wird für jeden eine wiederholte Berechnung durchgeführt x, y Zeigen Sie in der Handlungsfläche und basierend auf dem Verhalten dieser Berechnung wird eine Farbe für dieses Pixel ausgewählt.

Das x und y Positionen jedes Punktes werden als Startwerte in einer Wiederholungs- oder Iterationsberechnung verwendet (im Detail unten beschrieben). Das Ergebnis jeder Iteration wird als Startwerte für die nächste verwendet. Die Werte werden während jeder Iteration überprüft, um festzustellen, ob sie einen kritischen "Flucht" oder "Rettungspaket" erreicht haben. Wenn diese Bedingung erreicht ist, wird die Berechnung gestoppt, das Pixel wird gezeichnet und der nächste x, y Punkt wird untersucht.

Die Farbe jedes Punktes gibt an, wie schnell die Werte den Fluchtpunkt erreicht haben. Oft wird Schwarz verwendet, um Werte zu zeigen, die vor der Iterationsgrenze nicht entkommen, und allmählich hellere Farben werden für die Flucht von Punkten verwendet. Dies ergibt eine visuelle Darstellung, wie viele Zyklen erforderlich waren, bevor Sie die Fluchtbedingung erreichten.

Um ein solches Bild zu rendern, ist der Bereich der komplexen Ebene, die wir in Betracht ziehen, in eine bestimmte Anzahl von unterteilt Pixel. Um ein solches Pixel zu färben, lassen Sie es ${\ displayStyle c}$ Sei der Mittelpunkt dieses Pixels. Wir iterieren jetzt den kritischen Punkt 0 unter ${\ displayStyle f_ {c}}$und überprüft in jedem Schritt, ob der Umlaufpunkt einen Radius größer als 2 hat. Wenn dies der Fall ist, wissen wir das ${\ displayStyle c}$ gehört nicht zum Mandelbrot -Set, und wir färben unser Pixel gemäß der Anzahl der Iterationen, die zur Ermittlung von herausgefundenen Iterationen verwendet werden. Andernfalls werden wir bis zu einer festen Anzahl von Schritten wiederholt, woraufhin wir entscheiden, dass unser Parameter "wahrscheinlich" im Mandelbrot -Set oder zumindest sehr nahe an der Nähe ist und das Pixel schwarz färben.

Im PseudocodeDieser Algorithmus würde wie folgt aussehen. Der Algorithmus verwendet keine komplexen Zahlen und simuliert manuell komplexe Nummer-Operationen mit zwei realen Zahlen, für diejenigen, die keine Komplexer Datentyp. Das Programm kann vereinfacht werden, wenn die Programmiersprache enthält Komplex-Data-Typ Operationen.

für jeden Pixel (PX, PY) auf dem Bildschirm tun     x0: = skalierte X-Koordinate von Pixel (skaliert, um in der Mandelbrot X-Skala (-2,00, 0,47)) Y0: = skalierte Y-Koordinate von Pixel (skaliert, um in der Mandelbrot-Y-Skala (-1.12, 1.12)) x zu liegen: x: = 0,0 y: = 0,0 Iteration: = 0 max_iteration: = 1000 während (x*x + y*y ≤ 2*2 und Iteration <max_iteration) tun         xtemp: = x*x - y*y + x0 y: = 2*x*y + y0 x: = xtemp iteration: = iteration + 1 color: = palette [iteration] plot (px, py, Farbe)

Hier in Bezug auf den Pseudocode auf ${\ displayStyle c}$, ${\ displayStyle z}$ und ${\ displayStyle f_ {c}}$:

• ${\ displayStyle z = x+iy \}$
• ${\ displayStyle z^{2} = x^{2}+i2xy-y^{2} \}$
• ${\ displayStyle c = x_ {0}+iy_ {0} \}$

und so, wie im Pseudocode in der Berechnung von zu sehen ist x und y:

• $oder$ und ${\ displayStyle y = \ mathop {\ mathrm {im}} (z^{2}+c) = 2xy+y_ {0}. \}$

Um farbenfrohe Bilder des Satzes zu erhalten, kann die Zuordnung einer Farbe zu jedem Wert der Anzahl der ausgeführten Iterationen unter Verwendung einer Vielzahl von Funktionen (linear, exponentiell usw.) erstellt werden.

Referenzen in der Populärkultur

Das Mandelbrot -Set wird von vielen der beliebtesten betrachtet fraktal,^[31][32] und wurde mehrmals in Bezug genommen in Popkultur.

• Das Jonathan Coulton Song "Mandelbrot Set" ist eine Hommage sowohl an den Fraktal selbst als auch an den Mann, nach dem es benannt ist, Benoit Mandelbrot.^[33]
• Das zweite Buch der Modusreihe durch Piers Anthony, Fraktalmodusbeschreibt eine Welt, die ein perfektes 3D -Modell des Sets ist.^[34]
• Das Arthur C. Clarke Roman Der Geist der Grand Banks verfügt über einen künstlichen See, um die Form des Mandelbrot -Sets zu replizieren.^[35]
• Benoit Mandelbrot und das gleichnamige Set waren am 20. November 2020 die Themen des Google Doodle (der 96. Geburtstag des verstorbenen Benoit Mandelbrot).^[36]
• Die American Rock Band Herz hat ein Bild eines Mandelbrot auf dem Cover ihres 2004er Albums, Jupiters Liebling.
• Die Fernsehserie Dirk Safts ganzheitliche Detektivagentur (2016) zeigt im Zusammenhang mit den Visionen des Charakters Amanda prominent die Mandelbrot. In der zweiten Staffel hat ihre Jacke ein großes Bild des Fraktals auf der Rückseite.^[37]
• Im Ian Stewart's 2001 Buch SchmachelandEs gibt einen Charakter namens MandelBlot, der den Charakteren und dem Leser Fraktale erklärt.^[38]

Siehe auch

Verweise

Weitere Lektüre

• Milnor, John W. (2006). Dynamik in einer komplexen Variablen. Annalen der Mathematikstudien. Vol. 160 (dritter Aufl.). Princeton University Press. ISBN 0-691-12488-4.
  (Erschien zum ersten Mal 1990 als Stony Brook IMS Preprint, erhältlich als ARXIV: math.ds/9201272 )
• Lesmoir-Gordon, Nigel (2004). Die Farben der Unendlichkeit: Die Schönheit, die Kraft und das Gefühl von Fraktalen. ISBN 1-904555-05-5.
  (Beinhaltet eine DVD mit Arthur C. Clarke und David Gilmour)
• Peitgen, Heinz-Otto; Jürgens, Hartmut; Saupe, Dietmar (2004) [1992]. Chaos und Fraktale: neue Grenzen der Wissenschaft. New York: Springer. ISBN 0-387-20229-3.

Externe Links

• Chaos und Fraktale bei Curlie
• Video: Mandelbrot Fractal Zoom auf 6.066 E228
• Relativ einfache Erklärung des mathematischen Prozesses, durch Dr. Holly Krieger, MIT
• Mandelbrot Viewer: Browser -basierter Mandelbrot Set Renderer einschließlich a Galerie mit Beispielen.
• Verschiedene Algorithmen zur Berechnung des Mandelbrot -Satzes (an Rosetta -Code)
• Fraktaler Taschenrechner in Lua von Deyan Dobromiroiv, Sofia, Bulgarien