MAX-3SAT

Max-3sat ist ein Problem in der Rechenkomplexität Unterfeld von Informatik. Es verallgemeinert das Boolesche Zufriedenheitsproblem (Sa) was ist a Entscheidungsproblem Betrachtet in Komplexitätstheorie. Es ist definiert als:

Angenommen 3-CNF Formel φ (d. H. Mit höchsten 3 Variablen pro Klausel) finden Sie eine Zuordnung, die die größte Anzahl von Klauseln erfüllt.

Max-3sat ist ein Kanonisch Komplett Problem für die Komplexitätsklasse Maxsnp (In Papadimitriou S. 314 vollständig gezeigt).

Nutzbarkeit

Die Entscheidungsversion von Max-3sat ist NP-Complete. Daher a Polynomzeit Lösung kann nur erreicht werden, wenn P = np. Mit diesem einfachen Algorithmus kann jedoch eine Näherung innerhalb eines Faktors 2 erreicht werden:

• Ausgabe der Lösung, in der die meisten Klauseln erfüllt sind, wenn entweder alle Variablen = true oder alle Variablen = false.
• Jede Klausel wird durch eine der beiden Lösungen erfüllt, daher erfüllt eine Lösung mindestens die Hälfte der Klauseln.

Das Karloff-Zwick-Algorithmus rennt herein Polynomzeit und erfüllt ≥ 7/8 der Klauseln. Während dieser Algorithmus randomisiert ist, kann er mithilfe der Techniken der Techniken der Handlung desandomisiert werden ^[1] Um einen deterministischen (Polynomzeit-) Algorithmus mit den gleichen Annäherungsgarantien zu ergeben.

Satz 1 (Unangemessenheit)

Das PCP -Theorem impliziert, dass es eine gibt ε > 0 so dass (1-ε) -Approximation von Max-3sat ist Np-harte.

Nachweisen:

Irgendein NP-Complete Problem ${\ displayStyle l \ in {\ mathsf {PCP}} (o (\ log (n)), o (1))}$ bis zum PCP -Theorem. Für x ∈ L, a 3-CNF Formel ψ_x ist so konstruiert, dass

• x ∈ L ⇒ ψ_x ist befriedigend
• x ∉ L ⇒ Nicht mehr als (1-ε)m Klauseln von ψ_x sind befriedigend.

Der Verifier V liest alle erforderlichen Bits gleichzeitig vor, d. H. Nicht adaptive Anfragen macht. Dies ist gültig, da die Anzahl der Abfragen konstant bleibt.

• Lassen q Sei die Anzahl der Abfragen.
• Aufzistung aller zufälligen Saiten R_i ∈ V, wir erhalten Poly (x) Saiten seit der Länge jeder Saite ${\ displayStyle r (x) = o (\ log | x |)}$.
• Für jeden R_i
  • V wählt q Positionen i₁, ...,i_q und eine Boolesche Funktion f_R: {0,1}^q-> {0,1} und akzeptiert, ob und nur wenn f_R(π (i₁,...,ich_q)). Hier bezieht sich π auf den vom Orakel erhaltenen Beweis.

Als nächstes versuchen wir eine zu finden Boolesche Formel, um dies zu simulieren. Wir führen boolesche Variablen ein x₁, ...,x_l, wo l ist die Länge des Beweises. Um zu demonstrieren, dass der Verifizierer hereinläuft Probabilistisch PolynomzeitWir brauchen eine Korrespondenz zwischen der Anzahl der zufriedenen Klauseln und der Wahrscheinlichkeit, dass der Verifier akzeptiert.

• Für jeden R, fügen Sie fest, die dargestellt werden f_R(x_I1, ...,x_iq) mit 2^q Sa Klauseln. Längenklauseln q werden durch Hinzufügen neuer (Hilfs-) Variablen in Länge 3 umgewandelt, z. x₂ ∨ x₁₀ ∨ x₁₁ ∨ x₁₂ = ( x₂ ∨ x₁₀ ∨ y_R) ∧ ( y_R ∨ x₁₁ ∨ x₁₂). Dies erfordert maximal von q2^q 3-sa Klauseln.
• Wenn z ∈ L dann
  • Es gibt einen Beweis π, so dass V^π (z) akzeptiert für jeden R_i.
  • Alle Klauseln sind zufrieden, wenn x_i = π(i) und die Hilfsvariablen werden korrekt hinzugefügt.
• Wenn Eingabe z ∉ L dann
  • Für jede Aufgabe zu x₁, ...,x_l und y_R's, der entsprechende Beweis π (i) = x_i veranlasst den Überprüfer für die Hälfte aller R ∈ {0,1}^r(|z|).
    • Für jeden R, eine Klausel, die darstellt f_R scheitert.
    • Daher ein Bruch ${\ displayStyle {\ frac {1} {2}} {\ frac {1} {q2^{q}}}}$ von Klauseln scheitert.

Es kann geschlossen werden, dass, wenn dies für jeden gilt NP-Complete Problem dann das PCP -Theorem Muss wahr sein.

Satz 2

Håstad ^[2] zeigt ein engeres Ergebnis als Satz 1, d. H. Der bekannteste Wert für ε.

Er konstruiert einen PCP -Verifizierer für 3-sa Das liest nur 3 Bit aus dem Beweis.

Für jeden ε > 0, es gibt einen PCP-Verifizierer m für 3-sa Das liest eine zufällige Zeichenfolge r von Länge ${\ displayStyle o (\ log (n))}$ und berechnet Abfragepositionen i_r, j_r, k_r im Beweis π und ein bisschen b_r. Es akzeptiert, ob und nur wenn 'π(i_r) ⊕ π(j_r) ⊕ π(k_r) = b_r.

Der Verifizierer hat Vollständigkeit (1–ε) und Solidität 1/2 + ε (beziehen auf PCP (Komplexität)). Der Überprüfer erfüllt

$oder$

$oder$

Wenn die erste dieser beiden Gleichungen wie gewohnt mit "= 1" gleichgesetzt wurde, könnte man durch Lösen eines Systems linearer Gleichungen einen Beweis π finden (siehe Max-3lin-eqn) implizieren P = np.

• Wenn z ∈ L, ein Bruch ≥ (1 - ε) von Klauseln sind zufrieden.
• Wenn z ∉ Ldann für a (1/2 - ε) ein Bruchteil von R, 1/4 Klauseln sind widerlegt.

Dies reicht aus, um die Härte des Annäherungsverhältnisses zu beweisen

${\ displayStyle {\ frac {1-{\ frac {1} {4}} ({\ frac {1} {2}}-\ epsilon)} {1- \ epsilon} = {\ frac {7} {{1- {{{{{{{{ 8}}+\ Epsilon '}$

Verwandte Probleme

Max-3SAT (b) ist der eingeschränkte Sonderfall von Max-3sat wo jede Variable in höchstem Maße vorkommt B Klauseln. Vor dem PCP -Theorem Wurde nachgewiesen, Papadimitriou und Yannakakis^[3] zeigte das für einige feste Konstante B, Dieses Problem ist max. Folglich ist es mit dem PCP-Theorem auch APX-HART. Dies ist nützlich, weil Max-3SAT (b) kann oft verwendet werden, um eine PTAS-Präziving-Reduktion auf eine Weise zu erhalten, die Max-3sat kann nicht. Beweise für explizite Werte von B alles inklusive B ≥ 13,^[4][5] und alles B ≥ 3^[6] (was am besten möglich ist).

Darüber hinaus, obwohl das Entscheidungsproblem 2SAT ist in Polynomzeit lösbar, Max-2Sat(3) ist auch apx-hard.^[6]

Das bestmögliche Approximationsverhältnis für Max-3sat (b), als Funktion von B, ist mindestens ${\ displayStyle 7/8+\ Omega (1/b)}$ und höchstens ${\ displayStyle 7/8+o (1/{\ sqrt {b}})}$,^[7] wenn nicht Np=RP. Einige explizite Grenzen für die Annachkenntniskonstanten für bestimmte Werte von B sind bekannt.^{[8] [9] [10]} Berman, Karpinski und Scott haben das für die "kritischen" Fälle von bewiesen Max-3sat Bei jedem wörtlichen Auftritt genau zweimal und jede Klausel ist genau die Größe 3, ist das Problem für einen konstanten Faktor näher.^[11]

Max-Eksat ist eine parametrisierte Version von Max-3sat wo jede Klausel hat exakt k Literale, für k ≥ 3. Es kann effizient mit dem Annäherungsverhältnis angenähert werden ${\ displayStyle 1- (1/2)^{k}}$ Verwenden von Ideen von Codierungstheorie.

Es wurde bewiesen, dass zufällige Fälle von Max-3sat kann innerhalb des Faktors angenähert werden 8/9.^[12]

Verweise

Vorlesungen von der University of California, Berkeley, Codierungstheorienotizen an der Universität in Buffalo