LP -Raum

Im Mathematik, das $L p$ Räume sind Funktionsräume definiert mit einer natürlichen Verallgemeinerung der $p$ -Norm für endlich-dimensionale Vektorräume. Sie werden manchmal genannt LeBesgue -Räume, benannt nach Henri Lebesgue (Dunford & Schwartz 1958, Iii.3), obwohl nach dem Bourbaki Gruppe (Bourbaki 1987) Sie wurden zuerst von vorgestellt von Frigyes Riesz (Riesz 1910). $L p$ Räume eine wichtige Klasse von bilden Banach -Räume in Funktionsanalyse, und von Topologische Vektorräume. Aufgrund ihrer Schlüsselrolle bei der mathematischen Analyse von Maß- und Wahrscheinlichkeitsräumen werden auch Lebesgue -Räume auch in der theoretischen Diskussion von Problemen in Physik, Statistik, Finanzen, Ingenieurwesen und anderen Disziplinen verwendet.

Anwendungen

Statistiken

Im Statistiken, Messungen von zentrale Tendenz und Statistische Dispersion, so wie die bedeuten, Median, und Standardabweichung, werden in Bezug auf definiert $L p$ Metriken und Messungen der zentralen Tendenz können als charakterisiert werden Lösungen für Variationsprobleme.

Im Bestrafte Regression, "L1 -Strafe" und "L2 -Strafe" beziehen sich auf die Bestrafung der beiden $L 1$ Norm des Vektors von Parameterwerten einer Lösung (d. H. Die Summe ihrer absoluten Werte) oder der $L 2$ Norm (ITS Euklidische Länge). Techniken, die eine L1 -Strafe verwenden, wie LASSO, fördern Sie Lösungen, bei denen viele Parameter Null sind. Techniken, die eine L2 -Strafe verwenden, wie Ridge Regression, Ermutigen Sie Lösungen, bei denen die meisten Parameterwerte klein sind. Elastische Netto -Regularisierung Verwendet eine Strafzeit, die eine Kombination von der ist $L 1$ Norm und die $L 2$ Norm des Parametervektors.

Hausdorff -Young -Ungleichheit

Das Fourier-Transformation für die reale Linie (oder, für regelmäßige Funktionen, sehen die Fourierreihe), Karten $L p (R)$ zu $L q (R)$ (oder $L p (T)$ zu $ℓ q$ ) jeweils wo $1 \leq p \leq 2$ und $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 1/p + 1/q = 1.$ Dies ist eine Folge der Riesz -Thorin -Interpolationssatzund wird genau mit dem gemacht Hausdorff -Young -Ungleichheit.

Dagegen, wenn $p > 2$ Die Fourier -Transformation ist nicht zugeordnet in $L q$ .

Hilbert Räume

Hilbert Räume sind für viele Anwendungen von zentraler Bedeutung, von Quantenmechanik zu Stochastischer Kalkül. Die Räume $L 2$ und $ℓ 2$ sind beide Hilbert -Räume. In der Tat durch Auswahl einer Hilbert -Basis $E$ , d.h. eine maximale orthonormale Untergruppe von $L 2$ oder irgendein Hilbert -Raum sieht man, dass jeder Hilbert -Raum isometrisch isomorph ist $ℓ 2 (E)$ (gleich $E$ wie oben), d. H. Ein Hilbert -Raum des Typs $ℓ 2$ .

Das $p$ -norm in endlichen Dimensionen

Illustrationen von Einheitskreise (siehe auch Superellipse) in

R 2

Basierend auf anderen

p

-Norms (jeder Vektor vom Ursprung bis zum Einheitskreis hat eine Länge von einer, die Länge wird mit Längeformula der entsprechenden Berechnung berechnet

p

).

Die Länge eines Vektors $x = (x 1, x 2, ..., x n)$ in dem $n$ -Dimensional real Vektorraum $R n$ wird normalerweise von der gegeben Euklidische Norm:

oder }^{2} \ rechts)^{1/2}.}

Der euklidische Abstand zwischen zwei Punkten $x$ und $y$ ist die Länge $|| x - y || 2$ der geraden Linie zwischen den beiden Punkten. In vielen Situationen reicht die euklidische Entfernung nicht aus, um die tatsächlichen Entfernungen in einem bestimmten Raum zu erfassen. Eine Analogie dazu wird von Taxifahrern in einem Grid Street -Plan vorgeschlagen, der die Entfernung nicht in Bezug auf die Länge der geraden Linie zu ihrem Ziel messen sollte, sondern in Bezug auf die geradlinige Entfernung, was berücksichtigt, dass Straßen entweder orthogonal oder parallel zueinander sind. Die Klasse von $p$ -Norms verallgemeinern diese beiden Beispiele und hat in vielen Teilen von einer Fülle von Anwendungen Mathematik, Physik, und Informatik.

Definition

Für ein reelle Zahl $p \geq 1$ , das $p$ -Norm oder $L p$ -Norm von $x$ wird definiert von

oder |^{p} \ rechts)^{1/p}.}

Die Absolutwertbalken können fallen gelassen werden, wenn

p

ist eine rationale Zahl mit einem geraden Zähler in seiner reduzierten Form, und

x

wird aus dem Satz realer Zahlen oder einer seiner Teilmengen gezeichnet.

Die euklidische Norm von oben fällt in diese Klasse und ist die $2$ -norm und die $1$ -norm ist die Norm, die dem entspricht geradlinige Entfernung.

Das $L \infty$ -Norm oder Maximale Norm (oder gleichmäßige Norm) ist die Grenze der $L p$ -norms für $p \to \infty$ . Es stellt sich heraus, dass diese Grenze der folgenden Definition entspricht:

oder }}

Sehen $L$ -Unendlichkeit.

Für alle $p \geq 1$ , das $p$ -norms und maximale Norm, wie oben definiert Norm), die das sind:

Nur der Nullvektor hat keine Länge,
Die Länge des Vektors ist positiv homogen in Bezug auf die Multiplikation durch einen Skalar (positive Homogenität), und
Die Länge der Summe von zwei Vektoren ist nicht größer als die Summe der Längen der Vektoren (Dreiecksungleichung).

Abstrakt genommen bedeutet dies, dass das $R n$ zusammen mit dem $p$ -norm ist a Banach -Raum. Dieser Banach -Raum ist der $L p$ -Platz Über $R n$ .

Beziehungen zwischen $p$ -norms

Der Gitterabstand oder die geradlinige Entfernung (manchmal als "genannt"Manhattan -Entfernung") Zwischen zwei Punkten ist nie kürzer als die Länge des Liniensegments zwischen ihnen (dem euklidischen oder" als Krähe fliegen "-Distanz). Formal bedeutet dies, dass die euklidische Norm eines Vektors durch sein 1-Norm begrenzt wird:

oder

Diese Tatsache verallgemeinert sich auf $p$ -norms darin die $p$ -Norm $|| x || p$ eines bestimmten Vektors $x$ wächst nicht mit $p$ :

|| x || p + a \leq || x || p

für jeden Vektor

x

und echte Zahlen

p \geq 1

und

a \geq 0.

(In der Tat bleibt dies für wahr

0 << p < 1

und

a \geq 0

.))

Für die entgegengesetzte Richtung die folgende Beziehung zwischen dem $1$ -norm und die $2$ -norm ist bekannt:

oder

Diese Ungleichheit hängt von der Dimension ab $n$ des zugrunde liegenden Vektorraums und folgt direkt aus dem Cauchy -Schwarz -Ungleichheit.

Im Allgemeinen für Vektoren in $ℂ n$ wo $0 << r < p$ :

oder {1} {p}}} \ links \ | x \ rechts \ | _ {p} ~.}

Dies ist eine Folge von Hölders Ungleichheit.

Wann $0 << p < 1$

Astroid, Einheitskreis in

p = 2 / 3

metrisch

Im $R n$ zum $n > 1$ , die Formel

oder } \ rechts)^{1/p}}

definiert ein absolut Homogene Funktion zum

0 << p < 1

; Die resultierende Funktion definiert jedoch keine Norm, da dies nicht der Fall ist subadditiv. Andererseits die Formel

oder

Definiert eine subadditive Funktion auf Kosten des Verlusts absoluter Homogenität. Es definiert eine F-NormDas ist jedoch homogen des Grades

p

.

Daher die Funktion

{\ displayStyle d_ {p} (x, y) = \ sum _ {i = 1}^{n} | x_ {i} -y_ {i} |^{p}}

definiert a metrisch. Der metrische Raum

(R n, d p)

wird bezeichnet durch

ℓ n p

.

Obwohl die $p$ -Unit Ball $B n p$ Um den Ursprung dieser Metrik ist "konkav", die Topologie definiert $R n$ durch die Metrik $d p$ ist die übliche Vektorraumtopologie von $R n$ , somit $ℓ n p$ ist ein lokal konvex Topologischer Vektorraum. Über diese qualitative Aussage hinaus eine quantitative Möglichkeit, die mangelnde Konvexität von zu messen $ℓ n p$ ist zu bezeichnen durch $C p (n)$ die kleinste Konstante $C$ so dass das Vielfache $C B n p$ des $p$ -Unitball enthält den konvexen Rumpf von $B n p$ , gleicht $B n 1$ . Die Tatsache, dass es für festgelegt ist $p < 1$ wir haben

oder

zeigt, dass der unendlich dimensionale Sequenzraum

ℓ p

Im Folgenden definiert ist nicht mehr lokal konvex.

Wann $p = 0$

Da ist einer $ℓ 0$ Norm und eine andere Funktion, die als die bezeichnet wird $ℓ 0$ "Norm" (mit Anführungszeichen).

Die mathematische Definition der $ℓ 0$ Norm wurde durch festgelegt von Banach's Theorie der linearen Operationen. Das Platz von Sequenzen hat eine vollständige metrische Topologie, die von der bereitgestellt wird F-Norm

oder

das wird von Stefan Rollenwicz in diskutiert Metrische lineare Räume.^[1] Das

ℓ 0

-Normierter Raum wird in funktionaler Analyse, Wahrscheinlichkeitstheorie und harmonischer Analyse untersucht.

Eine andere Funktion wurde die genannt $ℓ 0$ "Norm" von David Donoho-Darn warnen, dass diese Funktion keine ordnungsgemäße Norm ist-ist die Anzahl der ungleich Null-Einträge des Vektors $x$ . Viele Autoren Missbrauchsterminologie Durch Auslassen der Anführungszeichen. Definition $00 = 0$ , die null "Norm" von $x$ ist gleich

{\ displayStyle | x_ {1} |^{0}+| x_ {2} |^{0}+\ cdots+| x_ {n} |^{0}.}

Ein animiertes GIF von P-Norms 0,1 bis 2 mit einem Schritt von 0,05.

Das ist kein Norm weil es nicht ist homogen. Zum Beispiel die Skalierung des Vektors $x$ durch eine positive Konstante verändert die "Norm" nicht. Trotz dieser Mängel als mathematische Norm hat die "Norm" ungleich Null verwendet Wissenschaftliches rechnen, Informationstheorie, und Statistiken- Nahe Komprimierte Erfindung in Signalverarbeitung und rechnerisch Harmonische Analyse. Obwohl es keine Norm ist, ist die zugehörige Metrik, bekannt als Hamming -Entfernung, ist eine gültige Entfernung, da die Homogenität für Entfernungen nicht erforderlich ist.

Das $p$ -norm in unendlichen Dimensionen und $ℓ p$ Räume

Der Sequenzraum $ℓ p$

Das $p$ -Norm kann auf Vektoren mit unendlicher Anzahl von Komponenten ausgedehnt werden (Sequenzen), was den Raum ergibt $ℓ p$ . Dies enthält als Sonderfälle:

$ℓ 1$ , der Raum der Sequenzen, deren Serie ist absolut konvergent,
$ℓ 2$ der Raum von quadratisch summelbar Sequenzen, das ist a Hilbert Raum, und
$ℓ \infty$ der Raum von begrenzte Sequenzen.

Der Raum der Sequenzen hat eine natürliche Vektorraumstruktur, indem die Additions- und Skalar -Multiplikations -Koordinate per Koordinate angewendet wird. Explizit die Vektorsumme und die skalare Wirkung für Unendliche Sequenzen von real (oder Komplex) Zahlen sind gegeben durch:

oder \ ldots, y_ {n}, y_ {n+1}, \ ldots) \\ = {} & (x_ {1}+y_ {1}, x_ {2}+y_ {2}, \ ldots, x__ {n}+y_ {n}, x_ {n+1}+y_ {n+1}, \ ldots), \\ [6pt] & \ lambda \ cdot \ links (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}, x_ {n+1}, \ ldots \ right) \\ = {{} & (\ lambda x_ {1}, \ lambda x_ {2}, \ ldots, \ lambda x_ {n} \ lambda x_ {n+1}, \ ldots). \ end {aligned}}}

Definiere das $p$ -Norm:

oder |^{p}+| x_ {n+1} |^{p}+\ cdots \ rechts)^{1/p}}

Hier entsteht eine Komplikation, nämlich dass die Serie Rechts ist nicht immer konvergent, also zum Beispiel die Sequenz, die nur aus denen besteht, $(1, 1, 1, ...)$ , wird ein unendliches haben $p$ -norm für $1 \leq p < \infty$ . Der Raum $ℓ p$ wird dann als der Satz aller unendlichen Sequenzen realer (oder komplexer) Zahlen so definiert, dass die $p$ -Norm ist endlich.

Man kann das als überprüfen $p$ Erhöht, der Satz $ℓ p$ wächst größer. Zum Beispiel die Sequenz

{\ displaystyle \ links (1, {\ frac {1} {2}}, \ ldots, {\ frac {1} {n}}, {\ frac {1} {n+1}}, \ ldots \ rechts rechts )}

ist nicht in

ℓ 1

, aber es ist in

ℓ p

zum

p > 1

wie die Serie

oder n+1)^{p}}}+\ cdots,}

abweicht

p = 1

(das Harmonische Serie), ist aber konvergent für

p > 1

.

Man definiert auch die $\infty$ -norm mit dem Supremum:

oder 1} |, \ ldots)}

und der entsprechende Raum

ℓ \infty

von allen begrenzten Sequenzen. Es stellt sich heraus, dass^[2]

oder

Wenn die rechte Seite endlich ist oder die linke Seite unendlich ist. So werden wir berücksichtigen

ℓ p

Räume für

1 \leq p \leq \infty

.

Das $p$ -norm so definiert auf $ℓ p$ ist in der Tat eine Norm und $ℓ p$ Zusammen mit dieser Norm ist a Banach -Raum. Der voll allgemeine $L p$ Der Raum wird-wie unten-erhalten, indem sie Vektoren berücksichtigt, nicht nur mit endlich oder zäher unendlich vielen Komponenten, sondern auch mit "", sondern auch ".willkürlich viele Komponenten"; mit anderen Worten, Funktionen. Ein Integral- anstelle einer Summe wird verwendet, um die zu definieren $p$ -Norm.

General ℓ^p-Platz

In vollständiger Analogie zur vorhergehenden Definition kann man den Raum definieren ${\ displaystyle \ ell ^{p} (i)}$ über einen General Indexsatz ${\ displayStyle i}$ (und ${\ displayStyle 1 \ Leq P <\ Infty}$ ) wie

oder } | x_ {i} |^{p} <+\ infty \ right \},},},}

Wenn Konvergenz rechts bedeutet, dass nur zähe viele Summe ungleich Null sind (siehe auch Bedingungslose Konvergenz). Mit der Norm

oder

der Raum

{\ displaystyle \ ell ^{p} (i)}

wird ein Banach -Raum. Für den Fall wo

{\ displayStyle i}

ist endlich mit

{\ displayStyle n}

Elemente, diese Konstruktion ergibt

R n

mit dem

{\ displayStyle p}

-Norm definiert oben. Wenn

{\ displayStyle i}

ist zählbar unendlich, dies ist genau der Sequenzraum

{\ displayStyle \ ell ^{p}}

oben definiert. Für unzählige Sets

{\ displayStyle i}

Dies ist ein Nichtstrennbar Banach -Raum, der als der gesehen werden kann lokal konvex direkte Grenze von

{\ displayStyle \ ell ^{p}}

-Sequenzräume.^[3]

Jetzt betrachten wir den Fall p= ∞. Wir können definieren

oder

^{[NB 1]} wo für alle x wir haben

oder } i \ in i \} = {\ begin {cases} \ sup \ operatorname {range} | x | & {\ text {if}} x \ neq \ leerseet, \\ 0 & {\ text {if}} x = \ leereSet. \ end {cases}}}

^{[NB 2]}^[4]

Der Indexsatz ${\ displayStyle i}$ kann in a umgewandelt werden Raum messen Indem Sie ihm das geben Diskrete σ-Algebra und die Zählmaßnahme. Dann der Raum ${\ displaystyle \ ell ^{p} (i)}$ ist nur ein besonderer Fall des allgemeinen Falles ${\ displayStyle l^{p}}$ -Space (siehe unten).

L^p Räume und Lebesgue -Integrale

Ein $L p$ Raum kann als Raum messbarer Funktionen definiert werden, für die die ${\ displayStyle p}$ -del der Kraft der absoluter Wert ist Lebesgue integrierbar, wo Funktionen, die fast überall zustimmen, identifiziert werden. Allgemeiner lassen Sie sich $1 \leq p < \infty$ und $(S, Σ, μ)$ sei a Raum messen. Betrachten Sie den Satz aller messbare Funktionen aus $S$ zu $C$ oder $R$ Deren absoluter Wert auf die $p$ -D -Macht hat ein begrenztes integrales oder gleichwertiges, das

oder unendlich}

Die Menge solcher Funktionen bildet a Vektorraum, mit den folgenden natürlichen Operationen:

oder ausgerichtet}}}

Für jeden Skalar

λ

.

Das die Summe von zwei $p$ -Die Power Integrierbare Funktionen sind wieder $p$ -Die integrierbar folgt aus der Ungleichheit

oder {p}^{p} \ rechts).}

(Dies kommt von der Konvexität von ${\ displayStyle t \ mapsto t^{p}}$ zum ${\ displayStyle p \ geq 1}$ .))

Tatsächlich ist mehr wahr. Minkowskis Ungleichheit sagt die Dreiecksungleichung gilt für $|| \cdot || p$ . Somit der Satz von $p$ -Die integrierbare Funktionen zusammen mit der Funktion $|| \cdot || p$ , ist ein seminormiert Vektorraum, der mit bezeichnet wird durch ${\ displaystyle {\ mathcal {l}}^{p} (s, \, \ mu)}$ .

Zum $p = \infty$ , der Raum ${\ displayStyle {\ mathcal {l}}^{\ infty} (s, \ mu)}$ ist der Raum messbarer Funktionen, die fast überall begrenzt sind, mit (wenn μ (x) ≠ 0) die Essentielles Supremum von seinem absoluten Wert als Norm:

oder }} x \} = {\ begin {cases} \ operatorname {EsssUp} | f | & {\ text {if}} 0 <\ mu (x), \\ 0 & {\ text {if}} 0 = \ mu mu mu mu) (X). \ End {cases}}}

^{[NB 3]}

Wie im diskreten Fall, wenn es vorhanden ist $q < \infty$ so dass $f \in L \infty (S, μ) \cap L q (S, μ)$ , dann

oder

${\ displaystyle {\ mathcal {l}}^{p} (s, \, \ mu)}$ kann zu a gemacht werden Normed Vektorraum auf Standardweise; man nimmt einfach das Quotientsraum In Bezug auf den Unterraum von Funktionen, deren P-Norm Null ist. Da für jede messbare Funktion $f$ , wir haben das $|| f || p = 0$ dann und nur dann, wenn $f = 0$ fast überall, dieser Unterraum hängt nicht ab von $p$ Anwesend

{\ displayStyle {\ mathcal {n}} \ äquiv \ {f: f = 0 \ \ mu {\ text {-mal überall}} \} = \ {f: \ | f \ | _ {p} = 0 \ \ \ \ | _ {p} = 0 \ } \ qquad \ forall \ 1 \ leq p <\ infty.}

Im Quotientenraum zwei Funktionen $f$ und $g$ werden identifiziert, wenn $f = g$ fast überall. Der resultierende normierte Vektorraum ist per Definition.

oder

Im Allgemeinen kann dieser Prozess nicht rückgängig gemacht werden ${\ displaystyle {\ mathcal {n}}}$ in ${\ displayStyle l^{p}}$ . Zum ${\ displayStyle l^{\ infty}}$ Es gibt jedoch a Theorie der Aufzüge eine solche Genesung ermöglichen.

Wenn der zugrunde liegende Raum misst $S$ ist verstanden, $L p (S, μ)$ wird oft abgekürzt $L p (μ)$ , oder nur $L p$ .

Zum $1 \leq p \leq \infty, L p (S, μ)$ ist ein Banach -Raum. Die Tatsache, dass $L p$ ist vollständig wird als die bezeichnet Riesz-Fischer-Theoremund kann mit den Konvergenz -Theoremen für nachgewiesen werden Lebesgue Integrals.

Die obigen Definitionen verallgemeinern auf Bochner Räume.

Spezialfälle

Ähnlich wie $ℓ p$ Räume, $L 2$ ist der einzige Hilbert Raum unter $L p$ Räume. Im komplexen Fall das innere Produkt auf $L 2$ wird definiert von

oder

Die zusätzliche innere Produktstruktur ermöglicht eine reichhaltigere Theorie mit Anwendungen, um beispielsweise, die Fourierreihe und Quantenmechanik. Funktionen in $L 2$ werden manchmal genannt quadratisch integrierbare Funktionen, quadratisch integrierbare Funktionen oder quadratische Funktionenaber manchmal sind diese Begriffe für Funktionen reserviert, die in einem anderen Sinne quadratisch integrabel sind, wie im Sinne von a Riemann Integral (Titchmarsh 1976).

Wenn wir komplexe Funktionen verwenden, der Raum $L \infty$ ist ein kommutativ C*-Algebra mit einer punktuellen Multiplikation und Konjugation. Für viele Messräume, einschließlich aller Sigma-finite, ist es in der Tat ein kommutativ Von Neumann Algebra. Ein Element von $L \infty$ definiert a begrenzter Bediener auf jedem $L p$ Raum von Multiplikation.

Zum $1 \leq p \leq \infty$ das $ℓ p$ Räume sind ein Sonderfall von $L p$ Räume, wann $S = N$ , und $μ$ ist der Zählmaßnahme an $N$ . Allgemeiner, wenn man einen Satz betrachtet $S$ mit der Zählmaßnahme die resultierende $L p$ Raum ist bezeichnet $ℓ p (S)$ . Zum Beispiel der Raum $ℓ p (Z)$ ist der Raum aller von den Ganzzahlen indizierten Sequenzen und bei der Definition der $p$ -Norm an einem solchen Raum, man setzt über alle Ganzzahlen zusammen. Der Raum $ℓ p (n)$ , wo $n$ ist das Set mit $n$ Elemente, ist $R n$ mit $p$ -norm wie oben definiert. Wie jeder Hilbert -Raum, jeder Raum $L 2$ ist linear isometrisch zu einem geeigneten $ℓ 2 (I)$ , wo die Kardinalität des Sets $I$ ist die Kardinalität einer willkürlichen hilbertischen Basis für diese besondere $L 2$ .

Eigentum von L^p Räume

Doppelräume

Das Doppeler Raum (der Banach -Raum aller kontinuierlichen linearen Funktionale) von $L p (μ)$ zum $1 < p < \infty$ hat einen natürlichen Isomorphismus mit $L q (μ)$ , wo $q$ ist so, dass $1 / p + 1 / q = 1$ (d.h. $q = p / p - 1$ ). Diese Isomorphismus assoziiert $g \in L q (μ)$ mit dem Funktionsum $κ p (g) \in L p (μ) *$ definiert von

oder

für jeden

{\ displayStyle f \ in l^{p} (\ mu)}

Die Tatsache, dass $κ p (g)$ ist gut definiert und kontinuierlich folgt aus Hölders Ungleichheit. $κ p : L q (μ) \to L p (μ) *$ ist eine lineare Zuordnung, die ein ist Isometrie bis zum Extremaler Fall von Hölders Ungleichheit. Es ist auch möglich zu zeigen (zum Beispiel mit dem Radon -Nikody -Theorem, sehen^[5]) das alle $G \in L p (μ) *$ kann so ausgedrückt werden: d. H. Das $κ p$ ist auf zu. Seit $κ p$ ist auf und isometrisch, es ist ein Isomorphismus von Banach -Räume. Mit diesem (isometrischen) Isomorphismus ist es üblich, einfach das zu sagen $L q$ ist der doppelte Banach -Raum von $L p$ .

Zum $1 < p < \infty$ , der Raum $L p (μ)$ ist reflexiv. Lassen $κ p$ wie oben sein und lassen $κ q : L p (μ) \to L q (μ) *$ Seien Sie die entsprechende lineare Isometrie. Betrachten Sie die Karte von $L p (μ)$ zu $L p (μ) **$ , erhalten durch Komponieren $κ q$ mit dem Transponieren (oder Adjoint) der Umkehrung von $κ p$ :

oder oder

Diese Karte fällt mit dem zusammen kanonische Einbettung $J$ von $L p (μ)$ in sein biduales. Darüber hinaus die Karte $j p$ ist auf, als Zusammensetzung von zwei zu Isometrien, und dies beweist Reflexivität.

Wenn die Maßnahme $μ$ an $S$ ist Sigma-Finitedann das dual von $L 1 (μ)$ ist isometrisch isomorph zu $L \infty (μ)$ (Genauer gesagt die Karte $κ 1$ korrespondierend zu $p = 1$ ist eine Isometrie von $L \infty (μ)$ auf zu $L 1 (μ) *$ ).

Das dual von $L \infty$ ist subtiler. Elemente von $L \infty (μ) *$ kann mit begrenzter signiert identifiziert werden endlich Additive Maßnahmen auf $S$ das sind absolut kontinuierlich in Gedenken an $μ$ . Sehen ba Raum für mehr Details. Wenn wir das Axiom der Wahl annehmen, ist dieser Raum viel größer als $L 1 (μ)$ außer in einigen trivialen Fällen. Jedoch, Saharon Shelah bewiesen, dass es relativ konsistente Erweiterungen gibt Zermelo -Fraenkel -Set -Theorie (ZF + DC + "Jede Untergruppe der realen Zahlen hat die Baire -Eigentum"), in dem das dual von $ℓ \infty$ ist $ℓ 1$ .^[6]

Einbettungen

Umgangssprachlich, wenn $1 \leq p < q \leq \infty$ , dann $L p (S, μ)$ Enthält Funktionen, die lokal einzigartiger sind, während Elemente von $L q (S, μ)$ kann mehr verteilt sein. Betrachten Sie die Lebesgue -Maßnahme auf der Halblinie $(0, \infty)$ . Eine kontinuierliche Funktion in $L 1$ könnte in der Nähe in die Luft jagen $0$ aber muss ausreichend schnell in Richtung Unendlichkeit zerfallen. Andererseits fungiert kontinuierliche Funktionen in $L \infty$ Müssen Sie überhaupt nicht verfallen, aber es ist kein Blasen erlaubt. Das genaue technische Ergebnis ist das folgende.^[7] Nehme an, dass $0 << p < q \leq \infty$ . Dann:

$L q (S, μ) \subset L p (S, μ)$ dann und nur dann, wenn $S$ enthält keine Sätze von endlichen, aber willkürlich großen Maßstäben, und
$L p (S, μ) \subset L q (S, μ)$ dann und nur dann, wenn $S$ Enthält keine Sätze von ungleich Null, sondern willkürlich gering.

Keine der beiden Bedingungen gilt für die reale Linie mit der Lebesgue -Maßnahme. In beiden Fällen ist die Einbettung kontinuierlich, da der Identitätsoperator eine begrenzte lineare Karte von ist $L q$ zu $L p$ im ersten Fall und $L p$ zu $L q$ in dieser Sekunde. (Dies ist eine Folge der Closed Graph Theorem und Eigenschaften von $L p$ Räume.) In der Tat, wenn die Domäne $S$ hat eine begrenzte Maßnahme, man kann die folgende explizite Berechnung verwenden Hölders Ungleichheit

{\ displaystyle \ \ | \ mathbf {1} f^{p} \ | _ {1} \ leq \ | \ mathbf {1} \ | _ {q/(q-p)} \ | f^{p} \ | _ {q/p}}

führt zu

oder

Die Konstante, die in der obigen Ungleichheit erscheint, ist optimal in dem Sinne, dass der Operatornorm der Identität $I : L q (S, μ) \to L p (S, μ)$ ist genau

{\ displaystyle \ | i \ | _ {q, p} = \ mu (s)^{1/p-1/q}}

Der Fall der Gleichheit wird genau wann erreicht, wann

f = 1

μ

-fast überall.

Dichte Unterbereiche

In diesem Abschnitt gehen wir davon aus: $1 \leq p < \infty$ .

Lassen $(S, Σ, μ)$ Sei ein Maß. Ein Integrierbare einfache Funktion $f$ an $S$ ist eine der Form

{\ displaystyle f = \ sum _ {j = 1}^{n} a_ {j} \ mathbf {1} _ {a_ {j}}}

wo

a j

ist Skalar,

A j \in σ

hat eine begrenzte Maßnahme und

{\ displaystyle {\ mathbf {1}} _ {a_ {j}}}

ist der Indikatorfunktion des Satzes

{\ displayStyle a_ {j}}

, zum

j = 1, ..., n

. Durch Konstruktion der Integral-Der Vektorraum der integrierbaren einfachen Funktionen ist dicht in

L p (S, Σ, μ)

.

Weitere können gesagt werden, wenn $S$ ist ein normal topologischer Raum und $Σ$ es ist Borel $σ$ -Algebra, d.h. der kleinste $σ$ –Algebra von Teilmengen von $S$ enthält das Offene Sets.

Vermuten $V \subset S$ ist ein offenes Set mit $μ (V) <\infty$ . Es kann bewiesen werden, dass für jedes Borel -Set $A \in σ$ Enthalten in $V$ und für jeden $ε > 0$ Es gibt einen geschlossenen Satz $F$ und ein offenes Set $U$ so dass

oder

Daraus folgt, dass es eine kontinuierliche gibt Urysohn Funktion $0 \leq φ \leq 1$ an $S$ das ist $1$ an $F$ und $0$ an $S ∖ U$ , mit

oder

Wenn $S$ kann durch eine zunehmende Sequenz bedeckt werden $(V n)$ von offenen Sätzen, die eine begrenzte Maßnahme haben, dann der Raum von $p$ - Integrierbare kontinuierliche Funktionen sind dicht in $L p (S, Σ, μ)$ . Genauer gesagt kann man begrenzte kontinuierliche Funktionen verwenden, die außerhalb eines der offenen Sets verschwinden $V n$ .

Dies gilt insbesondere dann, wenn $S = R d$ und wann $μ$ ist die Lebesgue -Maßnahme. Der Raum der kontinuierlichen und kompakt unterstützten Funktionen ist dicht in $L p (R d)$ . Ebenso der Raum des integrierbaren Raums Schrittfunktionen ist dicht in $L p (R d)$ ; Dieser Raum ist die lineare Spannweite der Indikatorfunktionen von begrenzten Intervallen, wenn $d = 1$ , von begrenzten Rechtecken, wenn $d = 2$ und allgemeiner von Produkten von begrenzten Intervallen.

Mehrere Eigenschaften allgemeiner Funktionen in $L p (R d)$ werden zuerst für kontinuierliche und kompakt unterstützte Funktionen (manchmal für Schrittfunktionen) bewiesen und dann durch Dichte auf alle Funktionen ausgedehnt. Zum Beispiel wird so bewiesen, dass Übersetzungen kontinuierlich sind $L p (R d)$ im folgenden Sinne:

oder \ bis 0, \ quad {\ text {as}} \ mathbf {r} ^{d} \ ni t \ bis 0,}

wo

{\ displayStyle (\ tau _ {t} f) (x) = f (x-t).}

$L p (0 << p < 1)$

Lassen $(S, Σ, μ)$ Sei ein Maß. Wenn $0 << p < 1$ , dann $L p (μ)$ Kann wie oben definiert werden: Es ist der Vektorraum dieser messbaren Funktionen $f$ so dass

oder

Nach wie vor können wir die vorstellen $p$ -Norm $|| f || p = N p (f)) 1/ p$ , aber $|| \cdot || p$ Erfüllt die Dreieck -Ungleichheit in diesem Fall nicht und definiert nur a Quasi-Norm. Die Ungleichheit $(a + b) p \leq a p + b p$ , Gültig für $a, b \geq 0$ impliziert, dass (Rudin 1991§1.47)

{\ displayStyle n_ {p} (f+g) \ leq n_ {p} (f)+n_ {p} (g)}

und so die Funktion

{\ displayStyle d_ {p} (f, g) = n_ {p} (f-g) = \ | f-g \ | _ {p}^{p}}

ist eine Metrik auf

L p (μ)

. Der resultierende metrische Raum ist Komplett; Die Überprüfung ähnelt dem vertrauten Fall, wenn

p \geq 1

.

In dieser Einstellung $L p$ erfüllt a Reverse Minkowski -Ungleichheit, das ist für $u, v$ in $L p$

oder

Dieses Ergebnis kann verwendet werden, um zu beweisen Clarksons Ungleichheiten, die wiederum verwendet werden, um die zu etablieren einheitliche Konvexität der Räume $L p$ zum $1 < p < \infty$ (Adams & Fournier 2003).

Der Raum $L p$ zum $0 << p < 1$ ist ein F-Raum: Es gibt eine vollständige Übersetzungsmetrik zu, in der die Vektorraumvorgänge kontinuierlich sind. Es ist auch lokal begrenzt, ähnlich wie der Fall $p \geq 1$ . Es ist das prototypische Beispiel für eine F-Raum Das ist für die meisten Räume für vernünftige Maßnahmen nicht lokal konvex: in $ℓ p$ oder $L p ([0, 1])$ , jeder offene konvexe Satz, der das enthält $0$ Funktion ist unbegrenzt für die $p$ -quasi-norm; deshalb, die $0$ Vector besitzt kein grundlegendes System konvexer Viertel. Insbesondere gilt dies, wenn der Messraum $S$ Enthält eine unendliche Familie von disjunkten messbaren Sätzen endlicher positiver Maß.

Der einzige nicht leere konvexe offene Set in $L p ([0, 1])$ ist der gesamte Raum (Rudin 1991§1.47). Als besondere Folge gibt es keine linearen Funktionale ungleich Null auf $L p ([0, 1])$ : Der Doppelraum ist der Nullraum. Im Fall der Zählmaßnahme auf die natürlichen Zahlen (Erzeugung des Sequenzraums $L p (μ) = ℓ p$ ) die begrenzten linearen Funktionale auf $ℓ p$ sind genau diejenigen, die begrenzt sind $ℓ 1$ , nämlich diejenigen, die von Sequenzen in angegeben werden $ℓ \infty$ . Obwohl $ℓ p$ Enthält nicht triviale konvexe offene Sets, es hat nicht genug von ihnen, um eine Basis für die Topologie zu geben.

Die Situation, keine linearen Funktionale zu haben, ist für die Zwecke der Analyse sehr unerwünscht. Im Falle der Lebesgue -Maßnahme auf $R n$ , anstatt mit zu arbeiten $L p$ zum $0 << p < 1$ Es ist üblich, mit dem zu arbeiten Winterhart Raum $H p$ Wann immer möglich, da dies einige lineare Funktionale hat: genug, um Punkte voneinander zu unterscheiden. Allerdings die Hahn -Banach -Theorem scheitert immer noch ein $H p$ zum $p < 1$ (Duren 1970§7.5).

$L 0$ , der Raum messbarer Funktionen

Der Vektorraum von (Äquivalenzklassen) messbare Funktionen auf $(S, Σ, μ)$ ist bezeichnet $L 0 (S, Σ, μ)$ (Kalton, Peck & Roberts 1984). Per Definition enthält es alle $L p$ und ist mit der Topologie von ausgestattet Konvergenz in Maß. Wann $μ$ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß (d. H.,, $μ (S) = 1$ ) Diese Konvergenzweise wird benannt Konvergenz der Wahrscheinlichkeit.

Die Beschreibung ist einfacher, wenn $μ$ ist endlich. Wenn $μ$ ist eine endliche Maßnahme auf $(S, Σ)$ , das $0$ Funktionsfunktionen für die Konvergenz in Maß

oder \}}, \ qquad \ varepsilon> 0}

Die Topologie kann durch jede Metrik definiert werden $d$ der Form

oder )}

wo $φ$ ist kontinuierlich konkav und nicht abfällt $[0, \infty)$ , mit $φ (0) = 0$ und $φ (t)> 0$ Wenn $t > 0$ (zum Beispiel, $φ (t) = min (t 1))$ . Eine solche Metrik heißt Erheben-Metrisch für $L 0$ . Unter dieser Metrik der Raum $L 0$ ist vollständig (es ist wieder ein F-Raum). Der Raum $L 0$ ist im Allgemeinen nicht lokal begrenzt und nicht lokal konvex.

Für die unendliche Lebesgue -Maßnahme $λ$ an $R n$ Die Definition des Grundsystems der Nachbarschaften könnte wie folgt geändert werden

{\ displayStyle w _ {\ varepsilon} = \ links \ {f: \ lambda \ links (\ links \ {x: | f (x) |> \ varepsilon {\ text {und} | x | 1} {\ varepsilon}} \ rechde \} \ rechts) <\ varepsilon \ right \}}

Der resultierende Raum $L 0 (R n, λ)$ fällt als topologischer Vektorraum mit $L 0 (R n, g (x) d λ (x))$ für alle positiven $λ$ - integrierbare Dichte $g$ .

Verallgemeinerungen und Erweiterungen

Schwach $L p$

Lassen $(S, Σ, μ)$ ein Messraum sein und $f$ a messbare Funktion mit realen oder komplexen Werten auf $S$ . Das Verteilungsfunktion von $f$ ist definiert für $t \geq 0$ durch

{\ displaystyle \ lambda _ {f} (t) = \ mu \ links \ {x \ in s: | f (x) |> t \ rechts \}}

Wenn $f$ ist in $L p (S, μ)$ für einige $p$ mit $1 \leq p < \infty$ dann durch Markovs UngleichheitAnwesend

oder

Eine Funktion $f$ soll im Raum sein schwach $L p (S, μ)$ , oder $L p, w (S, μ)$ , wenn es eine Konstante gibt $C > 0$ so dass für alle $t > 0$ Anwesend

{\ displaystyle \ lambda _ {f} (t) \ leq {\ frac {c^{p}} {t^{p}}}}

Die beste Konstante $C$ Denn diese Ungleichheit ist die $L p, w$ -norm von $f$ , und wird bezeichnet durch

{\ displaystyle \ | f \ | _ {p, w} = \ sup _ {t> 0} ~ t \ lambda _ {f}^{1/p} (t).}

Die schwachen $L p$ übereinstimmt mit dem Lorentz Räume $L p, \infty$ Daher wird diese Notation auch verwendet, um sie zu bezeichnen.

Das $L p, w$ -norm ist keine wahre Norm, da die Dreiecksungleichung nicht zu halten. Trotzdem für $f$ in $L p (S, μ)$ Anwesend

{\ displaystyle \ | f \ | _ {p, w} \ leq \ | f \ | _ {p}}

und besonders

L p (S, μ) \subset L p, w (S, μ)

.

In der Tat hat man

oder x) |> t \}} t^{p}+\ int _ {\ {| f (x) | \ leq t \}} | f |^{p} \ geq t^{p} \ mu (\ {| f |> t \}),},}

und an die Macht erhöhen

1/ p

und das Supremum einnehmen

t

hat man

oder | f \ | _ {l^{p, w}}.}

Im Rahmen der Konvention, dass zwei Funktionen gleich sind, wenn sie gleich sind $μ$ Fast überall, dann die Räume $L p, w$ sind vollständig (Grafakos 2004).

Für jeden $0 << r < p$ der Ausdruck

oder /p} \ links (\ int _ {e} | f |^{r} \, d \ mu \ rechts)^{1/r}}

ist vergleichbar mit dem

L p, w

-Norm. Weiter in dem Fall

p > 1

Dieser Ausdruck definiert eine Norm, wenn

r = 1

. Daher für

p > 1

die schwachen

L p

Räume sind Banach -Räume (Grafakos 2004).

Ein Hauptergebnis, das das verwendet $L p, w$ -räume sind die Marcinkiewicz Interpolation Theorem, was breite Anwendungen auf Harmonische Analyse und das Studium von Singularintegrale.

Gewichtet $L p$ Räume

Betrachten Sie wie zuvor a Raum messen $(S, Σ, μ)$ . Lassen $w : S \to [a, \infty), a> 0$ eine messbare Funktion sein. Das $w$ -gewichtet $L p$ Platz ist definiert als $L p (S, w d μ)$ , wo $w d μ$ bedeutet die Maßnahme $ν$ definiert von

oder

oder in Bezug auf die Radon -Nikodym -Derivat, $w = d ν / d μ$ das Norm zum $L p (S, w d μ)$ ist explizit

oder |^{p} \, \ mathhrm {d} \ mu (x) \ rechts)^{1/p}}

Wie $L p$ -Bereiche haben die gewichteten Räume seitdem nichts Besonderes $L p (S, w d μ)$ ist gleich $L p (S, d ν)$ . Sie sind jedoch der natürliche Rahmen für mehrere Ergebnisse zur harmonischen Analyse (Grafakos 2004); Sie erscheinen zum Beispiel in der Muckenhoupt Theorem: zum $1 < p < \infty$ , die Klassik Hilbert Transform ist definiert auf $L p (T, λ)$ wo $T$ bezeichnet den Einheitskreis und $λ$ die Lebesgue -Maßnahme; das (nichtlineare) Hardy -Littlewood Maximal Operator ist begrenzt $L p (R n, λ)$ . Muckenhoupts Theorem beschreibt Gewichte $w$ so dass die Hilbert -Transformation weiterhin begrenzt bleibt $L p (T, w d λ)$ und der maximale Bediener auf $L p (R n, w d λ)$ .

$L p$ Räume auf Verteilern

Man kann auch Räume definieren $L p (M)$ auf einem Verteiler, genannt die intrinsisch $L p$ Räume des Verteilers verwenden Dichten.

Vektorbewertet $L p$ Räume

Bei einem Messraum $(X, Σ, μ)$ und ein lokal konvexer Raum $E$ , man kann auch einen Räume von definieren $p$ -Integrierbare E-betrachtete Funktionen in vielerlei Hinsicht. Die häufigsten davon sind die Räume von Bochner integrierbar und Pettis-integrierbar Funktionen. Verwendung der Tensorprodukt von lokal konvexen Räumen können diese jeweils definiert werden als ${\ displayStyle l _ {\ mu}^{p} \ links (x, \ sigma, \ mu \ rechts) \ otimes _ {\ pi} e}$ und $oder$ ; wo ${\ displayStyle \ otimes _ {\ pi}}$ und ${\ displayStyle \ otimes _ {\ varepsilon}}$ Bezeichnen Sie jeweils die projektiven und injektiven Tensorprodukte lokal konvexer Räume. Wann $E$ ist ein Nuklearraum, Grothendieck zeigten, dass diese beiden Konstruktionen nicht zu unterscheiden sind.

Siehe auch

Bochner Raum- Mathematisches Konzept
Birnbaum -Orlicz Raum
Winterhart Raum- Konzept innerhalb der komplexen Analyse
Riesz -Thorin -Theorem- Theorem der Operatorinterpolation
Hölder bedeutet
Höllder Raum
Quadratischer Mittelwert- Quadratwurzel des mittleren Quadrats
Lokal integrierbare Funktion ${\ displayStyle \ links (l _ {\ text {loc}}^{1} \ rechts)}$
${\ displayStyle l^{p} (g)}$ Räume über einer lokal kompakten Gruppe ${\ displayStyle g}$ - Dualität für lokal kompakte Abelsche Gruppen
Spektralanalyse am kleinsten Quadrat-Frequenz-Domänen-Analysemethode
List of Banach spaces
Minkowski -Entfernung
L-Infinity- Raum der begrenzten Sequenzen
L^p Summe

Anmerkungen

^ Rollenwicz, Stefan (1987), Funktionsanalyse und Kontrolltheorie: Lineare Systeme, Mathematik und seine Anwendungen (Osteuropäische Serie), Vol. 29 (übersetzt aus der Politur von Ewa Bednarczuk ed.), Dordrecht; Warschau: D. Reidel Publishing Co.; PWN - polische wissenschaftliche Verlag, S. XVI+524, doi:10.1007/978-94-015-7758-8, ISBN 90-277-2186-6, HERR 0920371, OCLC 13064804^{[Seite benötigt]}
^ Maddox, I. J. (1988), Elemente der Funktionsanalyse (2. Aufl.), Cambridge: Cup, Seite 16
^ Rafael Dahmen, Gábor Lukács: Lange Säulen der topologischen Gruppen I: kontinuierliche Karten und Homeromorphismen. in: Topologie und ihre Anwendungen Nr. 270, 2020. Beispiel 2.14
^ Garling, D. J. H. (2007). Ungleichheiten: Eine Reise in die lineare Analyse. Cambridge University Press. p. 54. ISBN 978-0-521-87624-7.
^ Rudin, Walter (1980), Reale und komplexe Analyse (2. Aufl.), Neu-Delhi: Tata McGraw-Hill, ISBN 9780070542341, Satz 6.16
^ Schechter, Eric (1997), Handbuch der Analyse und der Grundlage, London: Academic Press Inc. Siehe Abschnitte 14.77 und 27.44–47
^ Villani, Alfonso (1985), "Eine weitere Notiz über die Aufnahme $L p (μ) \subset L q (μ)$ ",", Amer. Mathematik. Monatlich, 92 (7): 485–487, doi:10.2307/2322503, JStor 2322503, HERR 0801221

^ Der Zustand sup -Bereich |x| < +∞ entspricht nicht dem SUP -Bereich |x| endlich sein, es sei denn x ≠ ∅.
^ Wenn x = ∅, dann SUP -Bereich |x| = -∞.
^ Wenn 0 = μ (x), dann EssSup |f| = -∞.

Verweise

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Externe Links

"LeBesgue Space", Enzyklopädie der Mathematik, EMS Press, 2001 [1994]
Beweise es L^p Räume sind vollständig

[RolewiczControl-1] Rollenwicz, Stefan (1987), Funktionsanalyse und Kontrolltheorie: Lineare Systeme, Mathematik und seine Anwendungen (Osteuropäische Serie), Vol. 29 (übersetzt aus der Politur von Ewa Bednarczuk ed.), Dordrecht; Warschau: D. Reidel Publishing Co.; PWN - polische wissenschaftliche Verlag, S. XVI+524, doi:10.1007/978-94-015-7758-8, ISBN 90-277-2186-6, HERR 0920371, OCLC 13064804^{[Seite benötigt]}

[2] Maddox, I. J. (1988), Elemente der Funktionsanalyse (2. Aufl.), Cambridge: Cup, Seite 16

[3] Rafael Dahmen, Gábor Lukács: Lange Säulen der topologischen Gruppen I: kontinuierliche Karten und Homeromorphismen. in: Topologie und ihre Anwendungen Nr. 270, 2020. Beispiel 2.14

[6] Garling, D. J. H. (2007). Ungleichheiten: Eine Reise in die lineare Analyse. Cambridge University Press. p. 54. ISBN 978-0-521-87624-7.

[8] Rudin, Walter (1980), Reale und komplexe Analyse (2. Aufl.), Neu-Delhi: Tata McGraw-Hill, ISBN 9780070542341, Satz 6.16

[9] Schechter, Eric (1997), Handbuch der Analyse und der Grundlage, London: Academic Press Inc. Siehe Abschnitte 14.77 und 27.44–47

[VillaniEmbeddings-10] Villani, Alfonso (1985), "Eine weitere Notiz über die Aufnahme $L p (μ) \subset L q (μ)$ ",", Amer. Mathematik. Monatlich, 92 (7): 485–487, doi:10.2307/2322503, JStor 2322503, HERR 0801221

[4] Der Zustand sup -Bereich |x| < +∞ entspricht nicht dem SUP -Bereich |x| endlich sein, es sei denn x ≠ ∅.

[5] Wenn x = ∅, dann SUP -Bereich |x| = -∞.

[7] Wenn 0 = μ (x), dann EssSup |f| = -∞.

[1]

[2]

[3]

[NB 1]

[NB 2]

[4]

[NB 3]

[5]

[6]

[7]

Theorie messen
Grundlegendes Konzept	Absolute Kontinuität Lebesgue integration L^p Räume Messen Raum messen Wahrscheinlichkeitsraum Messbarer Raum/Funktion
Sets	Fast überall Borel -Set Carathéodory's criterion Konvergenz in Maß -System Wesentlicher Bereich Infimum/Supremum Lokal messbar $π$ -System σ-Algebra Nicht messbarer Satz Vitali -Set Nullmenge Die Unterstützung Quermaß
Arten von Mittel	Baire Banach Besov Borel Komplex Vollständig Inhalt (Logarithmisch))Konvex Diskret Endlich Innere (Quasi-))Unveränderlich Lokal endlich Maximierung Metrische äußere Äußere Perfekt Vormacht (Sub-))Wahrscheinlichkeit Projektion Radon Zufällig Regulär Borel regelmäßig Innerer regulär Äußere reguläre Gesättigt Setzen Sie die Funktion σ-finite s-finite Unterzeichnet Singular Spektral Streng positiv Fest Vektor
Besondere Maßnahmen	Zählen Dirac Euler Gaußscher Haar Harmonisch Hausdorff Intensität Lebesgue Logarithmisch Produkt Vorstoßen Sphärische Maßnahme Tangente Trivial Jung
Hauptergebnisse	Erweiterungstheorem des Carathéodorys Konvergenz -Theoreme Dominiert Monoton Vitali Zersetzungen Theoreme Hahn Jordanien Egorovs Fatous Lemma Fubinis Hölders Ungleichheit Minkowski -Ungleichheit Radon -Nikody Riesz -Markov -Kakutani Repräsentation Theorem
Andere Ergebnisse	Auflösungssatz Lebesgue's Dichte Theorem Lebesgue -Differenzierungssatz Sards Theorem
Anwendungen	Wahrscheinlichkeitstheorie Echte Analyse Spektraltheorie

Banach -Raum Themen
Arten von Banach -Räumen	Asplund Banach aufführen Banach -Gitter Grothendieck Hilbert Innerer Produktraum Polarisationsidentität (Polynomial))Reflexiv Riesz L-Semi-Inner-Produkt (B Streng Gleichmäßig) Konvex Gleichmäßig glatt (Injektiv Projektiv))Tensorprodukt(von Hilbert Räumen)
Banach -Räume sind:	Fass Vollständig F-Raum Fréchet zähmen Lokal konvex Seminorms/Minkowski -Funktionale Mackey Metrizierbar Normiert Norm Quasinormed Stereotyp
Funktionsraum Topologien	Dual Doppeler Raum Dual Norm Operator Ultraweak Schwach Polar- Operator Stark Polar- Operator Ultra stark Einheitliche Konvergenz
Lineare Operatoren	Adjoint Bilinear bilden Operator Sesquilinear (Un)Begrenzt Abgeschlossen Kompakt auf Hilbert Räumen (Dis)Kontinuierlich Dicht definiert Fredholm Kernel Operator Hilbert -Schmidt Funktionale positiv Pseudo-Monoton Normal Nuklear Selbstadjint Streng einzigartig Spurenklasse Transponieren Einheitlich
Operatortheorie	Banach -Algebren C-Algebras Operatorraum Spektrum C-Algebra Radius Spektraltheorie von Oden Spektralsatz Polare Zersetzung Einzelwertzerlegung
Theoreme	Anderson -kadec Banach -Alaoglu Banach -Mazur Banach -Saks Banach -Schauder (Open Mapping) Banach -Steinhaus (Uniformgrenanz) Bessels Ungleichheit Cauchy -Schwarz -Ungleichheit Geschlossene Grafik Geschlossener Bereich Eberlein -šmulian Freudenthal Spektral Gelfand -Mazur Gelfand -Naimark Goldstine Hahn -Banach Hyperebene Trennung Kakutani Festpunkt Krein -Milman Lomonosovs invarianter Unterraum Mackey -Arens Mazurs Lemma M. Riesz Erweiterung Parsevals Identität Riesz 'Lemma Riesz Darstellung Robinson-UseScu Schauder-Festpunkt
Analyse	Abstrakter Wiener -Raum Banach vielfältig bündeln Bochner Raum Konvexe Serie Differenzierung in Fréchet -Räumen Derivate Fréchet Gateaux funktional Holomorph Quasi Integrale Bochner Dunford Gelfand -Pettis reguliert Paley -Wiener schwach Funktionsberechnung Borel kontinuierlich Holomorph Mittel Lebesgue Projektion Vektor Schwach / Stark messbare Funktion
Arten von Sätzen	Absolut konvex Absorbierend Befriedigung Ausgeglichen/eingekreist Begrenzt Konvex Konvexer Kegel (Teilmenge) Konvexe Serie verwandt((CS, LCS) -Erx) und (HWx)) Linearer Kegel (Teilmenge) Radial Radial konvex/sternförmig Symmetrisch Zonotop
Untergruppen/ festgelegte Vorgänge	Befriedigender Rumpf (Relativ))Algebraischer Innenraum (Kern) Begrenzungspunkte Konvexer Rumpf Extrempunkt Innere Lineare Spannweite Minkowski -Addition Polar (Quasi))Relativer Innenraum
	Absolute Kontinuität AC ${\ displayStyle ba (\ sigma)}$ c Raum Banach -Koordinate Bk Besov ${\ displayStyle b_ {p, q}^{s} (\ mathbb {r})}$ Birnbaum -Orlicz Begrenzte Variation Bv Bs space Kontinuierlich C (k) mit K Kompaktes Hausdorff Hardy h^p Hilbert H Morrey -Campanato ${\ displayStyle l^{\ lambda, p} (\ Omega)}$ ℓ^p ${\ displayStyle \ ell ^{\ infty}}$ L^p ${\ displayStyle l^{\ infty}}$ gewichtet Schwartz ${\ displayStyle s \ links (\ mathbb {r} ^{n} \ rechts)}$ Segal -Bargmann F Sequenzraum Sobolev w^{k, p} Sobolev -Ungleichheit Triebel -Lizorkin Wiener Amalgam ${\ displayStyle w (x, l^{p})}$
Anwendungen	Differentialoperator Finite -Elemente -Methode Mathematische Formulierung der Quantenmechanik Gewöhnliche Differentialgleichungen (ODES) Validierte Numeriker

LP -Raum

Anwendungen

Statistiken

Hausdorff -Young -Ungleichheit

Hilbert Räume

Das p-norm in endlichen Dimensionen

Definition

Beziehungen zwischen p-norms

Wann 0 << p < 1

Wann p = 0

Das p-norm in unendlichen Dimensionen und ℓp Räume

Der Sequenzraum ℓp

General ℓp-Platz

Lp Räume und Lebesgue -Integrale