Niedrigdimensionale Topologie

Eine dreidimensionale Darstellung eines verdickten Kräfelknoten, der einfachste Nicht-NichtsTrivialknoten. Knotentheorie ist ein wichtiger Bestandteil der niedrigdimensionalen Topologie.

Im Mathematik, Niedrigdimensionale Topologie ist der Zweig von Topologie diese Studien Verteiler, oder allgemeiner topologischer Räume von vier oder weniger Maße. Repräsentative Themen sind die Strukturtheorie von 3-Manifolds und 4-Manifolds, Knotentheorie, und Geflechte Gruppen. Dies kann als Teil von angesehen werden Geometrische Topologie. Es kann auch verwendet werden, um auf die Untersuchung topologischer Räume der Dimension 1 zu verweisen, obwohl dies typischerweise ein Teil von Teil von berücksichtigt wird Kontinuumstheorie.

Geschichte

Eine Reihe von Fortschritten, die in den 1960er Jahren begannen, hatte den Einfluss, niedrige Dimensionen in der Topologie hervorzuheben. Die Lösung von Stephen Smaleim Jahr 1961 der Poincaré -Vermutung In fünf oder mehr Dimensionen scheinen die Abmessungen drei und vier am härtesten zu sein; Und in der Tat benötigten sie neue Methoden, während die Freiheit höherer Dimensionen dazu führte, dass Fragen auf die verfügbaren Rechenmethoden reduziert werden konnten Operationstheorie. Thurston Geometrisierungsvermeidung, formuliert Ende der 1970er Jahre, bot einen Rahmen, der darauf hinwies, dass Geometrie und Topologie in geringen Dimensionen eng miteinander verbunden waren, und Thurstons Beweis für Geometrisierung für Haken -Verteiler verwendete eine Vielzahl von Tools aus zuvor nur schwach verbundenen Bereichen der Mathematik. Vaughan Jones'Entdeckung der Jones Polynom In den frühen 1980er Jahren führte nicht nur die Knotentheorie in neue Richtungen, sondern führte zu immer noch mysteriösen Verbindungen zwischen niedrigdimensionaler Topologie und zu Mathematische Physik. In 2002, Grigori Perelman kündigte einen Beweis für die dreidimensionale Poincaré-Vermutung unter Verwendung Richard S. Hamilton's Ricci Fluss, eine Idee, die zum Feld von gehört Geometrische Analyse.

Insgesamt hat dieser Fortschritt zu einer besseren Integration des Feldes in den Rest der Mathematik geführt.

Zwei Dimensionen

A auftauchen ist ein zweidimensional, Topologischer Verteiler. Die bekanntesten Beispiele sind solche, die als Grenzen fester Objekte in gewöhnlicher dreidimensionaler Euklidischer Raum R3- zum Beispiel die Oberfläche von a Ball. Andererseits gibt es Oberflächen wie die Klein Flasche, das kann nicht sein eingebettet im dreidimensionalen euklidischen Raum ohne Einführung Singularitäten oder Selbstinterktionen.

Klassifizierung von Oberflächen

Das Klassifizierungssatz von geschlossenen Oberflächen stellt fest, dass alle in Verbindung gebracht abgeschlossen Die Oberfläche ist für ein Mitglied einer dieser drei Familien homomorph:

  1. Die Sphäre;
  2. das verbundene Summe von g Tori, zum ;
  3. die verbundene Summe von k Echte projektive Flugzeuge, zum .

Die Oberflächen in den ersten beiden Familien sind orientierbar. Es ist zweckmäßig, die beiden Familien zu kombinieren, indem sie die Sphäre als die verbundene Summe von 0 Tori betrachtet. Die Nummer g von Tori beteiligt heißt die Gattung der Oberfläche. Die Kugel und der Torus haben Euler -Eigenschaften 2 bzw. 0 bzw. im Allgemeinen das Euler -charakteristisch für die verbundene Summe von g Tori ist 2 - 2g.

Die Oberflächen in der dritten Familie sind nicht orientierbar. Das Euler -charakteristisch für die reale projektive Ebene ist 1 und im Allgemeinen die Euler -charakteristisch für die verbundene Summe von k von ihnen ist 2 - k.

Teichmüller Raum

Im Mathematik, das Teichmüller Raum TX einer (echten) topologischen Oberfläche X, ist ein Raum, der parametrisiert Komplexe Strukturen an X bis zur Aktion von Homomorphismen das sind Isotop zum Identität Homomorphismus. Jeder Punkt in TX kann als eine Isomorphismusklasse von "markiert" angesehen werden Riemann -Oberflächen Wo eine Markierung eine Isotopieklasse von Homomorphismen ist X zu X. Der Teichmüller -Raum ist der Universelle Abdeckung Orbifold des (Riemann) Modulraums.

Teichmüller Raum hat einen Kanonisch Komplex vielfältig Struktur und eine Fülle natürlicher Metriken. Der zugrunde liegende topologische Raum des Teichmüller -Raums wurde von Fricke untersucht, und die Teichmüller -Metrik wurde durch eingeführt Oswald Teichmüller(1940).[1]

Uniformisationstheorem

Im Mathematik, das Uniformisationstheorem sagt, dass jeder Einfach verbunden Riemann Oberfläche ist konform äquivalent zu einem der drei Domains: die offenen Einheitenscheibe, das Komplexe Ebene, oder der Riemann Sphere. Insbesondere erlaubt es a Riemannsche Metrik von konstante Krümmung. Dies klassifiziert riemannsche Oberflächen als elliptisch (positiv gekrümmt - erbiett, um eine konstante positiv gekrümmte Metrik zuzugeben), parabolisch (flach) und hyperbolisch (negativ gekrümmt) gemäß ihren Universelle Abdeckung.

Der Uniformisierungssatz ist eine Verallgemeinerung der Riemann Mapping -Theorem von richtig einfach angeschlossen offen Untergruppen der Ebene zu willkürlich einfach verbundenen Riemann -Oberflächen.

Drei Dimensionen

A topologischer Raum X ist eine 3-Mannibreine, wenn jeder Punkt in X hat ein Nachbarschaft das ist homomorph zu Euklidischer 3-Raum.

Das topologische, stückweise linearund glatte Kategorien entsprechen in drei Dimensionen, so dass nur wenig Unterscheidung darin besteht, ob wir mitspielsweise, topologischen 3-Manifolds oder glatten 3-Manifolds zu tun haben.

Phänomene in drei Dimensionen können auffallend von Phänomenen in anderen Dimensionen unterschiedlich sein, und daher gibt es eine Prävalenz sehr spezialisierter Techniken, die nicht auf Dimensionen von mehr als drei verallgemeinert werden. Diese besondere Rolle hat zur Entdeckung enger Verbindungen zu einer Vielfalt anderer Bereiche geführt, wie z. Knotentheorie, Geometrische Gruppentheorie, Hyperbolische Geometrie, Zahlentheorie, Teichmüller -Theorie, Topologische Quantenfeldtheorie, Messtheorie, Floer -Homologie, und partielle Differentialgleichungen. Die 3-Manuffach-Theorie wird als Teil der niedrigdimensionalen Topologie oder als Teil der Topologie angesehen oder Geometrische Topologie.

Knoten- und Geflechttheorie

Knotentheorie ist das Studium von mathematische Knoten. Während sich der Knoten eines Mathematikers von Knoten inspiriert, die im täglichen Leben in Schnürsenkeln und Seil auftreten, unterscheidet sich die Enden miteinander, damit er nicht rückgängig gemacht werden kann. In der mathematischen Sprache ist ein Knoten ein Einbettung von a Kreis in 3-dimensional Euklidischer Raum, R3 (Da wir Topologie verwenden, ist ein Kreis nicht an das klassische geometrische Konzept gebunden, sondern an alle seine Homomorphismen). Zwei mathematische Knoten sind gleichwertig, wenn einer über eine Verformung von in die andere transformiert werden kann R3 auf sich selbst (bekannt als ein Umgebungsisotopie); Diese Transformationen entsprechen Manipulationen einer geknoteten Schnur, bei der es nicht darum geht, die Saite zu schneiden oder die Saite durch sich selbst zu übertragen.

Knoten ergänzt werden häufig 3-Manifolds untersucht. Der Knoten ergänzt a zahmer Knoten K Ist der dreidimensionale Raum, der den Knoten umgibt. Um dies genau zu machen, nehmen Sie das an, das K ist ein Knoten in einer Dreiheit M (meistens, M ist der 3-Sphäre). Lassen N sei a Röhrenviertel von K; Also N ist ein solide Torus. Das Knoten -Komplement ist dann die ergänzen von NAnwesend

Ein verwandtes Thema ist Geflechttheorie. Geflechttheorie ist eine Zusammenfassung geometrisch Theorie den Alltag studieren flechten Konzept und einige Verallgemeinerungen. Die Idee ist, dass Zöpfe organisiert werden können Gruppen, in dem der Gruppenbetrieb "das erste Geflecht auf einem Satz von Saiten ausführen und dann mit einer Sekunde auf den verdrehten Saiten folgen". Solche Gruppen können explizit beschrieben werden Präsentationen, wie gezeigt wurde von Emil Artin(1947).[2] Für eine elementare Behandlung nach diesem Sinne siehe den Artikel zu Geflechte Gruppen. Geflechte Gruppen können auch eine tiefere mathematische Interpretation erhalten: als die Grundgruppe bestimmter Konfigurationsräume.

Hyperbolische 3-Manifolds

A Hyperbolische 3-Manuffach ist ein 3-Manuf ausgestattet mit a Komplett Riemannsche Metrik von konstant Schnittkrümmung -1. Mit anderen Worten, es ist der Quotient von dreidimensional hyperbolischer Raum durch eine Untergruppe hyperbolischer Isometrien, die frei und frei wirken und richtig diskontinuierlich. Siehe auch Kleinsche Modell.

Seine dick-dünner Zersetzung hat einen dünnen Teil, der aus röhrenförmigen Vierteln aus geschlossenen Geodätikalen und/oder Enden besteht, die das Produkt einer euklidischen Oberfläche und der geschlossenen Halbstrahls sind. Der Verteiler ist nur dann, wenn sein dicker Teil kompakt ist. In diesem Fall sind die Enden von der Form des Torus die geschlossene Halbstrahls und werden genannt Höcker. Knoten -Ergänzungen sind die am häufigsten untersuchten Cusped -Verteiler.

Poincaré -Vermutung und Geometrisierung

Thurstons Geometrisierungsvermeidung stellt fest, dass bestimmte dreidimensionale Topologische Räume Jeder hat eine einzigartige geometrische Struktur, die damit verbunden werden kann. Es ist ein Analogon der Uniformisationstheorem für zweidimensionale Oberflächen, was angibt, dass jeder Einfach vernetzt Riemann Oberfläche kann eine von drei Geometrien gegeben werden (Euklidisch, sphärisch, oder hyperbolisch). In drei Dimensionen ist es nicht immer möglich, einem ganzen topologischen Raum eine einzelne Geometrie zuzuweisen. Stattdessen gibt die Geometrisierungsvermeidung an, dass alle geschlossen wurden 3-Manuf kann in kanonischer Weise in Stücke zersetzt werden, in denen jeweils eine von acht Arten von geometrischer Struktur verfügen. Die Vermutung wurde von vorgeschlagen von William Thurston(1982) und impliziert mehrere andere Vermutungen, wie die Poincaré -Vermutung und Thurston Elliptisierungsvermeidung.[3]

Vier Dimensionen

A 4-Manuf ist ein 4-dimensional Topologischer Verteiler. EIN glatte 4-Maniflold ist eine 4-Maniform mit a glatte Struktur. In der Abmessung vier sind im deutlichen Kontrast zu niedrigeren Abmessungen topologische und glatte Verteiler sehr unterschiedlich. Es gibt einige topologische 4-Manuffach, die keine glatte Struktur zulassen, und selbst wenn es eine glatte Struktur gibt homomorph aber nicht diffomorph).

4-Maniflolds sind in der Physik von Bedeutung, weil in Generelle Relativität, Freizeit ist als modelliert als a Pseudo-riemannian 4-Manuf.

Exotisch r4

Ein exotisch R4 ist ein Differenzierbarer Verteiler das ist homomorph aber nicht diffomorph zum Euklidischer Raum R4. Die ersten Beispiele wurden in den frühen 1980er Jahren von gefunden Michael Freedman, indem der Kontrast zwischen Freedmans Theoreme über topologische 4-Manifolds verwendet wird, und Simon DonaldsonDie Theoreme über glatte 4-Manifolds.[4] Da ist ein Kontinuum von nicht diffeomorph differenzierbare Strukturen von R4, wie zuerst gezeigt wurde durch Clifford Taubes.[5]

Vor dieser Konstruktion nicht diffeomorph glatte Strukturen auf Kugeln -Exotische Kugeln- Es wurde bereits bekannt 4-Sphäre blieb offen (und bleibt ab 2018 noch geöffnet). Für jede positive Ganzzahl n Anders als 4 gibt es keine exotischen glatten Strukturen an Rn; mit anderen Worten, wenn n  4 dann jeder glatte, vielfältige homomorphe zu Rn ist diffomorph zu Rn.[6]

Andere besondere Phänomene in vier Dimensionen

Es gibt mehrere grundlegende Theoreme über Verteiler, die durch niedrigdimensionale Methoden in den Dimensionen höchstens 3 und durch völlig unterschiedliche hochdimensionale Methoden in der Dimension nachgewiesen werden können, die jedoch in vier Dimensionen falsch sind. Hier sind einige Beispiele:

  • In anderen Dimensionen als 4 die Kirby - Siebenmann Invariante liefert die Obstruktion der Existenz einer PL -Struktur; Mit anderen Worten, ein kompakter topologischer Verteiler hat eine PL -Struktur, wenn es nur kirby -sibenmann invariante in h ist4(M,Z/2Z) verschwindet. In Dimension 3 und niedrigeren topologische Verteiler lässt eine im Wesentlichen einzigartige PL -Struktur zu. In Dimension 4 gibt es viele Beispiele mit verschwundenem Kirby -Siebenmann -invarianten, aber keine PL -Struktur.
  • In einer anderen Dimension als 4 hat ein kompakter topologischer Verteiler nur eine endliche Anzahl von im Wesentlichen unterschiedlichen PL- oder glatten Strukturen. In Dimension 4 können kompakte Verteiler eine zählbare unendliche Anzahl nicht-diffeomorpher glatte Strukturen aufweisen.
  • Vier ist die einzige Dimension n für welche Rn Kann eine exotische glatte Struktur haben. R4 hat eine unzählige Anzahl exotischer glatte Strukturen; sehen exotisch R4.
  • Die Lösung für den glatten Poincaré -Vermutung ist in allen anderen Dimensionen als 4 bekannt (es ist normalerweise in Abmessungen falsch; siehe siehe Abmessungen; siehe exotische Sphäre). Die Poincaré -Vermutung für PL -Verteiler wurde für alle anderen Dimensionen als 4 bewiesen, aber es ist nicht bekannt, ob es in 4 Dimensionen wahr ist (es entspricht der glatten Poincaré -Vermutung in 4 Dimensionen).
  • Der glatte H-Cobordismus Theorem Hält für Cobordismen, sofern weder der Cobordismus noch seine Grenze Dimension 4 hat. Es kann scheitern, wenn die Grenze des Cobordismus Dimension 4 hat (wie von Donaldson gezeigt). Wenn der Cobordismus Dimension 4 hat, ist es nicht bekannt, ob der H-Cobordismus-Theorem gilt.
  • Ein topologischer Verteiler der Dimension, das nicht gleich 4 ist, hat eine Handlungsbodus -Zersetzung. Verteiler der Dimension 4 haben eine Zersetzung von Handlungen, wenn sie nur dann glattlich sind.
  • Es gibt kompakte 4-dimensionale topologische Verteiler, die keinem einfachen Komplex homeromorph sind. In der Dimension mindestens 5 war die Existenz topologischer Verteiler, die nicht homemorph zu einem einfachen Komplex sind, ein offenes Problem. Im Jahr 2013 veröffentlichte Ciprian Manolescu einen Vordruck auf dem Arxiv, der zeigt, dass in jeder Dimension größer oder gleich 5 Verteiler gibt, die nicht zu einem einfachen Komplex sind.

Einige typische Theoreme, die niedrigdimensionale Topologie unterscheiden

Es gibt mehrere Theoreme, die in der Tat feststellen, dass viele der grundlegendsten Werkzeuge, die zur Untersuchung hochdimensionaler Verteiler verwendet werden, nicht für niedrigdimensionale Verteiler gelten, wie beispielsweise:

Steenrods Theorem stellt fest, dass eine orientierbare 3-Manuffach einen trivialen Fall hat Tangentenbündel. Einen anderen Weg, der einzige charakteristische Klasse einer 3-Manuffach ist die Obstruktion der Orientierbarkeit.

Jede geschlossene 3-Manuffach ist die Grenze eines 4-Manuffachs. Dieser Satz ist unabhängig von mehreren Personen gebührt: Es folgt aus dem DehnLeckorisch Theorem über a Heegaard Trennung der 3-Manuffach. Es folgt auch aus René ThomBerechnung der Kobordismus Ring aus geschlossenen Verteilern.

Die Existenz von exotische glatte Strukturen auf R4. Dies wurde ursprünglich von beobachtet von Michael Freedmanbasierend auf der Arbeit von Simon Donaldson und Andrew Casson. Es wurde seitdem von Freedman ausgearbeitet, Robert Gompf, Clifford Taubes und Laurence Taylor, um dort zu zeigen R4. In der Zwischenzeit, Rn Es ist bekannt, dass genau eine glatte Struktur bis zum Diffeomorphismus bereitgestellt wird n ≠ 4.

Siehe auch

Verweise

  1. ^ Teichmüller, Oswald (1940), "Extremale Quasikonforme Abbildungen und Quadratische Differiale", Abh. Preus. Akad. Wiss. Math.-nat. KL., 1939 (22): 197, HERR 0003242.
  2. ^ Artin, E. (1947), "Theorie der Zöpfe", Annalen der Mathematik, Zweite Serie, Serie, 48: 101–126, doi:10.2307/1969218, HERR 0019087.
  3. ^ Thurston, William P. (1982), "dreidimensionale Verteiler, Kleinsche Gruppen und hyperbolische Geometrie", Bulletin der American Mathematical Society, Neue Serien, 6 (3): 357–381, doi:10.1090/s0273-0979-1982-15003-0, HERR 0648524.
  4. ^ Gompf, Robert E. (1983), "Drei exotisch R4's und andere Anomalien ", Zeitschrift für Differentialgeometrie, 18 (2): 317–328, HERR 0710057.
  5. ^ Satz 1.1 von Taubes, Clifford Henry (1987), "Messtheorie über asymptotisch periodische 4-Manuffach", Zeitschrift für Differentialgeometrie, 25 (3): 363–430, HERR 0882829
  6. ^ Konsequenz 5.2 von Stallings, John (1962), "Die stückweise lineare Struktur des euklidischen Raums", Mathematische Verfahren der Cambridge Philosophical Society, 58: 481–488, doi:10.1017/s0305004100036756, HERR 0149457.

Externe Links