Logistische Funktion

Standard -logistische Funktion wo

{\ displayStyle l = 1, k = 1, x_ {0} = 0}

A Logistische Funktion oder logistische Kurve ist eine häufige S-förmige Kurve (Sigmoidkurve) mit Gleichung

{\ displayStyle f (x) = {\ frac {l} {1+e^{-k (x-x_ {0})}}},},},}

wo

{\ displayStyle x_ {0}}

, das

{\ displayStyle x}

Wert des Mittelpunkts des Sigmoids;

{\ displayStyle l}

den Maximalwert der Kurve;

{\ displayStyle K}

, die logistische Wachstumsrate oder Steilheit der Kurve.^[1]

Für Werte von ${\ displayStyle x}$ im Bereich von reale Nummern aus ${\ displayStyle -\ Infty}$ zu ${\ displayStyle +\ Infty}$ , die rechts gezeigte S-Kurve wird mit dem Graphen von erhalten ${\ displayStyle f}$ Annäherung ${\ displayStyle l}$ wie ${\ displayStyle x}$ Ansätze ${\ displayStyle +\ Infty}$ und nähern sich Null als ${\ displayStyle x}$ Ansätze ${\ displayStyle -\ Infty}$ .

Die logistische Funktion findet Anwendungen in einer Reihe von Feldern, einschließlich Biologie (besonders Ökologie), Biomathematik, Chemie, Demographie, Wirtschaft, Geowissenschaften, Mathematische Psychologie, Wahrscheinlichkeit, Soziologie, Politikwissenschaft, Linguistik, Statistiken, und künstliche neurale Netzwerke. Eine Verallgemeinerung der logistischen Funktion ist die Hyperbolastische Funktion vom Typ I I..

Die Standard -logistische Funktion, wo ${\ displayStyle l = 1, k = 1, x_ {0} = 0}$ , wird manchmal einfach genannt das Sigmoid.^[2] Es wird auch manchmal das genannt Verlassen, sein Umkehrung der Logit.^[3]^[4]

Geschichte

Originalbild einer logistischen Kurve, im Gegensatz zu einer logarithmischen Kurve

Die logistische Funktion wurde in einer Reihe von drei Papieren von eingeführt Pierre François Verhulst Zwischen 1838 und 1847, der es als Modell von entwickelt hat Bevölkerungswachstum durch Anpassen der exponentielles Wachstum Modell unter der Anleitung von Adolphe Quetelet.^[5] Verhulst entwickelte die Funktion Mitte der 1830er Jahre zuerst und veröffentlichte 1838 einen kurzen Hinweis.^[1] stellte dann eine erweiterte Analyse vor und nannte die Funktion 1844 (veröffentlicht 1845);^[a]^[6] Das dritte Papier stellte den Korrekturbegriff in seinem Modell des belgischen Bevölkerungswachstums an.^[7]

Die anfängliche Wachstumsphase ist ungefähr exponentiell (geometrisch); Dann, zu Beginn der Sättigung, verlangsamt sich das Wachstum linear (arithmetisch), und bei der Reife stoppt das Wachstum. Verhulst erklärte nicht die Wahl des Begriffs "logistisch" (Französisch: logistique), aber es steht vermutlich im Gegensatz zum logarithmisch Kurve,^[8]^[b] und durch Analogie mit arithmetischer und geometrischer. Seinem Wachstumsmodell geht eine Diskussion darüber voraus arithmetisches Wachstum und geometrisches Wachstum (deren Kurve er nennt a logarithmische Kurveanstelle des modernen Begriffs Exponentialkurve) und damit "logistisches Wachstum" wird vermutlich durch Analogie benannt, logistisch von Altgriechisch: λογῐστῐκός, romanisiert:logistikós, eine traditionelle Aufteilung von Griechische Mathematik.^[c] Der Begriff hängt nicht mit dem Begriff der Militär- und Managementbeamte zusammen Logistik, was stattdessen von stammt Französisch: logis "Unterkünfte", obwohl einige glauben, dass der griechische Begriff auch beeinflusst wird Logistik; sehen Logistik § Ursprung für Details.

Mathematische Eigenschaften

Das Standard -logistische Funktion ist die logistische Funktion mit Parametern ${\ displayStyle k = 1}$ , ${\ displayStyle x_ {0} = 0}$ , ${\ displayStyle l = 1}$ , was ergibt

oder {1} {2}}+{\ frac {1} {2}} \ tanh \ links ({\ frac {x} {2}} \ rechts).}.}

In der Praxis aufgrund der Natur der Exponentialfunktion ${\ displayStyle e^{-x}}$ Es reicht oft aus, die Standard -Logistikfunktion für zu berechnen ${\ displayStyle x}$ über einen kleinen Bereich realer Zahlen, wie z. B. ein in [–6, +6] enthaltener Bereich, da es schnell sehr nahe an seinen Sättigungswerten von 0 und 1 konvergiert.

Die logistische Funktion hat die Symmetrieeigenschaft, die

{\ displayStyle 1-f (x) = f (-x).}

Daher, ${\ displayStyle x \ MapSto F (x) -1/2}$ ist ein komische Funktion.

Die logistische Funktion ist ein Versatz und skaliert Hyperbolische Tangente Funktion:

oder

oder

{\ displaystyle \ tanh (x) = 2f (2x) -1.}

Dies folgt aus

oder \ frac {e^{x} \ cdot \ links (1-e^{-2x} \ rechts)} {e^{x} \ cdot \ links (1+e^{-2x} \ rechts)}} \ \ & = f (2x)-{\ frac {e^{-2x}} {1+e^{-2x}}} = f (2x)-{\ frac {e^{-2x}+1-1 } {1+e^{-2x}}} = 2f (2x) -1. \ End {ausgerichtet}}}

Derivat

Die Standard -Logistikfunktion hat eine leicht berechnete Derivat. Das Derivat ist als Dichte der Dichte bekannt logistische Verteilung:

oder

oder {x} \ cdot e^{x}} {(1+e^{x})^{2}}} = {\ frac {e^{x}} {(1+e^{x})^{e^{x} {(1+e^{x})^{ 2}}} = f (x) {\ big (} 1-f (x) {\ big)}}

Die logistische Verteilung hat Mittelwert x₀ und Varianz π ²/3k ².

Integral

Umgekehrt ist es antiderivativ kann von der berechnet werden Auswechslung ${\ displayStyle u = 1+e^{x}}$ , seit $oder$ , so (fallen die Integrationskonstante))

oder ln (1+e^{x}).}

Im künstliche neurale NetzwerkeDies ist als die bekannt Softplus Funktion und (mit Skalierung) ist eine reibungslose Annäherung der Rampenfunktiongenauso wie die logistische Funktion (mit Skalierung) eine reibungslose Annäherung an das ist Heaviside -Schrittfunktion.

Logistische Differentialgleichung

Die Standard-Logistikfunktion ist die Lösung des einfachen nicht linearen ersten Ordnungs erster Ordnung gewöhnliche Differentialgleichung

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} f (x) = f (x) {\ big (} 1-f (x) {\ big)}}

mit Randbedingung ${\ displayStyle f (0) = 1/2}$ . Diese Gleichung ist die kontinuierliche Version der Logistische Karte. Beachten Sie, dass die wechselseitige logistische Funktion eine Lösung für einen einfachen ersten Ordnung ist linear gewöhnliche Differentialgleichung.^[9]

Das qualitative Verhalten ist leicht in Bezug auf das zu verstehen Phasenlinie: Die Ableitung ist 0, wenn die Funktion 1 ist; und das Derivat ist positiv für ${\ displayStyle f}$ zwischen 0 und 1 und negativ für ${\ displayStyle f}$ über 1 oder weniger als 0 (obwohl negative Populationen im Allgemeinen nicht mit einem physischen Modell übereinstimmen). Dies ergibt ein instabiles Gleichgewicht bei 0 und ein stabiles Gleichgewicht bei 1 und somit für jeden Funktionswert von mehr als 0 und weniger als 1 wächst es auf 1.

Die logistische Gleichung ist ein Sonderfall der Bernoulli -Differentialgleichung und hat die folgende Lösung:

{\ displayStyle f (x) = {\ frac {e^{x}} {e^{x}+c}}.}

Auswahl der Integrationskonstante ${\ displayStyle c = 1}$ Gibt die andere bekannte Form der Definition der logistischen Kurve an:

oder

Quantitativ, wie aus der analytischen Lösung ersichtlich ist, zeigt die logistische Kurve frühzeitig exponentielles Wachstum Für negatives Argument, das für ein Argument in der Nähe von 0 das lineare Wachstum von Steigung 1/4 erreicht, nähert sich 1 mit einer exponentiell verfallenden Lücke.

Die logistische Funktion ist die Umkehrung des Natürlichen Logit Funktion

oder

und konvertiert so den Logarithmus von Chancen in ein Wahrscheinlichkeit. Die Konvertierung aus dem Log-Likelihood-Verhältnis von zwei Alternativen hat auch die Form einer logistischen Kurve.

Die oben abgeleitete Differentialgleichung ist ein spezieller Fall einer allgemeinen Differentialgleichung, die nur die Sigmoidfunktion für modelliert ${\ displayStyle x> 0}$ . In vielen Modellierungsanwendungen, je mehr generelle Form^[10]

oder 0) = {\ frac {a} {1+e^{kr}}}}

kann wünschenswert sein. Seine Lösung ist das verschobene und skalierte Sigmoid

{\ displayStyle als {\ big (} k (x-r) {\ big)}}

.

Die hyperbolisch-tangent-Beziehung führt zu einer anderen Form für die Ableitung der logistischen Funktion:

oder \Rechts),}

was die logistische Funktion in die zusammenhält logistische Verteilung.

Rotationssymmetrie ungefähr (0, 1/2)

Die Summe der logistischen Funktion und ihre Reflexion über die vertikale Achse, ${\ displayStyle f (-x)}$ , ist

oder }} {e^{x} +1}}+{\ frac {1} {e^{x} +1}} = 1.}

Die logistische Funktion ist somit rotational symmetrisch über den Punkt (0, 1/2).^[11]

Anwendungen

Verknüpfung^[12] erstellte eine Erweiterung der Wald-Theorie der sequentiellen Analyse auf eine verteilungsfreie Akkumulation von zufälligen Variablen, bis entweder eine positive oder negative gebundene gebundene gleiche oder überschritten ist. Verknüpfung^[13] leitet die Wahrscheinlichkeit ab, zuerst die positive Grenze zu erreichen oder zu übertreffen ${\ displayStyle (1+e^{-\ theta a})}$ , die logistische Funktion. Dies ist der erste Beweis dafür, dass die logistische Funktion einen stochastischen Prozess als Grundlage haben kann. Verknüpfung^[14] Bietet ein Jahrhundert von Beispielen für "logistische" experimentelle Ergebnisse und eine neu abgeleitete Beziehung zwischen dieser Wahrscheinlichkeit und der Absorptionszeit an den Grenzen.

In der Ökologie: Modellierung des Bevölkerungswachstums

Pierre-François Verhulst (1804–1849)

Eine typische Anwendung der logistischen Gleichung ist ein gemeinsames Modell von Bevölkerungswachstum (siehe auch Populationsdynamik), ursprünglich aufgrund Pierre-François Verhulst Im Jahr 1838, wo die Reproduktionsrate sowohl zur bestehenden Bevölkerung als auch zur Anzahl der verfügbaren Ressourcen proportional ist und alles andere gleich ist. Die Verhulst -Gleichung wurde veröffentlicht, nachdem Verhulst gelesen hatte Thomas Malthus' Ein Aufsatz über das Bevölkerungsprinzip, was das beschreibt Malthusian Wachstumsmodell des einfachen (nicht eingeschränkten) exponentiellen Wachstums. Verhulst leitete seine logistische Gleichung ab, um das selbstlimitierende Wachstum von a zu beschreiben biologisch Population. Die Gleichung wurde 1911 von wiederentdeckt A. G. McKendrick Für das Wachstum von Bakterien in Brühe und experimentell unter Verwendung einer Technik zur nichtlinearen Parameterschätzung getestet.^[15] Die Gleichung wird manchmal auch als als genannt Verhulst-Pearl-Gleichung nach seiner Wiederentdeckung im Jahr 1920 von Raymond Pearl (1879–1940) und Lowell Reed (1888–1966) der Johns Hopkins Universität.^[16] Ein anderer Wissenschaftler, Alfred J. Lotka leitete die Gleichung 1925 erneut ab und nannte sie die Bevölkerungsgesetz.

Vermeiden ${\ displayStyle p}$ Bevölkerungsgröße darstellen ( ${\ displayStyle n}$ wird stattdessen oft in der Ökologie verwendet) und ${\ displayStyle t}$ Die Zeit darstellen, dieses Modell wird von der formalisiert Differentialgleichung:

{\ displaystyle {\ frac {dp} {dt}} = rp \ links (1-{\ frac {p} {k} \ \ rechts),},}

wo die Konstante ${\ displayStyle r}$ definiert die Wachstumsrate und ${\ displayStyle K}$ ist der Tragfähigkeit.

In der Gleichung wird die frühe, ungehinderte Wachstumsrate durch den ersten Term modelliert ${\ displayStyle +rp}$ . Der Wert des Rate ${\ displayStyle r}$ repräsentiert den proportionalen Anstieg der Bevölkerung ${\ displayStyle p}$ in einer Zeiteinheit. Später, wenn die Bevölkerung wächst, ist der Modul des zweiten Terms (der sich vervielfacht ${\ displayStyle -rp^{2}/k}$ ) wird fast so groß wie der erste wie einige Bevölkerungsmitglieder ${\ displayStyle p}$ stören einander, indem Sie um eine kritische Ressource wie Lebensmittel oder Wohnraum konkurrieren. Diese antagonistische Wirkung wird als die genannt Engpassund wird durch den Wert des Parameters modelliert ${\ displayStyle K}$ . Der Wettbewerb verringert die kombinierte Wachstumsrate bis zum Wert von ${\ displayStyle p}$ hört auf zu wachsen (dies heißt die Reife der Bevölkerung). Die Lösung für die Gleichung (mit ${\ displayStyle p_ {0}}$ Die anfängliche Bevölkerung zu sein) ist

oder } {1+ \ links ({\ frac {k-p_ {0}} {p_ {0}}} \ rechts) e^{-rt}}},},}

wo

{\ displayStyle \ lim _ {t \ to \ infty} p (t) = k.}

Das heißt das ${\ displayStyle K}$ ist der begrenzende Wert von ${\ displayStyle p}$ : Der höchste Wert, den die Bevölkerung bei unendlicher Zeit erreichen kann (oder in der endlichen Zeit nahezu erreichen). Es ist wichtig zu betonen, dass die Tragfähigkeit asymptotisch unabhängig vom Anfangswert erreicht ist ${\ displayStyle p (0)> 0}$ und auch für den Fall, dass ${\ displayStyle p (0)> k}$ .

In der Ökologie, Spezies werden manchmal als als bezeichnet ${\ displayStyle r}$ -Strategistik oder ${\ displayStyle K}$ -Stratege abhängig von der selektiv Prozesse, die ihre geprägt haben Lebensgeschichte Strategien.Auswahl der variablen Dimensionen so dass ${\ displayStyle n}$ misst die Bevölkerung in Einheiten der Tragekapazität, und ${\ displayStyle \ tau}$ misst die Zeit in Einheiten von ${\ displayStyle 1/r}$ gibt die dimensionslose Differentialgleichung an

{\ displaystyle {\ frac {dn} {d \ tau}} = n (1-n).}.}

Zeitlich variierende Tragfähigkeit

Da die Umweltbedingungen die Tragfähigkeit beeinflussen, kann sie infolgedessen zeitlich variieren, mit ${\ displayStyle k (t)> 0}$ , was zum folgenden mathematischen Modell führt:

oder

Ein besonders wichtiger Fall ist der Tragfähigkeit, der regelmäßig mit der Periode variiert ${\ displayStyle t}$ :

{\ displayStyle k (t+t) = k (t).}

Es kann gezeigt werden^[17] das in einem solchen Fall unabhängig vom Anfangswert ${\ displayStyle p (0)> 0}$ , ${\ displayStyle p (t)}$ wird zu einer einzigartigen periodischen Lösung neigen ${\ displayStyle p _ {*} (t)}$ , deren Periode ist ${\ displayStyle t}$ .

Ein typischer Wert von ${\ displayStyle t}$ ist ein Jahr: In diesem Fall ${\ displayStyle k (t)}}$ kann periodische Abweichungen der Wetterbedingungen widerspiegeln.

Eine weitere interessante Verallgemeinerung besteht darin, zu berücksichtigen, dass die Tragekapazität ${\ displayStyle k (t)}}$ ist eine Funktion der Bevölkerung zu einem früheren Zeitpunkt und erfasst eine Verzögerung in der Art und Weise, wie die Bevölkerung ihre Umgebung verändert. Dies führt zu einer logistischen Verzögerungsgleichung,^[18] Dies hat ein sehr reichhaltiges Verhalten, mit der Bistabilität in einem Parameterbereich sowie einem monotonischen Zerfall auf Null, glattes exponentielles Wachstum, unterbrochenes unbegrenzt auf ein stationäres Niveau, nachhaltige Oszillationen, Endzeit-Singularitäten sowie Finite-Time-Tod.

In Statistiken und maschinellem Lernen

Logistische Funktionen werden in mehreren Rollen in Statistiken verwendet. Zum Beispiel sind sie die Verteilungsfunktion des Logistische Verteilungsfamilieund sie sind ein bisschen vereinfacht, um die Chance zu modellieren, dass ein Schachspieler seinen Gegner in der Elo -Bewertungssystem. Spezifische Beispiele folgen jetzt.

Logistische Regression

Logistische Funktionen werden in verwendet logistische Regression zu modellieren, wie die Wahrscheinlichkeit ${\ displayStyle p}$ eines Ereignisses kann von einem oder mehreren betroffen sein Erklärungsvariablen: Ein Beispiel wäre, das Modell zu haben

{\ displayStyle p = f (a+bx),},}

wo ${\ displayStyle x}$ ist die erklärende Variable, ${\ displayStyle a}$ und ${\ displayStyle B}$ sind Modellparameter, die angepasst werden müssen, und ${\ displayStyle f}$ ist die Standard -Logistikfunktion.

Logistische Regression und andere logarithmische Modelle werden auch häufig in verwendet maschinelles Lernen. Eine Verallgemeinerung der logistischen Funktion auf mehrere Eingänge ist die Softmax -Aktivierungsfunktion, benutzt in Multinomiale logistische Regression.

Eine andere Anwendung der logistischen Funktion ist in der Rasch -Modell, benutzt in Elemente -Antwort -Theorie. Insbesondere bildet das Rasch -Modell eine Grundlage für Maximale Wahrscheinlichkeit Schätzung der Stellen von Objekten oder Personen auf a Kontinuumbasierend auf Sammlungen von Kategoriale DatenZum Beispiel die Fähigkeiten von Personen auf einem Kontinuum basierend auf Antworten, die als korrekt und falsch eingestuft wurden.

Neuronale Netze

Logistische Funktionen werden häufig in verwendet Neuronale Netze vorstellen Nichtlinearität im Modell oder um Signale innerhalb eines angegebenen Signale zu klemmen Intervall. Ein populärer neuronales Netzelement berechnet a lineare Kombination seiner Eingangssignale und wendet eine begrenzte logistische Funktion als die an Aktivierungsfunktion zum Ergebnis; Dieses Modell kann als "geglättete" Variante der Klassiker gesehen werden Schwellenwert Neuron.

Eine gemeinsame Wahl für die Aktivierung oder "Squashing" -Funktionen^[19] ist

{\ displayStyle g (h) = {\ frac {1} {1+e^{-2 \ beta h}},},}

Welches ist eine logistische Funktion.

Diese Beziehungen führen zu vereinfachten Implementierungen von künstliche neurale Netzwerke mit künstliche Neuronen. Praktizierende warnen davor, dass sigmoidale Funktionen sind antisymmetrisch über den Ursprung (z. B. die Hyperbolische Tangente) führen zu einer schnelleren Konvergenz beim Training von Netzwerken mit Backpropagation.^[20]

Die logistische Funktion ist selbst die Ableitung einer anderen vorgeschlagenen Aktivierungsfunktion, die Softplus.

In der Medizin: Modellierung des Wachstums von Tumoren

Eine weitere Anwendung der logistischen Kurve ist in der Medizin, bei der die logistische Differentialgleichung zum Modellieren des Wachstums von Tumoren verwendet wird. Diese Anwendung kann als Erweiterung der oben genannten Verwendung im Rahmen der Ökologie angesehen werden (siehe auch die Generalisierte logistische Kurvemehr Parameter). Bezeichnet mit ${\ displayStyle x (t)}$ die Größe des Tumors zum Zeitpunkt ${\ displayStyle t}$ seine Dynamik unterliegt von

{\ displaystyle x '= r \ links (1-{\ frac {x} {k}} \ rechts) x,}

Welches ist vom Typ

{\ displayStyle x '= f (x) x, \ quad f' (x) \ leq 0,}

wo ${\ displayStyle f (x)}$ ist die Proliferationsrate des Tumors.

Wenn eine Chemotherapie mit einem Log-Kill-Effekt begonnen wird, kann die Gleichung überarbeitet werden

{\ displaystyle x '= r \ links (1-{\ frac {x} {k}} \ rechts) x-c (t) x,}

wo ${\ displayStyle c (t)}$ ist die durch Therapie induzierte Sterblichkeitsrate. Im idealisierten Fall einer sehr langen Therapie, ${\ displayStyle c (t)}$ kann als periodische Funktion modelliert werden (von Periode ${\ displayStyle t}$ ) oder (im Fall einer kontinuierlichen Infusionstherapie) als konstante Funktion, und man hat das

oder 0,}

d.h., wenn die durchschnittliche Therapie induzierte Sterblichkeitsrate größer ist als die Proliferationsrate der Grundlinie, dann gibt es die Ausrottung der Krankheit. Dies ist natürlich ein überfacher vereinfachtes Modell sowohl des Wachstums als auch der Therapie (z. B. berücksichtigt es nicht das Phänomen der klonalen Resistenz).

In der Medizin: Modellierung einer Pandemie

Ein neuartiger infektiöser Erreger, auf den eine Population keine Immunität hat, wird sich in den frühen Stadien im Allgemeinen exponentiell ausbreiten, während die Versorgung an anfälligen Personen reichlich vorhanden ist. Das SARS-CoV-2-Virus, das verursacht COVID-19 zeigte früh im Verlauf der Infektion in mehreren Ländern Anfang 2020 ein exponentielles Wachstum.^[21] Faktoren, einschließlich mangelnder anfälliger Wirte Herdenimmunität) oder Verringerung der Zugänglichkeit potenzieller Wirte durch physikalische Distanzmaßnahmen kann zuerst zu exponentiell aussehenden epidemischen Kurven führen (replizieren Sie den "logarithmischen" zum "logistischen" Übergang, der zuerst von festgestellt wurde, Pierre-François Verhulst, wie oben erwähnt) und dann eine maximale Grenze erreichen.^[22]

Eine logistische Funktion oder verwandte Funktionen (z. B. die Gompertz -Funktion) werden normalerweise in einer beschreibenden oder phänomenologischen Weise verwendet, da sie nicht nur gut zum frühen exponentiellen Anstieg passen, sondern auch zur letztendlichen Nivellierung der Pandemie, wenn die Bevölkerung eine Herdenimmunität entwickelt. Dies steht im Gegensatz zu tatsächlichen Modellen von Pandemien, die versuchen, eine Beschreibung basierend auf der Dynamik der Pandemie zu formulieren (z. B. Kontaktraten, Inkubationszeiten, soziale Distanzierung usw.). Es wurden jedoch einige einfache Modelle entwickelt, die eine logistische Lösung ergeben.^[23]^[24]^[25]

Modellierung früher Covid-19-Fälle

Generalisierte logistische Funktion (Richards -Wachstumskurve) in der epidemiologischen Modellierung

A Generalisierte logistische Funktion, auch als Richards -Wachstumskurve bezeichnet, wurde angewendet, um die frühe Phase der zu modellieren COVID-19 Ausbruch.^[26] Die Autoren passen die verallgemeinerte logistische Funktion an die kumulative Anzahl infizierter Fälle, die hier als als bezeichnet bezeichnet werden Infektionstrajektorie. Es gibt verschiedene Parametrisierungen der Generalisierte logistische Funktion in der Literatur. Eine häufig verwendete Form ist

{\ displayStyle f (t; \ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ theta _ {3}, \ xi) = {\ frac {\ theta _ {1} {[1+ \ xi \ \ \ theta _ {1} {[1+ \ xi \ exp (-\ theta _ {2} \ cdot (t- \ theta _ {3})]^{1/\ xi}}}})

wo ${\ displaystyle \ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ theta _ {3}}$ sind echte Zahlen und ${\ displayStyle \ xi}$ ist eine positive reelle Zahl. Die Flexibilität der Kurve ${\ displayStyle f}$ ist auf den Parameter zurückzuführen ${\ displayStyle \ xi}$ : (i) wenn ${\ displayStyle \ xi = 1}$ dann reduziert sich die Kurve auf die logistische Funktion und (ii) wenn ${\ displayStyle \ xi}$ Konvergiert auf Null, dann konvergiert die Kurve zu dem Gompertz -Funktion. In epidemiologischer Modellierung, ${\ displayStyle \ theta _ {1}}$ , ${\ displayStyle \ theta _ {2}}$ , und ${\ displayStyle \ theta _ {3}}$ repräsentieren die endgültige Epidemiegröße, Infektionsrate bzw. Verzögerungsphase. Siehe das rechte Feld für eine Beispielanlage für die Beispiele für eine Beispiele für Infektionen, wenn ${\ displayStyle (\ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ theta _ {3})}$ ist eingestellt auf ${\ displayStyle (10.000,0,2,40)}}$ .

Extrapolierte Infektionstraße von 40 Ländern, die von Covid-19 und Grand (Bevölkerung) durchschnittlich bis 14. Mai stark betroffen sind

Einer der Vorteile einer Wachstumsfunktion wie die Generalisierte logistische Funktion Bei der epidemiologischen Modellierung ist die relativ einfache Anwendung auf die Mehrebenenmodell Framework, wo Informationen aus verschiedenen geografischen Regionen miteinander zusammengefasst werden können.

In der Chemie: Reaktionsmodelle

Die Konzentration von Reaktanten und Produkten in autokatalytische Reaktionen Folgen Sie der logistischen Funktion. Der Verschlechterung von Platingruppe Metallfreie (PGM-freie) Sauerstoffreduktionsreaktion (ORR) Katalysator in Brennstoffzellenkathodes folgt der logistischen Zerfallsfunktion.^[27] Dies schließt einen autokatalytischen Abbaumechanismus vor.

In der Physik: Fermi -Dirac -Verteilung

Die logistische Funktion bestimmt die statistische Verteilung von Fermionen über die Energiezustände eines Systems im thermischen Gleichgewicht. Insbesondere ist es die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten, dass jedes mögliche Energieniveau durch ein Fermion belegt wird, wie nach Fermi -Dirac -Statistik.

In der Materialwissenschaft: Phasendiagramme

Sehen Diffusionsbindung.

In der Linguistik: Sprachänderung

In der Linguistik kann die logistische Funktion zum Modellieren verwendet werden Sprachwechsel:^[28] Eine Innovation, die sich auf den ersten Rand befindet, verbreitet sich mit der Zeit schneller und dann langsamer, wenn sie allgemeiner übernommen wird.

In der Landwirtschaft: Modellierung von Pflanzenreaktion

Die logistische S-Kurve kann zur Modellierung der Pflanzenreaktion auf Änderungen der Wachstumsfaktoren verwendet werden. Es gibt zwei Arten von Antwortfunktionen: positiv und Negativ Wachstumskurven. Zum Beispiel kann der Ernteertrag Zunahme mit zunehmendem Wert des Wachstumsfaktors bis zu einem bestimmten Niveau (positive Funktion) oder dies kann Verringerung mit zunehmenden Wachstumsfaktorwerten (negative Funktion aufgrund eines negativen Wachstumsfaktors), welche Situation eine erfordert invertiert S-Kurve.

S-Kurve-Modell für die Ernteertrag im Vergleich zur Tiefe von Grundwasserspiegel.^[29]

Invertiertes S-Kurve-Modell für die Ernteertrag versus Boden Salzgehalt.^[30]

In Wirtschaft und Soziologie: Verbreitung von Innovationen

Die logistische Funktion kann verwendet werden, um den Fortschritt der zu veranschaulichen Verbreitung einer Innovation durch seinen Lebenszyklus.

Im Die Gesetze der Nachahmung (1890), Gabriel Tarde beschreibt den Aufstieg und die Verbreitung neuer Ideen durch imitative Ketten. Insbesondere identifiziert Tarde drei Hauptphasen, auf die sich Innovationen ausbreiten: Die erste entspricht den schwierigen Anfängen, in denen die Idee in einer feindlichen Umgebung voller gegnerischer Gewohnheiten und Überzeugungen kämpfen muss. der zweite entspricht dem richtig exponentiellen Start der Idee, mit ${\ displayStyle f (x) = 2^{x}}$ ; Schließlich ist die dritte Stufe logarithmisch mit ${\ displayStyle f (x) = \ log (x)}$ und entspricht der Zeit, in der sich der Impuls der Idee allmählich verlangsamt, während gleichzeitig neue Gegnerideen erscheinen. Die folgende Situation stoppt oder stabilisiert den Fortschritt der Innovation, was sich einer Asymptote nähert.

In einem Souveräner StaatDie subnationalen Einheiten (Bestandteile oder Städte) können Kredite verwenden, um ihre Projekte zu finanzieren. Diese Finanzierungsquelle unterliegt jedoch in der Regel sowohl strikten gesetzlichen Regeln als auch Wirtschaftlichkeit Knappheit Einschränkungen, insbesondere die Ressourcen, die die Banken vergeben können (aufgrund ihrer Eigenkapital oder Basel Grenzen). Diese Einschränkungen, die ein Sättigungsniveau darstellen, zusammen mit einem exponentiellen Ansturm in einem Wirtschaftswettbewerb Für Geld erstellen Sie eine öffentliche Finanzen Verbreitung von Kreditunterkünften und die aggregierte nationale Reaktion ist a Sigmoidkurve.^[31]

In der Geschichte der Wirtschaft, wenn neue Produkte eingeführt werden, gibt es eine intensive Menge an Forschung und Entwicklung Dies führt zu dramatischen Qualität und Kostensenkungen. Dies führt zu einer Zeit des raschen Wachstums der Branche. Einige der berühmteren Beispiele sind: Railroads, Glühbirnen, Glühbirnen, Elektrifizierung, Autos und Flugreisen. Schließlich sind dramatische Verbesserungs- und Kostensenkungsmöglichkeiten erschöpft, das Produkt oder der Prozess werden mit wenigen verbleibenden potenziellen neuen Kunden weit verbreitet und die Märkte werden gesättigt.

Die logistische Analyse wurde in Papieren von mehreren Forschern des Internationalen Instituts für angewandte Systemanalyse verwendet (Analyse für angewandte Systeme (Iiasa). Diese Papiere befassen sich mit der Verbreitung verschiedener Innovationen, Infrastrukturen und Energiequellen -Substitutionen sowie der Rolle der Arbeit in der Wirtschaft sowie mit dem langen Wirtschaftszyklus. Lange Wirtschaftszyklen wurden von Robert Ayres (1989) untersucht.^[32] Cesare Marchetti veröffentlicht auf lange Wirtschaftszyklen und zur Verbreitung von Innovationen.^[33]^[34] Arnulf Grublers Buch (1990) enthält einen detaillierten Bericht über die Verbreitung von Infrastrukturen wie Kanäle, Eisenbahnen, Autobahnen und Fluggesellschaften, was zeigt, dass ihre Diffusion logistische Kurven folgte.^[35]

Carlota Perez verwendete eine logistische Kurve, um die lange zu veranschaulichen (Kondratiev) Geschäftszyklus mit den folgenden Etiketten: Beginn einer technologischen Ära als Eindringen, der Aufstieg als Raserei, der schnelle Build als Synergie und die Fertigstellung als die Reife.^[36]

Siehe auch

Anmerkungen

^ Das Papier wurde 1844 vorgestellt und 1845 veröffentlicht: "(Lu à la Séance du 30. November 1844)." "(Lesen Sie auf der Sitzung vom 30. November 1844).", P. 1.
^ Verhulst bezieht sich zuerst auf die Arithmetik Fortschreiten und geometrisch Fortschreitenund bezieht sich auf die geometrische Wachstumskurve als a logarithmisch Kurve (verwirrend, der moderne Begriff ist stattdessen exponentiell Kurve, die inverse). Dann ruft er seine Kurve an logistisch, im Kontrast zu logarithmischund vergleicht die logarithmische Kurve und die logistische Kurve in der Figur seines Papiers.
^ Im alten Griechenland, λογῐστῐκός im Gegensatz zu praktischen Berechnungen und Rechnungslegungen im Gegensatz zu ἀριθμητική (arithmētikḗ) das theoretische oder philosophische Studium der Zahlen. Verwirrend, auf Englisch, Arithmetik bezieht sich auf die praktische Berechnung, obwohl sie abgeleitet wird ἀριθμητική, nicht λογῐστῐκός. Siehe zum Beispiel Louis Charles Karpinski, Nicomachus von Gerasa: Einführung in die Arithmetik (1926) p. 3: "Arithmetik wird grundlegend von modernen Lesern, insbesondere von Wissenschaftlern und Mathematikern, mit der Kunst der Berechnung verbunden. Für die alten Griechen danach PythagorasArithmetik war jedoch in erster Linie eine philosophische Studie, die keinen notwendigen Zusammenhang mit praktischen Angelegenheiten hatte. In der Tat gaben die Griechen der Arithmetik des Geschäfts einen separaten Namen, λογιστική [Rechnungswesen oder praktische Logistik] ... im Allgemeinen betrachteten die Philosophen und Mathematiker Griechenlands zweifellos unter ihrer Würde, um diesen Zweig zu behandeln, der wahrscheinlich einen Teil der elementaren Unterricht von Kindern war. "

Verweise

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Ich kam zu dem Schluss, dass Verhulsts Absicht, die Kurve zu benennen, tatsächlich diesen Vergleich vorschlagen sollte, und dass "logistisch" die "logarithmische" Qualität der Kurve vermitteln sollte.
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Externe Links

[6] Das Papier wurde 1844 vorgestellt und 1845 veröffentlicht: "(Lu à la Séance du 30. November 1844)." "(Lesen Sie auf der Sitzung vom 30. November 1844).", P. 1.

[10] Verhulst bezieht sich zuerst auf die Arithmetik Fortschreiten und geometrisch Fortschreitenund bezieht sich auf die geometrische Wachstumskurve als a logarithmisch Kurve (verwirrend, der moderne Begriff ist stattdessen exponentiell Kurve, die inverse). Dann ruft er seine Kurve an logistisch, im Kontrast zu logarithmischund vergleicht die logarithmische Kurve und die logistische Kurve in der Figur seines Papiers.

[11] Im alten Griechenland, λογῐστῐκός im Gegensatz zu praktischen Berechnungen und Rechnungslegungen im Gegensatz zu ἀριθμητική (arithmētikḗ) das theoretische oder philosophische Studium der Zahlen. Verwirrend, auf Englisch, Arithmetik bezieht sich auf die praktische Berechnung, obwohl sie abgeleitet wird ἀριθμητική, nicht λογῐστῐκός. Siehe zum Beispiel Louis Charles Karpinski, Nicomachus von Gerasa: Einführung in die Arithmetik (1926) p. 3: "Arithmetik wird grundlegend von modernen Lesern, insbesondere von Wissenschaftlern und Mathematikern, mit der Kunst der Berechnung verbunden. Für die alten Griechen danach PythagorasArithmetik war jedoch in erster Linie eine philosophische Studie, die keinen notwendigen Zusammenhang mit praktischen Angelegenheiten hatte. In der Tat gaben die Griechen der Arithmetik des Geschäfts einen separaten Namen, λογιστική [Rechnungswesen oder praktische Logistik] ... im Allgemeinen betrachteten die Philosophen und Mathematiker Griechenlands zweifellos unter ihrer Würde, um diesen Zweig zu behandeln, der wahrscheinlich einen Teil der elementaren Unterricht von Kindern war. "

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Ich kam zu dem Schluss, dass Verhulsts Absicht, die Kurve zu benennen, tatsächlich diesen Vergleich vorschlagen sollte, und dass "logistisch" die "logarithmische" Qualität der Kurve vermitteln sollte.

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