Logische Äquivalenz

Im Logik und Mathematik, Aussagen ${\ displayStyle p}$ und ${\ displayStyle q}$ sollen sein logisch äquivalent Wenn sie das gleiche haben Wahrheitswert in jedem Modell.^[1] Die logische Äquivalenz von ${\ displayStyle p}$ und ${\ displayStyle q}$ wird manchmal ausgedrückt als ${\ displayStyle p \ äquiv q}$, ${\ displayStyle p :: q}$, ${\ displayStyle {\ textsf {e}} pq}$, oder ${\ displayStyle p \ iff q}$, abhängig von der benutzten Notation. Diese Symbole werden jedoch auch für verwendet materielle ÄquivalenzDie ordnungsgemäße Interpretation würde vom Kontext abhängen. Die logische Äquivalenz unterscheidet sich von der materiellen Äquivalenz, obwohl die beiden Konzepte intrinsisch miteinander verbunden sind.

Logische Äquivalenzen

In der Logik gibt es viele gängige logische Äquivalenzen und werden häufig als Gesetze oder Eigenschaften aufgeführt. Die folgenden Tabellen veranschaulichen einige davon.

Allgemeine logische Äquivalenzen

Gleichwertigkeit	Name
${\ displayStyle p \ wedge \ top \ äquiv p}$ ${\ displayStyle p \ vee \ bot \ äquiv p}$	Identitätsgesetze
${\ displayStyle p \ vee \ top \ äquiv \ top}$ ${\ displayStyle p \ wedge \ bot \ äquiv \ bot}$	Dominanzgesetze
${\ displayStyle p \ vee p \ äquiv p}$ ${\ displayStyle p \ Wedge p \ äquiv p}$	Idempotent- oder Tautologiegesetze
${\ displaystyle \ neg (\ neg p) \ äquiv p}$	Doppelte Negation Gesetz
${\ displayStyle p \ vee q \ äquiv q \ vee p}$ ${\ displayStyle p \ Wedge q \ äquiv q \ wedge p}$	Gemeindegesetze
${\ displayStyle (p \ vee q) \ vee r \ äquiv p \ vee (q \ vee r)}$ $oder$	Assoziative Gesetze
${\ displayStyle p \ vee (q \ wedge r) \ äquiv (p \ vee q) \ kedge (p \ vee r)}$ $oder$	Verteilungsgesetze
${\ displayStyle \ neg (p \ wedge q) \ äquiv \ neg p \ vee \ neg q}$ ${\ displayStyle \ neg (p \ vee q) \ äquiv \ neg p \ kedge \ neg q}$	De Morgans Gesetze
${\ displayStyle p \ vee (p \ wedge q) \ äquiv p}$ ${\ displayStyle p \ kedge (p \ vee q) \ äquiv p}$	Absorptionsgesetze
${\ displayStyle p \ vee \ neg p \ äquiv \ top}$ ${\ displayStyle p \ wedge \ neg p \ äquiv \ bot}$	Negationsgesetze

Logische Äquivalenzen mit bedingten Aussagen

1. ${\ displayStyle p \ impliziert q \ äquiv \ neg p \ vee q}$
2. ${\ displayStyle p \ impliziert q \ äquiv \ neg q \ impliziert \ neg p}$
3. ${\ displayStyle p \ vee q \ äquiv \ neg p \ impliziert q}$
4. ${\ displayStyle p \ Wedge q \ äquiv \ neg (p \ impliziert \ neg q)}$
5. ${\ displayStyle \ neg (p \ impliziert q) \ äquiv p \ kedge \ neg q}$
6. $oder$
7. ${\ displayStyle (p \ impliziert q) \ vee (p \ impliziert r) \ äquiv p \ impliziert (q \ vee r)}$
8. ${\ displayStyle (p \ impliziert r) \ kedge (q \ impliziert r) \ äquiv (p \ vee q) \ impliziert r}$
9. ${\ displayStyle (p \ impliziert r) \ vee (q \ impliziert r) \ äquiv (p \ kedge q) \ impliziert r}$

Logische Äquivalenzen mit Bikonditionals

1. $oder$
2. ${\ displayStyle p \ iff q \ äquiv \ neg p \ iff \ neg q}$
3. $oder$
4. ${\ displaystyle \ neg (p \ iff q) \ äquiv p \ iff \ neg q}$

Beispiele

In Logik

Die folgenden Aussagen sind logisch äquivalent:

1. Wenn Lisa in ist Dänemarkdann ist sie drin Europa (eine Aussage der Form ${\ displayStyle d \ impliziert e}$).
2. Wenn Lisa nicht in Europa ist, dann ist sie nicht in Dänemark (eine Erklärung der Form ${\ displayStyle \ neg e \ impliziert \ neg d}$).

Syntaktisch sind (1) und (2) über die Regeln von voneinander abgeleitet Schaffung und doppelte Negation. Semantisch sind (1) und (2) in genau denselben Modellen (Interpretationen, Bewertungen) zutreffen; nämlich diejenigen, in denen entweder Lisa ist in Dänemark ist falsch oder Lisa ist in Europa ist wahr.

(Beachten Sie das in diesem Beispiel, klassische Logik wird angenommen. Etwas Nicht klassische Logik NICHT (1) und (2) logisch äquivalent sein.)

Beziehung zur materiellen Äquivalenz

Die logische Äquivalenz unterscheidet sich von der materiellen Äquivalenz. Formeln ${\ displayStyle p}$ und ${\ displayStyle q}$ sind logisch äquivalent, wenn und nur wenn die Aussage ihrer materiellen Äquivalenz (${\ displayStyle p \ iff q}$) ist eine Tautologie.^[2]

Die materielle Äquivalenz von ${\ displayStyle p}$ und ${\ displayStyle q}$ (oft geschrieben als ${\ displayStyle p \ leftrightarrow q}$) ist selbst eine andere Aussage in derselben Objektsprache wie ${\ displayStyle p}$ und ${\ displayStyle q}$. Diese Aussage drückt die Idee "" aus${\ displayStyle p}$ dann und nur dann, wenn ${\ displayStyle q}$Insbesondere der Wahrheitswert von ${\ displayStyle p \ leftrightarrow q}$ kann sich von einem Modell zum anderen ändern.

Andererseits ist die Behauptung, dass zwei Formeln logisch äquivalent sind Metallanguage, was eine Beziehung zwischen zwei Aussagen ausdrückt ${\ displayStyle p}$ und ${\ displayStyle q}$. Die Aussagen sind logisch äquivalent, wenn sie in jedem Modell den gleichen Wahrheitswert haben.

Siehe auch

• Mit sich bringen
• Gleichgewicht
• Dann und nur dann, wenn
• Logische Bikonditional
• Logische Gleichheit
• ≡ das IFF -Symbol (U+2261 IDENTISCH MIT)
• ∷ das a ist zu b wie c ist zu d Symbol (U+2237 ANTEIL)
• ⇔ das doppelt geschlagen biconditional (U+21D4 Links rechts Doppelpfeil)
• ↔ der bidirektionale Pfeil (U+2194 Links rechts Pfeil)

Verweise