Lagrange -Mechanik

Im Physik, Lagrange -Mechanik ist eine Formulierung von klassische Mechanik gegründet auf der Stationärer Action-Prinzip (auch als Prinzip der geringsten Handlung bekannt). Es wurde vom italienisch-französischen Mathematiker und Astronom vorgestellt Joseph-Louis Lagrange in seiner Arbeit von 1788, Mécanique Analytique.^[1]

Die Lagrange -Mechanik beschreibt ein mechanisches System mit einem Paar ${\ textStyle (m, l)}$, bestehend aus a Konfigurationsraum ${\ textstyle m}$ und eine glatte Funktion ${\ textstyle l}$ genannt Lagrange. Vereinbarungs, ${\ textstyle l = t-v,}$ wo ${\ textstyle t}$ und ${\ displayStyle v}$ sind die kinetisch und Potenzial Energie des Systems.^[2]

Das stationäre Aktionsprinzip erfordert, dass das Aktion funktional des Systems abgeleitet von ${\ textstyle l}$ Muss während der Zeitentwicklung des Systems an einem stationären Punkt (maximal, minimal oder sattel) bleiben. Diese Einschränkung ermöglicht die Berechnung der Bewegungsgleichungen des Systems unter Verwendung von LaGrange -Gleichungen.^[3]

Einführung

Angenommen, es gibt eine Perle, die auf einem Draht herumrutscht, oder ein Schwingen einfaches Pendelusw. Wenn man jedes der massiven Objekte (Perle, Pendelbob usw.) als Teilchen, Berechnung der Bewegung des Partikels mithilfe verfolgt Newtonsche Mechanik erfordert die Lösung der zeitlich variierenden Einschränkungskraft, die erforderlich ist, um das Partikel in der beengten Bewegung zu halten (Reaktionskraft, die vom Draht auf der Perle ausgeübt wird, oder oder Spannung im Pendelstab). Für das gleiche Problem unter Verwendung der Lagrange -Mechanik schaut man den Weg, den das Teilchen einnehmen kann, und wählt einen bequemen Satz von unabhängig Verallgemeinerte Koordinaten Das charakterisiert die mögliche Bewegung des Partikels vollständig. Diese Wahl beseitigt die Notwendigkeit, dass die Einschränkungskraft in das resultierende Gleichungssystem eintreten muss. Es gibt weniger Gleichungen, da man den Einfluss der Einschränkung des Partikels zu einem bestimmten Zeitpunkt nicht direkt berechnet.

Für eine Vielzahl von physischen Systemen ist es eine nützliche Vereinfachung, es als zu behandeln, wenn die Größe und Form eines massiven Objekts vernachlässigbar sind Punktpartikel. Für ein System von N Zeigen Sie Partikel mit Massen m₁, m₂, ..., m_Njedes Teilchen hat a Positionsvektor, bezeichnet r₁, r₂, ..., r_N. Kartesischen Koordinaten sind oft ausreichend, also r₁ = (x₁, y₁, z₁), r₂ = (x₂, y₂, z₂) usw. Im dreidimensionaler RaumJeder Positionsvektor benötigt drei Koordinaten Um den Ort eines Punktes eindeutig zu definieren, gibt es also 3N Koordinaten, um die Konfiguration des Systems eindeutig zu definieren. Dies sind alles spezifische Punkte im Raum, um die Partikel zu lokalisieren. Ein allgemeiner Punkt im Raum ist geschrieben r = (x, y, z). Das Geschwindigkeit jedes Teilchens ist, wie schnell sich das Partikel entlang seines Bewegungswegs bewegt und das ist Zeitderivat seiner Position so

In der Newtonschen Mechanik die Bewegungsgleichungen werden gegeben von Newtons Gesetze. Das zweite Gesetz "Netz" Macht gleich Massenzeiten Beschleunigung",",gilt für jedes Partikel. Für ein N Teilchensystem in 3 Abmessungen, es gibt 3N zweite Bestellung gewöhnliche Differentialgleichungen in den Positionen der Partikel zu lösen.

Der Lagrange

Anstelle von Kräften verwendet die Lagrange -Mechanik die Energien Im System. Die zentrale Menge der Lagrange -Mechanik ist die Lagrange, eine Funktion, die die Dynamik des gesamten Systems zusammenfasst. Insgesamt hat der Lagrange -Energieeinheiten, aber keinen einzigen Ausdruck für alle physikalischen Systeme. Jede Funktion, die die korrekten Bewegungsgleichungen in Übereinstimmung mit physischen Gesetzen erzeugt, kann als Lagrange angenommen werden. Es ist dennoch möglich, allgemeine Ausdrücke für große Klassen von Anwendungen zu konstruieren. Das nicht relativistisch Lagrange für ein Partikelsystem kann durch definiert werden^[4]

${\ displayStyle l = t-v}$

wo

${\ displayStyle t = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1}^{n} m_ {k} v_ {k}^{2}}$

ist die Gesamtzahl kinetische Energie des Systems, der dem entspricht Summe Σ der kinetischen Energien der Partikel,^[5] und V ist der potenzielle Energie vom System.

Kinetische Energie ist die Energie der Bewegung des Systems und v_k² = v_k · v_k Ist die Größe der Geschwindigkeit, die dem entspricht Skalarprodukt der Geschwindigkeit mit sich selbst. Die kinetische Energie ist nur eine Funktion der Geschwindigkeiten v_k, nicht die Positionen r_k noch Zeit t, Also T = T(v₁, v₂, ...).

Das potenzielle Energie des Systems reflektiert die Energie der Wechselwirkung zwischen den Partikeln, d. H. Wie viel Energie ein Teilchen aufgrund aller anderen und anderer externer Einflüsse hat. Zum Konservative Kräfte (z.B. Newtonsche Schwerkraft) Es ist eine Funktion der Positionsvektoren nur der Partikel, also V = V(r₁, r₂, ...). Für nicht konservative Kräfte, die aus einem geeigneten Potential abgeleitet werden können (z. elektromagnetisches Potential), die Geschwindigkeiten werden auch erscheinen, V = V(r₁, r₂, ..., v₁, v₂, ...). Wenn sich ein externes Feld oder eine externe Antriebskraft mit der Zeit ändert, ändert sich das Potenzial mit der Zeit, also am allgemeinsten V = V(r₁, r₂, ..., v₁, v₂, ..., t).

Die obige Form von L hält nicht an Relativistische Lagrange -Mechanikund muss durch eine Funktion ersetzt werden, die mit einer speziellen oder allgemeinen Relativitätstheorie übereinstimmt. Außerdem muss für dissipative Kräfte eine andere Funktion vorgestellt werden L.

Ein oder mehrere der Partikel können jeweils einer oder mehrerer ausgesetzt sein Holonomische Einschränkungen; Eine solche Einschränkung wird durch eine Gleichung der Form beschrieben f(r, t) = 0. Wenn die Anzahl der Einschränkungen im System ist Cdann hat jede Einschränkung eine Gleichung, f₁(r, t) = 0, f₂(r, t) = 0, ..., f_C(r, t) = 0, von denen jeder auf eines der Partikel gelten könnte. Wenn Partikel k unterliegt Einschränkungen i, dann f_i(r_k, t) = 0. Zu jedem Zeitpunkt sind die Koordinaten eines eingeschränkten Teilchens miteinander verbunden und nicht unabhängig. Die Einschränkungsgleichungen bestimmen die zulässigen Pfade, die die Partikel mit sich bewegen können, aber nicht dort, wo sie sich befinden oder wie schnell sie zu jedem Zeitpunkt gehen. Nichtholonomische Einschränkungen Abhängig von den Partikelgeschwindigkeiten, Beschleunigungen oder höheren Positionsableitungen. Lagrange -Mechanik kann nur auf Systeme angewendet werden, deren Einschränkungen, falls vorhanden, alle holonomisch sind. Drei Beispiele für nichtholonomische Einschränkungen sind:^[6] Wenn die Einschränkungsgleichungen nicht integrierbar sind, wenn die Einschränkungen Ungleichheiten oder mit komplizierten nicht konservativen Kräften wie Reibung aufweisen. Nichtholonomische Einschränkungen erfordern eine besondere Behandlung, und man muss möglicherweise auf die Newtonsche Mechanik zurückkehren oder andere Methoden anwenden.

Wenn T oder V oder beide hängen ausdrücklich auf die Zeit ab, da zeitlich variierende Einschränkungen oder externe Einflüsse, die Lagrange, L(r₁, r₂, ... v₁, v₂, ... t) ist explizit zeitabhängig. Wenn weder das Potenzial noch die kinetische Energie von der Zeit abhängen, dann der Lagrange L(r₁, r₂, ... v₁, v₂, ...) ist explizit unabhängig von der Zeit. In beiden Fällen wird der Lagrange immer eine implizite Zeitabhängigkeit durch die verallgemeinerten Koordinaten haben.

Mit diesen Definitionen, Lagrange's Gleichungen der ersten Art sind^[7]

wo k = 1, 2, ..., N Beschriftet die Partikel, es gibt a Lagrange -Multiplikator λ_i Für jede Einschränkungsgleichung f_i, und

${\ displayStyle {\ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} \ äquiv \ links ({\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}, {{\ frac {{{\ fruc {{{{\ {{{{ \ partial} {\ partial y_ {k}}}, {\ frac {\ partial} {\ partial z_ {k}} \ rechts) \ ,, \ quad {\ frac {\ partial} {\ partial {\ dot {\ dot oder oder$

sind jeweils eine Kurzschrift für einen Vektor von Teilableitungen ∂/∂ in Bezug auf die angegebenen Variablen (kein Derivat in Bezug auf den gesamten Vektor).^{[NB 1]} Jeder Overdot ist eine Abkürzung für a Zeitderivat. Dieses Verfahren erhöht die Anzahl der zu lösenden Gleichungen im Vergleich zu Newtons Gesetzen aus 3N bis 3N + C, weil es 3 gibtN gekoppelte Differentialgleichungen zweiter Ordnung in den Positionskoordinaten und Multiplikatoren plus C Einschränkungsgleichungen. Wenn die Multiplikatoren jedoch neben den Positionskoordinaten der Partikel gelöst werden, können sie Informationen über die Einschränkungskräfte liefern. Die Koordinaten müssen nicht durch Lösen der Einschränkungsgleichungen beseitigt werden.

Auf dem Lagrange sind die Positionskoordinaten und Geschwindigkeitskomponenten alle unabhängige Variablenund Derivate der Lagrange werden in Bezug auf diese getrennt gemäß den üblichen Differenzierungsregeln (z. B. die Teilableitung von L in Bezug auf die z-Verschwärmerkomponente von Partikel 2, definiert durch ${\ displayStyle v_ {z, 2} = dz_ {2}/dt}$, ist nur ${\ displaystyle \ partial l/\ partial v_ {z, 2}}$; Kein unangenehm Kettenregeln oder Gesamtderivate müssen verwendet werden, um die Geschwindigkeitskomponente mit der entsprechenden Koordinate in Beziehung zu setzen z₂).

In jeder Einschränkungsgleichung ist eine Koordinate überflüssig, da sie aus den anderen Koordinaten bestimmt wird. Die Anzahl der unabhängig Koordinaten sind daher n = 3N − C. Wir können jeden Positionsvektor in einen gemeinsamen Satz von verwandeln n Verallgemeinerte Koordinaten, bequem als ein n-tupel q = (q₁, q₂, ... q_n) durch Expression jeder Positionsvektor und damit die Positionskoordinaten als Funktionen der verallgemeinerten Koordinaten und Zeit, Zeit,

$oder } (\ mathbf {q}, t), z_ {k} (\ mathbf {q}, t), t) \ ,.}$

Der Vektor q ist ein Punkt in der Konfigurationsraum vom System. Die zeitlichen Ableitungen der verallgemeinerten Koordinaten werden als verallgemeinerte Geschwindigkeiten bezeichnet, und für jedes Partikel die Transformation seines Geschwindigkeitsvektors, die Gesamtableitung seiner Position in Bezug auf die Zeit ist

${\ displayStyle {\ dot {q}} _ {j} = {\ frac {\ mathrm {d} q_ {j} {\ mathrm {d} T}} \ ,, \ quad \ mathbf {v} _ _ {_ {{_ { k} = \ sum _ {j = 1}^{n} {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k} {\ partial q_ {j}} {\ dot {q} _ {j {j}} {\ dot {} _ {je {j {j}} {\ dot {Q} _ {J. {j {j {j}} {\ dot {Q} _ {J. {J. }+{\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial t}} \ ,.}$

Angesichts dessen v_kdie kinetische Energie in verallgemeinerten Koordinaten hängt von den verallgemeinerten Geschwindigkeiten, verallgemeinerten Koordinaten und der Zeit ab, wenn die Positionsvektoren aufgrund zeitlich variierender Einschränkungen explizit abhängen ${\ displayStyle t = t (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t)}$.

Mit diesen Definitionen die Euler -Lagrange -Gleichungen, oder Lagrange's Gleichungen der zweiten Art^[8][9]

sind mathematische Ergebnisse aus der Variationskalkül, die auch in Mechanik verwendet werden können. Ersetzen Sie das Lagrange L(q, dq/dt, t), gibt die Bewegungsgleichungen vom System. Die Anzahl der Gleichungen ist im Vergleich zu Newtonschen Mechanikern ab 3 abgenommenN zu n = 3N − C gekoppelte Differentialgleichungen zweiter Ordnung in den verallgemeinerten Koordinaten. Diese Gleichungen enthalten überhaupt keine Einschränkungskräfte, nur Nicht-Konstruktionskräfte müssen berücksichtigt werden.

Obwohl die Bewegungsgleichungen enthalten sind TeilableitungenDie Ergebnisse der Teilableitungen sind immer noch gewöhnliche Differentialgleichungen in den Positionskoordinaten der Partikel. Das Gesamtzeitableitung bezeichnet d/dt oft beinhaltet implizite Differenzierung. Beide Gleichungen sind im Lagrange linear, sind jedoch im Allgemeinen nichtlineare gekoppelte Gleichungen in den Koordinaten.

Von Newtonian zur Lagrange -Mechanik

Newtons Gesetze

Der Einfachheit halber können die Gesetze von Newton für ein Teilchen ohne viel Allgemeinheit dargestellt werden (für ein System von N Partikel, alle diese Gleichungen gelten für jedes Partikel im System). Das Bewegungsgleichung Für ein Massenteilchen m ist Newtons zweites Gesetz von 1687 in der modernen Vektornotation

${\ displaystyle \ mathbf {f} = m \ mathbf {a} \ ,,}$

wo a ist seine Beschleunigung und F Die resultierende Kraft wirkt an es. In drei räumlichen Dimensionen ist dies ein System von drei gekoppelten zweiten Ordnung gewöhnliche Differentialgleichungen zu lösen, da es in dieser Vektorgleichung drei Komponenten gibt. Die Lösung ist der Positionsvektor r zum Zeitpunkt des Teilchens t, vorbehaltlich der Anfangsbedingungen von r und v Wenn t = 0.

Newtons Gesetze sind in kartesischen Koordinaten einfach zu verwenden, aber kartesische Koordinaten sind nicht immer bequem, und für andere Koordinatensysteme können die Bewegungsgleichungen kompliziert werden. In einem Satz von krumminare Koordinaten ξ = (ξ¹, ξ², ξ³) das Gesetz in Tensor Index Notation ist der "Lagrange -Form"^[10][11]

${\ displayStyle f ^{a} = m \ links ({\ frac {\ mathrm {d} ^{2} \ xi ^{a}} {\ mathrm {d} t ^{2}}}+\ gamma ^ {a}{}_{bc}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{b}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{c}} oder partial {\ dot {\ xi}} ^{k}}}-{\ frac {\ partial t} {\ partial \ xi ^{k}}} \ rechts) \ ,, \ quad {\ dot {\ xi} } ^{a} \ äquiv {\ frac {\ mathrm {d} \ xi ^{a}} {\ mathrm {d} t}} \ ,,}$

wo F^a ist der ath kontravariante Komponente der resultierenden Kraft, die auf das Partikel wirkt, γ^a_BC sind die Christoffel Symbole der zweiten Art,

$oder {d} \ xi ^{c}} {\ mathhrm {d} t}}}$

ist die kinetische Energie des Teilchens und g_BC das Kovariantekomponenten des metrischer Tensor des krummlinigen Koordinatensystems. Alle Indizes a, b, cjeweils nehmen die Werte 1, 2, 3. krummlinige Koordinaten nicht mit verallgemeinerten Koordinaten gleich.

Es mag wie eine Überkompetenz erscheinen, Newtons Gesetz in dieser Form zu besetzen, aber es gibt Vorteile. Die Beschleunigungskomponenten in Bezug auf die Christoffel -Symbole können vermieden werden, indem stattdessen Derivate der kinetischen Energie bewertet werden. Wenn es keine resultierende Kraft gibt, die auf das Partikel wirkt, F = 0Es beschleunigt sich nicht, sondern bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit in einer geraden Linie. Mathematisch sind die Lösungen der Differentialgleichung Geodäsik, Die Kurven der extremen Länge zwischen zwei Punkten im Raum (diese können minimal werden, so dass die kürzesten Wege, das ist jedoch nicht notwendig). Im flachen 3D -realen Raum sind die Geodäsik einfach gerade Linien. Für ein freies Teilchen fällt das zweite Gesetz von Newton mit der geodätischen Gleichung zusammen, und die Zustände der freien Partikel folgen der Geodäsik, den extremen Flugbahnen, die sich entlang bewegen können. Wenn das Teilchen Kräften ausgesetzt ist, F ≠ 0Das Partikel beschleunigt sich aufgrund von Kräften, die darauf einwirken, und abweicht von den Geodätikern ab, wenn sie frei sind. Mit geeigneten Erweiterungen der hier angegebenen Mengen im flachen 3D -Raum bis 4D gebogene RaumzeitDie obige Form von Newtons Gesetz überträgt ebenfalls zu Einstein's generelle RelativitätIn diesem Fall folgen freie Partikel den Geodätikern in gekrümmter Raumzeit, die im gewöhnlichen Sinne nicht mehr "gerade Linien" sind.^[12]

Wir müssen jedoch immer noch die insgesamt resultierende Kraft kennenlernen F Auf das Partikel wirken, was wiederum die resultierende Nicht-Konstruktionskraft erfordert N plus die resultierende Einschränkung CAnwesend

${\ displaystyle \ mathbf {f} = \ mathbf {c} +\ mathbf {n} \ ,.}$

Die Einschränkungen können kompliziert sein, da sie im Allgemeinen von der Zeit abhängen. Wenn es Einschränkungen gibt, sind die krummlinigen Koordinaten nicht unabhängig, sondern durch eine oder mehrere Einschränkungen.

Die Einschränkungskräfte können entweder aus den Bewegungsgleichungen beseitigt werden, sodass nur die Nichtkonstruktionskräfte übrig bleiben oder durch Einbeziehung der Einschränkungsgleichungen in die Bewegungsgleichungen einbezogen werden.

D'Alemberts Prinzip

Ein grundlegendes Ergebnis in analytische Mechanik ist D'Alemberts Prinzip, 1708 eingeführt von Jacques Bernoulli verstehen Statisches Gleichgewichtund entwickelt von D'Alembert 1743, um dynamische Probleme zu lösen.^[13] Das Prinzip behauptet für N Partikel der virtuellen Arbeit, d. H. Die Arbeit entlang einer virtuellen Verschiebung, δr_k, ist Null:^[5]

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1}^{n} (\ mathbf {n} _ {k}+\ mathbf {c} _ {k} -m_ {k} \ mathbf {a} _ {k})) \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {k} = 0 \ ,.}$

Das Virtuelle Verschiebungen, δr_ksind per Definition in unendlichen Infinitesimaländerungen in der Konfiguration des Systems, die mit den auf das System wirkenden Einschränkungskräften übereinstimmen zu einem Zeitpunkt der Zeit,^[14] d.h. so, dass die Einschränkungskräfte die eingeschränkte Bewegung aufrechterhalten. Sie sind nicht die gleichen wie die tatsächlichen Verschiebungen im System, die durch die resultierenden Einschränkungen und Nicht-Konstruktionskräfte verursacht werden, die auf das Partikel wirken, um es zu beschleunigen und zu bewegen.^{[NB 2]} Virtuelle Arbeit ist die Arbeiten entlang einer virtuellen Verschiebung für eine Kraft (Einschränkung oder Nichtbekämpfung).

Da die Einschränkungskräfte senkrecht zur Bewegung jedes Partikels im System zur Aufrechterhaltung der Einschränkungen handeln, ist die gesamte virtuelle Arbeit der auf das System wirkenden Einschränkungskräfte Null:^{[15][NB 3]}

$oder$

so dass

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1}^{n} (\ mathbf {n} _ {k} -m_ {k} \ mathbf {a} _ {k}) \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ _ _ {k}) \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {k} = 0 \ ,.}$

So ermöglicht es D'Alemberts Prinzip, uns nur auf die angewendeten Nichtkonstruktionskräfte zu konzentrieren und die Einschränkungen in den Bewegungsgleichungen auszuschließen.^[16][17] Die gezeigte Form ist auch unabhängig von der Wahl der Koordinaten. Es kann jedoch nicht ohne weiteres verwendet werden, um die Bewegungsgleichungen in einem willkürlichen Koordinatensystem einzurichten, da die Verschiebungen Δr_k könnte durch eine Einschränkungsgleichung verbunden sein, die uns daran hindert, die festzulegen N Einzelne Summen zu 0. Wir werden daher ein System von gegenseitig unabhängigen Koordinaten suchen, für das die Gesamtsumme 0 beträgt, wenn die einzelnen Summen 0 sind. Einen der Summen auf 0 setzen, gibt uns schließlich unsere getrennten Bewegungsgleichungen.

Bewegungsgleichungen aus D'Alemberts Prinzip

Wenn es Einschränkungen auf Partikeln gibt k, dann seit den Koordinaten der Position r_k = (x_k, y_k, z_k) werden durch eine Einschränkungsgleichung miteinander verbunden, so sind auch die der der Virtuelle Verschiebungen δr_k = (Δx_k, ΔY_k, Δz_k). Da die verallgemeinerten Koordinaten unabhängig sind, können wir die Komplikationen mit dem vermeiden δr_k durch Konvertieren in virtuelle Verschiebungen in den verallgemeinerten Koordinaten. Diese sind in der gleichen Form wie a zusammenhängen total differential,^[5]

$oder }} \ delta q_ {j} \ ,.}$

Es gibt kein Teilzeitderivat in Bezug auf die Zeit multipliziert mit einem Zeitinkrement, da dies eine virtuelle Verschiebung ist, eine entlang der Einschränkungen in einem sofortig von Zeit.

Der erste Begriff im obigen Prinzip von D'Anemberts ist die virtuelle Arbeit, die die Nicht-Konstruktionskräfte erledigt haben N_k entlang der virtuellen Verschiebungen δr_kund kann ohne Verlust der Allgemeinheit durch die Definition von in die verallgemeinerten Analoga umgewandelt werden Verallgemeinerte Kräfte

$oder q_ {j}}} \ ,,}$

so dass

$oder \ mathbf {n} _ {k} \ cdot \ sum _ {j = 1}^{n} {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial q_ {j}}} \ dellta q_ {j} = \ sum _ {j = 1}^{n} q_ {j} \ delta q_ {j} \ ,.}$

Dies ist die Hälfte der Umwandlung in verallgemeinerte Koordinaten. Es bleibt weiterhin, den Beschleunigungsbegriff in verallgemeinerte Koordinaten umzuwandeln, was nicht sofort offensichtlich ist. In Bezug auf die LaGrange -Form des zweiten Gesetzes von Newton können die partiellen Ableitungen der kinetischen Energie in Bezug auf die verallgemeinerten Koordinaten und Geschwindigkeiten das gewünschte Ergebnis verleihen:^[5]

$oder oder {\ frac {\ partial t} {\ partial q_ {j}}} \ ,.}$

Jetzt liegt das Prinzip von D'Anembert in den verallgemeinerten Koordinaten nach Bedarf,

$oder partiell t} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}}-{\ frac {\ partial t} {\ partial q_ {j}} \ rechts) \ rechts] \ delta {j} = 0 \ ,,}$

und seit diesen virtuellen Verschiebungen ΔQ_j sind unabhängig und ungleich Null, die Koeffizienten können mit Null gleichgesetzt werden, was dazu führt Lagrange's Gleichungen^[18][19] oder der Verallgemeinerte Bewegungsgleichungen,^[20]

${\ displayStyle q_ {j} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} {\ frac {\ partial t} {\ partial {\ dot {Q} _ {J}}} {J {J}}} {J}}} {j}}}} }-{\ frac {\ partial t} {\ partial q_ {j}}}}$

Diese Gleichungen entsprechen Newtons Gesetzen Für die Nicht-Konstruktionskräfte. Die verallgemeinerten Kräfte in dieser Gleichung werden nur aus den Nichtkonstruktionskräften abgeleitet-die Einschränkungskräfte wurden vom Prinzip von D'Anembert ausgeschlossen und müssen nicht gefunden werden. Die verallgemeinerten Kräfte können nicht konservativ sein, sofern sie das Prinzip von D'Alemberts erfüllen.^[21]

Euler -Lagrange -Gleichungen und Hamiltons Prinzip

Für eine nicht konservative Kraft, die von der Geschwindigkeit abhängt, ist dies kann möglich sein, eine potentielle Energiefunktion zu finden V Das hängt von Positionen und Geschwindigkeiten ab. Wenn die verallgemeinerten Kräfte Q_i kann aus einem Potenzial abgeleitet werden V so dass^[23][24]

${\ displayStyle q_ {j} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} {\ frac {\ partial v} {\ partial {\ dot {Q} _ {J}}} {J}}} _ {j}}} }-{\ frac {\ partial v} {\ partial q_ {j}}} \ ,,}$

Gleichsetzung mit Lagranges Gleichungen und Definition des Lagrange als L = T − V erhält Lagrange's Gleichungen der zweiten Art oder der Euler -Lagrange -Gleichungen von Bewegung

$oder partiell {\ dot {q}} _ {j}} = 0 \ ,.}$

Die Euler-Lagrange-Gleichungen können jedoch nur nicht konservative Kräfte erklären wenn Ein Potenzial kann wie gezeigt gefunden werden. Dies ist möglicherweise nicht immer möglich für nicht konservative Kräfte, und die Gleichungen von LaGrange beinhalten keine potenziellen, nur verallgemeinerten Kräfte. Daher sind sie allgemeiner als die Euler -Lagrange -Gleichungen.

Die Euler -Lagrange -Gleichungen folgen ebenfalls aus dem Variationskalkül. Das Variation des Lagrange ist

$oder \ partial l} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} \ delta {\ dot {q} _ {j} \ rechts) \ ,, \ quad \ delta {\ dot {{Q}}} _ {j} \ äquiv \ delta {\ frac {\ mathrm {d} q_ {j}} {\ mathrm {d} t}} \ äquiv {\ frac {\ mathrm {d} (\ delta Q_ {j {j {j})) } {\ mathhrm {d} t}} \ ,,}$

die eine ähnliche Form wie die total differential von LAber die virtuellen Verschiebungen und ihre Zeitableitungen ersetzen Unterschiede, und es gibt keine Zeitaufnahme in Übereinstimmung mit der Definition der virtuellen Verschiebungen. Ein Integration in Teilstücken in Bezug auf die Zeit kann die zeitliche Ableitung von übertragen werden ΔQ_j zum ∂L/∂ (dq_j/dt), im Prozess austausch d (ΔQ_j)/dt zum ΔQ_j, so

$oder {j = 1}^{n} \ links ({\ frac {\ partial l} {\ partial q_ {j}} \ delta q_ {j}+{\ frac {\ mathrm {d} {{\ mathrm {{\ frac {\ mathrm {d} {{\ mathrm {{{frac {\ mathemathron d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)-{\frac {\mathrm {d }} {\ mathhrm {d} t}} {\ frac {\ partial l} {\ partial {\ dot {q} _ {j}}} \ delta q_ {j} \ rechts) \, \ mathrm {ded } t \, = \ sum _ {j = 1}^{n} \ links [{\ frac {\ partial l} {\ partial {\ dot {q} _ {j}} \ delta q_ {j} \ rechts] _ {t_ {1}}^{t_ {2}}+\ int _ {t_ {1}}^{t_ {2}} \ sum _ {j = 1}^{n} \ links ({{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{ \ frac {\ partial l} {\ partial q_ {j}}}-{\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} T}} {\ frac {\ partial l {\ partial {{\ dot {q}} _ {j}}} \ rechts) \ delta q_ {j} \, \ mathrm {d} t \ ,.}$

Nun, wenn der Zustand ΔQ_j(t₁) = ΔQ_j(t₂) = 0 gilt für alle jDie nicht integrierten Begriffe sind Null. Wenn zusätzlich das gesamte Zeitintegral von ΔL ist Null, dann weil die ΔQ_j sind unabhängig und die einzige Möglichkeit, ein bestimmtes Integral Null zu sein ΔQ_j muss auch Null sein. Dann erhalten wir die Bewegungsgleichungen. Dies kann von zusammengefasst werden durch Hamiltons Prinzip:

$oder$

Das Zeitintegral des Lagrange ist eine andere Menge, die als die genannt wird Aktion, definiert als^[25]

${\ displayStyle s = \ int _ {t_ {1}}^{t_ {2}} l \, \ mathrm {d} t \ ,,}$

die ein funktional; Es nimmt die Lagrange -Funktion für alle Zeiten dazwischen an t₁ und t₂ und gibt einen skalaren Wert zurück. Seine Dimensionen sind die gleichen wie [ Winkelimpuls ], [Energie] · [Zeit] oder [Länge] · [Impuls]. Mit dieser Definition ist Hamiltons Prinzip

${\ displayStyle \ delta s = 0 \ ,.}$

Anstatt über Partikel zu denken, die als Reaktion auf angewandte Kräfte beschleunigt werden, könnte man sich vorstellen, dass sie den Weg mit einer stationären Aktion heraussuchen, wobei die Endpunkte des Pfades im Konfigurationsraum in der ersten und endgültigen Zeit festgehalten werden. Hamiltons Prinzip wird manchmal als das bezeichnet Prinzip der geringsten HandlungDie Aktionsfunktion muss jedoch nur sein stationär, nicht unbedingt ein maximaler oder ein Mindestwert. Jede Variation der Funktionsfunktionen ergibt eine Erhöhung des funktionalen Integrals der Aktion.

Historisch gesehen kann die Idee, den kürzesten Weg zu finden, den ein Teilchen folgen kann, einer Kraft motiviert die ersten Anwendungen der Variationskalkül zu mechanischen Problemen wie die Brachistochrone Problem gelöst von Jean Bernoulli im Jahr 1696 ebenso wie Leibniz, Daniel Bernoulli, L'hôpital ungefähr zur gleichen Zeit und Newton das folgende Jahr.^[26] Newton selbst dachte im Rahmen des Variationskalküls, veröffentlichte jedoch nicht.^[26] Diese Ideen führen wiederum zu dem Variationsprinzipien von Mechanik, von Fermat, Maupertuis, Euler, Hamilton, und andere.

Hamiltons Prinzip kann angewendet werden Nichtholonomische Einschränkungen Wenn die Einschränkungsgleichungen in eine bestimmte Form gebracht werden können, a lineare Kombination von Differentialen erster Ordnung in den Koordinaten. Die resultierende Einschränkungsgleichung kann in Differentialgleichung erster Ordnung umordnet werden.^[27] Dies wird hier nicht gegeben.

LaGrange -Multiplikatoren und -beschränkungen

Der Lagrange L kann im kartesischen variiert werden r_k Koordinaten, für N Partikel,

${\ displaystyle \ int _ {t_ {1}}^{t_ {2}} \ sum _ {k = 1}^{n} \ links ({\ frac {\ partial l} {\ partial \ mathbf {r} _ {k}}}-{\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} {\ frac {\ partial l} {\ partial {\ dot {\ mathbf {r}} _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ K}}} \ rechts) \ CDOT \ Delta \ mathbf {r} _ {k} \, \ mathrm {d} t = 0 \ ,.}$

Hamiltons Prinzip ist auch dann gültig, auch wenn die Koordinaten L wird hier nicht unabhängig ausgedrückt, hier sind nicht unabhängig r_kAber die Einschränkungen werden immer noch als holonom angenommen.^[28] Wie immer sind die Endpunkte festgelegt δr_k(t₁) = δr_k(t₂) = 0 für alle k. Was nicht getan werden kann, ist einfach die Koeffizienten von δ gleichzusetzenr_k zu Null, weil das δr_k sind nicht unabhängig. Stattdessen die Methode von Lagrange -Multiplikatoren Kann verwendet werden, um die Einschränkungen einzuschließen. Multiplizieren Sie jede Einschränkungsgleichung f_i(r_k, t) = 0 durch einen Lagrange -Multiplikator λ_i zum i = 1, 2, ..., Cund das Hinzufügen der Ergebnisse zum ursprünglichen Lagrangian gibt dem neuen Lagrangian

${\ displayStyle l '= l (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {r} _ {2}, \ ldots, {\ dot {\ mathbf {r}} _ {1}, {\ dot oder _ {k}, t) \ ,.}$

Die Lagrange -Multiplikatoren sind willkürliche Zeitfunktionen t, aber keine Funktionen der Koordinaten r_kDaher sind die Multiplikatoren gleichermaßen mit den Positionskoordinaten. Variieren Sie diesen neuen Lagrange und integrieren in Bezug auf die Zeit, die integriert werden

$oder k = 1}^{n} \ links ({\ frac {\ partial l} {\ partial \ mathbf {r} _ {k}}}-{\ frac {\ math mathrm {d} {\ mathrm {d} {d} {d} {d} {d} {d} {d} {d} T}} {\ frac {\ partial l} {\ partial {\ dot {\ mathbf {r}} _ {k}}}}+\ sum _ {i = 1}^{c} \ lambda _ {i} oder 0 \ ,.}$

Die eingeführten Multiplikatoren können so gefunden werden, dass die Koeffizienten von δr_k sind Null, obwohl die r_k sind nicht unabhängig. Die Bewegungsgleichungen folgen. Aus der vorhergehenden Analyse entspricht die Erlangung der Lösung für dieses Integral der Aussage

$oder \ partial l '} {\ partial {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {k}}} = 0 \ quad \ rightarrow \ quad {\ frac {\ partial l} {\ partial \ mathbf {r} _ {k}}}-{\ frac {\ mathhrm {d}} {\ mathrm {d} T}} {\ frac {\ partial l} {\ partial {\ dot {\ mathbf {r}} _ _ _ _ {ke {ke {ke {ke. }}}+\ sum _ {i = 1}^{c} \ lambda _ {i} {\ frac {\ partial f_ {i}} {\ partial \ mathbf {r} _ {k}}}}}} = 0 \ ,,}$

welche sind Lagrange's Gleichungen der ersten Art. Auch die λ_i Euler-Lagrange-Gleichungen für die neue Lagrange-Return die Einschränkungsgleichungen

$oder '} {\ partial {\ dot {\ lambda}} _ {i}}} = 0 \ quad \ rightarrow \ quad f_ {i} (\ mathbf {r} _ {k}, t) = 0 \ ,.}$

Für den Fall einer konservativen Kraft, die durch den Gradienten einer möglichen Energie gegeben wurde V, eine Funktion der r_k Nur Koordinaten, ersetzen die Lagrange L = T − V gibt

$oder frac {\ partial t} {\ partial {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {k}}} _ {-\ mathbf {f {f} _ {k}+\ unterbrace {{{\ frac {{{\ {\ partial v} {\ partial \ mathbf {r} _ {k}}} _ {\ mathbf {n} _ {k}}+\ sum _ {i = 1}^{c} \ lambda _ {i {i {i {i = 1} \ frac {\ partial f_ {i}} {\ partial \ mathbf {r} _ {k}}} = 0 \ ,,}$

und die Identifizierung der Derivate der kinetischen Energie als (negative) resultierende Kraft und die Derivate des Potentials, das der Nichtkonstruktionskraft entspricht, folgen die Einschränkungskräfte

$oder _ {k}}} \ ,,}$

So geben Sie den Einschränkungen ausdrücklich in Bezug auf die Einschränkungsgleichungen und die Lagrange -Multiplikatoren.

Eigenschaften des Lagrange

Nichteinheit

Der Lagrange eines bestimmten Systems ist nicht einzigartig. Ein Lagrange L Kann mit einer Konstante ungleich Null multipliziert werden a und durch und willkürliche Konstante verschoben bund der neue Lagrange L '= al + b beschreibt die gleiche Bewegung wie L. Wenn man sich wie oben auf Flugbahnen beschränkt ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ über ein bestimmtes Zeitintervall ${\ displayStyle [t _ {\ text {st}}, t _ {\ text {fin}}]}$ und feste Endpunkte ${\ displayStyle p _ {\ text {st}} = \ mathbf {q} (t _ {\ text {st}})}$ und $oder$und dann zwei Lagrangier, die dasselbe System beschreiben, können sich durch die "Gesamtzeitableitung" einer Funktion unterscheiden ${\ displayStyle f (\ mathbf {q}, t)}$:^[29]

${\ displayStyle l '(\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t) = l (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {Q}}, T)+++++++++++ oder$

wo $oder$ meint ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f(\mathbf {q} ,t)}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial f(\mathbf {q} ,t )} {\ partial q_ {i}}} {\ dot {q}} _ {i}.}.$

Beide Lagrangier ${\ displayStyle l}$ und ${\ displayStyle l '}$ produzieren die gleichen Bewegungsgleichungen^[30][31] Seit den entsprechenden Aktionen ${\ displayStyle S}$ und ${\ displayStyle S '}$ sind über

${\ displayStyle {\ begin {ausgerichtet} {q} (t), {\ dot {\ mathbf {q}}} (t), t) \, dt = \ int \ limits _ {t _ {\ text {st}} {t _ {\ text {{{text {text {text {text {\ text {\ text Fin}}} l (\ mathbf {q} (t), {\ dot {\ mathbf {q}}} (t), t) \, dt+\ int _ {t _ {\ text {st}} {{t _ {\ text {st}}^{ T _ {\ text {fin}}} {\ frac {\ mathhrm {d} f (\ mathbf {q} (t), t)} {\ mathbf {d} t}} \, dt \\ = s [\ mathrm {d}} \, dt \\ = s [\ mathbf {q}]+f (p _ {\ text {fin}}, t _ {\ text {fin}})-f (p _ {\ text {st}}, t _ {\ text {st}}), \ end {ausgerichtet}}}$

mit den letzten beiden Komponenten ${\ displayStyle f (p _ {\ text {fin}}, t _ {\ text {fin}})}$ und ${\ displayStyle f (p _ {\ text {st}}, t _ {\ text {st}})}$ unabhängig von ${\ displayStyle \ mathbf {q}.}$

Invarianz unter Punkttransformationen

Bei einer Reihe verallgemeinerter Koordinaten qWenn wir diese Variablen in einen neuen Satz generalisierter Koordinaten ändern s nach a Punkttransformation q = q(s, t) der neue Lagrange L'Ist eine Funktion der neuen Koordinaten

${\ displayStyle l (\ mathbf {q} (\ mathbf {s}, t), {\ dot {\ mathbf {q}}} (\ mathbf {s}, {\ dot {\ mathbf {s}}}, {\ dot {\ mathbf {s}}, t), t) = l '(\ mathbf {s}, {\ dot {\ mathbf {s}}}, t) \ ,,}$

und von der Kettenregel Für die teilweise Differenzierung sind die Gleichungen von LaGrange unter dieser Transformation invariant;^[32]

${\ displayStyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial l '} {\ partial {\ dot {S} _ {i}}} = {\ \ {{\ \ {{\ \ {{\ Frac {\ partial l '} {\ partial s_ {i}} \ ,.}$

Dies kann die Bewegungsgleichungen vereinfachen.

Zyklische Koordinaten und konservierte Impulse

Ein wichtiges Eigentum des Lagrange ist das Konservierte Mengen kann leicht davon lesen. Das Verallgemeinerter Schwung "Kanonisch konjugiert an die Koordinate q_i wird definiert von

$oder$

Wenn der Lagrange L tut nicht von einer Koordinate abhängen q_iEs folgt sofort aus den Euler -Lagrange -Gleichungen, die

$oder }} _ {i}}} = {\ frac {\ partial l} {\ partial q_ {i}} = 0 \,}$

und Integration zeigt, dass der entsprechende verallgemeinerte Impuls einer Konstante entspricht, eine konservierte Menge. Dies ist ein Sonderfall von Noether ist Theorem. Solche Koordinaten werden als "zyklisch" oder "ignorierbar" bezeichnet.

Zum Beispiel kann ein System einen Lagrange haben

${\ displayStyle l (r, \ theta, {\ dot {s}}, {\ dot {z}}, {\ dot {r}}, {\ dot {\ theta}, {\ dot {\ phi} },t)\,,}$

wo r und z sind Längen entlang gerader Linien, s ist eine Bogenlänge entlang einer Kurve und θ und φ sind Winkel. Notiz z, s, und φ sind alle auf dem Lagrange abwesend, obwohl ihre Geschwindigkeiten dies nicht tun. Dann die momenta

${\ displaystyle p_ {z} = {\ frac {\ partial l} {\ partial {\ dot {z}}} \ ,, \ quad p_ {s {s} = {\ frac {\ partial l {{\ partial {{{{{{{{{{{{{ \ dot {s}}}} \ ,, \ quad p _ {\ phi} = {\ frac {\ partial l} {\ partial {\ dot {\ phi}}} \ ,,}$

sind alle konservierte Mengen. Die Einheiten und die Natur jedes verallgemeinerten Impulses hängen von der entsprechenden Koordinate ab; in diesem Fall p_z ist ein translationaler Schwung in der z Richtung, p_s ist auch eine translationale Dynamik entlang der Kurve s wird gemessen und p_φ ist ein Winkelimpuls in der Ebene der Winkel φ wird gemessen. Die Bewegung des Systems ist jedoch kompliziert, alle Koordinaten und Geschwindigkeiten variieren so, dass diese Impulse erhalten bleiben.

Energie

Definition

Angesichts eines Lagrange ${\ displayStyle l,}$ das Energie des entsprechenden mechanischen Systems ist per Definition,

$oder }}-l.}$

Invarianz unter Koordinatentransformationen

Zu jedem Zeitpunkt ${\ displayStyle t,}$ Die Energie ist unveränderlich unter Konfigurationsraum Änderungen koordinieren ${\ displaystyle \ mathbf {q} \ to \ mathbf {q}}$, d.h.

${\ displayStyle e (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t) = e (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {Q}}, t).}.}.}.}.}.}.}.$

Abgesehen von diesem Ergebnis zeigt der nachstehende Beweis, dass unter solch einer Änderung der Koordinaten die Derivate ${\ displaystyle \ partial l/\ partial {\ dot {q}} _ {i}}$ Änderung als Koeffizienten einer linearen Form.

Nachweisen

Für eine Koordinatenumwandlung ${\ displaystyle \ mathbf {q} = f (\ mathbf {q}),},}$ wir haben $oder$ wo ${\ displayStyle f _ {*} (\ mathbf {q})}$ ist der Tangentenkarte des Vektorraums $oder oder$ zum Vektorraum $oder Oder$ und ${\ displayStyle \ textStyle f _ {*} (\ mathbf {q}) = {\ bigl (} \ partial f_ {i}/\ partial q_ {j} {\ bigl | _ {\ mathbf {q} {{{\ \ {{\ \ {{\ \ {{\ \ \ {{{\ \ Bigr)} _ {i, j = 1}^{n}}$ ist der Jakobier. In den Koordinaten ${\ displayStyle {\ dot {q}} _ {i}}$ und ${\ displayStyle {\ dot {q}} _ {i},},}$ die vorherige Formel für${\ displayStyle d \ mathbf {q}}$ hat die Form $oder$ Nach der Differenzierung mit der Produktregel, $oder {q}) d {\ dot {\ mathbf {q}}},},}$ wo ${\ displayStyle {\ begin {aligned} g (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}) d \ mathbf {q} & \, {\ stackrel {\ text {Def} {= = = = = = = = }} \, d (f _ {*} (\ mathbf {q}) {\ dot {\ mathbf {q}}} = \ links (\ sum _ {k = 1} partial ^{2} f_ {i}} {\ partial q_ {j} \ partial q_ {k}}} {\ biggl |} _ {\ mathbf {q}} dq_ {k} \ rechts) _ {i, J. = 1}^{n} {\ dot {\ mathbf {q}}} = \ links (\ sum _ {j = 1}^{n} {\ dot {q} _ {j} \ sum _ {k =1}^{n}{\frac {\partial ^{2}F_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}{\biggl |}_{\mathbf {q} } dq_ {k} \ rechts) _ {i = 1, \ ldots, n}^{t} \\ & = \ links (\ sum _ {k = 1}^{n} dq_ {k} \ sum _ {j =1}^{n}{\frac {\partial ^{2}F_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}{\biggl |}_{\mathbf {q} } oder partial ^{2}F_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}{\biggl |}_{\mathbf {q} }{\dot {q}}_{j}\ rechts) _ {i, k = 1}^{n} d \ mathbf {q}. \ end {ausgerichtet}}}$ In Vektornotationen, ${\ displayStyle {\ begin {ausgerichtet} dl (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t) & = {\ frac {\ partial l} {\ partial \ mathbf {q}}}}} } d \ mathbf {q} +{\ frac {\ partial l} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} d {\ dot {\ mathbf {Q}} {{\ frac {{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{“ partial l} {\ partial t}} dt \\ & = \ links ({\ frac {\ partial l} {\ partial \ mathbf {q}}} f _ {*} (\ mathbf {q})+{\ frac \ frac oder +{\ frac {\ partial l} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} f _ {*} (\ mathbf {q}) d {\ dot {\ mathbf {Q}}}+{{{{{{{{{{{ \ frac {\ partial l} {\ partial t}}. \ end {aligned}}}$ Auf der anderen Seite, $oder +{\ frac {\ partial l} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}} d {\ dot {\ mathbf {q}}}+{\ frac {\ partial l {{\ partial t t t {\ \ partial t tt }} dt.}$ Es wurde bereits erwähnt, dass Lagrangianer nicht von der Auswahl der Konfigurationsraumkoordinaten abhängen, d. H. ${\ displayStyle l (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t) = l (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {Q}}, t).}.}.}.}.}.}.}.$ Eine Implikation davon ist das ${\displaystyle dL(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t)=dL(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t),}$ und $oder {\ dot {\ mathbf {q}}}}}.}$ Dies zeigt das für jeden ${\ displaystyle \ mathbf {q},},},}$ ${\ displayStyle {\ dot {\ mathbf {q}}},},},}$ und ${\ displayStyle t,}$ $oder }_{ich}}$ ist eine gut definierte lineare Form, deren Koeffizienten $oder$ sind kontravariante 1-Tensoren. Anwendung beider Seiten der Gleichung auf ${\ displayStyle {\ dot {\ mathbf {q}}}}$ und verwenden die obige Formel für ${\ displayStyle {\ dot {\ mathbf {q}}}}$ ergibt $oder {\ frac {\ partial l} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}.}$ Die Invarianz der Energie ${\ displayStyle e}$ folgt.

Erhaltung

In der Lagrange -Mechanik ist das System abgeschlossen Wenn und nur wenn es Lagrange ist ${\ displayStyle l}$ hängt nicht explizit von der Zeit ab. Das Energieschutzgesetz erklärt, dass die Energie ${\ displayStyle e}$ eines geschlossenen Systems ist ein Bewegungsintegral.

Genauer gesagt lassen Sie ${\ displaystyle \ mathbf {q} = \ mathbf {q} (t)}$ Bohne Extremal. (Mit anderen Worten, ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ erfüllt die Euler-Lagrange-Gleichungen). Die Gesamtzeit der Zeit nehmen ${\ displayStyle l}$ entlang dieses Extremen und der Verwendung der EL -Gleichungen führt zu

${\ displayStyle -{\ frac {\ partial l} {\ partial t}} {\ biggl |} _ {\ mathbf {q} (t)} = {\ frac {\ mathrm {d} {{\ mathrm {din {din {din. } t}} \ links [e {\ biggl |} _ {\ mathbf {q} (t)} \ rechts].}$

Wenn der Lagrange ${\ displayStyle l}$ hängt dann nicht explizit von der Zeit ab, dann ${\ displaystyle \ partial l/\ partial t = 0,}$ Also ${\ displayStyle e}$ ist in der Tat ein Integral der Bewegung, was bedeutet, dass das bedeutet

$oder$

Daher wird die Energie erhalten.

Kinetische und potenzielle Energien

Daraus folgt, dass die kinetische Energie a ist Homogene Funktion von Grad 2 in den verallgemeinerten Geschwindigkeiten. Wenn zusätzlich das Potenzial V ist nur eine Funktion von Koordinaten und unabhängig von Geschwindigkeiten, es folgt durch direkte Berechnung oder Verwendung von Eulers Theorem für homogene Funktionen, das

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}} = \ sum _ {i = 1}^{n} {\ dot {q}} _ {i} {\ frac {\ partial t} {\ partial {\ dot {q} _ {i}}}} \ ,.}$

Unter all diesen Umständen,^[33] die Konstante

${\ displayStyle e = t+v}$

ist die Gesamtenergie des Systems. Die kinetischen und potenziellen Energien ändern sich immer noch, wenn sich das System weiterentwickelt, aber die Bewegung des Systems ist so, dass ihre Summe, die Gesamtenergie konstant. Dies ist eine wertvolle Vereinfachung seit der Energie E ist eine Integrationskonstante, die als willkürliche Konstante für das Problem gilt, und es kann möglich sein, die Geschwindigkeiten aus dieser Energiebeziehung zur Lösung für die Koordinaten zu integrieren. In dem Fall, dass die Geschwindigkeit oder die kinetische Energie oder beides von der Zeit abhängt, dann ist die Energie nicht konserviert.

Mechanische Ähnlichkeit

Wenn die potentielle Energie a ist Homogene Funktion der Koordinaten und unabhängig von der Zeit,^[34] und alle Positionsvektoren werden durch die gleiche Konstante ungleich Null skaliert α, r_k'= αr_k, so dass

$oder } V (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {r} _ {2}, \ ldots, \ mathbf {r} _ {n})}}$

und die Zeit wird durch einen Faktor skaliert β, t'= βtdann die Geschwindigkeiten v_k werden nach einem Faktor von skaliert α/β und die kinetische Energie T durch (α/β)². Der gesamte Lagrange wurde mit dem gleichen Faktor skaliert, wenn

${\ displayStyle {\ frac {\ alpha ^{2}} {\ beta ^{2}}} = \ alpha ^{n} \ quad \ rightarrow \ quad \ beta = \ alpha ^{1-{{\ frac {n) } {2}}} \ ,.}$

Da die Längen und Zeiten skaliert wurden, folgen die Flugbahnen der Partikel im System geometrisch ähnliche Pfade in der Größe. Die Länge l rechtzeitig durchquert t in der ursprünglichen Flugbahn entspricht einer neuen Länge l ' rechtzeitig durchquert t' in der neuen Flugbahn, gegeben durch die Verhältnisse

${\ displayStyle {\ frac {t '} {t}} = \ links ({\ frac {l'} {l}} \ rechts)^{1-{\ frac {n} {2}} \ \. }$

Partikel interagieren

Für ein bestimmtes System, wenn zwei Subsysteme A und B sind nicht interagierend, der Lagrange L des Gesamtsystems ist die Summe der Lagrangianer L_A und L_B Für die Subsysteme:^[29]

${\ displayStyle l = l_ {a}+l_ {b} \ ,.}$

Wenn sie interagieren, ist dies nicht möglich. In einigen Situationen kann es möglich sein, den Lagrange des Systems zu trennen L in die Summe der nicht interagierenden Lagrangiers sowie eines weiteren Lagrange L_Ab Informationen über die Interaktion enthalten,

${\ displayStyle l = l_ {a}+l_ {b}+l_ {ab} \ ,.}$

Dies kann körperlich motiviert sein, indem die nicht interagierenden Lagrangianer nur kinetische Energien sind, während die Interaktionslagrange die Gesamtergie des Systems ist. Auch im begrenzenden Fall einer vernachlässigbaren Wechselwirkung,, L_Ab tendiert dazu, dass sich auf den obigen nicht interagierenden Fall auf Null reduziert.

Die Erweiterung auf mehr als zwei nicht interagierende Subsysteme ist unkompliziert-der Gesamtlagrange ist die Summe der getrennten Lagrangier für jedes Subsystem. Wenn es Wechselwirkungen gibt, können Interaktionslagrangier hinzugefügt werden.

Beispiele

Die folgenden Beispiele wenden die Lagrange -Gleichungen der zweiten Art auf mechanische Probleme an.

Konservative Kraft

Ein Massenpartikel m bewegt sich unter dem Einfluss von a konservative Kraft abgeleitet von der Gradient ∇ von a SkalarpotentialAnwesend

$oder$

Wenn es mehr Partikel gibt, entsprechend den oben genannten Ergebnissen ist die gesamte kinetische Energie eine Summe über alle kinetischen Partikelergien, und das Potenzial ist eine Funktion aller Koordinaten.

Kartesischen Koordinaten

Der Lagrange des Partikels kann geschrieben werden

$oder dot {x}}^{2}+{\ dot {y}}^{2}+{\ dot {z}^{2})-v (x, y, z) \ ,.}$

Die Bewegungsgleichungen für das Partikel werden durch Anwenden der Angewandung gefunden Euler -Lagrange -Gleichungfür die x Koordinate

${\ displayStyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ links ({\ frac {\ partial l} {\ partial {\ dot {x}}} \ rechts) = {{{{{{{{{{{{{{ \ frac {\ partial l} {\ partial x}} \ ,,}$

mit Derivaten

${\ displaystyle {\ frac {\ partial l} {\ partial x}} =-{\ frac {\ partial v} {\ partial x}} \ ,, \ quad {\ frac {\ partial l {\ partial {{{{{{ \ dot {x}}}} = m {\ dot {x}} \ ,, \ quad {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} \ links ({\ fRAC {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}}} \ right) = m {\ ddot {x}} \ ,,}$

somit

${\ displaystyle m {\ ddot {x}} =-{\ frac {\ partial v} {\ partial x}} \ ,,}$

und ähnlich für die y und z Koordinaten. Sammeln der Gleichungen in Vektorform, die wir finden

$oder$

welches ist Newtons zweites Bewegungsgesetz für ein Teilchen einer konservativen Kraft.

Polare Koordinaten in 2D und 3D

Der Lagrange für das obige Problem^{[Klarstellung erforderlich]} in Sphärische Koordinaten (2D -Polarkoordinaten können durch Einstellen wiederhergestellt werden ${\ displayStyle \ theta = \ pi /2}$) mit einem zentralen Potenzial ist

$oder } \ sin ^{2} \ theta \, {\ dot {\ varphi}} ^{2})-v (r) \ ,,}$

Die Euler -Lagrange -Gleichungen sind also

${\ displayStyle m {\ ddot {r}}-mr ({\ dot {\ theta}}^{2}+\ sin^{2} \ theta \, {\ dot {\ varphi} {2}))) +{\ frac {\ partial v} {\ partial r}} = 0 \ ,,}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \ theta \, {\ dot {\ varphi}}^{2} = 0 \ ,,}$

${\ displayStyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathhrm {d} t}} (mr ^{2} \ sin ^{2} \ theta \, {\ dot {\ varphi}) = 0 \ \ \ \, {\ dot {\ varphi}) ,.}$

Das φ Die Koordinate ist zyklisch, da sie nicht auf dem Lagrange erscheint, daher ist der konservierte Impuls im System der Winkelimpuls

$oder }} \ ,,}$

in welchem r, θ und dφ/dt kann alle mit der Zeit variieren, aber nur so, dass das p_φ ist konstant.

Pendel auf eine bewegliche Unterstützung

Betrachten Sie ein Pendel der Masse m und Länge ℓ, was an eine Unterstützung mit Masse gebunden ist M, was sich entlang einer Linie in der bewegen kann ${\ displayStyle x}$-Richtung. Lassen ${\ displayStyle x}$ Seien Sie die Koordinate entlang der Unterstützung und lassen Sie uns die Position des Pendels durch den Winkel bezeichnen ${\ displayStyle \ theta}$ aus der vertikalen. Die Koordinaten und Geschwindigkeitskomponenten des Pendelbobs sind

$oder = {\ dot {x}}+\ ell {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta \\ & y _ {\ mathrm {pend}} =-\ ell \ cos \ theta & \ quad \ rechts \ quad {{\ \ {\ \ {{\ \ {{\ {{\ \ {{\ {\ { DOT {y}} _ {\ mathrm {pend}} = \ ell {\ dot {\ theta}} \ sin \ theta \,. \ end {Array}}}$

Die verallgemeinerten Koordinaten können angenommen werden ${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle \ theta}$. Die kinetische Energie des Systems ist dann

${\ displayStyle t = {\ frac {1} {2}} m {\ dot {x}}^{2}+{\ frac {1} {2}} m \ links ({\ dot {x} _ oder$

und die potentielle Energie ist

${\ displayStyle v = mgy _ {\ mathrm {pend}}}$

dem Lagrangian geben

$oder } {2}} m \ links [\ links ({\ dot {x}}+\ ell {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta \ rechts)^{2}+\ links (\ ell {\ dot oder ) {\ dot {x}} ^{2} +m {\ dot {x}} \ ell {\ dot {\ theta} \ cos \ theta +{\ frac {1} {2}} m \ ell ^ {2} {\ dot {\ theta}}^{2}+mg \ ell \ cos \ theta \,. \ End {Array}}}$

Seit ${\ displayStyle x}$ Es ist nicht im Lagrange, es ist eine zyklische Koordinate. Der konservierte Schwung ist

$oder theta}} \ cos \ theta \,}$

und die Lagrange -Gleichung für die Unterstützungskoordinate ${\ displayStyle x}$ ist

${\ displayStyle (m+m) {\ ddot {x}}+m \ ell {\ ddot {\ theta} \ cos \ theta -m \ ell {\ dot {\ theta} {2 \ \ sin \ sin \ theta = 0 \ ,.}$

Die Lagrange -Gleichung für den Winkel ${\ displayStyle \ theta}$ ist

$oder {\ theta}}) \ right]+m \ ell ({\ dot {x}} {\ dot {\ theta}}+g) \ sin \ theta = 0;}$

und Vereinfachung

${\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} +{\ frac {\ ddot {x}} {\ ell} \ \ cos \ theta +{\ frac {g} {\ ell}} \ sin \ theta = 0. }$

Diese Gleichungen mögen ziemlich kompliziert aussehen, aber die Suche nach Newtons Gesetzen hätte sorgfältig alle Kräfte identifizieren, was viel mühsamer und anfällig für Fehler gewesen wäre. Durch die Berücksichtigung von Grenzfällen kann die Richtigkeit dieses Systems verifiziert werden: Zum Beispiel: ${\ displayStyle {\ ddot {x}} \ bis 0}$ sollte die Bewegungsgleichungen für a geben einfaches Pendel Das ruht sich in einigen Inertialrahmen, während ${\ displayStyle {\ ddot {\ theta}} \ bis 0}$ sollte die Gleichungen für ein Pendel in einem ständig beschleunigenden System usw. geben. Iterativ die Ergebnisse durchtreten.

Zwei-Körper-Zentralkraftproblem

Zwei Massenkörper m₁ und m₂ mit Positionsvektoren r₁ und r₂ sind aufgrund eines attraktiven Orbits in der Umlaufbahn zentrales Potenzial V. Wir können den Lagrange in Bezug auf die Positionskoordinaten aufschreiben, wie sie sind, aber es handelt sich um ein etabliertes Verfahren, um das Zweikörperproblem wie folgt in ein Einkörperproblem umzuwandeln. Vorstellen Jacobi coordinates; die Trennung der Körper r = r₂ − r₁ und der Ort der Massezentrum R = (m₁r₁ + m₂r₂)/((m₁ + m₂). Der Lagrange ist damals^{[35][36][NB 4]}

${\ displayStyle l = \ unterbrace {{\ frac {1} {2}} m {\ dot {\ mathbf {r}}}^{2} _ {l _ {\ text {cm}} {2 \ unterBrace {l {{\ text oder }$

wo M = m₁ + m₂ ist die Gesamtmasse, μ = m₁m₂/(m₁ + m₂) ist der Reduzierte Masse, und V das Potenzial der radialen Kraft, die nur von der abhängt Größe der Trennung |r| = |r₂ − r₁|. Die Lagrange spaltet sich in a Massezentrum Begriff L_cm und ein Relativbewegung Begriff L_rel.

Die Euler -Lagrange -Gleichung für R ist einfach

${\ displayStyle m {\ ddot {\ mathbf {r}}} = 0 \ ,,}$

was den Massenzentrum in einer geraden Linie mit konstanter Geschwindigkeit bewegt.

Da die relative Bewegung nur von der Größe der Trennung abhängt, ist es ideal, polare Koordinaten zu verwenden (r, θ) und nehme r = |r|Anwesend

${\displaystyle L_{\text{rel}}={\frac {1}{2}}\mu ({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }} ^{2})-v (r) \ ,,}$

Also θ ist eine zyklische Koordinate mit dem entsprechenden konservierten (Winkel-) Impuls

$oder theta}} = \ ell \ ,.}$

Die radiale Koordinate r und Winkelgeschwindigkeit dθ/dt kann mit der Zeit variieren, aber nur so, dass das ℓ ist konstant. Die Lagrange -Gleichung für r ist

$oder$

Diese Gleichung ist identisch mit der radialen Gleichung, die unter Verwendung von Newtons Gesetzen in a erhalten wurde Co-rotieren Referenzrahmen, dh ein mit der reduzierter Masse drehender Rahmen, so dass er stationär erscheint. Beseitigung der Winkelgeschwindigkeit dθ/dt aus dieser radialen Gleichung,^[37]

$oder ^{3}}} \ ,.}$

Welches ist die Bewegungsgleichung für ein eindimensionales Problem, bei dem ein Massenpartikel μ ist der inneren zentralen Kraft ausgesetzt - dV/dr und eine zweite äußere Kraft, die in diesem Zusammenhang genannt wird Zentrifugalkraft

${\ displayStyle f _ {\ mathrm {cf}} = \ mu r {\ dot {\ theta}}^{2} = {\ frac {\ ell^{2} {\ mu r^{3}}}}}} \ ,.}$

Natürlich, wenn man vollständig innerhalb der eindimensionalen Formulierung bleibt, ℓ tritt nur als einige auferlegte Parameter der äußeren äußeren Kraft ein, und seine Interpretation als Winkelimpuls hängt von dem allgemeineren zweidimensionalen Problem ab, aus dem das eindimensionale Problem entstanden ist.

Wenn man diese Gleichung unter Verwendung der Newtonschen Mechanik in einem Co-rotierenden Rahmen ankommt, ist die Interpretation aufgrund der Drehung des Rahmens selbst als Zentrifugalkraft in diesem Rahmen erkennbar. Wenn man direkt mit den verallgemeinerten Koordinaten nach dieser Gleichung ankommt (r, θ) Und einfach der Lagrange -Formulierung folgen, ohne überhaupt über Rahmen nachzudenken, ist die Interpretation, dass die Zentrifugalkraft ein Ergebnis von ist Verwenden von polaren Koordinaten. Wie Hildebrand sagt:^[38]

"Da solche Mengen keine wahren physikalischen Kräfte sind, werden sie oft genannt Trägheitskräfte. Ihre Anwesenheit oder Abwesenheit hängt nicht von dem jeweiligen Problem ab, sondern von dem jeweiligen Problem, sondern vom jeweiligen Problem, aber auf das ausgewählte Koordinatensystem. "Insbesondere wenn kartesische Koordinaten ausgewählt werden, verschwindet die Zentrifugalkraft und die Formulierung beinhaltet nur die zentrale Kraft selbst, die das liefert Zentripetalkraft für eine gekrümmte Bewegung.

Dieser Standpunkt, dass fiktive Kräfte aus der Wahl der Koordinaten stammen, wird häufig von Benutzern der Lagrange -Methode ausgedrückt. Diese Ansicht tritt natürlich im Lagrange -Ansatz auf, da der Referenzrahmen (möglicherweise unbewusst) durch die Wahl der Koordinaten ausgewählt wird. Zum Beispiel siehe^[39] Für einen Vergleich der Lagrangianer in einer Trägheit und in einem nicht -inertialen Referenzrahmen. Siehe auch die Diskussion von "Total" und "aktualisiert" Lagrange -Formulierungen in.^[40] Leider steht diese Verwendung von "Trägheitstruppen" mit der Newtonschen Idee einer Trägheitskraft. In der Newtonschen Ansicht entsteht eine Trägheitskraft aus der Beschleunigung des Beobachtungsrahmens (die Tatsache, dass sie nicht ist Trägheitsreferenzrahmen), nicht in der Wahl des Koordinatensystems. Um die Angelegenheit klar zu halten, ist es am sichersten, sich auf die Inertialkräfte der Lagrange zu beziehen verallgemeinert Trägheitskräfte, um sie von den Newtonschen Vektor -Trägheitskräften zu unterscheiden. Das heißt, man sollte es vermeiden, Hildebrand zu folgen, wenn er sagt (S. 155). stets mit verallgemeinert Kräfte, Geschwindigkeitsbeschleunigungen und Impulse. Für die Kürze wird das Adjektiv "verallgemeinert" häufig weggelassen. "

Es ist bekannt, dass der Lagrange eines Systems nicht einzigartig ist. Innerhalb des Lagrange -Formalismus können die Newtonschen fiktiven Kräfte durch die Existenz alternativer Lagrangianer identifiziert werden, in denen die fiktiven Kräfte verschwinden, manchmal durch Nutzung der Symmetrie des Systems.^[41]

Elektromagnetismus

Ein Testteilchen ist ein Teilchen, dessen Masse und aufladen Es wird angenommen, dass seine Auswirkung auf das externe System unbedeutend ist. Es ist oft ein hypothetisch vereinfachtes Punktpartikel ohne andere Eigenschaften als Masse und Ladung. Echte Partikel mögen Elektronen und Up Quarks sind komplexer und haben zusätzliche Begriffe in ihren Lagrangern.

Der Lagrange für a geladenes Teilchen mit elektrische Ladung qmit einem interagieren elektromagnetisches Feldist das prototypische Beispiel für ein Geschwindigkeitsabhängiger Potential. Die elektrische Skalarpotential ϕ = ϕ(r, t) und Magnetischer Vektorpotential A = A(r, t) sind definiert aus dem elektrisches Feld E = E(r, t) und Magnetfeld B = B(r, t) folgendermaßen:

$oder {\ BOLDSYMBOL {\ nabla}} \ Times \ mathbf {a} \ ,.}$

Der Lagrange eines massiven geladenen Testteilchens in einem elektromagnetischen Feld

$oder {A} -q \ phi \ ,,}$

wird genannt Minimale Kopplung. Kombiniert mit Euler -Lagrange -Gleichung, es produziert die Lorentz Force Gesetz

$oder$

Unter Messtransformation:

$oder$

wo f(r,t) ist jede skalare Funktion von Raum und Zeit, die oben genannte Lagrange transformiert:

$oder f = l+q {\ frac {df} {dt}} \ ,,}$

Das erzeugt immer noch das gleiche Lorentz Force Law.

Notiere dass der kanonischer Schwung (konjugieren zur Position r) ist der kinetischer Impuls plus einen Beitrag aus dem A Feld (bekannt als potenzieller Impuls):

$oder {EIN} \,.}$

Diese Beziehung wird auch in der verwendet Minimale Kopplung Rezept in Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie. Aus diesem Ausdruck können wir sehen, dass die kanonischer Schwung p ist nicht messwirksam und daher keine messbare physikalische Menge; jedoch, wenn r ist zyklisch (d. H. Lagrange ist unabhängig von der Position r), was passiert, wenn die ϕ und A Felder sind einheitlich, dann dieser kanonische Impuls p Hier ist der konservierte Impuls, während der messbare physikalische kinetische Impuls mv ist nicht.

Erweiterungen, um nicht konservative Kräfte einzubeziehen

Dissipation (d. H. Nicht konservative Systeme) können auch mit einem wirksamen Lagrange behandelt werden, der durch eine bestimmte Verdoppelung der Freiheitsgrade formuliert wird.^{[42][43][44][45]}

In einer allgemeineren Formulierung könnten die Kräfte sowohl konservativ als auch sein viskoös. Wenn eine geeignete Transformation aus der gefunden werden kann F_i, Rayleigh schlägt vor, a zu verwenden Dissipationsfunktion, D, der folgenden Form:^[46]

$oder _ {j} {\ dot {q}} _ {k} \,},}$

wo C_jk sind Konstanten, die mit den Dämpfungskoeffizienten im physikalischen System zusammenhängen, wenn auch nicht unbedingt gleich. Wenn D wird dann auf diese Weise definiert^[46]

$oder }}$

und

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\ rechts)-{\ frac {\ partial l} {\ partial q_ {j}}}+{\ frac {\ partial d} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} = 0 \,. }$

Andere Kontexte und Formulierungen

Die Ideen der Lagrange -Mechaniker haben zahlreiche Anwendungen in anderen Bereichen der Physik und können generalisierte Ergebnisse aus dem Variationskalkül einsetzen.

Alternative Formulierungen der klassischen Mechanik

Eine eng verwandte Formulierung der klassischen Mechanik ist Hamiltonsche Mechanik. Der Hamiltonianer wird definiert von

${\ displayStyle H = \ sum _ {i = 1}^{n} {\ dot {q}} _ {i} {\ frac {\ partial l} {\ partial {\ dot {q} _ {i} }}-l \,}$

und kann durch Ausführen von a erhalten werden Legendre -Transformation auf dem Lagrange, der neue Variablen einführt kanonisch konjugiert zu den ursprünglichen Variablen. Zum Beispiel bei einer Reihe verallgemeinerter Koordinaten die Variablen kanonisch konjugiert sind die verallgemeinerten Impulse. Dies verdoppelt die Anzahl der Variablen, macht jedoch Differentialgleichungen erster Ordnung. Der Hamiltonian ist eine besonders allgegenwärtige Menge in Quantenmechanik (sehen Hamiltonian (Quantenmechanik)).

Routhian Mechanics ist eine hybride Formulierung der Lagrange- und Hamiltonschen Mechanik, die in der Praxis nicht oft verwendet wird, sondern eine effiziente Formulierung für cyclische Koordinaten.

Impulsraumformulierung

Die Euler -Lagrange -Gleichungen können auch in Bezug auf die verallgemeinerten Impulse als verallgemeinerte Koordinaten formuliert werden. Durchführung einer Legendre -Transformation in der verallgemeinerten Koordinatenlagrange L(q, dq/dt, t) erhält die verallgemeinerte Impulse Lagrange L'(p, dp/dt, t) In Bezug auf das ursprüngliche Lagrange sowie die EL -Gleichungen in Bezug auf die verallgemeinerte Impulse. Beide Lagranger enthalten die gleichen Informationen und können verwendet werden, um die Bewegung des Systems zu lösen. In der Praxis sind verallgemeinerte Koordinaten bequemer zu verwenden und zu interpretieren als generalisierte Pommen.

Höhere Derivate verallgemeinerter Koordinaten

Es gibt keinen mathematischen Grund, die Derivate verallgemeinerter Koordinaten nur auf Erste Ordnung zu beschränken. Es ist möglich, modifizierte EL -Gleichungen für einen Lagrange mit Derivaten höherer Ordnung abzuleiten, siehe Euler -Lagrange -Gleichung für Details. Aus dem physischen Sachpunkt gibt es jedoch ein Hindernis für Zeitderivate höher als die erste Ordnung, was durch Ostrogradskys Konstruktion eines kanonischen Formalismus für nicht enthält höhere Derivat-Lagrangiers siehe Ostrogradsky_instabilität

Optik

Die Lagrange -Mechaniker können auf angewendet werden Geometrische OptikDurch die Anwendung von Variationsprinzipien auf Lichtstrahlen in einem Medium und die Lösung der EL -Gleichungen ergibt die Gleichungen der Pfade die Lichtstrahlen.

Relativistische Formulierung

Die Lagrange -Mechanik kann in formuliert werden Spezielle Relativität und generelle Relativität. Einige Merkmale der Lagrange -Mechaniker werden in den relativistischen Theorien erhalten, aber Schwierigkeiten treten schnell in anderer Hinsicht auf. Insbesondere haben die EL -Gleichungen die gleiche Form, und der Zusammenhang zwischen zyklischen Koordinaten und konservierten Impulsen gilt weiterhin, aber der Lagrange muss modifiziert werden und ist nicht einfach die kinetische Kinetik abzüglich der potentiellen Energie eines Teilchens. Außerdem ist es nicht einfach, Mehrpartikelsysteme in a zu verarbeiten offensichtlich kovariante Es kann möglich sein, wenn ein bestimmter Referenzrahmen ausgezeichnet wird.

Quantenmechanik

Im Quantenmechanik, Aktion und quantenmechanisch Phase sind über Plancks Konstante, und die Prinzip der stationären Handlung kann in Bezug auf verstanden werden konstruktive Beeinflussung von Wellenfunktionen.

1948, Feynman entdeckte die Pfadintegrale Formulierung Erweiterung der Prinzip der geringsten Handlung zu Quantenmechanik zum Elektronen und Photonen. In dieser Formulierung bewegen Partikel jeden möglichen Weg zwischen den Anfangs- und Endzuständen; Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten endgültigen Zustands wird durch Summieren aller möglichen Trajektorien erhalten, die dazu führen. Im klassischen Regime reproduziert die Pfadintegralformulierung das Prinzip von Hamilton sauber, und Fermats Prinzip in Optik.

Klassische Feldtheorie

In der Lagrange -Mechanik bilden die verallgemeinerten Koordinaten einen diskreten Satz von Variablen, die die Konfiguration eines Systems definieren. Im Klassische FeldtheorieDas physikalische System ist keine Reihe von diskreten Partikeln, sondern ein kontinuierliches Feld ϕ(r, t) über eine Region des 3D -Raums definiert. Mit dem Feld verbunden ist a Lagrange -Dichte

$oder$

definiert in Bezug auf das Feld und seine Raum- und Zeitderivate an einem Ort r und Zeit t. Analog zum Partikelfall ist die Lagrange-Dichte für nicht-relativistische Anwendungen auch die kinetische Energiedichte des Feldes, abzüglich ihrer potenziellen Energiedichte (dies gilt im Allgemeinen nicht und die Lagrange-Dichte muss "reverse konstruiert" werden). Der Lagrange ist dann der Volumenintegral der Lagrange -Dichte über 3D -Raum

$oder$

wo d³r ist ein 3D Differential Volumenelement. Der Lagrange ist eine Funktion der Zeit, da die Lagrange -Dichte über die Felder implizite Raumabhängigkeit hat und möglicherweise eine explizite räumliche Abhängigkeit aufweist. Diese werden jedoch im Integral entfernt, sodass nur die Zeit als Variable für den Lagrangian bleibt.

Noether ist Theorem

Das Aktionsprinzip und der Lagrange -Formalismus sind eng miteinander verbunden mit Noether ist Theorem, was physisch verbindet Konservierte Mengen kontinuierlich Symmetrien eines physischen Systems.

Wenn der Lagrange unter einer Symmetrie invariant ist, sind die resultierenden Bewegungsgleichungen auch unter dieser Symmetrie invariant. Dieses Merkmal ist sehr hilfreich, um zu zeigen, dass Theorien mit beiden übereinstimmen Spezielle Relativität oder generelle Relativität.

Siehe auch

Fußnoten

Anmerkungen

Verweise

Weitere Lektüre

• Gupta, Kiran Chandra, Klassische Mechanik von Partikeln und starre Körper (Wiley, 1988).
• Cassel, Kevin (2013). Variationsmethoden mit Anwendungen in Wissenschaft und Ingenieurwesen. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02258-4.
• Goldstein, Herbert et al. Klassische Mechanik.3. Aufl., Pearson, 2002.

Externe Links

• David Tong. "Cambridge Lecture Notes zur klassischen Dynamik". DAMTP. Abgerufen 2017-06-08.
• Prinzip der geringsten Aktion interaktiv Ausgezeichnete interaktive Erklärung/Webseite
• Joseph Louis de Lagrange - œuvres complètes (Gallica-Math)
• Eingeschränkte Bewegung und verallgemeinerte Koordinaten, Seite 4