L-Reduktion
Im Informatikinsbesondere das Studium von Näherungsalgorithmen, einL-Reduktion (""lineare Reduktion") ist eine Transformation von Optimierungsprobleme welche linear die Merkmale von Annachkenntnissen bewahrt; es ist eine Art von Annäherungsrückverringerung. L-Reduktionen in Studien über ungefähre Optimierungsprobleme spielen eine ähnliche Rolle wie die von Polynomverringerungen in den Studien von Rechenkomplexität von Entscheidungsprobleme.
Der Begriff L Reduktion wird manchmal verwendet, um sich darauf zu beziehen Log-Raum-ReduzierungenAnalogie zur Komplexitätsklasse L, aber das ist ein anderes Konzept.
Definition
Lass a und b sein Optimierungsprobleme und CA und CB ihre jeweiligen Kostenfunktionen. Ein Paar Funktionen f und g ist eine L-Reduktion, wenn alle folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- Funktionen f und g sind berechnet in Polynomzeit,
- wenn x ist dann eine Instanz von Problem A, dann f(x) ist eine Instanz von Problem B,
- wenn y ' ist eine Lösung für f(x), dann g(y ' ) ist eine Lösung für x,
- Es gibt eine positive konstante α so, dass
- ,
- Es gibt ein positives konstantes β, so dass für jede Lösung y ' zu f(x)
- .
Eigenschaften
Implikation der PTA -Reduktion
Eine L-Reduktion von Problem A zu Problem B impliziert a AP-Reduktion Wenn a und b Minimierungsprobleme sind und a PTA -Reduktion Wenn A und B Maximierungsprobleme sind. In beiden Fällen, wenn B ein PTA hat und es eine L-Reduktion von A nach B gibt, hat A auch ein PTAs.[1][2] Dies ermöglicht die Verwendung der L-Reduktion als Ersatz, um die Existenz einer PTAS-Reduktion zu zeigen. Crescenzi hat vorgeschlagen, dass die natürlichere Formulierung der L-Reduktion in vielen Fällen aufgrund der einfachen Nutzung tatsächlich nützlicher ist.[3]
Beweis (Minimierungsfall)
Lassen Sie das Approxationsverhältnis von B sein . Beginnen Sie mit dem Annäherungsverhältnis von a, . Wir können absolute Werte um den dritten Zustand der L-Reduktionsdefinition entfernen, da wir wissen, dass A und B Minimierungsprobleme sind. Ersetzen Sie diese Bedingung, um zu erhalten
Vereinfachung und Ersetzen der ersten Bedingung haben wir
Aber der Begriff in Klammern auf der rechten Seite ist tatsächlich gleich . Somit ist das Annäherungsverhältnis von a .
Dies entspricht den Bedingungen für die AP-Reduktion.
Beweis (Maximierungsfall)
Lassen Sie das Approxationsverhältnis von B sein . Beginnen Sie mit dem Annäherungsverhältnis von a, . Wir können absolute Werte um den dritten Zustand der L-Reduktionsdefinition entfernen, da wir wissen, dass A und B Maximierungsprobleme sind. Ersetzen Sie diese Bedingung, um zu erhalten
Vereinfachung und Ersetzen der ersten Bedingung haben wir
Aber der Begriff in Klammern auf der rechten Seite ist tatsächlich gleich . Somit ist das Annäherungsverhältnis von a .
Wenn , dann , der den Anforderungen an die PTA-Reduzierung entspricht, aber nicht der AP-Reduktion.
Andere Eigenschaften
L-Reduktionen implizieren auch P-Reduktion.[3] Man kann ableiten, dass L-Reduktionen PTA-Reduzierungen aus dieser Tatsache und die Tatsache implizieren, dass P-Reduktionen PTA-Reduzierungen implizieren.
L-Reduktionen bewahren die Mitgliedschaft in APX nur für den Minimierungsfall auf, um AP-Reduktionen zu implizieren.
Beispiele
- Dominierender Satz: Ein Beispiel mit α = β = 1
- Token -Rekonfiguration: Ein Beispiel mit α = 1/5, β = 2
Siehe auch
Verweise
- ^ Kann, Viggo (1992). Über die Annäherung an NP-Complete \ mathRM {opt} iMization-Probleme. Royal Institute of Technology, Schweden. ISBN 978-91-7170-082-7.
- ^ Christos H. Papadimitriou; Mihalis Yannakakis (1988). "\ mathrm {opt} iMization, Approximation und Komplexitätsklassen". STOC '88: Verfahren des zwanzigsten jährlichen ACM -Symposiums über die Theorie des Computers. doi:10.1145/62212.62233.
- ^ a b Crescenzi, Pierluigi (1997). "Ein kurzer Leitfaden zur Erhaltung von Annäherungserhaltungen". Verfahren der 12. jährlichen IEEE -Konferenz zur Berechnung der Komplexität. Washington, D.C.: IEEE Computer Society: 262–.
- G. Ausiello, P. Crescenzi, G. Gamsisi, V. Kann, A. Marchetti-Spaccamela, M. Protasi. Komplexität und Näherung. Kombinatorische Optimierungsprobleme und deren Annachkenntnisse. 1999, Springer. ISBN3-540-65431-3