John ellipsoid
Im Mathematik, das John Ellipsoid oder Löwner-John Ellipsoid E(K) mit a verbunden konvexer Körper K in n-dimensional Euklidischer Raum Rn kann sich auf die beziehen n-Dimensional Ellipsoid maximal Volumen Innerhalb enthalten K oder die Ellipsoid des minimalen Volumens, das enthält K.
Oft wird die minimale Volumenelipsoid als als bezeichnet Löwner Ellipsoid und das maximale Volumen Ellipsoid als John Ellipsoid (obwohl John mit dem minimalen Volumen Ellipsoid in seinem ursprünglichen Papier arbeitete).[1] Man bezieht sich auch auf das minimale Volumen umschriebene Ellipsoid als die äußere Löwner-John Ellipsoid und das maximale Volumen eingeschriebener Ellipsoid als die innere Löwner-John Ellipsoid.[2]
Eigenschaften
Der John Ellipsoid ist nach dem Deutsch-Amerikaner benannt Mathematiker Fritz John, der 1948 bewiesen hat, dass jeder konvexe Körper in Rn enthält eine einzigartige umschriebene Ellipsoid mit minimalem Volumen und die Dilatation dieser Ellipsoid durch Faktor 1//n ist im konvexen Körper enthalten.[3]
Der innere Löwner-John Ellipsoid E(K) eines konvexen Körpers K⊂Rn ist ein geschlossener Einheitsball B in Rn dann und nur dann, wenn B⊆K und es gibt eine ganze Zahl m≥n und für i= 1, ..., m, reale Nummern ci> 0 und Einheitsvektoren ui∈Sn–1∩ ∂K so dass[4]
und für alle x∈Rn
Anwendungen
Das Computing Löwner-John Ellipsoids hat Anwendungen in Hinderniskollisionserkennung Für Robotersysteme, bei denen der Abstand zwischen einem Roboter und seiner Umgebung mithilfe einer besten Ellipsoid -Anpassung geschätzt wird.[5]
Es hat auch Anwendungen in Portfoliooptimierung mit Transaktionskosten.[6]
Siehe auch
- Banach -Mazur Compactum-Satz von n-dimensionalen Unterbereichen eines normierten Raums in einen kompakten metrischen Raum.
- Steiner Inellipse, der Sonderfall der inneren Löwner-John Ellipsoid für ein Dreieck.
- Fettes Objekt, im Zusammenhang mit dem Radius des größten inhaltlichen Balls.
Verweise
- ^ Güler, Osman; Gürtuna, Filiz (2012). "Symmetrie konvexer Sets und ihrer Anwendungen auf die extremen Ellipsoide konvexer Körper". Optimierungsmethoden und Software. 27 (4–5): 735–759. doi:10.1080/10556788.2011.626037. ISSN 1055-6788.
- ^ Ben-Tal, A. (2001). Vorträge über die moderne konvexe Optimierung: Analyse, Algorithmen und technische Anwendungen. Nemirovskiĭ, Arkadiĭ Semenovich. Philadelphia, PA: Gesellschaft für industrielle und angewandte Mathematik. ISBN 0-89871-491-5. OCLC 46538510.
- ^ John, Fritz. "Extreme Probleme mit Ungleichheiten als Nebenbedingungen". Studien und Aufsätze, die R. Courant an seinem 60. Geburtstag vorgestellt wurden, 8. Januar 1948, 187—204. Interscience Publishers, Inc., New York, N. Y., 1948. OCLC 1871554 HERR 30135
- ^ Ball, Keith M. (1992). "Ellipsoide mit maximalem Volumen in konvexen Körpern". Geom. Dedicata. 41 (2): 241–250. Arxiv:Math/9201217. doi:10.1007/bf00182424. ISSN 0046-5755.
- ^ Rimon, Elon; Boyd, Stephen (1997). "Hinderniskollisionserkennung mit besten Ellipsoid -Anpassungen". Zeitschrift für intelligente und robotere Systeme. 18 (2): 105–126. doi:10.1023/a: 1007960531949.
- ^ Shen, Weiwei; Wang, Jun (2015). "Transaktionskosten-bewusstes Portfolio-Optimierung durch schnelle Löwner-John-Ellipsoid-Approximation" (PDF). Verfahren der neunundzwanzigsten AAAI-Konferenz über künstliche Intelligenz (AAAI2015): 1854–1860. Archiviert von das Original (PDF) Am 2017-01-16.
- Gardner, Richard J. (2002). "Die Brunn-Minkowski-Ungleichheit". Stier. Amer. Mathematik. SOC. (N.S.). 39 (3): 355–405 (elektronisch). doi:10.1090/s0273-0979-02-00941-2. ISSN 0273-0979.