Kreuzung (festgelegte Theorie)

Überschneidung
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Der Schnittpunkt von zwei Sätzen und durch Kreise dargestellt. ist rot.
Typ Betrieb setzen
Aufstellen Mengenlehre
Aussage Die Kreuzung ist der Satz von Elementen, die in beiden festgelegt sind und set .
Symbolische Aussage

Im Mathematik, das Überschneidung von zwei Sets und bezeichnet durch [1] ist der Satz, der alle Elemente von enthält das gehört auch zu oder entsprechend alle Elemente von das gehört auch zu [2]

Notation und Terminologie

Die Kreuzung wird unter Verwendung des Symbols geschrieben ""zwischen den Begriffen; das heißt in Infixnotation. Zum Beispiel:

Der Schnittpunkt von mehr als zwei Sätzen (verallgemeinerter Schnittpunkt) kann geschrieben werden wie:
Welches ist ähnlich wie Kapital-Sigma-Notation.

Eine Erläuterung der in diesem Artikel verwendeten Symbole finden Sie in der Tabelle mathematischer Symbole.

Definition

Kreuzung von drei Sätzen:
Schnittpunkte der nicht akzentuierten Moderne griechisch, Latein, und kyrillisch Skripte, die nur die Formen der Buchstaben betrachten und ihre Aussprache ignorieren
Beispiel einer Kreuzung mit Sätzen

Der Schnittpunkt von zwei Sätzen und bezeichnet durch ,[3] ist die Menge aller Objekte, die Mitglieder beider Sets sind und In Symbolen:

Das ist, ist ein Element der Kreuzung dann und nur dann, wenn ist beide ein Element von und ein Element von [3]

Zum Beispiel:

  • Der Schnittpunkt der Sets {1, 2, 3} und {2, 3, 4} ist {2, 3}.
  • Die Zahl 9 ist nicht im Schnittpunkt des Satzes von Primzahlen {2, 3, 5, 7, 11, ...} und der Satz von ungerade Zahlen {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}, weil 9 nicht primär ist.

Sich überschneiden und disjunkte Sätze

Wir sagen das Schnittpunkte (trifft) Wenn es einige gibt Das ist ein Element von beidem und In diesem Fall sagen wir das auch Schnittpunkte (trifft) bei . Äquivalent, Schnittpunkte Wenn ihre Kreuzung ist ein bewohnte Set, was bedeutet, dass es einige gibt so dass

Wir sagen das und sind disjunkt wenn Überschneidet sich nicht In einfacher Sprache haben sie keine gemeinsamen Elemente. und sind disjunkt, wenn ihre Kreuzung ist leer, bezeichnet

Zum Beispiel die Sets und sind disjunkt, während der Satz gleicher Zahlen den Satz von schneidet Vielfache von 3 an den Vielfachen von 6.

Algebraische Eigenschaften

Binäre Schnittpunkt ist eine assoziativ Betrieb; Das heißt für alle Sets und hat man

Somit können die Klammern ohne Zweideutigkeit weggelassen werden: eines der oben genannten kann geschrieben werden . Schnittpunkt ist auch kommutativ. Das heißt für jeden und hat man
Die Schnittstelle eines beliebigen Satzes mit dem leeres Set führt im leeren Satz; das heißt das für jeden Satz Anwesend
Auch der Kreuzungsvorgang ist idempotent; das heißt, jeder Satz erfüllt das . Alle diese Eigenschaften folgen aus analogen Fakten über logische Konjunktion.

Überschneidung verteilt Über Union und Union verteilt sich über die Kreuzung. Das heißt für alle Sets und hat man

In einem Universum Man kann das definieren ergänzen von die Menge aller Elemente von sein nicht in Darüber hinaus der Schnittpunkt von und kann als Ergänzung der geschrieben werden Union ihrer Ergänzungen, leicht abgeleitet von De Morgans Gesetze:

Willkürliche Kreuzungen

Der allgemeinste Begriff ist der Schnittpunkt eines willkürlichen nicht leer Sammlung von Sets. Wenn ist ein nicht leer Setzen Sie, deren Elemente selbst Sätze sind, dann ist ein Element der Überschneidung von dann und nur dann, wenn für jeden Element von ist ein Element von In Symbolen:

Die Notation für dieses letzte Konzept kann erheblich variieren. Theoretiker setzen schreibt manchmal """, während andere stattdessen schreiben"". Die letztere Notation kann auf" verallgemeinert werden "", was sich auf die Schnittstelle der Sammlung bezieht Hier ist ein nicht leeres Set, und ist ein Set für jeden

Für den Fall, dass der Indexsatz ist der Satz von natürliche Zahlen, Notation analog zu denen eines unendliches Produkt kann gesehen werden:

Wenn die Formatierung schwierig ist, kann dies auch geschrieben werden ""Dieses letzte Beispiel, eine Schnittstelle zäher viele Sätze, ist tatsächlich sehr häufig; zum Beispiel siehe den Artikel zu σ-algebas.

Nully -Kreuzung

Konjunktionen der Argumente in Klammern

Die Konjunktion ohne Argument ist die Tautologie (vergleichen: leeres Produkt); Dementsprechend ist die Schnittstelle von No Set die Universum.

Beachten Sie, dass wir im vorherigen Abschnitt den Fall ausgeschlossen haben, wo war das leeres Set (). Der Grund ist wie folgt: der Schnittpunkt der Sammlung ist definiert als der Satz (siehe Set-Builder-Notation))

Wenn ist leer, es gibt keine Sets in Die Frage wird also "welche 'S die angegebene Bedingung befriedigen? "Die Antwort scheint zu sein jedes möglich . Wann ist leer, die oben angegebene Bedingung ist ein Beispiel für a leere Wahrheit. Der Schnittpunkt der leeren Familie sollte also der sein universelles Set (das Identitätselement für den Betrieb der Kreuzung),[4] aber im Standard (Zf) set theorie, das universelle set existiert nicht.

Im Typentheorie jedoch, ist von einem vorgeschriebenen Typ Die Kreuzung wird also als vom Typ angesehen (Die Art der Sätze, deren Elemente in der Nähe sind ), und wir können definieren der universelle Satz von sein (Der Satz, dessen Elemente genau alle Bedingungen des Typs sind ).

Siehe auch

Verweise

  1. ^ "Schnittpunkt der Sets". web.mnstate.edu. Abgerufen 2020-09-04.
  2. ^ "Statistiken: Wahrscheinlichkeitsregeln".People.richland.edu. Abgerufen 2012-05-08.
  3. ^ a b "Set Operations | Gewerkschaft | Schnittpunkt | Komplement | Differenz | gegenseitig ausschließend | Partitionen | de Morgans Gesetz | Verteilungsgesetz | kartesische Produkt". www.probabilitycourse.com. Abgerufen 2020-09-04.
  4. ^ Megginson, Robert E. (1998)."Kapitel 1". Eine Einführung in die Banach -Raumtheorie. Graduiertentexte in Mathematik.Vol.183. New York: Springer-Verlag.S. xx+596. ISBN 0-387-98431-3.

Weitere Lektüre

  • Devlin, K. J. (1993). Die Freude an Sätzen: Grundlagen der zeitgenössischen Set -Theorie (Zweite Ausgabe).New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4.
  • Munkres, James R. (2000)."Set Theory and Logic". Topologie (Zweite Ausgabe).Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
  • Rosen, Kenneth (2007)."Grundstrukturen: Mengen, Funktionen, Sequenzen und Summen". Diskrete Mathematik und ihre Anwendungen (Sechstes Ausgabe).Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0.

Externe Links