Interne Set -Theorie

Interne Set -Theorie (Ist) ist eine mathematische Theorie von Sets entwickelt von Edward Nelson das liefert eine axiomatische Grundlage für einen Teil der Nicht standardmäßige Analyse Vorgestellt von Abraham Robinson. Anstatt neue Elemente zu dem hinzuzufügen reale NummernDer Ansatz von Nelson verändert die axiomatischen Grundlagen durch syntaktische Anreicherung. Somit führen die Axiome einen neuen Begriff "Standard" ein, der verwendet werden kann, um Diskriminierungen unter dem konventionellen nicht möglich zu machen ZFC -Axiome für Sets. Also ist IST eine Anreicherung von ZFC: Alle Axiome von ZFC sind für alle klassischen Prädikate zufrieden, während der neue "Standard" des unartigen Prädikats drei zusätzliche Axiome I, S und T erfüllt. Insbesondere, geeignete nicht standardmäßige Elemente innerhalb des Satzes von reellen Zahlen können nach Eigenschaften haben, die die Eigenschaften haben, die haben entsprechen den Eigenschaften von infinitesimal und unbegrenzte Elemente.

Die Formulierung von Nelson wird für den Laienmathematiker zugänglicher Logik Diese waren zunächst erforderlich, um die Konsistenz von Zahlensystemen, die infinitesimale Elemente enthalten, rigoros zu rechtfertigen.

Intuitive Rechtfertigung

Während ist ist IST ein perfekt formales axiomatisches Schema, das nachstehend beschrieben wird, eine intuitive Rechtfertigung der Bedeutung des Begriffs Standard ist wünschenswert. Das ist nicht Ein Teil der formalen Theorie, ist aber ein pädagogisches Gerät, das dem Schüler helfen könnte, den Formalismus zu interpretieren. Die wesentliche Unterscheidung, ähnlich dem Konzept von definierbare Zahlenkontrastiert die Endlichkeit des Domäne der Konzepte, die wir spezifizieren und diskutieren können, mit der unbegrenzten Unendlichkeit der Zahlenmenge; vergleichen Finitismus.

  • Die Anzahl der Symbole, mit denen man schreibt, ist endlich.
  • Die Anzahl der mathematischen Symbole auf einer bestimmten Seite ist endlich.
  • Die Anzahl der Seiten der Mathematik, die ein einzelner Mathematiker in einem Leben produzieren kann, ist endlich.
  • Jede praktikable mathematische Definition ist notwendigerweise endlich.
  • Es gibt nur eine begrenzte Anzahl verschiedener Objekte, die ein Mathematiker in einem Leben definieren kann.
  • Es wird im Verlauf unserer (vermutlich endlichen) Zivilisation nur eine begrenzte Anzahl von Mathematikern geben.
  • Daher gibt es nur eine endliche Reihe von ganzen Zahlen, die unsere Zivilisation in ihrer zugewiesenen Lebensdauer diskutieren kann.
  • Was diese Grenze tatsächlich ist, ist für uns nicht erkennbar und hängt von vielen zufälligen kulturellen Faktoren ab.
  • Diese Einschränkung ist an sich nicht anfällig für mathematische Prüfung, sondern dass es eine solche Grenze gibt, während die ganze Reihe der ganzen Zahlen für immer ohne gebundene Zahlen anhält, ist eine mathematische Wahrheit.

Der Begriff Standard wird daher intuitiv so genommen, einem notwendigerweise endlichen Teil der "zugänglichen" ganzen Zahlen zu entsprechen. Das Argument kann auf unendliche Reihe von Objekten angewendet werden Wie wir durchhalten. Wir müssen zugeben, dass eine Fülle von Nicht standardmäßig Elemente - zu groß oder zu anonym, um sie zu erfassen - in unendlicher Set.

Prinzipien der Standard Prädikat

Die folgenden Prinzipien folgen aus der obigen intuitiven Motivation und sollten daher von den formalen Axiomen abgelehnt werden. Im Moment nehmen wir den Diskussionsbereich als die vertraute Menge ganzer Zahlen an.

  • Jeder mathematische Ausdruck, der das neue Prädikat nicht verwendet Standard explizit oder implizit ist ein Interne Formel.
  • Jede Definition, die dies tut, ist eine externe Formel.
  • Irgendeine Nummer einzigartig Von einer internen Formel angegeben ist Standard (per Definition).
  • Nicht standardmäßige Zahlen sind genau diejenigen, die (aufgrund von Zeit- und Raumeinschränkungen) durch eine interne Formel nicht eindeutig angegeben werden können.
  • Nicht standardmäßige Zahlen sind schwer fassbar: Jeder ist zu enorm, um in Dezimalnotation oder einer anderen Darstellung, explizit oder implizit, überschaubar zu sein, egal wie genial Ihre Notation ist. Was auch immer es Ihnen gelingt, zu produzieren, ist per Definition nur eine weitere Standardzahl.
  • Trotzdem gibt es (viele) nicht standardmäßige ganze Zahlen in einer unendlichen Untergruppe von N.
  • Nicht standardmäßige Zahlen sind völlig gewöhnliche Zahlen, die Dezimalstellen, Primemaktorisierungen usw. mit jedem klassischen Theorem, der für die natürlichen Zahlen gilt, für die nicht standardmäßigen natürlichen Zahlen gilt. Wir haben keine neuen Zahlen erstellt, sondern eine neue Methode zur Unterscheidung zwischen vorhandenen Zahlen.
  • Darüber hinaus gilt jeder klassische Theorem, der für alle Standardzahlen gilt, notwendigerweise für alle natürlichen Zahlen. Andernfalls wäre die Formulierung "die kleinste Zahl, die den Satz nicht erfüllt" eine interne Formel, die eine nicht standardmäßige Zahl definierte.
  • Das Prädikat "nicht standardmäßig" ist a logisch konsistent Methode zur Unterscheidung groß Zahlen - der übliche Begriff wird sein illimitiert. Reziprocals dieser illimitierten Zahlen werden notwendigerweise extrem geringe reelle Zahlen sein -Infinitesimals. Um Verwirrung mit anderen Interpretationen dieser Wörter zu vermeiden, werden diese Wörter in neueren Artikeln zu IST durch die Konstrukte "i-large" und "i-Small" ersetzt.
  • Es gibt notwendigerweise nur endlich viele Standardzahlen-aber Vorsicht ist erforderlich: Wir können sie nicht zusammen sammeln und behaupten, dass das Ergebnis ein genau definierter mathematischer Satz ist. Dies wird nicht durch den Formalismus gestützt (die intuitive Rechtfertigung ist, dass die genauen Grenzen dieses Satzes mit Zeit und Geschichte variieren). Insbesondere können wir nicht über die größte Standardzahl oder die kleinste nicht standardmäßige Zahl sprechen. Es wird gültig sein, über einen endlichen Satz zu sprechen, der alle Standardzahlen enthält-aber diese nicht klassische Formulierung kann nur für einen nicht standardmäßigen Satz gelten.

Formelle Axiome für IST

Ist ist eine axiomatische Theorie in der Logik erster Ordnung mit Gleichheit in a Sprache enthält ein binäres Prädikatsymbol ∈ und ein unäreres Prädikatsymbol ST (x). Formeln, die nicht ST (d. H. Formeln der üblichen Sprache der festgelegten Theorie) betreffen, werden als intern bezeichnet, andere Formeln werden als extern bezeichnet. Wir verwenden die Abkürzungen

Ist alle Axiome der Zermelo -Fraenkel -Set -Theorie mit dem Axiom der Wahl (ZFC). Beachten Sie, dass die ZFC -Schemata von Trennung und Ersatz sind nicht Auf die neue Sprache ausgedehnt werden sie nur mit internen Formeln verwendet werden. Darüber hinaus enthält IST drei neue Axiom -Schemata - bequem eine für jede Anfangsfunktion in seinem Namen: IDealisation, STandardisierung und TRansfer.

I: Idealisierung

  • Für jede interne Formel ohne freies Ereignis von zDer universelle Verschluss der folgenden Formel ist ein Axiom:
  • In Worten: für jede interne Beziehung Rund für willkürliche Werte für alle anderen freien Variablen haben wir das, wenn für jeden Standard, endlicher Satz F, es gibt a g so dass R(gAnwesendf) hält für alle f in Fdann gibt es eine bestimmte G so dass für Jeder Standard f wir haben R(GAnwesendf) und umgekehrt, wenn es vorhanden ist G so dass für jeden Standard f, wir haben R(GAnwesendf), dann für jeden endlichen Satz F, es gibt a g so dass R(gAnwesendf) hält für alle f in F.

Die Aussage dieses Axioms umfasst zwei Implikationen. Die Implikation von rechts nach links kann durch die einfache Aussage neu formuliert werden, dass Elemente von Standard-endlichen Sätzen Standard sind. Die wichtigere Implikation von links nach rechts drückt aus, dass die Sammlung aller Standard-Sets in einem endlichen (nicht standardmäßigen) Satz enthalten ist. Darüber hinaus kann dieses endliche Set zur Befriedigung einer bestimmten internen Eigenschaft ersetzt werden, die von allen Standard-endlichen Sets geteilt wird.

Dieses sehr allgemeine Axiom -Schema behält die Existenz von "idealen" Elementen unter angemessenen Umständen auf. Drei bestimmte Anwendungen zeigen wichtige Konsequenzen.

Auf die Beziehung angewendet ≠

Wenn S ist Standard und endlich, wir nehmen für die Beziehung ein R(gAnwesendf): g und f sind nicht gleich und g ist in S. Seit "Für jeden Standard -endlichen Satz f gibt es ein Element G in s so, dass g ≠ f für alle f in f f"Ist falsch (nein wie solche g existiert wann F = S)) können wir eine Idealisierung verwenden, um uns das zu sagen "Es gibt ein G in S, so dass G ≠ f Für alle Standards f"ist auch falsch, d. H. Alle Elemente von S sind Standard.

Wenn S ist unendlich, dann nehmen wir die Beziehung ein R(gAnwesendf): g und f sind nicht gleich und g ist in S. Seit "Für jeden Standard -endlichen Satz f gibt es ein Element G in s so, dass g ≠ f für alle f in f f"(das unendliche Set S ist keine Teilmenge des endlichen Satzes F)) können wir eine Idealisierung verwenden, um abzuleiten "Es gibt ein G in S, so dass G ≠ f Für alle Standards f. "Mit anderen Worten, jedes unendliche Set enthält ein nicht standardmäßiges Element (in der Tat viele).

Der Leistungssatz eines Standard -Finite -Sets ist Standard (durch Übertragung) und endlich, sodass alle Teilmengen eines Standard -Endite -Satzes Standard sind.

Wenn S ist nicht standardmäßig, wir nehmen die Beziehung ein R(gAnwesendf): g und f sind nicht gleich und g ist in S. Seit "Für jeden Standard -endlichen Satz f gibt es ein Element G in s so, dass g ≠ f für alle f in f f"(das nicht standardmäßige Set S ist keine Untergruppe des Standard- und Finite -Satzes F)) können wir eine Idealisierung verwenden, um abzuleiten "Es gibt ein G in S, so dass G ≠ f Für alle Standards f."Mit anderen Worten, jedes nicht standardmäßige Set enthält ein nicht standardmäßiges Element.

Infolge all dieser Ergebnisse alle Elemente eines Satzes S sind Standard, wenn und nur wenn S ist Standard und endlich.

Auf die Beziehung angewendet <

Seit "Für jeden Standard, endliche Satz natürlicher Zahlen F gibt es eine natürliche Zahl g so, dass g> f für alle f in f f" - sagen, g = maximal (F) + 1 - Wir können eine Idealisierung verwenden, um abzuleiten "Es gibt eine natürliche Zahl g so, dass G> f für alle Standard natürlichen Zahlen fMit anderen Worten, es gibt eine natürliche Zahl, die größer ist als jede natürliche Standardzahl.

Auf die Beziehung ∈ angewendet

Genauer R(gAnwesendf): g ist ein endliches Set mit Element f. Seit "Für jeden Standard, endlicher Satz F gibt es einen endlichen Satz G, so dass f ∈ g für alle f in f f" - sagen Sie durch Wahl g = F selbst - wir können Idealisierung verwenden, um abzuleiten "Es gibt einen endlichen Satz G, so dass f ∈ g Für alle Standards f. "Für jeden Satz S, der Schnittpunkt von S mit dem Set G ist eine endliche Teilmenge von S das enthält jedes Standardelement von S. G ist notwendigerweise nicht standardmäßig.

S: Standardisierung

  • Wenn ist jede Formel (sie kann extern sein) ohne freies Auftreten von ydie universelle Schließung von
ist ein Axiom.
  • In Worten: wenn A ist ein Standardsatz und p jede interne oder andere Eigenschaft, dann gibt es eine eindeutige Standarduntermenge B von A deren Standardelemente genau die Standardelemente von sind A befriedigend P (aber das Verhalten von BNicht standardmäßige Elemente sind nicht vorgeschrieben).

T: Transfer

  • Wenn ist eine interne Formel ohne andere freie Variablen als die angegebenen
ist ein Axiom.
  • In Worten: Wenn alle Parameter A, B, C, ..., W einer internen Formel F haben dann Standardwerte F(x, A, B, ..., W) hält für alle x's, sobald es für alle Standards gilt x'S - Aus folgt, dass alle einzigartig definierten Konzepte oder Objekte innerhalb der klassischen Mathematik Standard sind.

Formelle Rechtfertigung für die Axiome

Abgesehen von den oben vorgeschlagenen intuitiven Motivationen ist zu begründen, dass zusätzliche IST -Axiome nicht zu Fehlern oder Inkonsistenzen bei der Argumentation führen. Fehler und philosophische Schwächen beim Denken über infinitesimale Zahlen in der Arbeit von Gottfried Leibniz, Johann Bernoulli, Leonhard Euler, Augustin-Louis Cauchyund andere waren der Grund, warum sie ursprünglich für die umständlicheren aufgegeben wurden reelle Zahl-basierte Argumente, die von entwickelt wurden von Georg Cantor, Richard Dedekind, und Karl Weierstrass, die von Weierstrass 'Anhängern als strenger wahrgenommen wurden.

Der Ansatz für die interne festgelegte Theorie ist der gleiche wie für jedes neue axiomatische System - wir konstruieren a Modell Für die neuen Axiome unter Verwendung der Elemente eines einfacheren, vertrauensvolleren Axiomschemas. Dies ist der Rechtfertigung der Konsistenz der Axiome von ziemlich ähnlich elliptisch Nichteuklidische Geometrie Indem sie feststellen, dass sie durch eine angemessene Interpretation von modelliert werden können Tolle Kreise auf einer Kugel im gewöhnlichen 3-Raum.

In der Tat kann über ein geeignetes Modell ein Beweis der relativen Konsistenz von IST im Vergleich zu ZFC gegeben werden: Wenn ZFC konsistent ist, ist IST konsistent. In der Tat kann eine stärkere Aussage gemacht werden: Ist ist a Konservative Erweiterung von ZFC: Jede interne Formel, die innerhalb der internen festgelegten Theorie nachgewiesen werden kann, kann in den Zermelo -Fraenkel -Axiomen mit dem Axiom der Wahl allein nachgewiesen werden.[1]

Verwandte Theorien

Verwandte Theorien wurden von entwickelt von Karel Hrbacek und andere.

Anmerkungen

  1. ^ Nelson, Edward (1977). Interne Set -Theorie: Ein neuer Ansatz zur nicht standardmäßigen Analyse. Bulletin der American Mathematical Society 83 (6): 1165–1198.

Verweise

  • Robert, Alain (1985). Nicht standardmäßige Analyse. John Wiley & Sons. ISBN0-471-91703-6.
  • Interne Set -Theorie, ein Kapitel eines unvollendeten Buches von Nelson.