Innenraum (Topologie)

Der Punkt

x

ist ein innerer Punkt von

S

. Der Punkt

y

ist an der Grenze von

S

.

Im Mathematik, speziell in Topologie, das Innere von a Teilmenge $S$ von a topologischer Raum $X$ ist der Union von allen Untergruppen von $S$ das sind offen in $X$ . Ein Punkt, der im Inneren von ist $S$ ist ein Innenausstattung von $S$ .

Das Innere von $S$ ist der ergänzen des Schließung der Ergänzung von $S$ . In diesem Sinne sind Interieur und Verschluss Dual Vorstellungen.

Das Außen eines Satzes $S$ ist die Ergänzung der Schließung von $S$ ; Es besteht aus den Punkten, die weder in der Set noch in seinem sind Grenze. Das Innere, die Grenze und das Äußere einer Untergruppe zusammen Trennwand Der gesamte Raum in drei Blöcke (oder weniger, wenn einer oder mehrere davon sind leer). Innenraum und Äußere sind immer offen Während die Grenze immer ist abgeschlossen. Sets mit leerem Innenraum wurden genannt Grenzsätze.^[1]

Definitionen

Innenausstattung

Wenn $S$ ist eine Teilmenge von a Euklidischer Raum, dann $x$ ist ein innerer Punkt von $S$ Wenn es eine gibt offener Ball zentriert um $x$ welches vollständig in enthalten ist in $S$ . (Dies wird im Einführungsabschnitt in diesem Artikel dargestellt.)

Diese Definition verallgemeinert auf jede Teilmenge $S$ von a metrischer Raum $X$ mit Metrik $d$ : $x$ ist ein innerer Punkt von $S$ Wenn es gibt $r > 0$ , so dass $y$ ist in $S$ Wann immer die Entfernung $d (x, y) < r$ .

Diese Definition verrichtet auf Topologische Räume durch Ersetzen von "offener Ball" mit "Open Set". Lassen $S$ eine Untergruppe eines topologischen Raums sein $X$ . Dann $x$ ist ein innerer Punkt von $S$ wenn $x$ ist in einer offenen Untergruppe von enthalten $X$ welches vollständig in enthalten ist in $S$ . (Äquivalent, $x$ ist ein innerer Punkt von $S$ wenn $S$ ist ein Nachbarschaft von $x$ .))

Innenraum eines Satzes

Das Innere einer Untergruppe $S$ einen topologischen Raum $X$ , bezeichnet durch $Int S$ oder $S °$ , kann auf eine der folgenden äquivalenten Weise definiert werden:

$Int S$ ist die größte offene Teilmenge von $X$ enthalten (als Teilmenge) in $S$
$Int S$ ist die Vereinigung aller offenen Sätze von $X$ Enthalten in $S$
$Int S$ ist der Satz aller Innenausstattung von $S$

Beispiele

a

ist ein innerer Punkt von

M

, weil es eine ε-Nachbarschaft von a gibt, die eine Teilmenge von ist

M

.

In jedem Raum ist das Innere des leeren Satzes das leere Set.
In jedem Raum $X$ , wenn $S \subseteq X$ , dann $int S \subseteq S$ .
Wenn $X$ ist der echte Linie ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ (mit der Standardtopologie), dann $int ([0, 1]) = (0, 1)$ .
Wenn $X$ ist die wirkliche Linie ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ , dann das Innere des Satzes ${\ displaystyle \ mathbb {q}}$ von Rationale Zahlen ist leer.
Wenn $X$ ist der Komplexe Ebene ${\ displaystyle \ mathbb {c}}$ , dann $oder$
In jedem euklidischen Raum das Innere von jedem endliche Menge ist das leere Set.

Am Set von reale NummernMan kann andere Topologien anstelle des Standards einstellen:

Wenn $X$ ist die realen Zahlen ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ mit dem Untergrenze Topologie, dann $int ([0, 1]) = [0, 1)$ .
Wenn man nachdenkt ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ Die Topologie, in der jedes Set geöffnet ist, dann ist dann $int ([0, 1]) = [0, 1]$ .
Wenn man nachdenkt ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ die Topologie, in der die einzigen offenen Sets der leere Set sind und ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ selbst, dann $int ([0, 1])$ ist das leere Set.

Diese Beispiele zeigen, dass das Innere eines Satzes von der Topologie des zugrunde liegenden Raums abhängt. Die letzten beiden Beispiele sind Sonderfälle der folgenden Fälle.

In irgendeiner diskreter RaumDa jeder Satz geöffnet ist, entspricht jeder Satz seinem Innenraum.
In irgendeiner Indiskreter Raum $X$ , da die einzigen offenen Sets das leere Set sind und $X$ selbst haben wir $X = int X$ und für jeden echte Teilmenge $S$ von $X$ , $int S$ ist das leere Set.

Eigenschaften

Lassen $X$ topologischer Raum sein und lassen $S$ und $T$ Untergruppe von $X$ .

$Int S$ ist offen in $X$ .
Wenn $T$ ist offen in $X$ dann $T \subseteq S$ dann und nur dann, wenn $T \subseteq int S$ .
$Int S$ ist eine offene Teilmenge von $S$ Wenn $S$ wird gegeben Subspace -Topologie.
$S$ ist eine offene Teilmenge von $X$ dann und nur dann, wenn $S = int S$ .
Intensiv: $Int S \subseteq S$ .
Idempotenz: $Int (int S) = Int S$ .
Bewahrung/verteilt Binäre Kreuzung: $Int (S \cap T) = (Int int S) \cap (int T)$ .
Monoton/unvermindert in Bezug auf $\subseteq$ : Wenn $S \subseteq T$ dann $Int S \subseteq int T$ .

Die obigen Aussagen bleiben wahr, wenn alle Instanzen der Symbole/Wörter

"Interieur", "int", "offen", "Untergruppe" und "größte"

werden jeweils durch ersetzt durch

"Verschluss", "Cl", "geschlossen", "Superset" und "kleinste"

und die folgenden Symbole werden getauscht:

"⊆" mit "⊇" ausgetauscht
"∪" mit "∩" ausgetauscht

Weitere Informationen zu dieser Angelegenheit finden Sie unter Innenoperator unten oder im Artikel Kuratowski -Verschluss Axiome.

Andere Eigenschaften sind:

Wenn $S$ ist geschlossen in $X$ und $Int T = \emptyset$ dann $Int (S \cup T) = Int S$ .^[2]

Innenoperator

Das Innenoperator ${\ displayStyle \ operatorname {int} _ {x}}$ ist doppelt zum Schließung Bediener, der mit bezeichnet wird durch ${\ displayStyle \ operatorname {cl} _ {x}}$ oder durch eine Überlinie ^—, in dem Sinne, dass

oder

und auch

oder

wo

{\ displayStyle x}

ist der topologischer Raum enthält

{\ displayStyle S,}

und der Backslash

{\ displayStyle \, \ setminus \,},}

bezeichnet Set-theoretischer Unterschied. Daher die abstrakte Theorie der Verschlussoperatoren und die Kuratowski -Verschluss Axiome kann leicht in die Sprache der Innenoperatoren übersetzt werden, indem Sätze durch ihre Ergänzungen ersetzt werden

{\ displayStyle X.}

Im Allgemeinen pendelt der Innenoperator nicht mit Gewerkschaften. Jedoch in a Vollständige metrische Raum Das folgende Ergebnis gilt:

Satz^[3] (C. Urescu)-Lassen ${\ displayStyle s_ {1}, s_ {2}, \ ldots}$ eine Abfolge von Teilmengen von a sein Vollständige metrische Raum ${\ displayStyle X.}$

Wenn jeder ${\ displayStyle s_ {i}}$ ist geschlossen in ${\ displayStyle x}$ dann $oder _ {X} \ operatorname {int} _ {x} \ links (\ bigcup _ {i \ in \ mathbb {n}} s_ {i} \ rechts).}.}.}.}.}.}.$
Wenn jeder ${\ displayStyle s_ {i}}$ ist offen in ${\ displayStyle x}$ dann $oder _ {X} \ operatorname {cl} _ {x} \ links (\ bigcap _ {i \ in \ mathbb {n}} s_ {i} \ rechts).}.}.}.}.}.}.$

Das obige Ergebnis impliziert, dass jeder vollständige metrische Raum a ist Baire -Raum.

Äußere eines Satzes

Das (topologisch) Außen einer Untergruppe ${\ displayStyle S}$ einen topologischen Raum ${\ displayStyle x,}$ bezeichnet durch ${\ displayStyle \ operatorname {ext} _ {x} s}$ oder einfach ${\ displayStyle \ operatorname {ext} s,}$ ist die Ergänzung der Schließung von ${\ displayStyle S}$ :

oder

Obwohl es in Bezug auf das Innenraum gleich definiert werden kann durch:

oder

Alternativ das Innenraum ${\ displayStyle \ operatorname {int} _ {x} s}$ könnte stattdessen in Bezug auf das Äußere definiert werden

oder

Als Folge dieser Beziehung zwischen Innenraum und Außenbereich viele Eigenschaften des Äußeren ${\ displayStyle \ operatorname {ext} _ {x} s}$ kann leicht direkt von denen des Innenraums abgeleitet werden ${\ displayStyle \ operatorname {int} _ {x} s}$ und Elementarige Identitäten. Solche Eigenschaften enthalten die folgenden:

${\ displayStyle \ operatorname {ext} _ {x} s}$ ist eine offene Teilmenge von ${\ displayStyle x}$ das ist disjunkt von ${\ displayStyle S.}$
Wenn ${\ displayStyle S \ subseteq t}$ dann $oder$
${\ displayStyle \ operatorname {ext} _ {x} s}$ ist gleich der Vereinigung aller offenen Teilmengen von ${\ displayStyle x}$ das sind disjunkt von ${\ displayStyle S.}$
${\ displayStyle \ operatorname {ext} _ {x} s}$ ist gleich der größten offenen Teilmenge von ${\ displayStyle x}$ das ist disjunkt von ${\ displayStyle S.}$

Im Gegensatz zum Innenpersonal,, ${\ displayStyle \ operatorname {ext} _ {x}}$ ist nicht idempotent, obwohl es das Eigentum hat, das $oder$

Innenausfallformen

Die roten Formen sind nicht mit dem blauen Dreieck innen in der Innenausstattung. Das Grün und die gelben Formen sind mit dem blauen Dreieck innenkeimend, aber nur die gelbe Form ist völlig disjunkt vom blauen Dreieck.

Zwei Formen $a$ und $b$ werden genannt Innenausfall Wenn der Schnittpunkt ihrer Innenräume leer ist.Innenausfällen können sich in ihrer Grenze überschneiden oder nicht.

Siehe auch

Algebraischer Innenraum- Verallgemeinerung des topologischen Innenraums
Grenze (Topologie)- Alle Punkte nicht Teil des Innenraums einer Untergruppe eines topologischen Raums
Verschluss (Topologie)- Alle Punkte und Grenzpunkte in einer Teilmenge eines topologischen Raums
Innenalgebra
Jordan Curve Theorem- Teilung durch eine geschlossene Kurve des Flugzeugs in zwei Regionen
Quasi-relatives Interieur- Verallgemeinerung des algebraischen Innenraums
Relativer Innenraum- Verallgemeinerung des topologischen Innenraums

Verweise

^ Kuratowski, Kazimierz (1922). "Sur l'Operation ā de l'Alalyent Situs" (PDF). Fundamenta Mathematicae. Warschau: Polnische Akademie der Wissenschaften. 3: 182–199. doi:10.4064/FM-3-1-182-199. ISSN 0016-2736.
^ Narici & Beckenstein 2011, S. 371–423.
^ Zalinescu, C (2002). Konvexe Analyse in allgemeinen Vektorräumen.River Edge, N. J. London: Weltwissenschaftlich.p.33. ISBN 981-238-067-1. OCLC 285163112.

Literaturverzeichnis

Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Allgemeine Topologie: Kapitel 1–4 [Topologie Générale]. Éléments de Mathématique.Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129.
Dixmier, Jacques (1984). Allgemeine Topologie.Bachelortexte in Mathematik.Übersetzt von Berberian, S. K. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303.
Császár, Ákos (1978). Allgemeine Topologie.Übersetzt von Császár, Klára.Bristol England: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4. OCLC 4146011.
Dugundji, James (1966). Topologie. Boston: Allyn und Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
Joshi, K. D. (1983). Einführung in die allgemeine Topologie.New York: John Wiley und Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC 9218750.
Kelley, John L. (1975). Allgemeine Topologie. Graduiertentexte in Mathematik.Vol.27. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC 338047.
Munkres, James R. (2000). Topologie (Zweite Ausgabe). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc.. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
Narici, Lawrence;Beckenstein, Edward (2011). Topologische Vektorräume.Reine und angewandte Mathematik (zweite Ausgabe).Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Schubert, Horst (1968). Topologie. London: MacDonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC 463753.
Wilansky, Albert (17. Oktober 2008) [1970]. Topologie zur Analyse.Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC 227923899.
Willard, Stephen (2004) [1970]. Allgemeine Topologie (First Ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.

Externe Links

Innere bei Planetmath.

[1] Kuratowski, Kazimierz (1922). "Sur l'Operation ā de l'Alalyent Situs" (PDF). Fundamenta Mathematicae. Warschau: Polnische Akademie der Wissenschaften. 3: 182–199. doi:10.4064/FM-3-1-182-199. ISSN 0016-2736.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011371–423-2] Narici & Beckenstein 2011, S. 371–423.

[Zalinescu_2002_p._33-3] Zalinescu, C (2002). Konvexe Analyse in allgemeinen Vektorräumen.River Edge, N. J. London: Weltwissenschaftlich.p.33. ISBN 981-238-067-1. OCLC 285163112.

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[2]

[3]

Topologie
Felder	Allgemein (Punkteinsatz) Algebraisch Kombinatorisch Kontinuum Differential Geometrisch Niedrigdimensional Homologie Kohomologie Theoretisch Digital
Schlüssel Konzepte	Open Set/ Geschlossenes Set Innere Kontinuität Platz kompakt In Verbindung gebracht Hausdorff metrisch Uniform Homotopie Homotopy -Gruppe Grundgruppe Einfacher Komplex CW -Komplex Polyederkomplex Vielfältig Bundle (Mathematik) Zweitzählbarer Raum Kobordismus
Metriken und Eigenschaften	Euler charakteristisch Betti -Nummer Wicklungszahl TAGER -Nummer Orientierbarkeit
Schlüsselergebnisse	Banach Festpunkt Theorem De Rhams Theorem Invarianz der Domäne Poincaré -Vermutung Tychonoffs Theorem Urysohns Lemma
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