Integral

Definite integral example
Ein eindeutiges Integral einer Funktion kann als signierter Bereich der Region dargestellt werden, die durch ihre Grafik begrenzt sind.

Im Mathematik, ein Integral- weist Funktionen in einer Weise Zahlen zu, die beschreibt Verschiebung, Bereich, Volumenund andere Konzepte, die durch Kombination entstehen infinitesimal Daten. Der Prozess des Findens von Integralen wird genannt Integration. Zusammen mit Unterscheidung, Integration ist ein grundlegender, wesentlicher Betrieb von Infinitesimalrechnung,[a] und dient als Werkzeug, um Probleme in der Mathematik zu lösen und Physik unter anderem den Bereich einer willkürlichen Form, die Länge einer Kurve und das Volumen eines Feststoffs.

Die hier aufgezählten Integrale sind diejenigen, die bezeichnet werden bestimmte Integrale, was als signiert interpretiert werden kann Bereich der Region in der Ebene, die durch die begrenzt ist Graph von einem gegebenen Funktion zwischen zwei Punkten in der echte Linie. Herkömmlicherweise sind Bereiche über der horizontalen Achse der Ebene positiv, während die folgenden Bereiche negativ sind. Integrale beziehen sich auch auf das Konzept eines antiderivativ, eine Funktion, deren Ableitung die angegebene Funktion ist. In diesem Fall werden sie gerufen Unbestimmte Integrale. Das Grundsatz des Kalküls bezieht bestimmte Integrale mit Differenzierung und bietet eine Methode zur Berechnung des definitiven Integrals einer Funktion, wenn ihr Antiderivativ bekannt ist.

Obwohl Methoden zur Berechnung von Bereichen und Volumina aus datiertem Volumen aus Alte griechische MathematikDie Integrationsprinzipien wurden unabhängig voneinander formuliert Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz Im späten 17. Jahrhundert, der das Gebiet unter einer Kurve als eine unendliche Summe von Rechtecken von betrachtete infinitesimal Breite. Bernhard Riemann später gab kurvilinear Region, indem die Region in unendlich dünne vertikale Platten zerlegt wird. Anfang des 20. Jahrhunderts, Henri Lebesgue Verallgemeinerte Riemanns Formulierung durch Einführung dessen, was jetzt als die bezeichnet wird Lebesgue Integral; Es ist robuster als Riemanns in dem Sinne, dass eine größere Klasse von Funktionen bleebesgue-integrierbar ist.

Integrale können je nach Art der Funktion und der Funktionen verallgemeinert werden Domain über die die Integration durchgeführt wird. Zum Beispiel a Linienintegral ist definiert für Funktionen von zwei oder mehr Variablen und die Intervall der Integration wird durch eine Kurve ersetzt, die die beiden Endpunkte des Intervalls verbindet. In einem OberflächenintegralDie Kurve wird durch ein Stück a ersetzt auftauchen in dreidimensionaler Raum.

Geschichte

Integration vor dem Kalkulus

Die erste dokumentierte systematische Technik, die Integrale bestimmen kann, ist die Erschöpfungsmethode des Altgriechisch Astronom Eudoxus (ca. 370 v. Chr.), Die es versuchte, Gebiete und Bände zu finden, indem sie in eine unendliche Anzahl von Abteilungen aufgeteilt wurden, für die der Bereich oder das Volumen bekannt war.[1] Diese Methode wurde weiterentwickelt und verwendet von Archimedes im 3. Jahrhundert v. Chr. Und zur Berechnung der Berechnung der Kreisbereich, das Oberfläche und Volumen von a Kugel, Bereich eines Ellipse, das Gebiet unter a Parabeldas Volumen eines Segments von a Paraboloid der Revolution das Volumen eines Segments von a Hyperboloid der Revolution und des Gebiets von a Spiral-.[2]

Eine ähnliche Methode wurde unabhängig voneinander entwickelt in China um das 3. Jahrhundert n. Chr. Von Liu Hui, der es benutzte, um den Bereich des Kreises zu finden. Diese Methode wurde später im 5. Jahrhundert von chinesischen Vater-Sohn-Mathematikern angewendet Zu Chongzhi und Zu Geng Um das Volumen einer Kugel zu finden.[3]

Im Nahen Osten, Hasan Ibn al-Haytham, latinisiert als Alhazen (c.965- c.1040Ad) leitete eine Formel für die Summe von ab vierte Mächte.[4] Er verwendete die Ergebnisse, um eine integrierte Integration dieser Funktion auszuführen, bei der die Formeln für die Summen der integralen Quadrate und die vierte Kräfte es ihm ermöglichten, das Volumen von a zu berechnen Paraboloid.[5]

Die nächsten wesentlichen Fortschritte im Integral Calculus erschienen erst im 17. Jahrhundert. Zu diesem Zeitpunkt die Arbeit von Cavalieri mit seinem Methode der Univisund arbeiten durch Fermat, begann die Grundlagen des modernen Kalküls zu legen,[6] mit Cavalieri Computing die Integrale von xn bis zum Grad n = 9 in Cavalieris Quadraturformel.[7] Weitere Schritte wurden im frühen 17. Jahrhundert von unternommen Karren und Torricelli, der die ersten Hinweise auf eine Verbindung zwischen Integration und zur Verfügung stellte Unterscheidung. Barrow lieferte den ersten Beweis der Grundsatz des Kalküls.[8] Wallis Verallgemeinerte Methode von Cavalieri, Computerintegrale von x zu einer allgemeinen Macht, einschließlich negativer Kräfte und Bruchmächte.[9]

Leibniz und Newton

Der wichtigste Fortschritt in der Integration kam im 17. Jahrhundert mit der unabhängigen Entdeckung der Grundsatz des Kalküls durch Leibniz und Newton.[10] Der Satz zeigt einen Zusammenhang zwischen Integration und Differenzierung. Diese Verbindung in Kombination mit der vergleichenden Leichtigkeit der Differenzierung kann ausgenutzt werden, um Integrale zu berechnen. Insbesondere das grundlegende Theorem des Kalküls ermöglicht es einem, eine viel breitere Klasse von Problemen zu lösen. Gleicher Bedeutung ist der umfassende mathematische Rahmen, den sowohl Leibniz als auch Newton entwickelt haben. Angesichts des Namens infinitesimaler Kalkül ermöglichte es eine genaue Analyse von Funktionen in kontinuierlichen Domänen. Dieser Rahmen wurde schließlich modern Infinitesimalrechnung, deren Notation für Integrale direkt aus der Arbeit von Leibniz stammt.

Formalisierung

Während Newton und Leibniz einen systematischen Ansatz für die Integration lieferten, fehlte ihre Arbeit einen gewissen Grad an Strenge. Bischof Berkeley Nach wie vor, griffen die von Newton verwendeten verschwindenden Schritte an und rufen sie an. “Geister der abgestellten Mengen".[11] Kalkül erwarb einen festeren Stand mit der Entwicklung von Grenzen. Die Integration wurde zuerst streng formalisiert, unter Verwendung von Grenzen, von Riemann.[12] Obwohl alle kontinuierlichen Funktionen mit stückweise stückweise in einem begrenzten Intervall auf Integrierbar sind, wurden anschließend allgemeinere Funktionen berücksichtigt-insbesondere im Kontext von Fourier -Analyse- Zu welcher Riemanns Definition gilt nicht und nicht Lebesgue formuliert a Unterschiedliche Definition von Integral, gegründet in Theorie messen (ein Unterfeld von Echte Analyse). Andere Definitionen von Integral, die die Ansätze von Riemann und Lebesgue erweitern, wurden vorgeschlagen. Diese auf dem realen Zahlensystem basierenden Ansätze sind heute am häufigsten, aber es gibt alternative Ansätze, wie z. Standardteil einer unendlichen Riemann -Summe, basierend auf der Hyperreale Nummer System.

Historische Notation

Die Notation für das unbestimmte Integral wurde von eingeführt von Gottfried Wilhelm Leibniz 1675.[13] Er adaptierte das Integrales Symbol, aus dem Brief ſ (lange s), steht für Summa (geschrieben als ſumma; Latein für "Summe" oder "Gesamt"). Die moderne Notation für das bestimmte Integral mit Grenzen über und unter dem Integralzeichen wurde zuerst von verwendet Joseph Fourier in Mémoires der französischen Akademie um 1819–20, nachgedruckt in seinem Buch von 1822.[14]

Isaac Newton verwendete einen kleinen vertikalen Balken über einer Variablen, um die Integration anzuzeigen, oder platzierte die Variable in eine Box. Die vertikale Balken war leicht zu verwechseln mit .x oder x, die verwendet werden, um die Differenzierung anzuzeigen, und die Box -Notation war für Drucker schwierig zu reproduzieren, sodass diese Notationen nicht weit verbreitet waren.[15]

Erste Verwendung des Begriffs

Der Begriff wurde zuerst in lateinischerdessen von gedruckt Jacob Bernoulli 1690: "Ergo et Horum Integralia Aequantur".[16]

Terminologie und Notation

Im Allgemeinen das Integral von a reale Funktion f(x) in Bezug auf eine echte Variable x in einem Intervall [a, b] ist geschrieben als

Das integrale Zeichen repräsentiert die Integration. Das Symbol dx, genannt Differential der Variablen xZeigt an, dass die Integrationsvariable ist x. Die Funktion f(x) wird als Integrand bezeichnet, die Punkte a und b werden als Grenzen (oder Grenzen) der Integration bezeichnet, und das Integral soll über das Intervall liegen [a, b], genannt das Intervall der Integration.[17] Eine Funktion soll sein integrierbar Wenn sein Integral über seine Domäne endlich ist. Wenn Grenzwerte angegeben werden, wird das Integral als ein bestimmtes Integral bezeichnet.

Wenn die Grenzen weggelassen werden, wie in

Das Integral wird als unbestimmte Integral bezeichnet, das eine Klasse von Funktionen darstellt (die antiderivativ) dessen Derivat ist das Integrand.[18] Das Grundsatz des Kalküls bezieht die Bewertung bestimmter Integrale auf unbestimmte Integrale. Es gibt verschiedene Erweiterungen der Notation für Integrale, um die Integration von unbegrenzten Domänen und/oder in mehreren Dimensionen zu umfassen (siehe spätere Abschnitte dieses Artikels).

In fortgeschrittenen Einstellungen ist es nicht ungewöhnlich, auszulassen dx Wenn nur das einfache Riemann -Integral verwendet wird oder die genaue Art des Integrals immateriell ist. Zum Beispiel könnte man schreiben Um die Linearität des Integrals auszudrücken, eine von dem Riemann -Integral geteilte Eigenschaft und alle Verallgemeinerungen davon.[19]

Interpretationen

Annäherungen an Integral von x von 0 bis 1 mit 5 gelben rechten Endpunkt -Partitionen und 12 grünen linken Endpunkt -Partitionen

Integrale erscheinen in vielen praktischen Situationen. Zum Beispiel kann man aus der Länge, Breite und Tiefe eines Schwimmbeckens mit flachem Boden das Wasservolumen, die Fläche seiner Oberfläche und die Länge seiner Kante bestimmen. Wenn es jedoch mit einem abgerundeten Boden oval ist, sind Integrale erforderlich, um genaue und strenge Werte für diese Mengen zu finden. In jedem Fall kann man die gesuchte Menge in unendlich viele teilen infinitesimal Stücke, dann die Teile summieren, um eine genaue Annäherung zu erzielen.

Zum Beispiel, um den Bereich der Region zu finden, die durch die Grafik der Funktion begrenzt ist f(x) = x zwischen x = 0 und x = 1, man kann das Intervall in fünf Schritten überschreiten (0, 1/5, 2/5, ..., 1) und füllen Sie ein Rechteck unter Verwendung der rechten Endhöhe jedes Stücks (also also (also 0, 1/5, 2/5, ..., 1) und summieren ihre Bereiche, um eine Annäherung an zu erhalten

das ist größer als der genaue Wert. Alternativ ist das Ersetzen dieser Subintervalen durch die linke Endhöhe jedes Stücks zu niedrig: Mit zwölf solchen Subintervalen beträgt der ungefähre Bereich nur 0,6203. Wenn jedoch die Anzahl der Teile auf unendlich ansteigt, erreicht sie eine Grenze, die den genauen Wert des gesuchten Gebiets (in diesem Fall, 2/3). Man schreibt

was bedeutet 2/3 ist das Ergebnis einer gewichteten Summe von Funktionswerten, x, multipliziert mit den infinitesimalen Schrittbreiten, gekennzeichnet durch dxin der Intervall [0, 1].

Darboux Summen
Upper Darboux sum example
Darboux obere Summen der Funktion y = x2
Lower Darboux sum example
Darboux Untere Summen der Funktion y = x2

Formale Definitionen

Riemann sum convergence
Riemann -Summen konvergieren

Es gibt viele Möglichkeiten, ein Integral formell zu definieren, von denen nicht alle gleichwertig sind. Die Unterschiede bestehen hauptsächlich, um sich mit unterschiedlichen Sonderfällen zu befassen, die in anderen Definitionen möglicherweise nicht integriert werden können, aber gelegentlich auch aus pädagogischen Gründen. Die am häufigsten verwendeten Definitionen sind Riemann -Integrale und Lebesgue -Integrale.

Riemann Integral

Das Riemann -Integral ist in Bezug auf Riemann Summen von Funktionen in Bezug auf Tagged Partitionen von einem Intervall.[20] Eine markierte Partition von a geschlossenes Intervall [a, b] Auf der realen Linie befindet sich eine endliche Sequenz

Dies partitiert das Intervall [a, b] hinein n Subintervalen [xi–1, xi] indiziert von ijedes davon ist mit einem angesehenen Punkt "markiert" ti ∈ [xi–1, xi]. EIN Riemann Sum einer Funktion f in Bezug auf eine solche markierte Partition wird definiert als

Somit ist jeder Term der Summe die Fläche eines Rechtecks ​​mit Höhe gleich dem Funktionswert am unterschiedenen Punkt des gegebenen Subinval Δi = xixi–1. Das Gittergewebe einer solchen markierten Partition ist die Breite des größten Subintervals, das durch die Partition gebildet wird, Maxi= 1 ...n Δi. Das Riemann Integral einer Funktion f über die Intervall [a, b] ist gleich S wenn:[21]

Für alle Es gibt es so dass für jede markierte Partition mit Wasser weniger als ,

Wenn die ausgewählten Tags den maximalen (jeweiligen, minimalen) Wert jedes Intervalls ergeben, wird die Riemann -Summe zu einem oberen (niedriger). Darboux Sum, was die enge Verbindung zwischen dem Riemann -Integral und dem vorschlägt Darboux Integral.

Lebesgue Integral

Comparison of Riemann and Lebesgue integrals
Die Integration von Riemann -Darboux (oben) und die Lebesgue -Integration (unten)

Es ist oft sowohl theoretisch als auch Anwendungen von Interesse, in der Lage zu sein, unter dem Integral an die Grenze zu gelangen. Beispielsweise kann häufig eine Abfolge von Funktionen konstruiert werden, die in einem geeigneten Sinne die Lösung für ein Problem annähern. Dann sollte das Integral der Lösungsfunktion die Grenze der Integrale der Näherungen sein. Viele Funktionen, die als Grenzwerte erhalten werden können, sind jedoch nicht in Integrierbar, und so halten solche Grenzwerte nicht mit dem Riemann-Integral. Daher ist es von großer Bedeutung, eine Definition des Integrals zu haben, mit dem eine größere Klasse von Funktionen integriert werden kann.[22]

Ein solches Integral ist das Lebesgue -Integral, das die folgende Tatsache ausnutzt, die Klasse der integrierbaren Funktionen zu vergrößern: Wenn die Werte einer Funktion über die Domäne neu angeordnet werden, sollte das Integral einer Funktion gleich bleiben. Daher Henri Lebesgue stellte den Integral mit seinem Namen ein und erklärte dieses Integral so in einem Brief an Paul Montel:[23]

Ich muss eine bestimmte Summe bezahlen, die ich in meiner Tasche gesammelt habe. Ich nehme die Rechnungen und Münzen aus meiner Tasche und gebe sie dem Gläubiger in der Reihenfolge, in der ich sie finde, bis ich die Gesamtsumme erreicht habe. Dies ist das Riemann -Integral. Aber ich kann anders vorgehen. Nachdem ich das ganze Geld aus meiner Tasche genommen habe, bestelle ich die Rechnungen und Münzen nach identischen Werten und zahle dann die mehrere Haufen nacheinander dem Gläubiger. Das ist mein Integral.

Wie Folland es ausdrückt, "um das Riemann -Integral von zu berechnen f, man teilt die Domäne [a, b] in Subintervalen ", während im Lebesgue -Integral", einer beteiligt sich im Bereich der Reichweite von f ".[24] Die Definition des Lebesgue -Integrals beginnt somit mit a messenμ. Im einfachsten Fall die Lebesgue -Maßnahme μ(A) von einem Intervall A = [a, b] ist seine Breite, badamit das Lebesgue -Integral mit dem (ordnungsgemäßen) Riemann -Integral übereinstimmt, wenn beide existieren.[25] In komplizierteren Fällen können die gemessenen Sätze stark fragmentiert werden, ohne Kontinuität und ohne Ähnlichkeit mit Intervallen.

Verwenden der "Partitionierung des Bereichs von f "Philosophie, das Integral einer nicht negativen Funktion f: RR sollte die Summe sein t der Bereiche zwischen einem dünnen horizontalen Streifen zwischen y = t und y = t + dt. Dieser Bereich ist gerecht μ{ x: f(x)> t}dt. Lassen f(t) = μ{ x: f(x)> t }. Das Lebesgue -Integral von f wird dann durch definiert von

wo das Integral rechts ein gewöhnliches unzulässiges Riemann -Integral ist (f ist eine streng abnehmende positive Funktion und hat daher a gut definiert Unsachter Riemann Integral).[26] Für eine geeignete Klasse von Funktionen (die messbare Funktionen) Dies definiert das Lebesgue -Integral.

Eine allgemeine messbare Funktion f ist lebesgue-integrierbar, wenn die Summe der absoluten Werte der Bereiche der Regionen zwischen dem Graphen von f und die x-Axis ist endlich:[27]

In diesem Fall ist das Integral wie im riemannischen Fall der Unterschied zwischen dem Bereich über dem Gebiet x-Axis und der Bereich unterhalb der x-Achse:[28]

wo

Andere Integrale

Obwohl die Integrale von Riemann und Lebesgue die am häufigsten verwendeten Definitionen des Integrals sind, gibt es eine Reihe anderer, darunter:

Eigenschaften

Linearität

Die Sammlung von Riemann-integrierbaren Funktionen in einem geschlossenen Intervall [a, b] Formen a Vektorraum unter den Operationen von punktuelle Addition und Multiplikation durch einen Skalar und den Betrieb der Integration

ist ein lineare Funktional auf diesem Vektorraum. Somit ist die Sammlung integrierbarer Funktionen unter der Einnahme geschlossen lineare Kombinationenund das Integral einer linearen Kombination ist die lineare Kombination der Integrale:[29]

Ebenso der Satz von real-Valierte lebesgue-integrierbare Funktionen für eine gegebene Raum messen E mit Maß μ wird unter Einnahme linearer Kombinationen geschlossen und bildet damit einen Vektorraum und das Lebesgue -Integral

ist ein linearer Funktional in diesem Vektorraum, so dass:[28]

Allgemeiner betrachten Sie den Vektorraum von allen messbare Funktionen auf einem Maßraum (E,μ)Werte in a lokal kompakt Komplett Topologischer Vektorraum V über einen lokal kompakten Topologisches Feld K, f: EV. Dann kann man eine abstrakte Integrationskarte definieren, die jeder Funktion zugewiesen wird f ein Element von V oder das Symbol Anwesend

Das ist mit linearen Kombinationen kompatibel.[30] In dieser Situation gilt die Linearität für den Unterraum von Funktionen, deren Integral ein Element von ist V (d. H. "endlich"). Die wichtigsten besonderen Fälle entstehen, wenn K ist R, C, oder eine endliche Erweiterung des Feldes Qp von P-adische Zahlen, und V ist ein endlich-dimensionaler Vektorraum über K, und wann K = C und V ist ein Komplex Hilbert Raum.

Die Linearität kann zusammen mit einigen natürlichen Kontinuitätseigenschaften und Normalisierung für eine bestimmte Klasse von "einfachen" Funktionen verwendet werden, um eine alternative Definition des Integrals zu verleihen. Dies ist der Ansatz von Daniell Für den Fall von realgenachteten Funktionen auf einem Satz X, verallgemeinert durch Nicolas Bourbaki Funktionen mit Werten in einem lokal kompakten topologischen Vektorraum. Sehen Hildebrandt 1953 für eine axiomatische Charakterisierung des Integrals.

Ungleichheiten

Eine Reihe allgemeiner Ungleichheiten für riemann-integrierbares Bestandteil Funktionen definiert auf a abgeschlossen und begrenzt Intervall [a, b] und kann auf andere Integralvorstellungen verallgemeinert werden (Lebesgue und Daniell).

  • Obere und untere Grenzen. Eine integrierbare Funktion f an [a, b], ist notwendigerweise begrenzt in diesem Intervall. So gibt es reale Nummern m und M so dass mf(x) ≤ M für alle x in [a, b]. Seit der unteren und oberen Summen von f Über [a, b] werden daher durch, jeweils begrenzt, m(ba) und M(ba), es folgt dem
  • Ungleichheiten zwischen Funktionen.[31] Wenn f(x) ≤ g(x) für jeden x in [a, b] dann jede der oberen und unteren Summen von f wird oben durch die oberen bzw. unteren Summen von begrenzt g. Daher
    Dies ist eine Verallgemeinerung der oben genannten Ungleichheiten wie M(ba) ist das Integral der konstanten Funktion mit Wert M Über [a, b]. Wenn die Ungleichheit zwischen Funktionen streng ist, ist auch die Ungleichheit zwischen Integralen streng. Das heißt, wenn f(x) < g(x) für jeden x in [a, b], dann
  • Subintervalen. Wenn [c, d] ist ein Subinterval von [a, b] und f(x) ist für alle nicht negativ x, dann
  • Produkte und absolute Werte von Funktionen. Wenn f und g sind zwei Funktionen, dann können wir ihre berücksichtigen punktuelle Produkte und Kräfte und absolute Werte:
    Wenn f ist Riemann-integrierbar auf [a, b] Dann gilt das gleiche für |f|, und
    Außerdem, wenn f und g sind dann beide riemann-integrierbar fg ist auch riemann-integrierbar und
    Diese Ungleichheit, bekannt als die Cauchy -Schwarz -Ungleichheitspielt eine herausragende Rolle in Hilbert Raum Theorie, wo die linke Seite als die interpretiert wird Innenprodukt von zwei quadratisch integrierbar Funktionen f und g in der Pause [a, b].
  • Hölders Ungleichheit.[32] Nehme an, dass p und q sind zwei reelle Zahlen, 1 ≤ p, q ≤ ∞ mit 1/p + 1/q = 1, und f und g sind zwei riemann-integrierbare Funktionen. Dann die Funktionen |f|p und |g|q sind auch integrierbar und die folgenden Hölders Ungleichheit hält:
    Zum p = q = 2, Hölders Ungleichheit wird zur Cauchy -Schwarz -Ungleichheit.
  • Minkowski -Ungleichheit.[32] Nehme an, dass p ≥ 1 ist eine reelle Zahl und f und g sind Riemann-integrierbare Funktionen. Dann | f |p, | g |p und | f + g |p sind auch riemann-integrierbar und die folgenden Minkowski -Ungleichheit hält:
    Ein Analogon dieser Ungleichheit für Lebesgue Integral wird zum Konstruktion von verwendet Lp Räume.

Konventionen

In diesem Abschnitt, f ist ein echt bewertet Riemann-integrierbar Funktion. Das Integral

über einen Intervall [a, b] ist definiert, wenn a < b. Dies bedeutet, dass die oberen und unteren Summen der Funktion f werden auf einer Partition bewertet a = x0x1 ≤. . . ≤ xn = b deren Werte xi sind steigend. Geometrisch bedeutet dies, dass die Integration "von links nach rechts" stattfindet und bewertet f innerhalb von Intervallen [xiAnwesend xi+1] wobei ein Intervall mit einem höheren Index rechts von einem mit einem niedrigeren Index liegt. Die Werte a und bdie Endpunkte der Intervall, werden die genannt Integrationsgrenzen von f. Integrale können auch definiert werden, wenn a > b:[17]

Mit a = bDies impliziert:

Die erste Konvent [a, b]; Der zweite sagt, dass ein integrales Integral ein degeneriertes Intervall oder a Punkt, sollte sein Null. Ein Grund für die erste Konvention ist, dass die Integrierbarkeit von f in einem Intervall [a, b] impliziert, dass f ist in jedem Subinterval integrierbar [c, d], aber insbesondere Integrale haben die Eigenschaft, die wenn c ist jeder Element von [a, b], dann:[29]

Mit der ersten Konvention die resultierende Beziehung

ist dann gut definiert für jede zyklische Permutation von a, b, und c.

Grundsatz des Kalküls

Das Grundsatz des Kalküls ist die Aussage, dass Unterscheidung und Integration sind inverse Operationen: wenn a kontinuierliche Funktion ist zuerst integriert und dann differenziert, die ursprüngliche Funktion wird abgerufen.[33] Eine wichtige Folge, manchmal als die genannt Zweiter Grundsatz des KalkülsErmöglicht es einem, Integrale zu berechnen, indem ein Antiderivat der zu integrierten Funktion verwendet wird.[34]

Erster Satz

Lassen f eine kontinuierliche realwerte Funktion sein, die auf a definiert ist geschlossenes Intervall [a, b]. Lassen F Sei die Funktion für alle x in [a, b], durch

Dann, F ist kontinuierlich [a, b], differenzierbar im offenen Intervall (a, b), und

für alle x in (a, b).

Zweiter Satz

Lassen f eine realwerte Funktion sein, die auf a definiert ist geschlossenes Intervall [a, b] Das gibt eine zu antiderivativ F an [a, b]. Das ist, f und F sind Funktionen so, dass für alle x in [a, b]Anwesend

Wenn f ist integrierbar auf [a, b] dann

Erweiterungen

Unbewegliche Integrale

Das Unbeschwerde Integral hat unbegrenzte Intervalle sowohl für Domain als auch für Reichweite.

Ein "ordnungsgemäßes" Riemann -Integral geht davon aus, dass das Integrand in einem geschlossenen und begrenzten Intervall definiert und endlich ist, das durch die Integrationsgrenzen festgehalten wird. Eine unangemessene Integral tritt auf, wenn eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt sind. In einigen Fällen können solche Integrale durch Berücksichtigung der definiert werden Grenze von a Reihenfolge von richtigem Riemann Integral in zunehmend größeren Intervallen.

Wenn das Intervall beispielsweise am oberen Ende unbegrenzt ist, ist das nicht funktionsfähige Integral die Grenze, da dieser Endpunkt in Unendlichkeit geht:[35]

Wenn das Integrand beispielsweise nur in einem halben Open-Intervall definiert oder endlich definiert ist (a, b]Ein Grenze kann dann ein begrenztes Ergebnis liefern:[36]

Das heißt, das uns funktionsfähige Integral ist das Grenze von geeigneten Integralen als ein Endpunkt des Intervalls der Integration nähert sich entweder einem angegebenen reelle Zahl, oder , oder −∞. In komplizierteren Fällen sind an beiden Endpunkten oder an Innenstellen Grenzen erforderlich.

Mehrfachintegration

Das Doppelintegral berechnet das Volumen unter einer Oberfläche

Genau wie das bestimmte Integral einer positiven Funktion einer Variablen die bestimmte Bereich der Region zwischen dem Graphen der Funktion und der Funktion x-Axis, die Doppelintegral einer positiven Funktion von zwei Variablen repräsentiert die Volumen der Region zwischen der von der Funktion definierten Oberfläche und der Ebene, die ihre Domäne enthält.[37] Beispielsweise hängt eine Funktion in zwei Dimensionen von zwei realen Variablen ab. x und yund das Integral einer Funktion f über dem Rechteck R gegeben wie die kartesisches Produkt von zwei Intervallen kann geschrieben werden

wo das Differential da zeigt an, dass die Integration in Bezug auf den Bereich eingenommen wird. Dies Doppelintegral kann mit Verwendung definiert werden Riemann Summenund repräsentiert das (signierte) Volumen unter dem Diagramm von z = f(x,y) über die Domäne R.[38] Unter geeigneten Bedingungen (z. B. wenn f ist kontinuierlich), Fubinis Theorem gibt an, dass dieses Integral als äquivalentes iteriertes Integral ausgedrückt werden kann[39]

Dies verringert das Problem, ein doppeltes Integral für die Berechnung von eindimensionalen Integralen zu berechnen. Aus diesem Grund eine weitere Notation für das Integral Over R Verwendet ein doppeltes Integralzeichen:[38]

Die Integration über allgemeinere Domänen ist möglich. Das Integral einer Funktion fin Bezug auf das Volumen über eine n-Dimensionsregion D von wird mit Symbolen wie:

Linienintegrale und Oberflächenintegrale

Eine Linie -Integral setzt Elemente entlang einer Kurve zusammen.

Das Konzept eines Integrals kann auf allgemeinere Integrationsbereiche ausgedehnt werden, wie z. B. gekrümmte Linien und Oberflächen innerhalb höherdimensionaler Räume. Solche Integrale werden jeweils als Linienintegrale bzw. Oberflächenintegrale bezeichnet. Diese haben wichtige Anwendungen in der Physik, wie beim Umgang mit Vektorfelder.

A Linienintegral (manchmal als a genannt Pfadintegral) ist ein integrales, wo die Funktion Integration wird entlang a bewertet Kurve.[40] Verschiedene verschiedene Linienintegrale werden verwendet. Im Falle einer geschlossenen Kurve wird es auch als a genannt Konturintegral.

Die zu integrierte Funktion kann a sein Skalarfeld oder ein Vektorfeld. Der Wert des Linienintegrals ist die Summe der Werte des Feldes an allen Punkten der Kurve, gewichtet durch eine skalare Funktion auf der Kurve (häufig Bogenlänge oder für ein Vektorfeld die Skalarprodukt des Vektorfelds mit a Differential Vektor in der Kurve).[41] Diese Gewichtung unterscheidet das Linienintegral von einfacheren Integralen, die auf definiert sind Intervalle. Viele einfache Formeln in der Physik haben natürliche kontinuierliche Analoga in Bezug auf Linienintegrale. Zum Beispiel die Tatsache, dass Arbeit ist gleich Macht, F, multipliziert mit Verschiebung, s, kann ausgedrückt werden (in Bezug auf Vektormengen) als:[42]

Für ein Objekt, das sich auf einem Pfad bewegt C in einem Vektorfeld F wie ein elektrisches Feld oder Schwerkraftfeld, Die Gesamtarbeiten des Feldes am Objekt werden erhalten, indem die unterschiedlichen Arbeiten beim Umzug von s zu s + ds. Dies gibt der Linie integriert[43]

Die Definition des Oberflächenintegrals beruht auf der Aufteilung der Oberfläche in kleine Oberflächenelemente.

A Oberflächenintegral verallgemeinert doppelte Integrale auf die Integration über a auftauchen (Dies kann ein gekrümmter Satz in sein Platz); es kann als das betrachtet werden Doppelintegral Analog des Linienintegral. Die zu integrierte Funktion kann a sein Skalarfeld oder ein Vektorfeld. Der Wert des Oberflächenintegrals ist die Summe des Feldes an allen Punkten auf der Oberfläche. Dies kann erreicht werden, indem die Oberfläche in Oberflächenelemente aufgeteilt wird, die die Aufteilung für Riemann -Summen liefern.[44]

Betrachten Sie für ein Beispiel für Anwendungen von Oberflächenintegralen ein Vektorfeld v auf einer Oberfläche S; Das ist für jeden Punkt x in S, v(x) ist ein Vektor. Stellen Sie sich vor, eine Flüssigkeit fließt durch S, so dass v(x) bestimmt die Geschwindigkeit der Flüssigkeit bei x. Das Fluss ist definiert als die Menge an Flüssigkeit, die durch fließt S in Zeiteneinheit. Um den Fluss zu finden, muss man das nehmen Skalarprodukt von v mit der Einheit Oberfläche normal zu S An jedem Punkt, der ein Skalarfeld ergibt, das über die Oberfläche integriert ist:[45]

Der Flüssigkeitsfluss in diesem Beispiel kann von einer physikalischen Flüssigkeit wie Wasser oder Luft oder aus elektrischem oder magnetischem Fluss stammen. So haben Oberflächenintegrale Anwendungen in der Physik, insbesondere mit dem Klassische Theorie von Elektromagnetismus.

Konturintegrale

Im Komplexe Analyse, das Integrand ist a Komplex-bewertete Funktion einer komplexen Variablen z anstelle einer realen Funktion einer realen Variablen x. Wenn eine komplexe Funktion entlang einer Kurve integriert ist In der komplexen Ebene wird das Integral wie folgt bezeichnet

Dies ist als a bekannt Konturintegral.

Integrale differentieller Formen

A Differentialform ist ein mathematisches Konzept in den Bereichen von Multivariable Infinitesimalrechnung, Differentialtopologie, und Tensoren. Differentielle Formen sind nach Grad organisiert. Beispielsweise ist eine Einform eine gewichtete Summe der Unterschiede der Koordinaten, wie beispielsweise:

wo E, F, G sind Funktionen in drei Dimensionen. Eine differentielle Einform kann über einen orientierten Pfad integriert werden, und das resultierende Integral ist nur eine weitere Möglichkeit, ein Zeilenintegral zu schreiben. Hier die grundlegenden Unterschiede dx, Dy, DZ Messen Sie die infinitesimal orientierten Längen parallel zu den drei Koordinatenachsen.

Eine differentielle Zweiform ist eine Summe der Form

Hier die grundlegenden Zweiforms Messen Sie orientierte Bereiche parallel zur Koordinaten-Zwei-Planen. Das Symbol bezeichnet die Keilprodukt, was ähnlich wie die ist Kreuzprodukt In dem Sinne, dass das Keilprodukt zweier Formen, die orientierte Längen darstellen, einen orientierten Bereich darstellt. Eine Zweiform kann über eine orientierte Oberfläche integriert werden, und das resultierende Integral entspricht dem Oberflächenintegral, das den Fluss von ergibt .

Im Gegensatz zum Kreuzprodukt und der dreidimensionale Vektorkalkül ist das Keilprodukt und der Kalkül der unterschiedlichen Formen in willkürlicher Dimension und allgemeineren Verteilern (Kurven, Oberflächen und ihre höherdimensionalen Analoga) sinnvoll. Das Außenableitung spielt die Rolle der Gradient und Locken von Vektorkalkül und Stokes 'Theorem Gleichzeitig verallgemeinert die drei Theoreme des Vektorkalküls: die Abweichungstheorem, Green's Theorem, und die Kelvin-Stokes-Theorem.

Summierungen

Das diskrete Integrationsäquivalent ist Summe. Summierungen und Integrale können auf die gleichen Grundlagen mit der Theorie von gestellt werden Lebesgue Integrals oder Zeitskala-Kalkül.

Funktionale Integrale

Eine Integration, die nicht über eine Variable (oder in der Physik über einen Raum- oder Zeitdimension), sondern über a durchgeführt wird Raum der Funktionen, wird als funktionales Integral bezeichnet.

Anwendungen

Integrale werden in vielen Bereichen ausgiebig verwendet. Zum Beispiel in WahrscheinlichkeitstheorieIntegrale werden verwendet, um die Wahrscheinlichkeit einiger zu bestimmen zufällige Variable in einen bestimmten Bereich fallen.[46] Darüber hinaus das Integral unter einem ganzen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion muss gleich 1, was einen Test darstellt, ob a Funktion ohne negative Werte könnten eine Dichtefunktion sein oder nicht.[47]

Integrale können zur Berechnung der verwendet werden Bereich einer zweidimensionalen Region, die sowohl eine gekrümmte Grenze hat als auch Berechnung des Volumens eines dreidimensionalen Objekts, das eine gekrümmte Grenze hat. Die Fläche einer zweidimensionalen Region kann unter Verwendung des oben genannten bestimmten Integrals berechnet werden.[48] Das Volumen eines dreidimensionalen Objekts wie eine Scheibe oder Waschmaschine kann von berechnet werden Disc -Integration Verwenden der Gleichung für das Volumen eines Zylinders, , wo ist der Radius. Im Falle einer einfachen Scheibe, die durch Drehen einer Kurve über die erzeugt wird x-Axis, der Radius wird gegeben f(x)und seine Größe ist das Differential dx. Verwenden eines Integrals mit Grenzen a und bDas Volumen der Disc ist gleich:[49]

Integrale werden auch in der Physik verwendet, in Bereichen wie Kinematik Mengen wie Verschiebung, Zeit, und Geschwindigkeit. Zum Beispiel in der geradlinigen Bewegung die Verschiebung eines Objekts über das Zeitintervall wird gegeben durch:

wo ist die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit.[50] Die Arbeit mit einer Kraft geleistet (als Funktion der Position angegeben) aus einer Anfangsposition zu einer endgültigen Position ist:[51]

Integrale werden auch in verwendet Thermodynamik, wo Thermodynamische Integration wird verwendet, um die Differenz der freien Energie zwischen zwei gegebenen Zuständen zu berechnen.

Berechnung

Analytisch

Die grundlegendste Technik für die Berechnung bestimmter Integrale einer realen Variablen basiert auf dem Grundsatz des Kalküls. Lassen f(x) die Funktion von sein x über ein bestimmtes Intervall integriert werden [a, b]. Finden Sie dann ein Antiderivierter von f; das heißt eine Funktion F so dass F'= f in der Pause. Vorausgesetzt, das Integrand und das Integral haben keine Singularitäten Auf dem Weg der Integration, durch den grundlegenden Theorem des Kalküls,,

Manchmal ist es notwendig, eine der vielen Techniken zu verwenden, die entwickelt wurden, um Integrale zu bewerten. Die meisten dieser Techniken schreiben ein Integral als eine andere neu, was hoffentlich nachvollziehbarer ist. Techniken umfassen Integration durch Substitution, Integration in Teilstücken, Integration durch trigonometrische Substitution, und Integration durch Teilbrüche.

Es gibt alternative Methoden, um komplexere Integrale zu berechnen. Viele Nichtelementäre Integrale kann in a erweitert werden Taylor -Serie und integrierter Term nach Begriff. Gelegentlich kann die resultierende Infinite -Reihe analytisch summiert werden. Die Verfaltungsmethode verwendet Meijer G-Funktionen kann auch verwendet werden, vorausgesetzt, das Integrand kann als Produkt von Meijer G-Funktionen geschrieben werden. Es gibt auch viele weniger häufige Möglichkeiten zur Berechnung bestimmter Integrale. zum Beispiel, Parsevals Identität Kann verwendet werden, um ein Integral über einen rechteckigen Bereich in eine unendliche Summe zu verwandeln. Gelegentlich kann ein Integral mit einem Trick bewertet werden. Für ein Beispiel dafür siehe Gaußscher Integral.

Berechnungen von Bänden von Festkörper der Revolution kann normalerweise mit erledigt werden mit Festplattenintegration oder Shell -Integration.

Spezifische Ergebnisse, die durch verschiedene Techniken ausgearbeitet wurden Liste der Integrale.

Symbolisch

Viele Probleme in Mathematik, Physik und Engineering beinhalten die Integration, bei der eine explizite Formel für das Integral gewünscht wird. Umfangreich Tabellen von Integralen wurden im Laufe der Jahre zu diesem Zweck zusammengestellt und veröffentlicht. Mit der Verbreitung von Computern haben sich viele Fachleute, Pädagogen und Studenten angewendet Computeralgebra -Systeme die speziell für schwierige oder mühsame Aufgaben entwickelt wurden, einschließlich der Integration. Die symbolische Integration war eine der Motivationen für die Entwicklung der ersten derartigen Systeme wie MACSYMA und Ahorn.

Eine wichtige mathematische Schwierigkeit bei der symbolischen Integration ist, dass in vielen Fällen eine relativ einfache Funktion keine Integrale aufweist, die in ausgedrückt werden können geschlossene Form nur einbeziehen Grundfunktionen, enthalten rational und exponentiell Funktionen, Logarithmus, trigonometrische Funktionen und inverse trigonometrische Funktionenund die Operationen von Multiplikation und Zusammensetzung. Das Rischalgorithmus Bietet ein allgemeines Kriterium, um zu bestimmen, ob das Antiderivieren einer elementaren Funktion elementar ist, und um sie zu berechnen, wenn dies der Fall ist. Funktionen mit geschlossenen Ausdrucksformen von Antiderivat sind jedoch die Ausnahme, und folglich haben computergestützte Algebra -Systeme keine Hoffnung, ein Antiderivat für eine zufällig konstruierte elementare Funktion zu finden. Positiv zu vermerken ist, dass die 'Bausteine' für Antiderivate im Voraus festgelegt werden, kann es weiterhin möglich sein, zu entscheiden, ob das Antiderivationsfunktion einer bestimmten Funktion unter Verwendung dieser Blöcke und Operationen von Multiplikation und Zusammensetzung ausgedrückt werden kann und das Symbolen finden kann Antwort, wann immer es existiert. Der Rischalgorithmus, implementiert in Mathematica, Ahorn und andere Computeralgebra -Systeme, tut genau das für Funktionen und Antiderivate, die aus rationalen Funktionen gebaut wurden, Radikale, Logarithmus und exponentielle Funktionen.

Einige besondere Integranden treten häufig aus, um eine spezielle Studie zu rechtfertigen. Insbesondere kann es nützlich sein, im Satz von Antiderivativen die zu haben, die Spezialfunktionen (wie Legendre Funktionen, das Hypergeometrische Funktion, das Gamma -Funktion, das unvollständige Gamma -Funktion usw). Die Erweiterung des Algorithmus des Rischs um solche Funktionen ist möglich, ist jedoch schwierig und war ein aktives Forschungsthema.

In jüngerer Zeit ist ein neuer Ansatz aufgetreten, der verwendet wird D-Finite Funktionen, die die Lösungen von sind Lineare Differentialgleichungen mit Polynomkoeffizienten. Die meisten elementaren und besonderen Funktionen sind D-Finite und das Integral von a D-Finite Funktion ist auch a D-Finite Funktion. Dies liefert einen Algorithmus, um das Antiderivieren von a zu exprimieren D-Finite Funktion als Lösung einer Differentialgleichung. Diese Theorie ermöglicht es auch, das bestimmte Integral von a zu berechnen D-Funktion als Summe einer Reihe der ersten Koeffizienten und bietet einen Algorithmus zur Berechnung eines jeden Koeffizienten.

Numerisch

Numerische Quadraturmethoden: Rechteckmethode, Trapez -Regel, Rombergs Methode, Gaußsche Quadratur

Bestimmte Integrale können unter Verwendung verschiedener Methoden von angenähert werden Numerische Integration. Das Rechteckmethode stützt sich auf die Aufteilung der Region unter der Funktion in eine Reihe von Rechtecken, die den Funktionswerten und Multiplikationen mit der Schrittbreite entsprechen, um die Summe zu finden. Ein besserer Ansatz, der Trapez -Regelersetzt die Rechtecke in einer Riemann -Summe durch Trapezoide. Die Trapez -Regel gewichtet die erste und letzte Werte um eine Hälfte, multipliziert sich dann mit der Schrittbreite, um eine bessere Annäherung zu erhalten.[52] Die Idee hinter der Trapez -Regel, dass genauere Annäherungen an die Funktion bessere Näherungen an das Integral ergeben, kann weiter übertragen werden: Simpsons Regel nähert sich dem Integrand durch eine stückweise quadratische Funktion an.[53]

Riemann Sums, die Trapez -Regel und die Regel von Simpson sind Beispiele für eine Familie von Quadraturregeln, die als die genannt werden Newton -Cotes -Formeln. Das Grad n Die Quadraturregel von Newton -Cotes nähert sich dem Polynom an jedem Subinterval um einen Grad an n Polynom. Dieses Polynom wird ausgewählt, um die Werte der Funktion im Intervall zu interpolieren.[54] Annäherungen an Newton -Cotes -Annähern höherer Grad Ranges Phänomen. Eine Lösung für dieses Problem ist Clenshaw -Curtis -Quadratur, in dem das Integrand durch Erweiterung in Bezug auf das Integrand angenähert wird Chebyshev -Polynome.

Rombergs Methode halbiert die Schrittbreiten schrittweise und verleiht Trapez -Näherungen durch T(h0), T(h1)und so weiter, wo hk+1 ist halb von hk. Für jede neue Schrittgröße müssen nur die Hälfte der neuen Funktionswerte berechnet werden. Die anderen übertragen von der vorherigen Größe. Es dann interpolieren ein Polynom durch die Näherungen und extrapolieren auf T(0). Gaußsche Quadratur bewertet die Funktion an den Wurzeln eines Satzes von orthogonale Polynome.[55] Ein n-Point Gaußsche Methode ist genau für Polynome von Grad bis zu 2n - 1.

Die Berechnung höherdimensionaler Integrale (z. B. Volumenberechnungen) macht so wichtige Alternativen wie Monte Carlo Integration.[56]

Mechanisch

Die Fläche einer willkürlichen zweidimensionalen Form kann unter Verwendung eines Messinstruments ermittelt werden Planimeter. Das Volumen der unregelmäßigen Objekte kann mit der Präzision durch die Flüssigkeit gemessen werden versetzt Da ist das Objekt untergetaucht.

Geometrisch

Bereich kann manchmal über gefunden werden geometrisch Kompass-und-Strafedge-Konstruktionen eines Äquivalents Quadrat.

Integration durch Differenzierung

Kempf, Jackson und Morales zeigten mathematische Beziehungen, die es ermöglichen, ein Integral mittels zu berechnen Unterscheidung. Ihr Kalkül beinhaltet die Dirac Delta -Funktion und die partielle Ableitung Operator . Dies kann auch auf angewendet werden Funktionale Integrale, damit sie berechnet werden können Funktionsdifferenzierung.[57]

Beispiele

Verwenden des grundlegenden Calculus

Das Grundsatz des Kalküls Ermöglicht einfache Berechnungen grundlegender Funktionen.


Siehe auch

  • Integrale Gleichung- Gleichungen mit einer unbekannten Funktion unter einem integralen Zeichen
  • Integrales Symbol- mathematisches Symbol zur Bezeichnung von Integralen und Antiderivaten

Anmerkungen

  1. ^ Integral Calculus ist eine sehr gut etablierte mathematische Disziplin, für die es viele Quellen gibt. Sehen Apostol 1967 und Anton, Bivens & Davis 2016, zum Beispiel.

Verweise

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  4. ^ Katz 2009, S. 284–285.
  5. ^ Katz 2009, S. 305–306.
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  29. ^ a b Apostol 1967, p. 80.
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  40. ^ Anton, Bivens & Davis 2016, p. 980.
  41. ^ Anton, Bivens & Davis 2016, p. 981.
  42. ^ Anton, Bivens & Davis 2016, p. 697.
  43. ^ Anton, Bivens & Davis 2016, p. 991.
  44. ^ Anton, Bivens & Davis 2016, p. 1014.
  45. ^ Anton, Bivens & Davis 2016, p. 1024.
  46. ^ Feller 1966, p. 1.
  47. ^ Feller 1966, p. 3.
  48. ^ Apostol 1967, S. 88–89.
  49. ^ Apostol 1967, S. 111–114.
  50. ^ Anton, Bivens & Davis 2016, p. 306.
  51. ^ Apostol 1967, p. 116.
  52. ^ Dahlquist & Björck 2008, S. 519–520.
  53. ^ Dahlquist & Björck 2008, S. 522–524.
  54. ^ Kahaner, Moler & Nash 1989, p. 144.
  55. ^ Kahaner, Moler & Nash 1989, p. 147.
  56. ^ Kahaner, Moler & Nash 1989, S. 139–140.
  57. ^ Kempf 2015.

Literaturverzeichnis

Externe Links

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